2_1_离散型随机变量和分布律(2)

X ~B(1,p)
(0<p<1)
P{X k} pk (1 p)1k (k 0,1)
贝努里概型
分布名称
离散型均 ③ 匀分布
记号
分布律
P{X k} 1 n
(k 1,2, , n)
背景
古典概型
④ 二项分布 ⑤ 泊松分布
X ~B(n ,p)
(0<p<1)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, , n)
记为 X ~ B(n , p) ,其中q＝1－p 二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 C510.6 0.44 C520.62 0.43 C530.63 0.42 C540.64 0.4 0.65
分布律可记为：
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
或记为 X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
其中
(1) pk 0, k 1,2, ;
(2) pk 1.
k 1
注. 1º分布律中的 pk 必须满足： (1) 0 pk 1 (k 1,2, )
(2) pk 1
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0-1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
3.均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为
梯函数，x1, x2,···,是F(x)的第一类间断 点, 而X在xk（k=1,2, ···）处的概率就是 F(x)在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b} P{a X b} P{X a} P{X b}
[F(b) F(a)][F(a) F(a 0)] [F(b) F(b 0)] F(b 0) F(a 0) F(b) F(a)
15
1 C2k500(0.002)k (1 0.002)2500k
k0
1 15 5k e5
k0 k!
0.000069 .
(2) 保险公司获利不少于20000元的概率. B
P(B) P{30000 2000X 20000}
P{ X 5}
5
C2k500(0.002)k (1 0.002)2500k
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,
他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子
数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~B(1,p)
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情
况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0-1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
(k 1,2, )
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
7.超几何分布
设X的分布律为
P{ X
k}
C
m M
C
nm NM
C
n N
(k 0,1,2, ,min{M, n})
这里n N , m M , M N ,则称X服从超几何分布.
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
5. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而 取各个值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松 分布,记为 X ~ P( ).
泊松资料
(k 0,1, , l)
l min{M , n})
n N,M N
设N件产品中 有M件次品， 从中任取n件， 其中的次品 数为X.
例4 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?
(1) 保险公司亏本的概率； (2) 保险公司获利不少于20000元的概率.
解 (1) 以“年”为单位，在1年的1月1日，保 险
公司的总收入为： 2500 12 30000 (元).
设1年中死亡的人数为X，则 X ~ B(2500, 0.002)
保险公司在这一年中，应付出：2000X (元) 设 A={保险公司亏本}，则
X
a1 a2 an
pk
1 1 1 nn n
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从均匀分布. 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
4.二项分布
若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2, n 则 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
k 1
2º若X 是离散型随机变量，则其分布函数为：
F ( x) P{ X xk }
xk x
其中“ ”是对于一切满足 xk x的k而言.
xk x
例1 设随机变量 X的分布律为：
P{ X
k}
a 3k k!
(k 0,1,2, )
试确定常数a.
解 由 0 pk 1(k 0,1,2, ),
方法2. P{0 X 2} F(2) F(0) 1 0.1 0.9
P{0 X 2} F(2 0) F(0 0) 0.7 0 0.7
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
k0
5 5k e5 0.615961
k0 k!
即 保险公司获利不少于20000元的概率接近 于62%.
6. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X 1 2 k , p q 1, pk p qp qk1 p
则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
A发生 2000 X 30000 即 X 15 (人)
P( A) P{ X 15}
2500
C2k500(0.002)k (1 0.002)2500k
k 1 6
因为 n 2500很大，p 0.002很小，所以可用
参数 np 5的泊松分布近似代替二项分布,
即有 P{ X 15} 1 P{ X 15}
到.
三、内容小结
退化分布
离 散 型
随 机
变 量 的
两点分布 均匀分布 二项分布 泊松分布
分 布
几何分布 超几何分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1
泊松分布
几类常见的离散型分布 分布名称 记号
分布律
背景
① 退化分布 (单点分布)
P{ X c} 1 必然事件
两点分布 ②
(或 0–1分布)
例2 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的， 3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算：
P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 X={ 取得的新球个数 }，其分布律为
P{ X
k}
C3k C22k C52
(k 0, 1, 2)
或
X0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
第二章
第一节 离散型随机变量 及其分布律 (2)
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、内容小结
一、离散型随机变量的分布律
1.定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2, ), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率,为
P{ X xk } pk , k 1,2, . 称此式为离散型随机变量 X 的分布律.
很小 2当 n很大时，泊松分布可以视为
二项分布的极限分布，即
Cnk pnk (1
pn )nk
k
k!
e
(k 0,1, , n) 其中 npn.
上面我们提到 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
例5 在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人 参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概 率为0.002, 每个参加保险的人在1月1日须交12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领 取2000元赔偿金. 求：
解 X 所取的可能值是 1, 2, 3, .
设 Ai 表示"抽到的第 i 个产品是正品",
P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )