《绝对值与代数式》重点易错题解析
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。
绝对值题型归纳总结
绝对值题型归纳总结一、知识梳理模块一绝对值的基本概念模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）模块三几何意义例题分析题型一 绝对值代数意义及化简【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =- ⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥- ⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【变1】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【解析】 因为55a a ==±，，因为22b b ==±，，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例2】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【解析】 因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【例3】 （1）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---． a-ba+b【解析】 （1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=- 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【变2】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ． 【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【变3】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++-135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++-111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例4】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【例5】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【例6】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ．【解析】 当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取最大值8当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-． 【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【变4】 已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a b a b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 题型二 关于a a的探讨应用【例8】 已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例9】 已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=-- 【解析】【变5】 三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【变6】 a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【变7】 如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例10】 如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【例11】 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b cx a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例12】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【变8】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【变9】 已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a-当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例13】 若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnpmnp的值． 【解析】 由1m n p mnp++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-，222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【变10】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d abcd+++=；若含有3个负数，则2a b c d abcd+++=-．题型三 零点分段讨论法【例14】 化简523x x ++-．【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【变11】 化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【变12】 求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例15】 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析： 当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5． 【变13】 已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性） （1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【变14】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-题型四绝对值非负性【例16】 若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =，12p =，3232p n m +=-＋. 【变15】 已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ． 【解析】 根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<． 【变16】 已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2420a b c +-+=，那么a bb c+=- 【解析】 由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以32555275c ca b b c c c --+==---． 【例17】 已知a为实数，且满足200a a -=，求2200a -的值【解析】 由题意可知：201a ≥，所以可得200a a -=，即200=，所以2201200a -=，所以原式的值为201【变17】a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ． 【解析】 因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．【例18】 若a 、b 、c 为整数，且19951a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【解析】 法一：根据题意：19a b -，95c a -为非负整数， 分类讨论：①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c 有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．【例19】 求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ，【解析】 因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者10ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵，由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩又因为a b ，均为整数，所以3124123400111010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，， 由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或10ab a b =-⎧⎨+=⎩，所以56561111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， 综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，【变18】 若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例20】 设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？ 【解析】 根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变19】 代数式24()a b -+最大值为 ，取最大值时，a 与b 的关系是____________ 【解析】 4，互为相反数； 【例21】 已知210ab a +++=，求()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+的值【解析】 由210ab a +++=得12a b =-=，所以()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+111...233419951996=----⨯⨯⨯ 9971996=-【例22】 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x yx y+-的值 【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=所以必然有30x y -+=且19990x y +-=， 解方程组可得： 19991001x y y +==，所以原式21999100110003x y x y y x y x y ++++====---- 利用绝对值几何意义求两点间距离a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【例23】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；->，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶3x -几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间距离，若31x -=，则x = ．⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x =⑸当1x =-时，则22x x -++= ．：【解析】 ⑴ x ，原点；=；⑵1；⑶x ，3，2或4；⑷x ，2-，0或4-；⑸4【变20】 （1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．（2）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】 （1）7；（2）B【变21】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如 图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都 在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点 的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点 的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。
绝对值的易错题
绝对值的易错题绝对值是数学中常见的概念，也是一种数值的度量方式。
在解决绝对值的计算和应用问题时，往往容易出现易错题。
本文将围绕绝对值的易错题展开讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、绝对值的定义和性质在开始解答绝对值的易错题之前，我们先来回顾一下绝对值的定义和性质。
绝对值，又称绝对数，是一个实数的非负值，即一个数与零的距离。
常用符号表示为|a|，其中a为一个实数。
绝对值的性质有以下三点：1. 非负性：对任意实数a，有|a| ≥ 0。
2. 非负自反性：对任意实数a，有|a| = 0当且仅当a = 0。
3. 正负性：对任意实数a，有以下两种情况：- 当a > 0时，有|a| = a。
- 当a < 0时，有|a| = -a。
二、易错题解析1. 绝对值的计算易错题一：计算 |-7| + |5|。
解析：根据绝对值的定义和性质，我们知道当一个数为负数时，其绝对值等于该数去掉负号；当一个数为正数时，其绝对值等于该数本身。
|-7| 表示的是 -7 的绝对值，通过绝对值的定义，我们可以计算出 |-7| = 7。
同理，|5| 表示的是 5 的绝对值，所以 |5| = 5。
因此，|-7| + |5| = 7 + 5 = 12。
易错题二：计算 |3 - 9|。
解析：根据绝对值的定义，我们知道绝对值是一个数与零的距离。
在这个题目中，我们需要计算 3 和 9 之间的距离。
即 |3 - 9| = |-6|，根据绝对值的性质，我们知道 |-6| = 6。
所以，|3 - 9| = 6。
通过以上两个例题，我们可以看出，在计算绝对值时，首先要明确绝对值的定义，然后根据数的正负情况进行具体操作。
2. 绝对值的大小比较易错题三：已知 |a| > b，且 b > 0，判断 a 的正负。
解析：根据绝对值的性质，我们知道当一个数的绝对值大于另一个正数时，这个数可能是正数，也可能是负数。
所以无法准确定义a 的具体正负。
2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析
2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析◆题型一：直线定点和代数式的值和某字母无关一次函数y=mx+m-1过定点【解析】一次函数过定点问题和整式中和某字母取值无关是同一类题:一次函数过定点实质上指的是和m的取值无关。
按照这种思路过可以解决很多的定点问题。
把一次函数解析式变形：y=m（x+1）-1，我们把（x+1）看作m的系数，若和m的取值无关，则系数（x+1）=0，即x=1，此时y=-1.因此，此一次函数过定点（-1，-1）。
1. 2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m 取何值，函数()224365y x m x m =−+++的图像恒过一定点P ，则P 点坐标为______． 【答案】3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】根据不论字母系数m 取何值图像恒过一定点P ，取值与m 无关，则字母m 的系数为0，进而可得答案．【详解】解：()224365y x m x m =−+++()224635y x x m x =+−++当46=0x +，即32x =−时，14y =， 所以无论字母系数m 取何值时，图像恒过一定点P 3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m 的系数为0时，才与m 的取值无关．2. 整式（ax 2+bx -1）-（4x 2+3x ）的最后结果与x 的取值无关，求a ，b 的值。
解：由（1）（ax 2+bx-1）-（4x 2+3x ）化简的结果是（a-4）x 2+（b-3）x-1，得a=4，b=3.1．（2022·重庆八中二模）对于五个整式，A ：2x 2；B ：x +1；C ：﹣2x ；D ：y 2；E ：2x-y 有以下几个结论：①若y 为正整数，则多项式B ⋅C +A +B +E 的值一定是正数；②存在实数x ，y ，使得A+D+2E 的值为-2；③若关于x 的多项式M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C (m 为常数)不含x 的一次项，则该多项式M 的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．【详解】解：对于①：B ⋅C +A +B +E =(x +1)(−2x)+2x 2+x +1+2x −y =x −y +1，显然当x =−100,y =1时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；对于②：A +D +2E =2x 2+y 2+2(2x −y)=2x 2+y 2+4x −2y =−2时，整理得到：2(x +1)2+(y −1)2−1=0，显然当x =−1,y =2时代入化简后式子中满足，故②正确；对于③：M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C =3(2x 2−x −1)+m(x +1)(−2x)=(6−2m)x 2−(3+2m)x −3， ∵不含x 的一次项，∴320m +=，解出m =−32，此时M =9x 2−3≥−3，即M 的值一定大于等于-3，故③错误；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键． 2．（2022·重庆市育才中学二模）已知多项式A =x 2+2y +m 和B =y 2−2x +n （m ，n 为常数），以下结论中正确的是（ ）①当2x =且m +n =1时，无论y 取何值，都有A +B ≥0；②当m =n =0时，A ×B 所得的结果中不含一次项；③当x y =时，一定有A ≥B ；④若m +n =2且A +B =0，则x y =；⑤若m =n ，A −B =−1且x ，y 为整数，则|x +y |=1．A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤ 【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】①当2x =且m +n =1时，A+B=4+2y +m +y 2−4+n =y 2+2y +1=(y +1)2，∵无论y 取何值，总有(y +1)2≥0，∴无论y 取何值，都有A +B ≥0，故①正确；②当m =n =0时，A ×B =(x 2+2y )(y 2−2x )=x 2y 2−2x 3+2y 3−4xy ，∴A ×B 所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x y =时，A −B =x 2+2y +m −(y 2−2x +n )=x 2+2x +m −x 2+2x −n =4x +m −n ， 其结果与0无法比较大小，故③错误；④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x2+2y+m+y2−2x+n=x2+y2+2y−2x+2=0，变形得：(x−1)2+(y+1)2=0，∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④错误；⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则A−B=x2+2y+m−(y2−2x+n)=x2+2y−y2+2x=−1x2−y2+2x+2y+1=0变形得：(x+1)2−(y−1)2=−1，因式分解得：(x+y)(x−y+2)=−1，∵x，y为整数，则必有|x+y|=1．故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．3．（2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数y=2x2+(4m−3)x+6m+5的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．,14)【答案】(−32【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案．【详解】解：y=2x2+(4m−3)x+6m+5y=2x2+(4x+6)m−3x+5时，y=14，当4x+6=0，即x=−32,14)．所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P(−32【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m的系数为0时，才与m的取值无关．4．（2021·河北唐山·一模）老师写出一个整式（ax2+bx-1）-（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a 、b 赋予不同的数值进行计算，(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x 2-3x -1，则甲同学给出a 、b 的值分别是a =_______，b =_______；(2)乙同学给出了a =5，b =-1，请按照乙同学给出的数值化简整式；(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 【答案】(1)6、0(2)241x x −−(3)丙同学的计算结果是-1．【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为2x2-3x-1，即可得到a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入（1）中化简后的结果，即可解答本题；（3）根据（1）中化简后的结果和题意，可以写出丙同学的计算结果．【详解】（1）解：（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）=ax2+bx-1-4x2-3x=（a-4）x2+（b-3）x-1，∵甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2-3x-1，∴a-4=2，b-3=-3，解得a=6，b=0，故答案为：6，0；（2）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∴当a=5，b=-1时，原式=（5-4）x2+（-1-3）x-1=x2-4x-1，即按照乙同学给出的数值化简整式结果是x2-4x-1；（3）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∵丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，∴原式=-1，即丙同学的计算结果是-1．【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的结果．5．（2021·河北唐山·一模）定义：若A−B=m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A−B=2，则称A与B是关于2的关联数；(1)若3与a是关于2a的关联数，则a=__________．(2)若(x−1)2与x+1是关于-2的关联数，求x的值．(3)若M与N是关于m的关联数，M=2mn−n+3，N的值与m无关，求N的值．【答案】(1)1(2)x1=1，x2=2(3)2.5【分析】（1）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（2）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（3）直接利用关联数列出M-N=m的方程，将M=3mn+n+3代入，用m、n的式子表示出N，再利用N的值与m无关进行计算即可．(1)解：∵3与a是关于2a的关联数，∴3-a=2a，∴a=1，故答案为：1(2)解：(x−1)2−(x+1)=−2，整理得x2−3x+2=0则(x−2)(x−1)=0解得：x1=1，x2=2．∴x的值为1或2；(3)解：(2mn−n+3)−N=m，N=2mn−m−n+3=m(2n−1)−n+3，∵N的值与m无关，∴2n−1=0，∴n=0.5，∴N=2.5．【点睛】本题考查了新型定义题型，解一元一次方程、解一元二次方程，整式的值与字母无关，解题的关键是准确理解题干，列出方程，进行解答．6．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)．(1)当|x−1|+(y−2)2=0，求M的值；(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．【答案】(1)M=2(2)y=2【分析】（1）先化简M，进而根据非负数的性质求得x,y的值，进而代入求解即可；（2）根据（1）中M的化简结果变形，令含x项的系数为0，进而求得y的值【详解】（1）解：M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)=2x2+3xy+2y−2x2−2x−2yx−2=xy+2y−2x−2|x−1|+(y−2)2=0∴x=1,y=2原式=1×2+2×2−2×1−2=2（2）∵M=xy+2y−2x−2=(y−2)x+2y−2与字母x的取值无关，∴y−2=0解得y=2【点睛】本题考查了整式加减化简求值，整式无关类型，掌握整式的加减运算是解题的关键．◆题型二：特殊代数式求值①若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为【解析】一次代入无法求得结果，出现这种情况，我们可以从先代高次再代低次！把2m2=4m+7代入，原式=m+n+7，然后用韦达定理即可求值。
中考数学易错题系列之代数运算解析式运算常见错误
中考数学易错题系列之代数运算解析式运算常见错误代数运算是中考数学中的一大重点考点，也是容易出错的部分。
在解析式运算中，同学们经常会犯一些常见的错误。
本文将针对这些常见错误进行分析和解决，帮助同学们在中考数学中避免这些错误。
一、符号的使用错误在解析式运算中，同学们常常会犯到符号的使用错误，如混淆加法和乘法的符号，或者忽略括号的作用。
这些错误会导致最终答案出错。
在解析式运算中，加法的符号是"+"，乘法的符号是"×"，并且乘法在运算优先级中大于加法。
因此，同学们在运算时要注意区分加法和乘法的符号，不要混淆使用。
同时，在运算中，使用括号可以改变运算的优先次序，从而避免错误。
同学们要养成使用括号的习惯，根据运算顺序正确地使用括号，确保运算的准确性。
二、未化简算式在解析式运算中，同学们有时候会在得到结果后未进行进一步的化简，从而导致答案出错。
化简算式是指将算式中的项合并简化，去除冗余部分。
同学们要在得到结果后，仔细检查算式中是否还有合并简化的余地，并及时进行化简。
这样可以避免答案冗杂，提高解答的准确性。
三、代数式求值错误在解析式运算中，同学们有时候会在代数式求值的过程中出错，导致最终结果错误。
代数式求值是指根据给定的数值，将代数式中的未知数替换为具体的数值，计算得出结果。
在进行代数式求值时，同学们要仔细阅读题目，正确把握数值的取值范围，准确替换未知数，并进行正确的计算。
只有在求值上下文下，代数式才能得到准确的结果。
四、未列清楚步骤在解析式运算中，同学们有时候会在列式子的过程中步骤不清晰，从而导致结果错误。
在进行解析式运算时，同学们要养成规范列式子的习惯，确保每一步都清晰可读。
可以使用等号对齐、竖式计算等方式，使得列式子过程清晰明了。
这样不仅可以减少错误的发生，还有助于提高解答的整体逻辑性和可读性。
五、对常见公式理解不深在解析式运算中，同学们应掌握一些常见的代数运算公式，如乘法分配律、加法结合律等。
初一第一章的《绝对值》的几个难题(答案)
初一第一章的《绝对值》的几个难题:1、若01a <<，21b -<<-,则12_____12a b a b a b a b-++-+=-++。
2、若a 、b 为整数,且200820081a b c a -+-=；试求：c a a b b c -+-+-的值。
3、解方程：2218x x -+-=。
4、已知:关于x 的方程1x ax -=，同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值。
5、已知：a 、b 、c 是非零有理数,且a +b +c =0；求：a b c abc a b c abc+++。
6、设abcde 是一个五位数,其中a 、b 、c 、d 、e 是阿拉伯数字,且a <b 〈c 〈d ,试求y a b b c c d d e =-+-+-+-的最大值。
7、求关于x 的方程21(01)x a a --=<<所有解的和.8、若1x 、2x 都满足条件：21234x x -++=且12x x <，则12x x -的取值范围是 .9、已知：(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=;求:x +2y +3z 的最大值和最小值。
10、解方程: ①314x x -+=； ②311x x x +--=+； ③134x x ++-=。
初一第一章的《绝对值》的几个难题（的解答）：知识点:1、绝对值的定义：表示一个数的点到原点的距离就叫做这个数的绝对值。
2、绝对值的代数意义：(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ 3、绝对值的基本性质： ①非负性：0a ≥； ②ab a b =； ③(0)a a b b b =≠； ④22a a =； ⑤a b a b a b -≤+≤+； ⑥a b a b a b -≤-≤+。
难题:1、若01a <<，21b -<<-，则12_____12a b a b a b a b-++-+=-++。
(易错题精选)初中数学代数式易错题汇编含答案解析(1)
（易错题精选）初中数学代数式易错题汇编含答案解析(1)一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．222()ab a b =C ．()325a a =D ．224a a a += 【答案】B【解析】【分析】根据积的乘方运算法则和同底数幂的运算法则分别计算即可解答．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，故A 错误；B. 222()ab a b =，正确；C. ()326a a =，故C 错误；D. 2222a a a +=，故D 错误．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的运算运算法则，掌握并灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．2．一种微生物的直径约为0.0000027米，用科学计数法表示为（ ）A ．62.710-⨯B ．72.710-⨯C ．62.710-⨯D ．72.710⨯【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数科学记数法所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：0.0000027的左边第一个不为0的数字2的前面有6个0，所以指数为-6，由科学记数法的定义得到答案为62.710-⨯.故选A.【点睛】本题考查了绝对值小于1的正数科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯.3．已知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199＝（ ）A ．7500B ．10000C ．12500D ．2500【答案】A【解析】【分析】用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可.【详解】解：101+103+10 5+107+…+195+197+199＝22 119919922++⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1002﹣502，＝10000﹣2500，＝7500，故选A．【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．4．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（）A．（11，3）B．（3，11）C．（11，9）D．（9，11）【答案】A【解析】试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N排排N个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数根据此规律即可得出结论．解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数．故选A．考点：坐标确定位置．5．下列运算正确的是（）A．x3+x5=x8 B．(y+1)(y-1)=y2-1 C．a10÷a2=a5 D．(-a2b)3=a6b3【答案】B【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案．【详解】A、x3+x5，无法计算，故此选项错误；B、（y+1）（y-1）=y2-1，正确；C、a10÷a2=a8，故此选项错误；D、（-a2b）3=-a6b3，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．6．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是()A．点F B．点E C．点A D．点C【答案】A【解析】分析：利用菱形的性质，电子甲虫从出发到第1次回到点A共爬行了8cm（称第1回合），而2014÷8=251……6，即电子甲虫要爬行251个回合，再爬行6cm，所以它停的位置是F点．详解：一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，从出发到第1次回到点A共爬行了8cm，而2014÷8=251……6，所以当电子甲虫爬行2014cm时停下，它停的位置是F点．故选A．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．7．如图1所示，有一张长方形纸片，将其沿线剪开，正好可以剪成完全相同的8个长为a，宽为b的小长方形，用这8个小长方形不重叠地拼成图2所示的大正方形，则大正方形中间的阴影部分面积可以表示为（）A ．2()a b -B ．29bC ．29aD ．22a b -【答案】B【解析】【分析】 根据图1可得出35a b =，即53a b =，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +，阴影部分的面积即为正方形的面积与长方形面积的差．【详解】解：由图可知，图1长方形的面积为8ab ，图2正方形的面积为2(2)a b +∴阴影部分的面积为：22(2)8(2)a b ab a b +-=-∵35a b =，即53a b = ∴阴影部分的面积为：222(2)()39b b a b -=-= 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式，根据图1得出a ，b 的关系是解此题的关键．8．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（ ） A ．228421a a a -++B ．328421a a a +--C ．381a -D ．381a +【答案】D【解析】【分析】利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：根据题意，得：S 长方形=(4a 2−2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1，故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键．9．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】【分析】 根据勾股定理可以求得a 2+b 2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值．【详解】解：根据勾股定理可得a 2+b 2=9， 四个直角三角形的面积是：12ab×4=9﹣1=8， 即：ab=4．故选A ．考点：勾股定理．10．若多项式x 2+mx +4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ） A ．4B ．﹣4C ．±2D ．±4【答案】D【解析】【分析】利用完全平方公式因式分解2222=()a ab b a b ±+±计算即可．【详解】解：∵x 2+mx +4＝（x ±2）2，即x 2+mx +4＝x 2±4x +4，∴m ＝±4．故选：D ．【点睛】本题要熟记完全平方公式，尤其是两种情况的分类讨论．11．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190【答案】D【解析】试题解析：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，故选 D．考点：完全平方公式．12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．7 B．12 C．13 D．25【答案】C【解析】【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列式整理得a2＋b2−2ab＝1，2ab ＝12，求出a2＋b2即可．【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得：a2−b2−2（a−b）b＝1，即a2＋b2−2ab＝1，由图乙得：（a＋b）2−a2−b2＝12，即2ab＝12，所以a2＋b2＝13，即正方形A，B的面积之和为13，【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是根据图形列出算式．13．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+-g g =1()()2x y x y -+g =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.14．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b b a +-B ．11(1)(1)22x x +-- C ．(3)(3)x y x y --+D ．()()m n m n ---+ 【答案】D【解析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】（-m-n ）（-m+n ）=（-m ）2-n 2=m 2-n 2，故选D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．如图，从边长为(4a +)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．16．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ）A ．42B ．43C ．56D ．57【答案】B【分析】根据题意得出得出第n 个图形中菱形的个数为n 2+n+1；由此代入求得第⑧个图形中菱形的个数．【详解】第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；…，第n 个图形中菱形的个数为：n 2+n+1；第⑥个图形中菱形的个数62+6+1=43．故选B ．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．17．下列计算正确的是（）A ．4482a a a +=B ．236a a a •=C ．4312()a a =D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式逐项判断，即可求解.【详解】A 、4442a a a +=，故错误；B 、235a a a •=，故错误；C 、4312()a a =，正确；D 、624a a a ÷=，故错误；故答案为：C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式.18．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ）A ．10B ．6C ．5D ．3【答案】D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n ，∴55×5=52n ，则56=52n ，解得：n =3．故选D ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．19．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）A ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2D ．（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab【答案】B【解析】【分析】 根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a ﹣b ）2；图2中阴影部分的面积为：a 2﹣2ab+b 2； ∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．20．下列计算，正确的是（ ）A ．2a a a -=B ．236a a a =C ．933a a a ÷=D ．()236a a = 【答案】D【解析】A.2a 和a,和不能合并,故本选项错误;B.2356a a a a ⋅=≠ ,故本选项错误;C.9363a a a a ÷=≠,和不能合并,故本选项错误;a a=,故本选项正确;D.()236故选D.。
初中数学绝对值重点难点突破(含练习题和答案)
初中数学知识点绝对值重点难点突破（含练习题和答案）一、绝对值定义数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值.二、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即(1)如果a>0，那么|a|=a；(2)如果a=0，那么|a|=0；(3)如果a<0，那么|a|=-a.用式子可表示为：三、重点归纳①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.②两个互为相反数的数的绝对值相等.反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
③求一个数的绝对值就是去绝对值符号，所以求一个数的绝对值，必须先判断绝对值符号里的数，再去绝对值符号.如果绝对值里的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，当绝对值里面的数的正负性不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0、小于0、等于0、这三类来计论。
例题1|x-2|的绝对值为答案解析(1）如果x-2>0，即x>2，那么|x-2|=x-2(2)如果x-2=0，即x=2，那么|x-2|=0(3)如果x-2<0，即x<2，那么|x-2|=2-x④一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
⑤在数轴上，由于距离总是正数和零，则有理数的绝对值不可能是负数，因此任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的这一性质表现为：(1） |a|≥0，即 |a| 有最小值；(2）若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零，即|a|+|b| +|c|+…+|z|=0,则a=b=c=…=z=0.例题2已知|3-x|+(2x-y)²=0，那么x+y的值为答案 9解析由绝对值和偶次幂的非负性可得3-x=0，x=3；2x-y=0,y=6，所以x+y=9.练习题1、检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，4个足球检测质量分别是，+0.9，-3.6，-0.8，+2.5，从轻重的角度看，最接近标准的是。
初一数学绝对值难题解析完整版
初一数学绝对值难题解析Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a（当a≥0）,|a|＝－a（当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。
解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。
七年级绝对值问题易错题总结(含答案)
七年级绝对值问题易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.若ax=ay，那么下列等式一定成立的是()A. x=yB. x=|y|C. (a−1)x=(a−1)yD. 3−ax=3−ay【答案】D【解析】解：A、当a=0时，x与y不一定相等，故本选项错误；B、当a=0时，x与|y|不一定相等，故本选项错误；C、当a=0时，x与y不一定相等，故本选项错误；D、等式ax=ay的两边同时乘−1，再同时加上3，该等式仍然成立，故本选项正确．故选：D．利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．本题主要考查等式的性质．运用等式性质2时，必须注意等式两边所乘的(或除以的)数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．2.数轴上A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，且满足|c−b|−|a−b|=|a−c|，则A，B，C三点的位置可能是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查绝对值性质：正数绝对值等于本身，0的绝对值是0，负数绝对值等于其相反数．由A、B、C在数轴上的位置判断出a、b、c的大小关系，根据绝对值的性质去绝对值符号，判断左右两边是否相等即可．【解答】解：A.当a<c<b时，|c−b|−|a−b|=b−c+a−b=a−c，|a−c|=c−a，此选项错误；B.当a<b<c时，|c−b|−|a−b|=c−b+a−b=c+a−2b，|a−c|=c−a，此选项错误；C.当c<a<b时，|c−b|−|a−b|=b−c+a−b=a−c，|a−c|=a−c，故此选项正确；D.当c<b<a时，|c−b|−|a−b|=b−c−a+b=−c−a+2b，|a−c|=a−c，此选项错误．故选C．3.如果|x+y−3|=2x+2y，那么(x+y)3的值为()A. 1B. −27C. 1或−27D. 1或27【答案】A【解析】【分析】先根据|x+y−3|=2x+2y=2(x+y)≥0，得到x+y≥0，再根据绝对值的性质，分类讨论即可得出x+y的值．本题主要考查了绝对值的性质以及乘方的运用，解题时注意：任意一个有理数的绝对值是非负数．【解答】解：∵|x+y−3|=2x+2y=2(x+y)，∴x+y≥0，当x+y−3=2(x+y)时，x+y=−3(舍去)，当x+y−3=−2(x+y)时，x+y=1，(符合题意)，∴(x+y)3的值为1．故选：A．4.下列说法正确的是()①一个数的绝对值一定是正数；②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；③任何有理数小于或等于它的绝对值；④绝对值最小的自然数是1．A. ①②B. ①②③C. ②③D. ②③④【答案】C【解析】解：∵一个数的绝对值是正数或0，∴选项①不符合题意；∵绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，∴选项②符合题意；∵任何有理数小于或等于它的绝对值，∴选项③符合题意；∵绝对值最小的自然数是0，∴选项④不符合题意．故选：C．根据有理数的定义和分类，以及相反数、绝对值的含义和求法，逐项判断即可．此题主要考查了有理数的定义和分类，以及相反数、绝对值的含义和求法，要熟练掌握．5.数轴上A，B，C三点所表示的数分别是a,b,c，且满足|c−b|=|a−b|+|a−c|，则A，B，C三点的位置可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】略6.符号语言“|a|=−a(a≤0)”所表达的意思是()A. 正数的绝对值等于它本身B. 负数的绝对值等于它的相反数C. 非正数的绝对值等于它的相反数D. 负数的绝对值是正数【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了绝对值和相反数，关键是掌握绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．根据a的取值范围可得a为非正数，再根据等式|a|=−a可得非正数的绝对值等于它的相反数．【解答】解：“|a|=−a(a≤0)”所表达的意思非正数的绝对值等于它的相反数，故选C．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）7.数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|2a−b|−|b−a|+|b|=_______．【答案】a−b【解析】【分析】此题考查有理数的大小比较和绝对值的化简，解题的关键是根据数轴得出有关字母的大小进行解答．先根据有理数的大小比较比较大小，再根据绝对值的化简解答即可．【解答】解：∵−2<b<−1<0<a<1，∴2a−b>0，b−a<0，b<0，∴|2a−b|−|b−a|+|b|=2a−b+b−a−b=a−b．故答案为：a−b．8.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|a+c|+|c−b|−|a+b|=．【答案】0【解析】略9.若实数m，n，p满足m<n<p(mp<0)且|p|<|n|<|m|，则|x−m|+|x+n|+|x+p|的最小值是______．【答案】−m−n【解析】解：∵mp<0，∴m、p异号，∵m<p，∴p>0，m<0，∵m<n<p且|p|<|n|<|m|，∴n<0，如图所示：∴当x=−p时，|x−m|+|x+n|+|x+p|有最小值，其最小值是：|x−m|+|x+n|+ |x+p|=|−p−m|+|−p+n|+|−p+p|=−p−m−n+p=−m−n，则|x−m|+|x+n|+|x+p|的最小值是−m−n，故答案为：−m−n．先根据mp<0，确认p>0，m<0，再根据已知可得：n<0，并画数轴标三个实数的位置及−n和−p的位置，根据图形可知：当x=−p时，|x−m|+|x+n|+|x+p|有最小值，代入可得最小值．本题考查绝对值的几何意义，即这个数表示的点到原点的距离．10.数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|2a−b|−|b−a|+|b|=______．【答案】a−b【解析】解：∵−2<b<−1<0<a<1，∴2a−b>0，b−a<0，b<0，∴|2a−b|−|b−a|+|b|=2a−b+b−a−b=a−b．故答案为：a−b．先根据有理数的大小比较比较大小，再根据绝对值的化简解答即可．此题考查有理数的大小比较和绝对值的化简，解题的关键是根据数轴得出有关字母的大小进行解答．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分）11.定义：关于x的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“申花式”.例如，式子3x+4与4x+3互为“申花式”.(1)判断式子−5x+2与−2x+5______(填“是”或“不是”)互为“申花式”；(2)已知式子ax+b的“申花式”是3x−4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B．①化简|x+a|+|x+b|的值为7，则x的取值范围是______；②数轴上有一点P到A、B两点的距离的和PA+PB=11，求点P在数轴上所对应的数．【答案】解：(1)∵−5x+2与−2x+5的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项，∴它们不互为“申花式”，故答案为：不是；(2)①∵式子ax+b的“申花式”是3x−4，∴a=−4，b=3，∵|x+a|+|x+b|=7，∴|x−4|+|x+3|=7，当x<−3时，4−x−x−3=7，解得x=−3(舍去)；当−3≤x≤4时，4−x+x+3=7，解得，x为−3≤x≤4中任意一个数；当x>4时，x−4+x+3=7，解得x=4(舍去)．综上，−3≤x≤4．故答案为：−3≤x≤4．②∵PA+PB=11，∴当P点在A作左边时，有PA+PA+AB=11，即2PA+7=11，则PA=2，于是P为−4−2=−6；当P点在A、B之间时，有PA+PB=AB=7≠11，无解；当P点在B点右边时，有2PB+AB=11，则PB=2，于是P为3+2=5，综上，点P在数轴上所对应的数是−6或5【解析】(1)根据定义的特征：任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，(2)①把a、b的值代入|x+a|+|x+b|=7，解绝对值方程便可；②分三种情况：当P点在A作左边时，当P点在A、B之间时，当P点在B点右边时，由线段和差关系求得PA或PB的值，进而得P点表示的数；本题主要考查了新定义，数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解新定义，把新的知识转化为常规知识进行解答．12.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示3和1的两点之间的距离是________；表示−3和4两点之间的距离是_______；所以，一般地数轴上表示数m和数n的两点之间的距离是________．(2)若数轴上一点表示为数a，化简|a+4|+|a−2|．(3)已知数轴上点B，C所表示的数分别是−4，5.在数轴上有两个动点P，Q，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为2个单位长度/秒，点P，Q分别从点B，C 同时出发相向而行，在数轴上运动，则经过多少时间后P，Q两点相距4个单位长度？【答案】解：(1)2；7；|m−n|；(2)当a<−4时，原式=−a−4+2−a=−2a−2；当−4⩽a<2时，原式=4+a+2−a=6；当a⩾2时，原式=a+4+a−2=2a+2；(3)设经过t秒后P，Q两点相距4个单位长度，则P:−4+t，Q:5−2t，|PQ|=|−4+t−5+2t|=|3t−9|=4，解得：t=133或t=53．【解析】【分析】本题考查了数轴，绝对值，一元一次方程的应用，两点间的距离．(1)根据数轴的概念，即可求得答案；(2)分不同情况，结合两点之间的距离，即可求得答案；(3)设经过t秒后P，Q两点相距4个单位长度，则P:−4+t，Q:5−2t，利用两点之间的距离可得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：(1)数轴上表示3和1的两点之间的距离是2；表示−3和4两点之间的距离是7；所以，一般地数轴上表示数m和数n的两点之间的距离是|m−n|．故答案为2；7；|m−n|；。
绝对值计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享
绝对值计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享绝对值是数学中常见的概念，它是指一个数与零的距离。
在数学教学中，绝对值的计算是一个基础而且重要的内容。
然而，由于学生对于绝对值的概念理解不深刻，常常容易出现错误的情况。
本文将通过人教版教学实例分享，介绍绝对值计算中常见的错误以及相应的纠正方法。
一、绝对值的定义和性质在介绍绝对值的计算错误之前，我们先来回顾一下绝对值的定义和性质。
对于任意实数a，其绝对值记作|a|，定义为：1. 若a≥0，则|a|=a；2. 若a<0，则|a|=-a。
绝对值的主要性质包括：1. |a|≥0，绝对值非负；2. 若a≥0，则|a|=a，即正数的绝对值是其本身；3. 若a<0，则|a|=-a，即负数的绝对值是其相反数。
了解了绝对值的定义和性质，我们可以更好地理解绝对值计算中的常见错误，并能够有针对性地进行纠正。
二、常见的绝对值计算错误1. 错误：混淆正数与负数的绝对值在计算绝对值时，有些学生会混淆正数与负数的绝对值计算方法。
他们可能会错误地认为正数的绝对值就是该数本身，负数的绝对值就是去掉负号。
例如，对于|-3|，有些学生会错误地计算为3。
2. 错误：运算时忽略负号在进行绝对值计算时，有些学生可能会不注意负号，忽略了负数的负号符号。
例如，对于|-4|+3，他们可能会错误地计算得7，而忽略了-4的负号。
3. 错误：将绝对值只作用于括号内部数值在解决绝对值运算中的复杂表达式时，一些学生可能误认为绝对值只作用于括号内部的数值，而不考虑其它部分。
例如，对于|3+5|，他们可能会错误地将结果计算为8，而忽略了绝对值的作用范围应该是整个表达式。
三、常见错误的纠正方法1. 纠正方法：理解正数与负数的绝对值计算方法为了正确计算绝对值，学生需要充分理解正数与负数的绝对值计算方法。
正数的绝对值是其本身，即|a|=a（a≥0）；负数的绝对值是其相反数的绝对值，即|a|=-a（a<0）。
绝对值的易错题
绝对值的易错题
绝对值通常涉及数学概念，特别是在解决绝对值问题时容易出错。
以下是一些关于绝对值的易错题示例，它们旨在考察对绝对值概念的理解和应用：
1. 求解绝对值表达式
a)∣3x−7∣=11，求x的值。
b) 如果∣2y−5∣=−3，那么y的值是多少？
2. 绝对值的性质
a) 如果∣x∣=5，那么x可能是多少？（有多个解）
b) 对于任何实数a，∣∣∣a∣ 的值会是正数还是零？为什么？
3. 绝对值的运算
a) 计算∣6−∣3−8∣∣∣6−∣3−8∣∣。
b) 如果∣x∣=−2，那么x的值是多少？（提示：绝对值永远是非负数）
4. 不等式中的绝对值
a) 对于∣x−3∣>7，x的解集是什么？
b) 如果∣2z+1∣≤5，z的解集是什么？
5. 绝对值的图像与理解
a) 绘制函数y=∣x−2∣ 的图像。
b) 解释什么是y=∣x∣ 图像的对称性，并解释其在原点处的特点。
这些题目涵盖了绝对值的基本概念、运算规则、不等式、方程等方面。
解答这些问题可以帮助加深对绝对值的理解，同时提醒注意细节，避免在计算或推理中犯错。
(易错题精选)初中数学代数式知识点总复习有答案解析
（易错题精选）初中数学代数式知识点总复习有答案解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．2571a a a -÷=B ．()222a b a b +=+C ．2+=D ．()235a a =【答案】A【解析】 分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．详解：A 、2571a a a -÷=，正确； B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故此选项错误；C 、，无法计算，故此选项错误；D 、（a 3）2=a 6，故此选项错误；故选：A ．点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．计算3x 2﹣x 2的结果是（ ）A ．2B ．2x 2C ．2xD ．4x 2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得．【详解】3x 2﹣x 2=（3-1）x 2=2x 2，故选B ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.3．下列各运算中，计算正确的是( )A ．2a•3a ＝6aB ．(3a 2)3＝27a 6C ．a 4÷a 2＝2aD ．(a+b)2＝a 2+ab+b 2【答案】B【解析】试题解析：A 、2a •3a =6a 2，故此选项错误；B 、（3a 2）3=27a 6，正确；C 、a 4÷a 2=a 2，故此选项错误；D 、（a+b ）2=a 2+2ab +b 2，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键．4．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．=D =【答案】D【解析】【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算．【详解】解：A 、a 6÷a 3=a 3，故不对；B 、（a 3）2=a 6，故不对；C 、和不是同类二次根式，因而不能合并；D 、符合二次根式的除法法则，正确．故选D ．5．下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2）3=a 6D ．（ab ）2=ab 2【答案】C【解析】试题解析：A.a 2与a 3不是同类项，故A 错误；B.原式=a 5，故B 错误；D.原式=a 2b 2，故D 错误；故选C.考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．6．下列运算正确的是（ ）A ．21ab ab -=B 3=±C ．222()a b a b -=-D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.【详解】解：A 项，2ab ab ab -=，故A 项错误；B 3=，故B 项错误；C 项，222()2a b a ab b -=-+，故C 项错误；D 项，幂的乘方，底数不变，指数相乘，32236()a a a ⨯==.故选D【点睛】本题主要考查：（1）实数的平方根只有正数，而算术平方根才有正负.（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+.7．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（ ） A ．736- B ．736 C ．- 1 D ．367【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯ 736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．8．（x 2﹣mx +6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ）A ．0B ．23C ．﹣23D ．﹣32【答案】C【解析】试题解析：（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）=3x 3﹣（2+3m ）x 2+（2m+18）x ﹣12，∵（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，∴2+3m=0，解得，m=23-， 故选C ．9．若2m ＝5，4n ＝3，则43n ﹣m 的值是( )A ．910B ．2725C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解．【详解】∵2m ＝5，4n ＝3，∴43n ﹣m =344n m =32(4)(2)n m =3235=2725 故选B.【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键.10．下列计算正确的是（ ）A ．a•a 2＝a 2B ．（a 2）2＝a 4C ．3a+2a ＝5a 2D ．（a 2b ）3＝a 2•b 3【答案】B【解析】本题考查幂的运算．点拨：根据幂的运算法则．解答：2123a a a a +⋅== ()22224a a a ⨯== 325a a a += ()3263a b a b = 故选B ．11．下列运算正确的是（ ）A ．426x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．222()x y x y -=-【答案】C【解析】试题分析：4x 与2x 不是同类项，不能合并，A 错误；235x x x ⋅=，B 错误；236()x x =，C 正确；22()()x y x y x y -=+-，D 错误．故选C ．考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．12．下列计算，正确的是（ ）A ．2a a a -=B ．236a a a =C ．933a a a ÷=D ．()236a a = 【答案】D【解析】A.2a 和a,和不能合并,故本选项错误;B.2356a a a a ⋅=≠ ,故本选项错误;C.9363a a a a ÷=≠,和不能合并,故本选项错误;D.()236 a a =,故本选项正确;故选D.13．已知单项式2m 13a b -与n 7a b -互为同类项，则m n +为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据同类项的概念求解．【详解】解：Q 单项式2m 13a b -与7a b n -互为同类项， n 2∴=，m 11-=，n 2∴=，m 2=．则m n 4+=．故选D ．【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．14．已知多项式x -a 与x 2+2x -1的乘积中不含x 2项，则常数a 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-2【答案】C【解析】分析：先计算（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1），然后将含x 2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a 的值．详解：（x ﹣a ）（x 2+2x ﹣1）=x 3+2x 2﹣x ﹣ax 2﹣2ax +a=x 3+2x 2﹣ax 2﹣x ﹣2ax +a=x 3+（2﹣a ）x 2﹣x ﹣2ax +a令2﹣a =0，∴a =2．故选C ．点睛：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．15．图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A ．abB ．2()a b +C ．2()a b -D ．22a b -【答案】C【解析】【分析】 图（2）的中间部分是正方形，边长为a-b ，根据图形列面积关系式子即可得到答案.【详解】中间部分的四边形是正方形，边长为：a+b-2b=a-b ，∴面积是2()a b -，故选：C.【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，观察图形得到线段之间的关系是解题的关键.16．如图，从边长为(4a +)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（1a +）cm 的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(315)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(615)a cm +【答案】D【解析】【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．【详解】矩形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a 2+8a+16）-（a 2+2a+1）=a 2+8a+16-a 2-2a-1=6a+15．故选D ．17．已知x=2y+3，则代数式9-8y+4x 的值是（ ）A ．3B ．21C ．5D ．-15【答案】B【解析】【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案.【详解】解:∵x=2y+3∴x-2y=3∴98494(2y x y x -+=--⨯)=9-4(-3)=21故选：B【点睛】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键.18．下列计算正确的是（）A ．4482a a a +=B ．236a a a •=C ．4312()a a =D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式逐项判断，即可求解.【详解】A 、4442a a a +=，故错误；B 、235a a a •=，故错误；C 、4312()a a =，正确；D 、624a a a ÷=，故错误；故答案为：C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则、同底数幂的乘除法公式、幂的乘方公式.19．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．20．下列运算正确的是（ ）A ．x 3+x 5=x 8B ．(y+1)(y-1)=y 2-1C ．a 10÷a 2=a 5D ．(-a 2b)3=a 6b 3【答案】B【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案．【详解】A 、x 3+x 5，无法计算，故此选项错误；B 、（y+1）（y-1）=y 2-1，正确；C 、a 10÷a 2=a 8，故此选项错误；D 、（-a 2b ）3=-a 6b 3，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．。
绝对值常考题型分析
绝对值常考题型分析1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用知识梳理一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例题精讲【题目】已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）【选项】A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b【答案】A【解析】| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
此题的求解使用了数形结合思想。
【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）【选项】A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号【答案】C【解析】由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
绝对值易错梳理
绝对值绝对值几何意义一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义一个正数绝对值是它本身；一个负数绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． ab -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．去绝对值符号 基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。
绝对值不等式（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解； （2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
解绝对值问题的常见错误
学生在解关于绝对值的化简题目，如实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式∣a∣-∣a+b∣+∣c-a∣+∣b-c∣的值等于____________________________错误较多。
常见错误有：∣a∣-∣a+b∣+∣c-a∣+∣b-c∣=a-a+b+c-a+b-c=-a+2b。
错误之一∣a∣=a原因分析：受习惯思维影响，数字前面带“-”号是负数，把它迁移到字母中，认为a是正数，-a是负数，所以∣a∣=a；2.不看数轴，或看了数轴还是∣a∣=a。
纠正办法：1.明确a在原点左边，是负数；2.负数的绝对值是它的相反数；3.相反数的表示是在数或字母的前面加一“-”号；综合起来：∣a∣=-a。
错误之二∣a+b∣=a+b原因分析：1.对有理数加法法则不熟悉，或知道不会运用；2.不把a+b作为一个整体；3.把绝对值符号∣∣认为与括号一样；所以出现了∣a+b∣=a+b纠正办法：1.明确a在原点左边，是负数，明确b在原点左边，是负数，两负数相加，结果是负数；2.要把a+b作为一个整体，应加括号；3.负数的绝对值是它的相反数；去掉绝对值符号后，是在(a+b)前加一“-”号；4.∣a+b∣前原来的符号照抄下来。
错误之三∣b-c∣=b-c的原因分析：1.认为∣c-a∣=c-a，所以∣b-c∣=b-c2.不清楚b-c是负数。
纠正方法也与上面一样：既然∣c-a∣=c-a，是因为c-a是正数，∣b-c∣=b-c错的原因是因为b-c是负数，我们可以仿照错误二的纠正方法在(b-c)前加一“-”号；我们也可从另一个角度来纠正：先把绝对值里面做一个变化，由∣b-c∣=∣c-b∣，而∣c-b∣=c-b，所以∣b-c∣=c-b。
《绝对值》十个易错点
《绝对值》十个易错点
在有理数的学习中，绝对值是一个重要的知识点，也比较难。
由于接触绝对值概念的时间比较短，对其认识不深刻，常见的错误有：
1. 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数。
分析：正数的绝对值等于其本身，但0的绝对值也等于其本身，所以，绝对值等于其本身的数可能是正数，也可能是0。
正确的说法是：一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数。
2. 一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数。
分析：正确的回答是：绝对值等于它的相反数的数是负数或0（也就是非正数）。
3. 如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等。
3
3
4. 如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值一定不等。
分析：错。
由3知，两个数不等，它们的绝对值有可能相等。
5. 有理数的绝对值一定是正数。
分析：错。
因为0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，所以有理数的绝对值是非负数。
6. 没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数。
分析：没有最小的有理数。
但负数与正数的绝对值都是正数，而0的绝对值是0。
0小于一切正数，所以绝对值最小的数是0。
7.
8. 绝对值不大于5的整数有8个。
分析：错。
一是错把不大于理解为小于了；二是漏掉了0。
正确的答案是绝对值不大于
5的数有11，1，2，3，4，5。
9. 两个有理数为a，b
10.。
探究绝对值不等式中的“易错问题
探究绝对值不等式中的“易错问题欧科学《不等式选讲》在高考中主要围绕绝对值不等式的解法及简单不等式的证明展开，凸显不等式的工具性和应用性，本文针对绝对值不等式中的“易错问题”进行全方位的剖析。
一、求解绝对值不等式的解集时易忽略对参数的分类讨论例/（2022年福建高三（理）模拟节选）已知函数f（某）=|a某+1|，aER。
若关于某的不等式f（某）《3的解集为{某|-2《某《1}，求实数a的值。
错解：由f（某）《3得|a某+1|《3，即剖析：求解中注意到不等式与对应方程之间的关系，但在解不等式组-4《ac《2时忽略了对参数的讨论，误认为a》0，凑巧求对结果。
正解2：由f（某）《3得|a某+1|《3，平方可得a"某？+2a某-8=0。
又f（某）《3的解集为{某|-2《某《1}，则当a=0时，不符合题意;当a0时，由二次不等式与二次方程的对应关系知，反思：由绝对值不等式的解集求待定参数的问题，关键是用“定义法或平方法”去掉绝对值，正解1转化为一次不等式组的解集，正解2转化为二次不等式的解集，利用不等式与函数方程之间的一对应关系构建方程组求解，探究过程中应依据参数和零的大小关系合理进行分类。
二、证明绝对值不等式时易忽略二元变量的几何意义和绝对值不等式的性质例2（2022年陕西西安模拟节选）已知函数f（某）=|2某-1|，某ER。
若对于任意人求证，致使取值范围扩大，造成错误。
正解：利用待定系数法和绝对值不等式的性质进行解题。
设2某-1=m （某-y-1）+n（2y+l）=m某+（2n-m）y+n-m，则反思：二元变量的一次不等式组，实质为平面直角坐标系下的平面区域，由不等式组不能单独求，y的范围，否则会扩大范围，必须整体代换，用待定系数法沟通所求變量与已知变量的关系，借助绝对值不等式的性质放缩求解。
形如y=|.某a|+|某b|的函数只有最小值;形如y=|.某al-|.某b|的函数既有最大值，又有最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 2、已知关于 x 、 y 的多项式 2 x ax y 6 2bx 3x 5 y 1 . ⑴当 a =_____， b =_____时，此代数式的值与字母 x 的取值无关； 2 2 2 2 ⑵将多项式 3 a 2ab b 4 a ab b 化简，并在⑴的条件下求其值．
解：⑴化简，合并同类项，得： 原式= (2 2b) x2 (a 3) x 6 y 7 故当 2 2b 0, a 3 0 时，代数式的值与 x 的取值无关. 即 a 3, b 1 .
(2)化简后代入求值即可. 3、 已知三个关于 x, y 的单项式 axy3 , xyb1 , 2 xa 1 y 2 相加的和仍然是一个单项式，求 a b 的值. 解：单+单+单=单，一共有三种可能： （1） 三个单项式互为同类项 （2） 其中一个单项式为 0，另两个单项式互为同类项 （3） 其中两个单项式相加为 0 这道题，第(1)种情况必然不可能.（为什么？） 若为第(2)种情况，只能 a 0 ，此时 a 1 1 ，可以.还需要 b 1 2 ,即 b 1 ，满足题意. 若为第(3)种情况:① axy3 xyb1 0 时， a 1 ， b 1 3 ，即 b 2 ，满足题意; ② axy3 2 xa 1 y 2 0 时，无解 ③ xyb1 2 xa 1 y 2 0 ，无解 综上， a b 1 或 3. 4、 若 a2 3a 1 0 ，求 300a3 1000a2 200 的值. 解：原式= 100(3a3 10a2 2) = 100(3aa b a 1 b b ②判断 负 负 正 正 = (a b) (a) (1 b) b ③化简 = a b a 1 b b ④运算 = b 1 2、已知 a 0 c, ab 0 ， b c a ，化简 b a b c a b c ( b )2 . 解：由题知， a, b, c 在数轴上位置如图： （先画图！ ） 步骤：①统一 原式= b a b c a b c (b) ②判断 负 负 正 负 = b (a b) (c a) (b c) b ③化简 = b a b c a b c b ④运算 = 2b 3、已知 a b 0 ，化简 (a b 1)2 ( 3 a b )2 a b . 解：原式= a b 1 (3 a b) a b = (a b 1) 3 a b (a b) = a b 1 3 a b a b = a b 2
重点易错题 01（绝对值与代数式）解析 一、 绝对值化简
必须严格按照“四步走”完成解题，写整齐，不要跳步 四步走：①统一（利用 a 2 a ） 把“内平方外根号”化成绝对值(注意区分内根号外平方) ②判断 每一个绝对值内整体的正负性 ③化简 打开每一个绝对值 ④运算 包括去______和合并_________ 1、设有理数 a, b 在数轴上的位置如图，化简 a b a 1 b (b)2 .
3 2 2 = 100 (3a 9a ) a 2 2 2 = 100 3a(a 3a ) a 2
= 100 3a a 2 2 = 100 1 2 = 100
通过构造与条件形式相同的代数式，进行化简。或者由 a2 1 3a 进行降次化简也可.
二、 代数式
遵循先化简，再求值的解题思路.
3 1、 已知 xy 3, x y 1 ,求代数式 2(3x2 y xy 2 xy) (2 xy 5x 2 y xy 2 ) 的值. 2 2 2 2 2 解：原式= 6 x y 2 xy 3xy 2 xy 5x y xy