第3章312函数的表示方法概要
高数数学必修一《3.1.2.1函数的表示法》教学课件
适用于所有函数，如D(x)＝ቊ
列表法虽在理论上适用于
1，x ∈ ∁ ．
所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数
的一个概况或片段．
(2)函数的三种表示法的优缺点
优点
一是简明、全面地概括了变量
间的对应关系；二是可以利用
解析法
解析式求出任意一个自变量的
值所对应的函数值
(2)已知f(x)为一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
随堂练习
1.已知函数f(x－1)＝x2－1，则f(－1)＝(
)
A．－2
B．－1
C．0
D．3
答案：B
解析：函数f(x－1)＝x2－1，令x－1＝－1，解得x＝0，
则f(－1)＝02－1＝－1.故选B.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如
图所示的曲线ABC，则f(g(2)＋1)的值为(
)
x
f(x)
A.3
B．0
C．1
1
2
2
3
D．2
答案：A
解析：根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，
则f(g(2)＋1)＝f(2)＝3.故选A.
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(
解析：(1)如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况；
新人教A版高中数学必修一课件：3.1.2函数的表示法
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
题型探究·课堂解透
题型 1 与函数图象有关的问题
例1 作出下列函数的图象． (1)y＝2x，x∈[2，＋∞);
解析：列表：
x2345…
212 y 13 2 5
…
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x 的一部分(图1)．
巩(3)固已训知练f(x2)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为__f(_x)_＝_13_x2_－_2_x _____．
解析：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.
题型 3 分段函数
角度1 分段函数求值
1 + 1 ，x > 1，
例3
已知函数f(x)＝൞x2
+
x
1， −
1
≤
x
≤
1，
2x + 3，x < −1.
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝32，求a.
方法归纳
分段函数求值的步骤
x2 + 1，x ≤ 1 巩固训练3 (1)已知函数f(x)＝ቐ 2 ，x > 1 ，则f(f(3))＝( )
故得ቊa 2+ab==2，0，解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
巩固训练2 (2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为_f(_x)_＝_x_2－_4_x＋__3 ___．
解析：方法一 (换元法) 令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R， 所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法二 (配凑法) 因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－ 4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
新人教版高中数学必修第一册3.1.2 函数的表示法
y
25
笔记本数m
1
2
3
4
5
20
钱数y
5
10
15
20
25
15
【图像法】函数图像可以表示如图：
10
5
0
1
2
3
4
5
m
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
=
−
=
（2）含绝对值符号的函数：
− , <
（3）自定义函数：
− , ≤
= − = −, < <
+ , ≥
（3）取整函数：
= ( 表示不大于 的最大整数)
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期
的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，
如函数f(x)=x.
Hale Waihona Puke 分段函数【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
画出图像如图：
-x，x＜0，
x，x≥0.
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
函数的三种表示方法课件
03
表格法
通过表格列出函数在不同 自变量值下的对应函数值。
优点
能够直观地展示函数的变 化趋势和数值特征。
缺点
对于连续函数，需要大量 的数据点才能准确反映函 数关系。
图象法
图象法
通过绘制函数图象来表示 函数关系。
优点
直观、形象，能够清晰地 展示函数的形态和变化规 律。
缺点
对于复杂函数，可能难以 准确绘制其图象。
抛物线开口向下。
接这些点即可得到函数的图象。
高次函数图象法表示
01
高次函数图象是一个连续曲线，其一般形式为y=anx^n+a(n-1)x^(n1)+...+a1x+a0，其中an至a0为常数且an≠0。
02
根据n的奇偶性，高次函数的增减性不同：当n为奇数时，函数在x>0时单调递 增，在x<0时单调递减；当n为偶数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调 递增。
通过实例分析，加深 对函数表示方法的理 解和应用。
能够根据实际需求选 择合适的函数表示方 法。
02
函数的数学表示方法
解析法
解析法
缺点
使用数学表达式来表示函数关系，如 $y = f(x)$。
对于复杂函数，可能难以找到准确的 数学表达式。
优点
精确、明了，能够准确表达函数的数 学关系。
表格法
01
02
03
解析法实例
一次函数解析法表示
一次函数解析法表示：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。 实例：$y = x + 1$，其中$a = 1$，$b = 1$。
图像：直线。
教学设计3：3.1.2 函数的表示法
20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。
312指数函数(1)
变式训练：
课本第67页 4；
例3：求解不等式
单调性的 逆用
（1）已知3x≥30.5，求实数x的取值范围
（2）已知0.2x＜25，求实数x的取值范围
（3）已知ax＜ a2-x (a>0且a≠1)，求实数
x的取值范围
转化为
分类讨论
同底
变式训练:
课本第67页 5；
题型三:求函数的定义域，值域
例4：
1 a
)x的图象关于y轴对称
(7)当x>0时，y>1.
当x>0时，0<y<1,
当x<0时，0<y<1.
当x<0时，y>1.
数学应用
题型一：对指数函数概念的理解
a a 例1：函数 y= ( 2 3a 3) x 是指数函数，则a=___2______
思路：指数函数定义是一个形式定义，系数为1是重要特征， 另外还要注意底数的条件。
N y 2x，x *
情境二：
某放射性物质不断
衰变为其他物质，每经
过1年，这种物质剩留
的质量是原来的50%，
现有该物质质量为1，
经过x年的剩留量为y，
请写出y与x之间的关系
N 式.
y
(
1
)x
,
x
*
2
我们得到下面两个函数：
y
2x，
y
(
1 2
)
x
思考：以上两个函数有何共同特征？ （1）幂的形式
（2）底数是常数
1
(1)y= 0.4 x- 1 3 (2) y 5x1 (3) y 2 x 1
变式训练：
4 2 ▪ 求函数y= x x1 1的定义域和值域
2021_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数〞的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几局部构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段〞可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段〞是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比拟优点 缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[根底自测]1．购置某种饮料x 听，所需钱数为y 元，假设每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，应选D. 答案：D2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，那么f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，那么f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，那么x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1那么f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝fg(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开场跑步前进，跑累了再走余下的路程．以下图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，那么较符合该学生走法的是( )(2)函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开场曲线比拟陡峭，后来曲线比拟平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开场时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比拟.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔此题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据以下条件，求函数的解析式：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，那么x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，那么f (x )的解析式为________； (2)f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，那么f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 那么f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，那么f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，应选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像此题中含有多层“f 〞的问题，要按照“由里到外〞的顺序，层层处理． (3)函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}． 例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)． 由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (xx ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出以下函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的局部，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(局部图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值． 【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如下图：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域〞的并集，其值域是各段“值域〞的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合〞的原那么，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，以下说法中错误的选项是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C 2．f (x －1)＝1x ＋1，那么f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，那么x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，那么a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，那么a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．假设f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，那么f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购置x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张1 2 3 4 5 y /元20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求以下函数解析式：(1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，那么x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2. [尖子生题库]10．画出以下函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
新教材高中数学第三章函数的概念与性质31函数312表示函数的方法课件湘教版必修第一册
x
0≤x＜ 5
f(x) 2
5≤x＜ 10 3
10≤x＜ 15≤x≤2
15
0
4
5
A.2 B．3 C．4 D．5
答案：C 解析：由图表可知f(11)＝4.故选C.
答案：C
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A．f(x)＝x2＋6x
B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
要点 函数的表示法
教材要点
表示法 解析法 列表法 图象法
定义 用__解__析__式__来表示函数的方法 用__表__格____来表示两个变量之间的对应关系的方法 用__图__象____来表示两个变量之间的对应关系的方法
状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从
“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系． 2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张
答案：A
解析：方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5 ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， ∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x； 方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x. 故选A.
题型3 求函数的解析式 角度1 已知函数类型求函数解析式 例3 求函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10， 图象过点(0，3)，求f(x)．
x2－1(x≥1)
函数及其表示法
指数表示法
使用指数函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = e^x$。
优点
可以方便地表示快速增长或衰减的函数。
3
缺点
对于非指数型函数，可能不适用，且公式较为复 杂。
04 函数的参数表示法
参数方程的概念
参数方程定义
参数方程是一种描述函数关系的 方法，通过引入一个或多个参数， 将自变量和因变量的关系表示出 来。
分段函数的应用
解决实际问题
分段函数常常用于解决一些实际问题，例如利润计算、成本分析、人口统计等。通过分段来表示不同情况下的函数关 系，能够更准确地描述实际问题。
数学建模
在数学建模中，分段函数也经常被用来描述一些复杂的现象或关系。例如，在物理学、生物学、经济学等领域中，分 段函数可以用来描述一些非线性关系或突变现象。
01
Байду номын сангаас
02
03
观察图像形状
通过观察图像的形状，可 以初步判断函数的单调性、 周期性等性质。
分析函数性质
结合函数表达式和图像， 可以分析函数的极值点、 拐点等关键点，从而理解 函数的性质。
比较函数差异
通过比较不同函数的图像， 可以直观地了解它们之间 的差异和联系。
函数图像的应用
解决实际问题
教育与教学
在解决一些实际问题时，如最优化问 题、物理现象模拟等，可以通过绘制 函数图像来直观地理解和分析问题。
优点
简洁明了，易于理解和计算。
缺点
对于复杂的函数，可能难以找到合适的代数表示法。
三角表示法
三角表示法
使用三角函数的公式来表示函数，例如 $f(x) = sin(x) + cos(x)$。
优点
3.1.2函数的表示法课件
课堂小结
1. 本节主要学习了函数的三种表示方法：解析法、 列表法和图象法的定义以及它们各自的优点.
2.数形结合的思想：
布置作业
y
5 4 3 2
1数”，习惯上指在定义域的不同
部
分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
注意：
函数图象不一定是光滑的曲线（直线）， 还可以是一些孤立的点，一些线段，一段曲 线等。
3.1.2 函数的表示法
引例
期末考试各班成绩汇总表；
由温州开往北京的火车站数与票价的对 应表；
一次函数
y 2 x 4;
正方形面积公式 S
x ;
2
如： 一次函数的图象是一条直线； 如函数 y=k x +b (k<o、b>o)
y
O
x
二次函数的图象是一条抛物线； 2 如函数 y = x
我国人口出生率变化曲线
2、图象法 图象法：是用图象表示两个变量间的函数关系 的方法。 3、解析法（也叫公式法） 解析法：是用数学等式表示两个变量间的函数关 系的方法。解析式：表达函数关系的数学等式。
例1 某种笔记本每个5元，买x（x∈{1，2，3，4}）个 笔记本的钱数记为y元，试用三种方法表示该函数。 解：这个函数的定义域是集合｛1，2，3，4｝，函 数解析式为 y = 5x ，（x ∈｛1，2，3，4｝） 20 x y 1 5 2 3 4 15
课堂练习 1. 画出下列函数图象:
(1)
(2)
f ( x) 2 x, x Z , 且 x 2；
高中数学第三章函数概念与性质3.1.2函数的表示法函数的表示法第一册数学教案
第1课时 函数的表示法考点学习目标核心素养函数的三种表示方法了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当方法表示函数数学抽象 求函数的解析式 掌握求函数解析式的常用方法 数学运算 函数图象的作法及应用会作函数的图象并从图象上获取有用信息直观想象 问题导学预习教材P67，并思考以下问题： 1．函数的表示方法有哪几种？ 2．函数的表示方法有什么特点？ 函数的表示法 ■名师点拨(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( ) 答案：(1)× (2)×已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x2解析：选C.设y ＝k x ，由题意得1＝k2，解得k ＝2，所以y ＝2x.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________．x 1 2 3 4f(x)324 1 解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.答案：1函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________．答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)函数的三种表示方法某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解】(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(2)图象法：如图所示．(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．(1)函数三种表示方法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是________．x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20 y＝f(x)46810当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x <20时，f (x )>x 的整数解为∅.综上所述，f (x )>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}． 答案：{1，2，3，5}3．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：x 1 2 3 f (x ) 2 3 1 x 1 2 3 g (x )321则方程g (f (x ))＝x 的解集为________．解析：当x ＝1时，f (1)＝2，g (f (1))＝2，不符合题意； 当x ＝2时，f (2)＝3，g (f (2))＝1，不符合题意； 当x ＝3时，f (3)＝1，g (f (3))＝3，符合题意． 综上，方程g (f (x ))＝x 的解集为{3}． 答案：{3} 求函数的解析式(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 【解】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二：(换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 所以f (t )＝(t －1)2＋2（t －1）2＝t 2－1(t ≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.于是得到关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f （x ）＝1x. 解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．1．(2019·辽源检测)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝1＋x1－xB ．f (x )＝1＋xx －1C ．f (x )＝1－x1＋xD ．f (x )＝2x x ＋1解析：选C.令t ＝1－x1＋x ，解得x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t1＋t，所以f (x )＝1－x1＋x.2．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． 解：因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① 所以将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ②×2－①得3f (x )＝x 2－6x ， 所以f (x )＝13x 2－2x .函数图象的作法及应用作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2，2]． 【解】 (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345当x ∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)列表：x 2 3 4 5 … y1231225…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138画图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8]．函数y ＝f (x )图象的画法(1)若y ＝f (x )是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．作出下列函数的图象：(1)y ＝x ＋2，|x |≤3； (2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)； (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)． 1.已知函数f (x )的图象如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f (f (0))＝( )A ．2B ．4C ．0D ．3解析：选C.结合题图可得f (0)＝3， 则f (f (0))＝f (3)＝0.2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1D ．f (x )＝3x ＋4 解析：选A.法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m 的值为________． 解析：因为函数f (x )＝x －m x的图象过点(5，4)， 所以4＝5－m5，解得m ＝5.答案：54．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )． 解：因为f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)－f (x )＝2x ， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x .整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.[A 基础达标]1．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )x 0<x <5 5≤x <10 10≤x <1515≤x ≤20y2345C ．(0，20]D ．N *解析：选B.由表格可知，y 的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}． 2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝( ) A ．0 B ．8 C ．2D ．－2解析：选B.因为f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 且f (1)＝0，f (3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，即f (x )＝x 2－4x ＋3， 所以f (－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：选B.法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2， 所以f (x )＝x 2＋2x －2， 所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令x －1＝2，所以x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( ) A.23x ＋5 B.23x ＋1 C ．2x －3D ．2x ＋1解析：选A.因为f (x )是一次函数， 所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17， 整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝5，所以f (x )＝23x ＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x ) 的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为________．解析：由函数g (x )则f (g (2))＝f (1)＝2. 答案：27．(2019·莆田检测)函数y ＝x 2＋2x －3在区间[－3，0]上的值域为________． 解析：y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 因为x ∈[－3，0]， 所以当x ＝－3时，y max ＝0， 当x ＝－1时，y min ＝－4. 函数的值域为[－4，0]． 答案：[－4，0]8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________． 解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：29.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由题图知值域为[－2，2]．(3)由题图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应．10．已知函数f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )关于x 2成正比，h (x )关于x 成反比，且g (1)＝2, h (1)＝－3.求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1∈R ，且k 1≠0)，h (x )＝k 2x(k 2∈R ，且k 2≠0)， 由于g (1)＝2，h (1)＝－3， 所以k 1＝2，k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x，定义域是(0，＋∞)． (2)由(1)，得f (4)＝2×42－34＝612.[B 能力提升]11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2(x ≠－1)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1) D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)解析：选C.设1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t (t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝4t 2＋2t 2＝2t1＋t2，即f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．故选C. 12．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.13．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．[C 拓展探究]14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22， 所以b 2－4ac ＝8a 2；②又由已知得c ＝1.③ 由①②③解得b ＝2，a ＝12，c ＝1， 所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.。
高一数学课件(人教A版)312函数的表示法
变式4-1：已知 ()是一次函数，且满足( ()) = 4 + 8，则 =___________.
【答案】： = 2
8
+ 或
3
= −2 − 8
变式4-2：已知 ()是二次函数，且满足(0) = 0，( + 1) − () = 2,求 ().
函数的对应关系也不相同，则称函数y = f(x)叫分段函数
注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系
不相同；
(2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集.
练习巩固
变式1：画出函数y = |x + 1|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
−x，x < 0，
x，x ≥ 0.
所以，函数y = |x|的图象如图所示.
−x，x < 0，
像例5中y =
这样的函
x，x ≥ 0.
数称为分段函数.生活中，有很多可
y | x |
以用分段函数描述的实际问题，如出
租车的计费、个人所得税纳税额等.
新知探究
对于函数y = f(x)，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，
离散的点)表示出来，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，
练习巩固
王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，
表明他的数学成绩在稳步提高.
解：设t = x + 1，则t < 1，x = t − 1.
3.1.2函数的表示
解: 由绝对值的概念,我们有
所以,函数y=|x| 的图象如图所示.
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
1Байду номын сангаас
2
3
我们把这样的
函数称为分段
函数
分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值
范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
关于分段函数概念的理解
（2）∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为
M(x)=max{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数M(x)
解: (2)由(1)中的函数图象与M(x)的定义可知：
由x+1=(x+1)2，则x=-1，或x=0
当x≤-1时，M(x)=(x+1)2 ；当-1<x≤0时，M(x)=x+1
归纳小结
(1)分段函数求函数值的步骤
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应
从内到外依次求值．
(2)已知函数值求字母取值(范围)的步骤
①先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式).
②解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围．
班级平均分
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析。
分析：从上表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成
绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图像（均
为6个离散的点）表示出来。如下图，那么就能直观的看到每位同学成绩变化的情况，
学案3：3.1.2 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法学习目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．新知初探1．函数的表示法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，它的整体趋势2.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的 的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0＜x ≤3，其“段”是不等长的．小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示． ( ) (2)函数f (x )＝2x ＋1不能用列表法表示． ( ) (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( ) (4)分段函数由几个函数构成． ( )(5)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数． ( )2.函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是( )A ．RB ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－1,0)3．已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，f (x )的解析式为________．自主探究题型一 函数的定义例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y =f (x ) ．1．已知函数f (x )，g(x )分别由下表给出．则f ( g(1))的值为________；当g ( f (x ))＝2时，x ＝________. 题型二 分段函数求值 例2 已知函数f (x )＝(1)求f(f (x )) 的值； (2)若f (x )＝13 ，求x 的值跟踪训练二 1.题型三 求函数解析式 例3 (1)已知f (x +1)=x 2-3x +2,求f (x );(2)已知f (x )是二次函数,且满足f (0)=1,f (x +1)-f (x )=2x ,求f (x )的解析式; (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )+2f (-x )=3x -2,求f (x ).⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |＞1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.1.已知f (x )是一次函数,且f (f (x ))=2x -1,求f (x )的解析式;2.已知f (√x +1)=x +2√x ,求f (x )的解析式;3.设函数f (x )满足f (x )+2f (1x )=x (x ≠0),求f (x ).题型四 函数的图像及应用例4 1. 函数f (x )＝|x －1|的图象是( )2.给定函数f (x )=x +1,g (x )=(x +1)2,x ∈R (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g (x )的图像； （2）∀x ∈R,用M (x )表示f(x),g (x )中的较大者，记为M (x )=max {f (x ),g (x )}.请分别用图像法和解析法表示函数M (x ). 跟踪训练四1．已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式是________．2．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．题型五 函数的实际应用例5下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：88请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．当堂检测1.若f (x )={x -3,x ≥10,f (f (x +6)),x <10,则f (5)的值为( )A.8B.9C.10 D .112.已知f (1-x1+x )=x ,则f (x )=( ) A.x+1x -1B.1-x1+xC.1+x 1-xD.2xx+13.若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )-2f (-x )=5x +1,则f (x )=( ) A.x +1B.x -1C.2x +1D.3x +34.函数f (x )={2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A.RB.[0,+∞)C.[0,3]D.[0,2]∪{3}5.已知函数f (x )的图象如图所示,则f (-5)= ,f (f (2))= .6.已知f (x )为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f (x )的解析式.7.某商场新进了10台彩电,每台单价3 000元,试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.参考答案新知初探对应关系 并集 空集小试牛刀1．（1）× （2） √ （3） × （4）× （5 ）√ 2．C 3．y ＝－18x自主探究例1【答案】见解析【解析】这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.用解析法可将函数y=f （x ）表示为 y=5x , x ∈{1，2， 3，4，5} 用列表法可将函数y=f (x )表示为用图像法可将函数y=f (x )表示为跟踪训练一【答案】1 1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g(1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.例2 【答案】(1)413(2) ±2【解析】(1)因为f ⎝⎛⎭⎫ 12 ＝⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， 所以f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫ 12 ＝f ⎝⎛⎭⎫－32 ＝11＋⎝⎛⎭⎫ －3 2 2＝413. (2)f (x )＝13，若|x |≤1，则|x －1|－2＝13，得x ＝103或x ＝－43.因为|x |≤1，所以x 的值不存在； 若|x |>1，则11＋x 2＝13，得x ＝±2，符合|x |＞1. 所以若f (x )＝13，x 的值为± 2.跟踪训练二【答案】－6或10【解析】解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6， ∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)； 当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10. 例3 【答案】见解析【解析】(1)(方法一)令x +1=t,则x =t-1. 将x =t-1代入f (x +1)= x 2-3x +2,得f (t)= (t −1)2-3(t-1)+2=t 2-5t+6,∴f (x )= x 2-5x +6.(方法二)∵f (x +1)= x 2 -3x +2=x 2+2x +1-5x -5+6=(x +1)2-5(x +1)+6,∴f (x )= x 2-5x +6. (2)设所求的二次函数为f (x )=a x 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c=1,则f (x )=a x 2+bx +1. ∵f (x +1)-f (x )=2x 对任意的x ∈R 都成立, ∴a (x +1)2+b (x +1)+1-(a x 2+bx +1)=2x ,即2ax +a +b =2x ,由恒等式的性质,得{2a =2,a +b =0,∴{a =1,b =-1.∴所求二次函数为f (x )=x 2-x +1.(3)∵对于任意的x 都有f (x )+2f (-x )=3x -2,∴将x 替换为-x ,得f (-x )+2f (x )=-3x -2,联立方程组消去f (-x ),可得f (x )=-3x -23 . 跟踪训练三【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )为一次函数,∴可设f (x )=ax +b (a ≠0).∵f (f (x ))=f (ax +b )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b =2x -1. ∴{a 2=2,ab +b =-1,解得{a =√2,b =1-√2或{a =-√2,b =1+√2. 故f (x )=√2x +1-√2或f (x )=-√2x +1+√2.(2)(方法一)f (√x +1)=(√x )2+2√x +1-1=(√x +1)2-1,其中√x +1≥1,故所求函数的解析式为f (x )=x 2-1,其中x ≥1.(方法二)令√x +1=t ,则x =(t -1)2,且t ≥1,函数f (√x +1)=x +2√x 可化为f (t )=(t -1)2+2(t-1)=t 2-1,故所求函数的解析式为f (x )=x 2-1 ,其中x ≥1.(3)因为对任意的x ∈R ,且x ≠0都有f (x )+2f (1x )=x 成立, 所以对于1x ∈R ,且1x ≠0,有f (1x )+2f (x )=1x , 两式组成方程组{f (x )+2f (1x)=x ,①f (1x)+2f (x )=1x,②②×2-①得,f (x )=13(2x -x). 例4 【答案】1.B 2.见解析【解析】1.法一：函数的解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1.画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A 、C 、D ，故选B. 2. （1）同一直角坐标系中函数f (x ),g (x )的图像（2）结合M (x )的定义，可得函数M (x )的图像由(x +1)2=x +1,得x (x +1)=0.解得x =1，或x =0. 由图易知M (x )的解析式为M (x )={(x +1)2，x +1，(x +1)2x ≤−1−1<x ≤0x >0跟踪训练四【答案】1.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x ≤1 2. (－∞，1]【解析】1. 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝k x ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.2.由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x ＜1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．例5【答案】见解析【解析】从表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。
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知识探究
3.1.2 函数的表示方法 3.图像法
例：我校2008级新生数学摸底分层测试图：
45 40 35 30 25 20 15 10
5 0
20分以下
20—40分
40—60分
60分以上
知识探究
3.1.2 函数的表示方法 3.图像法
例3-11 画出函数 y x 1的图象．
解：（1）列表
x
0
1
y -1 0
（2）描点 （3）连线
课堂练习
1.课本第50页练习3.1.2，第1题、第2题。
2.课本第51页练习3.1.2，第3题、第4题。 3.课本第51页练习3.1.2，第7题、第8题。
时间 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
平均温度
（0C） 18 20 21 22 21 19 17
知识探究
3.1.2 函数的表示方法
3.图像法
用平面直角坐标系的图形来表示函数的方法称为 图像法。
知识探究
3.1.2 函数的表示方法 3.图像法
例3-10如图表示了某港口某日从0时到7时水深变化情况，
2.列表法 用表格表示因变量随自变量的变化而变化的方法
称为列表法。
知识探究
3.1.2 函数的表示方法
2.列表法
例3-9 假设 92♯ 、97♯ 汽油的零售价分别是
5.36元/升、5.86元/升，如果要购买50元、 100元、150元、200元、250元、300元汽油， 分别应售出多少升？ 解：这个问题可以用表格列出：
果用x表示售出毛衣件数，f (x)表示销售金
额，则上述关系可以用以下数学式子表示：
f
(
x)
55x,Biblioteka 40x,0 ≤ x ≤10且x Z x 10 且x Z
知识探究
3.1.2 函数的表示方法
*.分段函数 （1）求分段函数的定义域。
求各段定义范围的并集。
（2）求分段函数的函数值的方法。 先根据给定的自变量的值选择表达式， 再代入求值。
财政部规划教材 全国中等职业学校财经类教材
财经应用数学 基 础 模块
3.1.2 函数的表示方法
2014年02月 课件制作：广东省财政职业技术学校 林卫民
学习目标
1.了解函数表示的公式法、列表法和图像法； 2.会画简单函数的图像； 3.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值。
情境引入
我们曾见过：
例3-7
已知分段函数f
(
x)
x 2x
3
x 1 ;
x 1
求该函数的定义域和f (3), f (1), f (3)。
知识探究
3.1.2 函数的表示方法 *.分段函数
例3-8 已知函数f (x)是定义域在R上的函数，且 f (x 1) x2 x 1,求函数f (x)的表达式。
知识探究
3.1.2 函数的表示方法
x y 价25元，则销售数量 (本)与销售金额 (元)
之间的函数关系可以表示为:
y 25x (0 x 80, x Z)
知识探究
3.1.2 函数的表示方法
*.分段函数
用两个或两个以上的式子表达的函数，称为 分段函数。
例3-6 某服装批发部有种毛衣，零售价为每件
55元，若购买超过10件售价为每件40元．如
1. 销售额=单价×销售量
y 300x
2. 学生的体重
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 … 体重(kg) 45 48 42 51 49 53 43 46 …
3. 股票行情
知识探究
3.1.2 函数的表示方法 1.公式法
用数学式子来表示两个变量之间的对应关系的 方法叫做公式法。
例3-5 新华书店有《哈利.波特》80本，每本售
售出(元) 50 100 150 200 250 300
93♯ (升) 9.33 18.66 27.99 37.32 46.65 55.98 97♯ (升) 8.53 17.06 25.60 34.13 42.66 51.19
知识探究
3.1.2 函数的表示方法 2.列表法 例：2014年2月1日至7日的平均温度，如下表所示：
课堂小结
本次课主要学习了函数的表示方法，在了解相关表 示方法同时，重点要掌握：（1）求分段函数的定义域 和函数值；（2）求作简单函数的图像。
布置作业
1. 课本第53页习题3.1中的第三题的5、6、7题。 第四题的（1）（2）题
2.预习3.2.1 函数的单调性。