中考数学平行四边形综合题及答案

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人教中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析附详细答案

人教中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析附详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,对角线AC 平分BAD ∠.(1)如图1,若120DAB ∠=︒,且90B ∠=︒,试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.(2)如图2,若将(1)中的条件“90B ∠=︒”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图3,若90DAB ∠=︒,探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.【答案】(1)AC AD AB =+.证明见解析;(2)成立;(3)2AD AB AC +=.理由见解析.【解析】试题分析:(1)结论:AC=AD+AB ,只要证明AD=12AC ,AB=12AC 即可解决问题; (2)(1)中的结论成立.以C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ,只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题;(3)结论:AD +AB =2AC .过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ,只要证明△ACE 是等腰直角三角形,△DAC ≌△BEC 即可解决问题;试题解析:解:(1)AC=AD+AB .理由如下:如图1中,在四边形ABCD 中,∠D+∠B=180°,∠B=90°,∴∠D=90°,∵∠DAB=120°,AC 平分∠DAB ,∴∠DAC=∠BAC=60°,∵∠B=90°,∴AB=12AC,同理AD=12AC.∴AC=AD+AB.(2)(1)中的结论成立,理由如下:以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,∵∠BAC=60°,∴△AEC为等边三角形,∴AC=AE=CE,∵∠D+∠ABC=180°,∠DAB=120°,∴∠DCB=60°,∴∠DCA=∠BCE,∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,∴∠D=∠CBE,∵CA=CE,∴△DAC≌△BEC,∴AD=BE,∴AC=AD+AB.(3)结论:AD+AB=2AC.理由如下:过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,∴DCB=90°,∵∠ACE=90°,∴∠DCA=∠BCE,又∵AC平分∠DAB,∴∠CAB=45°,∴∠E=45°.∴AC=CE.又∵∠D+∠ABC=180°,∠D=∠CBE,∴△CDA≌△CBE,∴AD=BE,∴AD+AB=AE.在Rt△ACE中,∠CAB=45°,∴AE=245ACACcos︒=∴2AD AB AC+=.2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD 的延长线于点F,连接CF.(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)∵AF∥BC,∴∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD,∵点E为CD的中点,∴DE=EC,在△BCE与△FDE中,FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△FDE,∴DF=BC,又∵DF∥BC,∴四边形BCDF为平行四边形,∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形;(2)∵四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=BC=2,在Rt△BAD中,AB223BD AD-,∵AF=AD+DF=1+2=3,在Rt△BAF中,BF22AB AF+3.3.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).【答案】(1)作图参见解析;(2)作图参见解析.【解析】试题分析:(1)过点O向线段OM作垂线,此直线与格点的交点为N,连接MN即可;(2)根据勾股定理画出图形即可.试题解析:(1)过点O向线段OM作垂线,此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示;(2)等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是20,如图2所示;于是根据勾股定理画出图3:考点:1.作图﹣应用与设计作图;2.勾股定理.4.(问题情境)在△ABC中,AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.当P在BC边上时(如图1),求证:PD+PE=CF.证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.(不要证明)(变式探究)(1)当点P在CB延长线上时,其余条件不变(如图3),试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD =16,CF=6,求PG+PH的值.(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线l1:y=-43x+8与直线l2:y=﹣2x+8相交于点A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)【解析】【变式探究】连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;【迁移拓展】分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3:∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ACP﹣S△ABP,∴12AB•CF=12AC•PE﹣12AB•PD.∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.∵AD=16,CF=6,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.∴DF=5.∵∠C=90°,∴DC2222106DF CF-=-8.∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.∴四边形EQCD是长方形.∴EQ=DC=4.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB.∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB.∴BE=BF,由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.∴PG+PH=8.∴PG+PH的值为8;迁移拓展:如图,由题意得:A(0,8),B(6,0),C(﹣4,0)∴AB2268+10,BC=10.∴AB=BC,(1)由结论得:P1D1+P1E1=OA=8∵P1D1=1=2,∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上,∴y=2x+8=6,∴x=﹣1,即点P1的坐标为(﹣1,6);(2)由结论得:P2E2﹣P2D2=OA=8∵P2D2=2,∴P2E2=10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上,∴y=2x+8=10,∴x=1,即点P1的坐标为(1,10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,利用面积法列出等式是解决问题的关键.5.(1)如图1,将矩形ABCD折叠,使BC落在对角线BD上,折痕为BE,点C落在∠的度数为______.点C'处,若42ADB=∠,则DBE(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD ,4AB =,9AD =.(画一画)如图2,点E 在这张矩形纸片的边AD 上,将纸片折叠,使AB 落在CE 所在直线上,折痕设为MN (点M ,N 分别在边AD ,BC 上),利用直尺和圆规画出折痕MN (不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);(算一算)如图3,点F 在这张矩形纸片的边BC 上,将纸片折叠,使FB 落在射线FD 上,折痕为GF ,点,A B 分别落在点A ',B '处,若73AG =,求B D '的长.【答案】(1)21;(2)画一画;见解析;算一算:3B D '=【解析】【分析】(1)利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题;(2)【画一画】,如图2中,延长BA 交CE 的延长线由G ,作∠BGC 的角平分线交AD 于M ,交BC 于N ,直线MN 即为所求;【算一算】首先求出GD=9-72033=,由矩形的性质得出AD ∥BC ,BC=AD=9,由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ,由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG ,证出∠DFG=∠DGF ,由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203,再由勾股定理求出CF ,可得BF ,再利用翻折不变性,可知FB′=FB ,由此即可解决问题.【详解】 (1)如图1所示:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=42°,由翻折的性质可知,∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°,故答案为21.(2)【画一画】如图所示:【算一算】如3所示:∵AG=73,AD=9,∴GD=9-72033=,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,BC=AD=9,∴∠DGF=∠BFG,由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,∴∠DFG=∠DGF,∴DF=DG=203,∵CD=AB=4,∠C=90°,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得:22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭,∴BF=BC-CF=9161133-=,由翻折不变性可知,FB=FB′=11 3,∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题,考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用翻折不变性解决问题.6.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.(1)求证:△AEF≌△DCE.(2)若DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)6cm.【解析】分析:(1)根据EF⊥CE,求证∠AEF=∠ECD.再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE.(2)利用全等三角形的性质,对应边相等,再根据矩形ABCD的周长为32cm,即可求得AE的长.详解:(1)证明:∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.在Rt△AEF和Rt△DEC中,∠FAE=∠EDC=90°,∠AEF=∠ECD,EF=EC.∴△AEF≌△DCE.(2)解:∵△AEF≌△DCE.AE=CD.AD=AE+4.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AE+AE+4)=32.解得,AE=6(cm).答:AE的长为6cm.点睛:此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握,难易程度适中,是一道很典型的题目.7.如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,AF⊥AE交CB的延长线于F.求证:AE=AF.【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE,再利用正方形的性质可得AB=AD,∠ABF=∠ADE=90°,根据ASA判定△ABF≌△ADE,根据全等三角形的性质即可证得AF=AE.【详解】∵AF⊥AE,∴∠BAF+∠BAE=90°,又∵∠DAE+∠BAE=90°,∴∠BAF=∠DAE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABF=∠ADE=90°,在△ABF和△ADE中,,∴△ABF≌△ADE(ASA),∴AF=AE.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点,证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键.8.已知点O是△ABC内任意一点,连接OA并延长到E,使得AE=OA,以OB,OC为邻边作▱OBFC,连接OF与BC交于点H,再连接EF.(1)如图1,若△ABC为等边三角形,求证:①EF⊥BC;②EF=BC;(2)如图2,若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边),猜想(1)中的两个结论是否成立?若成立,直接写出结论即可;若不成立,请你直接写出你的猜想结果;(3)如图3,若△ABC是等腰三角形,且AB=AC=kBC,请你直接写出EF与BC之间的数量关系.【答案】(1)见解析;(2)EF⊥BC仍然成立;(3)EF=BC【解析】试题分析:(1)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等边三角形的性质得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可;(2)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可;(3)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可.试题解析:(1)连接AH,如图1,∵四边形OBFC是平行四边形,∴BH=HC=BC,OH=HF,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,AH⊥BC,在Rt△ABH中,AH2=AB2﹣BH2,∴AH==BC,∵OA=AE,OH=HF,∴AH是△OEF的中位线,∴AH=EF,AH∥EF,∴EF⊥BC,BC=EF,∴EF⊥BC,EF=BC;(2)EF⊥BC仍然成立,EF=BC,如图2,∵四边形OBFC是平行四边形,∴BH=HC=BC,OH=HF,∵△ABC是等腰三角形,∴AB=BC,AH⊥BC,在Rt△ABH中,AH2=AB2﹣BH2=(BH)2﹣BH2=BH2,∴AH=BH=BC,∵OA=AE,OH=HF,∴AH是△OEF的中位线,∴AH=EF,AH∥EF,∴EF⊥BC,BC=EF,∴EF⊥BC,EF=BC;(3)如图3,∵四边形OBFC是平行四边形,∴BH=HC=BC,OH=HF,∵△ABC 是等腰三角形, ∴AB=kBC ,AH ⊥BC ,在Rt △ABH 中,AH 2=AB 2﹣BH 2=(kBC )2﹣(BC )2=(k 2-)BC 2,∴AH=BH=BC ,∵OA=AE ,OH=HF , ∴AH 是△OEF 的中位线, ∴AH=EF ,AH ∥EF , ∴EF ⊥BC ,BC=EF ,∴EF=BC .考点:四边形综合题.9.已知ABC ,以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ,其中AC AD =. (1)如图①,若AB AE =,60DAC EAB ∠=∠=︒,求BFC ∠的度数. (2)如图②,ABC α∠=,ACD β∠=,4BC =,6BD =.①若30α=︒,60β=︒,AB 的长为______.②若改变,αβ的大小,但90αβ+=︒,ABC 的面积是否变化?若不变,求出其值;若变化,说明变化的规律.【答案】(1)120°;(2)55【解析】试题分析:(1)根据SAS ,可首先证明△AEC ≌△ABD ,再利用全等三角形的性质,可得对应角相等,根据三角形的外角的定理,可求出∠BFC 的度数;(2)①如图2,在△ABC 外作等边△BAE ,连接CE ,利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ,可证∠EBC=90°,EC=BD=6,因为BC=4,在Rt △BCE 中,由勾股定理求BE 即可;②过点B 作BE ∥AH ,并在BE 上取BE=2AH ,连接EA ,EC .并取BE 的中点K ,连接AK ,仿照(2)利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ,求得EC=DB ,利用勾股定理即可得出结论. 试题解析:解:(1)∵AE=AB,AD=AC,∵∠EAB=∠DAC=60°,∴∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠DAB=∠DAC+∠BAC,∴∠EAC=∠DAB,在△AEC和△ABD中{AE ABEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△AEC≌△ABD(SAS),∴∠AEC=∠ABD,∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE,∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°,故答案为120°;(2)①如图2,以AB为边在△ABC外作正三角形ABE,连接CE.由(1)可知△EAC≌△BAD.∴EC=BD.∴EC=BD=6,∵∠BAE=60°,∠ABC=30°,∴∠EBC=90°.在RT△EBC中,EC=6,BC=4,∴22EC BC-2264-∴5②若改变α,β的大小,但α+β=90°,△ABC的面积不变化,以下证明:如图2,作AH⊥BC交BC于H,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.∵BE∥AH,∴∠EBC=90°.∵∠EBC=90°,BE=2AH,∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.∵BK∥AH,∴四边形AKBH为平行四边形.又∵∠EBC=90°,∴四边形AKBH为矩形.∠ABE=∠ACD,∴∠AKB=90°.∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.∵AB=AE,AC=AD,∠ABE=∠ACD,∴∠EAB=∠DAC,∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD,即∠EAC=∠BAD,在△EAC与△BAD中{AB AEEAC BAD AC AD=∠=∠=∴△EAC≌△BAD.∴EC=BD=6.在RT△BCE中,BE=22EC BC-=25,∴AH=12BE=5,∴S△ABC=12BC•AH=25考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质10.(本题14分)小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值.(1)在解决这个问题时,小明构造出了如图2的辅助线,则PQ的最小值为,当PQ最小时= _____ __;(2)小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PC为边作□PCQE,试求对角线PQ长的最小值,并求PQ最小时的值;问题2:在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如图4,若为上任意一点,以,为边作□.试求对角线长的最小值和PQ最小时的值.(2)若为上任意一点,延长到,使,再以,为边作□.请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值.【答案】问题1:(1)3,;(2)PQ=,=.问题2:(1)=4,.(2)PQ的最小值为..【解析】试题分析:问题1:(1)首先根据条件可证四边形PCBQ是矩形,然后根据条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC,从而可求的值.(2)由题可知:当QP⊥AC 时,PQ最小.过点C作CD⊥AB于点D.此时四边形CDPQ为矩形,PQ=CD,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,利用面积可求出CD=,然后可求出AD=,由AE=nPA可得PE=,而PE=CQ=PD=AD-AP=,所以AP=.所以=.问题2:(1)设对角线与相交于点.Rt≌Rt.所以AD=HC,QH=AP.由题可知:当QP⊥AB时,PQ最小,此时=CH=4,根据条件可证四边形BPQH为矩形,从而QH=BP=AP.所以.(2)根据题意画出图形,当AB 时,的长最小,PQ的最小值为..试题解析:问题1:(1)3,;(2)过点C作CD⊥AB于点D.由题意可知当PQ⊥AB时,PQ最短.所以此时四边形CDPQ为矩形.PQ=CD,DP=CQ=PE.因为∠BCA=90°,AC=4,BC=3,所以AB=5.所以CD=.所以PQ=.在Rt△ACD中AC=4,CD=,所以AD=.因为AE=nPA,所以PE==CQ=PD=AD-AP=.所以AP=.所以=.问题2:(1)如图2,设对角线与相交于点.所以G是DC的中点,作QH BC,交BC的延长线于H,因为AD//BC,所以.所以.又,所以Rt≌Rt.所以AD=HC,QH=AP.由图知,当AB时,的长最小,即=CH=4.易得四边形BPQH为矩形,所以QH=BP=AP.所以.(若学生有能力从梯形中位线角度考虑,若正确即可评分.但讲评时不作要求)(2)PQ的最小值为..考点:1.直角三角形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.平行四边形的性质;4矩形的判定与性质.。

备战中考数学 平行四边形 综合题附详细答案

备战中考数学 平行四边形 综合题附详细答案

备战中考数学平行四边形综合题附详细答案一、平行四边形1.(问题情景)利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一.例如:张老师给小聪提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=3,AD=6,问△ABC的高AD与CE的比是多少?小聪的计算思路是:根据题意得:S△ABC=12BC•AD=12AB•CE.从而得2AD=CE,∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题:(1)(类比探究)如图2,在▱ABCD中,点E、F分别在AD,CD上,且AF=CE,并相交于点O,连接BE、BF,求证:BO平分角AOC.(2)(探究延伸)如图3,已知直线m∥n,点A、C是直线m上两点,点B、D是直线n上两点,点P是线段CD中点,且∠APB=90°,两平行线m、n间的距离为4.求证:PA•PB=2AB.(3)(迁移应用)如图4,E为AB边上一点,ED⊥AD,CE⊥CB,垂足分别为D,C,∠DAB=∠B,AB=34,BC=2,AC=26,又已知M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN.求△DEM与△CEN的周长之和.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)34【解析】分析:(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等,过点B作OG⊥AF于G,OH⊥CE于H,从而得出AF=CE,然后证明△BOG和△BOH全等,从而得出∠BOG=∠BOH,即角平分线;(2)、过点P作PG⊥n于G,交m于F,根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等,延长BP交AC于E,证明△CPE和△DPB全等,根据等积法得出AB=AP×PB,从而得出答案;(3)、,延长AD,BC交于点G,过点A作AF⊥BC于F,设CF=x,根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值,根据等积法得出AE=2DM=2EM,BE=2CN=2EN, DM+CN=AB,从而得出两个三角形的周长之和.同理:EM+EN=AB详解:证明:(1)如图2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ABF=S▱ABCD,S△BCE=S▱ABCD,∴S△ABF=S△BCE,过点B作OG⊥AF于G,OH⊥CE于H,∴S△ABF=AF×BG,S△BCE=CE×BH,∴AF×BG=CE×BH,即:AF×BG=CE×BH,∵AF=CE,∴BG=BH,在Rt△BOG和Rt△BOH中,,∴Rt△BOG≌Rt△BOH,∴∠BOG=∠BOH,∴OB平分∠AOC,(2)如图3,过点P作PG⊥n于G,交m于F,∵m∥n,∴PF⊥AC,∴∠CFP=∠BGP=90°,∵点P是CD中点,在△CPF和△DPG中,,∴△CPF≌△DPG,∴PF=PG=FG=2,延长BP交AC于E,∵m∥n,∴∠ECP=∠BDP,∴CP=DP,在△CPE和△DPB中,,∴△CPE≌△DPB,∴PE=PB,∵∠APB=90°,∴AE=AB,∴S△APE=S△APB,∵S△APE=AE×PF=AE=AB,S△APB=AP×PB,∴AB=AP×PB,即:PA•PB=2AB;(3)如图4,延长AD,BC交于点G,∵∠BAD=∠B,∴AG=BG,过点A作AF⊥BC于F,设CF=x(x>0),∴BF=BC+CF=x+2,在Rt△ABF中,AB=,根据勾股定理得,AF2=AB2﹣BF2=34﹣(x+2)2,在Rt△ACF中,AC=,根据勾股定理得,AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2,∴34﹣(x+2)2=26﹣x2,∴x=﹣1(舍)或x=1,∴AF==5,连接EG,∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG(DE+CE),∴DE+CE=AF=5,在Rt△ADE中,点M是AE的中点,∴AE=2DM=2EM,同理:BE=2CN=2EN,∵AB=AE+BE,∴2DM+2CN=AB,∴DM+CN=AB,同理:EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=(DE+CE)+[(DM+CN)+(EM+EN)]=(DE+CN)+AB=5+.点睛:本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法,综合性非常强,难度较大.在解决这个问题的关键就是作出辅助线,然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系.2.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.(1)求证:∠APB=∠BPH;(2)当点P在边AD上移动时,求证:△PDH的周长是定值;(3)当BE+CF的长取最小值时,求AP的长.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.【解析】试题分析:(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案;(2)首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;(3)过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明△EFM≌△BPA,设AP=x,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.试题解析:(1)解:如图1,∵PE=BE ,∴∠EBP=∠EPB .又∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP .即∠PBC=∠BPH .又∵AD ∥BC ,∴∠APB=∠PBC .∴∠APB=∠BPH .(2)证明:如图2,过B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .由(1)知∠APB=∠BPH ,又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP ,在△ABP 和△QBP 中,{90APB BPHA BQP BP BP∠=∠∠=∠=︒=,∴△ABP ≌△QBP (AAS ),∴AP=QP ,AB=BQ ,又∵AB=BC ,∴BC=BQ .又∠C=∠BQH=90°,BH=BH ,在△BCH 和△BQH 中,{90BC BQC BQH BH BH=∠=∠=︒=,∴△BCH ≌△BQH (SAS ),∴CH=QH .∴△PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.∴△PDH 的周长是定值.(3)解:如图3,过F 作FM ⊥AB ,垂足为M ,则FM=BC=AB .又∵EF 为折痕,∴EF ⊥BP .∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°,∴∠EFM=∠ABP .又∵∠A=∠EMF=90°,在△EFM 和△BPA 中,{EFM ABPEMF A FM AB∠=∠∠=∠=,∴△EFM ≌△BPA (AAS ).∴EM=AP .设AP=x在Rt △APE 中,(4-BE )2+x 2=BE 2.解得BE=2+28x , ∴CF=BE-EM=2+28x -x , ∴BE+CF=24x -x+4=14(x-2)2+3. 当x=2时,BE+CF 取最小值,∴AP=2.考点:几何变换综合题.3.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AC=60cm ,∠A=60°,点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A 匀速运动,同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0<t≤15).过点D 作DF ⊥BC 于点F ,连接DE ,EF .(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)能,t=10;(3)t=152或12.【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;(3)△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.【详解】解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,∴AB=12AC=12×60=30cm,∵CD=4t,AE=2t,又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=12CD=2t,∴DF=AE;(2)能,∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,∴当t=10时,AEFD是菱形;(3)若△DEF为直角三角形,有两种情况:①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=152,②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,则AE=2AD,即2t2(604t)=-,解得:t=12,综上所述,当t=152或12时,△DEF为直角三角形.4.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.(3)结论依然成立.【详解】(1)CG=EG.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=12FD,同理.在Rt△DEF中,EG=12FD,∴CG=EG.(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG(SAS),∴AG=CG;在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG (ASA),∴MG=NG.∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,∴四边形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN.在△AMG与△ENG中,∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,∴△AMG≌△ENG(SAS),∴AG=EG,∴EG=CG.证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC.在△DCG与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG,∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,∴MF∥CD∥AB,∴EF⊥MF.在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵MF=CB,∠MFE=∠EBC=90°,EF=BE,∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB,∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,∴△MEC为直角三角形.∵MG=CG,∴EG=12MC,∴EG=CG.(3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,∴△MEC是等腰直角三角形.∵G为CM中点,∴EG=CG,EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题.(1)关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答;(2)关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答.5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'的距离是10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=1010,∴当点F1移动到点B时,t=101010÷=10;②当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'10,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,∴FN=t,F'N=3t,∵MH'=FN=t,EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,在Rt △DMH'中, 43MH EM '=, ∴41533t t =-, ∴t =4, ∴EM =3,MH'=4,∴S =1451023(12)11248⨯+⨯=; 当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'10,∵PF =10∴PF'10t ﹣10,在Rt △F'PK 中,13PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9,在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=43, ∴t =7,∴S =15×(15﹣7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.6.(问题情境)在△ABC 中,AB =AC ,点P 为BC 所在直线上的任一点,过点P 作PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,过点C 作CF ⊥AB ,垂足为F .当P 在BC 边上时(如图1),求证:PD+PE =CF .证明思路是:如图2,连接AP ,由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得:PD+PE =CF .(不要证明)(变式探究)(1)当点P在CB延长线上时,其余条件不变(如图3),试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD =16,CF=6,求PG+PH的值.(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线l1:y=-43x+8与直线l2:y=﹣2x+8相交于点A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)【解析】【变式探究】连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;【迁移拓展】分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3:∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ACP﹣S△ABP,∴12AB•CF=12AC•PE﹣12AB•PD.∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.∵AD=16,CF=6,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.∴DF=5.∵∠C=90°,∴DC2222106DF CF-=-8.∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.∴四边形EQCD是长方形.∴EQ=DC=4.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB.∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB.∴BE=BF,由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.∴PG+PH=8.∴PG+PH的值为8;迁移拓展:如图,由题意得:A(0,8),B(6,0),C(﹣4,0)∴AB2210,BC=10.68∴AB=BC,(1)由结论得:P1D1+P1E1=OA=8∵P1D1=1=2,∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上,∴y=2x+8=6,∴x=﹣1,即点P1的坐标为(﹣1,6);(2)由结论得:P2E2﹣P2D2=OA=8∵P2D2=2,∴P2E2=10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上,∴y=2x+8=10,∴x=1,即点P1的坐标为(1,10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,利用面积法列出等式是解决问题的关键.7.现有一张矩形纸片ABCD(如图),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点B′,过E作EF垂直B′C,交B′C于F.(1)求AE、EF的位置关系;(2)求线段B′C的长,并求△B′EC的面积.【答案】(1)见解析;(2)S△B′EC=108 25.【解析】【分析】(1)由折线法及点E是BC的中点,可证得△B'EC是等腰三角形,再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF;(2)连接BB′,通过折叠,可知∠EBB′=∠EB′B,由E是BC的中点,可得EB′=EC,∠ECB′=∠EB′C,从而可证△BB′C为直角三角形,在Rt△AOB和Rt△BOE中,可将OB,BB′的长求出,在Rt△BB′C中,根据勾股定理可将B′C的值求出.【详解】(1)由折线法及点E是BC的中点,∴EB=EB′=EC,∠AEB=∠AEB′,∴△B'EC是等腰三角形,又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线,即∠B′EF=∠FEC,∴∠AEF=180°﹣(∠AEB+∠CEF)=90°,即∠AEF=90°,即AE⊥EF;(2)连接BB'交AE于点O,由折线法及点E是BC的中点,∴EB=EB′=EC,∴∠EBB′=∠EB′B,∠ECB′=∠EB′C;又∵△BB'C三内角之和为180°,∴∠BB'C=90°;∵点B′是点B关于直线AE的对称点,∴AE垂直平分BB′;在Rt△AOB和Rt△BOE中,BO2=AB2﹣AO2=BE2﹣(AE﹣AO)2将AB=4cm,BE=3cm,AE=5cm,∴AO=165cm,∴BO22AB AO125cm,∴BB′=2BO=245cm,∴在Rt △BB 'C 中,B ′C =22BC BB '-=518cm , 由题意可知四边形OEFB ′是矩形,∴EF =OB ′=125, ∴S △B ′EC =*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=.【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用.关键是要理解折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化.8.在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (﹣6,0)、点C (0,6),若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转,得正方形OA′B′C′,记旋转角为α: (1)如图①,当α=45°时,求BC 与A′B′的交点D 的坐标;(2)如图②,当α=60°时,求点B′的坐标;(3)若P 为线段BC′的中点,求AP 长的取值范围(直接写出结果即可).【答案】(1)(62,6)-;(2)(333,333)+;(3)323323AP 剟.【解析】【分析】(1)当α=45°时,延长OA′经过点B ,在Rt △BA′D 中,∠OBC =45°,A′B =626,可求得BD 的长,进而求得CD 的长,即可得出点D 的坐标;(2)过点C′作x 轴垂线MN ,交x 轴于点M ,过点B′作MN 的垂线,垂足为N ,证明△OMC′≌△C′NB′,可得C′N =OM =33,B′N =C′M =3,即可得出点B′的坐标;(3)连接OB,AC相交于点K,则K是OB的中点,因为P为线段BC′的中点,所以PK=1OC′=3,即点P在以K为圆心,3为半径的圆上运动,即可得出AP长的取值范围.2【详解】解:(1)∵A(﹣6,0)、C(0,6),O(0,0),∴四边形OABC是边长为6的正方形,当α=45°时,如图①,延长OA′经过点B,∵OB=62,OA′=OA=6,∠OBC=45°,∴A′B=626-,∴BD=(626=-,-)×21262∴CD=6﹣(1262-)=626-,∴BC与A′B′的交点D的坐标为(662-,6);(2)如图②,过点C′作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B′作MN的垂线,垂足为N,∵∠OC′B′=90°,∴∠OC′M=90°﹣∠B′C′N=∠C′B′N,∵OC′=B′C′,∠OMC′=∠C′NB′=90°,∴△OMC′≌△C′NB′(AAS),当α=60°时,∵∠A′OC′=90°,OC′=6,∴∠C′OM=30°,∴C′N=OM=33,B′N=C′M=3,∴点B′的坐标为333,333+;(3)如图③,连接OB ,AC 相交于点K ,则K 是OB 的中点,∵P 为线段BC′的中点,∴PK =12OC′=3, ∴P 在以K 为圆心,3为半径的圆上运动,∵AK =32,∴AP 最大值为323+,AP 的最小值为323-,∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.【点睛】 本题考查正方形性质,全等三角形判定与性质,三角形中位线定理.(3)问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹.9.在ABC V 中,ABC 90o ∠=,BD 为AC 边上的中线,过点C 作CE BD ⊥于点E ,过点A 作BD 的平行线,交CE 的延长线于点F ,在AF 的延长线上截取FG BD =,连接BG ,DF .()1求证:BD DF =;()2求证:四边形BDFG 为菱形;()3若AG 5=,CF 7=BDFG 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)8【解析】【分析】()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=o ,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证,()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形,再利用()1得结论即可得证,()3设GF x =,则5AF x =-,利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系,解出x 即可.【详解】()1证明:AG //BD Q ,CF BD ⊥,CF AG ∴⊥,又D Q 为AC 的中点,1DF AC 2∴=, 又1BD AC 2=Q , BD DF ∴=,()2证明:BD//GF Q ,BD FG =,∴四边形BDFG 为平行四边形,又BD DF =Q ,∴四边形BDFG 为菱形,()3解:设GF x =,则AF 5x =-,AC 2x =,在Rt AFC V 中,222(2x)7)(5x)=+-,解得:1x 2=,216x (3=-舍去), GF 2∴=,∴菱形BDFG 的周长为8.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线,勾股定理等知识,正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键.10.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)【解析】试题分析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,∴1=x2+(2x+x)2,解得x=,∴BN=,∴BG=BN÷cos30°=.考点:1、正方形的性质,2、矩形的判定和性质,3、勾股定理,4、直角三角形30度的性质11.问题探究(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边BC、CD上两点,且BM =CN,连接AM和BN,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值;问题解决(3)如图③,AC为边长为23的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动.连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值.【答案】(1)AM⊥BN,证明见解析;(2)△APB周长的最大值2;(3)△PAB的周长最大值3.【解析】试题分析:根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN,即可证得AM⊥BN;(2)如图②,以AB为斜边向外作等腰直角△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP,证明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可;(3)如图③,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB,证明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可.试题解析:(1)结论:AM⊥BN.理由:如图①中,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,∵BM=CN,∴△ABM≌△BCN,∴∠BAM=∠CBN,∵∠CBN+∠ABN=90°,∴∠ABN+∠BAM=90°,∴∠APB=90°,∴AM⊥BN.(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB,∠AEB=90°,作EF⊥PA于E,作EG⊥PB于G,连接EP.∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°,∴四边形EFPG是矩形,∴∠FEG=∠AEB=90°,∴∠AEF=∠BEG,∵EA=EB,∠EFA=∠G=90°,∴△AEF≌△BEG,∴EF=EG,AF=BG,∴四边形EFPG是正方形,∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF,∵EF≤AE,∴EF的最大值=AE=2,∴△APB周长的最大值=4+4.(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则△ABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB.∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,∴△ABM≌△BCN,∴∠BAM=∠CBN,∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°,∴∠APB=120°,∵∠AKB=60°,∴∠AKB+∠APB=180°,∴A、K、B、P四点共圆,∴∠BPH=∠KAB=60°,∵PH=PB,∴△PBH是等边三角形,∴∠KBA=∠HBP,BH=BP,∴∠KBH=∠ABP,∵BK=BA,∴△KBH≌△ABP,∴HK=AP,∴PA+PB=KH+PH=PK,∴PK的值最大时,△APB的周长最大,∴当PK是△ABK外接圆的直径时,PK的值最大,最大值为4,∴△PAB的周长最大值=2+4.12.(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF;(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC 满足的等量关系,并写出推理过程。

中考数学平行四边形综合题及详细答案

中考数学平行四边形综合题及详细答案
2.如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F. (1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形; (2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) 4 13 . 3
【解析】 分析:(1)根据平行四边形 ABCD 的性质,判定△ BOE≌ △ DOF(ASA),得出四边形 BEDF 的对角线互相平分,进而得出结论; (2)在 Rt△ ADE 中,由勾股定理得出方程,解方程求出 BE,由勾股定理求出 BD,得出 OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出 EF 的长. 详解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,O 是 BD 的中点, ∴ ∠ A=90°,AD=BC=4,AB∥ DC,OB=OD, ∴ ∠ OBE=∠ ODF, 在△ BOE 和△ DOF 中,
点睛:本题是四边形综合题.考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质.解题的关键 是掌握梯形中常见的辅助线作法.
4.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ B=90°,AC=60cm,∠ A=60°,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀 速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 D、E 运动的时间是 t 秒(0<t≤15).过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,连接 DE,EF.
与(1)同理,可以证明 AG⊥BE. 过点 O 作 OM⊥BE 于点 M,ON⊥AG 于点 N, 与(2)同理,可以证明△ AON≌ △ BOM, 可得 OMHN 为正方形,所以 HO 平分∠ BHG, ∴ ∠ BHO=45°. 考点:1、四边形综合题;2、全等三角形的判定与性质;3、正方形的性质

初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)

初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)

特殊的平行四边形练习题(50题)菱形、矩形、正方形一、单选题(共18题;共36分)1.下列条件中,能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故A不符合题意;B、对角线相等且平分的四边形是矩形,故B符合题意;C、对角线相等的四边形不是矩形,故C不符合题意;D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形,故D不符合题意.故答案为:B.【分析】根据矩形的判定方法,逐项进行判断,即可求解2.如图,点A、D、G、M在半圆上,四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形,设BC=a ,EF=b ,NH= c ,则下列各式中正确的是()A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解:连接OA、OD、OM,如图所示:则OA=OD=OM,∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形,∴OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,∴a=b=c;故答案为:B.【分析】连接OA、OD、OM,则OA=OD=OM,由矩形的对角线相等得出OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解:连接DE交AC于P,连接BD,BP,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,∴PE+PB=PE+PD=DE,即DE就是PE+PB的最小值,∵∠BAD=60°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∵AE=BE=AB=1,∴DE⊥AB,在Rt△ADE中,DE=,∴ PE+PB的最小值是.故答案为:D.【分析】连接DE交AC于P,连接BD,BP,根据菱形的性质得出B、D关于AC对称,得出DE就是PE+PB 的最小值,根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB,再根据勾股定理求出DE的长,即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为()A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解:设正方形的边长为xcm,根据题意得:x2+x2=22,∴x2=2,∴正方形的面积=x2=2(cm2).故答案为:B.【分析】设正方形的边长为xcm,利用勾股定理列出方程,求出x2=2,即可求出正方形的面积为2.5.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为()A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴BD=2OH,∵OH=4,∴BD=8,∵OA=6,∴AC=12,∴菱形ABCD的面积= AC•BD=×12×8=48.故答案为:C.【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BD的长度,最后由菱形的面积公式求得面积.6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图,∵∠CBD=34°,∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°,由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为:A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE,从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE,可得出∠ABC的度数.7.如图,已知矩形AOBC的顶点O(0,0),A(0,3),B(4,0),按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OC,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠BOC内交于点F;③作射线OF,交边BC于点G,则点G的坐标为()A. (4,1)B. (4,)C. (4,)D. (4,)【答案】B【解析】【解答】解:∵四边形AOBC是矩形,A(0,3),B(4,0),∴OB=4,OA=BC=3,∠OBC=90°,∴OC==5,作GH⊥OC于H,如图,由题意可知:OG平分∠BOC,∵GB⊥OB,GH⊥OC,∴GB=GH,设GB=GH=x,由S△OBC=×3×4=×5×x+ ×4×x,解得:x=,∴G(4,).故答案为:B.【分析】根据勾股定理可得OC的长,作GH⊥OC于H,根据角平分线的性质可得GB=GH,然后利用面积法求出GB即可.8.如图1,在矩形ABCD中,点E在CD上,∠AEB=90°,点P从点A出发,沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止,作PQ⊥CD于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长为y,若y与x之间的函数关系图象如图2所示,当x=6时,PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解:由图象可知:AE=3,BE=4,在Rt ABE中,∠AEB=90°AB= =5当x=6时,点P在BE上,如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB=90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中,AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为:B.【分析】由图象可知:AE=3,BE=4,根据勾股定理可得AB=5,当x=6时,点P在BE上,先求出PE的长,再根据△ PQE ∽△ BAE,求出PQ的长.9.如图,在平面直角坐标系中,已知点,.若平移点到点,使以点,,,为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是()A. 向左平移1个单位,再向下平移1个单位B. 向左平移个单位,再向上平移1个单位C. 向右平移个单位,再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位,再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解:因为B(1,1)由勾股定理可得OB=,所以OA=OB,而AB<OA.故以AB为对角线,OB//AC,由O(0,0)移到点B(1,1)需要向右平移1个单位,再向上平移1个单位,由平移的性质可得由A(,0)移到点C需要向右平移1个单位,再向上平移1个单位,故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC,平移A到C,有两种平移的方法可使O,A,B,C四点构成的四边形是平行四边形;而OA=OB>AB,故当OA,OB为边时O,A,B,C四点构成的四边形是菱形,故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图,把长方形ABCD沿EF对折,若∠1=500,则∠AEF的度数等于()A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折,∴AD∥BC,∠BFE=∠2,∵∠1=50°,∠1+∠2+∠BFE=180°,∴∠BFE==65°,∵∠AEF+∠BFE=180°,∴∠AEF=115°.故选D11.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF.EC交于点H,下列结论中:①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED.正确的是()A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB=1,AD=,∴BD=AC=2,OB=OA=OD=OC=1.∴△OAB,△OCD为正三角形.AF平分∠DAB,∴∠FAB=45°,即△ABF是一个等腰直角三角形.∴BF=AB=1,BF=BO=1.∵AF平分∠DAB,∴∠FAB=45°,∴∠CAH=45°﹣30°=15°.∵∠ACE=30°(正三角形上的高的性质)∴∠AHC=15°,∴CA=CH由正三角形上的高的性质可知:DE=OD÷2,OD=OB,∴BE=3ED.所以正确的是②③④.故选D.【分析】这是一个特殊的矩形:对角线相交成60°的角.利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答.本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质.12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB 上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()A. (3,1)B. (3,)C. (3,)D. (3,2)【答案】B【解析】【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),∴直线CH解析式为y=﹣x+4,∴x=3时,y= ,∴点E坐标(3,)故选:B.【分析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小,先求出直线CH解析式,再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识,解题的关键是利用轴对称找到点E位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.13.如图,正方形ABCD的边长为4,M在DC上,且DM=1,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为().A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称,连接BM交AC于N′点,N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可.【解答】∵四边形ABCD是正方形,∴点B与D关于直线AC对称,连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,N′即为所求的点,则BM的长即为DN+MN的最小值,∴AC是线段BD的垂直平分线,又CM=CD-DM=4-1=3,在Rt△BCM中,BM==5,故DN+MN的最小值是5.故选C.【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质,先作出M关于直线AC的对称点M′,由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键.14.将矩形OABC如图放置,O为原点.若点A(﹣1,2),点B的纵坐标是,则点C的坐标是()A. (4,2)B. (2,4)C. (,3)D. (3,)【答案】 D【解析】【解答】解:过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,过点A作AN⊥BF于点N,过点C作CM⊥x轴于点M,∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°,∴∠EAO=∠COM,又∵∠AEO=∠CMO,∴∠AEO∽△COM,∴=,∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°,∴∠BAN=∠EAO=∠COM,在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS),∴BN=CM,∵点A(−1,2),点B的纵坐标是,∴BN= ,∴CM= ,∴MO==2CM=3,∴点C的坐标是:(3, ).故选:D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形,正确得出CM的长是解题的关键.15.如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC,其中正确的结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解:∵四边形ADEF为正方形,∴∠FAD=90°,AD=AF=EF,∴∠CAD+∠FAG=90°,∵FG⊥CA,∴∠C=90°=∠ACB,∴∠CAD=∠AFG,在△FGA和△ACD中,,∴△FGA≌△ACD(AAS),∴AC=FG,①正确;∵BC=AC,∴FG=BC,∵∠ACB=90°,FG⊥CA,∴FG∥BC,∴四边形CBFG是矩形,∴∠CBF=90°,S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG,②正确;∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,∴∠ABC=∠ABF=45°,③正确;∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,∴△ACD∽△FEQ,∴AC:AD=FE:FQ,∴AD•FE=AD2=FQ•AC,④正确;故选:D.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,由AAS证明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正确;证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG,②正确;由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°,③正确;证出△ACD∽△FEQ,得出对应边成比例,得出D•FE=AD2=FQ•AC,④正确.16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点F是AB的中点,E为BC边上一点,且EF⊥ED,连结DF,M 为DF的中点,连结MA,ME.若AM⊥ME,则AE的长为()A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x,则CE=6-x,∵四边形ABCD矩形,AB=4,∴AB=CD=4,∠C=∠B=90°,∴∠DEC+∠CDE=90°,又∵F是AB的中点,∴BF=2,又∵EF⊥ED,∴∠FED=90°,∴∠FEB+∠DEC=90°,∴∠FEB=∠CDE,∴△BFE∽△CED,∴=,∴=,∴(x-2)(x-4)=0,∴x=2,或x=4,①当x=2时,∴EF=2,DE=4,DF=2,∴AM=ME=,∴AE===2,②当x=4时,∴EF=2,DE=2,DF=2,∴AM=ME=,∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意,舍去故答案为:B.【分析】设BE=x,则CE=6-x,由矩形性质得出AB=CD=4,∠C=∠B=90°,又由EF⊥ED,根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE;由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED,再根据相似三角形的性质得出=,由此列出方程从而求出x=2或x=4,分情况讨论:①当x=2时,由勾股定理算出AE===2,②当x=4时,由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意,舍去.17.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH,其中,正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,∵AG=CE,∴BG=BE,由勾股定理得:BE=GE,∴①错误;∵BG=BE,∠B=90°,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°,∴∠GAE+∠AEG=45°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF,∴②正确;∴∠AGE=∠ECF=135°,∴∠FCD=135°﹣90°=45°,∴③正确;∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,∴∠FEC<45°,∴△GBE和△ECH不相似,∴④错误;即正确的有2个.故选B.【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°,AB=BC,求出BG=BE,根据勾股定理得出BE=GE,即可判断①;求出∠GAE+∠AEG=45°,推出∠GAE=∠FEC,根据SAS推出△GAE≌△CEF,即可判断②;求出∠AGE=∠ECF=135°,即可判断③;求出∠FEC<45°,根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似,即可判断④.18.如图,P是正方形ABCD内一点,∠APB=135,BP=1,AP=,求PC的值()A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形,由勾股定理求解.如图,把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′,点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC,BP′=BP,△PBP′是等腰直角三角形,利用勾股定理求出,然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°,再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题(共15题;共16分)19.如图所示,△ABC为边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,以AD为边的正方形ADEF的面积为________。

中考数学平行四边形综合经典题含答案解析

中考数学平行四边形综合经典题含答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)存在,理由见解析;(3)不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,∴AB=AM=MD=DC=a,又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°,∴∠BMC=90°.(2)存在,理由:若∠BMC=90°,则∠AMB+∠DMC=90°,又∵∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠DMC,又∵∠A=∠D=90°,∴△ABM∽△DMC,∴AM ABCD DM=,设AM=x,则x aa b x =-,整理得:x2﹣bx+a2=0,∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2>0,∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,(3)不成立.理由:若∠BMC=90°,由(2)可知x2﹣bx+a2=0,∵b<2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2<0,∴方程没有实数根,∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质2.如果两个三角形的两条边对应相等,夹角互补,那么这两个三角形叫做互补三角形,如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形.(1)用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形;(2)证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形;(3)如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.①已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中(网格中每个小正方形的边长为1)画出边长为、、的三角形,并计算图3中六边形DEFGHI的面积.②若△ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析(3)①62;②6【解析】试题分析:(1)作BC边上的中线AD即可.(2)根据互补三角形的定义证明即可.(3)①画出图形后,利用割补法求面积即可.②平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明S△EFM=3S△ABC即可.试题解析:(1)如图1中,作BC边上的中线AD,△ABD和△ADC是互补三角形.(2)如图2中,延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.∵四边形ABDE,四边形ACGF是正方形,∴AB=AE,AF=AC,∠BAE=∠CAF=90°,∴∠EAF+∠BAC=180°,∴△AEF和△ABC是两个互补三角形.∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°,∴∠EAH=∠BAC,∵AF=AC,∴AH=AB,在△AEH和△ABC中,∴△AEH≌△ABC,∴S△AEF=S△AEH=S△ABC.(3)①边长为、、的三角形如图4所示.∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5,∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62.②如图3中,平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,设∠ABC=x,∵AM∥CH,CH⊥BC,∴AM⊥BC,∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x,∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x,∴∠EAM=∠DBI,∵AE=BD,∴△AEM≌△DBI,∵在△DBI和△ABC中,DB=AB,BI=BC,∠DBI+∠ABC=180°,∴△DBI和△ABC是互补三角形,∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2,∴S△EFM=3S△ABC=6.考点:1、作图﹣应用与设计,2、三角形面积3.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3).(1)当点N落在边BC上时,求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值.(3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值.【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4)t=1或【解析】试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ;(3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.(4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值.试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形,∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合.∴DQ=3∴2t=3.∴t=;(2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,∴PD=DQ,当0<t<时,此时,PD=t,DQ=2t∴t=2t∴t=0(不合题意,舍去),当≤t<3时,此时,PD=t,DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t,解得t=2;综上所述,当点N到点A、B的距离相等时,t=2;(3)由题意知:此时,PD=t,DQ=2t当点M在BC边上时,∴MN=BQ∵PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①,当0≤t≤时,S△PNQ=PQ2=t2;∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2,如图②,当≤t≤时,设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,∵MN=PQ=3t,NE=BQ=3﹣2t,∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3,∵△EMF是等边三角形,∴S△EMF=ME2=(5t﹣3)2.;(4)MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,此时<t<,t=1或.考点:几何变换综合题4.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.【答案】(1)见解析;(2)18°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,求出∠ABC=90°,根据矩形的判定得出即可;(2)求出∠FDC的度数,根据三角形内角和定理求出∠DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出∠CDO,即可求出答案.【详解】(1)证明:∵AO=CO,BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°﹣36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,注意:矩形的对角线相等,有一个角是直角的平行四边形是矩形.5.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上,OD在y轴上,点C在第一象限,且,.现将纸片折叠,折痕为EF(点E,F是折痕与矩形的边的交点),点P ==OB OD86为点D的对应点,再将纸片还原。

中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《特殊平行四边形综合题》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1.如图 在平行四边形ABCD 中 AB AD ≠ ()0180A αα∠=︒<<︒ 点E F G H 分别是AB BC CD DA 的中点 连接EF FG GH HE 当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中 四边形EFGH 的形状的变化依次为( )A .平行四边形→菱形→平行四边形B .平行四边形→菱形→矩形→平行四边形C .平行四边形→矩形→平行四边形D .平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 2.如图 平行四边形ABCD 中 16AB = 12AD = 60A ∠=︒E 是边AD 上一点 且8AE =F 是边AB 上的一个动点 将线段EF 绕点E 逆时针旋转60︒ 得到EG 连接BG CG 则BG CG +的最小值是( ).A .4B .415C .421D 373.图1是一张菱形纸片ABCD 点,EF 是边,AB CD 上的点.将该菱形纸片沿EF 折叠得到图2 BC 的对应边B C ''恰好落在直线AD 上.已知60,6B AB ∠=︒= 则四边形AEFC '的周长为( )A .24B .21C .15D .124.如图 在矩形ABCD 中 8AB = 6BC = 点H 是AC 的中点 沿对角线AC 把矩形剪开得到两个三角形 固定ABC 不动 将ACD 沿AC 方向平移 (A '始终在线段AC 上)得到A C D '''△ 连接HD ' 设平移的距离为x 当HD '长度最小时 平移的距离x 的值为( )A .710B .185C .75D .2455.如图 Rt ABC △中 90C ∠=︒ 30A ∠=︒ 9AC = D 为AB 中点 以DB 为对角线长作边长为3的菱形DFBE 现将菱形DFBE 绕点D 顺时针旋转一周 旋转过程中当BF 所在直线经过点A 时 点A 到菱形对角线交点O 之间的距离为( )A B C D 6.中国结寓意团圆 美满 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴 小陶家有一个菱形中国结装饰.测得8cm,6cm BD AC ==.则该菱形的面积为( )A .224cmB .248cmC .210cmD .212cm7.如图 在矩形ABCD 中 点O M 分别是,AC AD 的中点 3,5OM OB == 则AD 的长为( )A .12B .10C .9D .88.如图 已知正方形ABCD 和正方形BEFG 且A B E 三点在一条直线上 连接CE 以CE 为边构造正方形CPQE PQ ,交AB 于点M 连接CM 设APM BCM αβ∠=∠=,.若点Q B F 三点共线 tan tan n αβ= 则n 的值为( )A .12 B .23 C .35 D .67二 填空题9.如图 矩形ABCD 中 BE BF 将ABC ∠三等分 连接EF .若90BEF ∠=︒ 则:AB BC 的比值为 .10.如图 四边形ABCD 是边长为6的正方形 点E 在直线BC 上 若2BE = 连接AE 过点A 作AF AE ⊥ 交直线CD 于点F 连接EF 点H 是EF 的中点 连接BH 则BH = .11.如图 在平行四边形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O 在不添加任何辅助线的情况下 请你添加一个条件 使平行四边形ABCD 是菱形.12.如图 在矩形ABCD 中 2AB = 对角线AC 与BD 交于点O 且120AOD ∠=︒ DE OC ∥ CE OD ∥ 则四边形OCED 的周长为 .13.如图 在菱形ABCD 中 2BD BC == 点E 是BC 的中点 点P 是对角线AC 上的动点 连接PB PE 则PB PE +的最小值是 .三 解答题14.如图 在菱形ABCD 中 连接AC 过B 作BE BA ⊥交AC 于点E 过D 作DF DC ⊥交AC 于点F .(1)求证:ADF CBE △≌△(2)若12AD = 60DAB ∠=︒ 求EF 的长.15.已知:在梯形ABCD 中 AD BC ∥ 90ABC ∠=︒ 6AB = :1:3BC AD = O 是AC 的中点 过点O 作OE OB ⊥ 交BC 的延长线于点E .(1)当BC EC =时 求证:AB OE =(2)设BC a = 用含a 的代数式表示线段BE 的长 并写出a 的取值范围(3)连结OD DE 当DOE 是以DE 为直角边的直角三角形时 求BC 的长.16.如图 平行四边形ABCD 中 点E 是对角线AC 上一点 连接BE DE , 且BE DE =.(1)求证:四边形ABCD 是菱形(2)若5AB = tan 2BAC ∠= 求四边形ABCD 的面积.17.已知:矩形ABCD 中 动点M 在BC 边上(不与点B C 、重合) MN AM ⊥交CD 于点N 连接DM .(1)如图1 若DM 平分ADC ∠ 求证:BM CN =(2)如图2 若2,3AB BC == 动点M 在移动过程中 设BM 的长为,x CN 的长为y ①则y 与x 之间的函数关系式为______①线段CN 的最大值为______.18.如图1 正方形ABCD 和正方形QMNP M 是正方形ABCD 的对称中心 MN 交AB 于F QM 交AD 于E .(1)猜想:ME 与MF 的数量关系为______(2)如图2 若将原题中的“正方形”改为“菱形” 且NMQ ABC 其它条件不变 探索线段ME 与线段MF 的数量关系 并说明理由(3)如图3 若将原题中的“正方形”改为“矩形” 且:1:2AB BC = 其它条件不变 直接写出:线段ME 与线段MF 的数量关系为______.参考答案:1.A2.C3.C4.C5.D6.A7.D8.B93:10.24211.AC BD ⊥12.8133①点E 是BC 的中点14.(1)解:①菱形ABCD①ADC CBA ∠=∠ AD BC = DAC BCA ∠=∠①BE BA ⊥ DF DC ⊥①90CDF ABE ∠=∠=︒①ADC CDF CBA ABE ∠-∠=∠-∠ 即:ADF CBE ∠=∠①()ASA ADF CBE ≌(2)解:①60DAB ∠=︒ 12AD = ①11603022BAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ 12AB CD AD === 33123AC AB ===①cos30ABAE===︒同理FC=BE CE==AC AE CE∴=+=①EF AE FC AC=+-==故答案为:15.(1)证明:90ABC∠=︒O是AC的中点OB OC∴=OBC OCB∴∠=∠OE BC⊥90BOEBC EC=CO BC∴=BC BO∴=90ABC BOE∠=∠=︒()ASAABC EOB∴≌AB EO∴=(2)解:OBC OCB∠=∠ABC BOE∠=∠ABC EOB∴∽∴BC ACOB BE=BC a=6AB=AC∴∴1a=236(06)2aBE aa+∴=<<(3)解:设BC a=则3AD a=①当90OED∠=︒时延长BO交AD于点G90BOE =︒∠BOE OED ∴∠=∠∴BG ED ∥//BE AD∴四边形BGDE 是平行四边形 BE DG ∴=BC AD ∥ ∴BCCOAG AO =BC AG a ∴== ∴23632a a a a +=-23a ∴= ①当90ODE ∠=︒时 分别过点O E 作OM AD ⊥ EN AD ⊥ 垂足分别为MNOMD DNE ∴∠=∠ MOD EDN ∠=∠OMD DNE ∴∽ ∴OMMDDN EN = 1122AM CB a ==52MD a ∴=2236365322a a DN AN AD a a a +-=-=-=∴253236562aa a=-a ∴=.综上所述BC 的长为 16.(1)证明:如图 连接BD 交AC 于O①平行四边形ABCD①BO DO =①BO DO = OE OE = BE DE = ①()SSS BOE DOE ≌①BEO DEO ∠=∠①AE AE = BEA DEA ∠=∠ BE DE = ①()SAS BEA DEA ≌①AB AD =①四边形ABCD 是菱形(2)解:①tan 2BAC ∠= ①2BO AO= 即2BO AO = ①四边形ABCD 是菱形①AC BD ⊥ 22AC AO BD BO ==,由勾股定理得 AB =解得 2AO =①48AC BD ==, ①1162ABCD S AC BD =⨯=四边形 ①四边形ABCD 的面积为16. 17.(1)解:在矩形ABCD 中 ,90AB CD B C ADC =∠=∠=∠=︒ DM 平分ADC ∠1452CDM ADC ∴∠=∠=︒ 45CDM CMD ∴∠=∠=︒CM CD AB ∴==90,BAM AMB MN AM ∠+∠=︒⊥90AMB CMN ∴∠+∠=︒BAM CMN ∴∠=∠()ABM MCN ASA ∴≌BM CN ∴=(2)解:①设BM 的长为,x CN 的长为y 则3MC x =- 由(1)得 ,,90BAM CMN AB CD B C ∠=∠=∠=∠=︒ ABM MCN ∴∽AB BM MC CN∴= 23x x y∴=- 213(03)22y x x x ∴=-+<< 故答案为:213(03)22y x x x =-+<< ①当32x =时 y 有最大值 最大值为98. 即线段CN 的最大值为98. 故答案为:98. 18.(1)解:①正方形ABCD 和正方形QMNP①90AMD EMF ∠=∠=︒ ,45DM AM ADM FAM =∠=∠=︒ DME AMF ∴∠=∠()ASA MDE MAF ∴≌ME MF ∴=.故答案为:相等.(2)解:过点M 作MH AD ⊥于H MG AB ⊥于G .①M 是菱形ABCD 的对称中心 ①M 是菱形ABCD 对角线的交点 ①AM 平分BAD ∠①MH MG =.①QMN B ∠=∠①180EMF BAD ∠+∠=︒. 又90MHA MGF ∠=∠=︒ ①180HMG BAD ∠+∠=︒ ①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠. ①MHE MGF ∠=∠①()ASA MHE MGF ≌ ①ME MF =.(3)解:过点M 作MH AD ⊥于HMG AB ⊥于G .①QMN ABC ∠=∠①90BAD EMF ∠=∠=︒. 又①90MHA MGA ∠=∠=︒ ①90HMG ∠=︒.①EMF HMG ∠=∠①EMH FMG ∠=∠.①MHE MGF ∠=∠①MHE MGF △△∽①ME MH MF MG=.又①M是矩形ABCD的对称中心①M是矩形ABCD对角线的交点.又①MG AB⊥①MG BC∥且12MG BC=.同理可得12 MH AB=①2ME MF=.。

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案

∠ B,∠ D 都不是直角,则当∠ B 与∠ D 满足等量关系
时,仍有 EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图 3,在△ ABC 中,∠ BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠ DAE=45°,猜想 BD、DE、EC
满足的等量关系,并写出推理过程。
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出 △ AFG≌ △ AFE,根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案; (2)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出△ AFE≌ △ AFG, 根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案;
BCFD=3× 3
3=9
3
,S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ,S = 平行四边形 ADBC 27 3 .
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考
题型.
2.如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连接 AE,点 F 是 AE 的 中点,连接 BF、DF,求证:BF⊥DF.
∠ BAD=60°,∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°,∵ E 为 AB 的中点,∴ AE=BE,又∵ ∠ AEF=∠ BEC,
∴ △ AEF≌ △ BEC,在△ ABC 中,∠ ACB=90°,E 为 AB 的中点,∴ CE= 1 AB,BE= 1 AB,

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列判断错误的是()A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理,对选项逐一分析即可做出判断.【详解】解:A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,符合平行四边形的判定,故本选项正确,不符合题意;B、∵四边形的内角和为360°,四边形的四个内角都相等,∴四边形的每个内角都等于90°,则这个四边形有三个角是90°,∴这个四边形是矩形,故四个内角都相等的四边形是矩形,本选项正确,不符合题意;C、四条边都相等的四边形是菱形,符合菱形的判定,故本选项正确,不符合题意;D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形,不一定是正方形,故本选项错误,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理,解题的关键是正确理解并掌握判定定理.2.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC的中点.若OE ,则AB的长为()6cm【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质,可得出点O 平分AC ,则OE 是三角形ABC 的中位线,则AB =2OE ,继而求出答案.【详解】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AO =CO ,∵点E 是CB 的中点,∴OE 为△ABC 的中位线,∴AB =2OE ,∵OE =6cm ,∴AB =12cm .故选:D .【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理,关键是根据平行四边形的性质得出OE 为△ABC 的中位线.3.如图,点P 是矩形ABCD 的对角线上一点,过点P 作EF //BC ,分别交,AB CD 于,E F ,连接,PB PD ,若1,3AE PF ==,则图中阴影部分的面积为( )A .3B .6C .9D .12 【答案】A【解析】【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =,然后求解即可.【详解】∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形,∵ADC ABC S S =△△,AMP AEP S S =,PBE PBN S S =,PFD PDM S S =,PFC PCN S S =, ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ,∵PM =AE =1,PF =NC =3, ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△, ∴S 阴=33+=322, 故选:A .【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识,证得DFP PBE S S =是解答本题的关键. 4.在四边形ABCD 中,O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A .AC =BD ,AB ∥CD ,AB =CDB .AD ∥BC ,∠A =∠C C .AO =BO =CO =DO ,AC ⊥BDD .AO =CO ,BO =DO ,AB =BC【答案】C【解析】【详解】试题分析:根据正方形的判定:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案.解:A ,不能,只能判定为矩形;B ,不能,只能判定为平行四边形;C ,能;D ,不能,只能判定为菱形.故选C .5.如图,ABC ∆中,DE BC ∥,EF AB ∥,要判定四边形DBFE 是菱形,还需要添加的条件是( )A .BE 平分ABC ∠B .AD BD =C .BE AC ⊥D .AB AC =【答案】A【解析】【分析】 当BE 平分∠ABC 时,四边形DBFE 是菱形,可知先证明四边形BDEF 是平行四边形,再证明BD=DE 即可解决问题.【详解】解:当BE 平分ABC ∠时,四边形DBFE 是菱形,理由:∵DE BC ∥,∴DEB EBC ∠=∠,∵EBC EBD ∠=∠,∴EBD DEB ∠=∠,∴BD DE =,∵DE BC ∥,EF AB ∥,∴四边形DBFE 是平行四边形,∵BD DE =,∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形,故选A.【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 6.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线长的平方和为( )A .16B .8C .4D .1【答案】A根据菱形的对角线互相垂直平分,即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形,根据勾股定理,即可求解.【详解】解:设两对角线长分别是:a ,b . 则(12a )2+(12b )2=22,故有a 2+b 2=16.故选:A .【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理,菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形,因为菱形的这个性质,使得菱形的题目一般都会和勾股定理结合起来,同学们要注意掌握.7.如图,把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF ,若BC =1,则AB 的长度为( )A 2B 21+C 51+D .43【答案】A【解析】 【分析】 先判断出∠ADE =45°,进而判断出AE =AD ,利用勾股定理即可得出结论.【详解】解:由折叠补全图形如图所示,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADA '=∠B =∠C =∠A =90°,AD =BC =1,CD =AB ,由第一次折叠得:∠DAE =∠A =90°,∠ADE =12∠ADC =45°,∴∠AED =∠ADE =45°,∴AE =AD =1,在Rt △ADE 中,根据勾股定理得,DE 2AD 2,由第二次折叠可知,DC DE =【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理,搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键.8.如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,过点O 作OG AC ⊥,交AB 于点G ,连接CG ,若15BOG ∠=,则BCG ∠的度数是( )A .15B .15.5C .20D .37.5【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质求出OCB ∠的度数,从而得到GAC ∠的度数,再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠,最后求出BCG ∠的度数.【详解】解:∵OG AC ⊥,∴90COG ∠=︒,∵15BOG ∠=︒,∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒,∵四边形ABCD 是矩形,∴AC BD =,12OC OA AC ==,12OB OD BD ==,//AB DC ,90BCD ∠=︒, ∴OC OB =, ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒, ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒,∵//AB CD ,∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒,∴GO 是AC 的垂直平分线,∴AG CG =,∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒,∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.故选:A .【点睛】本题考查矩形的性质,垂直平分线的性质,解题的关键是熟练掌握这些性质定理,并结合题目条件进行证明.二、填空题9.正方形是有一组邻边_______,并且有一个角是_______的平行四边形,因此它既是______又是________.【答案】 相等 直角 矩形 菱形【解析】【分析】根据正方形的定义和性质填空即可.【详解】 正方形是有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形,因此它既是矩形又是菱形.故答案为:相等,直角,矩形,菱形【点睛】本题考查了正方形的定义,解题关键是明确正方形的定义:正方形是有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形,因此它既是矩形又是菱形.10.如图,在矩形ABCD 中,5AB =,4BC =,将矩形ABCD 翻折,使得点B 落在CD 边上的点E 处,折痕AF 交BC 于点F ,则FC =______【答案】32【分析】在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,可得DE=3,CE=CD-DE=2,设FC=x,则EF=BC-FC=4-x,在Rt△ECF中,EF2=EC2+FC2,可得(4-x)2=22+x2,解方程即可.【详解】解∵△ABF≌△AEF,∴AE=AB=5,在矩形ABCD中,AD=BC=4,在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,∴DE=3,CE=CD-DE=2,设FC=x,则EF=BC-FC=4-x,在Rt△ECF中,EF2=EC2+FC2,即(4-x)2=22+x2,8x=12,x=32,∴FC=32.故此答案为32.【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.11.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于_______.【答案】8【解析】【分析】形ABED 是平行四边形,最后根据平行四边形的面积公式即可得.【详解】由平移的性质得2AD BE ==,4DF AC ==,90C DFE ∠=∠=︒∴四边形ACFD 是矩形//AD CF ∴//AD BE ∴∴四边形ABED 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 则四边形ABED 的面积为428DF BE ⋅=⨯=故答案为:8.【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识点,掌握平移的性质是解题关键.12.如图,ACE ∆是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形,点C 与点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是(7,33)-,则D 点的坐标是_____.【答案】(5,0)【解析】【分析】设CE 和x 轴交于H ,由对称性可知63CE =63AC CE ==根据勾股定理即可求出AH 的长,进而求出AO 和DH 的长,所以OD 可求,又因为D 在x 轴上,纵坐标为0,问题得解.【详解】解:点C 与点E 关于x 轴对称,E 点的坐标是(7,33)-, C ∴的坐标为(7,33),33CH ∴=3CE =63AC ∴=,9AH ∴=,7OH =,2AO DH ∴==,5OD ∴=,D ∴点的坐标是(5,0),故答案为:(5,0).【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用,解题的关键是综合应用以上知识点.13.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8AD =,P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点,过点P 分别作AC 和BD 的垂线,垂足为E ,F ,则PE PF +的值为______.【答案】245【解析】【分析】连接OP ,利用勾股定理列式求出BD ,再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ,然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可.【详解】解:如图,连接OP ,∵AB=6,AD=8,∴2222.6810BD AB AD ++=,∵四边形ABCD 是矩形,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴12×12×6×8=12×5•PE+12×5•PF,解得PE+PF=245.故答案为:245.【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.14.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为_____.【答案】(2,6)【解析】【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用.过点M作MF⊥CD于F,过C作CE⊥OA于E,在Rt△CMF中,根据勾股定理即可求得MF与EM,进而就可求得OE,CE的长,从而求得C的坐标.【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0),CD∥OA,CD=OB=16,过点M作MF⊥CD于F,则182CF CD,==过C作CE⊥OA于E,∵A(20,0),∴OA=20,OM=10,∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2,连接MC,110,2MC OA==∴在Rt△CMF中,2222108 6.MF MC CF=-=-=∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用,勾股定理,注意数形结合思想在解题的关键.三、解答题15.如图是某区部分街道示意图,其中AB AF⊥,E、D分别是FA和FG的中点,点C、D、E在一条直线上,点A、G、B在一条直线上,//BC FG.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车,路线1是B D A E⇒⇒⇒,且长度为5公里,路线2是B C F E⇒⇒⇒,求路线2的长度.【答案】5公里【解析】【分析】证明四边形BCDG是平行四边形,得到DG=CB,再证四边形BCFD是平行四边形,根据平行四边形的性质计算,得到答案.【详解】解:∵E、D分别是FA和FG的中点,∴AB∥DE,∵BC∥GF,∴四边形BCDG是平行四边形,∴DG=CB.∵FD=DG,∴CB=FD.又∵BC ∥DF ,∴四边形BCFD 是平行四边形,∴CF =BD ,∵AB ∥DE ,AB AF ⊥,FE =AE ,∴CE 垂直平分AF ,∴AE =FE ,FD =DA ,∴BC =DA ,∴路线2的长度:BC +CF +FE =AD +BD +AE =5(公里).【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质,掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键.16.已知:如图,ABCD 中,5AB =,3BC =.(1)作DAB ∠的角平分线,交CD 于点E (用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹);(2)求CE 的长.【答案】(1)见解析;(2)CE 的长为2【解析】【分析】(1)根据尺规作图作DAB ∠的平分线即可;(2)根据平行四边形的性质和角平分线的定义,求出DE =DA =BC =3,再求出CE 即可.【详解】解:如图,(1)AE 即为∠DAB 的角平分线;(2)∵AE 为∠DAB 的角平分线,∴∠DAE =∠BAE ,在▱ABCD中,CD∥AB,∴∠BAE=∠DEA,∴∠DAE=∠DEA,∴DE=DA=BC=3,∵DC=AB=5,∴CE=CD﹣DE=2.答:CE的长为2.【点睛】当平行线遇上角平分线时,通过角的转化,可以得到等腰三角形,这是初中几何一个很重要的数学模型,要深刻领会.17.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF,(1)求证:AF=DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)根据AAS证△AFE≌△DBE,推出AF=BD,即可得出答案.(2)得出四边形ADCF是平行四边形,根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD,根据菱形的判定推出即可.【详解】解:(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD.在△AFE和△DBE中,∵∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE,∴△AFE≌△DBE(AAS)∴AF =BD .∴AF =DC .(2)四边形ADCF 是菱形,证明如下:∵AF ∥BC ,AF =DC ,∴四边形ADCF 是平行四边形.∵AC ⊥AB ,AD 是斜边BC 的中线,∴AD =DC .∴平行四边形ADCF 是菱形.18.如图,四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD 长10cm .求:(1)对角线AC 的长度;(2)菱形ABCD 的面积.【答案】(1)24cm AC =;(2)2120cm【解析】【分析】(1)根据菱形的对角线互相垂直平分,可利用勾股定理求出AE 的长,从而求出AC 的长;(2)根据菱形的面积公式:两条对角线乘积的一半即可求得面积.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,AC 与BD 相交于点E ,∴90AED ∠=︒(菱形的对角线互相垂直),11105(cm)22DE BD ==⨯=(菱形的对角线互相平分). ∴222213512(cm)AE AD DE =--=.∴221224(cm)AC AE ==⨯=(菱形的对角线互相平分);(2)ABD BDC ABCD S S S =+菱形1122BD AE BD CE =⋅+⋅ 1()2BD AE CE =⋅+ 12BD AC =⋅ 110242=⨯⨯ 2120(cm )=.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理,熟知菱形的性质是解本题的关键.19.如图,E 是▱ABCD 的边CD 的中点,延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证:△ADE ≌△FCE .(2)若∠BAF =90°,BC =5,EF =3,求CD 的长.【答案】(1)证明过程见解析;(2)8【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD ∥BC ,AB ∥CD ,证出∠DAE =∠F ,∠D =∠ECF ,由AAS 证明△ADE ≌△FCE 即可;(2)由全等三角形的性质得出AE =EF =3,由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°,由勾股定理求出DE ,即可得出CD 的长.【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴∠DAE =∠F ,∠D =∠ECF ,∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点, ∴DE =CE ,在△ADE 和△FCE 中,DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△FCE (AAS );(2)∵ADE≌△FCE,∴AE=EF=3,∵AB∥CD,∴∠AED=∠BAF=90°,在▱ABCD中,AD=BC=5,∴DE=2222-=-=4,AD AE53∴CD=2DE=8【点睛】考点:(1)平行四边形的性质;(2)全等三角形的判定与性质20.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为() A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图2【答案】(1)C;(2)①证明见解析;1010【解析】【详解】试题分析:(1)如图1,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE′的位置,拼成四边形AEE′D,则四边形AE E′D的形状为矩形,故选C;(2)①证明:∵纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E,∴AE=3.如图2:∵△AEF ,将它平移至△DE′F′,∴AF ∥DF′,AF=DF′,∴四边形AFF′D 是平行四边形.在Rt △AEF 中,由勾股定理,得AF=2222=34++AE EF =5,∴AF=AD=5,∴四边形AFF′D 是菱形;②连接AF′,DF ,如图3:在Rt △DE′F 中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1,DE′=3,∴DF=2222=13=10''++E D E F ,在Rt △AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9,AE=3,∴AF′=2222=39'++AE F E =310. 考点:①图形的剪拼;②平行四边形的性质;③菱形的判定与性质;④矩形的判定;⑤平移的性质.21.如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别为边AD 和CD 上的点,且AE=CF ,连接AF 、CE 交于点G .求证:AG=CG .【答案】证明见解析.【解析】【分析】先用SAS 证明△ADF ≌△CDE ,得∠DAF=∠DCE ,再用AAS 证明△AGE ≌△CGF 即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD .∵AE=CF ,∴DE=DF ,在△ADF 和△CDE 中,AD AD ADF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADF ≌△CDE (SAS ),∴∠DAF=∠DCE ,在△AGE 和△CGF 中,GAE GCF AGE CGF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AGE ≌△CGF (AAS ),∴AG=CG .22.如图,△ABC 中,AB =AC =1,∠BAC =45°,△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的,连接BE ,CF 相交于点D,(1)求证:BE =CF ;(2)当四边形ACDE 为菱形时,求BD 的长.【答案】(1)证明见解析(22【解析】【分析】(1)先由旋转的性质得AE=AB ,AF=AC ,∠EAF=∠BAC ,则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ,即∠EAB=∠FAC ,利用AB=AC 可得AE=AF ,得出△ACF ≌△ABE ,从而得出BE=CF ;(2)由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC ∥DE ,根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ,根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°,所以∠AEB=∠ABE=45°,于是可判断△ABE 为等腰直角三角形,所以22BD=BE ﹣DE 求解.【详解】(1)∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的,∴AE=AB ,AF=AC ,∠EAF=∠BAC ,∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ,即∠EAB=∠FAC ,在△ACF 和△ABE 中,AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE∴BE=CF.(2)∵四边形ACDE 为菱形,AB=AC=1,∴DE=AE=AC=AB=1,AC ∥DE ,∴∠AEB=∠ABE ,∠ABE=∠BAC=45°,∴∠AEB=∠ABE=45°,∴△ABE 为等腰直角三角形,∴BE=2AC=2,∴BD=BE ﹣DE=21-.考点:1.旋转的性质;2.勾股定理;3.菱形的性质. 23.如图,AD 是ABC 的中线,//AE BC ,且12AE BC =,连接DE ,CE .(1)求证:AB DE =;(2)当ABC 满足条件__________时,四边形ADCE 是矩形.【答案】(1)见解析;(2)AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可; (2)根据矩形的判定解答即可.【详解】(1)∵AD 是ABC 的中线,∴12BD BC =, ∵12AE BC =, ∴AE BD =,∵//AE BC ,∴四边形ABDE 是平行四边形,∴AB DE =(2)当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时,四边形ADCE 是矩形, 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ,∵AE ∥BC ,∴四边形ADCE 是平行四边形,∵AB =DE ,∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时,AC =DE ,∴四边形ADCE 是矩形.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.24.在边长为5的正方形ABCD 中,点E 在边CD 所在直线上,连接BE ,以BE 为边,在BE 的下方作正方形BEFG ,并连接AG .(1)如图1,当点E 与点D 重合时,AG = ;(2)如图2,当点E 在线段CD 上时,DE =2,求AG 的长;(3)若AG =5172,请直接写出此时DE 的长.【答案】(1)5(2109(3)52或152. 【解析】【分析】 (1)如图1,连接CG ,证明△CBD ≌△CBG (SAS ),可得G ,C ,D 三点共线,利用勾股定理可得AG 的长;(2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,证明△BCE ≌△BKG ,可得AK 和KG 的长,利用勾股定理计算AG 的长;(3)分三种情况:①当点E在边CD的延长线上时,如图3,同(2)知△BCE≌△BKG (AAS),BC=BK=5,根据勾股定理可得KG的长,即可CE的长,此种情况不成立;②当点E在边CD上;③当点E在DC的延长线上时,同理可得结论.【详解】(1)如图1,连接CG,∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形,∴∠CDB=∠CBD=45°,∠DBG=90°,BD=BG,∴∠CBG=45°,∴∠CBG=∠CBD,∵BC=BC,∴△CBD≌△CBG(SAS),∴∠DCB=∠BCG=90°,DC=CG=5,∴G,C,D三点共线,∴AG=22+=22AD DG+=55,510故答案为:55;(2)如图2,过点G作GK⊥AB,交AB的延长线于K,∵DE=2,DC=5,∴CE=3,∵∠EBG=∠EBC+∠CBG=90°,∠CBG+∠GBK=90°,∵BE=BG,∠K=∠BCE=90°,∴△BCE≌△BKG(AAS),∴CE=KG=3,BC=BK=5,∴AK=10,由勾股定理得:AG=22103+=109;(3)分三种情况:①当点E在CD的延长线上时,如图3,由(2)知△BCE≌△BKG(AAS),∴BC=BK=5,∵AG=5172,由勾股定理得:KG=22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52,∴CE=KG=52,此种情况不成立;②当点E在边CD上时,如图4,由(2)知△BCE≌△BKG(AAS),∵AG=5172,由勾股定理得:KG=22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52,∴CE=KG=52,∴DE=CD-CE=52;③当点E在DC的延长线上时,如图5,同理得CE=KG=52,∴DE=5+52=152;综上,DE的长是52或152.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.。

九年级中考数学平行四边形专题复习(含答案)

九年级中考数学平行四边形专题复习(含答案)

九年级中考数学平行四边形专题复习一、选择题:1.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( ) A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④2.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )A.△EBD是等腰三角形,EB=ED B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.△EBA和△EDC一定是全等三角形3.有下列说法:①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形;②多边形的边数是不小于4的自然数;③从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点,可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形;④半圆是扇形.其中正确的结论有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠D的度数为( )95°D D.85°105°C C.95°A.115°115°B B.105°5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )A.1.8B.2.4C.3.2D.3.66.现有纸片:4张边长为a的正方形,3张边长为b的正方形,8张宽为a、长为b的长方形,用这15张纸片重新拼出一个长方形,那么该长方形的长为( )A.2a+3b B.2a+b C.a+3b D.无法确定7.如图,菱形ABCD的对角线AC=3cm,把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,则图中阴影部分图形的面积与四边形 ENCM 的面积之比为( )A.9:4 B.12:5 C.3:1 D.5:28.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为( )A. B.2 C. +1 D.2+19.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.410.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.12cm2二、填空题:11.如图,矩形ABCD中,点E在线段AD延长线上,AD=DE,连接BE与DC相交于点F,连接AF,请从图中找出一个等腰三角形______.12.如图,在▱ABCD中,点E在BC边上,且AE⊥BC于点E,ED平分∠CDA,若BE:EC=1:2,则∠BCD度数为 .13.如图,为一块面积为1.5m2的直角三角形模板,其中∠B=90°,AB=1.5m,现要把它加工成正方形DEFG 木板(EF在AC上,点D和点G分别在AB和BC上),则该正方形木板的边长为______m.14.如图,正方形ABCD的长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH,则四边形EFGH面积的最小值是 cm2.15.在中,,其面积为,则的最大值是.16.已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+0.5m-0.25=0的两个实数根.当m= 时,四边形ABCD是菱形.三、解答题:17.如图,在平行四边形ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12cm,CE=5cm.求平行四边形ABCD的周长.18.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证:GF=GC.19.如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上, 顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;(2)求这个正方形的边长与面积.20.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.21.下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得,该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长为 ;(2)在图中画出两条裁剪线,并画出将此六边形剪拼成的正方形.22.如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作射线DE并绕点D逆时针旋转45°,交直线BC边于点F,连结EF.探究:当点E在边AB上,求证:EF=AE+CF.应用:(1)当点E在边AB上,且AD=2时,则△BEF的周长是 .(2)当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是 .参考答案1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.C10.A11.答案为:△AFE(答案不唯一).12.答案为:120°.13.答案为:.14.答案为:32.15.答案为:16.答案为:1.17.解:在平行四边形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠ABE=∠EBC,∠BCE=∠ECD.,∴∠EBC+∠BCE=90°,∴∠BEC=90°, ∴BC22=BE22+CE22=1222+522=1322∴BC=13cm,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE,同理CD=ED,∵AB=CD,∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm,∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(6.5+13)=39cm18.提示:取BE的中点P,证明四边形EFPC是平行四边形.19.(1)证明:∵四边形EFGH是正方形,∴EH∥BC,∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEH∽△ABC.(2)解:如图设AD与EH交于点M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,∴四边形EFDM是矩形,∴EF=DM,设正方形EFGH的边长为x,∵△AEH∽△ABC,∴=,∴=,∴x=,∴正方形EFGH的边长为cm,面积为cm2.20.21.答案为:(1);(2)如图:22.探究:证明:如图,延长BA到G,使AG=CF,连接DG,∵四边形ABCD 是正方形,∴DA=DC ,∠DAG=∠DCF=90°, ∴△DAG ≌△DCF (SAS ),∴∠1=∠3,DG=DF ,∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°2=45°==∠EDF , ∵DE=DE ,∴△GDE ≌△FDE (SAS ),∴EF=EG=AE+AG=AE+CF ; 应用:解:(1)△BEF 的周长=BE+BF+EF ,由探究得:EF=AE+CF , ∴△BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4,故答案为:4; (2)当点E 不在边AB 上时,分两种情况:①点E 在BA 的延长线上时,如图2,EF=CF ﹣AE ,理由是:在CB 上取CG=AE ,连接DG , ∵∠DAE=∠DCG=90°,AD=DC ,∴△DAE ≌△DCG (SAS )∴DE=DG ,∠EDA=∠GDC ∵∠ADC=90°,∴∠EDG=90°∴∠EDF+∠FDG=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDG=90°﹣45°45°=45°=45°,∴∠EDF=∠FDG=45°, 在△EDF 和△GDF 中,∵,∴△EDF ≌△GDF (SAS ),∴EF=FG ,∴EF=CF ﹣CG=CF ﹣AE ;②当点E 在AB 的延长线上时,如图3,EF=AE ﹣CF ,理由是:把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ,可使AD 与DC 重合,连接DG , 由旋转得:DE=DG ,∠EDG=90°,AE=CG ,∵∠EDF=45°,∴∠GDF=90°﹣45°45°=45°=45°,∴∠EDF=∠GDF , ∵DF=DF ,∴△EDF ≌△GDF ,∴EF=GF ,∴EF=CG ﹣CF=AE ﹣CF ;综上所述,当点E 不在边AB 上时,EF ,AE ,CF 三者的数量关系是:EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ;故答案为:EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF .。

初中数学中考中的平行四边形(含答案)

初中数学中考中的平行四边形(含答案)

F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.

19.( 2018?赤峰)如图, P 是?ABCD的边 AD上一点, E、F 分别是 PB、PC的中点,若 ?ABCD的面积
为 16cm2,则△ PEF的面积(阴影部分)是
cm2.
三、解答题
1. (2018 潍坊 ) 如图 1, 在□ABCD中, DH⊥AB于点 H,CD的垂直平分线交 CD于点 E, 交 AB于点
的周长为(
)A.20 B.16 C.12 D. 8
5 题图
6
题图
7 题图
8 题图
6.( 2018?眉山)如图,在 ?ABCD中, CD=2A,D BE⊥AD于点 E, F 为 DC的中点,连结 EF、BF,
下列结论:①∠ ABC=2∠ABF;② EF=BF;③ S 四边形 DEBC=2S△EFB;④∠ CFE=3∠ DEF,其中正确结论的个 数共有( ) A. 1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个
不能判定四边形 BCED为平行四边形的是(

A.∠ ABD=∠ DCE B. DF= CF
C.∠ AEB=∠ BCD D.∠ AEC=∠ CBD
12. ( 2019 湖北随州) 如图, 在平行四边形 ABCD中,E 为 BC的中点, BD,AE 交于点 O,若随机向平行四边形 ABCD
2
内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为(
1 题图
3
题图
4 题图
1
2.(2018?宜宾)在 ?ABCD中,若∠ BAD与∠ CDA的角平分线交于点 E,则△ AED的形状是( )
A.锐角三角形 B .直角三角形 C.钝角三角形 D .不能确定
3.( 2018?黔南州)如图在 ?ABCD中,已知 AC=4cm,若△ ACD的周长为 13cm,则 ?ABCD的周长为

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案

中考数学总复习《四边形的综合题》练习题附带答案一、单选题1.如图,两个平行四边形的面积分别为18、12,两阴影部分的面积分别为a、b (a>b),则(a−b)等于()A.3B.4C.5D.6 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠ABD=60°,则∠BOC的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°3.若一个多边形的内角和是外角和的2.5倍,则该多边形为()A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形4.如图,矩形ABCD对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则矩形的对角线AC 为()A.4 B.8 C.4√3D.10 5.一个长方形的周长为28厘米,长的2倍比宽的3倍多3厘米,则这个长方形的面积是()A.45平方厘米B.35平方厘米C.25平方厘米D.20平方厘米6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分BO,AE=√3cm,则OD=()A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm 7.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=8 ,将纸片沿EF折叠使点B与点D 重合,折痕EF与BD相交于点O,则DF的长为()A.3B.4C.5D.6 8.如图,⊙O的半径为4,点P是⊙O外的一点PO=10,点A是⊙O上的一个动点,连接PA,直线l垂直平分PA,当直线l与⊙O相切时PA的长度为()A.10B.212C.11D.434 9.已知平行四边形一边长为8,一条对角线长为6,则另一条对角线α满足()A.10<α<22B.4<α<20C.4<α<28D.2<α<1410.如图,两张等宽的纸条交又重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线段AB的长为()A.a2B.5cm C.2√7cm D.6cm 11.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,BE=CF,连接CE、DF,将∠BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到∠CDF的位置,则旋转角是( )A .45°B .60°C .90°D .120°12.Rt∠ABC 两直角边的长分别为6cm 和8cm ,则连接这两条直角边中点的线段长为( ) A .10cmB .3cmC .4cmD .5cm二、填空题13.如图,点E 在边长为2的正方形ABCD 内,满足∠AEB =90°,若∠DAE =30°,则图中阴影部分的面积为 .14.把一把直尺和一块三角板如图放置,若∠1=42°,则∠2的度数为 °.15.已知 ▱ABCD 中一条对角线分 ∠A 为35°和45°,则 ∠B = 度. 16.如图,在一块长AB =26m ,宽BC =18m 的长方形草地上,修建三条宽均为3m 的长方形小路,则这块草地的绿地面积(图中空白部分)为 m 217.如图,在∠ABC 中,∠ABC =90°,E 为AC 的中点,AD∠BE 交BC 于D ,若AD=152,BE =5,则BD = .18.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E、F分别为DM、MN的中点,则EF长度的最大值是.三、综合题19.如果抛物线C1:y=ax2+bx+c与抛物线C2:y=−ax2+dx+e的开口方向相反,顶点相同,我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.(1)求抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线的表达式;(2)将抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移,使所得抛物线与原抛物线y=x2−4x+7形成两个交点M、N,记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B,当四边形AMBN是正方形时求正方形AMBN的面积.(3)某同学在探究“对顶”抛物线时发现:如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上,那么系数b与d,c与e之间的关系是确定的,请写出它们之间的关系.20.解答题(1)如图1,在平行四边形ABCD 中,已知点E 在AB 上,点F 在CD 上,且AE=CF .求证:DE=BF ;(2)如图2,AB 是∠O 的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 与∠O 相切于点D ,若∠C=20°,求∠CDA 的度数.21.如图,▱ABCD 放置在平面直角坐标系申,已知点A (-2,0)、B (-6,0)、D(0,3).点C 在反比例函数y=k x的图象上。

中考数学平行四边形综合经典题含答案

中考数学平行四边形综合经典题含答案

中考数学平行四边形综合经典题含答案一、平行四边形1.(1)、动手操作:如图①:将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么的度数为 .(2)、观察发现:小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图②);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(3)、实践与运用:将矩形纸片ABCD按如下步骤操作:将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC 边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F 重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ(如图④),求∠MNF的大小.【答案】(1)125°;(2)同意;(3)60°【解析】试题分析:(1)根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°,根据折叠重合的角相等,得∠BEF=∠DEF=55°,根据平行线的性质得到∠EFC=125°,再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°;(2)根据第一次折叠,得∠BAD=∠CAD;根据第二次折叠,得EF垂直平分AD,根据等角的余角相等,得∠AEG=∠AFG,则△AEF是等腰三角形;(3)由题意得出:∠NMF=∠AMN=∠MNF,MF=NF,由对称性可知,MF=PF,进而得出△MNF≌△MPF,得出3∠MNF=180°求出即可.试题解析:(1)、∵在直角三角形ABE中,∠ABE=20°,∴∠AEB=70°,∴∠BED=110°,根据折叠重合的角相等,得∠BEF=∠DEF=55°.∵AD∥BC,∴∠EFC=125°,再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°.;(2)、同意,如图,设AD与EF交于点G由折叠知,AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.由折叠知,∠AGE=∠DGE=90°,所以∠AGE=∠AGF=90°,所以∠AEF=∠AFE.所以AE=AF,即△AEF为等腰三角形.(3)、由题意得出:∠NMF=∠AMN=∠MNF,∴MF=NF,由折叠可知,MF=PF,∴NF=PF,而由题意得出:MP=MN,又∵MF=MF,∴△MNF≌△MPF,∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,即3∠MNF=180°,∴∠MNF=60°.考点:1.折叠的性质;2.等边三角形的性质;3.全等三角形的判定和性质;4.等腰三角形的判定2.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到到B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)求证:△AED≌△CEB′(2)若AB = 8,DE = 3,点P为线段AC上任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥BC于H.求PG + PH的值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由折叠的性质知,,,,则由得到;(2)由,可得,又由,即可求得的长,然后在中,利用勾股定理即可求得的长,再过点作于,由角平分线的性质,可得,易证得四边形是矩形,继而可求得答案.【详解】(1)四边形为矩形,,,又,;(2),,,,在中,,过点作于,,,,,,,、、共线,,四边形是矩形,,.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.3.操作:如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究:(1)如图1,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;②若点E 恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数.归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?试证明你的结论;猜想:(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?试在图中画出图形,并直接写出结论.【答案】(1)①45°;②BC的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不会发生变化,作图参见解析.【解析】试题分析:(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE度数,在三角形AFD中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2的度数,即为∠FAG 度数,即可求出∠F度数;(3)作出相应图形,如图2所示,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数不会发生变化,理由为:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可.试题解析:(1)①当点P在线段BC上时,∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②点E为DF 的中点时,P也为BC的中点,理由如下:如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,∵EG∥AD,DE=EF,∴EG=AD=1,∵AB=AE,∴点A在线段BE的垂直平分线上,同理可得点P在线段BE的垂直平分线上,∴AF垂直平分线段BE,∴OB=OE,∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE,∴△BOP≌△EOG,∴BP=EG=1,即P为BC的中点,∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF,∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°;(2)∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,在△ADE中,AD=AE,AG⊥DE,∵AG平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且∠1=∠BAP,∴∠1+∠2=×90°=45°,即∠FAG=45°,则∠AFD=90°﹣45°=45°;(3)如图2所示,∠AFE的大小不会发生变化,∠AFE=45°,作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,∴∠BAE=90°+2α,∴∠FAE=∠BAE=45°+α,∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,在Rt△AFG中,∠AFE=90°﹣45°=45°.考点:1.正方形的性质;2.折叠性质;3.全等三角形的判定与性质.4.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23.【解析】【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,∵△EFK是直角三角形,∴OF=12EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,∵|CF ﹣AE|=2,EF=23,AE=CK ,∴FK=2, 在Rt △EFK 中,tan ∠FEK=33,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°, ∴EK=2FK=4,OF=12EK=2, ∵△OPF 是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2, 在Rt △PHF 中,PH=12PF=1,HF=3,OH=2﹣3, ∴OP=()2212362+-=-.如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°,∴∠BOP=90°,∴OP=33OE=33, 综上所述:OP 6223. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.5.如图①,在等腰Rt ABC V 中,90BAC ∠=o ,点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合),在ABC △的外部作等腰Rt CED △,使90CED ∠=o ,连接AD ,分别以AB ,AD 为邻边作平行四边形ABFD ,连接AF .()1请直接写出线段AF ,AE 的数量关系;()2①将CED V 绕点C 逆时针旋转,当点E 在线段BC 上时,如图②,连接AE ,请判断线段AF ,AE 的数量关系,并证明你的结论;②若25AB =,2CE =,在图②的基础上将CED V 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中,当平行四边形ABFD 为菱形时,直接写出线段AE 的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)①AF 2AE =②42或22.【解析】【分析】 ()1如图①中,结论:AF 2AE =,只要证明AEF V 是等腰直角三角形即可; ()2①如图②中,结论:AF 2AE =,连接EF ,DF 交BC 于K ,先证明EKF V ≌EDA V 再证明AEF V 是等腰直角三角形即可;②分两种情形a 、如图③中,当AD AC =时,四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时,四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】()1如图①中,结论:AF 2AE =.理由:Q 四边形ABFD 是平行四边形,AB DF ∴=,AB AC =Q ,AC DF ∴=,DE EC =Q ,AE EF ∴=,DEC AEF 90∠∠==o Q ,AEF ∴V 是等腰直角三角形,AF 2AE ∴=.故答案为AF 2AE =.()2①如图②中,结论:AF 2AE =.理由:连接EF ,DF 交BC 于K .Q 四边形ABFD 是平行四边形,AB//DF ∴,DKE ABC 45∠∠∴==o ,EKF 180DKE 135∠∠∴=-=o o ,EK ED =,ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=o o o o Q ,EKF ADE ∠∠∴=,DKC C ∠∠=Q ,DK DC ∴=,DF AB AC ==Q ,KF AD ∴=,在EKF V 和EDA V 中,EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,EKF ∴V ≌EDA V ,EF EA ∴=,KEF AED ∠∠=,FEA BED 90∠∠∴==o ,AEF ∴V 是等腰直角三角形,AF 2AE ∴=.②如图③中,当AD AC =时,四边形ABFD 是菱形,设AE 交CD 于H ,易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=,AE AH EH 42=+=,=时,四边形ABFD是菱形,易知如图④中当AD AC=-=-=,AE AH EH32222综上所述,满足条件的AE的长为42或22.【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,寻找全等的条件是解题的难点,属于中考常考题型.6.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD 的延长线于点F,连接CF.(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】(1)∵AF∥BC,∴∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD,∵点E为CD的中点,∴DE=EC,在△BCE与△FDE中,FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE≌△FDE,∴DF=BC,又∵DF∥BC,∴四边形BCDF为平行四边形,∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形;(2)∵四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=BC=2,在Rt△BAD中,AB=223BD AD-=,∵AF=AD+DF=1+2=3,在Rt△BAF中,BF=22AB AF+=23.7.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上,OD在y轴上,点C在第一象限,且86OB OD==,.现将纸片折叠,折痕为EF(点E,F是折痕与矩形的边的交点),点P 为点D的对应点,再将纸片还原。

【2021中考数学】《平行四边形》常考题综合练习(二)含答案

【2021中考数学】《平行四边形》常考题综合练习(二)含答案

《平行四边形》常考题综合练习1.如图,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=10cm,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,点E 在边AB上,且AE=4cm,如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.设运动时间为t秒.(1)若点Q与点P的运动速度相等,经过2秒后,△BPE与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q与点P的运动速度不相等,则当t为何值时,△BPE与△CQP全等?此时点Q 的运动速度为多少?2.如图,正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F,满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,求证:△ABE≌△ADF.3.已知:如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上任意一点(点G与B、C不重合),AE⊥DG于E,CF⊥DG于F.求证:△AED≌△DFC.4.如图,E是正方形ABCD的对角线AC上的一点,AF⊥BE,垂足为F,AF与BD相交于点G,求证:△EAB≌△GDA.5.如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等?6.在△ABC中,直线MN∥BC,CE平分∠ACB,交MN于点E,CF平分∠ACG,交MN于点F,连接AE、AF.(1)请你猜猜OE与OF的大小有什么关系?试证明你的结论;(2)探索:当MN在什么位置时,四边形AECF是矩形,并说明理由.7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AB=6,∠AOB=120°,求BC的长.8.如图,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且∠EAG=∠BAD,连接EC,GD.(1)求证:EB=GD;(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=,求GD的长.9.如图1,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F,连接CE.(1)求证:△PCE是等腰直角三角形;(2)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,判断△PCE的形状,并说明理由.10.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,(1)求证:∠DHO=∠DCO.(2)若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.11.如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,连接AM,点E是线段AM上一点,∠CDE的平分线交AM延长线于点F.(1)如图1,若点E为线段AM的中点,BM:CM=1:2,BE=,求AB的长;(2)如图2,若DA=DE,求证:BF+DF=AF.12.如图,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD,BC分别交于点E,F.求证:四边形AECF是菱形.13.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB和CD的中点,连接DE和BF,过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当点B是CG中点时,求证:四边形BEDF是菱形.14.在□ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连接EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是;(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是;(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.15.已知:如图所示,O为等腰直角△BCD斜边BD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)OG与BF有什么数量关系?证明你的结论;(3)若GE•GB=4﹣2,求△DBG的面积.参考答案1.解:(1)全等.理由:由题意:BP=CQ=2t当t=2时,BP=CQ=4∵AB=BC=10,AE=4∴BE=CP=10﹣4=6∵BP=CQ,∠B=∠C=90°,BE=CP∴△BPE≌△CQP(SAS)(2)∵P、Q运动速度不相等∴BP≠CQ∵∠B=∠C=90°∴当BP=CP,CQ=BE时,△BPE≌△CPQ,∴BP=CP=BC=5,CQ=BE=6∴当t=5÷2=(秒)时,△BPE≌△CPQ,此时点Q的运动速度为6÷=(cm/s)2.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE与△ADF中,∴△ABE≌△ADF(SAS).3.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°.又∵AE⊥DG,CF⊥GD,∴∠AED=∠DFC=90°,∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°,∴∠EAD=∠FDC.∴△AED≌△DFC(AAS).4.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠ADG=∠BAE=45°,∠BAD=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°,∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABE=90°,∴∠DAG=∠ABE,在△ABE和△DAG中,,∴△EAB≌△GDA(ASA).5.解:当点Q与点P速度相同时,△PBE≌△QCP,此时v Q=4 cm/s,当点Q与点P速度不相同时,BP=PC,此时△PBE≌△PCQ,∴4t=10﹣4t,解得t=,又CQ=BE=6,∴v Q=cm/s,综上所述,点Q的运动速度为4cm/s或cm/s时,能够使△BPE与△CQP全等.6.解:(1)证明:∵CE平分∠ACB交MN于E,CF平分∠ACG交MN于F,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠FCG.∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB,∠OFC=∠FCG.∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF.∴OE=OC,OC=OF.∴OE=OF.(2)当MN与AC的交点是AC的中点时,四边形AECF是矩形.∵EO=FO,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形,∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4=∠5,又∵∠1=∠2,∴∠2+∠4=×180°=90°.即∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.7.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,BO=OD,∵OA=OB,∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形;(2)∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴AC=2BC,∴AB==BC,∴BC=AB=6×=2.8.(1)证明:∵∠EAG=∠BAD,∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,∴∠EAB=∠GAD,在△AEB和△AGD中,∵∴△AEB≌△AGD,∴EB=GD;(2)解:连接BD交AC于点P,则BP⊥AC,∵∠DAB=60°,∴∠PAB=30°,∴BP=AB=1,AP==,AE=AG=,∴EP=2,∴EB==,∴GD=.9.(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∠ADC=90°,在△PDA和△PDC中,,∴△PDA≌△PDC,∴PA=PC,∠3=∠1,∵PA=PE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∵∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC,∴∠FPC=EDF=90°,∴△PEC是等腰直角三角形.(2)解:如图2中,结论:△PCE是等边三角形.理由:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,∠ADB=∠CDB,∠ADC=∠ABC=120°,在△PDA和△PDC中,,∴△PDA≌△PDC,∴PA=PC,∠3=∠1,∵PA=PE,∴∠2=∠3,PA═PE=PC,∴∠1=∠2,∵∠DFE=∠PFC,∴∠EPC=∠EDC,∵∠ADC=120°,∴∠EDC=60°,∴∠EPC=60°,∵PE=PC,∴△PEC是等边三角形.10.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,∵DH⊥AB,∴DH⊥CD,∠DHB=90°,∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,∴OH=OD=OB,∴∠1=∠DHO,∵DH⊥CD,∴∠1+∠2=90°,∵BD⊥AC,∴∠2+∠DCO=90°,∴∠1=∠DCO,∴∠DHO=∠DCO;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB=BD=3,OA=OC=4,BD⊥AC,在Rt△OCD中,CD==5,∴菱形ABCD的周长=4CD=20,菱形ABCD的面积=×6×8=24.11.解:(1)设BM=x,则CM=2x,BC=3x,∵BA=BC,∴BA=3x.在Rt△ABM中,E为斜边AM中点,∴AM=2BE=2.由勾股定理可得AM2=MB2+AB2,即40=x2+9x2,解得x=2.∴AB=3x=6.(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点,过点D作DP⊥AF于P点.∵DF平分∠CDE,∴∠1=∠2.∵DE=DA,DP⊥AF∴∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴∠2+∠3=45°.∴∠DFP=90°﹣45°=45°.∴AH=AF.∵∠BAF+∠DAF=90°,∠HAD+∠DAF=90°,∴∠BAF=∠DAH.又AB=AD,∴△ABF≌△ADH(SAS).∴AF=AH,BF=DH.∵Rt△FAH是等腰直角三角形,∴HF=AF.∵HF=DH+DF=BF+DF,∴BF+DF=AF.12.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AE∥FC.∴∠EAC=∠FCA.∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO,在△AOE与△COF中,,∴△AOE≌△COF(ASA).∴EO=FO,∴四边形AECF为平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF为菱形.13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD,∵E,F分别是AB和CD的中点∴,∴BE=DF,又∵AB∥CD,∴四边形BEDF是平行四边形;(2)连接BD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC且AD=BC,∴BG=BC,∴AD=BG,又AD∥BC,∴四边形ADBG是平行四边形,∵AG⊥BC,∴∠G=90°,∴∠ADB=∠G=90°又∵E是AB中点∴DE=BE=,由(1)得:四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形.14.解:(1)四边形EGFH是平行四边形;证明:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,∴点O是▱ABCD的对称中心;∴EO=FO,GO=HO;∴四边形EGFH是平行四边形;(2)∵四边形EGFH是平行四边形,EF⊥GH,∴四边形EGFH是菱形;(3)菱形;由(2)知四边形EGFH是菱形,当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响;(4)四边形EGFH是正方形;证明:∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形;又∵AC⊥BD,∴▱ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°;∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°∴∠BOG=∠COF;∴△BOG≌△COF(ASA);∴OG=OF,同理可得:EO=OH,∴GH=EF;由(3)知四边形EGFH是菱形,又EF=GH,∴四边形EGFH是正方形.15.(1)证明:在△BCE与△DCF中,,∴△BCE≌△DCF.(2)解:OG=BF.理由如下:∵△BCE≌△DCF,∴∠CEB=∠F,∵∠CEB=∠DEG,∴∠F=∠DEG,∵∠F+∠GDE=90°,∴∠DEG+∠GDE=90°,∴BG⊥DF,∴∠BGD=∠BGF,又∵BG=BG,∠DBG=∠FBG,∴△BGD≌△BGF,∴DG=GF,∵O为BD的中点,∴DO=OB,∴OG是△DBF的中位线,∴OG=BF.(3)解:设BC=x,则DC=x,BD=,由(2)知,△BGF≌△BGD,∴BF=BD,∴CF=(﹣1)x,∵∠DGB=∠EGD,∠DBG=∠EDG,∴△GDB∽△GED,∴=,∴GD2=GE•GB=4﹣2,∵DC2+CF2=(2GD)2,∴x2+(﹣1)2x2=4(4﹣2),(4﹣2)x2=4(4﹣2),x2=4,正方形ABCD的面积是4个平方单位.∴S△DBG =S△BDF=××x2=个平方单位.。

中考数学总复习《平行四边形的性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的性质》练习题及答案班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,DE、AC交于点F,则EFDF的值为()A.1B.13C.23D.122.在□ ABCD中,∠A=70∘,则∠B度数为()A.110∘B.100∘C.70∘D.20∘3.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是()A.AC⊥BD B.AO=OD C.AC=BD D.OA=OC4.如图,▱ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3,BE=5,DE=4,则CE的长为()A.4√5B.5√5C.5√2D.6√25.如图,在平行四边形ABCD中,⊥A=130°,在AD上取DE=DC,则⊥ECB的度数是()A.65°B.50°C.60°D.75°6.已知▱ABCD中,∠A+∠C=70°,则∠B的度数为()A.125°B.135°C.145°D.155°7.在平行四边形ABCD中,若⊥A+⊥C=80°,则⊥B的度数是()A.140°B.100°C.40°D.120°8.如图,在▱ABCD中,点F是线段CD上一点,点A作▱BFGE,当点F从点C向点D运动过程中,四边形BFGE的面积的变化情况是()A.保持不变B.一直减小C.一直增大D.先增大后减小9.如图,在平行四边形ABCD中,⊥BAD的平分线交BC于点E,⊥ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为()A.13B.14C.15D.1610.如图,在⊥ABCD中,点E是DC边上一点,连接AE,BE,若AE,BE分别是⊥DAB,⊥CBA的角平分线,且AB=4,则⊥ABCD的周长为()A.10B.8 C.5 D.1211.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF和GH过点O,且点E,H在边DC上,点G,F 在边AB上,若▱ABCD的面积为10,则阴影部分的面积为()A.6B.4C.3D.5212.如图,平行四边形ABFC的对角线x∈(1,e)相交于点E,点O为AC的中点,连接BO并延长,交FC的延长线于点D,交AF于点G,连接AD、OE,若平行四边形ABFC的面积为48,则SΔEOG的面积为()A.4B.5C.2D.3二、填空题13.如图,E是⊥ABCD边BC上一点,且AB=BE,连结AE,并延长AE与DC的延长线交于点F,⊥F=70°,则⊥D=度.14.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点处.若∠1=∠2=50∘,则为.15.平行四边形ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,若⊥BOC的周长比⊥AOB的周长大2cm,则CD=cm.16.在平行四边形ABCD中,⊥BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.17.如图,已知⊥ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,0),B(﹣1,2),C(2,0).请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标18.如图,E、F分别是⊥ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S⊥APD=10cm2,S⊥BQC=20cm2,则阴影部分的面积为cm2.三、综合题19.如图,▱ABCD中,以A为圆心,DA的长为半径画弧,交BA于点F,作⊥DAB的角平分线,交CD于点E,连接EF.(1)求证:四边形AFED是菱形;(2)若AD=4,⊥DAB=60°,求四边形AFED的面积.20.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在BD的延长线上,且△EAC 是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)若AC=8,AB=5,求ED的长.21.如图,在▱ABCD中AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,且CE=CF.(1)求证:AE=AF;(2)求证:四边形ABCD是菱形.22.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,且CE=BC,AE=AB,AE、DC相交于点O,连接DE.(1)求证:四边形ACED是矩形;(2)若⊥AOD=120°,AC=4,求对角线CD的长.23.图1,图2都是8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,在每个正方形网格中标注了6个格点,这6个格点简称为标注点.(1)请在图1,图2中,以4个标注点为顶点,各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等);(2)图2中所画的平行四边形的面积为.24.如图,在平行四边形ABCD中,AB≠BC,连接AC,AE是⊥BAD的平分线,交边DC的延长线于点F.(1)证明:CE=CF;(2)若⊥B=60°,BC=2AB,试判断四边形ABFC的形状,并说明理由.(如图2所示)参考答案1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】D12.【答案】C13.【答案】4014.【答案】105°15.【答案】416.【答案】217.【答案】(3,2),(﹣5,2),(1,﹣2)18.【答案】3019.【答案】(1)证明:∵AE为⊥DAB的角平分线∴⊥DAE=⊥EAF∵AB//CD∴⊥DEA=⊥EAF∴⊥DAE=⊥DEA∴AD=DE∵AD=AF∴DE=AF∵DE//AF∴四边形AFED为平行四边形∵AD=DE∴四边形AFED是菱形.(2)解:连接DF交AE于点O,如图所示:∵⊥DAB=60°,DA=AF ∴⊥DAF为等边三角形∵AD=4∴DF=4,DO=2∴AO= 2√3,AE= 4√3∴S四边形AFED= 12×4×4√3= 8√3.20.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO∵⊥EAC是等边三角形∴EA=EC∴EO⊥AC∴四边形ABCD是菱形(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8∴AO=CO=4,DO=BO在Rt⊥ABO中,BO=√AB2−AO2=3∴DO=BO=3在Rt⊥EAO中,EO=√EA2−AO2=4√3∴ED=EO-DO=4√3-3.21.【答案】(1)证明:∵AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.∴△ACE与△ACF为直角三角形∵CE=CF,AC=AC∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)∴AE=AF;(2)证明:∵在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F ∴∠B=∠D∵AE=AF(已证)∴△ABE≌△ADF(AAS)∴AB=AD∴▱ABCD为菱形.22.【答案】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形AD⊥BC,AD=BC,AB=DCCE=BCAD=CE,AD⊥CE四边形ACED是平行四边形AB=DC,AE=ABAE=DC四边形ACED是矩形;(2)解:四边形ACED是矩形,OA= 12AE,OC=12CD,AE=CD,OA=OC⊥AOC=180°-⊥AOD=180°-120°=60°⊥AOC是等边三角形OC=AC=4CD=8.23.【答案】(1)解:如图1,如图2;(2)624.【答案】(1)证明:如图(1)∵AE 是⊥BAD 的平分线 ∴⊥BAF=⊥DAF∵在平行四边形ABCD 中 ∴AB⊥DF ,AD⊥BC ∴⊥BAF=⊥F ,⊥DAF=⊥CEF ∴⊥F=⊥DAF=⊥CEF ∴CE=FC(2)解:四边形ABFC 是矩形 理由:如图(2)∵⊥B=60°,AD⊥BC ∴⊥BAD=120° ∵⊥BAF=⊥DAF ∴⊥BAF=60°则⊥ABE 是等边三角形可得AB=BE=AE ,⊥BEA=⊥AFC=60° ∵BC=2AB ∴AE=BE=EC∴⊥ABC 是直角三角形,⊥BAC=90° 在⊥ABE 和⊥FCE 中 ∵{∠ABE =∠FCE BE =EC ∠BEA =∠CEF ∴⊥ABE⊥⊥FCE (ASA ) ∴AB=FC 又∵AB⊥FC∴四边形ABFC 是平行四边形 再由⊥BAC=90°故四边形ABFC 是矩形.。

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.如图在四边形ABCD中AB=CD,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF、CE,若DE=BF,则下列结论不一定正确的是()A.CF=AE B.OE=OFC.△CDE为直角三角形D.四边形ABCD是平行四边形2.如图四边形ABCD中AB∥CD,∥B=∥D点E为BC延长线上一点,连接AE,AE交CD于点H,∥DCE的平分线交AE于点G.若AB=2AD=10,点H为CD的中点,HE=6,则AC的值为()A.9B.√97C.10D.3 √103.如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°,分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE,连结DE,CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A.AC B.AB C.BC D.AB4.如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘,AD=8,F是ΑΒ的中点.过点F作FΕ⊥ΑD,垂足为Ε.将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移,得到ΔΑ′Ε′F ′.设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点,当点Α′与点Β重合时,四边形ΡΡ′CD的面积为()A.28√3B.24√3C.32√3D.32√3−85.下列说法中错误的是()A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相平分的四边形是平行四边形6.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD7.如图点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB的长为半径作弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,若∥ABC+∥ADC=120°,则∥A的度数是()A.100°B.110°C.120°D.125°8.如图在∥ABC中AB=AC=10,BC=12,点D是BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,则∥BED与∥DFC的周长的和为()A.34B.32C.22D.209.如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4),当四边形ABCD 的周长最小时,则m 的值为().A.√2B.32C.2D.310.如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E,F,G,H,连接EG,在EG上取一点M,连接HM,过F作FN∥HM,交EG于N,将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放,得到四边形AHM′G′和AF′N′E,延长M′G′,N′F′相交于点K,得到四边形MM′KN′.下列说法中错误的是()A.S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B.HM=NFC.四边形MM′KN′是平行四边形D.∠K=∠AHM′11.如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为()A.2B.3C.4D.512.如图P为平行四边形ABCD内一点,过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点,若S四边形AHPE=3,S四边形PFCG=5,则S∥PBD为()A.0.5B.1C.1.5D.2二、填空题13.如图在平行四边形ABCD中点E,F分别在BC,AD上,请添加一个条件,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).14.如图在Rt△ABC中AC=2√3,BC=2,点P是斜边AB上任意一点,D是AC的中点,连接PD并延长,使DE=PD.以PE,PC为边构造平行四边形PCQE,则对角线PQ的最小值为.15.如图▱ABCD中∥BAD=120°,E、F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF∥BC,EF=5√3,则AB的长是16.如图在∥ABC中∥ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD= 13BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=.17.若AC=10,BD=8,那么当AO=DO=时,四边形ABCD是平行四边形。

中考数学平行四边形综合题含答案

中考数学平行四边形综合题含答案

中考数学平行四边形综合题含答案一、平行四边形1. 如图,矩形ABCD中,AB=6, BC=4,过对角线BD中点0的直线分别交AB, CD边于点E, F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;【解析】分析:(1)根据平行四边形ABCD的性质,判定△ BOE^A DOF (ASA),得出四边形BEDF的对角线互相平分,进而得出结论;(2)在Rt A ADE中,由勾股定理得出方程,解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,再由勾股定理求出E0,即可得出EF的长.详解:(1)证明::•四边形ABCD是矩形,0是BD的中点,••• / A=90 , AD=BC=4, AB// DC, OB=OD,••• / OBE=Z ODF,在厶BOE和厶DOF中,OBE ODFOB ODBOE DOF•••△BOE^A DOF (ASA),• EO=FO,•四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,BD丄EF,设BE=x 则DE=x AE=6-x,在Rt A ADE 中,DE2=AD2+AE2,• x2=42+ (6-x) 2,13解得:x=-3T BD= ', AD2AB2 =213 ,•/ BD丄EF,二EO=,BE2OB2=2^3• •• EF=2EO=4 13.23点睛:本题主要考查了矩形的性质,菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质, 熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解决问的关键2. 如图,在 Rt A ABC 中,/ B=90° AC=60cm, / A=60°点D 从点C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点A 匀速运动,同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀 速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动•设点 D 、E 运动的时间是t秒(O v t w 15 •过点D 作DF 丄BC 于点F ,连接DE , EF.(1) 求证:AE=DF ; (2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值,如果不能,说明理由;(3) 当t 为何值时,△ DEF 为直角三角形?请说明理由.15【答案】(1)见解析;(2)能,t=10 ; ( 3) t= 或12. 【解析】 【分析】(1) 利用t 表示出CD 以及AE 的长,然后在直角 △ CDF 中,利用直角三角形的性质求得 DF 的长,即可证明;(2) 易证四边形 AEFD 是平行四边形,当 AD=AE 时,四边形 AEFD 是菱形,据此即可列方 程求得t 的值;(3) △ DEF 为直角三角形,分 / EDF=90和/DEF=90两种情况讨论. 【详解】解:(1)证明:•••在 Rt A ABC 中,/ C=90 — / A=30° ,1 1…AB= —AC=— X 60=30cm2 2•/ CD=4t , AE=2t ,又•••在 Rt A CDF 中,/ C=30 ,1• DF= CD=2t, • DF=AE (2)能,•••DF // AB , DF=AE•••四边形AEFD 是平行四边形,当AD=AE 时,四边形 AEFD 是菱形,即60 - 4t=2t ,解得:t=10 , •••当t=10时,AEFD 是菱形;(3 )若厶DEF 为直角三角形,有两种情况:t=15则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得:t=12,15t= 或12时,△ DEF 为直角三角形.23. 如图,△ ABC 中,AD 是边BC 上的中线,过点 A 作AE// BC,过点D 作DE// AB , DE 与 AC 、AE 分别交于点 0、点E ,连接EC. (1) 求证:AD=EC(2) 当/ BAC=Rt/时,求证:四边形 ADCE 是菱形.【答案】(1 )见解析; (2)见解析. 【解析】综上所述,当 ①如图 1,/ EDF=90° DE// BC,则 AD=2AE,即卩 60 - 4t=2 X 2t 解得:【分析】(1)先证四边形ABDE是平行四边形,再证四边形ADCE是平行四边形即可;(2)由/ BAC=90° AD是边BC上的中线,得AD=BD=CD,即可证明.【详解】(1)证明:•/ AE// BC, DE// AB ,•••四边形ABDE是平行四边形,••• AE=BD,••• AD是边BC上的中线,• BD=DC,• AE=DC,又••• AE// BC,•四边形ADCE是平行四边形.⑵证明:•••/ BAO90 ° AD是边BC上的中线.• AD=CD•••四边形ADCE是平行四边形,•四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理•根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键4. 如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE丄AG于E, BF// DE,交AG于F.【分析】由四边形ABCD为正方形,可得出 / BAD为90° AB=AD,进而得到/ BAG与/ EAD互余,又DE 垂直于AG,得至U / EAD与/ ADE互余,根据同角的余角相等可得出/ ADE=Z BAF,利用AAS可得出△ ABF^A DAE;利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE由AF-AE=EF 等量代换可得证•【详解】T ABCD是正方形,• AD=AB, / BAD=90 °•••DE 丄AG,••• / DEG=Z AED=90 °••• / ADE+Z DAE=90 °又•/ Z BAF+Z DAE=Z BAD=90 ,•Z ADE=Z BAF.•/ BF// DE,•Z AFB=Z DEG=Z AED.在厶ABF与厶DAE中,AFB AEDADE BAF ,AD AB•△ ABF^ △ DAE (AAS).• BF=AE•/ AF=AE+EF• AF=BF+EF点睛:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.5. 如图,在平行四边形ABCD中,AD丄DB,垂足为点D,将平行四边形ABCD折叠,使点B落在点D的位置,点C落在点G的位置,折痕为EF, EF交对角线BD于点P.(1)连结CG,请判断四边形DBCG的形状,并说明理由;(2)若AE= BD,求Z EDF的度数.A E B【答案】(1)四边形BCGD是矩形,理由详见解析;(2) Z EDF= 120°【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可;(2 )根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】解:(1)四边形BCGD是矩形,理由如下,• •四边形ABCD是平行四边形,••• BC// AD,即卩BC// DG,由折叠可知,BC= DG,•四边形BCGD是平行四边形,•/ AD丄BD,•/ CBD= 90 °•四边形BCGD是矩形;(2)由折叠可知:EF垂直平分BD,• BD 丄EF, DP= BP,•/ AD丄BD,• EF// AD// BC,AE PD ,1BE BP• AE= BE,• DE是Rt A ADB斜边上的中线,• DE= AE= BE,•/ AE= BD,• DE= BD= BE,•△ DBE是等边三角形,•/ EDB= / DBE= 60 :•/AB// DC,•/ DBC= / DBE= 60 °•/ EDF= 120 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠性质,等边三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度6. 如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,140),直线AB: y= x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作3EF丄x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒.10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).3 , 404 x+40,3直线AB 与直线DE 的交点P (21, 12), 由题意知F ( 30, 15), ••• EF = 15; (2)①易求 B (0, 5),(1)根据已知点E (30, 0),点D (0 , 40),求出直线 DE 的直线解析式y='x+40,可3求出P 点坐标,进而求出 F 点坐标即可;(2)①易求B (0, 5),当点F 1移动到点B 时,t=10、. 10 10=10;②F 点移动到F'的距离是、、T0t , F 垂直x 轴方向移动的距离是t ,当点H 运动到直线DE 上时在 Rt A F'NF 中-NF =! EM=NG'=15-F'N=15-3t 在' 'NF 3' ' Rt A DMH'中 出丄 -'EM 3 '1 45 1023t=4 , S=- X (12+ ) X 11= ;当点G 运动到直线 DE 上时,2 4 8在 Rt A F'PK 中,=-, F K 3 PK=t-3, F'K=3t-9 ,在 Rt A PKG 中,= t―3 =-, KG 15 3t 9 3t=7, S=15X (15-7) =120.【详解】(1)设直线 将点E ( 30, DE 的直线解析式 y = kx+b , 0),点 D (0, 40),30k b 040【解析】① 当点F 1移动到点B 时,求t 的值;② 当G 1 , H 1两点中有一点移动到直线 DE 上时,请直接写出此时正方形EF 1G 1H 1与厶APE二 BF = 10 .10 ,••• PF = 3 ,10 ,• PF - . 10 t - 3、、10 , 在 Rt A F'PK 中,.10 - 10;在 Rt A F'NF 中,NF =1 NF =3FN = t , F'N = 3t , MH' = FN = t ,EM = NG'= 15 - F'N = 15 - 3t , 在 Rt A DMH'中,MH 4EM 3,. t 4 "15 3t 3 ' • t = 4,• EM = 3, MH' = 4,145 • S =(12) 11 241023•••当点F i 移动到点B 时,t = 10 .10 ②当点H 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是 10 t ,当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是 、10 t ,PK 1••• PK = t - 3, F'K = 3t - 9,• t = 7,• S = 15 x ( 15 - 7)= 120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角 形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.7.(问题情境)在 △ ABC 中,AB = AC,点P 为BC 所在直线上的任一点,过点P 作PD 丄AB ,PE ± AC ,垂足分别为D 、E,过点C 作CF 丄AB ,垂足为F.当P 在BC 边上时(如 图 1),求证:PD+PE= CF.证明思路是:如图 2,连接AP,由厶ABP 与厶ACP 面积之和等于 △ ABC 的面积可以证得: PD+PE= CF.(不要证明)(变式探究)(1)当点P 在CB 延长线上时,其余条件不变(如图 3),试探索PD PECF 之间的数量关系并说明理由;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD 沿EF 折叠,使点D 落在点B 上,点C 落在点 C 处,点P 为折痕EF 上的任一点,过点 P 作PG 丄BE 、PH 丄BC,垂足分别为 G 、H ,若AD =16 , CF = 6,求 PG+PH 的值.4(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线 11: y =x+8与直线12: y =- 2x+8相交于点3A ,直线11、12与x 轴分别交于点B 、点C.点P 是直线12上一个动点,若点 P 到直线|1的 距离为2 .求点P 的坐标.在 Rt A PKG 中,PKKGt 3 _ 4 15 3t 9 — 3【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】 8【迁移拓展】(-1, 6)【解析】 【变式探究】连接AP,同理利用△ ABP 与厶ACP 面积之差等于△ ABC 的面积可以证得; 【结论运用】过点E 作EQ 丄BC,垂足为Q ,根据勾股定理和矩形的性质解答即可; 【迁移拓展】分两种情况,利用结论,求得点 P 到x 轴的距离,再利用待定系数法可求出【详解】变式探究:连接AP ,如图3:•/ PD 丄 AB , PE! AC, CF 丄AB ,且 S A ABC = S\ACP - S\ABP , ••• - AB?CF = -AC?PE- - AB?PD.2 2 2•/ AB = AC, • CF = PD- PE;结论运用:过点E 作EQ 丄BC,垂足为Q ,如图④,圏① 图②(1, 10)P 的坐标.•••四边形ABCD是长方形,••• AD= BC, / C= Z ADC= 90 °AD= 16, CM 6,• BF= BC- Cl AD - Cl 5,由折叠可得:DF= BF, Z BEF= Z DEF.DF= 5.•/ Z C= 90 °•DC= .. DF2 CF2、、10262=8•/ EQ丄BC, Z C= Z ADC= 90 °•Z EQC= 90 = Z C= Z ADC.•四边形EQCD是长方形.• EQ= DC= 4.•/AD// BC,•Z DEF= Z EFB•/ Z BEF= Z DEF,•Z BEF= Z EFB.• BE= BF,由问题情境中的结论可得:PG+PH= EQ.•PG+PH= 8.• PG+PH的值为8;迁移拓展:如图,由题意得:A (0, 8), B (6, 0), C (- 4, 0)••• AB= . 6282= 10, BC= 10.AB= BC?(1) 由结论得:P I D I+P I E I = OA= 8•••P I D I = 1 = 2,• P1E1 = 6即点P I的纵坐标为6又点P I在直线12上,• y = 2x+8= 6,•- x=- 1,即点p i的坐标为(-1 , 6);(2) 由结论得:P2E2 - P2D2= OA= 8■/ P2D2 = 2,• P2E2= 10即点P l的纵坐标为10又点p i在直线12上,• y = 2x+8= 10,• x= 1,即点P I的坐标为(1, 10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,利用面积法列出等式是解决问题的关键.8. 如图1,在正方形ABCD中,AD=6,点P是对角线BD上任意一点,连接P A PC过点P 作PE± PC交直线AB于E.(1)求证:PC=PE;(2)延长AP交直线CD于点F.①如图2,若点F是CD的中点,求△ APE的面积;②若△ AP 的面积是 ,则DF 的长为 25(3)如图3,点E 在边AB 上,连接EC 交BD 于点M,作点E 关于BD 的对称点 Q ,连接 7j2PQ, MQ ,过点 P 作 PN //CD 交 EC 于点 N ,连接 QN ,若 PQ=5, MN= —2,则△ MNQ 的3面积是5【答案】(1)略;(2)©8,②4或9 ; ( 3)-6【解析】 【分析】(1 )利用正方形每个角都是 90°对角线平分对角的性质,三角形外角等于和它不相邻的 两个内角的和,等角对等边等性质容易得证 ;(2)作出△ ADP 和厶DFP 的高,由面积法容易求出这个高的值•从而得到△ PAE 的底和高,并求出面积第2小问思路一样,通过面积法列出方程求解即可 ;(3)根据已经条件证出 △MNQ 是直角三角形,计算直角边乘积的一半可得其面积 .【详解】(1)证明:•••点P 在对角线BD 上,•••△ ADP ^A CDP••• AP=CP / DAP =Z DCP•/ PE 丄 PC, • / EPC=/ EPB+Z BPC=90, °•/ / PEA=/ EBP+/ EPB=45+90 -/ BPC=135-/ BPC, •/ / PAE=90-° DAP = 90 -/ DCP / DCP=/ BPC-/ PDC=/ BPC-45 , ° • / PAE=90-(° BPC-45 )= 135 -/BPC, • / PEA=/ PAE, •PC=PE;a(2)①如图2,过点P分别作PH丄AD,PG丄CD垂足分别为H、G延长GP交AB于点•••四边形ABCD 是正方形,P 在对角线上, •四边形HPGD 是正方形, • PH=PG,PM 丄 AB,设 PH=PG=a,••• AM=HP=2,MP=MG -PG=6-2=4,又:PA=PE,• AM=EM,AE=4,1S n APE = — EA MP2解得b=2.4或3.6,•当 b=2.4 时,DF=4;当 b = 3.6 时,DF = 9, 即DF 的长为4或9; (3)如图,M. H.••• F 是CD 中点, AD = 6,贝U FD =3,S n ADF=9,T S n ADF =S n ADP1 Sn DFP =AD2PH -DF2PG ,•• 1a 6 1a2 23 9,解得 a=2.8,②设HP = b,由①可得 AE=2b,MP=6-b,• S nApE =22b 6 216 b 251Sn ADF =Sn ADPSn DFP = — AD2PH 丄DF 2 PG ,1 6 b 1 DF b =DF2 2 26,•/ E 、Q 关于 BP 对称,PN// CD,•••/ 1= Z 2, / 2+ / 3=/ BDC=45,°••• / 1 + Z 4=45 ,° • / 3=/ 4,易证△ PEM B △ PQM, △ PNQ B △ PNC, • / 5=/ 6, / 7=/ 8 ,EM=QM,NQ=NC, • / 6+/ 7=90 °• △ MNQ 是直角三角形, 设EM=a,NC=b 列方程组可得-ab=5,2 6V MNQ6【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握正方形的性质,证明三角 形全等是解决问题的关键•要注意运用数形结合思想•9. 在平面直角坐标系中, O 为原点,点A (- 6, 0)、点C (0, 6),若正方形 点O 顺时针旋转,得正方形 OA B',C 记旋转角为 a:(1) 如图①,当a= 45°时,求BC 与A B 勺交点D 的坐标; (2) 如图②,当a= 60°时,求点B'的坐标;(3) 若P 为线段BC 的中点,求AP 长的取值范围(直接写出结果即可).b 27,2OABC 绕【答案】(1) (6 6 2,6) ;( 2) (3.3 3,3 3一3) ; ( 3) 3「2 3剟AP 3「2 3.【解析】【分析】(1 )当a= 45°时,延长0A经过点B,在Rt A BA D中,/ OBC= 45°, A'肛6J2 6,可求得BD 的长,进而求得CD的长,即可得出点D的坐标;(2)过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B作MN的垂线,垂足为N,证明△ OMC^A C NB可得C N 0M = 3后,B'N C'4 3,即可得出点B的坐标;(3) 连接OB, AC相交于点K,贝U K是0B的中点,因为P为线段BC的中点,所以PK=10C= 3,即点P在以K为圆心,3为半径的圆上运动,即可得出AP长的取值范围.2【详解】解:(1) •/ A (- 6, 0 )、C (0, 6), 0 (0, 0),•••四边形OABC是边长为6的正方形,当a= 45°时,如图①,延长0A经过点B,■/ 0B= 6 2 , 0A = 0A= 6, / OBC= 45°,•- A = 6近 6 ,•-BD=( 6,2 6)X. 2 12 6.2 ,• CD= 6-( 12 6 2 ) =6 2 6 ,图①(2)如图②,过点C'作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B作MN的垂线,垂足为N,•/ / OC ' =B90 °••• / OC 'M 90 °- Z B ' CtC' B ' N•/ OC '= B ' ,C'Z OMC'=Z C ' NB 90 ° • △ OMC' ◎△ C ' NB AAS ), 当a= 60°时,•/ Z A ' OC90 ° OC = 6,• Z C ' OM30 °• C ' = OM = 3品,B ' = C ' M 3, •••点B 的坐标为3.3 3,3 3.3 ;【点睛】本题考查正方形性质,全等三角形判定与性质,三角形中位线定理.( 利用中位线定理得出点 P 的轨迹.•/ AK = 3 2 , •AP 最大值为3 2 3,AP 的最小值为 ^2 3,3)问解题的关键是(3)如图③,连接OB , AC 相交于点K, 则K 是OB 的中点,••• P 为线段BC 的中点,1• PK = — OC = 3,2• P 在以K 为圆心,3为半径的圆上运动,10. 如图,现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落在点B处.AB与CD交于点E.(1) 求证:△ AED^A CEB;(2) 过点E作EF丄AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意可得AD=BC=B'C / B=Z D=Z B',且/ AED=Z CEB;利用AAS证明全等,则结论可得;(2)由厶AED^A CEB可得AE=CE且EF丄AC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC, / AEF=Z CEF 即AF=CF, / CEF=/ AFE=Z AEF,可得AE=AF,则可证四边形AECF是菱形.【详解】证明:(1) T四边形ABCD是平行四边形••• AD= BC, CD// AB, / B= / D•••平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠• BC= B'C, / B= / B'•/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC•△ADE^A B'EC(2)四边形AECF是菱形•/ △ADE^A B'EC• AE= CE•/ AE= CE EF± AC• EF 垂直平分AC, / AEF= / CEF• AF= CF•「CD// AB•/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF•/ AEF= / EFA• AF = AE• AF = AE= CH CF•四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题,全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,菱形的判定,熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键.11. 如图,在正方形 ABCD 中,点G 在对角线BD 上(不与点 B , D 重合),GE 丄DC 于点 E , GF 丄BC 于点F ,连结AG. AG, GE GF 长度之间的数量关系,并说明理由;【解析】试题分析:(1)结论:AG 2=GE 2+GF 2 •只要证明GA=GC 四边形 GE=CF 在Rt A GFC 中,禾U 用勾股定理即可证明;(2)作BN 丄AG 于N ,在BN 上截取一点 M ,使得 AM=BM .设AN=x .易证 AM=BM=2x , MN= J ・x ,在 Rt A ABN 中,根据 AB 2=AN 2+BN 2,可得 1=x 2+ (2x+,' x ) 2,解得试题解析:(1)结论:AG 2=G E 2+G F 2. 理由:连接CG.•••四边形ABCD 是正方形, ••• A 、C 关于对角线BD 对称, •••点 G 在 BD 上, • GA=GC,••• GE 丄DC 于点E , GF 丄BC 于点F , • / GEC=/ ECF 2 CFG=90 ,° •四边形EGFC 是矩形, • CF=GE在 Rt A GFC 中,•/ CG ?=G F 2+CF 2, • AG 2=G F 2+G E ?.(2)作BN 丄AG 于N ,在BN 上截取一点 M ,使得 AM=BM .设AN=x .•/ / AGF=105 , ° / FBG=/ FGB=/ ABG=45 ,°• / AGB=60 , / GBN=30 , / ABM=/ MAB=15 : • / AMN=30 ;• AM=BM=2x , MN= x , 在 Rt A ABN 中,•/ ABJ A ^+BN 2, •仁x 2+ (2x+J x ) 2,(1 )写出线段(2 )若正方形ABCD 的边长为1, / AGF=105,求线段 【答案】(1) AG 2=G E ?+G F 2 (2)=—EGFC 是矩形,推出再根据BG=BN^ cos30即可解决问题即; ,解得:x=5 , CE=8- x=3 , •••"'.解得x=L宀,4• RN=U * I12.如图,在矩形 ABCD 中,点E 在边CD 上,将该矩形沿 AE 折叠,使点D 落在边BC 上 的点F 处,过点F 作FG// CD,交AE 于点G ,连接DG.(1) 求证:四边形 DEFG 为菱形;CE1(2 )若 CD=8, CF=4,求 的值.3【答案】(1)证明见试题解析;(2)弓 【解析】试题分析:(1)由折叠的性质,可以得到 DG=FG ED=EF , /仁/ 2,由FG// CD,可得 /仁/ 3,再证明FG=FE 即可得到四边形 DEFG 为菱形;CE(2) 在Rt A EFC 中,用勾股定理列方程即可 CD CE,从而求出"再的值. 试题解析:(1)由折叠的性质可知: DG=FG ED=EF /仁/2, •/ FG// CD, 2=Z 3 ,• FG=FE •- DG=GF=EF=DE •四边形 DEFG 为菱形; (2 )设DE=x 根据折叠的性质,EF=DE=x EC=8- x ,在Rt A EFC 中,CE\ 33、勾股定理,4、直角三角形30度的性2、矩形的判定和性质,质••• BG=BN - cos30 气1ADE3 0 1 c考点:1翻折变换(折叠问题); 2 .勾股定理;3.菱形的判定与性质;4.矩形的性质;5.综合题.13 •如图1所示,(1)在正三角形 ABC 中,M 是BC 边(不含端点B 、C )上任意一点,P 是BC 延长线上一点, N 是/ ACP 的平分线上一点,若 / AMN=60,求证:AM=MN . (2)若将(1)中 正三角形ABC 改为 正方形ABCD , N 是/DCP 的平分线上一点,若 / AMN=90 °则AM=MN 是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由.(3)若将(2)中的 正方形ABCD 改为 正n 边形厲险心:其它条件不变,请你猜想:1)要证明AM=MN ,可证AM 与MN 所在的三角形全等,为此,可在A B 上取一 AE=CM,连接ME ,利用ASA 即可证明△ AEM ^ △ MCN ,然后根据全等三角形的对应边成比例得出 AM=MN .(2)同(1),要证明AM=MN ,可证AM 与MN 所在的三角形全等,为此,可在AB 上取一点E ,使AE=CM,连接ME ,利用ASA 即可证明△ AEM ◎△ MCN ,然后根据全等三角形 的对应边成比例得出 AM=MN .详(1)证明:在边 AB 上截取AE=MC,连接ME .••• / NMC=180 -Z AMN- / AMB=180 B-Z AMB=Z MAE ,【解析】 分析:( 点E ,使BE=AB-AE=BC-MC=BM••• / BEM=60 ° ••• / AEM=120 ,°••• N是/ ACP的平分线上一点,•/ ACN=60 ;:• / MCN=120 °在厶AEM 与厶MCN 中,/ MAE=Z NMC, AE=MC, / AEM=Z MCN ,•△AEM^A MCN ( ASA ,•AM=MN.(2 )解:结论成立;理由:在边AB上截取AE=MC,连接ME.•••正方形ABCD中,/ B=Z BCD=90 , AB=BC•/ NMC=180 -Z AMN- / AMB=180 -°Z B-Z AMB=Z MAB=Z MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM•Z BEM=45 ° • Z AEM=135 °••• N是Z DCP的平分线上一点,•Z NCP=45 , • Z MCN=135 °在厶AEM 与厶MCN 中,Z MAE=Z NMC, AE=MC, Z AEM=Z MCN ,• △AEM^A MCN ( ASA ,•AM=MN.(3)由(1)( 2)可知当Z A n-2MN等于n边形的内角时,结论A n-2M=MN仍然成立; n 2180°即Z A n-2MN= 时,结论A n-2M=MN仍然成立;n故答案为[n 2 180 ].点睛:本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定,同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力.难度较大.14. 如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3, 3).将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度a ( 0°< aV 90° ,得到正方形ADEF ED交线段OC于点G, ED的延长线交线段BC 于点P,连AP、AG.(1)求证:△ AOG^A ADG;(2 )求/ PAG的度数;并判断线段OG、PG BP之间的数量关系,说明理由;(3) 当/仁Z 2时,求直线PE的解析式;(4 )在(3 )的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.JaP /G C 八E【答案】(1)见解析(2)/ PAG =45, PG=OG+BP理由见解析(3) y=^x- 3.( 4)【解析】试题分析:(1)由AO=AD, AG=AG,根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,判断出△ AOG^^ ADG即可.⑵首先根据三角形全等的判定方法,判断出△ ADP^ △ ABP,再结合△ AOG^ △ ADG,可得 / DAP=Z BAP, / 仁/ DAG;然后根据/ 1+ / DAG+Z DAP+Z BAP=90,求出/ PAG的度数;最后判断出线段OG PG、BP之间的数量关系即可. ⑶首先根据△ AOG^^ ADG,判断出Z AGO=Z AGD;然后根据Z 1+ Z AGO=90 , Z 2+Z PGC=90,判断出当Z 1 = Z 2 时,Z AGO=Z AGD=Z PGC-而Z AGO+Z AGD+Z PGC=180 ,°求出Z仁Z 2=30;最后确定出P、G两点坐标,即可判断出直线PE 的解析式.(4) 根据题意,分两种情况:①当点M在x轴的负半轴上时;②当点M 在EP的延长线上时;根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形,求出M点坐标是多少即可./ O = AD试题解析:⑴在Rt A AOG和Rt A ADG 中,:(HL) /• △ AOG^A ADG.AG-= AG(2)在Rt A ADP 和Rt A ABP 中,〔口严二△ ADP^ △ ABP,贝U Z DAP=Z BAP;AP = AP•/△AOG^A ADG, ••• Z 1 = Z DAG;又T Z 1 + Z DAG+Z DAP+Z BAP=90 ,°••• 2 Z DAG+2Z DAP=90 / • Z DAG+Z DAP=45 ,°•/ Z PAG=Z DAG+Z DAP, • Z PAG=45 ;•/△AOG^A ADG, • DG=OG, •/ △ADP^A ABP, • DP=BF, • PG=DG+DP=OG+BP(3)解:•/△AOG^A ADG, • Z AGO=Z AGD ,又T Z 1 + Z AGO=90 , Z 2+Z PGC=90°,Z 仁Z 2 ,• Z AGO=Z PGC, 又T Z AGO=Z AGD , • Z AGO=Z AGD=Z PGC,又T Z AGO+Z AGD+Z PGC=180 , •• Z AGO=Z AGD=Z PGC=180 - 3=60;• Z 1 = Z 2=90 - 60 =30 ;在Rt A AOG 中,T AO=3,• G点坐标为(J , 0) , CG=3-」,在Rt A PCG中,1),二P点坐标为:(3, 3」-3 ),设直线PE的解析式为:y=kx+b,贝卩[k = J3 厂解得:[ r,二直线PE的解析式为y=Jj x- 3.ft =^3k⑷①如图1,当点M在x轴的负半轴上时,,•/ AG=MG,点A坐标为(0, 3), •••点M坐标为(0,- 3).②如图2,当点M在EP的延长线上时,,由(3),可得/ AGO=Z PGC=60°• EP与AB的交点M,满足AG=MG,•/ A点的横坐标是0,G点横坐标为J ,•- M的横坐标是2\-,纵坐标是3,•••点M坐标为(: ,3).综上,可得点M坐标为(0,- 3)或(2「,3).考点:几何变换综合题.15. (本题满分10分)如图1,已知矩形纸片ABCD中,AB= 6cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(2)若P为CD边上的一个动点,折叠纸片,使得A与P重合,折痕为MN,其中M在边AD上,N在边BC上,如图2所示.设DP= x cm , DM = y cm,试求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.(3)① 当折痕MN的端点N在AB上时,求当△ PCN为等腰三角形时x的值;② 当折痕MN的端点M在CD上时,设折叠后重叠部分的面积为S,试求S与x之间的函数关系式必+兰1【答案】(1) AD= 3. ; ( 2) y= —「其中,0 v x v 3; ( 3) x= ; ( 4)3\矽+叭仔S= .【解析】试题分析:(1)根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度;(2)根据折叠图形的性质以及Rt A MPD的勾股定理求出函数关系式;( 3)过点N作NQ丄CD,根据Rt A NPQ的勾股定理进行求解;(4)根据Rt A ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式,然后得出函数关系式•试题解析:(1)根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm根据Rt A PBC的勾股定理可得:AD=3\ .(2)由折叠可知AM = MP,在Rt A MPD中,|:匚八;=::•••卜几沪7WL y=—「其中,0v x v 3.(3)当点N 在AB上, x>3 二PCC3,而PN>^,N O^.•••△PCN为等腰三角形,只可能NC= NP.过N点作NQ丄CD,垂足为Q,在Rt A NPQ中,卜孑…•::存=*心1 ? 1 2(3-詐 +心)2 =(3 + 昇 -•' - 解得x=2.(4)当点M在CD上时,N在AB上,可得四边形ANPM为菱形.* + 27设MP= y,在RgADM中,总心炉=^声,即:—H —疋用厂=沪.• S= 1考点:函数的性质、勾股定理.。

中考数学复习---特殊平行四边形综合压轴题练习(含作案解析)

中考数学复习---特殊平行四边形综合压轴题练习(含作案解析)

中考数学复习---特殊平行四边形综合压轴题练习(含作案解析)一.平行四边形的性质1.(2022•日照)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点O在坐标原点,点E是对角线AC上一动点(不包含端点),过点E作EF∥BC,交AB于F,点P在线段EF上.若OA=4,OC=2,∠AOC=45°,EP=3PF,P点的横坐标为m,则m的取值范围是()A.4<m<3+B.3﹣<m<4C.2﹣<m<3D.4<m<4+【答案】A【解答】解:可得C(,),A(4,0),B(4+,),∴直线AB的解析式为:y=x﹣4,∴x=y+4,直线AC的解析式为:y=﹣,∴x=4+y﹣2y,∴点F的横坐标为:y+4,点E的横坐标为:4+y﹣2y,∴EF=(y+4)﹣(4+y﹣2y)=2,∵EP=3PF,∴PF=EF=y,∴点P的横坐标为:y+4﹣y,∵0<y<,∴4<y+4﹣y<3+,故答案为:A.2.(2022•无锡)如图,在▱ABCD中,AD=BD,∠ADC=105°,点E在AD 上,∠EBA=60°,则的值是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:如图,过点B作BH⊥AD于H,设∠ADB=x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∠ADC=∠ABC=105°,∴∠CBD=∠ADB=x,∵AD=BD,∴∠DBA=∠DAB=,∴x+=105°,∴x=30°,∴∠ADB=30°,∠DAB=75°,∵BH⊥AD,∴BD=2BH,DH=BH,∵∠EBA=60°,∠DAB=75°,∴∠AEB=45°,∴∠AEB=∠EBH=45°,∴EH=BH,∴DE=BH﹣BH=(﹣1)BH,∵AB===(﹣)BH=CD,∴=,故选:D.二.矩形的性质3.(2022•泰安)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点,∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为()A.B.C.﹣D.﹣2【答案】D【解答】解:如图,取AD的中点O,连接OB,OM.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC=4,∴∠BAP+∠DAM=90°,∵∠ADM=∠BAP,∴∠ADM+∠DAM=90°,∴∠AMD=90°,∵AO=OD=2,∴OM=AD=2,∴点M在以O为圆心,2为半径的⊙O上,∵OB===,∴BM≥OB﹣OM=﹣2,∴BM的最小值为﹣2.故选:D.4.(2022•丽水)如图,标号为①,②,③,④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,且a>b.(1)若a,b是整数,则PQ的长是;(2)若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零,则的值是.【答案】a﹣b;3+2.【解答】解:(1)由图可知:PQ=a﹣b,故答案为:a﹣b;(2)∵a2﹣2ab﹣b2=0,∴a2﹣b2=2ab,(a﹣b)2=2b2,∴a=b+b(负值舍),∵四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,∴EP=,EN=,则======3+2.故答案为:3+2.5.(2022•宿迁)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M、N分别是边AD、BC的中点,某一时刻,动点E从点M出发,沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动;同时,动点F从点N出发,沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,其中一点运动到矩形顶点时,两点同时停止运动,连接EF,过点B作EF的垂线,垂足为H.在这一运动过程中,点H所经过的路径长是.【答案】π【解答】解:如图1中,连接MN交EF于点P,连接BP.∵四边形ABCD是矩形,AM=MD,BN=CN,∴四边形ABNM是矩形,∴MN=AB=6,∵EM∥NF,∴△EPM∽△FPN,∴===2,∴PN=2,PM=4,∵BN=4,∴BP===2,∵BH⊥EF,∴∠BHP=90°,∴点H在BP为直径的⊙O上运动,当点E与A重合时,如图2中,连接OH,ON.点H的运动轨迹是.此时AM=4,NF=2,∴BF=AB=6,∵∠ABF=90°,BH⊥AF,∴BH平分∠ABF,∴∠HBN=45°,∴∠HON=2∠HBN=90°,∴点H的运动轨迹的长==π.故答案为:π.6.(2022•西宁)矩形ABCD中,AB=8,AD=7,点E在AB边上,AE=5.若点P是矩形ABCD边上一点,且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP的底边长是.【答案】5或4【解答】解:如图所示,①当AP=AE=5时,∵∠BAD=90°,∴△AEP是等腰直角三角形,∴底边PE=AE=5;②当P1E=AE=5时,∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3,∠B=90°,∴P1B=,∴底边AP1=;综上所述:等腰三角形AEP1的底边长为5或4;故答案为:5或4.三.正方形的性质和判定7.(2022•泸州)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是边AB上的点,且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于点N,则MN的长为()A.B.C.D.1【答案】B【解答】解:作FH⊥BG交于点H,作FK⊥BC于点K,∵BF平分∠CBG,∠KBH=90°,∴四边形BHFK是正方形,∵DE⊥EF,∠EHF=90°,∴∠DEA+∠FEH=90°,∠EFH+∠FEH=90°,∴∠DEA=∠EFH,∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE∽△EHF,∴,∵正方形ABCD的边长为3,BE=2AE,∴AE=1,BE=2,设FH=a,则BH=a,∴,解得a=1;∵FK⊥CB,DC⊥CB,∴△DCN∽△FKN,∴,∵BC=3,BK=1,∴CK=2,设CN=b,则NK=2﹣b,∴,解得b=,即CN=,∵∠A=∠EBM,∠AED=∠BME,∴△ADE∽△BEM,∴,∴,解得BM=,∴MN=BC﹣CN﹣BM=3﹣﹣=,故选:B.8.(2022•泰州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F、G与点C的距离分别为d2、d3,则d1+d2+d3的最小值为()A.B.2C.2D.4【答案】C【解答】解:如图,连接AE,∵四边形DEFG是正方形,∴∠EDG=90°,EF=DE=DG,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,∴d1+d2+d3=EF+CF+AE,∴点A,E,F,C在同一条线上时,EF+CF+AE最小,即d1+d2+d3最小,连接AC,∴d1+d2+d3最小值为AC,在Rt△ABC中,AC=AB=2,∴d1+d2+d3最小=AC=2,故选:C.9.(2022•广西)如图,在正方形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点O.点E是对角线AC上一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,分别交CD,BD于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△EFH沿EF翻折,点H的对应点H′恰好落在BD上,得到△EFH′.若点F为CD的中点,则△EGH′的周长是.【答案】5+【解答】解:如图,过点E作EM⊥BC于M,作EN⊥CD于N,过点F作FP⊥AC于P,连接GH,∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′,∴△EGH'≌△EGH,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD=BC=4,∠BCD=90°,∠ACD=∠ACB=45°,∴BD=BC=8,△CPF是等腰直角三角形,∵F是CD的中点,∴CF=CD=2,∴CP=PF=2,OB=BD=4,∵∠ACD=∠ACB,EM⊥BC,EN⊥CD,∴EM=EN,∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,∴∠MEN=90°,∵EF⊥BE,∴∠BEF=90°,∴∠BEM=∠FEN,∵∠BME=∠FNE,∴△BME≌△FNE(ASA),∴EB=EF,∵∠BEO+∠PEF=∠PEF+∠EFP=90°,∴∠BEO=∠EFP,∵∠BOE=∠EPF=90°,∴△BEO≌△EFP(AAS),∴OE=PF=2,OB=EP=4,∵tan∠OEG==,即=,∴OG=1,∴EG==,∵OB∥FP,∴∠OBH=∠PFH,∴tan∠OBH=tan∠PFH,∴=,∴==2,∴OH=2PH,∵OP=OC﹣PC=4﹣2=2,∴OH=×2=,在Rt△OGH中,由勾股定理得:GH==,∴△EGH′的周长=△EGH的周长=EH+EG+GH=2+++=5+.故答案为:5+.10.(2022•安徽)如图,四边形ABCD是正方形,点E在边AD上,△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,EF,BF分别交CD于点M,N,过点F 作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF,请完成下列问题:(1)∠FDG=°;(2)若DE=1,DF=2,则MN=.【答案】45°【解答】解:由题知,△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,∴∠AEB+∠GEF=90°,∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠GEF=∠ABE,在△ABE和△GEF中,,∴△ABE≌△GEF(AAS),∴EG=AB=AD,GF=AE,即DG+DE=AE+DE,∴DG=AE,∴DG=GF,即△DGF是等腰直角三角形,∴∠FDG=45°,故答案为:45°;(2)∵DE=1,DF=2,由(1)知,△DGF是等腰直角三角形,∴DG=GF=2,AB=AD=CD=ED+DG=2+1=3,延长GF交BC延长线于点H,∴CD∥GH,∴△EDM∽△EGF,∴,即,∴MD=,同理△BNC∽△BFH,∴,即,∴,∴NC=,∴MN=CD﹣MD﹣NC=3﹣﹣=,故答案为:.11.(2022•达州)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别为AD,CD边上的动点(不与端点重合),连接BE,BF,分别交对角线AC于点P,Q.点E,F在运动过程中,始终保持∠EBF=45°,连接EF,PF,PD.下列结论:①PB=PD;②∠EFD=2∠FBC;③PQ=PA+CQ;④△BPF为等腰直角三角形;⑤若过点B作BH⊥EF,垂足为H,连接DH,则DH的最小值为2﹣2,其中所有正确结论的序号是.【答案】①②④⑤【解答】解:如图,∵四边形ABCD是正方形,∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45°,在△BCP和△DCP中,,∴△BCP≌△DCP(SAS),∴PB=PD,故①正确,∵∠PBQ=∠QCF=45°,∠PQB=∠FQC,∴△PQB∽△FQC,∴=,∠BPQ=∠CFQ,∴=,∵∠PQF=∠BQC,∴△PQF∽△BQC,∴∠QPF=∠QBC,∵∠QBC+∠CFQ=90°,∴∠BPF=∠BPQ+∠QPF=90°,∴∠PBF=∠PFB=45°,∴PB=PF,∴△BPF是等腰直角三角形,故④正确,∵∠EPF=∠EDF=90°,∴E,D,F,P四点共圆,∴∠PEF=∠PDF,∵PB=PD=PF,∴∠PDF=∠PFD,∵∠AEB+∠DEP=180°,∠DEP+∠DFP=180°,∴∠AEB=∠DFP,∴∠AEB=∠BEH,∵BH⊥EF,∴∠BAE=∠BHE=90°,∵BE=BE,∴△BEA≌△BEH(AAS),∴AB=BH=BC,∵∠BHF=∠BCF=90°,BF=BF,∴Rt△BFH≌Rt△BFC(HL),∴∠BFC=∠BFH,∵∠CBF+∠BFC=90°,∴2∠CBF+2∠CFB=180°,∵∠EFD+∠CFH=∠EFD+2∠CFB=180°,∴∠EFD=2∠CBF,故②正确,将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT,连接QT,∴∠ABP=∠CBT,∴∠PBT=∠ABC=90°,∴∠PBQ=∠TBQ=45°,∵BQ=BQ,BP=BT,∴△BQP≌△BQT(SAS),∴PQ=QT,∵QT<CQ+CT=CQ+AP,∴PQ<AP+CQ,故③错误,连接BD,DH,∵BD=2,BH=AB=2,∴DH≥BD﹣BH=2﹣2,∴DH的最小值为2﹣2,故⑤正确,故答案为:①②④⑤.12.(2022•南通)如图,点O是正方形ABCD的中心,AB=3.Rt△BEF中,∠BEF=90°,EF过点D,BE,BF分别交AD,CD于点G,M,连接OE,OM,EM.若BG=DF,tan∠ABG=,则△OEM的周长为.【答案】3+3【解答】解:如图,连接BD,过点F作FH⊥CD于点H.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=3,∠A=∠ADC=90°,∵tan∠ABG==,∴AG=,DG=2,∴BG===2,∵∠BAG=∠DEG=90°,∠AGB=∠DGE,∴△BAG∽△DEG,∴==,∠ABG=∠EDG,∴==,∴DE=,EG=,∴BE=BG+EG=2+=,∵∠ADH=∠FHD=90°,∴AD∥FH,∴∠EDG=∠DFH,∴∠ABG=∠DFH,∵BG=DF=2,∠A=∠FHD=90°,∴△BAG≌△FHD(AAS),∴AB=FH,∵AB=BC,∴FH=BC,∵∠C=∠FHM=90°,∴FH∥CB,∴==1,∴FM=BM,∵EF=DE+DF=+2=,∴BF==4,∵∠BEF=90°,BM=MF,∴EM=BF=2,∵BO=OD,BM=MF,∴OM=DF=,∵OE=BD=×6=3,∴△OEM的周长=3++2=3+3,解法二:辅助线相同.证明△BAG≌△FHD,推出AB=HF=3,再证明△FHM≌△BCM,推出CM=HM=,求出BD,DF,BF,利用直角三角形斜边中线的性质,三角形中位线定理,可得结论.故答案为:3+3.13.(2022•攀枝花)如图,以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF.且点A在△BCF内部.给出以下结论:①四边形ADFE是平行四边形;②当∠BAC=150°时,四边形ADFE是矩形;③当AB=AC时,四边形ADFE是菱形;④当AB=AC,且∠BAC=150°时,四边形ADFE是正方形.其中正确结论有(填上所有正确结论的序号).【答案】①②③④【解答】解:①∵△ABE、△CBF是等边三角形,∴BE=AB,BF=CB,∠EBA=∠FBC=60°;∴∠EBF=∠ABC=60°﹣∠ABF;∴△EFB≌△ACB(SAS);∴EF=AC=AD;同理由△CDF≌△CAB,得DF=AB=AE;由AE=DF,AD=EF即可得出四边形ADFE是平行四边形,故结论①正确;②当∠BAC=150°时,∠EAD=360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD=360°﹣60°﹣150°﹣60°=90°,由①知四边形AEFD是平行四边形,∴平行四边形ADFE是矩形,故结论②正确;③由①知AB=AE,AC=AD,四边形AEFD是平行四边形,∴当AB=AC时,AE=AD,∴平行四边形AEFD是菱形,故结论③正确;④综合②③的结论知:当AB=AC,且∠BAC=150°时,四边形AEFD既是菱形,又是矩形,∴四边形AEFD是正方形,故结论④正确.故答案为:①②③④.四.菱形的性质14.(2022•丽水)如图,已知菱形ABCD的边长为4,E是BC的中点,AF平分∠EAD交CD于点F,FG∥AD交AE于点G.若cos B=,则FG的长是()A.3B.C.D.【答案】B【解答】解:方法一,如图,过点A作AH⊥BE于点H,过点F作FQ⊥AD 于点Q,∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=AD=BC=4,∵cos B==,∴BH=1,∴AH===,∵E是BC的中点,∴BE=CE=2,∴EH=BE﹣BH=1,∴AH是BE的垂直平分线,∴AE=AB=4,∵AF平分∠EAD,∴∠DAF=∠FAG,∵FG∥AD,∴∠DAF=∠AFG,∴∠FAG=∠AFG,∴GA=GF,设GA=GF=x,∵AE=CD=4,FG∥AD,∴DF=AG=x,cos D=cos B==,∴DQ=x,∴FQ===x,∵S梯形CEAD=S梯形CEGF+S梯形GFDA,∴×(2+4)×=(2+x)×(﹣x)+(x+4)×x,解得x=,则FG的长是.或者:∵AE=CD=4,FG∥AD,∴四边形AGFD的等腰梯形,∴GA=FD=GF,则x+x+x=4,解得x=,则FG的长是.方法二:如图,作AH垂直BC于H,延长AE和DC交于点M,∵菱形ABCD的边长为4,∴AB=AD=BC=4,∵cos B==,∴BH=1,∵E是BC的中点,∴BE=CE=2,∴EH=BE﹣BH=1,∴AH是BE的垂直平分线,∴AE=AB=4,所以AE=AB=EM=CM=4,设GF=x,则AG=x,GE=4﹣x,由GF∥BC,∴△MGF∽△MEC,∴=,解得x=.故选:B.15.(2022•甘肃)如图1,在菱形ABCD中,∠A=60°,动点P从点A出发,沿折线AD→DC→CB方向匀速运动,运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,则AB的长为()A.B.2C.3D.4【答案】B【解答】解:在菱形ABCD中,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,设AB=a,由图2可知,△ABD的面积为3,∴△ABD的面积=a2=3,解得:a1=2,a2=﹣2(舍去),故选:B.27。

中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案一、单选题1.平行四边形ABCD中,对角线AC=12,BD=8,交点为点O,则边AB的取值范围为()A.1<AB<2 B.2<AB<10 C.4<AB<10 D.4<AB<202.如图,在△ABC中,DE∥CA,DF∥BA,下列四个判断不正确的是()A.四边形AEDF是平行四边形B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是矩形D.如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形3.平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置,如果∠B=45°,则∠BAE的大小是()A.75°B.70°C.65°D.60°4.如图是由七巧板拼成的正方形,则小正方形和大正方形的面积之比是()A.1:4 B.1:6 C.1:8 D.1:95.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.添加下列条件后,不能得到四边形ADEF是矩形的是()A.∠BAC=90°B.BC=2AE C.DE平分∠AEB D.AE⊥BC6.如图,在菱形ABCD中∠A=60°,AB=4 O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.则下列说法错误的是()A.点O为菱形ABCD的对称中心B.OE=2C.ΔCDB为等边三角形D.BD=47.如图所示,正方形ABCD中,E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于G,交CD于F,若DF=2,BG=4则AE的长为( )A.4√7B.3√10C.10 D.128.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,如图所示,若正方形ABCD的面积为28,AE+EB=7,则S△CFP−S△AEP的值是()A.3 B.3.5 C.4 D.7二、填空题9.如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120°,则AB的长为cm.10.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=3,则菱形ABCD的边长是.11.如图,平行四边形ABCD中AE⊥BC,AF⊥CD垂足分别为E、F,∠EAF=60°,DF=3cm则AD= cm.12.如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD上一点,且BE=BC,则∠ECD的度数是.13.如图,正方形ABCD的边长为2,将它绕着中心O顺时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′,与原正方形AD、AB边交于点M′,N,则M′N的长度是.三、解答题14.已知:如图,在▱ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F.求证:△BEF≌△CDF.15.如图,在四边形ABCD中E,F分别为CD,AB上的点,且DE=BF,连接AE,CF若四边形AECF是平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.16.如图,矩形ABCD中,点P是BC中点,线段AP的延长线与DC的延长线交于点E.(1)求证:△ABP≌△ECP;(2)连接AC,BE,求证:四边形ABEC是平行四边形.17.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连接DF.(1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.18.如图,在□ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧交 AD 于点 F,再分别以点 B、F 为圆心, BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF.大于12(1)根据以上尺规作图的过程,证明四边形 ABEF 是菱形;(2)若菱形 ABEF 的边长为 2,AE= 2 √3,求菱形 ABEF 的面积.答案1.B2.C3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.410.611.612.15°13.2√2−214.证明:在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD∴∠C=∠FBE∵BE=AB∴BE=CD在△BEF和△CDF中∴△BEF≌△CDF(AAS)15.解:∵四边形AECF是平行四边形∴AF=CE,AF//CE∵E,F分别为CD,AB上的点∴AB//CD∵DE=BF∴AF+BF=CE+DE,即AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形.16.(1)证明:∵四边形ABCD矩形∴∠ABP=∠ECP=90°,AB//DC∴∠BAP=∠CEP∵点P是BC中点∴BP =CP∴△ABP ≌△ECP(AAS)(2)解:由△ABP ≌△ECP 可得AP =EP ∵点P 是BC 中点∴BP =CP∴四边形ABEC 是平行四边形.17.(1)证明:在△ABC 和△ADC 中{AB =AD CB =CD AC =AC∴△ABC ≌△ADC(SSS)∴∠BAC=∠DAC在△ABF 和△ADF 中{AB =AD∠BAF =∠DAF AF =AF∴△ABF ≌△ADF(SAS)∴∠AFB=∠AFD∵∠CFE=∠AFB∴∠AFD=∠CFE∴∠BAC=∠DAC ,∠AFD=∠CFE ;(2)证明:∵AB ∥CD∴∠BAC=∠ACD∵∠BAC=∠DAC∴∠BAC=∠ACD∴∠DAC=∠ACD∴AD=CD∵AB=AD ,CB=CD∴AB=CB=CD=AD∴四边形ABCD 是菱形;(3)解:BE ⊥CD 时,∠BCD=∠EFD ;理由如下: ∵四边形ABCD 是菱形∴BC=CD ,∠BCF=∠DCF∵CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEF=90°∴∠BCD=∠EFD.18.(1)解:根据题意由作法可知,AP平分∠BAF∴∠EAB=∠EAF∵AD∥BC∴∠EAF=∠AEB=∠EAB∴BE=AB=AF.∵AF∥BE∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=BE∴四边形ABEF是菱形;(2)解:如图,连结BF,交AE于G.∵菱形ABEF的边长为2,AE= 2√3AE= √3,AE⊥BF ∴AB=BE=EF=AF=2,AG= 12∴∠AGF=90°,GF= √22−(√3)2=1∴BF=2GF=2×2√3×2=2√3∴菱形的面积为:S=12。

备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案

备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案

备战中考数学平行四边形综合经典题及详细答案一、平行四边形1.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.(1)①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.(2)将原题中正方形改为矩形(如图3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图4为例简要说明理由.(3)在第(2)题图4中,连接DG、BE,且a=3,b=2,k=12,求BE2+DG2的值.【答案】(1)①BG⊥DE,BG=DE;②BG⊥DE,证明见解析;(2)BG⊥DE,证明见解析;(3)16.25.【解析】分析:(1)①根据正方形的性质,显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系;②结合正方形的性质,根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE,从而证明结论;(2)根据两条对应边的比相等,且夹角相等可以判定上述两个三角形相似,从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立;(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解:(1)①BG⊥DE,BG=DE;②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,∴∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(2)∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,∴BC CG b==,DC CE a又∵∠BCG=∠DCE,∴△BCG∽△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BHC=90°,∴∠CDE+∠DHG=90°,∴BG⊥DE.(3)连接BE、DG.根据题意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,∵BG⊥DE,∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛:此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.2.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°,∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,在△AGE与△AFE中,,∴△AGE≌△AFE(SAS);(2)设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.则△ADF≌△ABG,DF=BG.由(1)知△AEG≌△AEF,∴EG=EF.∵∠CEF=45°,∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,∴CE=CF ,BE=BM,NF=DF,∴a﹣BE=a﹣DF,∴BE=DF,∴BE=BM=DF=BG,∴∠BMG=45°,∴∠GME=45°+45°=90°,∴EG2=ME2+MG2,∵EG=EF ,MG=BM=DF=NF,∴EF2=ME2+NF2;(3)EF2=2BE2+2DF2.如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2考点:四边形综合题3.已知Rt△ABD中,边AB=OB=1,∠ABO=90°问题探究:(1)以AB为边,在Rt△ABO的右边作正方形ABC,如图(1),则点O与点D的距离为.(2)以AB为边,在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC,如图(2),求点O与点C的距离.问题解决:(3)若线段DE=1,线段DE的两个端点D,E分别在射线OA、OB上滑动,以DE为边向外作等边三角形DEF,如图(3),则点O与点F的距离有没有最大值,如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.【答案】(1)、5;(2)、622+;(3)、3212++.【解析】【分析】试题分析:(1)、如图1中,连接OD,在Rt△ODC中,根据OD=22OC CD+计算即可.(2)、如图2中,作CE⊥OB于E,CF⊥AB于F,连接OC.在Rt△OCE中,根据OC=22OE CE+计算即可.(3)、如图3中,当OF⊥DE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM.分别求出MH、OM、FH即可解决问题.【详解】试题解析:(1)、如图1中,连接OD,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=1,∠C=90°在Rt△ODC中,∵∠C=90°,OC=2,CD=1,∴OD=2222215OC CD+=+=(2)、如图2中,作CE⊥OB于E,CF⊥AB于F,连接OC.∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°,∴四边形BECF是矩形,∴BF=CF=12,3在Rt△OCE中,222231122OE CE⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭62+(3)、如图3中,当OF⊥DE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM.∵FD=FE=DE=1,OF ⊥DE , ∴DH=HE ,OD=OE ,∠DOH=12∠DOE=22.5°, ∵OM=DM , ∴∠MOD=∠MDO=22.5°, ∴∠DMH=∠MDH=45°, ∴DH=HM=12, ∴DM=OM=22, ∵FH=223DF DH -=, ∴OF=OM+MH+FH=2132++=321++. ∴OF 的最大值为321++. 考点:四边形综合题.4.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON ,使点N 在格点上,且∠MON=90°;(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD ,使正方形ABCD 面积等于(1)中等腰直角三角形MON 面积的4倍,并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD 面积没有剩余(画出一种即可).【答案】(1)作图参见解析;(2)作图参见解析. 【解析】试题分析:(1)过点O 向线段OM 作垂线,此直线与格点的交点为N ,连接MN 即可;(2)根据勾股定理画出图形即可.试题解析:(1)过点O 向线段OM 作垂线,此直线与格点的交点为N ,连接MN ,如图1所示;(2)等腰直角三角形MON 面积是5,因此正方形面积是20,如图2所示;于是根据勾股定理画出图3:考点:1.作图﹣应用与设计作图;2.勾股定理.5.如图①,四边形ABCD 是知形,1,2AB BC ==,点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合),点F 是线段BA 延长线上一动点,连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==,已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.(1)求图②中y 与x 的函数表达式; (2)求证:DE DF ⊥;(3)是否存在x 的值,使得DEG △是等腰三角形?如果存在,求出x 的值;如果不存在,说明理由【答案】(1)y =﹣2x +4(0<x <2);(2)见解析;(3)存在,x =5455-32. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式;(2)证明△CDE ∽△ADF ,得∠ADF =∠CDE ,可得结论; (3)分三种情况:①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG ,②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H , ③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED , 分别列方程计算可得结论. 【详解】 (1)设y =kx +b ,由图象得:当x =1时,y =2,当x =0时,y =4, 代入得:24k b b +=⎧⎨=⎩,得24k b =-⎧⎨=⎩,∴y =﹣2x +4(0<x <2); (2)∵BE =x ,BC =2 ∴CE =2﹣x , ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-, ∴CE CDAF AD=, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠C =∠DAF =90°, ∴△CDE ∽△ADF , ∴∠ADF =∠CDE ,∴∠ADF +∠EDG =∠CDE +∠EDG =90°, ∴DE ⊥DF ;(3)假设存在x 的值,使得△DEG 是等腰三角形, ①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG , ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC ,∠B =90°, ∴∠DGE =∠GEB , ∴∠DEG =∠BEG , 在△DEF 和△BEF 中,FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DEF ≌△BEF (AAS ), ∴DE =BE =x ,CE =2﹣x ,∴在Rt △CDE 中,由勾股定理得:1+(2﹣x )2=x 2, x =54;②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H ,∵AD ∥BC ,EH ∥CD , ∴四边形CDHE 是平行四边形, ∴∠C =90°,∴四边形CDHE 是矩形,∴EH =CD =1,DH =CE =2﹣x ,EH ⊥DG , ∴HG =DH =2﹣x , ∴AG =2x ﹣2, ∵EH ∥CD ,DC ∥AB , ∴EH ∥AF , ∴△EHG ∽△FAG , ∴EH HGAF AG =, ∴124222xx x -=--, ∴125555x x -+==(舍), ③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED , ∵AD ∥BC , ∴∠GDE =∠DEC , ∴∠GED =∠DEC , ∵∠C =∠EDF =90°, ∴△CDE ∽△DFE , ∴CE DE CD DF =, ∵△CDE ∽△ADF , ∴12DE CD DF AD ==, ∴12CE CD =, ∴2﹣x =12,x =32, 综上,x =54或5-52或32.【点睛】本题是四边形的综合题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,三角形相似和全等的性质和判定,矩形和平行四边形的性质和判定,勾股定理和逆定理等知识,运用相似三角形的性质是解决本题的关键.6.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=1010,∴当点F1移动到点B时,t=101010÷=10;②当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'10,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,∴FN=t,F'N=3t,∵MH'=FN=t,EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,∴41533tt=-,∴t=4,∴EM=3,MH'=4,∴S=1451023(12)11248⨯+⨯=;当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是10t , ∵PF =310,∴PF'=10t ﹣310,在Rt △F'PK 中,13PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9,在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=43, ∴t =7,∴S =15×(15﹣7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.7.正方形ABCD ,点E 在边BC 上,点F 在对角线AC 上,连AE .(1)如图1,连EF ,若EF ⊥AC ,4AF =3AC ,AB =4,求△AEF 的周长;(2)如图2,若AF =AB ,过点F 作FG ⊥AC 交CD 于G ,点H 在线段FG 上(不与端点重合),连AH .若∠EAH =45°,求证:EC =HG+2FC .【答案】(1)25422)证明见解析【解析】【分析】(1)由正方形性质得出AB =BC =CD =AD =4,∠B =∠D =90°,∠ACB =∠ACD =∠BAC =∠ACD =45°,得出AC =2AB =42,求出AF =32,CF =AC ﹣AF =2,求出△CEF 是等腰直角三角形,得出EF =CF =2,CE =2CF =2,在Rt △AEF 中,由勾股定理求出AE ,即可得出△AEF 的周长;(2)延长GF 交BC 于M ,连接AG ,则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形,得出CM =CG ,CG =2CF ,证出BM =DG ,证明Rt △AFG ≌Rt △ADG 得出FG =DG ,BM =FG ,再证明△ABE ≌△AFH ,得出BE =FH ,即可得出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =BC =CD =AD =4,∠B =∠D =90°,∠ACB =∠ACD =∠BAC =∠ACD =45°, ∴AC =2AB =42,∵4AF =3AC =122,∴AF =32,∴CF =AC ﹣AF =2,∵EF ⊥AC ,∴△CEF 是等腰直角三角形,∴EF =CF =2,CE =2CF =2,在Rt △AEF 中,由勾股定理得:AE =2225AF EF +=,∴△AEF 的周长=AE +EF +AF =252322542++=+;(2)证明:延长GF 交BC 于M ,连接AG ,如图2所示:则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形,∴CM =CG ,CG 2,∴BM =DG ,∵AF =AB ,∴AF =AD ,在Rt △AFG 和Rt △ADG 中,AG AG AF AD =⎧⎨=⎩, ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL ),∴FG =DG ,∴BM =FG ,∵∠BAC =∠EAH =45°,∴∠BAE =∠FAH ,∵FG ⊥AC ,∴∠AFH =90°,在△ABE 和△AFH 中,90B AFH AB AFBAE FAH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABE ≌△AFH (ASA ),∴BE =FH ,∵BM =BE +EM ,FG =FH +HG ,∴EM =HG ,∵EC =EM +CM ,CM =CG =2CF ,∴EC =HG +2FC .【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.8.△ABC 为等边三角形,AF AB =.BCD BDC AEC ∠=∠=∠.(1)求证:四边形ABDF 是菱形.(2)若BD 是ABC ∠的角平分线,连接AD ,找出图中所有的等腰三角形.【答案】(1)证明见解析;(2)图中等腰三角形有△ABC ,△BDC ,△ABD ,△ADF ,△ADC ,△ADE .【解析】【分析】(1)先求证BD ∥AF ,证明四边形ABDF 是平行四边形,再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;(2)先利用BD 平分∠ABC ,得到BD 垂直平分线段AC ,进而证明△DAC 是等腰三角形,根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ,找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形,进而得到BC =BD =BA =AF =DF ,即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中,∵∠BCD =∠BDC ,∴BC =BD ,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∵AB=AF,∴BD=AF,∵∠BDC=∠AEC,∴BD∥AF,∴四边形ABDF是平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABDF是菱形.(2)解:如图2中,∵BA=BC,BD平分∠ABC,∴BD垂直平分线段AC,∴DA=DC,∴△DAC是等腰三角形,∵AF∥BD,BD⊥AC∴AF⊥AC,∴∠EAC=90°,∵∠DAC=∠DCA,∠DAC+∠DAE=90°,∠DCA+∠AEC=90°,∴∠DAE=∠DEA,∴DA=DE,∴△DAE是等腰三角形,∵BC=BD=BA=AF=DF,∴△BCD,△ABD,△ADF都是等腰三角形,综上所述,图中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,△ADE.【点睛】本题考查菱形的判定,等边三角形的性质,等腰三角形的判定等知识,属于中考常考题型,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.9.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣6,0)、点C(0,6),若正方形OABC绕点O顺时针旋转,得正方形OA′B′C′,记旋转角为α:(1)如图①,当α=45°时,求BC与A′B′的交点D的坐标;(2)如图②,当α=60°时,求点B′的坐标;(3)若P 为线段BC′的中点,求AP 长的取值范围(直接写出结果即可).【答案】(1)(662,6)-;(2)(333,333)-+;(3)323323AP -+剟.【解析】【分析】(1)当α=45°时,延长OA′经过点B ,在Rt △BA′D 中,∠OBC =45°,A′B =626-,可求得BD 的长,进而求得CD 的长,即可得出点D 的坐标;(2)过点C′作x 轴垂线MN ,交x 轴于点M ,过点B′作MN 的垂线,垂足为N ,证明△OMC′≌△C′NB′,可得C′N =OM =33,B′N =C′M =3,即可得出点B′的坐标;(3)连接OB ,AC 相交于点K ,则K 是OB 的中点,因为P 为线段BC′的中点,所以PK =12OC′=3,即点P 在以K 为圆心,3为半径的圆上运动,即可得出AP 长的取值范围. 【详解】解:(1)∵A (﹣6,0)、C (0,6),O (0,0),∴四边形OABC 是边长为6的正方形,当α=45°时,如图①,延长OA′经过点B ,∵OB =62,OA′=OA =6,∠OBC =45°,∴A′B =626-,∴BD =(626-)×21262=-,∴CD =6﹣(1262-)=626-,∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为(662-,6);(2)如图②,过点C′作x 轴垂线MN ,交x 轴于点M ,过点B′作MN 的垂线,垂足为N , ∵∠OC′B′=90°,∴∠OC′M =90°﹣∠B′C′N =∠C′B′N ,∵OC′=B′C′,∠OMC′=∠C′NB′=90°,∴△OMC′≌△C′NB′(AAS ),当α=60°时,∵∠A′OC′=90°,OC′=6,∴∠C′OM =30°,∴C′N =OM =33,B′N =C′M =3,∴点B′的坐标为()333,333-+;(3)如图③,连接OB ,AC 相交于点K ,则K 是OB 的中点,∵P 为线段BC′的中点,∴PK =12OC′=3,∴P 在以K 为圆心,3为半径的圆上运动,∵AK =32,∴AP 最大值为323+,AP 的最小值为323-,∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.【点睛】本题考查正方形性质,全等三角形判定与性质,三角形中位线定理.(3)问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹.10.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)【解析】试题分析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,∴1=x2+(2x+x)2,解得x=,∴BN=,∴BG=BN÷cos30°=.考点:1、正方形的性质,2、矩形的判定和性质,3、勾股定理,4、直角三角形30度的性质11.如图,抛物线y=mx2+2mx+n经过A(﹣3,0),C(0,﹣32)两点,与x轴交于另一点B.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E,写出点E的坐标,并求AC、BE的交点F的坐标(3)若抛物线的顶点为D,连结DC、DE,四边形CDEF是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.【答案】(1)y=12x2+x﹣32;(2)F点坐标为(﹣1,﹣1);(3)四边形CDEF是菱形.证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组求得该抛物线的解析式;根据(1)题所得的抛物线的解析式,可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标,由CE∥x轴,可知C、E关于对称轴对称。

中考数学专题题库∶平行四边形的综合题及详细答案

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∴ △ ABE≌ △ ACF.(ASA) ∴ BE=CF. (2)解:由(1)得△ ABE≌ △ ACF, 则 S△ ABE=S△ ACF. 故 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC, 是定值. 作 AH⊥BC 于 H 点, 则 BH=2, S 四边形 AECF=S△ ABC
则 AD=2AE,即 60﹣4t=2×2t,解得:t= 15 , 2
②如图 2,∠ DEF=90°,DE⊥AC,
则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t) ,解得:t=12, 综上所述,当 t= 15 或 12 时,△ DEF 为直角三角形.
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4.图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)在图 1 中画出等腰直角三角形 MON,使点 N 在格点上,且∠ MON=90°; (2)在图 2 中以格点为顶点画一个正方形 ABCD,使正方形 ABCD 面积等于(1)中等腰直 角三角形 MON 面积的 4 倍,并将正方形 ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角 形和一个正方形,且正方形 ABCD 面积没有剩余(画出一种即可).
【答案】(1)①45°;②BC 的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不 会发生变化,作图参见解析. 【解析】 试题分析:(1)当点 P 在线段 BC 上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求 出∠ DAE 度数,在三角形 AFD 中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由 E 为 DF 中 点,得到 P 为 BC 中点,如图 1,连接 BE 交 AF 于点 O,作 EG∥ AD,得 EG∥ BC,得到 AF 垂直平分 BE,进而得到三角形 BOP 与三角形 EOG 全等,利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1,得到 P 为 BC 中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点 P 是线段 BC 上任意一 点时(不与 B,C 重合),∠ AFD 的度数不会发生变化,作 AG⊥DF 于点 G,如图 1(a)所 示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠ 1+∠ 2 的度数,即为∠ FAG
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)存在,理由见解析;(3)不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,∴AB=AM=MD=DC=a,又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°,∴∠BMC=90°.(2)存在,理由:若∠BMC=90°,则∠AMB+∠DMC=90°,又∵∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠DMC,又∵∠A=∠D=90°,∴△ABM∽△DMC,∴AM ABCD DM=,设AM=x,则x aa b x =-,整理得:x2﹣bx+a2=0,∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2>0,∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,(3)不成立.理由:若∠BMC=90°,由(2)可知x2﹣bx+a2=0,∵b<2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2<0,∴方程没有实数根,∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质2.操作:如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究:(1)如图1,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;②若点E 恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数.归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?试证明你的结论;猜想:(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?试在图中画出图形,并直接写出结论.【答案】(1)①45°;②BC的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不会发生变化,作图参见解析.【解析】试题分析:(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE度数,在三角形AFD中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2的度数,即为∠FAG度数,即可求出∠F度数;(3)作出相应图形,如图2所示,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数不会发生变化,理由为:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可.试题解析:(1)①当点P在线段BC上时,∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②点E为DF 的中点时,P也为BC的中点,理由如下:如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,∵EG∥AD,DE=EF,∴EG=AD=1,∵AB=AE,∴点A在线段BE的垂直平分线上,同理可得点P在线段BE的垂直平分线上,∴AF垂直平分线段BE,∴OB=OE,∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE,∴△BOP≌△EOG,∴BP=EG=1,即P为BC的中点,∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF,∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°;(2)∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,在△ADE中,AD=AE,AG⊥DE,∵AG平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且∠1=∠BAP,∴∠1+∠2=×90°=45°,即∠FAG=45°,则∠AFD=90°﹣45°=45°;(3)如图2所示,∠AFE的大小不会发生变化,∠AFE=45°,作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,∴∠BAE=90°+2α,∴∠FAE=∠BAE=45°+α,∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,在Rt△AFG中,∠AFE=90°﹣45°=45°.考点:1.正方形的性质;2.折叠性质;3.全等三角形的判定与性质.3.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62或233.【解析】【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,∵△EFK是直角三角形,∴OF=12EK=OE;(2)如图2中,延长EO交CF于K,∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,在Rt△EFK中,tan∠3∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,∴EK=2FK=4,OF=12EK=2,∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,在Rt△PHF中,PH=12PF=1,3OH=23∴()2212362+-=如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°,∴∠BOP=90°,∴OP=33OE=233, 综上所述:OP 的长为62 或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.4.如图,在平行四边形ABCD 中,AD ⊥DB ,垂足为点D ,将平行四边形ABCD 折叠,使点B 落在点D 的位置,点C 落在点G 的位置,折痕为EF ,EF 交对角线BD 于点P . (1)连结CG ,请判断四边形DBCG 的形状,并说明理由;(2)若AE =BD ,求∠EDF 的度数.【答案】(1)四边形BCGD 是矩形,理由详见解析;(2)∠EDF =120°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可;(2)根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】解:(1)四边形BCGD 是矩形,理由如下,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC∥AD,即BC∥DG,由折叠可知,BC=DG,∴四边形BCGD是平行四边形,∵AD⊥BD,∴∠CBD=90°,∴四边形BCGD是矩形;(2)由折叠可知:EF垂直平分BD,∴BD⊥EF,DP=BP,∵AD⊥BD,∴EF∥AD∥BC,∴AE PD1BE BP==∴AE=BE,∴DE是Rt△ADB斜边上的中线,∴DE=AE=BE,∵AE=BD,∴DE=BD=BE,∴△DBE是等边三角形,∴∠EDB=∠DBE=60°,∵AB∥DC,∴∠DBC=∠DBE=60°,∴∠EDF=120°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠性质,等边三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度5.菱形ABCD中、∠BAD=120°,点O为射线CA上的动点,作射线OM与直线BC相交于点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60°,得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.(1)如图①,点O与点A重合时,点E,F分别在线段BC,CD上,请直接写出CE,CF,CA三条段段之间的数量关系;(2)如图②,点O在CA的延长线上,且OA=13AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上,请写出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系,并说明理由;(3)点O在线段AC上,若AB=6,BO=27,当CF=1时,请直接写出BE的长.【答案】(1)CA=CE+CF.(2)CF-CE=43AC.(3)BE的值为3或5或1.【解析】【分析】(1)如图①中,结论:CA=CE+CF.只要证明△ADF≌△ACE(SAS)即可解决问题;(2)结论:CF-CE=43AC.如图②中,如图作OG∥AD交CF于G,则△OGC是等边三角形.只要证明△FOG≌△EOC(ASA)即可解决问题;(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图①中,结论:CA=CE+CF.理由:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°∴AB=AD=DC=BC,∠BAC=∠DAC=60°∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∵∠DAC=∠EAF=60°,∴∠DAF=∠CAE,∵CA=AD,∠D=∠ACE=60°,∴△ADF≌△ACE(SAS),∴DF=CE,∴CE+CF=CF+DF=CD=AC,∴CA=CE+CF.(2)结论:CF-CE=43 AC.理由:如图②中,如图作OG∥AD交CF于G,则△OGC是等边三角形.∵∠GOC=∠FOE=60°,∴∠FOG=∠EOC,∵OG=OC,∠OGF=∠ACE=120°,∴△FOG≌△EOC(ASA),∴CE=FG,∵OC=OG,CA=CD,∴OA=DG,∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+13AC=43AC,(3)作BH⊥AC于H.∵AB=6,AH=CH=3,∴BH=33,如图③-1中,当点O在线段AH上,点F在线段CD上,点E在线段BC上时.∵7,∴22OB BH=1,∴OC=3+1=4,由(1)可知:CO=CE+CF,∵OC=4,CF=1,∴CE=3,∴BE=6-3=3.如图③-2中,当点O在线段AH上,点F在线段DC的延长线上,点E在线段BC上时.由(2)可知:CE-CF=OC,∴CE=4+1=5,∴BE=1.如图③-3中,当点O在线段CH上,点F在线段CD上,点E在线段BC上时.同法可证:OC=CE+CF,∵OC=CH-OH=3-1=2,CF=1,∴CE=1,∴BE=6-1=5.如图③-4中,当点O在线段CH上,点F在线段DC的延长线上,点E在线段BC上时.同法可知:CE-CF=OC,∴CE=2+1=3,∴BE=3,综上所述,满足条件的BE 的值为3或5或1.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.6.△ABC 为等边三角形,AF AB =.BCD BDC AEC ∠=∠=∠.(1)求证:四边形ABDF 是菱形.(2)若BD 是ABC ∠的角平分线,连接AD ,找出图中所有的等腰三角形.【答案】(1)证明见解析;(2)图中等腰三角形有△ABC ,△BDC ,△ABD ,△ADF ,△ADC ,△ADE .【解析】【分析】(1)先求证BD ∥AF ,证明四边形ABDF 是平行四边形,再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;(2)先利用BD 平分∠ABC ,得到BD 垂直平分线段AC ,进而证明△DAC 是等腰三角形,根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ,找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形,进而得到BC =BD =BA =AF =DF ,即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中,∵∠BCD =∠BDC ,∴BC =BD ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC ,∵AB =AF ,∴BD =AF ,∵∠BDC =∠AEC ,∴BD ∥AF ,∴四边形ABDF 是平行四边形,∵AB =AF ,∴四边形ABDF 是菱形.(2)解:如图2中,∵BA =BC ,BD 平分∠ABC ,∴BD 垂直平分线段AC ,∴DA =DC ,∴△DAC 是等腰三角形,∵AF ∥BD ,BD ⊥AC∴AF ⊥AC ,∴∠EAC =90°,∵∠DAC =∠DCA ,∠DAC +∠DAE =90°,∠DCA +∠AEC =90°,∴∠DAE =∠DEA ,∴DA =DE ,∴△DAE 是等腰三角形,∵BC =BD =BA =AF =DF ,∴△BCD ,△ABD ,△ADF 都是等腰三角形,综上所述,图中等腰三角形有△ABC ,△BDC ,△ABD ,△ADF ,△ADC ,△ADE .【点睛】本题考查菱形的判定,等边三角形的性质,等腰三角形的判定等知识,属于中考常考题型,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.7.问题情境在四边形ABCD 中,BA =BC ,DC ⊥AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ,M 是边AD 的中点,连接MB ,ME.特例探究(1)如图1,当∠ABC =90°时,写出线段MB 与ME 的数量关系,位置关系;(2)如图2,当∠ABC =120°时,试探究线段MB 与ME 的数量关系,并证明你的结论; 拓展延伸(3)如图3,当∠ABC =α时,请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系.【答案】(1)MB =ME ,MB ⊥ME ;(2)ME 3.证明见解析;(3)ME =MB·tan 2 .【解析】【分析】(1)如图1中,连接CM .只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可;(2)结论:EM=3MB .只要证明△EBM 是直角三角形,且∠MEB=30°即可; (3)结论:EM=BM•tan2 .证明方法类似;【详解】(1) 如图1中,连接CM .∵∠ACD=90°,AM=MD ,∴MC=MA=MD ,∵BA=BC ,∴BM 垂直平分AC ,∵∠ABC=90°,BA=BC ,∴∠MBE=12∠ABC=45°,∠ACB=∠DCE=45°, ∵AB ∥DE ,∴∠ABE+∠DEC=180°,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=∠CDE=45°,∴EC=ED ,∵MC=MD ,∴EM 垂直平分线段CD ,EM 平分∠DEC ,∴∠MEC=45°,∴△BME 是等腰直角三角形,∴BM=ME ,BM ⊥EM .故答案为BM=ME ,BM ⊥EM . (2)ME =3MB .证明如下:连接CM ,如解图所示.∵DC ⊥AC ,M 是边AD 的中点,∴MC =MA =MD .∵BA =BC ,∴BM 垂直平分AC .∵∠ABC =120°,BA =BC ,∴∠MBE =12∠ABC =60°,∠BAC =∠BCA =30°,∠DCE =60°. ∵AB ∥DE ,∴∠ABE +∠DEC =180°,∴∠DEC =60°,∴∠DCE =∠DEC =60°,∴△CDE 是等边三角形,∴EC =ED .∵MC =MD ,∴EM 垂直平分CD ,EM 平分∠DEC , ∴∠MEC =12∠DEC =30°, ∴∠MBE +∠MEB =90°,即∠BME =90°.在Rt △BME 中,∵∠MEB =30°,∴ME =3MB .(3) 如图3中,结论:EM=BM•tan 2α.理由:同法可证:BM ⊥EM ,BM 平分∠ABC ,所以EM=BM•tan2α. 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.8.如图,抛物线y=mx 2+2mx+n 经过A (﹣3,0),C (0,﹣32)两点,与x 轴交于另一点B .(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式;(2)过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ,写出点E 的坐标,并求AC 、BE 的交点F 的坐标 (3)若抛物线的顶点为D ,连结DC 、DE ,四边形CDEF 是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.【答案】(1)y=12x2+x﹣32;(2)F点坐标为(﹣1,﹣1);(3)四边形CDEF是菱形.证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组求得该抛物线的解析式;根据(1)题所得的抛物线的解析式,可确定抛物线的对称轴方程以及B、C点的坐标,由CE∥x轴,可知C、E关于对称轴对称。

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