高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）．

（1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值；

（2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围．

10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

11．已知函数f（x）=alnx

x+1

+b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3

＝0．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx

x−1．

12．已知函数f(x)=(a −1

x

)lnx （a ∈R ）．

（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．

13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3

x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；

（Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1

2，2]，使f （x 1）＞g （x 2），

求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…）

14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）单调区间；

（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

15．已知函数f（x）＝1−lnx

x，g（x）=

ae

e x

+1x−bx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）的

一个公共点是A（1，1），且在点A处的切线互相垂直．（1）求a，b的值；

（2）证明：当x≥1时，f（x）+g(x)≥2 x．

16．已知函数f(x)=

a

x−1

+lnx（a∈R，a为常数）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

9．已知函数f （x ）＝x （e 2x ﹣a ）．

（1）若y ＝2x 是曲线y ＝f （x ）的切线，求a 的值； （2）若f （x ）≥1+x +lnx ，求a 的取值范围．

【分析】（1）根据题意，设切点的坐标为（x 1，y 1），求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得{y 1=2x 1

y 1=x 1⋅e 2x 1−ax 1(2x 1+1)e 2x 1−a =2

，解可得a 的值，即可得答案；

（2）根据题意，f （x ）≥1+x +lnx 即x （e 2x ﹣a ）≥1+x +lnx ，结合x 的取值范围变形可得a +1≤e 2x −

1+lnx x ，设g （x ）＝e 2x −1+lnx x

，利用导数分析g （x ）在（0，+∞）上的最小值，据此分析可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，f （x ）＝x （e 2x ﹣a ），y ＝2x 是曲线y ＝f （x ）的切线， 设切点的坐标为（x 1，y 1），

则f ′（x ）＝（e 2x ﹣a ）+x ×2e 2x ＝（2x +1）e 2x ﹣a ，

又由y ＝2x 是曲线y ＝f （x ）的切线，切点为（x 1，y 1），则f ′（x 1）＝2， 则有{y 1=2x 1

y 1=x 1⋅e 2x 1−ax 1(2x 1+1)e 2x 1−a =2，

解可得a ＝﹣1；

（2）根据题意，f （x ）＝x （e 2x ﹣a ），

则f （x ）≥1+x +lnx ，即x （e 2x ﹣a ）≥1+x +lnx ，变形可得xe 2x ﹣（1+lnx ）≥（a +1）x ， 又由x ＞0，所以a +1≤e 2x −1+lnx

x

， 设g （x ）＝e 2x −1+lnx

x

， 其导数

g ′（x ）＝2e 2x +lnx

x

2

=2x 2e 2x +lnx

x 2，

设h （x ）＝2x 2e 2x +lnx ，

其导数h ′（x ）＝4xe 2x （x +1）+1

x ＞0，则函数h （x ）在（0，+∞）上单调递增； 又由h （1

e ）＜0，h （1）＞0，

则存在x 0∈（1

e

，1），满足h （x 0）＝0，即2x 02e 2x 0+lnx 0＝0，

故g （x ）min ＝g （x 0）=e 2x 0−1+lnx 0

x 0

， 若a +1≤e 2x −

1+lnx

x

，必有a +1≤g （x 0）， 令t ＝x 02e 2x 0，变形可得2x 0+2lnx 0＝lnt ， 由2x 02e 2x 0+lnx 0＝0，变形可得2t +lnx 0＝0， 则有2x 0+lnx 0＝2t +lnt ，

设F （x ）＝2x +lnx ，分析易得F （x ）＝2x +lnx 为增函数，则有x 0＝t ， 则g （x 0）=e 2x 0−

1+lnx 0

x 0

=2，必有a +1≤2，解可得a ≤1， 故a 的取值范围为（﹣∞，1]．

10．已知函数f （x ）＝x 2+ax +b ，g （x ）＝e x （cx +d ），若曲线y ＝f （x ）和曲线y ＝g （x ）都过点P （0，2），且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2． （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；

（Ⅱ）若x ≥﹣2时，f （x ）≤kg （x ），求k 的取值范围．

【分析】（Ⅰ）对f （x ），g （x ）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y ＝f （x ）和曲线y ＝g （x ）都过点P （0，2），从而解出a ，b ，c ，d 的值；

（Ⅱ）由（I ）得出f （x ），g （x ）的解析式，再求出F （x ）及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出F （x ）的最值，从而判断出f （x ）≤kg （x ）恒成立，从而求出k 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知f （0）＝2，g （0）＝2，f ′（0）＝4，g ′（0）＝4， 而f ′（x ）＝2x +a ，g ′（x ）＝e x （cx +d +c ），故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d +c ＝4， 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2；

（Ⅱ）由（I ）知，f （x ）＝x 2+4x +2，g （x ）＝2e x （x +1） 设F （x ）＝kg （x ）﹣f （x ）＝2ke x （x +1）﹣x 2﹣4x ﹣2， 则F ′（x ）＝2ke x （x +2）﹣2x ﹣4＝2（x +2）（ke x ﹣1）， 由题设得F （0）≥0，即k ≥1，

令F ′（x ）＝0，得x 1＝﹣lnk ，x 2＝﹣2，

①若1≤k ＜e 2，则﹣2＜x 1≤0，从而当x ∈（﹣2，x 1）时，F ′（x ）＜0，当x ∈（x 1，+∞）时，F ′（x ）＞0，

即F （x ）在（﹣2，x 1）上减，在（x 1，+∞）上是增，故F （x ）在[﹣2，+∞）上的最小