专题十集合、函数与导数、不等式
高中数学知识点总结集合不等式函数
上海教材高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =na ab b n log log =ab log 1=注：性质01log=a1log=aaNa N a=log常用对数NN10loglg=，15lg2lg=+自然对数NNelogln=，1ln=e3．指数与对数函数y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x图象关于y=x对称（互为反函数）4．幂函数12132,,,-====xyxyxyxyαxy=在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy+=→=伸缩：)1()(xfyxfyϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx--=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：α>101<<αα<0)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+6．特殊角的三角函数值α6π4π 3π 2π π23π sin α21 22 23 11-cos α123 22 21 01- 0tg α0 33 13/ 0 /7．同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质y=sinx y=cosx y=tanx图象单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bc a c b 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π。
集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若，求实数p的取值范围．【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y ＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是________．A. T，V中至少有一个关于乘法封闭B. T，V中至多有一个关于乘法封闭C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭D. T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b>0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b；(2) 当b>1时，证明：∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 b.1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________个．(2011·全国)(本小题满分14分)设a ∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a.若f(x)>0的解集为A ，B ＝{x|1<x<3}，A ∩B ≠，求实数a 的取值范围．解：由f(x)为二次函数知a ≠0，令f(x)＝0解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a＋2＋1a2， 由此可知x 1<0，x 2>0，(3分)① 当a>0时，A ＝{x|x<x 1}∪{x|x>x 2}，(5分) A ∩B ≠的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a>67，(9分)② 当a<0时， A ＝{x|x 1<x<x 2}，(10分)A ∩B ≠的充要条件是x 2>1，即1a＋2＋1a2>1，解得a<－2，(13分)综上，使A ∩B ≠成立的实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.(14分)第1讲 集合与简单逻辑用语1. (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足且S ∩B ≠的集合S 的个数为________．A. 57B. 56C. 49D. 8【答案】 B 解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．故选B.2. (2011·江苏)设集合A ＝{(x ，y)|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }, B ＝{(x ，y)|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 解析：由A ∩B ≠得，A ≠，所以m 2≥m 2，m ≥12或m ≤0.当m ≤0时，|2－2m|2＝2－2m ＞－m ，且|2－2m －1|2＝22－2m ＞－m ，又2＋0＝2＞2m＋1，所以集合A 表示的区域和集合B 表示的区域无公共部分；当m ≥12时，只要|2－2m|2≤m或|2－2m －1|2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2或1－22≤m ≤1＋22，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2＋2.点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m 的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝(－∞，＋∞)，A ∩B ＝[3，＋∞)．∈N,2n ≤1 0003. 充分不必要 解析：M ＝＝(－2,2)．4. a ≥3或a ≤－1 解析：Δ＝(a －1)2－4≥0，a ≥3或a ≤－1. 例题选讲例1 解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5. ∴ A ＝[－2,5]． ① 当B ≠时，即p ＋1≤2p －≥2.由得－2≤p ＋1且2p －1≤5.得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3.② 当B ＝时，即p ＋1>2p －＜成立．综上得p ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果，求实数a 的取值范围．解： 有n 种情况：其一是M ＝，此时Δ＜0；其二是M ≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝成立； ② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－，当a ＝2时，M ＝； ③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，≤x 1＜x 2≤⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0且f (4)≥0，1≤a ≤4且Δ＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2，解得：2＜a ≤187，综上实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 例2 解： ∵ (A ∪B)∩C ＝，∵A ∩C ＝且B ∩C ＝，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b 得k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0， ∵ A ∩C ＝，∴ k ≠0，Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1，①∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0，∵ B ∩C ＝，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②由①②及b ∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1＜0，k 2－2k －3＜0， ∴ k ＝1，故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A ∪B)∩C ＝．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.变式训练 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}，若A ∩B ＝，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1,1)，所以k ＝2或k ＝－3.例3 【答案】 A 解析：由于T ∪V ＝Z ，故整数1一定在T ，V 两个集合中的一个中，不妨设1∈T ，则，b ∈T ，由于a ，b,1∈T ，则a·b·1∈T ，即ab ∈T ，从而T 对乘法封闭；另一方面，当T ＝{非负整数}，V ＝{负整数}时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对；当T ＝{奇数}，V ＝{偶数}时，T ，V 显然关于乘法都是封闭的，故B ，C 不对． 从而本题就选A.例4 证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0, ∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b. (2) 必要性，∵ ∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1， 显然x ＝0时成立，对x ∈(0,1]时a ≥bx －1x 且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ，∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b(x －a 2b )2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．变式训练 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解： 使命题甲成立的条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3. ∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：① m∈A∩B，② m∈A∩B.若为①，则有：A∩B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有：B∩A＝{m|1<m<3}∩{m|m≤2}＝{m|1<m≤2}；综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．高考回顾1. {－1,2}2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数3. 4解析：A＝(0,4]，∴ a＞4, ∴ c＝4.4. 8解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.5. 3或4解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合．6. 3解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
集合、函数与导数、不等式
函数的定义与性质
包括函数的定义、函数的表示法（解析法、列表 法、图像法）、函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性、有界性）等。
不等式的性质与解法
包括不等式的性质（传递性、可加性、可乘性、 正数可乘性等）、不等式的解法（一元一次不等 式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等 式等）。
易错难点剖析
集合运算中的错误
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念与运算
包括集合的定义、表示法、元素与集合的关系、 集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的 运算（并集、交集、补集）等。
导数的定义与计算
包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算 （基本导数公式、导数的四则运算、复合函数求 导、隐函数求导、参数方程求导等）。
导数在经济学中 的应用
导数在经济学中有广泛 应用，如边际分析、弹 性分析等。通过导数可 以研究经济变量之间的 变化关系，为经济决策 提供数学支持。
不等式在优化问 题中的应用
不等式在优化问题中有 重要作用，如约束条件 中的不等式可以限制变 量的取值范围。同时， 不等式也可以用于刻画 目标函数的性质，如凸 函数和凹函数的定义就 与不等式密切相关。
反函数与复合函数
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域 为$R_f$。如果存在一个函数$g:R_f rightarrow D_f$，使得对于任意的$x in D_f, y in R_f$，都有$g(y)=x Leftrightarrow y=f(x)$，则称函数$g(y)$ 为函数$f(x)$的反函数，记作$g=f^{-1}$。
如忽视空集的情况，对并集和 交集的理解不清等。
函数性质理解不透彻
如对函数单调性的判断不准确 ，对函数奇偶性的判断方法掌 握不牢等。
2024年中考数学真题汇编专题10 不等式(组)及其应用+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题10 不等式（组）及其应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式516x −<成立的x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·湖北·中考真题）不等式12x +≥的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．3．（2024·广东广州·中考真题）若a b <，则（ ） A ．33a b +>+B ．22a b −>−C ．a b −<−D ．22a b <4．（2024·四川乐山·中考真题）不等式20x −<的解集是（ ） A ．2x <B ．2x >C ．<2x −D ．2x >−5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2024·四川南充·中考真题）若关于x 的不等式组2151x x m −<⎧⎨<+⎩的解集为3x <，则m 的取值范围是（ ）A ．m>2B ．2m ≥C ．2m <D ．2m ≤7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若21m −，m ，4m −这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <B ．1m <C ．12m <<D ．513m <<8．（2024·上海·中考真题）如果x y >，那么下列正确的是（ ） A ．55x y +<+B ．55x y −<−C ．55x y >D ．55x y −>−9．（2024·四川内江·中考真题）不等式34x x ≥−的解集是（ ） A ．2x ≥−B ．2x ≤−C ．2x >−D ．2x <−10．（2024·山东烟台·中考真题）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．3b c +>B ．0a c −<C ．a c >D ．22a b −<−11．（2024·江苏苏州·中考真题）若1a b >−，则下列结论一定正确的是（ ）A ．1a b +<B ．1a b −<C ．a b >D ．1a b +>12．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩的解集是（ ）A ．1x >B ．4x ≤C ．1x >或4x ≤D ．14x <≤13．（2024·贵州·中考真题）不等式1x <的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与1x −>组成的不等式组无解的是（ ）A ．2x >B ．0x <C ．<2x −D ．3x >−15．（2024·陕西·中考真题）不等式()216x −≥的解集是（ ）A ．2x ≤B ．2x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥16．（2024·浙江·中考真题）不等式组()211326x x −≥⎧⎨−>−⎩的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ； ②1班学生的最低身高小于150cm ；③2班学生的最高身高大于或等于170cm ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③18．（2024·安徽·中考真题）已知实数a ，b 满足10a b −+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A ．102a −<< B ．112b << C ．2241a b −<+< D ．1420a b −<+<二、填空题19．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组21215x x +≥⎧⎨−<⎩的一个整数解 ．20．（2024·广西·中考真题）不等式7551x x +<+的解集为 ．21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是 ．22．（2024·吉林·中考真题）不等式组2030x x −>⎧⎨−<⎩的解集为 ．23．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有 个绿球．24．（2024·福建·21x −<的解集是 ．25．（2024·广东·中考真题）关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．26．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m 为“极数”，且33m是完全平方数，则m = ； 27．（2024·山东烟台·中考真题）关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）． 三、解答题28．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式113xx +≥−的正整数解． 29．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式3479x −<−≤的整数解．30．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式112x x −<+，并把解集在数轴上表示出来． 31．（2024·甘肃·中考真题）解不等式组：()223122x x x x ⎧−<+⎪⎨+<⎪⎩ 32．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：12132x x+−−≤，把它的解集表示在数轴上．33．（2024·天津·中考真题）解不等式组213317x x x +≤⎧⎨−≥−⎩①② 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．34．（2024·北京·中考真题）解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧−<+⎪⎨−<⎪⎩35．（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解．36．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．38．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组260412xxx−≤⎧⎪⎨−<⎪⎩，并求出它的所有整数解的和．39．（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离()AB a b a b=−≥．特别的，当0a≥时，表示数a的点与原点的距离等于0a−．当a<0时，表示数a的点与原点的距离等于0a−．应用如图，在数轴上，动点A从表示3−的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A，B40．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？41．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？2024年中考数学真题汇编专题10 不等式（组）及其应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式516x −<成立的x 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．（2024·湖北·中考真题）不等式12x +≥的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集．根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：12x +≥，1x ∴≥．∴在数轴上表示如图所示：故选：A ．3．（2024·广东广州·中考真题）若a b <，则（ ） A ．33a b +>+ B ．22a b −>− C ．a b −<− D ．22a b <【答案】D【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】解：A ．∵a b <，∴33a b +<+，则此项错误，不符题意； B ．∵a b <，∴22a b −<−，则此项错误，不符题意； C ．∵a b <，∴a b −>−，则此项错误，不符合题意； D ．∵a b <，∴22a b <，则此项正确，符合题意； 故选：D ．4．（2024·四川乐山·中考真题）不等式20x −<的解集是（ ） A ．2x < B ．2x > C ．<2x − D ．2x >−【答案】A【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 移项可得一元一次不等式的解集． 【详解】解：20x −<， 解得，2x <， 故选：A ．5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：()322211x x x x −<⎧⎪⎨+≥−⎪⎩①② 解不等式①得，2x <， 解不等式②得，3x ≥−，所以，不等式组的解集为：32x −≤<，在数轴上表示为：故选：C ．6．（2024·四川南充·中考真题）若关于x 的不等式组2151x x m −<⎧⎨<+⎩的解集为3x <，则m 的取值范围是（ ）A ．m>2B ．2m ≥C ．2m <D ．2m ≤【答案】B【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．【详解】解：解2151x x m −<⎧⎨<+⎩，得：31x x m <⎧⎨<+⎩，∵不等式组的解集为：3x <， ∴13m +≥， ∴2m ≥； 故选B ．7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若21m −，m ，4m −这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m 的取值范围是（ ） A ．2m < B ．1m < C ．12m <<D ．513m <<【答案】B【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：214m m m −<<−， 解得：1m <； 故选B ．8．（2024·上海·中考真题）如果x y >，那么下列正确的是（ ） A ．55x y +<+ B ．55x y −<− C ．55x y > D ．55x y −>−【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B ．两边都加上5−，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C ．9．（2024·四川内江·中考真题）不等式34x x ≥−的解集是（ ） A ．2x ≥− B ．2x ≤− C ．2x >− D ．2x <−【答案】A【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，34x x −≥−， 合并同类项得，24x ≥−， 系数化为1得，2x ≥−， 故选：A ．10．（2024·山东烟台·中考真题）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．3b c +>B ．0a c −<C ．a c >D ．22a b −<−11．（2024·江苏苏州·中考真题）若1a b >−，则下列结论一定正确的是（ ）A ．1a b +<B ．1a b −<C ．a b >D ．1a b +>【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：1a b >−，A 、1a b +>，故错误，该选项不合题意；B 、12a b −>−，故错误，该选项不合题意；C 、无法得出a b >，故错误，该选项不合题意；D 、1a b +>，故正确，该选项符合题意； 故选：D ．12．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩的解集是（ ）A ．1x >B ．4x ≤C ．1x >或4x ≤D ．14x <≤【答案】D【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：212321x x x x +>+⎧⎨+≥−⎩①②，解不等式①，得1x >， 解不等式②，得4x ≤， 故不等式组的解集为14x <≤． 故选：D ．13．（2024·贵州·中考真题）不等式1x <的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 【详解】不等式1x <的解集在数轴上的表示如下：．故选：C ．14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与1x −>组成的不等式组无解的是（ ）A ．2x >B ．0x <C ．<2x −D ．3x >−【答案】A【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意1x −>，可得1x <−， A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <−，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x −，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x −<<−，不符合题意； 故选：A15．（2024·陕西·中考真题）不等式()216x −≥的解集是（ ）A ．2x ≤B ．2x ≥C ．4x ≤D ．4x ≥16．（2024·浙江·中考真题）不等式组()211326x x −≥⎧⎨−>−⎩的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键．【详解】解：()211326x x −≥⎧⎪⎨−>−⎪⎩①②，解不等式①，得：1x ≥， 解不等式②，得：4x <， ∴不等式组的解集为14x ≤<． 在数轴上表示如下： ．故选：A ．17．（2024·山东·中考真题）根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm ； ②1班学生的最低身高小于150cm ； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为cm x ，最低身高为cm y ，2班同学的最高身高为cm a ，最低身高为cm b ，根据1班班长的对话，得180x ≤，350x a +=，然后利用不等式性质可求出170a ≥，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得140b >，290y b +=，然后利用不等式性质可求出150y <，即可判断②．【详解】解：设1班同学的最高身高为cm x ，最低身高为cm y ，2班同学的最高身高为cm a ，最低身高为cm b ， 根据1班班长的对话，得180x ≤，350x a +=， ∴350x a =− ∴350180a −≤， 解得170a ≥， 故①错误，③正确；根据2班班长的对话，得140b >，290y b +=，∴290b y =−， ∴290140y −>， ∴150y <， 故②正确， 故选：C ．18．（2024·安徽·中考真题）已知实数a ，b 满足10a b −+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A ．102a −<< B ．112b << C ．2241a b −<+< D ．1420a b −<+<二、填空题19．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组21215x x +≥⎧⎨−<⎩的一个整数解 ．【答案】1−（答案不唯一）【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为13x −≤<，然后即可得出整数解．【详解】解：21215x x +≥⎧⎨−<⎩①②，由①得：1x ≥−， 由②得：3x <，∴不等式组的解集为：13x −≤<， ∴不等式组的一个整数解为：1−； 故答案为：1−（答案不唯一）.20．（2024·广西·中考真题）不等式7551x x +<+的解集为 ． 【答案】<2x −【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：移项得，7515x x −<−， 合并同类项得，24x <−， 系数化为1得，<2x −， 故答案为：<2x −．21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是 ．不等式组22．（2024·吉林·中考真题）不等式组230x x −>⎧⎨−<⎩的解集为 ．23．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有 个绿球．∴0x >，且x 为正整数， ∴x 的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3．24．（2024·福建·中考真题）不等式321x −<的解集是 ． 【答案】1x <【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解． 【详解】解：321x −<，33x <， 1x <，故答案为：1x <．25．（2024·广东·中考真题）关于x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．【答案】3x ≥/3x ≤【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为3x ≥，2x >， ∴不等式组的解集为3x ≥， 故答案为：3x ≥．26．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m 为“极数”，且33m是完全平方数，则m = ；27．（2024·山东烟台·中考真题）关于x 的不等式12xm x −≤−有正数解，m 的值可以是 （写出一个即可）．三、解答题28．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式113xx +≥−的正整数解．【答案】1，2．【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，()131x x +≥−， 去括号得，133x x +≥−， 移项得，331x x −≥−−， 合并同类项得，24x −≥−， 系数化为1得，2x ≤， ∴不等式的正整数解为1，2．29．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式3479x −<−≤的整数解． 【答案】2,3,4【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．先将3479x −<−≤变形为347479x x −<−⎧⎨−≤⎩，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可．【详解】解：由题意得347479x x −<−⎧⎨−≤⎩①②，解①得：1x >， 解②得：4x ≤，∴该不等式组的解集为：14x <≤， ∴整数解为：2,3,430．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式112x x −<+，并把解集在数轴上表示出来．这个不等式的解集在数轴上表示如下：31．（2024·甘肃·中考真题）解不等式组：()223122x x x x ⎧−<+⎪⎨+<⎪⎩ 32．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：12132x x+−−≤，把它的解集表示在数轴上．33．（2024·天津·中考真题）解不等式组213317x x x +≤⎧⎨−≥−⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1)1x ≤ (2)3x ≥− (3)见解析 (4)31x −≤≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得1x ≤，故答案为：1x ≤；（2）解：解不等式②得3x ≥−， 故答案为：3x ≥−；（3）解：在数轴上表示如下：（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为31x −≤≤， 故答案为：31x −≤≤．34．（2024·北京·中考真题）解不等式组：()3142,92.5x x x x ⎧−<+⎪⎨−<⎪⎩ 【答案】17x −<<【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．35．（2024·湖北武汉·中考真题）求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解． 【答案】整数解为：1,0,1−【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．【详解】解：3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②解不等式①得：2x >−解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x −<≤，∴整数解为：1,0,1−36．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽84cm ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm ，每本语文书厚1.2cm ．(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本．(2)数学书最多还可以摆90本【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．（1）首先设这层书架上数学书有x 本，则语文书有(90)x −本，根据题意可得等量关系：x 本数学书的厚度(90)x +−本语文书的厚度84=，根据等量关系列出方程求解即可；（2）设数学书还可以摆m 本，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设书架上数学书有x 本，由题意得：0.8 1.2(90)84x x +−=，解得：60x =，9030x −=．∴书架上有数学书60本，语文书30本．（2）设数学书还可以摆m 本，根据题意得：1.2100.884m ⨯+≤，解得：90m ≤，∴数学书最多还可以摆90本．37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a （a 为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元(2)有3种方案，详见解析(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x 元和y 元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m 箱，则购进特级干品猴头菇()80m −箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；元和38．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组260412x x x −≤⎧⎪⎨−<⎪⎩，并求出它的所有整数解的和．39．（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．数轴上表示数a ，b 的点A ，B 之间的距离()AB a b a b =−≥．特别的，当0a ≥时，表示数a 的点与原点的距离等于0a −．当a<0时，表示数a 的点与原点的距离等于0a −．应用如图，在数轴上，动点A 从表示3−的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B 从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A ，B 之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A ，B 到原点距离之和的最小值．【答案】(1)过4秒或6秒(2)3【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：（1）设经过x 秒，则A 表示的数为3x −+，B 表示的数为122x −，根据“点A ，B 之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；≤40．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】(1)50元、30元(2)400棵【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得5030x y =⎧⎨=⎩， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；（2）解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a −棵，根据题意，得()5030100038000a a +−≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．41．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生(2)至少种植甲作物5亩【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x 、y 名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；（2）设种植甲作物a 亩，则种植乙作物()10a −亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x 、y 名学生，根据题意，得32272222x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得56x y =⎧⎨=⎩， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；（2）解：设种植甲作物a 亩，则种植乙作物()10a −亩，。
集合不等式知识点总结
集合不等式知识点总结一、集合知识点总结（一）集合的基本概念1. 定义- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
- 例如：集合A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
2. 集合中元素的特性- 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
例如，“所有的好人”不能构成集合，因为“好人”的标准不明确；而“所有小于5的自然数”能构成集合{0,1,2,3,4}。
- 互异性：集合中的元素是互不相同的。
例如，集合{1,2,2,3}不符合集合的定义，应写成{1,2,3}。
- 无序性：集合中的元素没有顺序之分。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}表示同一个集合。
3. 集合的表示方法- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，A={a,b,c}。
- 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
一般形式为{x|p(x)}，其中x是集合中的代表元素，p(x)是元素x所满足的条件。
例如，{x|x > 0且x∈ R}表示所有大于0的实数组成的集合。
- 图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合。
例如，用一个圆表示集合A，圆内的点表示集合A的元素。
（二）集合间的基本关系1. 子集- 定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊂eq B（或B⊃eq A）。
- 例如：集合A = {1,2}，集合B={1,2,3}，则A⊂eq B。
- 性质：- 任何一个集合是它本身的子集，即A⊂eq A。
- 空集varnothing是任何集合的子集，即varnothing⊂eq A。
2. 真子集- 定义：如果A⊂eq B，且存在元素x∈ B，但x∉ A，那么集合A称为集合B 的真子集，记作A⊂neqq B（或B⊃neqq A）。
- 例如：集合A = {1,2}，集合B={1,2,3}，则A⊂neqq B。
不等式,函数与导数的解题方法,分类整理
【考向预测】函数是整个高中数学的主线，导数是研究函数性质的重要工具，函数的单调性是函数最重要的性质之一，它与不等式的联系非常密切．本部分考查的内容主要有：函数的概念和性质，基本初等函数的图象、性质、应用，导数的概念和应用，不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式．考查学生的抽象思维能力、推理论证能力，运算求解能力及数学应用意识．从高考卷来看，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．预测20XX 年四川高考关于不等式、函数与导数，仍会以考查函数的图象与性质，利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数．综合题主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数取值范围；(2)不等式、函数与导数综合问题． 【问题引领】1．函数y ＝ax ＋3－2(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )．A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28 【解析】函数y ＝ax ＋3－2(a ＞0，且a ≠1)恒过定点(－3，－1)，又因为点A 在直线x m ＋y n＝－1上，所以3m ＋1n＝1，所以3m ＋n ＝(3m ＋n )(3m ＋1n )＝10＋3m n＋3nm≥10＋23m n ·3nm＝16，所以3m ＋n 的最小值为16.【答案】B2．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )．A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【解析】由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k的区域BCO 如图所示，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 点时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6，3)，代入z ＝x ＋y 得最小值为z ＝－6＋3＝－3.【答案】A3．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，且a ≠1)在区间(－12，0)内单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．[14，1)B ．[34，1)C ．[94，＋∞)D ．(－94，1)【解析】设φ(x )＝x 3－ax ，当a ∈(0，1)时，依题意有φ(x )＝x 3－ax 在区间(－12，0)内单调递减且φ(x )＝x3－ax 在(－12，0)上大于0.∵φ′(x )＝3x 2－a 即φ′(x )≤0在(－12，0)恒成立⇔a ≥3x 2在(－12，0)上恒成立．∵x ∈(－12，0)，∴3x 2∈(0，34)，∴a ≥34，此时φ(x )>0，∴34≤a <1.当a >1时，φ(x )在区间(－12，0)内单调递增，∴φ′(x )＝3x 2－a 在(－12，0)上大于0.∴a ≤3x 2在(－12，0)上恒成立．又∵3x 2∈(0，34)，∴a ≤0与a >1矛盾．综上，a 的取值范围是[34，1)．【答案】B4．过点P (2，－2)且与曲线y ＝3x －x 3相切的直线方程是________．【解析】设点(a ，b )是曲线上的任意一点，则有b ＝3a －a 3.导数y ′＝3－3x 2，则切线的斜率k ＝3－3a 2，所以切线方程为y －b ＝(3－3a 2)(x －a )，即y ＝(3－3a 2)x －a (3－3a 2)＋b ＝(3－3a 2)x ＋3a 3－3a ＋3a －a 3，整理得y ＝(3－3a 2)x ＋2a 3，将点P (2，－2)代入得－2＝2(3－3a 2)＋2a 3＝2a 3－6a 2＋6，即a 3－3a 2＋4＝0，即a 3＋1－3a 2＋3＝(a3＋1)－3(a 2－1)＝0，整理得(a ＋1)(a －2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－1，代入切线方程得y ＝－9x ＋16或y ＝－2.【答案】y ＝－9x ＋16或y ＝－2 5．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为________．【解析】原题转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上有几个交点问题．可知函数f (x )为偶函数，故f (x )＝f (2－x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )是周期为2的函数．当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，且函数值为非负，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知两图象有6个交点．【答案】66．设函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x＋2ax .(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)当a ≠0时，求f (x )的单调区间．【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ，∴f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2.由f ′(x )＝0，得x ＝12.f (x )，f ′(x )随x 变化如下表：由上表可知，f (x )极小值＝f (12)＝2－2ln 2，没有极大值．(2)由题意，f ′(x )＝2ax 2＋（2－a ）x －1x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1a ，x 2＝12. 若a ＞0，由f ′(x )≤0，得x ∈(0，12]；由f ′(x )≥0，得x ∈[12，＋∞)．若a ＜0, ①当a ＜－2时，－1a ＜12，x ∈(0，－1a ]或x ∈[12，＋∞)，f ′(x )≤0；x ∈[－1a ，12]，f ′(x )≥0.②当a ＝－2时，f ′(x )≤0.③当－2＜a ＜0时，－1a ＞12，x ∈(0，12]或x ∈[－1a ，＋∞)，f ′(x )≤0；x ∈[12，－1a]，f ′(x )≥0.综上，当a ＞0时，函数的单调递减区间为(0，12]，单调递增区间为[12，＋∞);当a ＜－2时，函数的单调递减区间为(0，－1a ]，[12，＋∞)，单调递增区间为[－1a ，12];当a ＝－2时，函数的单调递减区间是(0，＋∞)；当－2＜a ＜0时，函数的单调递减区间为(0，12]，[－1a ，＋∞)，单调递增区间为[12，－1a ].【诊断参考】1．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．2．线性规划的逆向问题，解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值，从而建立不等关系求参数m 的范围．解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识，导致无从下手．3．已知函数的单调性求参数的取值范围，首先要考虑定义域，即定义域优先的原则．其次要注意复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为忽略函数的定义域，或仅考虑复合函数的内层函数的单调性．4．利用导数的几何意义求曲线的切线是导数的重要应用之一，求曲线切线方程需注意以下几点：①确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；②基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；③熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．5．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．在这类题目中，往往需借助函数的奇偶性或周期性来实现区间的转换．对于判断函数零点的问题要注意特殊点，如第5题中要注意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视；同时要正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题．6．含参数的导数问题是历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在他们不知何时开始讨论、怎样去讨论．一般地，含参数的导数问题有三个基本讨论点：(1)求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论．(2)求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，从而引起讨论．(3)求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论．【知识整合】一、不等式的性质不等式共有六条性质两条推论，要注意： 1．可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c .推论：同向不等式可加，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . 2．可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . 推论：同向(正)可乘，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . 二、不等式的解法1．一元二次不等式的解法：求不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集，先求ax 2＋bx ＋c ＝0的根，再根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象写出解集．2．分式不等式：先将右边化为零，左边通分，转化为整式不等式求解．3．一元三次不等式，用“穿针引线法”求解(穿根时要注意“奇穿偶不穿”)． 三、线性规则1．解答线性规则的应用问题，其一般步骤如下： (1)设：设出所求的未知数；(2)列：列出约束条件及目标函数； (3)画：画出可行域；(4)移：将目标函数转化为直线方程，平移直线，通过截距的最值找到目标函数的最值； (5)解：将直线的交点转化为方程组的解，找到最优解． 2．求解整点最优解有两种方法：(1)平移求解法：先打网格，描整点，平移目标函数所在的直线l ，最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解；(2)调整优值法：先求非整优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解． 四、基本不等式1．a ，b 都为正数，a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．使用基本不等式时要注意“一正，二定，三相等”． 五、不等式常用结论1．不等式恒成立问题的转化方向：(1)分离参数，向最值转化；(2)向函数图象或Δ转化．2．已知x >0，y >0，则有：(1)若乘积xy 为定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ；(2)若和x ＋y 为定值s ，则当x ＝y 时，乘积xy 有最大值14s 2.六、函数的概念及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系． 常用的函数表示法：解析法、列表法、图象法． 七、函数的性质1．函数解析式的常用求法：(1)待定系数法；(2)代换(配凑)法；(3)构造方程(组)法．2．函数定义域的常用求法：(1)根据解析式的要求：偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等；(2)实际问题中要考虑变量的实际含义．3．函数值域(最值)的常用求法：(1)配方法(常用于二次函数)；(2)换元法；(3)有界性法；(4)单调性法；(5)数形结合法；(6)判别式法；(7)不等式法；(8)导数法．4．函数的单调性：(1)定义法；(2)导数法；(3)复合函数法；(4)图象法．5．函数的奇偶性：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．6．函数的周期性：(1)f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，周期是T ；(2)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，周期是|b －a |；(3)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，周期是2a ；(4)若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0，且f (x )≠0)，周期是2a ；(5)f (x ＋a )＝1＋f （x ）1－f （x ）(a ≠0且f (x )≠1)，周期是4a .7．函数图象的画法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 八、指数函数和对数函数的图象与性质九、导数及其应用1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．2．设函数y ＝f (x )在某个区间可导，如果f ′(x )>0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )为减函数． 3．可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负极大值，左负右正极小值)．4．可导函数在闭区间内的最值：将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较，大的就是最大值，小的就是最小值．【考点聚焦】热点一：不等式的性质、解法和应用不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式是高考经常考查的内容，常见于选择题或填空题中，以容易题、中等难度题为主，主要考查利用不等式的性质比较大小，解一元二次不等式、分式不等式，利用基本不等式求最值，求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用，同时注意思维的严谨性．(1)(2013湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |(12)x≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩R B ＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记曲线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a的最小值为________．【分析】(1)分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法，求出集合A 、B .(2)将A ，B ，C ，D 四点的横坐标利用变量m 表示出来，根据a ，b 为曲线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度，将b a利用变量m 表示出来，然后利用基本不等式求出最值．【解析】(1)易知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，故R B ＝{x |x <2或x >4}，从而A ∩R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．故选C.(2)在同一坐标系中作出y ＝m ，y ＝82m ＋1(m >0)，y ＝|log 2x |图象如图所示，由|log 2x |＝m ，得x 1＝2－m ，x 2＝2m，|log 2x |＝82m ＋1，∵m ＋82m ＋1＝m ＋12＋4m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当m ＝32时，取“＝”号，∴(ba)min ＝8 2.【答案】(1)C (2)8 2【归纳拓展】(1)一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查．解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解．(2)基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．如本题中要能用拼凑法将m ＋82m ＋1(m >0)化成利用基本不等式求最值的形式． 变式训练1 (1)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )．A ．13B ．18C ．21D ．26(2)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172【解析】(1)设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上、对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则即解得5<a ≤8，又a ∈Z ，所以a＝6，7，8.则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.选C.(2)因为1＝a＋2b≥22ab⇒ab≤18，当且仅当a＝2b＝12时取等号．又因为a2＋4b2＋1ab≥2a·(2b)＋1ab＝4ab＋1ab.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋1t，又f(t)在(0，18]上单调递减，所以f(t)min＝f(18)＝172.此时a＝2b＝12.选D.【答案】(1)C (2)D热点二：线性规划线性规划常出现在选择题或填空题中，主要考查：已知约束条件，求目标函数的最值；已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参变量的取值范围．有时在解答题中考查以实际问题为背景求目标函数的最值．一般为中等难度题，解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想．定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x＋2)的图象关于点(－2，0)成中心对称，若s，t 满足不等式组错误!则当2≤s≤3时，2s＋t的取值范围是( )．A．[3，4] B．[3，9] C．[4，6] D．[4，9]【分析】要求2s＋t的取值范围，并且两个变量s，t不存在等量关系，需要利用线性规划求解．因此要根据函数的性质和题意挖掘出两个变量间的不等关系．【解析】因为y＝f(x＋2)的图象关于点(－2，0)成中心对称，所以函数f(x)关于原点对称．设z＝2s＋t，作出不等式组对应的区域．由z ＝2s ＋t 得s ＝－12t ＋z 2，平移直线s ＝－12t ＋z 2，由图象可知，当直线s ＝－12t ＋z2经过点C (0，2)时截距最小，此时z ＝2s ＋t ＝4；即E (3，3)，此时直线z ＝2s ＋t 的截距最大，为z ＝2s ＋t ＝2×3＋3＝9.所以4≤2s ＋t ≤9.所以选D.【答案】D【归纳拓展】本题命题角度新颖，不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，而是需要将所给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗．对于这类问题，要通过两个变量不存在确定关系，确定利用线性规划求解，然后通过题目条件寻找两个变量存在的所有不等关系，同时要注意深入挖掘题目条件．变式训练2 设x ，y 满足约束条件若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.14 D.16【解析】由z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)得y ＝－ab x ＋z b ，可知斜率为－a b＜0，作出可行域如图，由图象可知当直线y＝－a b x ＋z b 经过点D 时，直线y ＝－a b x ＋z b的截距最小，此时z 最小为2.即D (2，3)，代入直线ax ＋by ＝2，得2a ＋3b ＝2，又2＝2a ＋3b ≥26ab ，所以ab ≤16，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab 的最大值为16.选D.【答案】D热点三：函数的图象与性质函数的图象与性质作为高中数学的一个“重头戏”，常考常新，主要从以下几个方面考查：单调性的确定与应用，应用单调性求最值(值域)、比较大小、求参数的取值范围等；奇偶性、周期性与函数的其他性质(如图象的对称性)的综合问题；求函数的最值或应用函数的最值问题；函数图象的判断，及利用函数图形研究函数性质．考题既有选择题、填空题，又有解答题，难度一般为中等偏上．(1)函数y ＝x3＋sin x 的图象大致是( )．(2)已知函数f (x )＝则f (x )的零点是________；f (x )的值域是________．(3)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2011)、f (2012)、f (2013)从大到小的顺序为________．【分析】(1)根据函数的奇偶性、单调性、正负性、零点，利用排除法，逐项排除．(2)根据f (x )为分段函数，分段求出函数的零点和值域，但是要注意f (x )的值域是两段的并集．(3)根据①②确定函数的周期，根据③确定函数在该区间的单调性，然后利用函数的周期性将f (2011)、f (2012)、f (2013)转化到同一个单调区间，得出大小关系．【解析】(1)函数y ＝f (x )＝x3＋sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B.当x →＋∞时，y ＞0，排除D.f ′(x )＝13＋cos x ，由f ′(x )＝13＋cos x ＝0，得cos x ＝－13，所以函数y ＝f (x )＝x3＋sin x 的极值有很多个，所以选C.(2)当0≤x ≤9时，由x 12＝0，得x ＝0；当－2≤x ＜0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0. 当0≤x ≤9时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤3；当－2≤x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，所以此时－14≤f (x )≤2.综上，－14≤f (x )≤3，即函数的值域为[－14，3]．(3)由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以周期是4，所以f (2011)＝f (3)，f (2012)＝f (0)，f (2013)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，所以f (2012)＝f (0)＝f (2)．由[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减．所以f (2013)＞f (2012)＞f (2011)．【答案】(1)C (2)－1和0 [－14，3] (3)f (2013)＞f (2012)＞f (2011)【归纳拓展】(1)函数图象的变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律——左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视．(2)求函数的值域要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域；对各种求函数值域的方法要熟悉，遇到求值域的问题，应注意选择最优解法；求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的约束作用；函数的值域常常化归为求函数的最值问题．(3)抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对一般和特殊关系的认识．一般要先确定函数在某一个周期内的特点，再通过函数的对称性、周期性确定函数在整个定义域上的特点，从而确定函数的性质．变式训练3 (1)设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )．(2)若函数f (x )＝是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(0，2)D ．[138，2)(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列四种说法：①f (3)＝1；②函数f (x )在[－6，－2]上是增函数；③函数f (x )关于直线x ＝4对称；④若m ∈(0，1)，则关于x 的方程f (x )－m ＝0在[－8，8]上所有根之和为－8.其中正确的序号有________．【解析】(1)由图象可知0＜a ＜b .y ＝f (x )＝(x －a )2(x －b )，则f (0)＝－a 2b ＜0，排除A ，C.当a ＜x ＜b 时，f (x )＝(x －a )2(x －b )＜0，排除D ，选B.(3)由f (x －4)＝－f (x )得f (x －8)＝f (x )，所以函数的周期是8.又函数为奇函数，所以由f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数关于x ＝－2对称．同时f (x －4)＝－f (x )＝－f (4－x )，即f (x )＝f (4－x )，函数也关于x ＝2对称，所以③不正确．又x ∈[0，2]，函数f (x )＝log 2(x ＋1)单调递增，所以当x ∈[－2，2]时函数递增，又函数关于直线x ＝－2对称，所以函数在[－6，－2]上是减函数，所以②不正确．f (－3)＝－f (1)＝－log 22＝－1，所以f (3)＝1，故①正确．若m ∈(0，1)，则关于x 的方程f (x )－m ＝0在[－8，8]上有4个根，其中两个根关于x ＝2对称，另外两个关于x ＝－6对称，所以关于x ＝2对称的两根之和为2×2＝4，关于x ＝－6对称的两根之和为－6×2＝－12，所以所有根之和为－12＋4＝－8，所以④正确．所以正确的序号为①④.【答案】(1)B (2)B (3)①④ 热点四：函数与方程函数与方程在高考中多以选择、填空题的形式出现，难度为中、低，主要考查函数图象的交点、方程根的讨论等，其中利用函数图象判断方程解的个数是高考命题的重点，在解题中要注意数形结合思想的应用．设函数f (x )＝则方程f (x )＝x 2＋1的实数解的个数为________．【分析】根据f (x )为分段函数，因此分段判断．对方程化简后，可将问题转化为两个熟悉的函数图象，通过图象交点的个数，判断解的个数．【解析】当x ≥0时，由f (x )＝x 2＋1得，x ·2x ＝x 2＋1，即2x ＝x ＋1x ，在坐标系中，作出函数y ＝2x，y ＝x ＋1x的图象，由图象可知，当x ≥0时，有一个交点；当x ＜0时，由f (x )＝x 2＋1得，－2sin 2x ＝x 2＋1，作出y ＝－2sin 2x ，y ＝x 2＋1的图象，由图象可知当x ＜0时，两个函数有2个交点．所以总共有3个交点，即方程f (x )＝x 2＋1的实数解的个数为3.【答案】3【归纳拓展】函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数的解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数的零点或根的个数求解参数的取值范围．解决这些问题主要用数形结合法．变式训练4 函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】由f (x )＝0，得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数的零点个数为3.【答案】3热点五：用导数研究函数的性质从近几年的高考来看，用导数研究函数的性质主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题．一般是解答题，难度中等偏难．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．已知函数f (x )＝b －axx 2＋1. (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值2，求a ，b 的值；(2)当2b ＝a 2－1时，讨论函数f (x )的单调性．【分析】(1)根据函数f (x )在x ＝1处取得极值2，得出该点导数为0且函数值为2，构造a 与b 的方程；(2)求出函数f (x )导数，根据2b ＝a 2－1，将f ′(x )转化为只有参数a ，然后对a 进行讨论，判断函数f (x )的单调性．【解析】(1)f ′(x )＝－a （x 2＋1）－2x （b －ax ）（x 2＋1）2＝ax 2－2bx －a（x 2＋1）2(x ∈R )，依题意有，f ′(1)＝a －2b －a （12＋1）2＝0，f (1)＝b －a12＋1＝2，解得b ＝0，a ＝－4. 经检验，a ＝－4，b ＝0符合题意，所以a ＝－4，b ＝0.(2)当2b ＝a 2－1时，f ′(x )＝ax 2－（a 2－1）x －a （x 2＋1）2＝（ax ＋1）（x －a ）（x 2＋1）2. 当a ＝0时，f ′(x )＝x（x 2＋1）2，令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1a，x 2＝a ，若a >0，则有－1a<a ，当x ∈(－∞，－1a)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1a，a )时，f ′(x )<0，所以增区间为(－∞，－1a )，(a ，＋∞)，减区间为(－1a，a )．若a <0，则有－1a>a ，当x ∈(－∞，a )或x ∈(－1a ，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1a)时，f ′(x )>0，所以增区间为(a ，－1a )，减区间为(－∞，a )，(－1a，＋∞)．综上所述：当a ＝0时， f (x )的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)； 当a >0时， f (x )的增区间为(－∞，－1a )，(a ，＋∞)，减区间为(－1a，a )；当a <0时， 增区间为(a ，－1a )，减区间为(－∞，a )，(－1a，＋∞)．【归纳拓展】导数是研究函数单调性、极值、最值等性质的重要而有力的工具，其中单调性是函数最重要的性质之一，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．变式训练5 已知函数f (x )＝x －a ln x ＋b x在x ＝1处取得极值，且a ＞2. (1)求a 与b 满足的关系式； (2)求函数f (x )的单调区间.【解析】(1)f ′(x )＝1－a x －b x2，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)可得f ′(x )＝1－a x －1－a x 2＝x 2－ax －（1－a ）x 2＝（x －1）[x －（a －1）]x 2.令f ′(x )＝0，则x 1＝1，x 2＝a －1.因为a ＞2，所以a －1所以单调递增区间为(0，1)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(1，－1)．热点六：函数与方程、不等式的综合函数与方程、不等式的综合主要以导数为工具判断方程的解、证明不等式、解决不等式恒成立问题，一般是综合性比较强的解答题，难度比较大．在求解过程中要注意转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的运用．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【分析】(1)分段求导研究导函数的正负情况，注意定义域的影响；(2)根据切线互相垂直建立等式关系，再将x 2 －x 1转化为12[－(－2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]，利用基本不等式求出它的最小值；(3)根据两切线重合得到关于a 的恒成立问题，求出参数范围．【解析】(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2.因为x 1＜x 2＜0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是A. ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a . ②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1＜0.所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1.所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大．所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．【归纳拓展】导数是研究函数的重要手段，应该熟悉导数在研究函数的单调性、极值与最值中的基本应用，再在此基础上学会研究不等式恒成立、求参数的范围、不等式的证明的应用．变式训练6 设函数f (x )＝ln x －ax . (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝12，g (x )＝x (f (x )＋1)(x ＞1)，且g (x )在区间(k ，k ＋1)内存在极值，求整数k 的值．【解析】(1)由已知得x ＞0，f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增． 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得1－ax ＞0，∴0＜x ＜1a；由f ′(x )＜0，得1－ax ＜0，∴x ＞1a.∴f (x )在(0，1a )内单调递增，在(1a，＋∞)内单调递减.(2)当a ＝12时， g (x )＝x (f (x )＋1)＝x (ln x －12x ＋1)＝x ln x ＋x －12x 2(x ＞1)，∴g ′(x )＝ln x －x ＋2(x ＞1)，令F (x )＝g ′(x )＝ln x －x ＋2(x ＞1)，则F ′(x )＝1x－1＜0，∴F (x )在(1，＋∞)内单调递减.∵F (1)＝1＞0，F (2)＝ln 2＞0，F (3)＝ln 3－3＋2＝ln 3－1＞0，F (4)＝ln 4－4＋2＝ln 4－2＜0， ∴F (x )即g ′(x )在(3，4)内有零点，即g (x )在(3，4)内存在极值． 又∵g (x )在(k ，k ＋1)上存在极值，且k ∈Z ，∴k ＝3.已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．【分析】(1)求出f ′(x )，判断函数f (x )的单调性，得出f (x )的最小值；(2)若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，则f (x 1)min <g (x 2)min ，构造两个最值关系，求出a 的取值范围．【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝（x －1）（x －a ）x2(a ∈R )， 当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当1<a <e 时，x ∈[1，a ]，f ′(x )≤0，f (x )为减函数，x ∈[a ，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (a )＝a－(a ＋1)ln a －1，当a ≥e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，f (x )为减函数，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae .综上，当a ≤1时，f (x )min ＝ 1－a ；当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2) 若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，即 f (x 1)min <g (x 2)min ， 当a <1时，由(1)可知，x 1∈[e ，e 2]，f (x )为增函数，所以f (x 1)min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae，g ′(x )＝x ＋e x －x e x －e x ＝x (1－e x )，当x 2∈[－2，0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x 2)min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－a e<1，a >e 2－2e e ＋1，故a ∈(e 2－2ee ＋1，1)．【归纳拓展】(1)对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般要转化为函数的最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．(2)在不等式与函数导数综合试题中，若遇到求参数的范围问题：①不等式恒成立(或解集为R )，用分离参数法：a >f (x )⇔a >f (x )max ；a <f (x )⇔a <f (x )min .②不等式有解(解集非空)或存在性命题，用分离参数法：a >f (x )⇔a >f (x )min ；a <f (x )⇔a <f (x )max . ③不等式解集为空集，用分离参数法：a >f (x )⇔a ≤f (x )min ；a <f (x )⇔a ≥f (x )max .(3)利用导数证明不等式，关键是根据题意构造函数，并研究函数的单调性、极值或端点值，将不等式的证明问题转化为函数的单调性问题或极值问题．其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．变式训练7 已知函数f (x )＝(x 2－x －1a)e ax (a >0).(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )＋5a≥0对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【解析】对函数f (x )求导，得f ′(x )＝e ax(ax ＋2)(x －1)，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝e x(x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，解得 x >1或x <－2；令f ′(x )<0，解得－2<x <1.。
高中数学专题复习一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、利用公式求导:1、常见函数求导：'1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e = '()ln (0)x x a a a a =⋅>'1(ln )x x='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 2．求导法则：[]'''()()()()()()f xg x fx g x f x g x ⋅=±， []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 二、利用导数几何意义(切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式） 曲线y=f(x)在点P(x 0 ，f （x 0))处的切线方程是: 0()()()y f x f x x x '-=-三、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数 2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负)1。
已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==,则=N M （ ）。
),1[+∞-.]2,1[-. ),2[+∞ 。
ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-。
2．命题“存在04,2<-+∈a ax xR x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件 ．既不充分也不必要条件选。
依题意,“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160aa ∆=+≤，解得016≤≤-a ,所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a "的充要条件. 3.设554a log4b log c log ===25，（3），，则（） ．b c a << 。
上海中职生数学考点
上海中职生数学考点专题一：集合考点1：集合的基本运算考点2：子集之间的关系专题二：函数考点3：函数及其则表示考点4：函数的基本性质考点5：一次函数与二次函数.考点6：指数与指数函数考点7：对数与对数函数考点8：幂函数考点9：函数的图像考点10：函数的值域与最值考点11：函数的应用领域专题三：立体几何初步考点12：空间几何体的结构、三视图和看著图考点13：空间几何体的表面积和体积考点14：点、线、面的边线关系考点15：直线、平面平行的性质与判定考点16：直线、平面横向的认定及其性质考点17：空间中的角考点18：空间向量专题四：直线与圆考点19：直线方程和两条直线的关系考点21：直线与圆、圆与圆的.边线关系专题五：算法初步与框图考点22：算法初步与框图专题六：三角函数考点23：任一角的三角函数、同三角函数和诱导公式考点24：三角函数的图像和性质考点25：三角函数的最值与综合运用考点26：三角恒等变换考点27：求解三角形专题七：平面向量考点28：平面向量的概念与运算考点29：向量的运用专题八：数列考点30：数列的概念及其表示考点31：等差数列考点32：等比数列考点33：数列的综合运用专题九：不等式考点34：左右关系与不等式考点35：不等式的解法考点36：线性规划考点37：不等式的综合运用专题十：计数原理考点38：排列与组合专题十一：概率与统计考点40：古典概型与几何概型考点41：概率考点42：统计数据与统计数据案例专题十二：常用逻辑用语考点43：直观逻辑考点44：充分条件与必要条件专题十三：圆锥曲线考点45：椭圆考点46：双曲线考点47：抛物线考点48：直线与圆锥曲线的边线关系考点49：圆锥曲线方程考点50：圆锥曲线的综合问题专题十四：导数及其应用考点51：导数与分数考点52：导数的应用专题十五：推理小说与证明考点53：合情推理与演绎推理考点54：直接证明与间接证明考点55：数学归纳法专题十六：数系的扩展与复数的导入考点56：数系的扩充与复数的引入专题十七：选考内容考点57：几何证明选讲考点58：坐标系与参数方程考点59：不等式选讲。
集合、函数与导数
专题集合、函数与导数一、考情分析函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,时而选择题,时而填空题,时而解答题.二、经验分享1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．3.解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点,易错点及解题规范.4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．5.掌握以下两个结论,会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义,则f (0)＝0.三、知识拓展1．对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x ),则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝()1f x ,则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－()1f x ,则T ＝2a (a >0)． (4)若()()()2f x a f x a f x +=+-,则T ＝6a (a >0)． (5)若f (x ＋a )＝()()11f x f x -+,则T ＝2a (a >0)．(6)若f (x ＋a )＝()()11f x f x +-,则T ＝4a (a >0)．2．函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(2)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(3)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期. 3.函数()1,0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数是一个奇特的函数,该函数是偶函数,是周期函数,但没有最小正周期,也无法作出其图象.4. 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若()f x 与()g x 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若()f x 与()g x 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数,简称同增异减.5. 对称性的一般结论①若()()f a x f b x +=-,则()f x 图像关于直线2a bx +=对称；②()y f a x=+与()y f b x=-的图像关于直线2b ax-=（即a x b x+=-）对称. 四、题型分析(一) 函数单调性的灵活应用【例1】如果对定义在R上的函数()f x,对任意两个不相等的实数12,x x,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x+>+,则称函数()f x为“H函数”.给出下列函数①e xy x=+;②2y x=;③3siny x x=-;④ln0()00x xf xx⎧≠⎪=⎨=⎪⎩. 以上函数是“H函数”的所有序号为.【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：11221221()()()()x f x x f x x f x x f x+>+,采用合并重组的方法进行处理,得()()()1212x x f x f x-->⎡⎤⎣⎦,由单调性定义的本质,可以看出“H函数”本质上就是个单调递增函数.当x<0时为减函数,当x>0为增函数,不符合,故选①③.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.【小试牛刀】【2018届常熟中学高三10月阶段性抽测】已知函数,若,则实数的取值范围为__________．【答案】(-2,1) 【解析】很明显函数满足,且：,据此可得函数是定义在上的单调递增的奇函数,据此,不等式即：,脱去符号有：,求解关于实数a 的不等式可得实数的取值范围为.(二) 函数奇偶性的灵活应用【例2】已知函数22(1)sin ()31x a xf x x ++=++（a R ∈）,2(ln(log 5))5f =,则5(ln(log 2))f =__________．【分析】先把()f x 分离常数,得()22sin 41x a xf x x +=++根据奇函数性质可得()()8f x f x +-=【答案】3【解析】()()41sin 231sin 1231sin 122222+++=+++++=++++=x xa x x x a x x x x a x x f , 令()()1sin 242++=-=x xa x x f x g ,则()x g 为奇函数,()()()()145log ln 5log ln 22=-=f g , ()()()()12log ln 5log 1ln 2log ln 525-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=g g g ,()()()()342log ln 2log ln 55=+=g f ,故选C.【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出()f x 是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高. 【小试牛刀】已知函数()211log e xf x x e e⎛⎫=+-⎪⎝⎭,则使得()()121f x f x +<-的x 的范围是__________． 【答案】()0,2【解析】由于()()f x f x -=,所以函数为偶函数,且在()0,+∞上为减函数.要()()121f x f x +<-,则需121x x +>-,解得()0,2x ∈.(三) 函数单调性与奇偶性的综合应用【例3】设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 ．【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式)(2)(x f t x f ≥+中,2()f x 的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：围.【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f = ∴当x ＜0,有-x ＞0,2)()(x x f -=-, ∴2)(x x f =-,即2)(x x f -=,∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ,∴)(x f 在R 上是单调递增函数,∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在[t,t+2]恒成立,【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,()20f =,若()10f x ->,则x 的取值集合是__________. 【答案】(- 1 , 3 ).(四) 函数性质的综合运用【例4】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,则下列式子一定成立的是 ①)()2(x f x f =- ②)6()2(+=-x f x f③1)2()2(=+⋅-x f x f ④0)1()(=++-x f x f【分析】由题中函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：()(4)f x f x =--,再由条件：函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,结合对称性的规律可得：(4)(4)f x f x -=+,最后由周期性的概念可转化为：()(4)(8)f x f x f x =-+=+,可见函数的周期为8,即可求解.【解析】因为(2)f x -为奇函数,所以(2)(2)f x f x -=-+,则()(4)f x f x =--．又因为(3)f x +关于直线1x =对称,所以()f x 关于4x =对称,所以(4)(4)f x f x -=+,则()(4)(8)f x f x f x =-+=+,于是8为函数()f x 的周期,所以(2)(6)f x f x -=+,故答案为②．【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点：)2(x f -为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.【小试牛刀】【2018届东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()2f x f x +=-,当()2,0x ∈-时,()xf x e =,则()()20172018f f +=__________．【答案】1e-在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.五、迁移运用1．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知定义在R 上的偶函数()f x ,当0x ≥时,()()2log 1f x x =+,则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围为__________． 【答案】113x -<<【解析】由题意()f x 为定义在R 上的偶函数,∴()()f f x x =, ∴()()21f x f x <-等价于()()f 2f 1x x <-又当0x ≥时,()()2log 1f x x =+,∴()f x 在)[0 ∞+，上单调递增,所以21x x <-,即()()2221x x <-,23210x x +-<,113x -<<故答案为：113x -<<2.【南师附中2017届高三模拟二】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数,当0x <时,()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________． 【答案】[)0,1【解析】当0x >时,则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+,即()()1f x x x -=+,所以()()1f x x x =-+,结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减,所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤,解之得01m ≤<,应填答案[)0,1.3．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数,若对任意实数都有,则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数,函数为奇函数且在上递减, 即,即,即,所以即恒成立,所以,所以,故实数的取值范围是．4．【泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知是定义在上的奇函数,当时,,不等式的解集用区间表示为__________．【答案】【解析】根据题意,是定义在上的奇函数,则有, 当时,为减函数,则当时,也为减函数,综合可得在上为减函数, 若,则有,解可得,即不等式的解集为.故答案为：. 5.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞,2)上是增函数,则实数m 的取值范围是________． 【答案】1,04⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当m ＝0时,f(x)＝x ＋2,符合；当m≠0时,必须0122m m<⎧⎪⎨≥⎪⎩，－，解得－14≤m<0.综上,实数m 的取值范围是－14≤m≤0. 6.【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()11212xf x =-+,则()()2110f a f a ++->的解为______________.【答案】()1,0-7．【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当01x <<时,()8xf x =,则193f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】－2 【解析】试题分析：由题意131911()()()82333f f f -=-=-=-=-．8.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()()2x af x x a -=+,若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,则满足条件的实数a 的取值范围是____________． 【答案】0a ≥【解析】由题意函数()f x 无最小值,22221()()()x a a a f x x a x a x a +-==-++++,令1t x a=+,则0t ≠,2()2f x y at t ==-+,0a =时,函数为y t =,符合题意,0a ≠时,20a -<,即0a >,综上有a 的取值范围是0a ≥．9．【南京市2017届高三年级学情调研】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且1()()()2xf xg x +=,若存在01[,1]2x ∈,使得等式00()(2)0af x g x +=成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】 【解析】试题分析：11()()()()()()()()222x xx f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+-=⇒-+=,所以11()2()222(),()22x x x xf xg x -+==,所以00000022200(2)22223,22]()222x x x x x x g x t a t t f x t t ---++=-===+=-∈-,所以min max 22t a t a ==== 即实数a的取值范围是. 10．【2016届江苏省泰州中学高三上学期第二次月考】已知函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数,函数2)(2a a e x g x+-=,当[]3ln ,0∈x 时,函数)(x g 的最大值M 与最小值m的差为23,则=a ． 【答案】25【解析】因为函数ax x x x f +-=ln )(在()e ,0上是增函数,所以0ln 1)('≥--=x a x f 在()e ,0上恒成立,即02≥-a ,即2≥a ；因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=+-=a x aa e a x a e a a a e x g x xxln ,2ln 0,22)(222,若3ln ln ≥a ,即3≥a 时,)(x g 在[]3ln ,0单调递减,则2)3(ln )0(=-=-g g m M （舍）,当3ln ln <a ,即32<≤a 时,函数)(x g 在[]a ln ,0上递减,在[]3ln ,ln a 上递增,且42)3(ln )0(≥-=-a g g ,所以23)(ln )0(=-=-a g g m M ,即2312)21(22=-=-+-a a a a ,解得25=a ；故填25．【方法点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值,属于难题.先利用“若函数)(x f 可导,则)(x f 在某区间上递增0)('≥⇔x f 在该区间恒成立”求得a 的取值范围；再利用绝对值的代数意义将)(x f 化为分段函数,再讨论a 与3的大小关系利用函数的单调性求最值,作差求解即可.11．函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ,恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ．当12x x ≠,恒有()()12120f x f x x x -<-．则称函数()f x 为“理想函数”,则下列三个函数中：（1）()1f x x =,（2）()2f x x =,（3）()22x x f x xx ⎧-≥=⎨<⎩．称为“理想函数”的有 （填序号）． 【答案】（3）12．已知函数f （x ）＝24,(1)34,(1)x ax x ax a x ⎧-+⎨-+->⎩≤,且f （x ）在R 上递减,则实数a 的取值范围 ．【答案】[]2,3 【解析】试题分析：由题意可得2120114134a a a a a ⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥-⨯+-⎪⎩23a ⇒≤≤．【思路点晴】分段函数在R 上具有单调性时,各段应先满足在各自范围内的单调性,再注意各自端点处函数的大小关系即可．13．已知函数()y f x =为奇函数,且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--,当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-,给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(,0)()k k Z ∈成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时,2()log (1)f x x =--；④函数(||)y f x =在(,1)()k k k Z +∈上单调递增． 其中所以正确结论的序号为 ． 【答案】【解析】试题分析：对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--,则函数()f x 关于点（1,0）对称,又因为函数()f x 为奇函数,所以图像关于原点（0,0）对称,所以函数()f x 的周期为2．结合图像特征知,其图象关于点(,0)()k k Z ∈成中心对称,故命题正确．当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-,所以由对称性可求出(1,2)x ∈时,)(log )(x x f y --=--=342,且此时函数值小于0．设(-1,0)x ∈,所以此时的解析式为)(log )]([log )()(x x x f x f y --=+--=+==123222,故命题正确．结合前面的分析可以知函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数,故命题正确．函数()f x 的在（-1,0）是单调递增的,且此时()0f x <,故(||)y f x =在（-1,0）上是单调递减的,故命题④错误．因此答案为【方法点睛】此题型也是高考的常考题型,其方法是从定性和定量两个方面分析．例如命题,求函数解析式,我们要定量研究,即具体而准确的从数上去推理运算,从而判断命题是否正确．对于本题中的周期性、对称性、单调性,我们不需准确的作图,或严格的理论证明,可以结合条件画出草图判断出结果即可．14．已知：定义在R 上的函数()f x ,对于任意实数a, b 都满足()()()f a b f a f b +=,且(1)0f ≠,当0,()1x f x >>时．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）证明()f x 在(),-∞+∞上是增函数； （Ⅲ）求不等式21()(24)f x x f x +<-的解集．【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ）详见解析 （Ⅲ）(4,1)- 【解析】试题分析：（Ⅰ）求(0)f 的值只需将已知关系式中1,0a b ==代入即可求解；（Ⅱ）抽象函数单调性的判定采用定义法；任取12x x <,借助于()()()f a b f a f b +=判定()()12,f x f x 的大小关系,当满足()()12f x f x <时函数为增函数；（Ⅲ）将不等式右侧1(24)f x -转化为(24)f x -+,借助于函数为增函数得到关于x 的不等式,解不等式即可得到解集试题解析：（Ⅰ）解：令1,0(1)(10)(1)(0)a b f f f f ===+=则(1)0(0)1f f ≠∴=Q（Ⅱ）证明：当0-x>0x <时由()()()(0)1,()0f x f x f x x f f x -=-==-> 得()0f x >()0x f x ∴>对于任意实数，设1221210()1x x x x f x x <->->则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->Q()(,)y f x ∴=-∞+∞函数在上是增函数。
集合、函数与导数知识点
第一篇 集合与简易逻辑 第1讲 集合及其运算1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系文字语言符号语言 集合间的 基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同 A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.第二篇函数与导数第1讲函数的概念及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N*f(x)≥01与[f(x)]0f(x)≠0f(x)log a f(x)f(x)＞0 四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法方法 示例 示例答案 配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 分离常数法y ＝x x ＋1y ∈(－∞，1)∪ (1，＋∞)第2讲 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．第4讲幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增增 增(－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数 (1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 n ＞1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数．②(na )n ＝a . 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．②负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)；③正分数指数幂：a nm ＝na m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)；④负分数指数幂：anm -＝anm 1＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x a ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数第6讲对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a Nlog a b ；④＝nm log a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n logaM(n∈R)；④log a nM＝1n log a M.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0(5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数第7讲函数的图象1．函数的图象及作法2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)．(3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换①y ＝f (x )――→纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )(a ＞0)②y ＝f (x )――→横坐标伸长(0＜a ＜1)或缩短(a ＞1)为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )(a ＞0) 第8讲 函数与方程1．函数的零点 (1)函数的零点的概念对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在闭区间[a ，b ]上连续；②f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．第9讲 函数模型及其应用1．函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 与指数函数相关模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0) 与对数函数相关模f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)型与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) (2)三种函数模型性质比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)＝x＋ax”型函数模型形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.第10讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )．第11讲 导数在研究函数中的应用1．函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数 极大值函数y ＝f (x )在点x 0处连续且f ′(x 0)＝0，若在点x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则x 0为函数的极大值点，f (x 0)叫函数的极大值 极小值函数y ＝f (x )在点x 0处连续且f ′(x 0)＝0，若在点x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则x 0为函数的极小值点，f (x 0)叫函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．第12讲 导数的综合应用1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．第13讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑,当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baS f x dx =⎰，即()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰(2)定积分的几何意义①当f (x )≥0时，定积分()ba f x dx ⎰表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，如图2所示，则定积分()ba f x dx ⎰表示介于x 轴．曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即()ba f x dx ⎰＝A 1＋A 3－A 2.2．定积分的性质 (1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()((2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰(3)()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么()ba f x dx ⎰＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．。
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定义域等同起来了.事实上，f(x2-3)=
lg
x2 x2
4则和定义域，造成错误的
原因是未弄清函数的概念.求函数定义域，首先应弄清函
数的特征或解析式，可避免出错.
正解 由 f(x2－3)＝lgx2x－2 4， 设 x2－3＝t，则 x2＝t＋3， 因此 f(t)＝lgtt＋ －31. ∵x2x－2 4>0，即 x2>4，
失分点 3 对命题的否定不当致误 例3 已知 M 是不等式aaxx＋ －1205≤0 的解集且 5∈M，
则 a 的取值范围是________．
错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点 5∈M，把 x＝5 代入不等式，原不等 式不成立， 有两种情况：①55aa＋ －1205>0；②5a－25＝0，答案中漏 掉了第②种情况．
.
正解 由 A∩B＝{9}，知 9∈A. ①当 2a－1＝9 时，a＝5，检验不符合要求，舍去； ②当 a2＝9 时，a＝3 或 a＝－3，检验 a＝3 不符合要求． 故 a＝－3.
变式训练 2 设集合 A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否
存在这样的实数 a，使得 A∪B＝{1，a，a2}与 A∩B
变式 2∈训M练，3则实已数知a集的合取M值＝范{x围|a是2x－＋_a_x32_－≤a_－_1a_≤1_2_12<_或0_}_，_a_≥若__2．
解析 若 2∈M，则2a2＋2a2－a－1 12<0， 即(2a－1)(a2＋a－6)<0， ∴(2a－1)(a－2)(a＋3)<0， ∴a<－3 或12<a<2， ∴当 2∈M 时，a 的取值范围为： －3≤a≤12或 a≥2. 故填：－3≤a≤12或 a≥2.
M 时的 a 的范围，再求其补集.
正解 方法一 ∵5∈M， ∴55aa＋－1205>0 或 5a－25＝0， ∴a<－2 或 a>5 或 a＝5， 故填 a≥5 或 a<－2. 方法二 若 5∈M，则55aa＋－1205≤0， ∴(a＋2)(a－5)≤0 且 a≠5， ∴－2≤a<5， ∴5∈M 时，a<－2 或 a≥5. 故填 a<－2 或 a≥5.
失分点 4 函数概念不清致误 例 4 已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 4，求 f(x)的定义域．
错解 由x2x－2 4>0， 得 x>2 或 x<－2. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x>2 或 x<－2}． 找准失分点 错把 lgx2x－2 4的定义域当成了 f(x)的定义域．
失分原因与防范措施 失分的原因是将 f(x2-3)与 f(x)的
失分原因与防范措施 本题失分率高达 56%，实质
上当 x=5 时，ax10 0 不成立，即是对命题 ax10 0
ax 25
ax 25
的否定.失分的原因就在于对命题的否定不当.对于
这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为 ax10 0
ax 25
或 ax-25=0.当然，就本题而言，也可以先求出 5∈
(2)当∅≠B A 时，B＝{0}或 B＝{－4}， 并且 Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得 a＝－1，此时 B＝{0}满足题意； (3)当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得 a<－1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 a≤－1 或 a＝1.
失分点 2 忽视集合的三特性致误 例 2 设集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，
＝{1，a}同时成立？若存在，求出实数 a；若不存在，
请说明理由．
解 假设这样的实数 a 存在，由 A∩B＝{1，a}，知 a2 ＝a， ∴a＝0 或 a＝1. 当 a＝0 时，A∪B 不可能为{1，a，a2}，故 a＝0 不合 题意； 当 a＝1 时，B＝{1，a2}中，a2＝1，与集合中元素的互 异性矛盾， 故 a＝1 也不合题意． 综上可知，满足题设条件的实数 a 不存在．
∴t＋3>4，即 t>1. ∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
变式训练 4 已知 g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2(x≠0)， 那么 f(2)的值为____3____．
解析 令 g(x)＝1－2x＝2，∴x＝－12， ∴f(2)＝f[g(－12)]＝1－1 14＝3.
4
失分点 5 忽视函数的定义域致误 例 5 已知 f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，求函数 y＝[f(x)]2
正解 ∵f(x)的定义域为[1,9]， ∴ 要 使 函 数 y ＝ [f(x)]2 ＋ f(x2) 有 意 义 ， 必 须 有
1≤x2≤9， 1≤x≤9.
∴1≤x≤3,0≤log3x≤1. 设 t＝log3x，则 t∈[0,1]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2 ＝(log3x)2＋4log3x＋4＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6 ＝t2＋6t＋6(0≤t≤1)． 对称轴为直线 t＝－3，在区间[0,1]的左侧． ∴函数在 t∈[0,1]上单调递增． 当 t＝1 时，ymax＝1＋6＋6＝13.
＋f(x2)的最大值． 错解 y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2， ∴y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵1≤x≤9， ∴0≤log3x<2， 故当 x＝9，即 log3x＝2 时，y 取最大值为 22.
找 准 失 分 点 忽 视 了 y ＝ [f(x)]2 ＋ f(x2) 的 定 义 域 ： {x|1≤x≤3}． 失分原因与防范措施 本题错误的原因在于没有注意 到函数 y=［f(x)］2+f(x2)的定义域的变化.误以为函数 y=［f(x)］2+f(x2)的定义域就是 f(x)的定义域.在解决 有关函数的问题时，首先应考虑函数的定义域，这是 一条基本原则.
若 A∩B＝{9}，则实数 a＝________.
错解 3 或－3
找准失分点 忽视了集合中元素的互异性．
失分原因与防范措施 在求出 a 的值后，没有验证集合
中的元素是否符合要求，是否具有集合元素的特征是导
致本题失分的根本原因.在解决集合中的含参数问题
时，一定要考虑全面，注意用元素的互异性检验所求的
参