第2章 语言与字符串

第2章 语言与字符串

这个理论中，我们要把问题交为更具体的问题，“给定字符串s 和语言L ，s 是否在

L 中？”进行形式化之前，要先定义几个术语。

字母表（alphabet ）记为∑，是个有限集。∑的成员称为符号（symbols ）或字符

（characters ）。 2.1 字符串

字符串（string ）是某个字母表∑中符号的有限序列。给定字母表∑，可以从∑构造的最

短字符串是空串，记为ε。字母表∑中的所有字符串集合记为∑*。这里采用Kleene 星号运算

符，定义如例2.1所示。

例2.1 字母表

字母表名称

字母表符号 例子字符串 英语字母表

{a, b, c, …, z} ε, aabbcg, aaaaa 二进制字母表

{0, 1} ε, 0, 001100 星号字母表

音乐字母表 {}

教材中直接数符号和字符串写成like this 。

2.1.1 字符串函数

字符串s 的长度（length ）记为|s |，是s 中的字符个数。例如：

|ε| = 0

|1001101| = 7

对任意符号c 和字符串s ，函数#c (s )定义为s 中符号c 出现的次数，例如#a (abbaaa)=4。

接合（concatenation ）字符串s 与t 写成s ||t 或st ，就是在s 后面添加t 。例如，如果x = good ，

y = bye ，则xy = goodbye 。因此|xy | = |x | + |y |。

空串ε在接合字符串时，字符串不变，因此∀x (x ε = εx = x )。

接合作为字符串函数是结合性的，因此∀s ，t ，w ((st )w = s (tw ))。

下面定义字符串复制（replication ）。对每个字符串w 和自然数i ，w i 定义为

w 0 = ε

w i +1 = w i w

在

8第2章语言与字符串

例如：

a3 = aaa

(bye)2 = byebye

a0b3 = bbb

最后，我们定义字符串的逆（reversal）。对每个字符串w，字符串的逆写成W R，定义为如果|w| = 0，则W R = w = ε。

如果|w|≥1，则∃a∈∑ (∃u∈∑* (w = ua))，（即w最后一个字符为a。）

然后定义W R=au R。

定理2.1 字符串的接合与逆

定理：如果w与x为字符串，则(wx)R=x R w R。

例如，(nametag)R = (tag)R(name)R = gateman。

证明：我们对|x|进行了归纳：

基本case:|x| = 0。则x=ε，(wx)R = (wε)R= (w)R = εw R=εR w R=x R w R。

证明：∀n≥0 (((|x| = n)→ ((wx)R= x R w R))→((|x| = n+1) →((wx)R = x R w R)))。

对任意字符串x，其中|x| = n+1，则x=ua，其中a为字符，|u|=n。因此：

(wx)R = (w(ua))R将x写成ua

= ((wu)a)R接合的结合律

= a(wu) R逆的定义

= a(u R w R) 归纳假设

=（au）R w R接合的结合律

=（ua）R w R逆的定义

=x R w R将ua写成x

2.1.2 字符串的关系

字符串s为t的子串（substring）的充分必要条件为s在t中连续出现。例如：

aaa是 aaabbbaaa的子串

aaaaaa不是 aaabbbaaa的子串

字符串s为t的正子串（proper substring）的充分必要条件为s是t的子串，且s≠t。每个字符串是自己的子串，但不是其正子串。空串ε是任何字符串的子串。

字符串s是t的前缀（prefix）的充分必要条件为∃x∈∑*(t = sx)。字符串s是t的正前缀（proper prefix）的充分必要条件为s是t的前缀，且s≠t。每个字符串是自己的前缀，但不是其正前缀。空串ε是任何字符串的前缀。例如，abba的前缀为ε，a，ab，abb，abba。

字符串s是t的后缀（suffix）的充分必要条件为∃x∈∑* (t = xs）。字符串s是t的正后缀（proper suffix）的充分必要条件为s是t的后缀，且s≠t。每个字符串是自己的后缀，但不是其正后缀。空串ε是任何字符串的后缀。例如，abba的后缀为ε，a，ab，abb，abba。

2.2 语言 9

2.2 语言

语言（language）是有限字母表∑上的（有限或无限）字符串集。介绍多种语言时，可以用∑L表示语言L的字符串采用哪个字母表。

例2.2给定字母表定义语言

设∑ = {a，b}. ∑* = {ε，a，b，aa，ab，ba，bb，aaa，aab，...}.

∑上的语言例子包括：

Ø，{ε}，{a，b}，{ε，a，aa，aaa，aaaa，aaaaa}，

{ε，a，aa，aaa，aaaa，aaaaa，...}

2.2.1 定义语言的方法

我们用各种方法定义语言。由于语言是集合，因此可以用任何时候集合定义方法定义。例如，可以指定特征函数，即对集合中每个元素为真而对其他元素为假的谓词。

例2.3所有a在所有b之前

设L={w{a

∈，b}*:，w中所有a在所有b之前}，则字符串ε，a，aa，aaa，aabbb和bb属于L，而aba，ba与abc不属于L。注意有些字符串平凡满足L成员的要求。规则没有要求其中有a或b，只是说所有a在所有b之前（如果有）。如果没有a或没有b，则不会违反这个规则，因此字符串ε，a，aa与bb平凡满足L成员的要求。

例2.4字符串以a结尾

∈，b}*(x =ya)}，则字符串a，aa，aaa，bbaa与ba属于L，而ε，bab 设L={x: ∃y{a

与bca不属于L。L中的所有字符串可以表示为{a，b}*中的字符串接合一个a到末尾。

例2.5用英语描述语言的问题

∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}*，且x、y看成自然数的十进制表示时，设L={x#y:x，y{0,

square(x)=y}。字符串3#9和12#144属于L，而3#18、12与12#12#12不属于L。字符串#?是不是属于L？取决于怎么理解“x、y看成自然数的十进制表示”。ε是不是某个自然数的十进制表示？将字符串变成数字的算法可能将ε换算为0，则0是0的平方，因此#属于L。反过来，如果将字符串变成数字的算法认为ε是无效输入，则#不属于L。这个例子说明存在用英语描述语言的问题，即歧义性。我们只能使用无歧义的术语，下面将介绍其他避免这个问题的定义方法。

例2.6空语言

设L = {} = ∅，L是空语言，不包含任何字符串。

例2.7空语言不同于空串

L = {ε}是包含空串ε的语言，不同于空语言。