高中数学 2.1证明中的几种常见错误总结 新人教A版选修2-2 (2)
人教版数学高二A版选修2-2素材 1.3 导数应用题 典型错析
导数应用题 典型错析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、导数的定义理解不清例1. 已知函数f x x a ()log =+1，求lim ()()∆∆∆x f x f x→--0121 错解：因为f x x a ()log =+1 ∴f x xe a '()log =1 ∴lim ()()'()log ∆∆∆x af x f xf e →--==01211 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数f x y x f x x f x xx x '()lim lim ()()00000==+-→→∆∆∆∆∆∆ 函数在某一点x 0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x 必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2∆x ，12∆x 等。
∴lim ()()∆∆∆x f x f x→--0121 ()=----⎡⎣⎢⎤⎦⎥=----=-=-→→lim ()()()lim ()'()log ∆∆∆∆∆∆x x a f x f x f x f xf e001212221212212·二、f x '()0为极值的充要条件理解不清例2. 函数f x x ax bx a ()=+++322在x =1处有极值10，求a 、b 的值。
错解：f x x ax b '()=++322，由题意知f '()10=，且f ()110=即230a b ++=，且a a b 2110+++=解之得a b ==-411，或a b =-=33，剖析：错误的主要原因是把f x '()0为极值的必要条件当作了充要条件，f x '()0为极值的充要条件是f x '()00=且x 0附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：当a b ==-411，时()()f x x x x x '()=+-=+-381131112 在x =1附近两侧的符号相反，∴，a b ==-411当a b =-=33，时，()f x x '()=-312在x =1附近两侧的符号相同，所以a b =-=33，舍去。
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2 1.2 导数的运算易错点分析
导数的运算易错点分析山东 秦振导数的运算既是导数的重点也是其难点，学生在学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分析如下，给大家参考。
一、概念不清例1 若函数()f x 在x=a 处的导数为A ，求0()()limx f a x f a x x ∆→+∆--∆∆。
错解 因为f(x)在x=a 处的导数为 A ，即0()()lim x f a x f a x→+∆-∆0()(),lim x f a x f a A A x ∆→-∆-==∆。
所以0()()lim x f a x f a x x∆→+∆--∆∆ [][]0()()()()lim x f a x f a f a x f a x ∆→+∆---∆-=∆ 0()()lim x f a x f a x ∆→+∆-=∆0()()lim x f a x f a x →-∆--∆=A-A=0 辨析 错解认为“函数()f x 在x a =处的导数为A ”，就可得到0()()limx f a x f a x ∆→-∆-∆=A, 而由导数定义知，它们是不等价的，当然结果是错误的。
正解 由题意得0()()limx f a x f a x ∆→+∆-∆=A ，0()()lim x f a x f a x∆→-∆-∆ =0()()lim[x f a x f a x∆→-∆---∆]=-A 。
所以0()()lim x f a x f a x x ∆→+∆--∆∆=2A 。
二、对定义理解不深刻例2 求函数21(0)()1(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨+≥⎩的导数。
错解 由导数定义，得当0x ≤时，()2f x x '=；当0x >时，()1f x '=。
辨析 当0x >和0x <时，结果是正确的。
而0x =函数是否有导数，应该用定义求解。
正解 ()1当x<0时，()2f x x '=；()2当0x >时，()1f x '=；()3当0x =时， 因为0(0)()lim x f x f x x +∆→+∆-∆=()()00101lim x x x +∆→+∆+-+∆=0lim x x x+∆→∆∆=1，()00(0)lim x f x f x -∆→+∆-∆=20[(0)1]1lim x x x-∆→+∆+-∆=0lim x x -∆→∆=0；而0(0)(0)lim x f x f x -∆→+∆-∆≠0(0)(0)lim x f x f x+∆→+∆-∆。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习求解圆锥曲线问题中的陷阱分析
求解圆锥曲线问题中的陷阱分析 唐正敏 圆锥曲线是高中数学的重点内容之一.由于它涉及到代数、几何、三角等相关知识，覆盖面广，综合性较强，因此解题时常常出现这样或那样的错误，如对圆锥曲线曲线定义理解的不够透彻，或对圆锥曲线的性质把握不准，或忽视直线与曲线的特殊位置关系等而产生错误，且有的错误往往不易察觉.现列举九种常见陷阱进行剖析. 陷阱一、忽视中心位置的判断，导用标准方程致误 例1已知双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线方程.错解：由已知得x ＝a 2c ＝4，又c ＝10，∴a 2＝40，b 2＝c 2－a 2＝60，∴双曲线方程为x 240﹣y 260＝1. 剖析：上述错解不但随意减少题设条件“离心率为2”，而且随意增加题设条件“双曲线的中心在坐标原点”，导致错误.正解：由双曲线的第二定义得(x －10)2＋y 2|x －4|＝2，化简整理得双曲线方程为(x －2)216﹣y 248＝1.陷阱二、忽视焦点位置的判断，盲目导用结论致误例2已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10，求此双曲线方程. 错解：因渐近线关于坐标轴对称，故双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，设焦点在x 轴上，双曲线为x 2a 2–y 2b 2＝1，由a 2＋b 2＝(102)2，b a ＝12，解得a 2＝20，b 2＝5，故双曲线方程为x 220–y 25＝1，设焦点在y 轴上，双曲线方程为y 2a 2–x 2b 2＝1，同理，可求得此时双曲线方程为y 220–x 25＝1，所以要求的双曲线方程为x 220–y 25＝1或y 220–x 25＝1. 剖析：焦点在y 轴上时，实半轴a 在y 轴上，虚半轴b 在x 轴上，渐近线方程已不是y ＝±b a x ，故方程b a ＝12是错误的，这正是忽视焦点位置的变化，盲目套用渐近线方程y ＝±b a x 而造成的错误.正解：略.所求双曲线方程应为x 220–y 25＝1或y 25–x 220＝1. 陷阱三：忽视双曲线上点的位置，未作正确判断致误例3双曲线x 29﹣y 216＝1上有一点P 到左准线的距离为165，则P 到右焦点的距离为____________.错解：设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x 29﹣y 216＝1，的以a ＝3，c ＝5，从而离心率e ＝53，再由第二定义，易得|PF 1|＝ed 1＝53·165＝163，于是又由第一定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，得|PF 2|＝6±163. 剖析：以上出现两解的原因是考虑到P 可能在不同的两支上，没有正确作出点P 到底在双曲线的哪一支上.正解：若P 在右支上，则其到F 1的最短距离应为右顶点A 2到F 1的距离|A 2F 1|＝a ＋c ＝8，而163＜8，故点P 只能在左支，于是|PF 2|＝6＋163＝343. 陷阱四：忽视变量取值范围，遗漏分类讨论致误例4设双曲线的中心在坐标原点，准线平行于x 轴，离心率为52，若P(0,5)到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.错解：由e ＝52得a ＝2b ，则双曲线可设为y 24b 2–x 2b2＝1，若点P(0,5)与双曲线上的点Q(x,y)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －5)2＝14(y 2－4b 2)＋(y －5)2＝54(y －4)2＋5－b 2，所以当y ＝4时，(d 2)min ＝5－b 2＝4，b 2＝1，a 2＝4，所求双曲线方程为y 24–x 2＝1. 剖析：由双曲线的范围可知|y|≥2b ，b 应视为参数，在求d 2的最小值时必须分情况进行讨论.正解：d 2＝54(y －4)2＋5－b 2，若4≥2b ，即0＜b ≤2，上述解法成立；若4＜2b ，即b ＞2，则当y ＝2b 时，(d 2)min ＝4b 2－20b ＋25＝4，解得b ＝72或b ＝32(舍)，这时a 2＝49，所求双曲线方程为y 249–4x 249＝1. 陷阱五：忽视隐含条件的挖掘，问题得不到全面解决致误例5斜率为3的直线与等轴双曲线x 2－y 2＝6相交于两点P 1、P 2，求P 1P 2中点轨迹方程. 错解：设P 1、P 2中点P(x,y)，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，则x 12－y 12＝6…①，x 22－y 22＝6…②，①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2，即x y＝3， ∴y ＝3x 为点P 的轨迹方程.剖析：上述所求的结果必须以直线与双曲线相交的前提，而在整个解题中没有体现出直线与双曲线一定相交，因此对最后所求的结果必须进行检验，确定相交所必须满足的限制条件.正解：利用“代点法”求出P 点轨迹方程：y ＝3x ，再对y ＝3x 中的x 的取值范围进行讨论，设P 1P 2︰y ＝3x ＋b ，代入x 2－y 2＝6，得8x 2＋6bx ＋b 2＋6＝0，由△＞0得，b ＜－26或b ＞26，∵x ＝x 1＋x 22＝–38b ，∴x ＜–346或x ＞346，∴点P 的轨迹方程为y ＝3x(x ＜–346或x ＞346). 陷阱六：忽视定义中的关键条件，受思维定势的影响致误例6已知椭圆的准线是x ＝4，对应的焦点F(2,0)，离心率为12，求椭圆的方程. 错解1：∵c ＝2，∴a 2c ＝4，∴a ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 错解2：∵a 2c ＝4，c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 剖析：错解1中所得的方程表示的椭圆的离心率不是12，错解2中所得的方程的焦点不是(2，0)，这两种错误都源于受定势思维的影响，默认所求椭圆方程为标准形式，忽略了标准方程的中心在原点的关键条件.正解：由定义得(x －2)2＋y 2|x －4|＝12，化简整理后便得到椭圆方程3x 2＋4y 2－8x ＝0，显然不是标准形式.例7已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.错解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4，设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3，∴M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，且a ＝32，c ＝5，∴双曲线方程为49x 2–491y 2＝1.剖析：上本题的轨迹应该是双曲线的一支，而非整条双曲线，上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”.正解：∵|MF 2|－|MF 1|＝3，∴|MF 2|＞|MF 1|，即眯M 到F 2(5,0)的距离大于点M 到F 1(－5,0)的距离， ∴点M 的轨迹应该是双曲线的左支，∴双曲线方程为49x 2–491y 2＝1(x ＜0). 陷阱七：忽略特殊位置关系，误用充要条件致误例8已知双曲线x 2－y 2=1和点P(2,2)，设直线l 过点P 且与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程.错解：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)＋2，代入双曲线x 2－y 2＝1，整理，得(1－k 2)x 2－4k(1－k)x －4(1－k)2－1＝0…①，方程①的判别式为△＝12k 2－32k ＋20，由△＝0，解得k ＝53或k ＝1，所求直线l 的方程为x －y ＝0或y ＝53(x －2)＋2， 即x －y ＝0或5x －3y －4＝0.错因分析：错解误以为判别式△＝0是直线与双曲线只有一个公共点的充要条件.事实上，命题成立的充要条件是方程①有且仅有一个根.故应分类讨论.正解：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)＋2，代入双曲线x 2－y 2＝1，整理，得(1－k 2)x 2－4k(1－k)x －4(1－k)2－1＝0…①，(1)当1－k 2＝0时，即k ＝1或k ＝－1，而当k ＝1时方程①不成立；当k ＝－1时，直线的方程为x ＋y －4＝0.(2)当1－k 2≠0时，由前面错解知直线l 的方程为5x －3y －4＝0，即所求直线l 的方程为x ＋y －4＝0或5x －3y －4＝0.例9若直线y ＝kx －1与抛物线y 2＝(k －1)x 只有一个公共点，求k 值.错解：由⎩⎨⎧ y=kx －1y 2=(k －1)x，得k 2x 2＋(－3k ＋1)x ＋1＝0…(1)，△＝(－3k ＋1)2－4k 2＝0，解得k ＝15或1. 剖析：对于解决含有参数的直线与抛物线的公共点问题，首先要考虑式子本身的限制，其次要考虑含有参数的一元二次方程务必要注意平方项系数等不等于零的问题.上述解法有两处错误：k ＝1时y 2＝(k －1)x 根本不表示抛物线；k ＝0时方程只有一解，此时直线与抛物线只有一个公共点.正解：由⎩⎨⎧ y=kx －1y 2=(k －1)x ，得k 2x 2＋(－3k ＋1)x ＋1＝0…(1)， 当k ＝0时，方程只有一解,直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，当k ≠0时，△=(－3k ＋1)2－4k 2=0，解得k ＝15或1.而k ＝1时y 2＝(k －1)x 根本不表示抛物线，舍去.所以答案是k ＝0和k ＝15. 陷阱八：忽视椭圆参数的几何意义，导用圆的参数致错例10 P 是椭圆⎩⎨⎧ x=4cos θy=23sin θ(θ为参数)上一点，∠xOP ＝π3，求点P 的坐标. 错解：将θ用π3代替，代入参数方程之中，得x ＝2，y ＝3，故点P 的坐标是(2,3). 评析：从椭圆参数方程的形成过程可知，它的角参数θ与圆的参数方程中的角参数θ有本质区别，切忌将两者混为一谈，这里的π3不是角参数中θ的值，正确解法应是：椭圆的普通方程为x 216＋y 212＝1，如图，设|OP|＝r ，则点P 的坐标为(rcos π3,rsin π3)，代入椭圆方程得r 264＋r 216＝1，∴r ＝855，∴rcos π3＝455，rsin π3＝4515，故眯P 的坐标为(455,4515). 陷阱九：忽视图形的合理性，用错图进行求解致误例11经过双曲线x 2–y 23＝1的右焦点F 2作倾斜角为30︒的弦AB ，求△F 1AB 的周长. 错解：如图，由题意得F 1(－2,0)、F 2(2,0)，弦AB 的倾斜角α＝30︒，所以AB 所在直线的方程为y ＝33(x －2)，代入双曲线方程，并整理得8x 2＋4x －13＝0，设方程的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝–138，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝2a ＋|AF 2|，又因为|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，△F 1AB 的周长＝|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|＋2a ＋|AF 2|＋2a ＋|BF 2|＝4a ＋2|AB|＝10.剖析：由于双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以渐近线的倾斜角为60︒和120︒，故倾斜角为30︒的直线截双曲线所得的弦只能分别交在双曲线的左、右两支上，不可能在同一支上，错解所画的图形是错误的，由错误的图形解题所得的结果当然也就不正确.正解：如图，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，其中x 1＞0，x 2＜0，由题意得a ＝1，e ＝2，所以|AF 1|＝ex 1＋a ＝2x 1＋1，|BF 1|＝－2x 2－1，所以|AF 1|＋|BF 1|＝2(x 1－x 2)，因为弦AB 的方程为y ＝33(x －2)，代入双曲线方程，整理得8x 2＋4x －13＝0，所以x 1＋x 2＝–12，x 1x 2＝–138，所以|AB|＝3，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝332，所以△F 1AB 的周长|AF 1|＋|BF 1|＋|AB|＝3＋2·332＝3＋3 3.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 类比推理说课稿 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1.2类比推理一、教材分析（1）课题内容课题内容是《类比推理》，出自普通高中新课程标准实验教科书人教A版高中数学选修2—2.（2）地位和作用本节课是《推理与证明》的起始内容。
《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式.贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。
合情推理有助于发现新的规律和事实,是重要的数学思想方法之一。
（3）重点,难点重点：了解类比推理的含义，作用,掌握类比推理的步骤,体会类比推理的思想。
难点：类比推理步骤中的如何发现几个事实的共性，如何由个别事实总结，类比出其他事实的命题。
一、学情分析(1）在进行本节课的教学时,学生已经有大量的运用类比推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解类比推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件,引导学生多进行类比与概括。
（2）数学史上有一些著名的猜想是运用类比推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会类比推理的过程，感受类比推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用,还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值,激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。
高中数学 2.3数学归纳法应用中的四个常见错误总结 新人教A版选修2-2
数学归纳法应用中的四个常见错误总结数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法.证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可.使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清.现举例如下：（1） 初始值0n 估计的错误.归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处.0n 通常是1，但不总是1.有些同学思维定势，认为0n 是1，而不能具体问题具体分析.例1 用数学归纳法证明“2n ＞2n +1对于n ＞0n 的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.5【答案】 选D 例2 若f (n )= *1111,()2321n N n +++⋅⋅⋅+∈+,则n =1时f (n )是 A. 1 B. 13 C. 11123++ D.以上答案均不正确 【答案】选C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项即其前面的项组成.（2） 对项数估算的错误用数学归纳法证明恒等式时，由n=k 递推到n=k +1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化.举例如下：例 3 用数学归纳法证明不等式11112321n +++⋅⋅⋅+-＜n （n ∈*N ）过程中，由n=k 递推到n=k +1时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1B. 2k -1C. 2kD. 2k+1 解析：当n=k 时，左端=11112321k +++⋅⋅⋅+- 当n=k +1，左端=111111111()23212212221k k k k k ++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-++- 括号内的部分是增加的式子，计算可知共2k项.点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k 和n=k +1左端进行对比，就不会发生错误了.【答案】 选C例 4 用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n+n )= 2n﹒1﹒3…(2n -1)(n ∈N )时，从“n=k→n=k +1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）解析：当n=k 时，(1)(2)()k k k k ++⋅⋅⋅+= 213(21)k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-当n=k +1时，(11)(12)(11)k k k k ++++⋅⋅⋅+++=1213[2(1)1]k k +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-通过对比可知，增加了两项（2k +1）（2k +2）减少了一项k +1.故答案选D.点评：通过对比n=k 和n=k +1时的变化确定增减项.因为每一项中都有n ，项数会有增有减.（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来.就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣.例5 用数学归纳法证明21*122221()n n n N -+++⋅⋅⋅=-∈的过程如下： ①当n =1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立.②假设当n=k 时，等式成立，即21122221k k -+++⋅⋅⋅=- 则当n=k +1时，12111212222212k k k k +-+-+++⋅⋅⋅+==- 所以，当n=k +1时等式成立.由此可知，对任何*n N ∈，等式都成立.上述证明的错误．．是 【答案】没有用上归纳递推.正确的解法是②2111222221221k k k k k -++++⋅⋅⋅+=-+=-，即用上了第二步中的假设.点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步——起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论”.（4）关键步骤含糊不清.用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”.但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清.这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节.例题略.。
人教A版高中数学高二选修2-2素材 3.1复数概念问题常见思维误区诊断
复数概念问题常见思维误区诊断复数的概念中的有关问题在解答时极易出错，下面结合常见题型的解析与思维诊断加以讲解，以期同学们在学习时注意。
例1 m 取何实数时，复数z ＝()1523622--++--m m m m m i 。
（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。
由于所给复数z 已写成标准形式，即z ＝a ＋bi （a 、b ∈R ）,所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。
解答：（1）当⎩⎨⎧≠+=--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠-==335m m m 或时，即m=5。
∴m=5时，z 是实数。
（2）当⎩⎨⎧≠+≠--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠-≠≠335m m m 且。
∴当35-≠≠m m 且时，z 是虚数。
（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠+=--0152030622m m m m m 时，即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-≠-==35323m m m m m 且或。
∴当23-==m m 或时，z 是纯虚数。
思维诊断：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点。
如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉03≠+m ，导致解答出错。
例2 已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，求x 与y 。
思路分析：因为y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R ，b ≠0）代入等式，把等式的左、右两边都整理成a+bi 形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x 与b 的方程组，求解后得x 与b 值。
解答：设y=bi （b ∈R 且b ≠0）代入条件并整理得（2x －1）＋i ＝－b ＋（b －3）i 。
由复数相等的条件得⎩⎨⎧-=-=-3112b b x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==234x b 。
∴23-=x ，y ＝4i 。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
在某些方面的类似特征.
【知识拓展】类比推理的基本逻辑形式及适用前提
(1)类比推理的基本逻辑形式
A类事物具有性质a,b,c,d
B类事物具有性质a′,b′,c′
所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相
似或相同)
(2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相 似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推 断另一类对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
知识点2
类比推理
类比推理的三个特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研
究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、
向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的
问题及其研究方法.
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定
2.合情推理
观察 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_____、 含 _____ 、_____, 然后提出 分析、比较、_____, 联想再进行_____ 归纳 类比 义 _____ 猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推 理是指“合乎情理”的推理 过 程 从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比
2.方法一:图(1)中的圆圈数为12-0,图(2)中的圆圈数为22-1, 图(3)中的圆圈数为32-2,图(4)中的圆圈数为42-3,图(5)中的 圆圈数为52-4,„, 故猜测第n个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1. 方法二:第2个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向, 共有2×(2-1)+1个圆圈; 第3个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 推理与证明 2. 3数学归纳法一、学习任务1. 了解数学归纳法原理．2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3. 掌握数学归纳法的特点和步骤．二、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1. 用数学归纳法证明 第一步应验证 A ．B ．C ．D ．C ⩾(n ⩾3,n ∈N )3n n 3()n =1n =2n =3n =4答案：2. 用数学归纳法证明，"当 为正奇数时， 能被 整除"时，第二步归纳假设应写成A ．假设 时正确，再推证 正确B ．假设 时正确，再推证 正确C ．假设 时正确，再推证 正确D ．假设 时正确，再推证 正确Bn +x n y n x +y ()n =2k +1(k ∈)N ∗n =2k +3n =2k −1(k ∈)N ∗n =2k +1n =k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2n ⩽k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2答案：解析：3. 用数学归纳法证明等式 的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 A ．B ．C ．D ．B时，等式左边 ．1+3+5+⋯+(2n −1)=(n ∈)n 2N ∗n =k n =k +1()1+3+5+⋯+(2k +1)=k 21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +1)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +2)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +3)2∵n =k +1=1+3+5+…+(2k −1)+(2k +1)=+(2k +1)=k 2(k +1)24. 设平面内有 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 条直线的交点个数为 ，则 与 的关系是 A ．B ．C ．D ．k k f (k )f (k +1)f (k )()f (k +1)=f (k )+k −1f (k +1)=f (k )+k +1f (k +1)=f (k )+k +2f (k +1)=f (k )+k高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
(完整)人教A版高中数学选修21知识点总结,文档
高二数学选修2－ 1 知识点第一章常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“假设 p ，那么 q 〞形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论 .3、关于两个命题，若是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互抗命题 . 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的抗命题 .假设原命题为“假设p ，那么 q 〞，它的抗命题为“假设 q ，那么 p 〞.4、关于两个命题，若是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么这两个命题称为互否命题 . 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题 .假设原命题为“假设p ，那么 q 〞，那么它的否命题为“假设p ，那么q 〞.5、关于两个命题，若是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题 .假设原命题为“假设 p ，那么 q 〞，那么它的否命题为“假设q ，那么 p 〞.6、四种命题的真假性：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、假设 p q ，那么 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件．假设 p q ，那么 p 是 q 的充要条件〔充分必要条件〕．8、用联系词“且〞把命题p 和命题 q 联系起来，获取一个新命题，记作p q ．当 p 、q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题．用联系词“或〞把命题p 和命题 q 联系起来，获取一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q 是真命题；当p 、q两个命题都是假命题时，p q 是假命题．对一个命题 p 全盘否认，获取一个新命题，记作p ．假设 p 是真命题，那么p 必是假命题；假设p 是假命题，那么p 必是真命题．9、短语“对所有的〞、“对任意一个〞在逻辑中平时称为全称量词，用“〞表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个 x ，有p x建立〞，记作“x，p x〞．短语“存在一个〞、“最少有一个〞在逻辑中平时称为存在量词，用“〞表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使p x建立〞，记作“x，p x〞．10、全称命题 p ：x，p x，它的否认p ：x，p x ．全称命题的否认是特称命题．第二章圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数〔大于F1F2〕的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的地址焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程范围极点x2y21 a b0a2b2a x a 且b y b1a,0、2a,010,b、20,by 2x21 a b0a2b2b x b 且 a y a10,a、20,a1b,0、2b,0轴长焦点焦距对称性离心率准线方程短轴的长2b长轴的长2aF1 c,0 、 F2 c,0F1 0, c 、 F2 0,cF1 F22c c2a2b2关于 x 轴、y轴、原点对称c1b20 e 1e2a aa2a2 x yc c13、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线F1F2e ．的距离为 d2，那么d2d114、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数〔小于F1F2〕的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的地址焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y21a0, b 0y2x21 a0, b 0 a2b2a2b2范围x a 或 x a ，y R y a 或 y a ， x R 极点1a,0、2 a,010, a 、20,a 轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点F1c,0、 F2 c,0F10, c 、 F20,c 焦距F1 F22c c2a2b2对称性关于 x 轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率c1b21 e2 ea a准线方程x a2ya2 c c渐近线方程y b ax y x a b16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为 d1，点到 F2对应准线的距离为F1F2e．d2，那么d2d118、平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径〞，即2p ．20、焦半径公式：假设点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，那么F x0p ；2假设点x0 , y0在抛物线 y2 2 px p0 上，焦点为 F ，那么F x0p ；2假设点x0 , y0在抛物线 x2 2 py p0 上，焦点为 F ，那么F y0p ；2假设点 x0 ,y0在抛物线 x2 2 py p 0 上，焦点为 F ，那么21、抛物线的几何性质：标准方程y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py p0p0p0图形极点0,0对称轴x 轴焦点F p, 0Fp, 0F0,p 222准线方程x pxpyp 222离心率e1范围x0x0y0F y0p ．2x 2 2 pyp0y轴pF 0,2py2y0第三章空间向量与立体几何22、空间向量的看法：1在空间，拥有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3 向量uuur uuur 的大小称为向量的模〔或长度〕，记作．4 模〔或长度〕为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．r r r5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它依据平行四边形法那么．即：在空间以同一点为起点的两个向量r rC ，那么以起a 、b 为邻边作平行四边形点的对角线 uuur r rC 就是 a 与 b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法那么．2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法那么．即：在空间任取一点，作uuur r uuurr uuur r ra ，b ，那么 a b ．rr是一个向量，称为向量的数乘运算．当24、实数 与空间向量 a 的乘积a时， r rrrra 与 a 方向相同；当 0 时， a 与 a 方向相反；当0 时， a 为零向量，记为 r r r 倍．0 ． a 的长度是 a 的长度的25、设 ，rr 是空间任意两个向量，那么数乘运算满足分配律及结 为实数， a ， b合律．rr分配律：r rr r a b a b ；结合律：a a ．26、若是表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． r r r rr27、向量共线的充要条件：关于空间任意两个向量 a ，b b 0 ， a // b 的充要条件是存在实数rr ，使 a b ．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点 位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对x ，uuur uuuruuuruuuruuur uuuruuur y ，使xy C ；或对空间任必然点，有xy C ；或假设四点 ，，uuurxuuur uuuruuury z 1 ．， C 共面，那么yz C xrr，作 uuurr uuur r30、两个非零向量 a和 b ，在空间任取一点a ，b ，那么r r r rrr0, ．称为向量 a ，b 的夹角，记作 a,b ．两个向量夹角的取值范围是：a,br r r r r rrr31、关于两个非零向量 a和 b ，假设,，那么向量 a ，b互相垂直，记作 ab ．a b232、两个非零向量 a 和r ，那么 r rrrr r r ．即 b a b cos a,b称为 a ， 的数量积，记作a brr br r rrr r ．零向量与任何向量的数量积为0 ．a ba b cos a,br r r r r r r r r33、 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos a, b 的乘积．r rrr r r r r r r；34、假设 a ， b 为非零向量，e 为单位向量，那么有 1 e a a ea cos a, er rr r r rr rrr a b a 与 b 同向r r r 2 r r r 2 a ba b 0 ； 3a br r r r， a aa ， aa a ；a b a 与 b 反向r rr rr r r r4a bcos a, br r ； 5 a b a b ．a b35、向量数乘积的运算律：r r r r r r r r r r；1 a bb a ； 2aba bab 3r r r r r r r a b ca cbc ．rrr是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任向来量r，存在有序36、假设 i ， j， k p 实数组 x, y, z ，使得 r rr r r r r r r r rp xiyjzk ，称 xi ， yj ， zk 为向量 p 在 i ， j ， k 上的重量．r37、空间向量根本定理：假设三个向量r r r a ， b ， c 不共面，那么对空间任向来量p ，存在实数组x, y, z ，使得 rr r r p xayb zc ．r rr不共面，那么所有空间向量组成的会集是38、假设三个向量 a ， b ， cr r r r rR ．这个会集可看作是由向量 r r r 生成的，p pxa yb zc, x, y, z a ， b ， c r r r r r ra,b ,c 称为空间的一个基底， a ，b ， c 称为基向量．空间任意三个不共面的向 量都可以组成空间的一个基底．ur uur ur39、设 e 1 ， e 2 ， e 3 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量〔称它们为单位ur uur urur uur ur 正交基底〕，以 e 1 ， e 2 ， e 3 的公共起点 为原点，分别以 e 1 ， e 2 ， e 3 的方向为 x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz ．那么关于空间任意一个向量 rp ，必然可以把它平移，使它的起点与原点 重合，获取向量 uuurrp ．存在有序实数组 x, y, zr ur uur ur r，使得 p xe1ye2ze3．把x， y ，z称作向量p 在单位正交基底ur uur ur r x, y, z ．此时，向量 re 1 ， e 2 ， e 3 下的坐标，记作 p p 的坐标是点在空间直角坐标系 xyz 中的坐标 x, y, z ．r r x 2 , y 2 , z 2 ，那么 1 r rx 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 ． 40、设 a x 1, y 1 , z 1 ， b a b x 1r r x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 ．2 a br x 1 , y 1 , z 1 ．3 ar r y 1 y 2 z 1 z 2 ． 4 a b x 1x 2r r r r r r x 1 x 2 y 1 y 2 z 1z 2 0．5 假设 a 、 b 为非零向量，那么 a b a b 0r r r r r r x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 ．6 假设 b 0 ，那么 a // b a b rr r 2 2 2． 7 aa ax 1y 1 z 1r rr r x 1 x 2 y 1 y 2z 1z 2a b8 cos a, br r 222222．a bx 1 y 1 z 1 x 2y 2 z 29x 1, y 1 , z 1 ，x 2 , y 2 , z 2 ，那么 duuurx 2 x 12y 2 y 12z 2 z 1 2 ．41、在空间中，取必然点作为基点，那么空间中任意一点 的地址可以用向量uuuruuur来表示．向量称为点 的地址向量．42、空间中任意一条直线 l 的地址可以由 l 上一个定点以及一个定方向确定． 点r，是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量， 那么关于直线 l 上的任意一点uuur rr有ta ，这样点 和向量 a 不但可以确定直线 l 的地址，还可以详尽表示出直线 l 上的任意一点．43、空间中平面 的地址可以由内的两条订交直线来确定． 设这两条订交直线订交于点 r r上任意一点，存在有序，它们的方向向量分别为 a ， b ． 为平面uuur r r r r 的地址．实数对 x, y ，使得 xa yb ，这样点 与向量 a ，b 就确定了平面 r r44、直线 l 垂直 ，取直线 l 的方向向量 a，那么向量 a 称为平面 的法向量．45、假设空间不重合两条直线 a ， b 的方向向量分别为 r rr r a ， b ，那么 a // b a // br r R ， a b r r r rab a b a b 0．r r46、假设直线 a 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 n ，且 ar r r r r r r r ra n a n 0 ， a a a // nan ． r47、假设空间不重合的两个平，r 面，那么 a //r a //，那么 //r r a // b(完满)人教A 版高中数学选修21知识点总结,文档r r r r rr0 ． a b ， a ba b48、设异面直线 a ， b 的夹角为r r，方向向量为 a ， b ，其夹角为 ，那么有r ra bcoscosr r．a brrrr 49、设直线 l 的方向向量为 l ，平面的法向量为 n ，l 与 所成的角为，l 与 nr r，那么有 sincosl n的夹角为r r ．l nur uurur uur50、设 n 1 ， n 2 是二面角 l的两个面 ， 的法向量，那么向量n 1 ， n 2 的夹 角〔或其补角〕就是二面角的平面角的大小．假设二面角 l的平面角为 ， ur uur 那么 cos n 1 n 2ur uur ．n 1 n 251、点uuur uuur与点 之间的距离可以转变成两点对应向量的模 计算．52、在直线 l 上找一点，过定点r ，那么定点到直线 uuur 且垂直于直线 l 的向量为 nuuuruuur r rl 的距离为 dn．cos , nrnr53、点 是平面 外一点， 是平面的一个法向量，内的必然点， n 为平面uuuruuur ruuur r那么点到平面cosn．的距离为 d, nrn。
人教版数学高二新人教A选修2-2 3.2走出复数的五个误区素材.
走出复数的五个误区同学们在解决与复数相关的问题时，常常有一种轻松自如的感觉，然而在实际的学习中，我们许多同学在把握概念时往往有欠火候，由误解、曲解一些概念的内涵导致解题出错，本文扫描五个误区，帮助同学们理顺解题思路，规避陷阱．陷阱一：误解概念的内涵例１．(06·长沙模拟题)复数11z i =-的共轭复数是（ ） Ａ．1122i + B ．1122i - Ｃ．i -1 Ｄ．i +1 错解：∵11z i=-，∴1.z i =+ 错解剖析：本题考查复数的的运算及共轭复数的概念. 利用概念可以直接求解.求某复数的共轭复数时,需要先将原复数式进行化简,使之成为一般形式再进行转化.a bi +的共轭复数为a bi -.其中z z ⋅=2z .正解：∵111,(1)(1)22i z i i i +==+-+ ∴11.22z i =- 陷阱二：错用判别式例2．关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围．错解：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∆=---=-∴≥．解得aa ≤． 错解剖析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2a i -与1ai -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，，解得1a =±． 陷阱三：疏忽虚根成对性的条件例3．已知20x kx i +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值．错解：根据一元n 次方程虚根成对出现，i 是其一根，则i 的共轭虚数i -必是其另一根，由根与系数的关系有()i i k +-=-，0k =∴．错解剖析：虽然根与系数的关系对复系数一元n 次方程仍成立，但只有实系数一元n 次方程的虚根才成对出现，本题系数并非实数.正解：因i 是其根，代入原方程为20i ki i +-=，由此得1k i =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0x i i =-，从而得01x =-．陷阱四：忽视复数相等的条件例4．解关于x 的方程256(1)0x x x i +-+-=．错解：由复数相等的定义得2615601110x x x x x x x ⎧=-=+-=⎧⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或，，，，． 错解剖析：a bi c di a c +=+⇔=，且b d =成立的前提条件是a b c d ∈R ，，，. 正解：原方程变形为()2(5)60x i x i ++-+=，()22(5)4(6)48147i i i i ∆=+++=+=+． 由一元二次方程求根公式得15712i i x --++==，25762i i x i ----==--． ∴原方程的解为16x i =--，21x =． 陷阱五：不会利用复数的周期性解题例5．(05·湖南)复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．i错解：z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝1，故选C.错解剖析：虚数的乘方按指数幂的结果成周期性的出现,利用该周期性可以编出很多灵活多变的题型．常见的复数有：i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；i i 2321232121--=+-=ωω、是1的两个虚立方根，并且： 13231==ωω,221ωω=,122ωω=,211ωω=,121ωω=, 21ωω=,12ωω=,121-=+ωω.正解：由i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i43n +=-i ；可顺次得各项的“最简”值.故011432=+--=+++=i i i i i i z .故选B.归纳小结：每一种失误的后面都隐藏着一定的根源，在学习过程中，要做有心人，敏锐地洞察出原因所在，从而避免错误的发生．。
人教新课标版数学高二人教A选修2-2素材 1.2极值问题易错点辨析
极值问题易错点辨析 一、错误认识一：极大值一定比极小值大 在求解极值问题的过程中，有些同学因为受“极大值”、“极小值”字面含义的影响，就在潜意识里形成了这样一种认识：极大值一定比极小值大.事实上，这种认识是错误的.请看下面的例子.例1 求函数()(0)p f x x p x=+>的极值． 解：22()11p p f x x px x x -'⎛⎫'=+=-=- ⎪⎝⎭， 令()0f x '=，得x p =±．当x 变化时，()()f x f x '，变化状态如下表：x ()p --，∞ p - (0)p -， (0)p ， p ()p +，∞()f x ' +0 - - 0 + ()f x 2p - 2p从上表可以看出，当x p =-时，()f x 有极大值2p -；当x p =时，()f x 有极小值2p ．评注：从本例可知，函数的极大值不一定比极小值大.事实上，极值只是相对于一点附近的局部性质（这与最值不同，最值是相对整个定义域内或所研究问题的整体的性质）.理解这个问题时要紧扣极值的概念，并通过一些例子加深对该问题的认识.用几何画板能够作出函数()(0)p f x x p x =+>的图象，如图所示，我们可以直观地看出，极大值反而比极小值小．二、错误认识二：极大（小）值点是唯一的由于平时所做的练习题中，命题者为了降低题目难度，常把函数的极大值和极小值设计成唯一的，这样就导致有些同学认为函数的极大值和极小值是唯一的，其实不然，请看下例.例2 求函数1()cos (2ππ)2f x x x x =+-<<的极值． 解：1()sin 2f x x '=-，令()0f x '=， 2ππx -<<∵，11π6x =-∴，7π5ππ666-，，． 可以得到，11π6x =-时，11()π12f x =-最大值；7π6x =-时，7()π12f x =--最小值；π6x =时，π()12f x =+极大值；5π6x =时，5()π12f x =最小值．三、错误认识三：导数为0的点一定是极大（小）值点有些同学通过求解一部分极值问题，总结出这样的规律：导数为0的点就是极大（小）值点.这是一种错误的思维定势，如下面的例子.例3 求函数23()(1)1f x x =-+的极值．解：22()6(1)f x x x '=-，令()0f x '=，得123101x x x =-==，，．当x 变化时，()()f x f x '，变化状态如下表：从上表可以看出，1x =-和1x =都不是函数的极值点．以上列举了同学们在解题中常出现的三种错误认识，通过对这些错误认识的辨析，我们认识到，在解题中既要准确把握定义，又不能以偏概全.对于平时自己出现的某些模糊认识，要经常翻看课本，回顾概念，并养成跟同学讨论的习惯，还可以结合一些特例，或借助计算机作图对有关概念进行更深入的理解和把握.。
高中数学人教A版选修2-1命题的否定中的一个易错点.docx
命题的否定中的一个易错点民权高级中学 冯陆军在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。
本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。
首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题：例：设函数()ax ax x f --=259的定义域为A ，若命题p ：A q A ∈∈5:3与命题有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围。
对于这道题目，同学给出了两种解法。
解法1：由题意可知，q p ,两个命题一真一假。
（1） 若p 真q 假，则需满足 Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--a a a a aa a a 1255945301259504593或 （2） 若p 假q 真，则需满足 ()125,453,591255945301259504593⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤><⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<--a a a a aa a a 或 解法2：由题意可知，q p ,两个命题一真一假命题p 等价于{}453<≤a a ，命题q 等价于⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤12559a a （1） 若p 真q 假，则需满足 Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤a a a a 12559453或 （2） 若p 假q 真，则需满足 [)125,453,5912559453⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥<a a a a 或综上所述，[).125,453,59⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a 乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。
人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修2-1知识点总结
高中数学选修2-1知识点总结第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假假假7、p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>,p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>p q ≠> 8、逻辑联结词：（1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。
（2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。
（2）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．真假性相反9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件第二章 圆锥曲线与方程1、椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．8、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．9、抛物线的几何性质：解题注意点：1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。
新教材人教版高中数学必修第二册 常见31个知识误区
RJA必修第二册常见31个知识误区1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．4．平面向量的基底中一定不含零向量．5．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．6．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．7．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．8．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．9．两个虚数不能比较大小．10．利用复数相等a＋b i＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．11．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来，例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．12．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．13．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．14．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．15．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．16．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．17．解题中注意符号语言的规范应用．18．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．19．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．20．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a·(b ＋c)＝a·b ＋a·c 成立，(a·b)·c ＝a·(b·c)不一定成立．21．在利用MN→＝xAB →＋yAC →①证明MN ∥平面ABC 时，必须说明点M 或点N 不在平面ABC 内(因为①式只表示MN→与AB →，AC →共面)． 22．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．23．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.24．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．25．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距. 26．概率的一般加法公式P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.27．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．28．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．29．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．30．概率的一般加法公式P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.31.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．。
人教A版高中数学高二选修2-2素材 3.1重疑难点易错简析1
数系的扩充与复数的概念重疑难点易错简析一、知识导学1. 复数：形如bi a +的数（b a ,R ∈），复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=,其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位.2. 分类：复数bi a +(b a ,R ∈)中，当0=b 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b 0≠时，bi a +叫做虚数；当0=a ,b 0≠时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等，记作：bi a +=di c +.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +. (1)22b a bi a z +=+=； (2)21z z +=12z z +； (3)2121z z z z =； 7．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．,R z ∈则02≥z ，而C z ∈，则02≥z 不一定成立，如i z =时012<-=i ；3．22,z z R z =∈，而C z ∈则22z z =不一定成立； 4．若,,,321C z z z ∈0)()(232221=-+-z z z z 不一定能推出321z z z ==；5．若R z z ∈21,，则21z z -=212214)(z z z z -+，但若,,21C z z ∈则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共轭复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ，忽略了b 可以为零的条件.正解：设互为共轭的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时，z z -，z z -为纯虚数当0=b 时，0=-z z ，0=-z z ，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确(1)若C z ∈, 则02≥z(2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z >(3)若b a >，则i b i a +>+错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设i z =则0122<-==i z(2)错，反例设i z +=21，i z +=12，满足0121>=-z z ，但1z 2z不能比较大小.(3)错，b a > ，R b a ∈∴,，故i a +，i b +都是虚数，不能比较大小.[例3]实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a z )152(3622--++--=是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a . （1）当时，z 是实数； （2）当，且 时，z 是虚数； （3） 当 或时是纯虚数． [例4] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=，当m 取何值时，(1) 21z z =; (2)01≠z .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数的方程，求出的值．解：(1)由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ， 即：当时 (2)当 可得：或 ，即 时01≠z . [例5]21,z z 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P 和Q ，且024222121=+-z z z z ，证明△OPQ 为直角三角形（O 是坐标原点），并求两锐角的度数．分析 本题起步的关键在于对条件024222121=+-z z z z 的处理．等式左边是关于21,z z 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由024222121=+-z z z z （，不为零），得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±=±=3sin 3cos 21431832221221ππi z z z i z i z 即向量OP 与向量OQ 的夹角为3π， 在图中，3π=∠POQ ，又||21||21z z =，设r z r z 2||,||21==，在△OPQ 中，由余弦定理△OPQ 为直角三角形，．四、典型习题导练1. 设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于（ ）．A ．B ．C ．D ． 2.复数系方程062)1()1(2=----+i x i x i 有实数根，则这个实数是_________.3. 实数m 取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z5.设复数z 满足5=z 且z i )43(+在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252R m m z ∈=-求m z 和的值。
人教版数学高二数学选修2-1 2.4抛物线中常见的解题误区
抛物线中常见的解题误区四川 何成宝在抛物线学习中，我们有时会遇到一些似是而非的问题，此类问题往往是由于我们对某些概念或公式的理解上的模糊认识，从而造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使我们的解题思维走入一个个误区.误区一：对抛物线的四种标准方程认识不清，从而错误地判断焦点坐标.例1 过抛物线y=ax 2（a >0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+等于（ ） A 、2a B 、12a C 、4a D 、4a错解：抛物线的焦点坐标为（4a ，0），利用特例思想，当直线与x 轴垂直时，则p=q=2a ， ∴11p q +=4a，故选D. 剖析：y=ax 2不是标准形式，标准形式应为x 2=1a y ，其焦点不是（4a ，0），而是（0，14a ），焦参数为12a ，而不是2a . 正解：抛物线的标准形式为x 2=1a y ，焦参数为12a ，焦点为（0，14a）. 当直线与抛物线的对称轴（即y 轴）垂直时，p=q=12a ，∴11p q +=2a+2a=4a ，故选C. 误区二：对抛物线理解不透彻导致错误.例2 动点M （x ，y ）到y 轴的距离比它到定点（2，0）的距离小2，求动点M （x ，y ）的轨迹方程. 错解：动点M （x ，y ）到y 轴的距离比它到定点（2，0）的距离小2，∴动点M （x ，y ）到定点（2，0）的距离与到定直线x =－2的距离相等.∴动点M 的轨迹是以（2，0）为焦点，x =－2为准线的抛物线，且p=4.∴抛物线的方程为28y x =，此即为所求动点M 的轨迹方程.剖析：错解只考虑了一种情况.在此题中，（2，0）到y 轴的距离为2，所以x 轴上原点左侧的点也满足题意. 正解：动点M （x ，y ）到y 轴的距离比它到定点（2，0）的距离小2，∴动点M （x ，y ）到定点（2，0）的距离与到定直线x =－2的距离相等.∴动点M 的轨迹是以（2，0）为焦点，x =－2为准线的抛物线，且p=4.∴M 点的轨迹方程为28y x =.又因为x 轴上原点左侧的点到y 轴的距离比它到（2，0）的距离小2，∴M 点的轨迹方程为y=0（x ＜0）.故动点M 的轨迹方程为y=0（x ＜0），或28y x =.误区三：忽视了斜率不存在的情况，造成解题的失误.例3 求过点M （0，1）且和抛物线C ：y 2=4x 仅有一个公共点的直线方程.错解：设所求的直线方程为y=kx+1. 由214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y ，得222(2)10k x k x +-+=， ∵抛物线与所求的直线仅有一个公共点，∴224(2)40k k ∆=--=，解得k=1.故所求直线方程为y=x+1.剖析：由于过点M （0，1）的直线的斜率可能存在，也可能不存在，同时与抛物线对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点，从而漏了两个解.正解：（1）当直线的斜率不存在时，其方程为x=0，显然与抛物线C 仅有一个公共点.（2）当直线的斜率为0，其方程为y=1，显然与抛物线C 仅有一个公共点.（3）当直线的斜率为k （k ≠0），设所求直线方程是y=kx+1. 由214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y ，得222(2)10k x k x +-+=， ∵抛物线与所求的直线仅有一个公共点，∴224(2)40k k ∆=--=，解得k=1.故所求直线方程为y=x+1.综上可知，所求直线方程为x=0，y=1，y=x+1.。
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证明中的几种常见错误总结
1. 偷换论题
例1 求证四边形的内角和等于0
360.
证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有 0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ，
所以，四边形的内角和等于0
360.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了偷换论题的错误.在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形.
2. 虚假论据
例2 已知2和3是无理数，试证32+也是无理数. 证明：依题设2和3是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数， 所以32+也是无理数.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了虚假论据的错误.使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数.因此，原题的真假性仍无法断定.
3. 循环论证
例3 在ABC Rt ∆中，090=∠C ，求证：222c b a =+. 证明：因为A c b A c a cos ,sin ==， ∴A c A c b a 222222cos sin +=+
=2
222)cos (sin c A A c =+.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了循环论证的错误.本题的论证就是人们熟知的勾股定理.上述证明中用了“1cos sin 22=+A A ”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误.
4. 不能推出 例4 设81tan 51tan 21tan 2
0===∈γβαπγβα，，），且，（、、. 求证：4π
γβα=++. 证明：因为γβγαβαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(
----++=++
=18
151815151211815121815121=⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++， 4
πγβα=++∴. 剖析：上述推理过程是错误的.犯了不能推出的错误.因为1)tan(
=++γβα只能推出)(,4Z n n ∈+=++π
πγβα.至于关系式4π
γβα=++是否唯一地成立，却无法断定.因此，只有进一步推出4,,0πγβα<<，即4
30πγβα<++<，原题才能得证.。