数量积与向量积

7-2-12
数量积 向量积 *混合积
二、两向量的向量积
1. 定义
实例 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处.力F 与OP 的夹角为 , 力F 对支点O的力矩是一 向量 M , 它的模为
| M || OQ || F |
F
| OP || F | sin
OP Q
M 的方向垂直于OP与F
L 所决定的平面, 指向符合 右手系.
7-2-13
数量积 向量积 *混合积
定义
向量 大小
a与| cb|的| a向||量b |积sin为c
a
b
a与b的夹角
方向
c
的方向既垂直于
a,
又垂直于
b,
指向符合右手系.
关于向量积的说明
(1)
a
a
0
( 0 sin 0)
(2)
a //b
a
b
0
(a
7-2-3
数量积 向量积 *混合积
注 对非零向量a、b,有：
a
b
|
a
||
b
|
cos
(1) 为锐角 a b 0;
(2) 为钝角 a b 0.
关于数量积的说明：
(1)
a
a
|
a
|2
.
证 0,
a a
| a || a | cos
|
a
|2
.
7-2-4
数量积 向量积 *混合积 (2) a b 0
cos
axbx a yby azbz
两向量夹角
ax2 ay2 az2
bx2 by2 bz 2
余弦的坐标 表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
7-2-10
数量积 向量积 *混合积
例
已知a
(1,1,4),b
(1,2,2),
求
(1) a b;
§7.2 数量积 向量积 *混合积
两向量的数量积
两向量的向量积 两向量的混合积
7-2-1
数量积 向量积 *混合积
一、数量积
1. 定义
实移例动W到一点| 物FM |体2|,s在s| c表常os示力位F移作,用力F下F与 所沿s的作直夹的线角功从为点 M1
定义
向量 a与b的数量积
a
b
|
a
||
b
|
cos
7-2-5
数量积 向量积 *混合积
2. 数量积符合下列运算规律
（1）交换律：
a
b
b
a
(可用定义证)
（2）分配律：
(a b) c a c b c
（3）若λ为数
(a )
b
a
(b )
(a
b
)
若λ 、μ为数： (a) (b) (a b )
(4)a a | a |2 . 此外,a a 0 a 0
c
b
c;
(3) 若 为数 (a ) b a (b ) (a b ).
7-2-15
数量积 向量积 *混合积
向量的向量积是否满足消去律 注 向量的向量积不满足消去律, 即在一般情况下,
(2) a与b的夹角;
(3) a在b上的投影.
解
(1)
a
b
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 , 3 .
2
(3) a b | b | Pr jba
Pr
4 jba
a
b
|b|
3.
7-2-11
证 () a
ab.
b 0, | a |
此时也称 a
0, | b | 0,
与
b
正交.
cos 0,
,
ab.
()
ab,
2
, cos 0,
ab
| a
|| b
2
| cos
0.
说明
i 、j、k互相正交 i j 0, j k 0, k i 0.
i i 1, j j 1, k k 1,
a a 2a b b b a a 2a b b b
2
|
a
|2
2
|
b
|2
7-2-8
数量积 向量积 *混合积
3.ຫໍສະໝຸດ Baidu用坐标表示式计算数量积
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay
j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk )
数量积 向量积 *混合积
例
证明向量 c
与向量(a
c)b
(b
c )a
垂直.
证
[(a c)b (b c)a] c
(由分配律)
[(a c )b c (b c )a c]
(b c)[a c a c]
0 0
[(a c)b (b c)a]c
为a
b a与b的夹角
7-2-2
数量积 向量积 *混合积
b
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
| b | cos
Pr
jab
|a
| cos
Pr
jba
a b
重要
| b | Pr
Pr jab
jba
a b
|a|
|
a
|
Pr Pr
jab
jba
a b |b|
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. (两向量的数量积的几何意义)
分 配 律
i j k i j j k k i 0
| i || j || k | 1
i i j j k k 1
a b axbx a yby azbz
数量积的坐标表达式
7-2-9
数量积 向量积 *混合积
4a.两 b向量| a的|| b夹 | 角cos(数量积co在s几何|中aa|的|bb应| 用)
注 平行于c 的向量≠平行于 b的向量
7-2-7
数量积 向量积 *混合积
|用a 向 b量 |的2 数| 量a 积b,证|2明 2恒|等a |式2 : 2
|
b
|2
即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方
和(如图).
证
|
a
b
|2
|
a
b
|2
b
a
a ab
b
(a b) (a b) (a b) (a b)
2
记a a为 a .
7-2-6
数量积 向量积 *混合积
向量的数量积是否满足消去律？
注 a向 量b 的 a数 量c,积a不 满0足消去b 律 c,即. 在一事般实情上况, 下,
a
b
a
c,是
说
a
(b
c
)
0.
即b
c与a垂
直,
未必b c 0.
c(a b) ? (c a)b.
0,
b 0)
7-2-14
数量证积(2向)(量a积/)/*b混合a积 b
a
0
b
|
0 a
|
(a 0,
() | asai/n/bb||0a,||b0|0或 s,in
0, b 0)
|
,
b|0, a// b
sin
0.
0
2.
((向12))量反分积交配符换律合律(下aa列b运b)算 c规b律aa;