贵州省2020年高考理科数学模拟试题及答案(一)

合集下载

2020年贵州省高考数学(理科)模拟试卷(1)

2020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]2．（5分）在复平面内，复数5i 1+2i对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3，则向量a →，b →的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（） A ．x 24−y 23=1 B ．x 29−y 216=1C ．x 23−y 24=1D ．x 216−y 29=15．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2B ．43C ．23D ．137．（5分）函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是（） A ．(0，12)B ．（﹣∞，0）C ．（0，1）D ．（0，+∞）8．（5分）如果将函数y =√5sinx +√5cos x 的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y ＝3sin x +a cos x （a ＜0）的图象，则tan θ的值为（） A ．2B ．12C ．13D ．39．（5分）从集合{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}中任取一个元素a ，则a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形三边长的概率为（） A ．15B ．25C ．12D ．71010．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M ．R ．Pogson ）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当|x |较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2）（） A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.2711．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A =√2，PB =√14，AB ＝4，CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（） A ．10π3B ．25π6C ．40π9D ．50π312．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f （x ）满足x 2f ′（x ）+1＞0（f ′（x ）为函数f （x ）的导函数），f （3）=43，则关于x 的不等式f （log 2x ）﹣1＞log x 2的解集为（） A ．（1，8）B ．（2，+∞）C ．（4，+∞）D ．（8，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝sin （πx +φ）﹣2cos （πx +φ），若f （1+x ）＝f （1﹣x ），则sin2φ＝．14．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 202032020= ．15．（5分）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，﹣1），则PF PA的最小值为．16．（5分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5．（1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．18．（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀．（1）根据这次抽查的数据，填写下面的2×2列联表：优秀不优秀合计甲班乙班合计（2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？附：临界值参考表与参考公式 P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）以D 为顶点，DD 1，DA ，DC 为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，已知点E 在AA 1上移动（1）当E 点为AA 1的中点时，证明BE ⊥平面B 1C 1E ．（2）在CC 1上求一点P ，使得平面BC 1E ∥平面P AD 1，指出P 点的位置（Ⅲ）AE 为何值时，二面角C ﹣ED 1﹣D 的大小为45°．20．（12分）已知A 1、A 2分别是离心率e =√22的椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1→⋅PA 2→=−1．（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （x 2+8x ﹣4）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的不等式e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx 在[0，+∞）上恒成立，且m ≠0，求实数m 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明：（1）1a +1b +1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827．2020年贵州省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]【解答】解：∵A ＝{x |x ＞4，或x ＜﹣1}， ∴∁R A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵B ＝{x |x ≥2，或x ＜1}，∴（∁R A ）∩B ＝[﹣1，1）∪[2，4]．故选：D ．2．（5分）在复平面内，复数5i 1+2i对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵5i 1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i ，∴在复平面内，复数5i1+2i对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A ．3．（5分）若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3，则向量a →，b →的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解答】解：∵向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，且|a →−b →|=√3， ∴a →2−2a →⋅b →+b →2=1﹣2a →⋅b →+4＝3， ∴a →⋅b →=1．设向量a →，b →的夹角为θ，则θ∈[0，2π]，由cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=11⋅2=12，∴θ＝60°，故选：B ．4．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（） A ．x 24−y 23=1 B ．x 29−y 216=1C ．x 23−y 24=1D ．x 216−y 29=1【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，由{e =ca =532b =8c 2=a 2+b 2，得{a =3b =4c =5．可得x 29−y 216=1．故选：B ．5．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【解答】解：A 选项中高于200的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占320，错误；C 选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；对于D 选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确．故选：D ．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2B ．43C ．23D ．13【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底边为直角三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：所以V =13×12×2×1×2=23．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是（） A ．(0，12)B ．（﹣∞，0）C ．（0，1）D ．（0，+∞）【解答】解：因为函数f （x ）＝xlnx ﹣mx 2，所以f ′（x ）＝lnx +1﹣2mx 在（0，+∞）内有两个零点，又f ′′（x ）=1x −2m ，由f ′′（x ）＞0，得0＜x ＜12m ；由f ″（x ）＜0，得x ＞12m ，所以f ′（x ）在（0，12m）上是增函数，在（12m，+∞）上是减函数．所以x =12m 时，f ′（x ）取得最大值f ′（12m）＝ln12m．因为f ′（x ）＝lnx +1﹣2mx 在（0，+∞）内有两个零点，所以ln12m＞0，解得0＜m ＜12．故选：A ．8．（5分）如果将函数y =√5sinx +√5cos x 的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y ＝3sin x +a cos x （a ＜0）的图象，则tan θ的值为（） A ．2B ．12C ．13D ．3【解答】解：函数y =√5sinx +√5cosx =√10（sin x •√22+√22cos x ）=√10sin （x +π4），将其图象向右平移θ个单位后，得到函数y =√10sin(x +π4−θ)的图象．将函数y ＝3sin x +a cos x ，化为y =√9+a 2sin （x +φ），其中tanφ=a 3， ∵y =√10sin(x +π4−θ)与y =√9+a 2sin （x +φ）表示同一函数， ∴√a 2+9=√10，又a ＜0，∴a ＝﹣1，此时tanφ=−13，且π4−θ+2kπ=φ，k ∈Z ，∴θ=π4−φ+2kπ，k ∈Z ，∴tanθ=tan(π4−φ)=1−tanφ1+tanφ=2，故选：A ．9．（5分）从集合{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}中任取一个元素a ，则a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形三边长的概率为（） A ．15B ．25C ．12D ．710【解答】解：∵{x |﹣x 2+12x ﹣11≥0}＝{x |x 2﹣12x +11≤0}＝[1，11]；而a ，a +2，a +4可以构成钝角三角形；即a +4所对的角为钝角；∴cos θ=a 2+(a+2)2−(a+4)22×a×(a+2)＜0⇒a 2﹣4a ﹣12＜0⇒﹣2＜a ＜6；所以：所求概率为6−111−1=12；故选：C ．10．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M ．R ．Pogson ）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是（当|x |较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2）（） A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【解答】解：设“心宿二”的星等是m 1，“天津四”的星等是m 2，“心宿二”的亮度是E 1，“天津四”的亮度是E 2，则m 1＝1.00，m 2＝1.25，E 1＝rE 2，∵两颗星的星等与亮度满足m 1﹣m 2＝2.5（lgE 2﹣lgE 1）， ∴1﹣1.25＝2.5（lgE 2﹣lgrE 2），即：lgr ＝0.1，∴r ＝100.1≈1+2.3×0.1+2.7×（0.1）2＝1+0.23+0.027＝1.257， ∴与r 最接近的是1.26，故选：C ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A =√2，PB =√14，AB ＝4，CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（） A ．10π3B ．25π6C ．40π9D ．50π3【解答】解：如图；设AB 的中点为D ； ∵P A =√2，PB =√14，AB ＝4，∴△P AB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r =12AB ＝AD ＝2；设外接球球心为O ；∵CA ＝CB =√10，面P AB ⊥面ABC ，∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面P AB ；且DC =√CA 2−AD 2=√6． ∴O 在CD 上；故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（√6−R ）2+r 2⇒R =5√6；∴球O的表面积为：4πR2＝4π×(56)2=50π3．故选：D．12．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3）=43，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞log x2的解集为（）A．（1，8）B．（2，+∞）C．（4，+∞）D．（8，+∞）【解答】解：构造函数F（x）＝f（x）−1x，x∈（1，+∞），∴F'（x）＝f'（x）+1x2=f′(x)x2+1x2，∵函数f（x）在（1，+∞）上满足x2f′（x）+1＞0，∴F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∵不等式f（log2x）﹣1＞log x2，∴f（log2x）﹣log x2＞1，即f（log2x）−1log2x＞1，又∵F（3）＝f（3）−13=43−13=1，∴不等式可转化为F（log2x）＞F（3），又∵函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴log2x＞3，解得：x＞8，故选：D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ），若f（1+x）＝f（1﹣x），则sin2φ＝−45．【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（x）的对称轴方程为x＝1，由f（x）＝sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=√5sin(πx+φ−θ)（tanθ＝2），得π+φ﹣θ=π2+kπ，k∈Z．∴φ＝k π−π2+θ，则sin2φ＝sin （2k π﹣π+2θ）＝﹣sin2θ=−2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=−2tanθtan 2θ+1=−45．故答案为：−45．14．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 20203=（43）2020﹣1 ．【解答】解：∵x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，令x ＝1得：a 0＝1；令x =43得：（43）2020＝a 0+a 13+a 232+⋯+a202032020； ∴a 13+a 23+⋯+a 20203=(43)2020−1；故答案为：(43)2020−115．（5分）已知点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，﹣1），则PF PA的最小值为√22．【解答】解：由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F （0，1），准线方程为y ＝﹣1．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则PF PA=PM PA=sin ∠P AM ，∠P AM 为锐角．故当∠P AM 最小时，PF PA最小，故当P A 和抛物线相切时，PF PA 最小．设切点P （2√a ，a ），由y =14x 2的导数为y ′=12x ，则P A 的斜率为12•2√a =√a =a+12√a ，求得a ＝1，可得P （2，1）， ∴|PM |＝2，|P A |＝2√2，∴sin ∠P AM =PM PA =√22．故答案为：√22．16．（5分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 15 ．【解答】解：如图，由角平分线可得：AB BD=AC DC，即AB 3=AC 2，设AB ＝3x ，AC ＝2x ，则cosA =9x 2+4x 2−2512x 2=13x 2−2512x 2，则有sinA =√1−(13x 2−2512x2)2=512x2√−x 4+26x 2−25， ∴S △ABC =12AB •AC •sin A =12⋅3x ⋅2x ⋅512x 2•√−x 4+26x 2−25 =54√−x 4+26x 2−25 =54√−(x 2−13)2+144 ≤15，当x ＝13时，取得最大值15．故答案为：15．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5．（1）求a n ；（2）求数列{a n 2n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设公差为d ，由S 4＝a 4+a 5，得4a 1+4×32d =a 1+3d +a 1+4d ，即4+6d ＝2+7d ，解得d ＝2，所以，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（2）a n 2n=2n−12n ，可得T n =12+322+523+⋯+2n−12n ，两边同乘以12，有12T n =122+323+524+⋯+2n−12n+1，两式相减，得T n −12T n =12+222+223+224+⋯+2n −2n−12n+1 =12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．所以，T n =3−2n+32n ． 18．（12分）甲，乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲，乙两个班学生的成绩分成如下四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并分别绘制了如下的频率分布直方图：规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀．（1）根据这次抽查的数据，填写下面的2×2列联表：优秀不优秀合计甲班 10 30 40 乙班 6 34 40 合计166480（2）根据（1）中的列联表，能否有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关？附：临界值参考表与参考公式 P （K 2≥k 0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）甲班优秀的人数是0.025×10×40＝10人，乙班优秀的人数是0.015×10×40＝6人，故可得2×2列联表如下表：优秀不优秀合计甲班103040乙班63440合计166480（2）K2=80×(10×34−30×6)240×40×16×64=1.25＜2.072，所以没有85%的把握认为成绩是否优秀与班级有关．19．（12分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）以D为顶点，DD1，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，已知点E在AA1上移动（1）当E点为AA1的中点时，证明BE⊥平面B1C1E．（2）在CC1上求一点P，使得平面BC1E∥平面P AD1，指出P点的位置（Ⅲ）AE为何值时，二面角C﹣ED1﹣D的大小为45°．【解答】解：（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如图所示的三棱锥D1﹣ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD1＝2，故所求的体积是V =13×12×2×12=13；（Ⅱ）（1）当E 点为AA 1的中点时，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系如图，则B （1，1，0），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2），E （1，0，1）BE →=(0，−1，1)，B 1E →=(0，−1，−1)，C 1E →=(−1，1，1)BE →⋅B 1E →=0，BE →⋅C 1E →=0所以BE ⊥B 1E 且BE ⊥C 1E ，所以BE ⊥平面B 1C 1E ．（2）可知当A 1E ＝PC 时，有AD 1∥BC 1，BE ∥PD 1所以平面BC 1E ∥平面P AD 1 注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可．（Ⅲ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系如图设E （1，0，m ）则D （0，0，0），C （0，1，0）D 1（0，0，2） C →E =（1，﹣1，m ），CD 1→=（0，﹣1，2）设向量n →=（x ，y ，z ）满足n →⊥CE →，n →⊥CD 1→于是{x −y +mz =0−y +2z =0解得{x =(2−m)zy =2z取z ＝1得n →=（2﹣m ，2，1）又D →C =（0，1，0）即√(2−m)2+22+12⋅√02+12+02=√22解得m =2±√3因为m ＜2所以m ＝2−√3即AE =2−√3时，二面角C ﹣ED 1﹣D 的大小为45°．20．（12分）已知A 1、A 2分别是离心率e =√22的椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且PA 1→⋅PA 2→=−1．（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点．【解答】解：（1）由题意得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），P （0，b ），则PA 1→⋅PA 2→=(−a ，−b)⋅(a ，−b)=−a 2+b 2=−c 2=−1，所以c ＝1，又{e =c a =√22a 2=b 2+c 2，所以a =√2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x22+y 2=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ﹣4，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则M （﹣x 2，y 2），由{x 22+y 2=1y =kx −4，消去y 得（1+2k 2）x 2﹣16kx +30＝0．由△＝（﹣16k ）2﹣120（1+2k 2）＞0，得k 2＞152，所以x 1+x 2=16k 1+2k 2，x 1x 2=301+2k2． k AM =y 1−y2x 1+x 2=kx 1−4−kx 2+4x 1+x 2=k(x 1−x 2)x 1+x 2，直线AM 的方程为y −y 1=k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)，即y =y 1+k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)=kx 1−4+k(x 1−x 2)x 1+x 2(x −x 1)=(kx 1−4)(x 1+x 2)+k(x 1−x 2)(x−x 1)x 1+x 2=2kx 1x 2−4(x 1+x 2)+kx(x 1−x 2)x 1+x 2=k(x 1−x 2)x 1+x 2x +2kx 1x 2x 1+x 2−4，因为x 1+x 2=16k 1+2k2，x 1x 2=301+2k2，所以2kx 1x 2x 1+x 2−4=2k301+2k 216k 1+2k 2−4=−14，直线AM 的方程为可化为y =k(x 1−x 2)x 1+x 2x −14，则直线AM 恒过定点(0，14)．当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点(0，14)，综上知直线AM 恒过定点(0，14)． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x （x 2+8x ﹣4）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的不等式e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx 在[0，+∞）上恒成立，且m ≠0，求实数m 的取值范围．【解答】解（1）依题意，x ∈R ，f '（x ）＝e x （x 2+8x ﹣4+2x +8）＝e x （x 2+10x +4），令f '（x ）＝0，即x 2+10x +4＝0，解得x =−10±√842=−5±√21，故当x ∈(−∞，−5−√21)时，f '（x ）＞0，当x ∈(−5−√21，−5+√21)时，f '（x ）＜0，当x ∈(−5+√21，+∞)时，f '（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为(−∞，−5−√21)和(−5+√21，+∞)，单调递减区间为(−5−√21，−5+√21)．注：−5−√21，−5+√21处写成闭区间也给分．（2）令g(x)=e x (x 2+8x−4)4+m −msinx ，由题意得，当x ＝0时，g （0）＝m ﹣1≥0，则有m ≥1．下面证当m ≥1时，对任意x ≥0，都有g （x ）≥0．由于x ∈R 时，1﹣sin x ≥0，当m ≥1时，则有g(x)≥e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ．故只需证明对任意x ≥0，都有e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥0．易知h （x ）＝x ﹣sin x 在[0，+∞）上单调递增，所以当x ≥0时，h （x ）≥h （0）＝0，即x ≥sin x ，所以1﹣x ≤1﹣sin x ，则e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥e x (14x 2+2x −1)+1−x ，设F(x)=e x (14x 2+2x −1)+1−x ，x ≥0，则F ′(x)=e x (14x 2+52x +1)−1．当x ≥0时，e x ≥1，14x 2+52x +1≥1，所以F '（x ）≥0，所以F （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以当x ≥0时，F （x ）≥F （0）＝0，所以对任意x ≥0，都有e x (14x 2+2x −1)+1−sinx ≥0．所以当m ≥1时，对任意x ≥0，都有e x (x 2+8x−4)4+m ≥msinx ，故实数m 的取值范围为[1，+∞）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②．所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0．设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2．五．解答题（共1小题）23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明：（1）1a +1b+1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827．【解答】证明：（1）1a+1b+1c=(a +b +c)(1a+1b+1c)=3+a b+b a+c a+a c+b c+c b≥3+2√a b ⋅b a+2√ca ⋅ac+2√b c ⋅c b=9，当且仅当a =b =c =13时，等号成立；（2）∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1， ∴c ＝1﹣a ﹣b ，1﹣a ＞0，1﹣b ＞0，1﹣c ＞0，∴ac +bc +ab ﹣abc ＝（a +b ﹣ab ）c +ab ＝（a +b ﹣ab ）（1﹣a ﹣b ）+ab ＝（b ﹣1）（a ﹣1）（a +b ）＝（1﹣a ）（1﹣b ）（1﹣c ）≤[(1−a)+(1−b)+(1−c)3]3=827， ∴ac +bc +ab ﹣abc ≤827，当且仅当a =b =c =13时，等号成立．。

2020届贵州省黔东南州高三高考模拟考试数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届贵州省黔东南州高三高考模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．若()(1223)z i i =--，则（） A ．z 的实部大于38i --的实部 B ．z 的实部等于38i --的实部 C ．z 的虚部大于38i --的虚部 D ．z 的虚部小于38i --的虚部答案：C利用复数的乘法运算计算即可. 解：因为(12i)(23i)47i z =--=--，所以z 的实部小于38i --的实部，z 的虚部大于38i --的虚部. 故选：C 点评：本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()(){}|2120B x x x =+-<，则A B =I ( ) A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,2D ．{}1,0,1-答案：A利用一元二次不等式的解法求出集合B ，再利用集合的交运算进行求解即可. 解：因为不等式()()2120x x +-<的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以集合1,22B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，由集合的交运算可得，{}0,1A B =I . 故选：A 点评：本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算；考查运算求解能力；属于基础题.3．若向量()1,2AC =u u u r ，()1,4AB BC -=-u u u r u u u r ，则AB =uu u r（）A ．()1,1-B ．()0,6C ．()2,2-D ．()0,3答案：D求得AB BC +u u u r u u u r ，由此求得AB u u u r .解：依题意()1,2AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r，所以()()1,21,4AB BC AB BC ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v ，两式相加得()20,6AB =u u u r，所以()0,3AB =u u u r.故选：D 点评：本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%答案：A由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 解：水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A ．B ．C ．D ．答案：A根据侧视图和俯视图特征判定几何体，找出正投影，即可得解. 解：结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中1AED BCC -，正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面，所以正视图为A 选项的图形. 故选：A 点评：此题考查三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确. 6．若函数()1sin 25f x x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则（） A ．()f x 的最大值为1B ．7()10f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()f x 的最小正周期为2 D ．7()10f x f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭答案：B对所给选项进行简单推理即可.由已知，()f x 的最大值为2，()f x 的最小正周期为1，故排除A 、C 选项；761sin 21sin 2()1055f x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，排除D.故选：B 点评：本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数的最值、周期等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（） A ．321e e e << B ．312e e e <<C ．123e e e <<D ．213e e e <<答案：D已知双曲线标准方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论. 解：对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，则22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，则222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，则223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 故选：D. 点评：本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题. 8．若24log log 1x y +=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．C ．4D ．答案：C由条件有24(0,0)x y x y =>>，利用均值不等式有24x y +=…可得到答案.解：因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ，所以24(0,0)xy x y =>>，则24x y +=…，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 故选：C 点评：本题考查对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题. 9．若1tan 3tan αα+=，则cos4α=（） A ．79-B ．19-C ．79D ．19答案：D 由1tan 3tan αα+=可得2sin 23α=，再利用余弦的二倍角公式可得答案.解：因为1sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2ααααααα+=+==，所以2sin 23α=，所以21cos 412sin 29αα=-=.故选：D 点评：本题考查同角三角函数的关系和余弦的二倍角公式，属于中档题.10．在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（） A ．420B ．766C ．1080D ．1176答案：D分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解. 解：一等奖两个名额，一共222220668132C C C C ---=种，一等奖三个名额，一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 故选：D 点评：此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，若二面角11B BC E --为45︒，则四面体11BB C E 的外接球的表面积为（）A ．172π B ．12π C ．9πD ．10π答案：D连接11B C 交1BC 于O ，可证1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，即可求得11,B E B O 的长度，即可求出外接球的表面积.解：解：连接11B C 交1BC 于O ，则11B O BC ⊥，易知111A B BC ⊥，则1BC ⊥平面1B OE ，所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，则145B OE ︒∠=.因为2AB =，所以11B E BO ==故四面体11BB C E 的外接球的表面积为24102ππ⎛= ⎝⎭.故选：D 点评：本题考查二面角的计算，三棱锥的外接球的表面积计算问题，属于中档题. 12．若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为（） A ．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭答案：A 曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11xm y xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101x m y x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围. 解：解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点，又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++，当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e =-=-，又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →，故427,0m e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：A. 点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题. 二、填空题13．a b c ，，分别为ABC V 内角A B C ，，的对边.已知5sin a b A =，则sin B =___________.答案：15由5sin a b A =根据正弦定理有sin 5sin sin A B A =，可得答案. 解：因为5sin a b A =，所以sin 5sin sin A B A =，又sin 0A >，所以1sin 5B =. 故答案为：15点评：本题考查利用正弦定理进行边角的互化，属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件2201010x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为______.答案：-5根据题意，作出不等式组表示的可行域，利用目标函数的几何意义，作出直线0:20l x y -=，并向上平移直线0l 到最高点时目标函数2z x y =-有最小值，联立方程求出最优解代入目标函数即可求解. 解：作出不等式组表示的可行域，如图所示：作出直线0:20l x y -=，并向上平移直线0l ，当直线2z x y =-经过点C 时，z 取得最小值，联立方程10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即点C 为()3,4，所以目标函数2z x y =-的最小值为min 3245z =-⨯=-. 故答案为：5- 点评：本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向上平移直线0:20l x y -=找到使目标函数取得最小值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.15．函数12()(0)12xx f x x +=>+的值域为____________. 答案：11,32⎛⎫⎪⎝⎭由121()(0)1222x x xf x x +-==>++根据x 的范围先求分母22x -+的范围，可得值域. 解：121()(0)1222x x xf x x +-==>++，0x Q >，0x ∴-<，021x -<<，所以2223x -<+<，则11()32f x <<.故答案为：11,32⎛⎫⎪⎝⎭点评：本题考查求函数的值域，属于基础题.16．设()()2,02,0A B -，，若直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x ，则a =___________.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB △的内心到x ，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值. 解：点P 满足||||6PA PB +=,则点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，则2224595a y a =+.因为APB △的内心到x ，所以PAB △的内切圆的半径20r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，则a =点评：本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题. 三、解答题17．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,13PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析（2361（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值. 解：（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r，则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .361cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE 361点评：此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.18．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.答案：（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析（1）根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X 的分布列；（2）由（1）求出X的数学期望EX，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比较即可得出结论.解：解：（1）由题可知，工人抽查的4个零件中，⨯=元，当4个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为：248⨯+⨯=元，当4个不全是次品时，人工检验总费用都为：426220所以X的可能取值为8，20，44P X==+=，(8)0.80.20.4112P X==-=，(20)10.41120.5888则X的分布列为（2）由（1）知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元，因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元，且1600015065.6>，所以应该选择人工检验. 点评：本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于基础题.19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且121n n S S n +=+-. （1）证明：数列{}n S n +为等比数列，并求n a . （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：（1）证明见解析，11,121,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩；（2）1122n n n T -=+ （1）121n n S S n +=+-⇒()112n n S n S n +++=+，结合112S +=，可得数列{}n S n +为等比数列，进一步可得n a 的通项；（2）当2n ≥时，11222n n na =-，再利用分组求和法求和即可. 解：（1）证明：121n n S S n +=+-Q ，()11222n n n S n S n S n +∴++=+=+，又112S +=，故数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，则2n n S n +=，2nn S n =-，当2n ≥时，11122(1)21n n n n n n a S S n n ---⎡⎤=-=----=-⎣⎦，故11,121,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）当2n ≥时，11222n n n a =-，则2323111111111122222222222n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111142122212n n n n n T +--∴=-=+-.又11111222T -==+， 1122n n n T -∴=+.点评：本题主要考查构造法证明等比数列、分组法求数列前n 项和，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题. 20．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =-时，证明：()3f x x >-+. 答案：（1）见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 进行求导，分0a ≥和0a <两种情况分别利用导数()f x '判断函数()f x 的单调性即可；（2）结合（1）中的结论，判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，令()3g x x =-+，利用配方法求出函数()g x 的最大值，据此即可得证.解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22'2a x af x x x x+=+=，当0a ≥时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，令()'0f x >，得x >()'0f x <，得0x <<所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减. （2）证明：由（1）知，当2a =-时，()222x f x x-'=，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在(]0,1上单调递减，所以函数()f x 的最小值为()()min 11f x f ==，令()3g x x =-+，即())221g x =--+，2=，即4x =时，()max 1g x =，因为14≠，所以()()f x g x >，即()3f x x >-+. 点评：本题考查利用导数判断函数的单调性并求其最值、通过构造函数并求其最值证明不等式；考查运算求解能力、转化与化归能力和函数与方程思想；熟练掌握利用导数判断函数的单调性并求其最值是求解本题的关键；属于中档题.21．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点.（1）若l 过点F ，证明：2PQ p ≥；（2）若2p =，点M在曲线y =MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求MPQ V 面积的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）4⎡⎢⎣. （1）易知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意可知，直线l 的斜率存在，故设其方程为2p y kx =+，联立直线与抛物线方程得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求出12x x +的表达式，代入直线方程得到12y y +的表达式，利用抛物线的焦点弦公式求出PQ 即可得证；（2）由题意知，抛物线C 的方程为24x y =，设()00,M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则MP ，MQ 的中点分别为210104,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，得到方程22004422x y x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭有两个不同的实数根12,x x ，利用韦达定理和判别式，结合三角形的面积公式和点M在曲线y =解. 解：（1）证明：易知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意可知，直线l 的斜率存在，故设其方程为2p y kx =+，由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以122x x pk +=，因为()()2121221y y k x x p k p +=++=+，所以()21222PQ y y p k p =++=+，而2222k +≥，故2PQ p ≥.（2）因为2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =，设()00,M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则MP ，MQ 的中点分别为210104,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因为MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，所以方程22004422x y x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭有两个不同的实数根12,x x ，即方程22000280x xx y x -+-=有两个不同的实数根12,x x ，则1202x x x +=，212008x x y x =-，()()220002480x y x ∆=-->，即2004x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，则()222122112000288N x x x x x x MN y y y y ⎡⎤+-+⎣⎦=-=-=-，即()()2220000002283384x y x x MN y y --=-=-()200344x y =-，因为12x x -==MPQ V的面积为201203113224x S MN x x y ⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭)3220044S x y =-，由0y =，得()22000110x y y =--≤≤，所以()2220000044125x y y y y -=--+=-++，因为010y -≤≤，所以()201254y ≤-++≤，所以MPQV面积的取值范围为4⎡⎢⎣. 点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式、结合抛物线与圆的性质求三角形面积的取值范围；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握抛物线与圆的性质和一元二次方程的相关知识是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．答案：（1）4cos 2sin ρθθ=-（2 （1）先将21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 解：解：（1）由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=，即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-. （2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>，所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===，故11PA PB +的最大值为5. 点评：本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.23．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．答案：（1）{x |x ≥2或x ≤0}．（2）最小值为1．（1）去绝对值将函数()f x 写成分段函数形式，分别解不等式即可；（2）分析函数单调性求出最小值m ，利用柯西不等式即可求得222a b c ++的最小值. 解：（1）3321()2211221332x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+≤≤⎨⎪⎪-+⎪⎩，＞，，＜．∵()3f x ≥，∴3332x x -≥⎧⎨⎩＞或13122x x +≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或33312x x -+≥⎧⎪⎨⎪⎩＜，解得2x ≥或0x ≤，∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤0}．（2）由（1）知，函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增，所以min 13()()22f x f ==，则1322a b c m ++==，由柯西不等式，有222222211()[()9411]()22a b c a b c ++≥++=++，∴2221a b c ++≥，当且仅当2a ＝b ＝c ，即a 13=，b ＝c 23=时取等号， ∴222a b c ++的最小值为1．点评：本题考查解绝对值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.。

2020年贵州省高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)

2020年贵州省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5}，则C U(A∪B)=()A. {2,6}B. {3,6}C. {1,3,4,5}D. {1,2,4,6}2.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示，f(π2)=−23，则f(0)=()A. −23B. −12C. 23D. 123.α，β为平面，m为直线，如果α//β，那么“m//α”是“m⊆β”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a−i，z⋅z.=2，则a=()A. ±√3B. ±1C. √2D. −√25.(2−x)(1+2x)5展开式中，含x2项的系数为()A. 70B. 30C. −150D. 906.实数a=30.4，b=log432，c=log550的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. b>a>c7.如图是某学校研究性课题《如何促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个)，则下列结论错误的是()A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个8. 函数f (x )=2cosx−12x −2−x的部分图像大致是( )A.B.C.D.9. 直线y =kx −2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为2，则k 的值是( )A. −1B. 2C. −1或2D. 以上都不是10. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面边长AB =，侧棱长AA 1=2，则该棱柱的外接球表面积等于( )A. 20πB. 24πC. 8πD. 12π11. 已知函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1，x 2，则下列判断：①a <e ；②x 1+x 2<2；③x 1⋅x 2>1；④有极小值点x 0，且x 1+x 2<2x 0.则正确判断的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个12. 已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x −a)2+y 2=8与l 交于A ，B 两点，若△ABC 是等腰直角三角形，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )A. 2√133B. 2√135C. √135D. √133二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 14. 按图所示的程序框图运算，若输入x =20，则输出的k = ______ ．15. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA +acosB =0，则B =___________． 16. 正六边形ABCDEF 的边长为1，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为415． (1)请将列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？独立性检验临界值表：参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．18. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }满足b 1=b 2=12，b 3=38，a n+1b n+1=2n b n +1．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．19. 在ΔABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，AB =2BC =2CD ，如图1，以DE 为折痕将ΔADE 折起，使点A 到达点P 的位置，如图2。

2020年贵州省高考数学模拟试卷1(3月份) (含答案解析)

2020年贵州省高考数学模拟试卷1（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x｜(x+1)(x−2)≤0}，则A∩B等于()A. {1}B. {1,2}C. {0,1，2，3}D. {−1,0，1，2，3}2.已知i为虚数单位，复数z=3+2i2−i，则以下为真命题的是()A. z的共轭复数为75−4i5B. z的虚部为85C. |z|=3D. z在复平面内对应的点在第一象限3.{a n}是等差数列，若a2+a4+a9+a11=36，则a6+a7=()A. 9B. 12C. 15D. 184.若函数f(x)={−log2x+x−3x>02x x<0，则f(f(3))=()A. 13B. 32C. 52D. 35.已知x，y∈R，则“x+y≤1”是“x≤12且y≤12”的()A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分且必要条件D. 不充分也不必要条件6.高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为()A. 18B. 38C. 58D. 787.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m⊥α，m⊥n，则n//αB. 若m//n，m//α，则n//αC. 若α∩β=n，m//α，m//β，则m//nD. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β8.函数f(x)=3x−3−xx4的大致图象为()A.B.C.D.9. 如图所示，直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8.若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−7DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 11B. 10C. −10D. −11 10. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于点A.若|AF|=3，则点A 的坐标为( )A. (2,2√2)B. (2,−2√2)C. (2,±2√2)D. (1,±2)11. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是( )A. 样本中的男生数量多于女生数量B. 样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C. 样本中多数男生喜欢手机支付D. 样本中多数女生喜欢现金支付 12. 设等差数列{a n }满足sin 2a 4−cos 2a 4+cos 2a 4cos 2a 8−sin 2a 4sin 2a 8sin(a 5+a 7)=1，公差d ∈(−1,0)，若当且仅当n =9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则首项a 1的取值范围是( )A. (π,9π8) B. [π,9π8]C. [7π6,4π3]D. (7π6,4π3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =x −cosx 在点(π2,π2)处的切线方程为____________．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2,x −y ≤0,x +y −2≥0,则y+1x+1的取值范围是． 15. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．16. 直线y =√3b 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若OC 平分∠AOB ，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +12．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且函数f(x)在x =A 时取得最大值a ，求△ABC 的面积S 的最大值．18. 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元) 1 2 3 4 销售收入y(单位：万元) 12284256(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=12AB=3，点E为线段AB上异于A，B的点，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PBC；(Ⅱ)若三棱锥F−PDC的体积为272，求PE的长．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．21. 已知函数f(x)=ln (1+2x)−x1+2x ．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a >0，b >0，求证：ln(2a)−ln b ≥1−b2a ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点p 是曲线E ：{x =cosθy =2+2cosθ(θ为参数)上的一点．以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以C 为圆心的圆的极坐标方程ρ=2cosθ，求线段PC 长的最大值．23. 已知实数a ，b 满足a +b =√3，且2a 2+b 2的最小值为M ．(1)求M 的值；(2)解关于x 的不等式|2x −2|+|x +1|>2M ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查集合的交集，属于基础题．先化简集合B，再求交集．【解答】解：B={x｜(x+1)(x−2)≤0}={x|−1≤x≤2}，所以A∩B={1,2，3}∩{x|−1≤x≤2}={1,2}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查运算求解能力，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：复数z=3+2i2−i =(3+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=4+7i5=45+75i，A错；z的虚部为75，B错；|z|=√655，C错；z在复平面内对应的点的坐标为(45,75)，为第一象限的点，D正确；故选D．3.答案：D解析：【分析】利用等差数列单项性质可得：a2+a11=a4+a9=a6+a7, 即可得出答案．本题考查了等差数列的性质，属于基础题．【解答】解：∵{a n}是等差数列，∴a2+a11=a4+a9=a6+a7．∵a 2+a 4+a 9+a 11=36，∴a 6+a 7=12×36=18．故选D ．4.答案：A解析：【分析】本题考查分段函数的应用，指数函数以及对数函数的运算法则的应用，是基本知识的考查．属于基础题．直接利用分段函数，转化求解函数的值即可．【解答】解：函数f(x)={−log 2x +x −3x >02x x <0，则f(3)=−log 23<0．所以f(f(3))=f(−log 23)=2−log 23=13．故选：A ．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于简单题．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行解答即可．【解答】解：若x ≤12且y ≤12”，则x +y ≤12+12=1成立，即必要性成立，当x =1，y =0时，满足x +y ≤1，但x ≤12且y ≤12不成立，即充分性不成立，则“x +y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”必要不充分条件，故选：B ．6.答案：D解析：解：高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n =24=16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学， ∴甲、乙两所大学都有考生参观的概率： p =1−116−116=78．故选：D ．基本事件总数n =24=16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两所大学都有考生参观的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7.答案：C解析：【分析】本题考查空间线、面位置关系，根据判定定理和定义判断即可．【解答】解：.若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n 在平面α内，故A 不正确；若m//n ，m//α，则n //α或n 在平面α内，故B 不正确；若α∩β=n ，m//α，m//β，故m//n ，故C 正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α //β或相交，故D 不正确；故选C 。

贵州省2020年高三数学适应性考试试题理(含解析)

贵州省2020年高三数学适应性考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A中的元素代入B中的解析式，求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【详解】∵集合，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查交集的定义及求解，涉及指数函数的值域问题，属于基础题．2.已知为虚数单位，若复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再求出虚部即可．【详解】∵，∴复数的虚部等于．故选：B．【点睛】本题考查了复数的除法运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.等差数列中，与是方程的两根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得+＝4＝+，代入所求即可得解．【详解】∵与是方程的两根，∴+＝4＝+，则．故选C．【点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．4.若，，，则实数，，之间的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果．【详解】∵，∴a=20.3＞20=1，∵, ∴b=，又，即0<c<1，所以．故选：B．【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题．5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，，则其中正确命题的序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ④【答案】D【解析】【分析】根据空间直线和平面平行，垂直的性质分别进行判断即可．【详解】①若，，则α∥或α与相交如墙角处的三个平面，①错误；②若α⊥β，m⊂α，，则可能m与相交或或异面，故②错误③若，，则可能或异面，故③错误，对于④若，，，则，由面面平行的性质定理可知正确，④正确．故选D.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质，考查了空间想象能力，属于基础题．6.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及极限思想进行排除即可．【详解】f（x），则f（x）不是偶函数，排除A，B，当x→+∞，4x→+∞，则f（x）→0，排除C，故选：D．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性以及利用特殊值、极限思想是解决本题的关键．7.在直角梯形中，，，，，是的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由数量积的几何意义可得，，又由数量积的运算律可得，代入可得结果.【详解】∵，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为=2，∴，同理，∴，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.8.设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】⇒0<sin，反之通过举反例说明不成立，即可判断出结论．【详解】∵=，当时，,此时令，则y=+在上，满足y>1,反之，当时，,但不一定有，比如：，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了三角函数求值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，涉及二次函数求值域的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得所有基本事件的个数，再求甲去梵净山的所有情况：根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人去梵净山，②，甲和乙、丙、丁中1人去梵净山，分别求出每一种情况的方案的数目相加，由古典概型概率公式计算可得答案．【详解】根据题意，满足每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人的所有基本事件的个数为C42 A33=36种，若满足甲去梵净山，需要分2种情况讨论：①，甲单独一个人去梵净山，将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C31A22＝6种情况，则此时有6种方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起去梵净山，有C31＝3种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有A22＝2种情况，则此时有2×3＝6种方案；则甲去梵净山的方案有6+6＝12种；所以甲去梵净山的概率为.故选：B．【点睛】本题考查概率及计数原理的应用，注意优先考虑排列问题中约束条件多的元素，属于中档题．10.2020年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。

2020年高考模拟试卷贵州贵阳市、六盘水市、黔南州高考(理科)数学模拟试卷(3月份) 含解析

2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{1，3，4，5}，集合B＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（）A．522B．324C．535D．5784．已知cos（+α）＝2cos（π﹣α），则tan（﹣α）＝（）A．﹣4B．4C．﹣D．5．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．﹣6B．0C．1D．26．已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．28．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B ＝72，则展开式中常数项的值为（）A．6B．9C．12D．189．已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且AB＝BC＝2，AC＝2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．7πB．9πC．10πD．12π10．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）11．过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0），作圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P．若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O 为坐标原点，则|OM|﹣|MT|＝（）A．b﹣a B．a﹣b C．c﹣a D．c﹣b12．若函数f（x）＝a（ln|x|﹣）与函数g（x）＝x2有四个不同的交点，则实数a的取值（）A．（0，）B．（，+∞）C．（0，2e2）D．（2e2，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分．13．己知向量与的夹角为60°，||＝2，||＝3，则|3﹣2|＝．14．已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为15．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣cos A）sin B＝sin A（1+cos B），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，满足：S4＝120，2a2是3a1与a3的等差中项．数列{b n}的前n项和为T n，且b n＝3log3a n．（1）求a n与b n；（2）证明：．18．如图，是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧上（不与A1，B1重合）的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）若四边形ABB1A1为正方形，且AC＝BC，，求二面角P﹣A1B1﹣C 的余弦值．19．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米以上的进入决赛，把所得的成绩进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第6组的频数是7．（1）求进入决赛的人数；（2）用样本的频率代替概率，记X表示两人中进入决赛的人数，求X得分布列及数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（﹣，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ（λ＞1），求证：＝λ．21．已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx．（1）当a＞l时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝0时，令F（x）＝2f（x）﹣xlnx+2lnx+2，是否存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m十2），k（n+2）]，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（m，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，|PA||PB|＝1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，3，4，5}，集合B＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．解：∵集合A＝{1，3，4，5}，集合B＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，3，4}，∴A∩B的元素个数为3．故选：C．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义进行计算即可．解：z＝＝＝＝2+i，对应点的坐标为（2，1），位于第一象限，故选：A．3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（）A．522B．324C．535D．578【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，478合适则满足条件的5个编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522，故选：A．4．已知cos（+α）＝2cos（π﹣α），则tan（﹣α）＝（）A．﹣4B．4C．﹣D．【分析】利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．解：∵cos（+α）＝2cos（π﹣α），∴﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2，则tan（﹣α）＝＝﹣，故选：C．5．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．﹣6B．0C．1D．2【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：x、y满足约束条件作出可行域如图，由得，A（0，﹣3），化目标函数z＝x+2y为y＝﹣x+，由图可知当直线y＝﹣x+过点A时，z有最小值为z＝﹣6，故选：A．6．已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：a＝∈（0，1），b＝＜0，c＝＝log34＞1．∴c＞a＞b．故选：D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，把该棱锥放入长方体中，求出它的体积．解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，把该棱锥放入长为2、宽为1、高为1的长方体中，如图所示；则该四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝××（1+2）×1×1＝．故选：B．8．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B ＝72，则展开式中常数项的值为（）A．6B．9C．12D．18【分析】通过给x赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：在二项式的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n∴A＝4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B＝2n∴4n+2n＝72解得n＝3∴＝的展开式的通项为＝令得r＝1故展开式的常数项为T2＝3C31＝9故选：B．9．已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且AB＝BC＝2，AC＝2，若四面体ABCD 的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．7πB．9πC．10πD．12π【分析】当DC⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取得最大值．利用××DC＝，解得DC．再利用球的性质即可得出．解：∵△ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，∴AB2+CB2＝AC2，∴AB⊥BC．当DC⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取得最大值．∴××DC＝，解得DC＝2．∴球O的半径R满足：R2＝+1＝3．∴球O的表面积＝4πR2＝12π．故选：D．10．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选：C．11．过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0），作圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P．若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O 为坐标原点，则|OM|﹣|MT|＝（）A．b﹣a B．a﹣b C．c﹣a D．c﹣b【分析】如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|＝|PF′|＝（|PF|﹣2a）＝|PF|﹣a＝|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，可得|FT|＝＝b．即可得出关系式．解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|＝|PF′|＝（|PF|﹣2a）＝|PF|﹣a＝|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，∴|FT|＝＝b．∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．故选：A．12．若函数f（x）＝a（ln|x|﹣）与函数g（x）＝x2有四个不同的交点，则实数a的取值（）A．（0，）B．（，+∞）C．（0，2e2）D．（2e2，+∞）【分析】根据题意，分析两个函数均为偶函数，则在y轴右侧，即x＞0时，两个函数有2个交点，当x＞0时，设g（x）＝a（lnx﹣）﹣x2，分析可得函数g（x）有2个零点，即与x轴有2个交点；进而分析可得a＞0，由此对g（x）求导分析函数g（x）的单调性，可得g（x）的极值，分析可得g（）＞0，即aln（）﹣（）2﹣a ＞0，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝a（ln|x|﹣）与函数g（x）＝x2都是偶函数，其图象关于y轴对称，若两个函数图象有4个不同的交点，则当x＞0时，两个函数有2个交点，当x＞0时，f（x）＝a（lnx﹣），则设g（x）＝a（lnx﹣）﹣x2，若当x＞0时，两个函数有2个交点，则函数g（x）有2个零点，g（x）＝a（lnx﹣）﹣x2＝alnx﹣x2﹣a，则g′（x）＝﹣2x＝，当a≤0时，g′（x）≤0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，只有1个零点，不符合题意，必有a＞0，此时，令g′（x）＝﹣2x＝＝0，解可得x＝±，又由x＞0，则x＝，分析可得：在（0，）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数，在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）为减函数，若函数g（x）有2个零点，其图象与x轴有2个交点，必有g（）＞0，即aln（）﹣（）2﹣a＞0，变形可得ln＞2，解可得a＞2e2，即a的取值范围为（2e2，+∞）；故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．己知向量与的夹角为60°，||＝2，||＝3，则|3﹣2|＝6．【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得•＝2×3×cos60°＝3，又由|3﹣2|2＝92﹣12•+42，代入数据计算变形即可得答案．解：根据题意，向量与的夹角为60°，且，，则•＝2×3×cos60°＝3，则|3﹣2|2＝92﹣12•+42＝36，则|3﹣2|＝6；故答案为：614．已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2＝10【分析】由题意可知，圆心C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离，再利用勾股定理即可求解．解：由题意可知，圆心C（0，1），∴圆心C（0，1）到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝，又∵直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，∴圆C的半径r＝＝，∴圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，故答案为：x2+（y﹣1）2＝10．15．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝0.1．【分析】推导出P（X≥1）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝＝0.64，从而p＝0.4，进而P（0＜Y＜2）＝p＝0.4，由此能求出P（Y＞4）．解：∵随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），P（X≥1）＝0.64，∴P（X≥1）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝＝0.64，解得p＝0.4，或p＝1.6（舍），∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.4，∴P（Y＞4）＝（1﹣0.4×2）＝0.1．故答案为：0.1．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣cos A）sin B＝sin A（1+cos B），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为2【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及基本关系式的应用求出结果．解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3﹣cos A）sin B＝sin A（1+cos B），整理得3sin B＝sin A+sin B cos A+cos B sin A＝sin A+sin C，利用正弦定理：3b＝a+c，由于a+c＝6，整理得：3b＝a+c＝6，∴解得：b＝2．∵a+c＝6，∴6＝a+c≥，整理可得：ac≤9，（当且仅当a＝c＝3时等号成立）∴cos B＝＝．所以＝，所以＝2，当且仅当a＝c＝3时，等号成立．则△ABC的面积的最大值为2，故答案为：2．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，满足：S4＝120，2a2是3a1与a3的等差中项．数列{b n}的前n项和为T n，且b n＝3log3a n．（1）求a n与b n；（2）证明：．【分析】（1）设等比数列的公比为q（q≠1），运用等比数列的通项公式和求和公式、结合等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到a n；由对数的运算性质可得b n；（2）运用等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，结合不等式的性质和数列的单调性，即可得证．解：（1）设等比数列的公比为q（q≠1），S4＝120，可得＝120，2a2是3a1与a3的等差中项，即为4a2＝3a1+a3，即4a1q＝3a1+a1q2，解得a1＝q＝3，则a n＝3•3n﹣1＝3n；b n＝3log3a n＝3log33n＝3n；（2）证明：T n＝n（n+1），则＝•＝（﹣），可得++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＜，又（1﹣）单调递增，可得n＝1时，（1﹣）有最小值，则．18．如图，是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧上（不与A1，B1重合）的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）若四边形ABB1A1为正方形，且AC＝BC，，求二面角P﹣A1B1﹣C 的余弦值．【分析】（1）推导出BB1⊥PA，PA1⊥PB1，由此能证明PA1⊥平面PBB1．（2）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B1﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA．因为A1B1是上底面对应圆的直径，所以PA1⊥PB1．因为PB1∩BB1＝B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂PBB1，所以PA1⊥平面PBB1．解：（2）根据题意以C为坐标原点建立空间直角坐标系C﹣xyz如图所示，设CB＝1，则B（1，0，0），A（0，1，0），，，．所以，．平面PA1B1的一个法向量．设平面CA1B1的一个法向量，则，令z＝1，则，所以可取，所以．由图可知二面角P﹣A1B1﹣C为钝角，所以所求二面角的余弦值为．19．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米以上的进入决赛，把所得的成绩进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第6组的频数是7．（1）求进入决赛的人数；（2）用样本的频率代替概率，记X表示两人中进入决赛的人数，求X得分布列及数学期望．【分析】（1）利用概率分布直方图能求出第6小组的频率，从而能求出总人数，第4，5，6组进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．（2）X的可能取值为0，1，2，X～B（2，），由此能求出X得分布列及数学期望．解：（1）第6小组的频率为：1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）＝0.14．∴总人数为：＝50（人），∴第4，5，6组进入决赛，人数为：（0.28+0.30+0.14）×50＝36（人），∴进入决赛的人数为36．（2）X的可能取值为0，1，2，X～B（2，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X012PEX＝2×＝．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（﹣，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ（λ＞1），求证：＝λ．【分析】（I）由直线方程的点斜式列出A1N1和A2N2的方程，联解并结合mn＝2化简整理得方程，再由N1、N2不与原点重合，可得直线A1N1与A2N2交点的轨迹C的方程；（II）设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I）解：依题意知直线A1N1的方程为：y＝（x+）…①；直线A2N2的方程为：y＝﹣（x﹣）…②设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2＝﹣（x2﹣6）由mn＝2整理得：＝1∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，∴轨迹C的方程为＝1（x≠±）．（Ⅱ）证明：设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2＝﹣且y1y2＝，＝λ，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，证明＝λ，只要证明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），只要证明＝﹣，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，由y1+y2＝﹣且y1y2＝，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴＝λ．21．已知函数f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx．（1）当a＞l时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝0时，令F（x）＝2f（x）﹣xlnx+2lnx+2，是否存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m十2），k（n+2）]，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）对f（x）求导，然后分1＜a＜2，a＝2和a＞2三种情况求出f（x）的单调区间；（2）假设存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[k （m+2），k（n+2）]，然后将问题转化为关于x的方程x2﹣xlnx+2＝k（x+2）在区间（1，+∞）上是否存在两个不相等的实根．解：（1）由f（x）＝﹣ax+（a﹣1）lnx，得（x＞0）．当a﹣1＝1，即a＝2时，，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a﹣1＜1，即a＞2，又a＞1，∴1＜a＜2，∴a﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，当0＜x＜a﹣1或x＞1时，f'（x）＞0，∴f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1），（1，+∞）上单调递增；当a﹣1＞1，即a＞2时，同理f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1），（a﹣1，+∞）上单调递增．（2）当a＝0时，F（x）＝x2﹣xlnx+2，则F′（x）＝2x﹣lnx﹣1，令ω（x）＝F′（x）＝2x﹣lnx﹣1，则对∀x∈（1，+∞）恒成立，∴F'（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴F′（x）＞F′（1）＝1＞0恒成立，∴函数F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，假设存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m+2），k（n+2）]，则，将问题转化为关于x的方程x2﹣xlnx+2＝k（x+2）在区间（1，+∞）内是否存在两个不相等的实根．即方程在区间（1，+∞）上是否存在两个不相等的实根，令，则，设p（x）＝x2+3x﹣4﹣2lnx，x∈（1，+∞），则对∀x∈（1，+∞）恒成立，∴函数p（x）在区间（1，+∞）上单调递增，故p（x）＞p（1）＝0恒成立，∴h'（x）＞0，∴函数h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴方程在区间（1，+∞）上不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间[m，n]⊆（1，+∞），使得函数F（x）在区间[m，n]上的值域是[k（m+2），k（n+2）]．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（m，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，|PA||PB|＝1，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝2．故曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝2．……直线l的极坐标方程为：，转换直线l的直角坐标方程为．……（Ⅱ）直线l的参数方程可以写为（t为参数）．……设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+y2＝2，可以得到，整理得：+（m﹣1）2﹣2＝0，由于：|PA||PB|＝1，所以|（m﹣1）2﹣2|＝1 ……解得：m＝或m＝0或m＝2．……[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且a+b+c＝m，求证：a2+b2+c2≥12．【分析】（I）分段讨论x的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；（II）求出m的值，根据基本不等式得出结论．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣5|≤10，等价于或或，解得﹣3≤x≤﹣1或﹣1＜x＜5或5≤x≤7，所以不等式f（x）≤10的解集为{x|﹣3≤x≤7}．（Ⅱ）因为f（x）＝|x+1|+|x﹣5|≥|（x+1）﹣（x﹣5）|＝6，当且仅当（x+1）（x﹣5）≤0即﹣1≤x≤5时取等号．所以m＝6，即a+b+c＝6．∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2bc，∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2ac+2bc，∴3（a2+b2+c2）≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2＝36．∴a2+b2+c2≥12．当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立．。

2020年贵州省遵义市绥阳县高考(理科)数学一模试卷含解析

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，则（A∩B）∪C＝（）A．{1，2，3，5}B．{1，2，3，4}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A．B．C．D．3．已知向量＝（2，﹣4），＝（k，3），且与的夹角为135°，则k＝（）A．﹣9B．1C．﹣9或1D．﹣1或94．已知双曲线C的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．45．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16π+4C．D．7．若函数f（x）＝x3﹣mx2+2x（m∈R）在x＝1处有极值，则f（x）在区间[0，2]上的最大值为（）A．B．2C．1D．38．将函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线x＝对称，则函数f（x）在上的值域是（）A．[﹣1，2]B．[，2]C．D．9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A．B．C．D．10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D﹣ABC 的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为（）A．B．C．D．24π12．已知函数若所有点（s，f（t））（s，t∈D）所构成的平面区域面积为e2﹣1，则a＝（）A．e B．C．1D．二、填空题13．若，则cos2α＝14．x﹣3（x+2）6的展开式中的常数项为15．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos B＝a cos C+c cos A，若△ABC 外接圆的半径为，则△ABC面积的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．为调研高中生的作文水平．在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示．其中a，b，c构成以2为公比的等比数列．（1）求a，b，c的值；（2）填写下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关“？文科生理科生合计获奖6不获奖合计400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝4．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆的上顶点为B，圆C′：x2+y2＝4与y轴的正半轴交于点A，与C有且仅有两个交点且都在x轴上O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，不过D点且斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线DM与直线DN的斜率互为相反数．21．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞0，证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|+|PA||PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明：（1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4；（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，则（A∩B）∪C＝（）A．{1，2，3，5}B．{1，2，3，4}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】根据集合的基本运算即可求解．解：∵A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4，5}，则（A∩B）∪C＝{1，3}∪{2，3，4，5}＝{1，2，3，4，5}故选：D．2．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．解：∵＝，∴z在复平面内对应的点的坐标是（）．故选：A．3．已知向量＝（2，﹣4），＝（k，3），且与的夹角为135°，则k＝（）A．﹣9B．1C．﹣9或1D．﹣1或9【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出k的值．解：由题意可得cos135°＝＝＝﹣，求得k＝﹣9，或k＝1，故选：C．4．已知双曲线C的一条渐近线的倾斜角为θ，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即a，b的关系，求出双曲线的离心率．解：设双曲线的半个焦距为c，由题意θ∈[0，π）又cosθ＝，则sinθ＝，tanθ＝2，＝2，所以离心率e＝＝＝，故选：A．5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可．解：A选项，乙的数据分析素养得分为4分，甲的数据分析素养得分5分，故A错误；B选项，乙的数学建模素养得分为3分，甲的数学建模素养得分为4分，故B错误；C选项，6项素养中有5项甲比乙好，故C正确，D选项，甲的六大素养中数学抽象、数学建模和数学运算最差，数据分析为5分，最好，故D错误．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16π+4C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半球，上面为一个直三棱锥体构成的组合体．如图所示：下面的球的半径为2，直三棱锥的底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为2，故V＝．故选：A．7．若函数f（x）＝x3﹣mx2+2x（m∈R）在x＝1处有极值，则f（x）在区间[0，2]上的最大值为（）A．B．2C．1D．3【分析】根据极值点处的导数为零先求出m的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可．解：由已知得f′（x）＝3x2﹣2mx+2，∴f′（1）＝3﹣2m+2＝0，∴，经检验满足题意．∴f（x）＝x3﹣x2+2x，f′（x）＝3x2﹣5x+2．由；由．所以函数f（x）在，在[1，2]上递增．则，由于f（2）＞f（x）极大值，所以f（x）在区间[0，2]上的最大值为2．故选：B．8．将函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线x＝对称，则函数f（x）在上的值域是（）A．[﹣1，2]B．[，2]C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果．解：把函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移个单位长度后，可得y＝2sin（3x﹣+φ）的图象；再根据得到函数的图象关于直线x＝对称，∴3×﹣+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，函数f（x）＝2sin（3x+）．在上，3x+∈[，]，∴sin（3x﹣）∈[﹣，1]，故f（x）＝2sin（3x﹣）∈[﹣，2]，即f（x）的值域是[﹣，2]，故选：D．9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，故概率P＝．故选：B．10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据题意四人中只有一个人说的是真话，逐个分析，只有丁说的是真话是，符合题意，得到年纪最大的是丙；解：假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙；故选：C．11．已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥D﹣ABC 的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为（）A．B．C．D．24π【分析】根据O是CD中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解．解：设D点到平面ABC的距离为h，因为O是CD中点，所以O到平面ABC的距离为，三棱锥D﹣ABC的体积V＝S△ABC•h＝•×2×2×sin60°•h＝2，解得h＝2 ，作OO'⊥平面ABC，垂足O'为△ABC的外心，所以CO'＝，且OO'＝＝，所以在Rt△CO'O中，OC＝＝，此为球的半径，∴S＝4πR2＝4π•＝．故选：A．12．已知函数若所有点（s，f（t））（s，t∈D）所构成的平面区域面积为e2﹣1，则a＝（）A．e B．C．1D．【分析】依题意，可得f′（x）＞0，f（x）在[，1]上单调递增，于是可得f（x）在[，1]上的值域为[a（e+2），e2a]，继而可得a（e2﹣e﹣2）（1﹣）＝e2﹣1，解之即可．解：f′（x）＝a（e2﹣）＝，因为x∈[，1]，a＞0，所以f′（x）＞0，f（x）在[，1]上单调递增，则f（x）在[，1]上的值域为[a（e+2），e2a]，因为所有点（s，f（t））（s，t∈D）所构成的平面区域面积为e2﹣1，所以a（e2﹣e﹣2）（1﹣）＝e2﹣1，解得a＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则cos2α＝【分析】直接利用诱导公式和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．解：，所以sin，故cos2．故答案为：．14．x﹣3（x+2）6的展开式中的常数项为160【分析】先求（x+2）6的展开式中通项，令x的指数为3即可求解结论．解：因为（x+2）6的展开式的通项公式为：•x6﹣r•2r＝2r••x6﹣r；令6﹣r＝3，可得r＝3；∴x﹣3（x+2）6的展开式中的常数项为：23•＝160．故答案为：160．15．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是5+．【分析】由题意画出图形，过M作准线的垂线，交抛物线于P，则△PMF的周长最小，然后结合两点间的距离公式求解．解：如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2．过M作准线的垂线，交抛物线于P，则△PMF的周长最小．最小值为5+＝5+．故答案为：5+．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos B＝a cos C+c cos A，若△ABC 外接圆的半径为，则△ABC面积的最大值是．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围B∈（0，π）可求B的值，利用正弦定理可求b的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵2b cos B＝a cos C+c cos A，∴由正弦定理可得：2sin B cos B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C），∵A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin B，又∵B∈（0，π），∴sin B≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝，可得：B＝，∵△ABC外接圆的半径为，∴＝2×，解得b＝2，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2﹣ac＝4，又a2+c2≥2ac，∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac（当且仅当a＝c时取等号），即ac的最大值为4，∴△ABC面积的最大值为×4sin B＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）判断公比q不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）求得＝（2n﹣1）•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）设公比q为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且，可得q＝1时，S3＝3a1＝6≠，不成立；当q≠1时，S3＝＝，即q2+q+1＝，解得q＝（﹣舍去），则a n＝2×（）n﹣1＝（）n﹣2；（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和T n＝1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，T n＝1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，两式相减可得T n＝1+2[（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n ＝1+2•﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得T n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．18．为调研高中生的作文水平．在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示．其中a，b，c构成以2为公比的等比数列．（1）求a，b，c的值；（2）填写下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关“？文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分步直方图和a，b，c构成以2为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写2×2列联表，再用K2的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为，随机变量X～B（2，），再根据二项分布即可求出其分布列与期望．解：（1）由频率分布直方图可知，10×（a+b+c）＝1﹣10×（0.018+0.022+0.025）＝0.35，因为a，b，c构成以2为公比的等比数列，所以a+2a+4a＝0.035，解得a＝0.005，所以b＝2a＝0.01，c＝4a＝0.02．故a＝0.005，b＝0.01，c＝0.02．（2）获奖的人数为0.005×10×400＝20人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1：4，所以400人中文科生的数量为400×，理科生的数量为400﹣80＝320．由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20﹣6＝14人，不获奖的文科生有80﹣6＝74人．于是可以得到2×2列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关“．（3）由（2）可知，获奖的概率为，X的可能取值为0，1，2，，，，分布列如下：X012P数学期望为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝4．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）由底面ABCD为菱形，得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，结合线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC；（2）以点A为坐标原点，以AD，AP所在直线及过点A且垂直于平面PAD的直线分别为x，z，y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，分别求出平面PAB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC；（2）解：∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AC＝AD•sin60°•2＝．∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角为30°，在Rt△PAC中，由tan∠PCA＝＝，解得PA＝4．如图，以点A为坐标原点，以AD，AP所在直线及过点A且垂直于平面PAD的直线分别为x，z，y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，，0），D（4，0，0），C（6，，0）．∴，，，．设平面PAB与平面PCD的一个法向量分别为，．由，取y＝﹣1，得；由，取y1＝﹣1，得．∴cos＜＞＝．∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆的上顶点为B，圆C′：x2+y2＝4与y轴的正半轴交于点A，与C有且仅有两个交点且都在x轴上O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，不过D点且斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线DM与直线DN的斜率互为相反数．【分析】（1）根据条件可得a＝2，进而得到b＝，即可得到椭圆方程；（2）设直线MN的方程为y＝﹣x+m，联立，分别表示出直线DM和直线DN的斜率，相加利用根与系数关系即可得到．解：（1）∵圆C′：x2+y2＝4与C有且仅有两个交点且都在x轴上，所以a＝2，又∵＝，∴＝，解得b＝，故椭圆C的方程为；（2）设直线MN的方程为y＝﹣x+m，联立，整理可得4x2﹣4mx+4m2﹣12＝0，则△＝（﹣4m）2﹣4×4（4m2﹣12）＝48（4﹣m2）＞0，解得﹣2＜m＜2，设点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝m，x1x2＝m2﹣3，所以k DM+k DN＝+＝+＝＝＝0，故直线DM与直线DN的斜率互为相反数．21．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞0，证明．【分析】（1）求导，根据导数的正负判断单调性，（2）整理，化简为＞，令h（x）＝，求h（x）的单调性，以及x＜e x﹣1，即证．解：（1）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f'（x）＝，令g（x）＝e x（1﹣x）﹣1，（x≠0），则g'（x）＝﹣xe x，当x＞0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＜0，g'（x）＞0，g（x）单调递增；故g（x）＜g（0）＝0，x≠0，∴f'（x）＜0，x≠0，故函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），无单调递增区间．（2）证明，即为，因为，即证＞，令h（x）＝，则h'（x）＝，令g（x）＝，则g'（x）＝＝﹣，当x＞0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＜g（0）＝0，x≠0，则h'（x））＜0在（0，+∞）上恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以要证原不等式成立，只需证当x＞0时，x＜e x﹣1，令m（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0，m'（x）＝e x﹣1，可知m'（x）＞0对于x＞0恒成立，即m（x）＞m（0）＝0，即x＜e x﹣1，故h（x）＜h（e x﹣1），即证＞，故原不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|+|PA||PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为4x+3y ﹣2＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为ρ＝2cosθ+2sinθ，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0．（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为标准式为（t为参数），代入圆的直角坐标方程整理得t2+4t+3＝0，所以t1+t2＝﹣4，t1t2＝3．|AB|+|PA||PB|＝|t1﹣t2|+|t1t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明：（1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4；（2）．【分析】（1）先由基本不等式可得xy+yz+zx≤1，而（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2＝2+2（xy+yz+zx）≤4，即得证；（2）首先推导出x+y+z＞1，再利用，展开即可得证．【解答】证明：（1）∵x2+y2+z2＝1，∴2xy+2yz+2xz≤x2+y2+y2+z2+z2+x2＝2（x2+y2+z2）＝2，∴xy+yz+zx≤1，∴（x+y）2+（y+z）2+（z+x）2＝2（x2+y2+z2）+2（xy+yz+zx）＝2+2（xy+yz+zx）≤4（当且仅当x＝y＝z时取等号）．（2）∵x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx＝1+2xy+2xz+2yz＞1，∴x+y+z＞1，∴＝＝，∴．。

2020年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)

2020年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（）A. {0}B. {2}C. {1}D. {0，2}2.复数z=2+ai（a∈R）的共轭复数为，若z•=5，则a=（）A. ±1B. ±3C. 1或3D. -1或-33.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A. y=x3B. y=|x-1|C. y=|x|-1D. y=2x4.已知{a n}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5•a6=-8，则公差d=（）A. 6B. -6C. -2D. 45.若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.6.设a=log32，b=log23，c=5，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞c＞bB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. c＞a＞b7.执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（）A. -1B. -3C. 1或3D. 1或-38.平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（）A. 4B.C.D.9.等比数列{a n}的前n项和S n=a•2n+1（n∈N*），其中a是常数，则a=（）A. -2B. -1C. 1D. 210.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB∥mB. AC⊥mC. AB∥βD. AC⊥β11.已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，交F1P的延长线于M，则|F1M|=（）A. 10B. 8C. 6D. 412.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），且=2m，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量，是相互垂直的单位向量，若向量=2+3，=-m（m∈R），•=1，则m=______．14.曲线y=xe x+x+1在点（0，1）处的切线方程为______．15.三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．16.已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b cos C+c sin B．（1）求B；（2）求y=sin A-sin C的取值范围．18.运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），步数0～20002001～50005001～80008001～10000＞10000性别男12476女03962（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90％的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型懈怠型总计男女总计（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X人，求X＝1时的概率．参公式与数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，其中n＝a＋b＋c＋d．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）求点C到平面BDM的距离．20.如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L交y轴于点M，=λ1，=λ2，当M变化时，求λ1+λ2的值．21.已知函数f（x）=ax2+（a-2）ln x+1（a∈R）．（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a的值；（2）令c（x）=f（x）+（3-a）ln x+2a，讨论c（x）的单调性；（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域内，求实数t的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|的最大值．23.已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，g（x）=|x+1|+|x-a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．根据A∩B={2}即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得，x=0或2，从而得出B={0，2}．【解答】解：∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选：D．2.答案：A解析：解：∵z=2+ai，∴z•=，即a=±1．故选：A．由已知结合列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=|x|-1=，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；对于D，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C．4.答案：A解析：解：∵{a n}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5•a6=-8，∴a5+a6=2，∴a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，∴a5=-2，a6=4，∴d=a6-a5=6，故选：A．a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，求解方程得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．5.答案：D解析：解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，；∴c＞b＞a．故选：C．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、幂函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算．7.答案：C解析：解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3，或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：B解析：解：如图所示：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则：在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：=，故：，则：BD2=AD2+AB2-2•AD•AB•cos∠DAB，解得：BD=．故选：B．直接利用余弦定理求出，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：B解析：解：n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1=a•2n+1-（a•2n-1+1），化为：a n=a•2n-1，对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a，解得a=-1．故选：B．n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1，对于上式n=1时也成立，解得a．本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：解：如图所示AB∥l∥m；A对AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对AB∥l⇒AB∥β，C对对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．故选：D．利用图形可得AB∥l∥m；A对再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对又AB∥l⇒AB∥β，C对AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立．高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错．全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值．【解答】解：如图：由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|=|PF2|，而椭圆E：=1的a=5，2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10，故选：A．12.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．【解答】解：∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，∴x1+x2+x3+…+x m=•a=2m，解得a=4．当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴x1+x2+x3+…+x m=a•+=2m．解得a=4．故选：D．13.答案：解析：解：∵•=（2+3）•（-m）=22-3m2+（3-2m）•=2-3m又已知•=1，所以2-3m=1，解得m=故答案为：．利用向量数量积的性质运算得到•，与已知相等，列式解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14.答案：2x-y+1=0解析：解：y=xe x+x+1的导数为y′=（1+x）e x+1，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为1+1=2，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：2x-y+1=0．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.答案：50π解析：解：由SA，SB，SC两两垂直，联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长可得球直径为=，∴=50π，故答案为：50π．利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.答案：2（x-）2+（y-）2=解析：解：圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），由切线性质可知OA⊥AP，∴AP=，又△OAP的面积S==，∴当OP取得最小值时，△OAP的面积取得最小值，又OP的最小值为O到直线l的距离d==3．∴四边形PAOB面积的最小值为：2S△OAP=2=2．此时，四边形PAOB外接圆直径为d=3．∵OP⊥直线l，∴直线OP的方程为x-y=0．联立方程组，解得P（3，3），∴OP的中点为（，），∴四边形PAOB外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．故答案为：2，（x-）2+（y-）2=．求出O到直线l的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P的坐标，得出OP 的中点坐标，从而得出外接圆方程．本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．17.答案：（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A=sin B cos C+sin C sin B，即sin（B+C）=sin B cos C+sin C sin B，故 cos B sin C=sin C sin B，因为 sin C≠0，所以 cos B=sin B，因为 0＜B＜π，所以B=；………………………………………………………（6分）（2）因为B=，所以y=sin A-sin C=sin（-C）-sin C=sin cos C-cos sin C=cos C，又因为0＜C＜，且y=cos C在（0，）上单调递减，所以y=sin A-sin C的取值范围是（-，）．………………………………（12分）解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos B sin C=sin C sin B，由sin C≠0，可求cos B=sin B，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由B=，利用三角函数恒等变换的应用可求y=cos C，由0＜C＜，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：（1）由题意可得列联表积极型懈怠型总计男13720女81220总计211940K2=≈2.506＜2.706，因此，没有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异；（2）该天行走的步数不超过5000步的人有3男3女共6人，设男生为A、B、C，女生为a，b，c，A B C a b cA AB AC Aa Ab AcB BC Ba Bb BcC Ca Cb Cca ab acb bcc由图表可知：所有的基本事件个数n =15，事件“X=1”包含的基本事件个数N=9，所以P（X=1）==.解析：本题考查了独立性检验，属中档题．（1）先得2×2列联表，再根据列联表计算K2的观测值，并结合临界值表可得；（2）用列举法列举出所有基本事件的种数以及x=1包含的基本事件后根据古典概型的概率公式可得．19.答案：（1）证明：取AM中点O，连结DO，因为平面ADM⊥平面ABCM，AD=DM，所以OD⊥平面ABCM，DO⊥BM，易知AM⊥BM，所以MB⊥平面ADM，所以BM⊥AD；（2）解：∵在矩形ADCB中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，∴DM=CM=，BM=AM==，DO=，由（1）知MB⊥平面ADM，DM⊂平面ADM，∴BM⊥DM，S△BDM=．，又∵DO⊥平面ABCM，∴×=．，记点C到平面BDM的距离为h，∴V C-BDM═，又∵v D-BCM=V C-BDM∴，解得h=，∴点C到平面BDM的距离为．解析：（1）取AM中点O，连结DO，可得DO⊥BM，AM⊥BM，MB⊥平面ADM，即可得BM⊥AD；（2）×=．，记点C到平面BDM的距离为h，V C-BDM═，又v D-BCM=V C-BDM，即可得点C到平面BDM的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点∴b=，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴y1+y2=-，y1y2=-∴∵=λ1，∴（x1，y1+）=λ1（1-x1，-y1）．∴λ1=-1-．同理λ2=-1-∴λ1+λ2=-2-（）=-．解析：（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ1+λ2的值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键．21.答案：解：函数的定义域为（0，+∞），（1）f′（x）=2ax+，由题意f′（1）=4，所以2a+（a-2）=4，解之得：a=2………………………………………………………………（4分）（2）由已知c（x）=ax2+ln x+2a+1，则c′（x）2ax+=，当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；当a＜0，则当x∈（0，）时有c′（x）＞0，当x∈（，+∞））时有c′（x）＜0，故c（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；……………（8分）（3）a=1时，f（x）=x2-ln x+1，即当x＞0时恒有x2-ln x+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），整理得：t≤2x-+，令g（x）=2x-+，则g′（x）=2--=，令h（x）=2x2+ln x-2，由h′（x）=4x+＞0恒成立，即h（x）=2x2+ln x-2在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=0，则g′（1）=0，所以x∈（0，1）时h（x）＜0，x∈（1，+∞）时h（x）＞0，所以x∈（0，1）时g′（x）＜0，此时y=g（x）单调递减，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，此时y=g（x）单调递增，所以g（x）≥g（1）=3，所以t≤3；………………………………………………………………（12分）解析：（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（3）代入a的值，整理得：t≤2x-+，令g（x）=2x-+，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-2）2=4．①将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①，化简得：ρ=4sinθ，即C1的极坐标方程为ρ=4sinθ；将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入C2的方程（x-1）2+（y-1）2=2，得ρ=2cosθ+2sinθ，化简得，即C2的极坐标方程为；（2）由极径的几何意义，|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinβ-2cosβ-2sinβ|=，当时，，所以：|AB|的最大值为．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化．（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果．23.答案：解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|-|2x-3|≥1，令2x+1=0，解得x=-，令2x-3=0，解得x=，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|≤|2x+1-2x+3|=4，∴f（x）max=4．∵g（x）=|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|，故g（x）min=|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤-4，求得a≥3或a≤-5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤-5}．解析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论．直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，进一步求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，零点讨论法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围问题．。

贵州省黔东南州2020届高考数学第一次模拟考试试题理(含解析)

黔东南州2020年高考模拟考试试卷数学(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知集合，，则集合=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴集合，故选D.2. 若复数则的共轭复数对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由，其对应的点的坐标为，故复数对应的点所在的象限为第二象限，故选B.3. 某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是，该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影是底面直角顶点，所以几何体的体积是．考点：三视图4. 下列命题中正确的是（）A. 是的充分必要条件B. 函数的零点是和C. 设随机变量服从正态分布,若，则D. 若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差会改变【答案】C【解析】A．由得，则是的充分不必要条件，故A错误；B．由得，则，即或，即函数的零点是和，故B错误；C．随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故C正确；D．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故D错误，故选C.5. 若是等差数列，公差成等比数列，则该等比数列的公比为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】考点：等差数列的性质；等比数列．分析：先根据题设可知a32=a2a6，把等差数列通项公式代入，求得d和a1的关系，进而求得的值，答案可得．解：∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2a6，即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5），整理得d2+2a1d=0∴d=-2a1，∴===3故答案为3．6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】该程序框图是循环结构,经第一次循环得到；经第二次循环得到，；经第三次循环得到，；经第四次循环得到，满足判断框的条件，执行是，输出4，故选B.7. 变量满足条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示可行域内的点到点距离的平方，很显然，点B（0，1）到（2，0）的距离最小，最小值是，故选D．考点：线性规划8. 在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，如图∴，∴，过点A作，在和，，则，，在空间四边形中，直二面角，∵，，∴平面，以点为原点，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，，，设与所成的角为，则，故选B.点睛：本题考查异面直线夹角求解，利用向量的方法，能降低了思维难度．注意一般地异面直线所成角与两直线方向向量夹角相等或互补，余弦的绝对值相等；由得到，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线与所成角的余弦值.9. 过点(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l 的斜率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线：的距离，∵过点的直线与圆相交于、两点，且线段，∴由勾股定理得，即，解得，故选C.10. 设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：区域D的面积是3，做到原点的距离等于2的圆，圆与矩形的公共部分就是区域内到原点的距离小于2的点的集合，，所以阴影面积=扇形EAF的面积+三角形ADE的面积=，所以概率就是，故选A．考点：几何概型11. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。