2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

x 1 ( x )2 u u

⎪

( 1 , 2 , 0 )

2017 全国研究生入学考试考研数学一真题解析

本试卷满分 150，考试时间 180 分钟

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．

指定位置上. ⎧1- cos

（1） 若函数 f (x ) = x > 0 ，在

x = 0 处连续，则（ ） ⎨ ax ⎪⎩

b , x ≤ 0 （A ） ab =

2

【答案】（A ）

（B ） ab =- 2

（C ） ab = 0 （D ） ab = 2 【 解析 】由连续的定义可知：

lim f (x ) = lim f (x ) = f (0) ， 其中 f (0 )= l i m f x (=) ，

x →0-

x →0+

1 x →0-

1 lim f (x ) = lim = lim 2

= 1

，从而b = ，也即 ab = ，故选（A ）。 x →0+

x →0+

ax

x →0+

ax 2a 2a 2 （2） 若函数 f (x ) 可导，且 f (x ) f '(x ) > 0，则（ ）

（A ） f (1) > f (-1) （B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1) （D ） f (1) < f (-1)

【答案】（C ）

【解析】令 F (x ) = f 2 (x ) ，则有 F '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) ，故 F (x ) 单调递增，则 F (1) = F (-1) ，即

[ f (1)]2 >[ f (-1)]2 ，即 f (1) > f (-1) ，故选 C 。

（3）函数 f (x , y , z ) = x 2 y + z 2 在点(1, 2, 0) 处沿向量n = (1,2,2)的方向导数为（ ） （A ）12 （B ） 6 （C ） 4 （D ） 2

【答案】（D ）

【 解 析 】 gradf ={2xy , x 2, 2z } ， 将 点 (1, 2, 0) 代 入 得 g r a d f ={ 4 , 1 ， 则

∂f

= gradf . =

⎧1 2 ⎫2= 。

∂u

{ 4 , 1⎨ ,

0 } ⎬. ⎩3 3 ⎭3

（4）

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线v = v 1(t )

（单位：m/s ），虚线表示乙的速度v = v 2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为10、20、3 ，计时开始

1- cos x , 1

1

⎛1 0 0⎝ 0 2 0

C 0 ⎪

后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（）

（A）t0= 10

【答案】（C）

（B）15 25

t t

【解析】从0 到t 时刻，甲乙的位移分别为0 V (t)dt 与0 V (t)dt 要使乙追上甲，则有0⎰0 1 ⎰0 2

t0

[V (t) -V (t)]dt ，由定积分的几何意义可知， 25[V (t) -V (t)]dt = 20 -10 = 10 ，可知t = 25

⎰

0 2 1 ⎰

0 2 1 0

，故选（C）。

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A）E -ααT 不可逆（B）E +ααT 不可逆

（C）E + 2ααT 不可逆（D）E - 2ααT 不可逆

【答案】（A）

【解析】因为ααT 的特征值为0 （n-1重）和1，所以E -ααT 的特征值为1（n-1重）和0 ，故

E -ααT 不可逆。

⎡2 0 0⎤

⎡2 1 0⎤

⎡1 0 0⎤

（6）设矩阵A =⎢0 2 1⎥

，B =

⎢0 2 0⎥

，C=

⎢0 2 0⎥

，则⎢⎥

⎢⎣0 0 1⎥⎦

⎢⎥

⎢⎣0 0 1⎥⎦

⎢⎥

⎢⎣0 0 2⎥⎦

（A）A 与C 相似，B 与C 相似（B）A 与C 相似，B 与C 不相似（C）A 与C 不相似，B 与C 相似（D）A 与C 不相似，B 与C 不相似【答案】（B）

【解析】由（λE -A）=0 可知A 的特征值为 2,2,1。

0 ⎫

3 -r(2E-A) =1。∴ A 可相似对角化，且A ⎪ ⎪ ⎭

由λE -B =0 可知B 的特征值为 2,2,1。

3 -r(2E-B ) = 2 。∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，

∴A 。且B 不相似于C。

（7）设A, B 为随机事件，若0 P( A B) 的充要条件是（A） P(B A) >P(B A) （B） P(B A)

2

2 ≥ μ = n ∑ 1 n -1 1

（C ） P (B A ) > P (B A )

（D ） P (B A ) < P (B A )

【答案】（A ）

【解析】因为 P (

A B )

> P ( A B ) ，所以

P ( AB ) > P ( AB ) = P ( A ) - P ( AB ) ，从而

P (B ) P (B )

1- P (B )

P (AB ) > P (A )P (B )，且 P (B A ) = P ( AB ) , P (B A ) = P (B ) - P ( AB ) ，所以

P (B A ) > P (B A ) 。

P ( A ) 1- P ( A )

（8） 设 X 1, X 2

不正确的是

1 n

X n (n 2) 为来自总体 N ( ,1)

的简单随机样本，记 X X i ，则下列结论中 i =1

（A ） ∑

( X i i =1 - μ)2

服从

χ 2 分布 （B ） 2( X - X )2

服从 χ 2 分布

（C ） ∑

( X i i =1

- X )2

服从

χ 2 分布 （D ） n ( X - μ)2 服从 χ 2 分布

【答案】（B ）

【解析】（A ） X i - μ

N (0,1) 故

∑( X i i =1

- μ)2

χ 2 (n ) ；

（B ） X n - X 1

⎛ x - x ⎫2

(x - x )2

⇒ n 1 ⎪ ⎝ ⎭

即 n

1

2

χ 2 (1) 。

n

n

2

2 2 2 2

（C ） 由 S = ∑( X i - X ) , (n -1)S i =1 = ∑( X i - X )

i =1

χ (n -1) 。

（D ） ( X - μ) N ⎛ 0,

1 ⎫

，则 n ( X - μ) N (0,1) ，所以n (X - μ)2 χ 2 (1) 。 n ⎪ ⎝ ⎭

二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．

指定位置上. n n n

N (0, 2) ⇒ X n - X

1

N (0,1)

2

χ 2 (1)

n