高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
运用焦半径公式速解焦点弦问题_马洪炎
在 Rt△MNF 中， | MF | = 于是 | NF | 3 = ， cosα 4 － cos2 α
为定值， 并说明理由． 分析 本题第（ 2 ） 小题 是一个 典 型 的 解 析 几 何 定 图5 值问题， 通常可运用函数的 思想方法解之， 其解题过程可归纳为： 一选， 二求， 三定值． 具体操作程序如下： 一选： 选择参变量． 需要证明为定值的量在通 常情况下应该是变量， 它应该随某一个量的变化而 可选择这个量为参变量． 变化， 二求： 求出函数的解析式． 即把需要证明为定 值的量表示成关于上述参变量的函数 ． 三定值： 化简函数解析式得到定值． 由题目的 结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无 故求出的函数必为常数函数， 因此， 只需对上述 关， 函数的解析式进行必要的化简即可得到定值 ． 1］ 文献［ 介绍的解法 1 （ 复杂解法 ） 选择以直 线 AB 的斜率 k 为目标函数的变量； 解法 2 （ 简捷解 法） 选择线段 AB 的中点 N 的横坐标为目标函数的 变量． 在运用函数的思想方法解决定值问题时， 目 标函数变量的选择显得很重要． 由于角度形式的焦 半径公式与本题相关的线段可直接对话 ， 因此也可 AB x 选择直线 与 轴的夹角 α 为目标函数的变量． 解 π α ＜ ． 不妨设 | AF | ＞ | BF | ， 则由椭圆的焦半径公 2 式可知 b2 3 | AF | = = ； a － ccosα 2 － cosα b2 3 | BF | = = ， a + ccosα 2 + cosα 2 3 + = 从而 | AB | = | AF | + | FB | = 2 － cosα 2 + cosα 12 ． 4 － cos2 α 设 AB 的中点为 N， 则 2 3 2 | FN | = | AF | － | FB | = － = 2 － cosα 2 + cosα 6cosα ， 4 － cos2 α 3cosα | FN | = ． 即 4 － cos2 α （ 2 ） 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 α， 则0 ＜
高中数学圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
高考高频考点(圆锥曲线)9、两套抛物线的焦半径与焦点弦公式
第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式知识与方法1.设点()00,P x y 在抛物线上，()11,A x y 、()22,B x y ，AB 是抛物线的焦点弦，则抛物线p pp p2．如图，设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，AB 为抛物线的一条焦点弦，AFO α∠=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①1cos pAF α=+；②22sin p AB α=；③22sin AOBp S α=.典型例题【例1】抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()1,P m 在抛物线上，且3PF =，则p =______. 【解析】由焦半径公式，1342pPF p =+=⇒= 【答案】4变式1 抛物线24x y =−的焦点为F ，点A 在抛物线上，且4AF =，则点A 的坐标为______.【解析】设()00,A x y ，则()20000143123AF y y x x P =−=⇒=−⇒=⇒=±±−.【答案】()3±−变式2 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:2l y x ⎫=−⎪⎭，代入22y x =整理得：233504x x −+=， 设两根为1x 和2x ，则1253x x +=，故直线l 被抛物线C 截得的弦长12813L x x =++=.解法2：直线l 被抛物线C 截得的弦长22228sin sin 603p L α===︒.【答案】83变式3 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线被抛物线C 截得的弦长为______.【解析】设直线的倾斜角为α，tan 2sin αα=⇒=⇒弦长22225sin 2p L α===⎝⎭. 【答案】52【例2】过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若3AF =，则BF =_____.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()231cos 2BF πα==+−.【答案】32变式1 过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若8AB =，且AF BF >，则AF BF=______.【解析】不妨设直线l 的倾斜角为锐角，如图，设AFO α∠=，则22418sin sin sin 2AB ααα==⇒=⇒=， 所以135α=︒，45BFO ∠=︒，从而)211cos135AF ==++︒，)211cos 45BF ==+︒故3AF BF=+【答案】3+变式2 过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】不妨设直线l 为如图所示的情形，设AFO α∠=，则21cos AF α=+，()221cos 1cos BF παα==+−−，2222144922cos 1cos 1cos 3sin 1cos 2AF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒===+−−.【答案】92变式3 已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为120°的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的方程为______.【解析】如图，作BD l ⊥于D ，直线AF 的倾斜角为120°2601cos603p pBFO BF ⇒∠=︒⇒==+︒，由抛物线定义，BD BF =，所以23p BD =， 易得60ABD ∠=︒，所以213cos 423p BD ABD AB ∠===，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =.【答案】22y x =变式4 设F 为抛物线2:2C y px =()0p >的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点且OAB 的面积为32sin α，若线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则FM =______.【解析】解法1：如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():02p l x my m =+>，()11,A x y ，()22,B x y ，其中cos sin m αα=，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y pmy p −−=，故122y y pm +=，()212122x x m y y p pm p +=++=+，所以AB 中点为2,2p G pm pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AB 中垂线的方程为22p y pm m x pm ⎛⎫−=−−− ⎪⎝⎭，令0y =得：232x p pm =+，所以23,02M p pm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故22322p FM p pm p pm =+−=+，又21222AB x x p pm p =++=+，原点O 到直线l的距离d =所以()21122222OABp SAB d pm p =⋅=⋅+=由题意，32sin OABSα=，32sin α=，将cos sin m αα=代入整理得：22sin p α=，所以()22222cos 112sin sin pFM p pm p m p ααα⎛⎫=+=+=+== ⎪⎝⎭. 解法2：如图，22sin pAB α=，则22sin AOBp Sα=， 23322sin 2sin 2sin 2sin OAB p S p αααα=⇒=⇒=①，设AB 中点为G ，则()22112cos 21cos 2sin sin p p p FG AF AG AF AB απααα=−=−=−⋅=+−， 所以2cos sin FG pFM αα==，由①知22sin p α=，故2FM =.【答案】2变式5 过抛物线2:4C y x =焦点F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线C 交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 面积的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+()0m ≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x整理得：2440y my −−=，所以124y y m +=，()21212242x x m y y m +=++=+，故212244AB x x m =++=+，用1m−替换m 可得：244DE m =+，从而四边形ADBE 的面积()2222114144482823222S AB DE m m m m ⎛⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当1m =±时等号成立，即四边形ADBE 面积的最小值为32.解法2：不妨设直线AB 为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则直线DE 的倾斜角为2πα+，由焦点弦公式，24sin AB α=，2244cos sin 2DE παα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 四边形ADBE 的面积2222211448323222sin cos sin cos sin 2S AB CD ααααα=⋅=⋅⋅==≥， 当且仅当4πα=时取等号，所以四边形ADBE 面积的最小值为32.【答案】32强化训练1.（★★）抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =，则p =______.【解析】由焦半径公式，2442pPF p =+=⇒=. 【答案】42.（★★）抛物线22x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______. 【解析】设()00,A x y ，则200000155325222AF y y x y x A ⎛⎫=+=⇒=⇒==⇒=⇒ ⎪⎝⎭.【答案】52⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（★★）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，则AB =______.【解析】设直线l 的倾斜角为α，2440tan 3sin sin 9AB ααα=⇒=⇒==. 【答案】4094.（★★★）抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则AOB 的面积为______. 【解析】设AOF α∠=，则224sin AB α==，所以sin 2α=，故12sin 2AOBS α==.5.（★★★）过抛物线2:2C y x =焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若4AF =，则BF =______.【解析】如图，设AFO α∠=，则()131144cos 1cos 41cos 1cos 7AF BF ααπαα==⇒=−⇒===++−−.【答案】476.（★★★）过抛物线2:2C y x =的焦点F 的直线1与C 交于A 、B 两点，若8AB =，则AF BF ⋅=______【解析】设直线l 的倾斜角为α， 则222211118sin 4sin 41cos 1cos sin AB AF BF ααααα==⇒=⇒⋅=⋅==−+. 【答案】47.（★★★）过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则1cos p AF α=+，()1cos 1cos p pBF παα==+−−，22212232722cos 1cos 1cos 3sin 1cos 8113p p p pAF BF AB ααααα=⇒=⋅⇒=−⇒====+−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】2788.（2012·重庆·★★★）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =______.【解析】不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，如图，设BFO α∠=， 则2225sin 12AB α==，所以sin α=，从而1cos 5α=−，故()1151cos 1cos 6AF παα===+−−.【答案】569.（★★★）如下图所示，经过抛物线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与抛物线C 及其准线相交于A 、B 、C 三点，若4BC BF =，且4AF =，则p =______.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=−， 过B 作BD ⊥准线于D ，则BD BF =，144cos 4BD BC BF BC BD CBD BC=⇒=⇒∠==()11cos cos cos cos 44BFO πααα⇒∠=−=−=⇒=−， 所以4431cos 3p AF p p α===⇒=+.【答案】310.（★★★★）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，交圆()2211x y −+=于M 、N 两点，其中P 、M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为______. 【解析】如图，设()0PFO ααπ∠=<<，由题意，1FM FN ==， 21cos 111cos 1cos PM PF FM PF ααα−=−=−=−=++，()21cos 111cos 1cos QN QF FN QF απαα+=−=−=−=+−−， 所以()()()()()222221cos 1cos 1cos 111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin PM QN αααααααααα+++−+−+=+==−++− ()222222sin 2cos 2cos 212sin sin ααααα+⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当2πα=时取等号，故11PM QN+的最小值为2.【答案】211.（★★★）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过F 且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点M ，则4pFM=______. 【解析】解法1：由题意，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p x y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 整理得：2220y py p −−=，所以122y y p +=，12123x x y y p p +=++=， 从而AB 中点G 为3,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 中垂线的方程为32y p x p ⎛⎫−=−−⎪⎝⎭令0y =得：52x p =，所以5,02p M ⎛⎫⎪⎝⎭，故5222p FM p p =−=，所以42p FM =.解法2：如图，G 为AB 中点，由题意，MFG 是等腰直角三角形，12FG AF AG AF AB =−=−2121cos1352sin 45p p =−⋅=+︒︒，所以422pFM p FM=⇒=.【答案】212.（★★★★）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF−=，则抛物线C 的方程为______.【解析】解法1（特值法）：取,2p A p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则1AF k =−，直线AF 的方程为2p x y =−+，由222p x y y px ⎧=−+⎪⎨⎪=⎩得：2220y py p +−=，解得：()1y p =−， 显然点B 在x轴上方，所以)1B y p =，故(2322B B p y x p −==， 从而点B的坐标为()3,12pp ⎛⎫−⎪− ⎪⎝⎭因为1AF AF BF−=，而AF =，((3222p p BF p −=+=，1−=，解得：1p =，故抛物线C 的方程为22y x =. 解法2（特值法）：取直线AB 的倾斜角为120°， 如图，则60AFK ABD ∠=∠=︒，此时22AF FK p ==，而11213AF AB BF AB AB BFBFBFBD+==+=+=+=，所以233AF pBF==，将2AF p =、23p BF =代入1AF AF BF−=可得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法3（极限位置分析法）：让点A 无限接近点,02p ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则点B 无限接近原点， 此时1AFAF BF −=即为21p −=，解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =解法4：设()00,B x y ，则02p BF x =+，由~FBT FAK 可得AF KF BF TF =，即02AF p p BF x =− 所以0022p p AF x p x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭−，代入1AF AF BF −=知0001222p p p x p p x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭−−，解得1p =， 故抛物线C 的方程为22y x =.解法5：过B 作BD l ⊥于D ，因为1AFAF BF −=，所以AF AF BF BF −⋅=， 故AF BF AF BF −=⋅，由图可知AF BF AB −=，所以AB AF BF =⋅，又BF BD =，所以AB AF BD =⋅，故1BDAB AF =，从图上来看，cos BD ABD AB=∠，而ABD AFK ∠=∠，所以1cos KFAFK AF AF∠==，故1KF =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =. 解法6（用焦半径公式）：设BFO α∠=，则1cos p BF α=+，cos cos p AF KF p AF αα==⇒=，代入1AF AF BF−=得：cos 1cos 1cos p p p ααα−=+， 解得：1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =【答案】y 2=2x。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相互的问答
与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线交椭实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦点所在直线于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠ 备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -= 备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为3)e =r 的直线l 过点(0,3)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=0。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F 1F 实常数，使恒成立.并由此求∣AB λAB FA FB λ=∙问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，且，是否存在实常数，使12l l ⊥λAB + 四边形ABCD 面积的最小值和最大值.问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点22143x y +=1F F 线交轴于点D ，是否存在实常数，使x λAB F λ=问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 交轴于点G ，点在直线上的射影分别是4x =-x ,A B 2l N D ，是否存在实常数，使恒成立.λ1GD DF λ=问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 别为椭圆的左、右顶点，动点满足P ,PA AD PC λμ== 椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点N 、共线备用课件双曲线焦点弦端点点则三点共线备用课件抛物线焦点弦端点点则三点共线处）备用课件问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线22131x y -=1F 1F 分别为双曲线的左、右顶点，动点满足,C D P 1PA AD λ= 试探究是否为定值.22,,QA AC QB BD λμ==1PF Q ∠椭圆焦点弦端点连线与相应准线的交点1NF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF备用课件抛物线焦点弦端点点D 连线与相应准线的交点则NF 无穷远处）备用课件问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点2l 4x =-2l 并证明之.问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线22143x y +=1F 1F 1,l l C ，D 两点，直线：，直线AD 交直线于点P ，试证明3l 4x =-3l问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于22184x y +=(2,0)N 12,l l 线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线22184x y +=1F 1F 设直线AB 与轴于点，试求y M 11,,MA AF MB BF λμ==问题探究18 已知方向向量为的直线过点和椭圆(1,3)e = l (0,23)A -焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：C O B 圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为C E C 12,F F ，求的值. 222EF F T λ= 12λλ+。
圆锥曲线焦点弦的公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线第二定义与焦半径公式知识点练习含答案(高考数学提升复习)
第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为( )A ．B ．2C D2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP +( )A B C ．32D ．24．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE的面积为( ) A ．32B ．16C ．24D ．85．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为( ) A ．18B ．16C ．1D ．712二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO -的取值范围是 ．7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为 ． 8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为 ．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++=，证明：||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD =，求||||AC BD +的取值范围．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值； （Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值．13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F 作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式； （Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围．第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为( )A ．B ．2C D【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即P 在顶点处取得最大值，不妨取顶点，0)，则12||||||PF PF OP +=，故选：D ．2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，【解答】解：由双曲线的第二定义可知10||PF ex a =+，20||PF ex a =-， 右支上的点0(P x ，0)y 满足12||3||PF PF =， 0003()2ex a ex a ex a ∴+=-⇒=，由c e a=， 解得202a x c=，P 在右支上，可得202a x a c=， 可得12ca<，即12e <，则22220022201164(1)422x c c y e x a a e+=+-=+-， 令2e t =，14t <， 可得2202011611613244()4222c y e t t x e t t+=+-=+-=+- 而132()()2f t t t =+在(1，4]递减，132()[62t t +∈，33)2， 2002522c y x ∴+<， 故选：B ．3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP+( )AB C ．32D ．2【解答】解：不妨设P 为右支上的一点，(,)P x y 其中x a ， 1||PF ex a =+，2||PF ex a =-，||OP =∴12||||)||PF PF x a OP +=∴当x a =时，取得最大值，∴=∴e =故选：B ．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE的面积为( ) A ．32B ．16C ．24D ．8【解答】解：因为AB DE ⊥，要使||||AB DE +最小，而||||2|||AB DE AB + 由抛物线的对称性可得A 与D ，B 与E 关于x 轴对称， 所以可得直线DE 的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)， 所以直线DE 的方程为：1y x =-，214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y y --=，124y y +=，124y y =-，所以可得||8DE =， 所以11883222ABCD S DE AB =⋅=⨯⨯=四边形． 故选：A ．5．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为( ) A ．18B ．16C ．1D ．712【解答】解：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为(1,0)F ， 当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =， 则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，则11117||||3412AB CD +=+=； 当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k =--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 22222221212222841212(1)||()41()4343434k k k AB x x x x kk k k -+∴=+-=+-=+++， 由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=+．∴22117(1)7||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值． 故选：D ．二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO -的取值范围是 [ ．【解答】解：设P 的坐标为(,)m n椭圆22:184x y C +=中，28a =，24b =，2c ∴=，得椭圆的准线方程为2a x c=±，即4x =±作出椭圆的右准线，设P 在右准线上的射影为Q ，连结PQ ， 根据圆锥曲线的统一定义，得2||||PF e PQ =，2||||)PF e PQ m ∴=-=，同理可得1||PF =， ||PO m =∴12))||||||PF PF PO --=点(,)P m n 在椭圆22184x y+=上，得22184m n +=，∴2224(1)482m m n =-=-， 由此可得12||||||PF PF PO -=，得22122||||4()8||PF PF m m PO -=+，2[0m ∈，2]a 即2[0m ∈，8]，得224[08m m ∈+，2]，∴12||||[||PF PF PO -∈．故答案为：[7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为 14．【解答】解：根据题意可得，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设直线1:(1)(0)l y k x k =-≠， 直线1l ，2l 互相垂直，∴直线2l 的斜率为1k -，即得21:(1)l y x k=--， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(E x ，4)y ，则分别将直线1l ，2l 的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，22222(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩； 21(1)4y x k y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩⇒2222121(4)0x x k k k -++= 由韦达定理可得，212224k x x k++=，2342241k x x k ++=， 由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，∴2212222444||112k k AB x x k k ++=+++=+=， 2234224||112441k DE x x k k +=+++=+=+， ∴2221111||||44444k AB DE k k +=+=++． 故答案为：14． 8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为 36 ．【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设直线1l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，则2222(42)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 可得12242x x k +=+， 由抛物线的定义可得1224||24AB x x k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得2||44DE k =+， 则222211||4||204(4)208436AB DE k k k+=+++=．当且仅当2k =±时，上式取得等号， 则||4||AB DE +的最小值为36． 故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 线段AB 的中点为(1,)M m ，122x x ∴+=，122y y m +=将A ，B 代入椭圆22:143x y C +=中，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相减可得，121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12126()8()0x x m y y -+-=，12126384y y k x x m m-∴==-=-- 点(1,)M m 在椭圆内，即211,(0)43m m +<>， 解得302m <<∴3142k m =-<-．① （2）由题意得(1,0)F ，设3(P x ，3)y ，则1231110x x x -+-+-=，1230y y y ++=，由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x =-．同理2||22x FB =-． 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故||||2||FA FB FP+=，即||FA ，||FP ，||FB 成等差数列．设改数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-=②将34m =代入①得1k =-． 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=． 故122x x +=，12128x x =，代入②解得||d =．所以该数列的公差为28或28-． 10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++=，证明：||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则有221122221(1)981(2)98x y x y ⎧+=⋯⋯⎪⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪+=⋯⋯⎪⎩（2分）（1）-（2）得12121212()()()()098x x x x y y y y +-+-+=．122x x +=，122y y t +=．∴12122()2()098x x t y y --+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） ∴121289y y k x x t -==--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）由题设可知点(1,)M t 在椭圆内，∴21198t +<，解得803t <<， ∴818319983k t =-<-=-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） （Ⅱ）0FQ FA FB ++=，M 为AB 的中点，∴2FQ FM =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(1,)M t ，(1,2)Q t ∴-．点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）又403t t >∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为42(1)33y x -=--，即223y x =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由直线l 的方程与椭圆方程联立，得22223198y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 化简得2230x x --=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 从而得8(1,)3A -，(3,0)B ， 又8(1,0),(1,)3F Q -，∴10||(3FA =-=，8||3FQ =，||2FB =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴||FA ，||FQ ，||FB 成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD =，求||||AC BD +的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△12PF F 的内切圆面积的最大值时， 即，12PF F S取最大值，且121()22PF F maxSc b bc ==，由243r ππ=，解得r =，又由△12PF F 的周长为22a c +定值，∴22bc a c =+， 又12c e a ==，可得2a c =，即b =2c ∴=，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=，（2）①当直线AC 和BD 中有一条垂直x 轴时，||||6814AC BD +=+=， ②当直线AC 的斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得，2224(1)||34k AC k +=+，同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，代入弦长公式得2224(1)||34k BD k +=+， 2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k +∴+==+++-++，令21(0,1)1t k =∈+， 则212(12t t -++∈，49]4， 由①②可知||||AC BD +的取值范围是96[7，14]． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值； （Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值． 【解答】解：()I 由12c e a ==，得2214c a =，222244()a c a b ∴==-，2234a b ∴=．（1），⋯（1分）由椭圆过点知，223314a b+=．（2）⋯（2分） 联立（1）、（2）式解得24a =，23b =．⋯（3分）故椭圆的方程是22143x y +=．⋯（4分）11()||||II AB CD +为定值712⋯（5分） 证明：椭圆的右焦点为(1,0)F '，分两种情况．1︒当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，117||||12AB CD +=；⋯（6分） 2︒当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k =--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=⋯+（7分）∴12|||AB x x =-12()x x +426416((4k -=2212(1)43k k +=+，⋯（8分） 由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=⋯+（9分） 所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．⋯（10分）（Ⅲ）解：由()II 知117||||12AB CD +=， ∴912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++⋯（11分） 9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164+=，⋯（12分） 当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3AB =，||4CD =时取等号⋯（13分） ∴9||||16AB CD +的最小值为214．⋯（14分）13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得2222423112a a b a c c c e a =⎧=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨===⎩⎪⎩， 则所求椭圆方程221:143xy C +=．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为(1,0)，准线方程为1x =-，则动圆圆心轨迹方程为22:4C y x =．（2）当直线MN 的斜率不存在时，||4MN =， 此时PQ 的长即为椭圆长轴长，||4PQ =， 从而11||||44822PMQN S MN PQ =⋅=⨯⨯=． 设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠，直线MN 的方程为：(1)y k x =-，直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=， 由抛物线定义可知：2221222244||||||1124k MN MF NF x x k k +=+=+++=+=+， 由221(1)143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x x k +-+-=，从而234212(1)|||34k PQ x x k +=-=+，∴222224211412(1)(1)||||(4)24223434PMQNk k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++， 令21k t +=，0k >，则1t >，则22222221242424211||||34(1)(0,3)2123(1)4(1)3213PMQNt t S MN PQ t t t t t t tt t =⋅===--=-+∈-+-----，所以2248213PMQN S t t=>--， 所以四边形PMQN 面积的最小值为8．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式；（Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围． 【解答】解：由已知24b a =-，（Ⅰ）设(,0)F c，2222a a c b p c c c c -=-==，c e a =，以右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos epe ρθ=+，即22cos ab ac c ρθ=+，其中c == 设(A A ρ，)θ，则(B B ρ，)θπ+，222||1cos 1cos()1cos 1cos 1A B ep ep ep ep epAB e e e e e cos ρρθπθθθθ∴=+=+=+=++++--， 2211||2e cos AB ep θ-=，即22221||2a c cos AB abθ-=； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，22222222()112||||22a c cos a c cos AB CD ab ab πθθ-+-+=+2222222222222222422222(4)a c cos a c sin a c ab a a ab ab ab ab a a θθ---+-+=+===-． 24a b +=，222240c a b a a ∴=-=+->，且4a <，4a <<． 记f （a ）242(4)a a a a -+=-，则f '（a ）22(4)(34)2(4)a a a a +-=-4a <<时，f '（a ）0>，f （a ）为增函数，则f （a）∈)+∞，即11||||AB CD +∈)+∞．。
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。
［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。
证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。
（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。
所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。
所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。
②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。
③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。
高中数学专题：圆锥曲线中焦点弦取值范围的探究
圆锥曲线中焦点弦的取值范围的探究本文主要探究圆锥曲线中焦点弦的取值范围，尤其时焦点弦弦长何时取最小值和最大值，运用直线的参数方程和弦长公式，得出椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦的取值范围的以下结论：结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；探究一：已知椭圆:C 12222=+by a x ，点F 为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F ，交椭圆C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=--+b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t +=+，αα2222421sin cos a b b t t +-=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b +++= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b +=+++= α2222sin 2c b ab += 所以当0sin 2=α时，焦点弦AB 取最大值，a AB 2max =，即椭圆的长轴长，此时AB l 与x 轴重合；当1sin 2=α时，焦点弦AB 取最小值，ab AB 2min 2=，即椭圆的通经，此时直线x l AB ⊥轴；综上所述：焦点弦⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a b AB 2,22 结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；探究二：已知抛物线C ：px y 22=，点F 为抛物线C 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,2(pF ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t p x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和抛物线C 的方程得： 0cos 2sin 222=--p pt t αα，由韦达定理得：αα221sin cos 2p t t =+，α2221sin p t t -=， 由弦长公式得：αααα2224222122121sin 2sin 4sin cos 44)(pp p t t t t t t AB =+=-+=-=， 因为直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，所以倾斜角0≠α，所以(]1,0sin 2∈α，则[)+∞∈,2p AB ，当1sin 2=α，即x l AB ⊥轴时，取最小值p AB 2min =，即通经长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；探究三：已知双曲线:C 12222=-by a x ，点F 为双曲线C 的左焦点，直线l 过点F ，交双曲线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=+--b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t -=+，αα2222421sin cos a b b t t -=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b ---= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b -=---= α2222sin 2c b ab -= 因为[]1,0sin 2∈α，所以[]0,sin 222c c -∈-α， 所以[]22222,sin b a c b -∈-α，因为直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，所以ab±≠αtan ，即0sin 222≠-αc b ，所以[)(]22222,00,sin b a c b -∈-α，（1）若b a ≥，则(]2222,0sin a c b ∈-α，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22a b AB ，当1sin 2=α，即直线x l AB ⊥轴时，取最小值ab AB 2min2=，即双曲线的通经；（2）若b a <，则(]2222,0sin b c b ∈-α，[)+∞∈,2a AB ，当0sin 2=α，即AB l 与x 轴重合时，取最大值a AB 2max =，即双曲线的实轴长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；。
高考数学专题07 圆锥曲线第二定义与焦点弦(原卷版)-2021高考数学满分突破之解析几何篇
专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。
(焦点在y 轴上的性质比照给出。
)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。
1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。
②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。
⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。
⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。
⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。
⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。
高考数学培优课程之圆锥曲线小题常用二级结论
圆锥曲线小题常用二级结论一、过焦点F 且不平行于坐标轴的弦为AB ，则BF AF 11+为定值L4（L 为通径长）例题1、已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A 、B 满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准线的距离为__________例题2、已知抛物线C 1：px y 22=和圆C 2：42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-,其中p>0，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1、C 2于A 、D 、B 、D 四点，则CD AB ⋅的值为（ ） 4.2p A 3.2P B 2.2p C 2.p D二、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1） ①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
2、双曲线（直线与双曲线两个焦点在两支上） ①焦点在x 轴上时：11cos -+=λλθe ，1112-++=λλk e ； ②焦点在y 轴上时：11sin -+=λλθe ，11112-++=λλk e 。
例题3、已知双曲线的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于A 、B 两点，且FB AF 4=，则双曲线的离心率为__________。
例题4、已知F 为椭圆的右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且FD BF 2=，则椭圆的离心率为__________。
例题5、已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若FB AF 3=，则k= （ ）1.A2.B3.C 2.D三、切线方程、切点弦1、椭圆：12020=+b yy a xx ； 2、双曲线：12020=-byya xx ；3、抛物线：()x x p yy +=00。
高考焦点弦问题的分类解析
一 ＝
等 ＝
．
一一一来自０ ｂ＞０ ， ）焦点 Ｆ且倾 斜角 为 Ｏ 的直线 ， 曲线 的离 ｌ 双 心率 为 ｅ 则有 ， （ ）当直线 ｆ １ 与双 曲线 的两个 交点 Ｐ， ９在双 曲
１
例２２ ６ 考福 （ ０年高 建理科 双曲 － 一 ０ 卷） 线口 号 － Ｄ ５ －
＝１ａ＞０ ｂ＞０ 右焦点是 ， Ｆ且倾斜角为６ 。 （ ， ） 过 ｏ
１
焦 点 弦端 点 的分 布 问题 ， 反 映焦 点 弦端 点 的 是
分 布位置 与 圆锥 曲线 离 心率 范 围 之 间 的 内在联 系 ，
此类 问题 可将其 归纳 出如下 结论． 定理 １ Ｐ， Ｑ是 经过椭 圆 ｂｘ ２ ＋Ⅱｙ Ｚ＝ａｂ （ ２ ａ
（ ）因为 Ｐ， 双 曲线 的异 支上 ， ２ Ｑ在 由渐 近 线斜 率与 弦 ｅ Ｑ的斜率 的关 系知 ｌ ａ ｏＩ＜ ｂ￣ｔｎ ＜ ｎｔ ｔ ａ
证明 ： 由对称性 ， 不妨 设 Ｆ为 右焦点 （ ， ） ｃ０ ． （ ）由 题 意 知 ｌｔｎ Ｉ＞ ｂ ￣ｔｎ ＞ １ ａ ａ
Ｃ
， ｔ２
（ ）因为直线 Ｚ ３ 与双 曲线有且 只 有一个 交点 ， 且
ｚ 经过双 曲线 的焦 点 ， 以直线 ｚ 所 于双 曲线 的渐 近 线
ｌ ２
中 学 数 学 研 究
２ １ 年 第 ６期 ０１
高 考 焦 点 弦 问题 的 分 类 解 析
云 南 省广 南县 第 一 中 学 （６ ３ ０ 玉 邴 图（ 级教 师 ） ６３ ０ ） 特
经 过 圆锥 曲线 焦 点 且 被 圆锥 曲线 截 得 的线 段 叫做 圆锥 曲线 焦 点 弦 ．它 是 一 个 非 常 重 要 的 几 何
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与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l交椭圆于A，B两点，,C D分实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线（抛物线的D点在无穷远处）.备用课件别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==试探究点P 的轨迹.13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， 实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==试探究1PF Q ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件并证明之.15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D∠备用课件已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件问题探究16已知椭圆22184x y+=，过点(2,0)N的直线12,l l分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线4x=.17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y+=，点1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l分别交椭圆于A，B两点，实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.备用课件设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==试求λμ+的值.18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18 已知方向向量为(1,3)e =的直线l 过点(0,3)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==.⑴求椭实验成果 动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e→→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F BAF m F Be m m e →→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即 PA=m 1AFPB=m 2BF 备用课件m 1+m 2=0圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=222EF F T λ=，求12λλ+的值.。