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2020年中考二次函数压轴题一题30问(无答案)

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2020年九年级数学中考专题训练5 .二次函数压轴题

2020年九年级数学中考专题训练5 .二次函数压轴题

二次函数压轴题1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0<m <4)．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M . (1)求a 的值；(2)若PN ∶MN ＝1∶3，求m 的值；(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP 2、BP 2，求AP 2＋32BP 2的最小值．图① 图②第1题图解：(1)∵A (4，0)在抛物线上， ∴0＝16a ＋4(a ＋2)＋2，解得a ＝－12；(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2，令x ＝0可得y ＝2， ∴OB ＝2， ∵OP ＝m ，∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ，∴PN ＝12(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋32m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4，∴－12m 2＋32m ＋2＝4×12(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3；(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32，第1题解图由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2，∴OP 2OB ＝32，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32，∴当Q (0，92)时，QP 2＝32BP 2， ∴AP 2＋32BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，92)，∴AQ ＝42＋（92）2＝1452，即AP 2＋32BP 2的最小值为1452.2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标； (2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．第2题图解：(1)∵A (－2，0)，B (4，0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次函数表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4， 将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2＋92， ∴顶点D 的坐标为(1，92)；(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1c ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)(－2＜t ＜4)，∵PN ⊥x 轴于N ， ∴点N 的坐标为(t ，0)， ∵PN 交BC 于M ，∴点M 的坐标为(t ，－t ＋4)，(7分)∵PM ＝MN ，点P 在点M 的上方，∴PN ＝2MN ， 即－12t 2＋t ＋4＝2(－t ＋4)， 解得t 1＝2，t 2＝4(与B 重合舍去)，∴当PM ＝MN 时，点P 的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)， ∵DH ⊥x 轴于点H ， ∴PG ∥DH ， ∴△AHE ∽△AGP ， △BGP ∽△BHF ， ∴EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH ，∴EH＝AH·PGAG，FH＝BH·PGBG，(10分)当点G在BH上时，∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12t2＋t＋4，∴EH＋FH＝3(PGt＋2＋PG4－t)＝3·(－12)(t＋2)(t－4)·4－t＋t＋2（t＋2）（4－t）＝9，同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)由12x ＋1＝0，得x ＝－2， ∴A (－2，0)，由12x ＋1＝3，得x ＝4，∴B (4，3)． ∵y ＝ax 2＋bx －3经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2·a －2b －3＝042·a ＋4b －3＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，如解图，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E (0，1)． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP ＝∠AEO .∴sin ∠ACP ＝sin ∠AEO ＝OA AE ＝222＋12＝255；(2)①由(1)知，抛物线的解析式为 y ＝12x 2－12x －3， ∴P (m ，12m 2－12m －3)， C (m ，12m ＋1)，∴PC ＝12m ＋1－(12m 2－12m －3)＝－12m 2＋m ＋4.在Rt △PCD 中，PD ＝PC ·sin ∠ACP ＝(－12m 2＋m ＋4)×255＝－55(m －1)2＋955.∵－55<0，∴当m ＝1时，PD 有最大值955； ②存在，m ＝52或329.【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为点F 、G .第3题解图由图中几何关系可知 ∠FDP ＝∠DCP ＝∠AEO ，∴cos ∠FDP ＝cos ∠AEO ＝OE AE ＝122＋12＝55，在Rt △PDF 中，DF ＝cos ∠FDP ·PD ＝55PD ＝－15(m 2－2m －8)． 又∵BG ＝4－m ，∴PBCPCD S S △△＝DFBG ＝－15（m 2－2m －8）4－m＝m ＋25.当PBC PCDS S △△＝m ＋25＝910时，解得m ＝52； 当PBCPCDS S △△＝m ＋25＝109时，解得m ＝329.∴m ＝52或329.4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA ＝3，AB ＝4，在OC 上取一点E ，使OA ＝OE ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，E ，B 三点． (1)求B ，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA －ME |最大时，求M 点的坐标； (3)若点D 为OA 中点，过D 作DN ⊥BC 于点N ，连接AC ，若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合，PF ⊥DN 于F ，PG ⊥AC 于G ，连接GF ，是否存在点P ，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝3，AB ＝4, OA ＝OE ，∴A (0，3)，B (－4，3), E (－3，0)． 将A ，B ，E 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝316a －4b ＋c ＝39a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；(3分)(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴为直线x ＝－2，点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴当|MA －ME |最大时，M 在直线BE 与直线x ＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x ＝－2于点M ，M 点即为所求，如解图①，(5分)第4题解图①设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过B (－4，3)，E (－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝3－3k ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝－9， ∴直线BE 的解析式为y ＝－3x －9. 当x ＝－2时， y ＝－3， ∴M (－2，－3)；(7分)(3)设P (x ，0)(x ＜0)，如解图②，过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ，PG ⊥AC 于点G ，过点G 作GH ⊥OC 于点H ，交DN 于点Q ，连接GF ，第4题解图②∵OA ＝3，AB ＝4，∠AOC ＝90°， ∴AC ＝5，∵D 为OA 的中点，DN ⊥BC ， ∴PF ＝32，sin ∠1＝PG PC ＝OAAC ， ∴PG x ＋4＝35， ∴PG ＝3（x ＋4）5， ∵cos ∠1＝CG PC ＝OC AC ， ∴CG x ＋4＝45， ∴CG ＝4（x ＋4）5. ∵△CGH ∽△CAO ， ∴GH AO ＝CG CA ＝CH CO ， ∴GH 3＝CG 5＝CH 4，∴GH ＝35CG ＝35×4（x ＋4）5＝12（x ＋4）25， CH ＝45CG ＝45×4（x ＋4）5＝16（x ＋4）25，(9分) ∴PH ＝QF ＝OC －CH －OP ＝4－16（x ＋4）25＋x ＝9（x ＋4）25， GQ ＝GH －QH ＝12（x ＋4）25－32，∴在Rt △GQF 中，GF 2＝[12（x ＋4）25－32]2＋81（4＋x ）2625＝9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94. 要使△PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论： (ⅰ)当GF ＝GP 时， GF 2＝GP 2，∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝9（x ＋4）225， ∴x ＝－3916，∴P 1(－3916，0)；(11分) (ⅱ)当FG ＝FP 时，FG 2＝FP 2， ∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝94， ∴x 1＝－4，x 2＝0. ∵点P 不与C 重合， ∴x ＝－4(舍去)，∴P 2(0，0)； (12分)(ⅲ)当PG ＝PF 时，3（x ＋4）5＝32， ∴x ＝－32，∴P 3(－32，0)．(13分)综上所述，存在P 1(－3916，0)，P 2(0，0)，P 3(－32，0)使△PFG 为等腰三角形．(14分)5. 已知：直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，且交x 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，且点P 在AB 的下方，设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时，△P AB 的面积最大；②当△P AB 的面积最大时，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为点D ，问在直线PD 上是否存在点Q ，使△QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：(1)∵直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ， 则A (6，0)，B (0，－3)，又∵抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，则⎩⎨⎧0＝13×62＋6b ＋c －3＝c ， 解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－32x －3；(2)①∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，13m 2－32m －3)，∵点P 在直线AB 下方，∴0＜m ＜6，第5题解图①如解图①，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点E ，交x 轴于点D ， 则E (m ，12m －3)，∴PE ＝12m －3－(13m 2－32m －3)＝－13m 2＋2m ， ∴S △P AB ＝S △BPE ＋S △PEA ＝12PE ·OA ＝12(－13m 2＋2m )×6 ＝－(m －3)2＋9，∴当m ＝3时，△P AB 的面积最大；②在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形；点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．【解法提示】直线PD 的解析式为：x ＝3，易得C (－32，0)，D (3，0)， 当∠BCQ ＝90°时，如解图②，易证△COB ∽△QDC ，则CO OB ＝QDDC ，可得Q (3，94)；第5题解图②当∠CBQ ＝90°时，如解图③，易知Q 在AB 上，将x ＝3代入直线y ＝12x －3，得y ＝－32，∴Q (3，－32)；第5题解图③当∠BQC ＝90°时，如解图④，易证△CDQ ∽△QRB ，则CD QR ＝DQBR ，即923－DQ ＝DQ3，无解．第5题解图④综上所述，在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形，点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．6. 如图，抛物线y ＝x 2－4x －5与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且2<m<5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第6题图解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∵点B在点A的右侧，∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，∴点C的坐标为(0，－5)，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；(4分)(2)由题意可知，四边形EHDF 是矩形，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，点E 坐标为(m ，m 2－4m －5)， ∴EH ＝－m 2＋4m ＋5，EF ＝m －2，∴矩形EHDF 的周长为2(EH ＋EF )＝2(－m 2＋4m ＋5＋m －2)＝－2(m 2－5m －3)＝－2(m －52)2＋372， ∵－2<0，2<m <5，∴当m ＝52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(8分)第6题解图(3)存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形． 如解图，设点P 的坐标为(2，k )，∵B 和C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)， ∴BC ＝52＋52＝52， ①当∠CBP ＝90°时， ∵BC 2＋BP 2＝CP 2，∴(52)2＋(5－2)2＋(－k )2＝22＋(k ＋5)2，解得k ＝3， ∴P 1(2，3)；(10分) ②当∠PCB ＝90°， ∵BC 2＋PC 2＝BP 2，∴(52)2＋22＋(k ＋5)2＝(5－2)2＋(－k )2， 解得k ＝－7， ∴P 2(2，－7)；(12分) ③当∠CPB ＝90°时， ∵PC 2＋PB 2＝BC 2，∴22＋(k ＋5)2＋(5－2)2＋k 2＝(52)2， 解得k ＝1或k ＝－6， ∴P 3(2，1)，P 4(2，－6)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过A (2，0)，B (－4，0)两点，直线y ＝2x －2交y 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴交直线CD 于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)求点B 关于直线y ＝2x －2对称的点E 的坐标，判断点E 是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线CE 于点F ，是否存在这样的点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (2，0)，B (－4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×4＋2b ＋c ＝0－14×16－4b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－12c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2； (2)点E 在抛物线上，理由如下：如解图①，设直线CD ：y ＝2x －2与x 轴交于点N ，过点E 作EM ⊥x 轴，垂足为点M ，令y ＝2x －2＝0，解得x ＝1，∴点N 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，－2)， ∵BN 2＝25，BD 2＝20，DN 2＝5，BN 2＝BD 2＋DN 2， ∴BD ⊥CD ，∵点B 和点E 关于点D 对称， ∴BE ＝2BD ，∴BE ＝45，∵当x ＝－4时，y ＝2x －2＝－10， ∴点C 的坐标为(－4，－10)， ∵BN ＝5，BC ＝10， ∴CN ＝55，又∵∠MBE ＝∠BCN ，∠CBN ＝∠BME ， ∴△CBN ∽△BME ， ∴BE CN ＝ME BN ，即4555＝ME 5，∴ME ＝4，根据勾股定理得BM ＝BE 2－ME 2＝80－16＝8， ∴BM ＝8，∴OM ＝4， ∴点E 的坐标为(4，－4)， 当x ＝4时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×16－12×4＋2＝－4， ∴点E 在抛物线上；第7题解图①(3)存在，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 【解法提示】如解图②，设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋b ′，由(2)得点C (－4，－10)，E (4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ′＝－104k ＋b ′＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝34b ′＝－7，第7题解图②∴直线CE 的解析式为y ＝34x －7.∵PF ⊥x 轴，设点P 的坐标为(a ，－14a 2－12a ＋2)，则点F 的坐标为(a ，34a －7)，∴PF ＝|－14a 2－12a ＋2－(34a －7)|＝|－14a 2－54a ＋9|， 要使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∵PF ∥BC ， ∴PF ＝BC ＝10.当－14a 2－54a ＋9＝10时， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1， ∴点P 的坐标为(－1，94)，当－14a 2－54a ＋9＝－10时， 解得a 1＝－5＋3292， a 2＝－5－3292， ∴点P 的坐标为(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292， －3329＋1518)， 综上所述，存在点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点A (3，－3)和点B (33，0)，过点A 作直线AC ∥x 轴，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D .连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出相应点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)将点A (3，－3)，B (33，0)分别代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝3a ＋3b 0＝27a ＋33b， 解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－332，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－332x ；(2)设P 点的坐标为P (m ，12m 2－332m )，则D (m ，－3)， ∴PD ＝|12m 2－332m ＋3|，AD ＝|m －3|， ∵∠ACO ＝∠ADP ＝90°，∴①当△ACO ∽△ADP 时，有AC OC ＝ADPD ， 即33＝|m －3||12m 2－332m ＋3|，∴3|m －3|＝|12m 2－332m ＋3|，∴3(m －3)＝12m 2－332m ＋3或－3(m －3)＝12m 2－332m ＋3，整理得m 2－53m ＋12＝0或m 2－3m ＝0，解方程m 2－53m ＋12＝0得：m 1＝43，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程m 2－3m ＝0得：m 3＝0，m 4＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (0，0)或P (43，6)； ②当△ACO ∽△PDA 时，有AC OC ＝PDAD ， 即33＝|12m 2－332m ＋3||m －3|，∴3|12m 2－332m ＋3|＝|m －3|，∴3(12m 2－332m ＋3)＝m －3或－3(12m 2－332m ＋3)＝m －3， 整理得3m 2－11m ＋83＝0或3m 2－7m ＋43＝0，解方程3m 2－11m ＋83＝0，得：m 1＝833，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程3m 2－7m ＋43＝0，得：m 1＝433，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (833，－43)或P (433，－103)，综上可知：以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点P 的坐标为：P (0，0)或P (43，6)或P (833，－43)或P (433，－103)；(3)存在．在Rt △AOC 中，OC ＝3，AC ＝3，根据勾股定理得OA ＝23， ∵S △AOC ＝12OC ·AC ＝332，S △AOC ＝13S △AOQ ， ∴S △AOQ ＝932，∵OA ＝23，∴△AOQ 边OA 上的高为92，如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝92，第8题解图过点M作MN∥OA交y轴于点N，∵AC＝3，OA＝23，∴∠AOC＝30°，又∵MN∥OA∴∠MNO＝∠AOC＝30°，∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x 轴于点H，∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝12OM＝94，OH＝934，即M(934，94)，设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)，把点M的坐标代入得94＝934k＋9，即k＝－3，∴y＝－3x＋9，联立得⎩⎨⎧y ＝－3x ＋9y ＝12x 2－332x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23y ＝15，即Q (33，0)或(－23，15)．9. 如图，抛物线经过原点O (0，0)，与x 轴交于点A (3，0)，与直线l 交于点B (2，－2)． (1)求抛物线的解析式；(2)点C 是x 轴正半轴上一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l 于点E ，交抛物线于点F ，当EF ＝OE 时，请求出点C 的坐标；(3)点D 为抛物线的顶点，连接OD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠BOD ＝∠AOP ？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第9题图 备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将A (3，0)，B (2，－2)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝04a ＋2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ； (2)设直线l 的解析式为y ＝kx ，将B (2，－2)代入y ＝kx 中，得－2＝2k ， 解得k ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝－x ，设点C 的坐标为(n ，0)，则点E 的坐标为(n ，－n )，点F 的坐标为(n ，n 2－3n )．①当点C 在点A 的左侧时，如解图①所示，EF ＝－n －(n 2－3n )＝－n 2＋2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴－n 2＋2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 三点均与原点重合，舍去)，n 2＝2－2， ∴点C 的坐标为(2－2，0)；②当点C 在点A 的右侧时，如解图②所示，EF ＝n 2－3n －(－n )＝n 2－2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴n 2－2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 均与原点重合，舍去)，n 2＝2＋2， ∴点C 的坐标为(2＋2，0)；综上所述，当EF ＝OE 时，点C 的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)； (3)存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)． 【解法提示】抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94，∴顶点D 的坐标为(32，－94)，设抛物线的对称轴交直线l 于点M ，交x 轴正半轴于点N ，过点D 作DG ⊥OB 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如解图③所示，∵直线l 的解析式为y ＝－x ， ∴∠MON ＝45°，∴△ONM 为等腰直角三角形，ON ＝MN ＝32，OM ＝2ON ＝322， ∴DM ＝94－32＝34， 在Rt △DGM 中，∵∠DMG ＝∠NMO ＝45°， ∴Rt △DGM 为等腰直角三角形， ∴MG ＝DG ＝34×22＝328， ∴OG ＝OM ＋MG ＝322＋328＝1528.设点P 的坐标为(c ，c 2－3c )，当点P 在x 轴下方时，如解图③所示，OH ＝c ，HP ＝3c －c 2，第9题解图③∵∠HOP ＝∠BOD ，∴tan ∠HOP ＝tan ∠BOD ， ∴HP OH ＝DGOG ，即3c －c 2c ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝145， ∴点P 的坐标为(145，－1425)；当点P 在x 轴上方时，如解图④所示，OH ＝c ，HP ＝c 2－3c ，第9题解图④同理可得c 2－3cc ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝165， ∴P 点的坐标为(165，1625)．综上所述，存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)．10. 在平面直角坐标系中，直线y ＝12x －2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC ，DB ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图②，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由．图① 图②第10题图解：(1)直线y ＝12x －2中，令y ＝0，解得x ＝4， 令x ＝0，解得y ＝－2， ∴点B (4，0)，C (0，－2)，将点B (4，0)，C (0，－2)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧8＋4b ＋c ＝0c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－2， ∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－32x －2；第10题解图①(2)如解图①，过点D 作DE ∥y 轴，交BC 于点E ，设点D 的坐标为(x ，12x 2－32x －2)(－1<x <4)，则点E (x ，12x －2)，∴DE ＝12x －2－(12x 2－32x －2)＝－12x 2＋2x ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12(－12x 2＋2x )×4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，S 有最大值，S 的最大值为4；(3)存在，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.【解法提示】令y ＝0，则12x 2－32x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A (－1，0)，∵B (4，0)，C (0，－2)，∴AB 2＝52＝25，AC 2＝12＋(－2)2＝5，BC 2＝42＋22＝20，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，如解图②，取AB 的中点P ，第10题解图②∴P (32，0)，∴P A ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠ABC ，∴tan ∠CPO ＝OC OP ＝tan2∠ABC ＝43，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ，交BC 的延长线于点G ，连接CR ， ①当∠DCM ＝2∠ABC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∵DG ∥x 轴，∴∠DGC ＝∠ABC ，∴∠CDG ＝∠ABC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠ABC ＝OC OB ＝12，即CR DR ＝12，设点D (x ，12x 2－32x －2)，∴DR ＝x ，RC ＝－12x 2＋32x ，∴－12x 2＋32x x ＝12，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴点D 的横坐标为2；②当∠MDC ＝2∠ABC ，∴tan ∠MDC ＝43，设MC ＝4k ，∴DM ＝3k ，DC ＝5k ，∵tan ∠DGC ＝3k MG ＝12，∴MG ＝6k ，∴CG ＝2k ，∴DG ＝35k ，∵∠MGD ＝∠RGC ，∠DMG ＝∠CRG ＝90°， ∴△DMG ∽△CRG ，∴DM CR ＝DG CG ，∴CR ＝255k ，RG ＝2CR ＝455k ，即3k CR ＝35k 2k ，∴DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR CR ＝1155k 255k ＝x －12x 2＋32x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2911， ∴点D 的横坐标为2911，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.。

2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)

《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0）∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴，∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴ 解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1；（2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1，∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1），∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1，∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1）∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ，设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1），∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2，解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0） ②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0），∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3），∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），∵点M （1，4），点B （3，0）∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ，∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ，∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0），∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M 的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似，∵D （2，1），A （1，0），B （3，0），∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，联立， 解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ），∴点A 的坐标为（c ，0），∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴， 解得，或，∵函数图象开口向上，∴a ＞0，∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示，由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ， ∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ， ∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝，∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。

(二次函数的应用)30道中考动点压轴题和函数压轴题

(二次函数的应用)30道中考动点压轴题和函数压轴题

（二次函数）二次函数30道中考动点压轴题和函数压轴题1如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（12-，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A ﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？2如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。

点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sin ACP∠的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.3．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当k ＝－34时，设以C 为顶点的抛物线y ＝(x ＋m)2＋n 与直线AB 的另一交点为D （如图2）．① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？4．已知二次函数的图象经过A （2，0）、C （0，12）两点，与x 轴的另一交点为点B ，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，在直线y ＝2x 上是否存在点E ，使四边形ODBE 为等腰梯形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），以每秒 2 个单位长度的速度由点D 向点O 运动，过点P 作直线PQ ∥x 轴，交BD 于点Q ，将△DPQ 沿直线PQ 对折，得到△D 1PQ ．在点P 运动的过程中，设△D 1PQ 与梯形OPQB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．5．A 、C 上，抛物线y ＝－2 3）． （1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 由点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S ＝PQ2（cm 2）．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行图1图2图2 图1四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．6．在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以O 点为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图1），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y ＝ax2＋bx －2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①当t 为何值时，线段DF 平分△ABC 的面积？②是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）如图2，点P 在二次函数图象上运动，点Q 在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形？如果能，直接写出P 、Q 两点的坐标；如果不能，请说明理由．8．如图，直线y＝－43x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．9．已知抛物线y＝4，0）点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）记△EF A的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EF A的形状；（3）是否存在这样的t值，使△EF A、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t 与△APQ 面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．11．如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线经过点A （－3，0）和点C （0，3），与x 轴的另一交点为B ．点P 、Q 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接PQ ，将△BPQ 沿PQ 翻折，所得的△B ′PQ 与△ABC 重叠部分的面积记为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若点D 的坐标为（－4，3），当点B ′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M ，使四边形MADB ′的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋152（a ≠0）经过A （－3，0）、C （5，0）两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s ，过点P 作PM ⊥BD 交BC 于点M ，过点M 作MN ∥BD ，交抛物线于点N ． ①当t 为何值时，线段MN 最长；②在点P 运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O 、P 、形？若存在，求出此刻的t 值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y ＝－x2－2x ＋3与x 轴相交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求线段AC 所在直线的解析式；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一点，且S △MAC＝12S △MAB，求点M 的坐标； （3）点P 以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA 由B 向A 运动，同时，点Q 以每秒2个单位长度的速度，从A 开始沿射线AC 运动，当P 到达A 时，整个运动随即结束．设运动的时间为t 秒．①求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，△APQ 的面积最大，最大面积是多少？②在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线BC 相切？若能，请直接写出相应的t 值；若不能，请说明理由；③直接写出线段PQ 的中点在整个运动过程中所经过路径的长．14．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）15．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．16．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由17．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC 与直线x =4交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．(第2题)(图1) (图2)18．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。

2020中考数学考点必杀30题(二次函数压轴大题)(原卷版)

2020中考数学考点必杀30题(二次函数压轴大题)(原卷版)

2020中考考点必杀500题 专练14（二次函数压轴大题）（30道）1．（2019·辽宁省中考模拟）如图，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为()1,0-，与y 轴交于点()2,0C ，直线:2CD y x =-+与x 轴交于点D ．动点M 在抛物线上运动，过点M 作MP x ⊥轴，垂足为P ，交直线CD 于点N ． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OD 上时，CDM ∆的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点F 是x 轴上一动点，点M 在运动过程中，若以C E F M 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．2．（2019·山东省中考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点A B ，，点C 是第一象限内的一点，且AB AC AB AC =⊥，，抛物线1²2y x bx c =-++经过A C ，两点，与x 轴的另一交点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A B M N ，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·广东省中考模拟）已知抛物线y =ax 2+bx +3经过A(−1,0)和B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，点P 为第一象限抛物线上一动点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接OP ，交BC 于点D ，当S ΔCPD :S ΔBPD =1:2时，求出点P 的坐标；(3)如图2，点E 的坐标为(0,−1)，点G 为x 轴正半轴上一点，∠OGE =15°，连接PE ，是否存在点P ，使∠PEG =2∠OGE ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·四川省中考模拟）已知：如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点．()1求抛物线解析式及点D 的坐标；()2若直线l 过点D ，P 为直线l 上的动点，当以A 、B 、P 为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l 的解析式；()3如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到'OE ，旋转角为(090)αα<<，连接'E B 、'E C ，当1''2E B E C +取得最小值时，求直线'BE 与抛物线的交点坐标．5．（2019·江苏省中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D 坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．6．（2019·邢台市第八中学中考模拟）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.7．（2019·广西壮族自治区中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE△x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．8．（2019·吉林省中考模拟）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.9．（2019·江苏省中考模拟）已知：如图，抛物线21y ax bx c =++的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C （2，0）两点．（1）求抛物线21y ax bx c =++的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）； △证明点Q 一定落在抛物线22122y x m m=-上； △设有一个边长为m+1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线21y ax bx c =++和22122y x m m=-组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．10．（2019·广东省中考模拟）如图，已知抛物线经y ＝ax 2+bx ﹣3过A （1，0）、B （3，0）、C 三点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P 是BC 上方抛物线上一点，作PQ△y 轴交BC 于Q 点．请问是否存在点P 使得△BPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，点D 是线段AB 上一点，作DE△BC 交AC 于E 点，连接BE ．若△BDE△△CEB ，求D 点坐标．11．（2019·天津中考模拟）已知抛物线23y ax bx =++（a ，b 是常数，且0a ≠），经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C .（△）求抛物线的解析式；（△）若点P 是射线CB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ，交抛物线于点Q ，设P 点横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（△）在（△）的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH e =，已知d ，e 是以z 为未知数的一元二次方程()()2213521304z m z m m -++-+=（m 为常数）的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ ，MH ，PM ，且MP 平分QMH ∠，求出t 值及点M 的坐标.12．（2018·吉林省中考模拟）如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN△y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2019·福建省中考模拟）如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作△M．（1）求二次函数的表达式；（2）在点T的运动过程中，△△DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；△若MT＝12AD，求点M的坐标；（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH△x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．14．（2019·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是32x=-，且经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，直线l：y=kx+t（k≠0）经过A，C．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一个动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交AC 于点E ，过点P 作PF △AC ，垂足为F ，当△PEF △△AED 时，求出点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018·山东省中考模拟）如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点()1求m 的值及C 点坐标；()2在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由()3P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．16．（2019·南召县板山坪镇联合中学中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x ﹣3经过B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第四象限内抛物线上的动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交直线BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN △AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ．△求线段MN 的长d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；△点Q 是平面内一点，是否存在一点P ，使以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．17．（2019·山东省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；△连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12S S 的最大值；△过点D 作DF△AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于△BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由 18．（2019·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （-9，10），AC△x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．19．（2017·江苏省洪泽新区中学中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线233384y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）请直接写出A 、B 、C 三点的坐标：A B C（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动的时间为t(秒)，△ 当t 为何值时，BP ＝BQ ？△ 是否存在某一时刻t ，使△BPQ 是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值，若不存在，请说明理由．20．（2017·辽宁省南楼经济开发区中学中考模拟）如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y=ax 2+34x+c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC 面积的最大值；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．21．（2019·无锡市第二中学实验分校中考模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．（1）若△ABC的面积为8，求m的值；（2）在（1）的条件下，求DEOE的最大值；（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH△x 轴于H，过点H作HP△MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．22．（2017·海南省中考模拟）如图，抛物线y=﹣12（x+m）（x﹣4）（m＞0）交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，过点B的直线y=12x+b交y轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）把直线BD沿x轴翻折，交抛物线第二象限图象上一点E，过点E作x轴垂线，垂足为点F，求AF 的长；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，若四边形BDEP为平行四边形，求m的值及点P的坐标．23．（2018·山东省中考模拟）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且△MBO=△ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC△△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2017·山东省乳山市实验中学中考模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．△如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；△如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．25．（2019·陕西省中考模拟）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC△x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．△求抛物线的解析式；△是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2019·广东省中考模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF△x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若△MNC=90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．27．（2018·山东省中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.28．（2018·河南省中考模拟）如图，已知抛物线y=﹣14x 2﹣12x+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2018·天津中考模拟）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．30．（2018·广东省中考模拟）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S△求S关于t的函数表达式；△求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．。

2020年二次函数压轴题

2020年二次函数压轴题

2020年中考二次函数（图像）压轴题1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP 的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．3．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．（1）若△ACD的面积为16．①求抛物线解析式；②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．4.已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C 三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O 出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．7．已知，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP＝S△ACD，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动．（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x＝3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）填空：b＝，c＝，直线AC的解析式为；（2）直线x＝t与x轴相交于点H．①当t＝﹣3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD＝∠MAN，求出此时点D的坐标；②当﹣3＜t＜﹣1时（如图2），直线x＝t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC．求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．14．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．15．已知抛物线y＝x2+bx+6经过A（2，0），设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y＝x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．16．如图1，抛物线y＝﹣x2+与直线l1：y＝﹣x﹣3交于点A，点A的横坐标为﹣1，直线l1与x轴的交点为D，将直线l1向上平移后得到直线l2，直线l2刚好经过抛物线与x 轴正半轴的交点B和与y轴的交点C．（1）直接写出点A和点D的坐标，并求出点B的坐标；（2）若点M是抛物线第一象限内的一个动点，连接DM，交直线l2于点N，连接AM和AN．设△AMN的面积为S，当S取得最大值时，求出此时点M的坐标及S的最大值；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OB运动；同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿射线CB运动，设运动时间为t（t ＞0）．过P点作PH⊥x轴，交抛物线于点H，当点P、Q、H所组成的三角形是直角三角形时，直接写出t的值．17.已知二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k＝时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q，求证：．18．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．19．已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M 在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，△OP A是直角三角形？（3）若同时有一动点M从点A出发，以2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．21．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c的图象经过点A（0，﹣2），B（﹣4，0）两点，并与x轴正半轴交于点C，（1）求抛物线的解析式，（2）如图1，E（0，4），直线BD：y＝﹣x﹣2经过点B，与y轴负半轴交于点D，点Q从点E开始向y轴负半轴运动，当点Q运动到某一个位置时满足∠OBQ+∠OBD＝30°，求此时点Q坐标；（3）如图2，点P为x轴上线段BC上的一个动点，连接AP，K为AP上的一点（不与A，P重合），过点K作MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，点G为MN中点，四边形PMAN的面积为8，求AG的最大值．22.已知：如图，二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象的顶点，CD＝．（1）求a的值．（2）点M在二次函数y＝a（x+1）2﹣4图象的对称轴上，且∠AMC＝∠BDO，求点M 的坐标．（3）将二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF⊥FC1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．24.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D 的坐标为（4，0），连接AD，BC，点F从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点F停止时点M也停止运动．设点F的运动时间为t秒，过点F作AB 的垂线EF交直线AB于点E，交AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG，当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；（3）设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．26．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．28．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于B，与x轴交于点D、A，点A在点D的右边，顶点为F，C（0，1）（1）直接写出点B、A、F的坐标；（2）设Q在该抛物线上，且S△BAF＝S△BAQ，求点Q的坐标；（3）对大于1常数m，在x轴上是否存在点M，使得sin∠BMC＝？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由？29.如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y ＝x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．30.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y＝﹣x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB＝∠DCB，求△PCD的面积；（3）如图2，过点C作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H′恰好落在直线CD上，同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．31．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P 的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．32．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．33.抛物线y＝a（x+2）2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（﹣1，0），OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线与直线y＝﹣x﹣4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；（3）Q为直线y＝﹣x﹣4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB ＝2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析一、二次函数1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b +1图象的顶点，直线y ＝mx +5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B ．（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x +1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx +5＞﹣（x ﹣b ）2+4b +1，根据图象，写出x 的取值范围．（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t tSt t t⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b =且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，∴PB BKBN OB= ∴PB ＝83，∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键7．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b ) 由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =- 把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.8．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．9．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，52），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）∵y=﹣12（x﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题

中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。

2020年中考专项训练：二次函数压轴题30题(无答案)

2020年中考专项训练：二次函数压轴题30题(无答案)

中考专项训练：二次函数压轴题30题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A 在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx 与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON 于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．4．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2，连接AC．（1）求出直线AC的函数解析式；（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．6．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x 轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF 与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴相交于A、B两点．（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．12．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P 是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．16．如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A，B，C，D；（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．17．已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A （0，）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．22．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N 为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．23．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF 的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线y=﹣x2+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求△BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．27．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．29．已知：如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D﹣E﹣O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；30．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．。

2020年中考数学二次函数压轴题汇编(一)

2020年中考数学二次函数压轴题汇编(一)

2020年中考二次函数压轴题汇编（一）1.如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．2已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A 右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．3.若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．4在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x 轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．7如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC 于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．9如图，已知点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．10如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．二次函数压轴题汇编（一）答案解析1.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．2解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PD•OB＝16+×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x+16＝﹣（x﹣4）2+32∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32∵0＜x＜8，∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，又∵MN＝3，∴|﹣+2m|＝3，当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．3解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC （OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．4解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．5解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝＝，而且x2﹣x1＝，将上述两式联立并解得：x1＝﹣，x2＝4，则函数的表达式为：y＝m（x+）（x﹣4）＝m（x2﹣4x+x﹣6），即：﹣6m＝﹣4，解得：m＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x＝，则x＝和x＝﹣2关于对称轴对称，故其函数值相等，又a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，结合函数图象可得：，解得：﹣2≤a≤；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DG⊥OE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4）、（1，﹣5），则OB＝OC＝4，CG＝GC＝1，BC＝4，CD＝，故△BOC、△CDG均为等腰直角三角形，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠GCD＝90°，在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝4，∠BDC＝∠MCE，则tan∠MCE＝4，将点B、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BD的表达式为：y＝x﹣，故点E（0，﹣），设点M（n，n﹣），过点M作MF⊥CE于点F，则MF＝n，CF＝OF﹣OC＝﹣，tan∠MCE＝＝＝4，解得：n＝，故点M（，﹣）．6解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．7.解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，x﹣2），∵PE＝OD，∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即点D（﹣5，0）S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，BD＝1＝BM，则MH＝y M＝BM sin∠ABC＝1×＝，则x M ＝，故点M （﹣，﹣）；②当BD ＝DM （M ′）时，同理可得：点M ′（﹣，）；故点M 坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）． 8解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)． ∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ， 若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD 2PQ ＝4．设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1541m +=，2541m -= 综上，点P 的横坐标为4541+541-．②M(136，176-)或(236，76-)． 9解：（1）把点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得09301a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得13231a a c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋1．（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－13x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－13x2＋23x＋1)，则D(x，－13x＋1)．∴PD＝－13x2＋23x＋1－(－13x＋1)＝－13x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(x B－x C)＝12(－13x2＋x)(3－0)＝－12x2＋32x．又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，43），P2（2，1）．（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝R＝5，∴y Q＝－（1＋5）＝－1－5，∵Q在直线x＝1上，∴x Q＝1，∴Q（1，－1－5）．10解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，∵D（m，﹣m2﹣4m），∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，∴E（﹣m，m2+4m）如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，则H（m， m﹣），K（﹣m， m﹣），∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（m﹣）＝﹣m2m+，EK＝m2+4m﹣（m﹣）＝m2+m+，∵DE＝2EM∴＝，∵DH∥y轴，EK∥y轴∴DH∥EK∴△MEK∽△MDH∴＝＝，即DH＝3EK∴﹣m2m+＝3（m2+m+）解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，得，，∴点P的横坐标为：或．。

2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的存在性问题考点专练(pdf,含解析)

2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的存在性问题考点专练(pdf,含解析)
AB AM ∵A（-2，0），C（0，2），即 OA=OC=2，
∴∠CAB=∠BAM= 45o .
∵MN⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°，
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∴AN=MN.
【答案】（1） y 1 x2 1 x 2 ；（2）点 H 的坐标为（1， 3 ）；（3）当 m= 2 2
42
2
2 时，在第
四象限内抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.
【解析】
分析：
（1） 把点（2，2）代入 y 1 (x 2)(x m) (m 0) 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式； m
∴ m 22 2 2 2 2 m 1 .
解得：m= 2 2 2 . ∵m＞0，
∴m= 2 2 2 . ②当△ACB∽△MBA 时，有 AB = CB ，即AB2 CB·MA .
2 ∵当 x=1 时，y= 1 1 2 = 3 .
2
2
∴点 H 的坐标为（1， 3 ）.
2
（3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.
如下图，连接 AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，
由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB∽△ABM 时，有 AC = AB ，即AB2 AC·AM .
直线 OF 的解析式为y= x ，
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y x y 2x

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年中考数学压轴题专题复习：二次函数-答案

2020年中考数学压轴题专题复习：二次函数-答案
解得 ，
∴y＝x＋40，
∴y与x的函数关系式为：
y＝ ，(2分)
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系．
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)，
∵p＝mx＋n过点(60，80)，(30，140)，
∴ ，解得 ，
∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)，(3分)
11.【答案】(1＋ ，2)或(1－ ，2)【解析】抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，则点C坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴易得点P的纵坐标是2，当y＝2时，∴－x2＋2x＋3＝2，则x2－2x－1＝0，解得方程的两根是x＝ ＝1± ，∴点P的坐标是(1＋ ，2)或(1－ ，2)．
14.【答案】
解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得：
，(1分)
解得 ，(2分)
∴抛物线的解析式为y＝ x2－x＋2.(3分)
(2)抛物线解析式化为顶点式：y＝ (x－1)2＋ ，则抛物线顶点D(1， )，(4分)
如解图①所示，过点B、D、C分别向x轴作垂线，垂足分别为点M、N、H，则有：
6.【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，所以b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，反比例函数y＝ 位于第二、四象限，故答案为C.
二、填空题（本大题共5道小题）
7.【答案】(1，4)【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－ ＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).

专题12二次函数压轴解答题(共44道)-2020年中考数学真题分项汇编(原卷版)【全国通用

专题12二次函数压轴解答题(共44道)-2020年中考数学真题分项汇编(原卷版)【全国通用

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题12二次函数压轴解答题（共44道）一．解答题（共44小题）1．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．2．（2020•河南）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，且OA ＝OB ，点G 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G 的坐标；（2）点M ，N 为抛物线上两点（点M 在点N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点，求点Q 的纵坐标y Q 的取值范围．3．（2020•凉山州）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32）三点． （1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．4．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知△BAC 的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ．若存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2+bx +a ，y 2＝ax 2+bx +1（a ，b 是实数，a ≠0）．（1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式．（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（1r ，0）． （3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m +n ＝0，求m ，n 的值．6．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （2，3），C （2，1），直线y ＝x +m 经过点A ，抛物线y ＝ax 2+bx +1恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y ＝x +m 上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线y ＝ax 2+bx +1，使其顶点仍在直线y ＝x +m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．7．（2020•陕西）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．8．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．9．（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=√5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．12．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O 在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）15．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．16．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．①求直线BD的解析式；②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．17．（2020•天津）已知点A （1，0）是抛物线y ＝ax 2+bx +m （a ，b ，m 为常数，a ≠0，m ＜0）与x 轴的一个交点．（Ⅰ）当a ＝1，m ＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x 轴的另一个交点为M （m ，0），与y 轴的交点为C ，过点C 作直线1平行于x 轴，E 是直线1上的动点，F 是y 轴上的动点，EF ＝2√2．①当点E 落在抛物线上（不与点C 重合），且AE ＝EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是√2218．（2020•泰安）若一次函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为（3，0），二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE ．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，S △BFP ＝mS △BAF ．①当m =12时，求点P 的坐标；②求m 的最大值．19．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．21．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C ．过点C 的直线CA 与抛物线交于另一点A （点A 在对称轴左侧），点B 在AC 的延长线上，连结OA ，OB ，DA 和DB ．（1）如图1，当AC ∥x 轴时，①已知点A 的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD 是平行四边形，求证：b 2＝4c ．（2）如图2，若b ＝﹣2，BCAC =35，是否存在这样的点A ，使四边形AOBD 是平行四边形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线AB 相交于A ，B 两点，其中A （﹣3，﹣4），B （0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接P A ，PB ，求△P AB 面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•黔西南州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +6（a ≠0）交x 轴于点A （6，0）和点B （﹣1，0），交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图（2），点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分△AMN 的边MN 时，求点N 的坐标．24．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，﹣2），在x 轴上任取一点M ，连接AM ，分别以点A 和点M 为圆心，大于12AM 的长为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH ，过点M 作x 轴的垂线l 交直线GH 于点P ．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A 与PM 的数量关系为 ，其理由为： ．（2）在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格： M 的坐标… （﹣2，0） （0，0） （2，0） （4，0） … P 的坐标… （0，﹣1） （2，﹣2） … 猜想：（3）请根据上述表格中P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ，猜想曲线L 的形状是 ．验证：（4）设点P 的坐标是（x ，y ），根据图1中线段P A 与PM 的关系，求出y 关于x 的函数解析式． 应用：（5）如图3，点B （﹣1，√3），C （1，√3），点D 为曲线L 上任意一点，且∠BDC ＜30°，求点D 的纵坐标y D 的取值范围．25．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； （3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使△PQB ∽△CAB ．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2020•乐山）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．27．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +6经过两点A （﹣1，0），B （3，0），C 是抛物线与y 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．28．（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B ．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）当球运动到点C 时被东东抢到，CD ⊥x 轴于点D ，CD ＝2.6m ．①求OD 的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E （4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h 1（m ）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s 垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．29．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．30．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．31．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线P A与C2在y轴左侧的交点为B．（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；（2）设直线P A与y轴所夹的角为α．①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；（3）若P A＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．33．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．34．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．35．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，−12），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q的坐标．36．（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．37．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2020•聊城）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC 于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．39．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．40．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．（1）若点A的横坐标为8．①用含m的代数式表示M的坐标；②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．41．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．42．（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．43．（2020•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．44．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。

中考压轴题中的二次函数(一)-带标准答案和详细解析-30道解答题

中考压轴题中的二次函数(一)-带标准答案和详细解析-30道解答题

中考压轴题的中的二次函数(1)一.解答题(共30小题）1.（2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A（﹣4,0）,B（0，﹣4）,C（2，0）三点.(１)求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AＭＢ的面积为Ｓ．求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值．(3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Ｑ、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．２.(2015•枣庄)如图，直线ｙ=x+2与抛物线y=ax２+bx＋6(ａ≠0)相交于Ａ(,)和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PＣ⊥x轴于点Ｄ,交抛物线于点Ｃ．(１)求抛物线的解析式;(２）是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在,请说明理由；（3)求△PAＣ为直角三角形时点P的坐标．3.（2015•酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4),B（1，0），C(5，0）,其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由;(3）连接AC,在直线ＡＣ的下方的抛物线上,是否存在一点Ｎ,使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.4．(2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ａx２+ｂｘ+c（ａ≠0)的顶点为B(2，1),且过点A(0，2）,直线y＝ｘ与抛物线交于点D,E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线ｙ=x于点C,交x轴于点Ｇ,ＥF⊥x轴,垂足为F，点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PＱ⊥x轴，垂足为点Q,△ＰCQ为等边三角形(1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标;(3)求证:CＥ＝EF;(４)连接PＥ，在x轴上点Ｑ的右侧是否存在一点Ｍ,使△CQM与△CPE全等？若存在,试求出点Ｍ的坐标；若不存在,请说明理由.[注：3+２=（＋1）2].５.（2０15•龙岩）如图,已知点Ｄ在双曲线ｙ=（ｘ＞０)的图象上,以D为圆心的⊙D与y轴相切于点Ｃ(0,4)，与x轴交于A,B两点,抛物线y＝ax2＋bx+c经过A，Ｂ，C三点,点P是抛物线上的动点,且线段ＡP与BC所在直线有交点Ｑ．(1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；(２）证明∠ACO=∠OＢC;（3)探究是否存在点P，使点Q为线段ＡP的四等分点？若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由.6.（２01５•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ｘ2+bx+ｃ,经过A(0,﹣4）,B（ｘ1,0)，C（x２，０)三点,且|x２﹣x1|=5．(1）求ｂ，c的值；(2）在抛物线上求一点D,使得四边形BＤCE是以BC为对角线的菱形;（3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPＯＨ是以OB为对角线的菱形？若存在,求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在,请说明理由．7.(2０15•镇江）如图,二次函数y=ax2+bx＋ｃ（a≠0）的图象经过点(0,3)，且当x＝1时,y有最小值2．（1）求ａ，b，ｃ的值；(2)设二次函数y=k（2ｘ+2)﹣(ax2+bx+ｃ)(k为实数),它的图象的顶点为D．①当ｋ＝1时,求二次函数y=k(2x＋2)﹣(ax2+bx＋ｃ）的图象与x轴的交点坐标；②请在二次函数y=aｘ2＋bx＋ｃ与y=k（２x+2）﹣(ax2＋bx+c)的图象上各找出一个点Ｍ，Ｎ，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称,直接写出点M,N的坐标（点Ｍ在点Ｎ的上方）;③过点M的一次函数y＝﹣x＋t的图象与二次函数y=ax2+ｂｘ+ｃ的图象交于另一点P，当k为何值时,点Ｄ在∠NMP的平分线上？④当k取﹣2,﹣1,0,1，2时,通过计算,得到对应的抛物线y=ｋ(２x＋2)﹣（aｘ２+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣６,)，(0，﹣5）,(1,﹣２），（２,３),(3，10),请问:顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？８.(2015•绵阳）已知抛物线ｙ=﹣x２﹣2ｘ+a（a≠0）与y轴相交于Ａ点,顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、ｙ轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点.(１）若直线BＣ和抛物线有两个不同交点，求ａ的取值范围，并用a表示交点M,A的坐标; （２）将△ＮAC沿着ｙ轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上，ＡP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△ＰCD的面积；(３）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+a(ａ>0）上是否存在点P，使得以P，A,C，Ｎ为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．9.(2015•南宁）在平面直角坐标系中,已知A、B是抛物线y=ax２（a>０）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限,（1）如图１所示,当直线ＡB与ｘ轴平行,∠AOB=90°,且AB＝2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.(2)如图2所示,在（1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠ＡOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.(3）在(2）的条件下,若直线ｙ=﹣２x﹣2分别交直线ＡB，y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠ＯＣP，求点P的坐标．10.(２０１5•辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x＋3与抛物线y=ax2＋x＋ｃ相交于Ａ,Ｂ两点，其中点A在x轴上,点B在y轴上.(１）求抛物线的解析式;(2）在抛物线上存在一点M，使△ＭAＢ是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标;(3)如图2,点Ｅ为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AＯB在直线ＡB的同侧,∠BED=90°,△BDE沿着BＡ方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与Ａ重合时停止运动,设运动时间为ｔ秒，△BDＥ与△AOB重叠部分的面积为Ｓ,直接写出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围．11.(2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系ｘOy中,直线y=x+2与ｘ轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx＋c的对称轴是ｘ=﹣且经过A、C两点，与ｘ轴的另一交点为点B.（1）①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.(2)若点Ｐ为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PＡ，PC．求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.(3）抛物线上是否存在点M，过点Ｍ作ＭN垂直x轴于点Ｎ,使得以点A、Ｍ、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（２015•湘西州）如图,已知直线ｙ=﹣ｘ+３与ｘ轴、y轴分别交于A,Ｂ两点,抛物线y=﹣ｘ2+bx+ｃ经过A,B两点，点P在线段ＯA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接ＰＱ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；(２）问：当t为何值时，△APＱ为直角三角形；(３）过点Ｐ作PE∥y轴,交ＡB于点E，过点Q作QＦ∥ｙ轴，交抛物线于点F,连接EＦ,当EF∥ＰQ时，求点Ｆ的坐标；（４)设抛物线顶点为Ｍ,连接BＰ，ＢM,ＭQ,问：是否存在t的值，使以Ｂ，Q,Ｍ为顶点的三角形与以O，B,P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.１3．（2０１5•葫芦岛)如图，直线y=﹣x＋3与ｘ轴交于点Ｃ，与y轴交于点Ｂ,抛物线ｙ=aｘ2＋x+c经过Ｂ、C两点．(1)求抛物线的解析式;(2）如图，点E是直线ＢＣ上方抛物线上的一动点，当△BEＣ面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？（３)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线ＢＣ于点M，连接ＡM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以Ｐ、Q、A、Ｍ为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点Ｐ的坐标;如果不存在,请说明理由.１4.(201５•曲靖）如图，在平面直角坐标系xＯy中,直线l⊥ｙ轴于点B(0，﹣2)，A为OB 的中点,以A为顶点的抛物线y＝ａx２＋c与x轴交于Ｃ、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆.（1)求抛物线的解析式；(2）若⊙Ｐ与ｙ轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标;（3)判断直线l与⊙Ｐ的位置关系,并说明理由．15．（20１5•湘潭)如图，二次函数y=x2＋ｂｘ+c的图象交x轴于A（﹣1,0）、Ｂ(３，0)两点,交y轴于点C,连接BC,动点Ｐ以每秒1个单位长度的速度从A向B运动,动点Q以每秒个单位长度的速度从B向Ｃ运动,P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Ｑ同时停止运动，设运动时间为t秒.(1)求二次函数的解析式;（2)如图1，当△ＢPQ为直角三角形时，求t的值;(3）如图２,当t＜２时,延长QＰ交y轴于点Ｍ,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为ＭＮ的中点?若存在，求出点N的坐标与t的值;若不存在,请说明理由．１6．（2015•营口）如图1,一条抛物线与x轴交于A,B两点(点Ａ在点B的左侧)，与y轴交于点C,且当x=﹣１和ｘ=3时,y的值相等，直线y＝ｘ﹣与抛物线有两个交点,其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．(1）求这条抛物线的表达式．(2)动点P从原点O出发,在线段OＢ上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q 从点B出发,在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时,另一个点立即停止运动,设运动时间为t秒．①若使△BPＱ为直角三角形，请求出所有符合条件的ｔ值;②求t为何值时，四边形AＣQP的面积有最小值,最小值是多少？(3）如图2，当动点P运动到OB的中点时,过点P作ＰＤ⊥ｘ轴，交抛物线于点D，连接OD，OＭ，MD得△OＤM，将△OPＤ沿x轴向左平移m个单位长度（０<m＜2)，将平移后的三角形与△ＯＤM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．１７．（2015•潜江)已知抛物线经过Ａ(﹣３,０）,B(1,０),C(2,）三点,其对称轴交x轴于点Ｈ,一次函数y=kx+b（k≠0)的图象经过点C，与抛物线交于另一点Ｄ(点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2)如图１，当S△EOＣ=S△ＥAB时，求一次函数的解析式；（3)如图2,设∠ＣＥH=α,∠ＥＡH=β,当α＞β时,直接写出k的取值范围.18.（20１5•锦州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ=ax２+bx+2经过点A（﹣１,0）和点B(4,0)，且与y轴交于点C,点D的坐标为（２，０)，点P(m,n)是该抛物线上的一个动点，连接ＣＡ,CD，PD，PＢ．(１)求该抛物线的解析式；(2）当△ＰDB的面积等于△CAＤ的面积时，求点P的坐标；(３)当m＞０,n>0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x 轴于点G,连接EG，请直接写出随着点P的运动,线段EG的最小值.19.（2０1５•大庆）已知二次函数ｙ=x2＋ｂx﹣４的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为Ａ,且ｔan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；(2)P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO,求Q点坐标;(3）是否存在实数x1、x２（x1＜x2),当x１≤ｘ≤x2时，ｙ的取值范围为≤ｙ≤？若存在,直接写在x１,x２的值；若不存在,说明理由．2０．（２01５•达州)如图，在平面直角坐标系中,矩形OＡBC的边OＡ在ｙ轴的正半轴上，ＯＣ在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AＢ于点D,E为BC的中点,已知A（０，4)、C（５，0),二次函数ｙ＝x2+ｂｘ+c的图象抛物线经过A，Ｃ两点.（1)求该二次函数的表达式;(２）F、G分别为ｘ轴，y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEＦG周长的最小值；（3)抛物线上是否在点Ｐ,使△ODP的面积为12?若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在，请说明理由.2１.（２0１5•深圳)如图1，关于x的二次函数y=﹣x２+bｘ＋c经过点A(﹣3，0)，点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，Ｅ在x轴上．（1）求抛物线的解析式;(2）ＤE上是否存在点P到AD的距离与到ｘ轴的距离相等？若存在求出点Ｐ,若不存在请说明理由；(3)如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△ＦBC=3S△EBＣ?若存在求出点Ｆ的坐标,若不存在请说明理由．22.（2015•海南）如图，二次函数y=aｘ２+bｘ＋3的图象与ｘ轴相交于点A（﹣３，0）、B(1,0),与y轴相交于点Ｃ,点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点Ｈ(3，０)，ＡＤ平行GC交ｙ轴于点Ｄ.(1)求该二次函数的表达式；(2）求证:四边形ACHD是正方形;(3）如图2，点M(t，ｐ)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内,过点Ｍ的直线ｙ＝kｘ交二次函数的图象于另一点Ｎ．①若四边形ADCM的面积为S，请求出Ｓ关于t的函数表达式，并写出t的取值范围;②若△CＭＮ的面积等于，请求出此时①中Ｓ的值．2３．(2015•郴州）如图,已知抛物线经过点A（４,0),B（0，4）,C(6，6).（1)求抛物线的表达式;（２)证明:四边形AＯBＣ的两条对角线互相垂直;(3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱ＤEＦＧ?（顶点D，Ｅ,F，G分别在线段AO，OB,ＢC,CA上,且不与四边形AＯBC的顶点重合）若能，求出▱DEＦG的最大面积，并求出此时点Ｄ的坐标；若不能,请说明理由．24.（20１5•随州)如图，已知抛物线y＝(x＋2）（x﹣４）与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点Ｃ,CＤ∥x轴交抛物线于点D，Ｍ为抛物线的顶点．(1)求点A、Ｂ、C的坐标;（2）设动点N(﹣2，n），求使MN+ＢN的值最小时n的值；(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△AＢＤ相似(△PAB与△ＡBD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2５．(２015•遵义）如图，抛物线y=ａｘ２+bｘ+c(ａ≠０）与x轴交于A(﹣4，0)，B（2，0)，与y轴交于点C（0,2).(1)求抛物线的解析式;（2）若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以Ａ、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积;（3）以ＡB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1,﹣5)，并且与⊙M相切，求该直线的解析式．2６.（２015•内江)如图,抛物线与x轴交于点Ａ(﹣，0)、点Ｂ(２，0），与y轴交于点C(0，1),连接ＢC.(1)求抛物线的函数关系式;(２）点N为抛物线上的一个动点，过点N作ＮＰ⊥ｘ轴于点Ｐ，设点N的横坐标为t(﹣＜t＜2），求△ＡBN的面积S与t的函数关系式；(3）若﹣<t＜2且ｔ≠0时△OＰＮ∽△COB，求点Ｎ的坐标.27．（2015•安顺）如图，抛物线ｙ＝ax2＋ｂx+与直线AＢ交于点Ａ（﹣1,０),B（4,）,点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，Ｂ重合)，直线CD与y轴平行,交直线ＡＢ于点C,连接AD,BD．(1）求抛物线的解析式;（2)设点D的横坐标为m,△ＡDB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当Ｓ取最大值时的点C的坐标.28．（201５•抚顺)已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为（﹣6，0）,Ｂ点坐标为(４，0),点D为BＣ的中点，点Ｅ为线段AB上一动点，连接ＤE经过点Ａ、Ｂ、C三点的抛物线的解析式为y=aｘ2＋bx+8.(1）求抛物线的解析式；(2）如图①,将△BDE以ＤE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标；（3）如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线ｙ=aｘ2+bx＋８的对称轴上是否存在点F,使得以Ｃ、D、E、Ｆ为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标;若不存在，请说明理由．29．(20１5•昆明）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax２+x+ｃ(a≠0)与x轴交于Ａ、B 两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,点A的坐标为(4，０),抛物线的对称轴是直线ｘ=.(１)求抛物线的解析式；(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点Ｍ作MG⊥x轴于点G，交AＣ于点H，当线段CM=CH时,求点Ｍ的坐标;（3）在（2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°<α＜9０°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段ＧA上是否存在点P,使得以Ｐ、N、G为顶点的三角形与△ＡBC相似？如果存在，请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由．3０．（2０1５•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0,１）的距离与到直线ｙ=﹣１的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kｘ+1与y轴交于C点，与函数y＝x２的图象交于Ａ,B两点,分别过Ａ,B两点作直线ｙ=﹣１的垂线，交于E,F两点.（1）写出点C的坐标，并说明∠EＣF=9０°;(2)在△PEF中,M为EF中点，P为动点.①求证:PE2+PF2＝2（PＭ２＋EM2);②已知PE=PF=3,以EＦ为一条对角线作平行四边形CEDF,若１<ＰD<2,试求ＣP的取值范围.ﻬ中考压轴题的中的二次函数（1)参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）１．（2０16•贵阳模拟）在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4，０),B(0，﹣4),Ｃ（２,０）三点．（1）求抛物线的解析式;(2）若点Ｍ为第三象限内抛物线上一动点，点Ｍ的横坐标为ｍ,△AMB的面积为S.求Ｓ关于m的函数关系式,并求出S的最大值．（3)若点Ｐ是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣ｘ上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、Ｏ为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．考点: 二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题.分析:(1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式.（2）设出M点的坐标，利用S=Ｓ△AＯM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3)当OＢ是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;当ＯＢ是对角线时，由图可知点A与P应该重合.解答:解:(1）设此抛物线的函数解析式为：y=ａx2+bx＋c(a≠0）,将A(﹣4,0)，B（０，﹣4），C（2，０)三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=;（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上,∴M点的坐标为：（m,），∴S＝S△AＯM＋Ｓ△OＢM﹣S△AOB＝×４×（﹣m２﹣m＋4）+×４×(﹣ｍ）﹣×4×4＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m,=﹣(m＋2)2＋4，∵﹣4＜m<０，当m=﹣2时，S有最大值为:Ｓ=﹣４+8=4．答：ｍ=﹣２时Ｓ有最大值S=４.（３)设Ｐ（x,x2+ｘ﹣4）.当OB为边时,根据平行四边形的性质知PB∥OQ,∴Q的横坐标的绝对值等于Ｐ的横坐标的绝对值,又∵直线的解析式为y=﹣x,则Q（x，﹣x）．由ＰQ=ＯB,得|﹣x﹣(x2+ｘ﹣４）｜=４,解得ｘ=0,﹣４,﹣2±2.x＝0不合题意,舍去.如图,当BＯ为对角线时，知A与P应该重合，OP=4.四边形PBQＯ为平行四边形则BQ＝ＯP=4，Ｑ横坐标为4,代入ｙ=﹣ｘ得出Q为(４，﹣4）．由此可得Q(﹣4,4)或(﹣２＋2,2﹣2）或(﹣2﹣2，2＋２）或（４,﹣4)．点评：本题考查了三点式求抛物线的方法,以及抛物线的性质和最值的求解方法.2.(20１5•枣庄)如图，直线y=ｘ+2与抛物线y＝ax2＋bx+６（ａ≠0）相交于A（,）和B(４，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的Ｐ点,使线段PC的长有最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3）求△PＡC为直角三角形时点P的坐标.考点: 二次函数综合题.专题: 几何综合题;压轴题．分析：(1)已知B（4,m）在直线ｙ＝x+2上，可求得m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．(２)要弄清PＣ的长,实际是直线AＢ与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出Ｐ、Ｃ的纵坐标,进而得到关于PＣ与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3)当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形,需要分类讨论,分别求解.解答：解:（1)∵Ｂ(４，ｍ）在直线y＝x+2上，∴m=4+2=6，∴Ｂ（4,6），∵Ａ（，）、B(4，6）在抛物线ｙ=ax2+bｘ+6上,∴,解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣８x+６．（2)设动点P的坐标为（ｎ，n+２），则C点的坐标为（n,2ｎ２﹣8ｎ+6），∴PC＝(n＋2)﹣（２ｎ２﹣8n+6),=﹣2n2+9ｎ﹣4，=﹣2(n﹣)2+，∵PＣ＞0，∴当ｎ=时,线段PC最大且为.（3)∵△PAC为直角三角形，i)若点P为直角顶点，则∠APC=9０°.由题意易知,PC∥y轴，∠APC=45°,因此这种情形不存在；ii)若点A为直角顶点,则∠PＡC=9０°.如答图３﹣１,过点A（，)作AN⊥ｘ轴于点N，则OＮ=，AN＝.过点A作ＡM⊥直线AB，交x轴于点M,则由题意易知,△AMＮ为等腰直角三角形, ∴ＭN=AN=，∴OM=ON+MN=＋＝3,∴M（3，0)．设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y＝2ｘ２﹣8x+6 ②联立①②式，解得:x=3或ｘ=(与点Ａ重合，舍去）∴C(3，0），即点C、Ｍ点重合．当x=3时,ｙ=x+２=５,∴Ｐ1（３，5);iii）若点C为直角顶点,则∠AＣP=90°．∵y=2x２﹣8x＋6=２(x﹣2）２﹣２,∴抛物线的对称轴为直线x＝２．如答图3﹣2,作点A(，）关于对称轴ｘ=2的对称点Ｃ，则点C在抛物线上,且C(,）.当x=时，y=ｘ+2＝.∴P2（,）．∵点Ｐ1（3，5）、P2(,)均在线段AＢ上,∴综上所述,△ＰＡC为直角三角形时,点P的坐标为(３，5）或（,）.点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．３．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中,抛物线经过点A（0,4)，B(１,0），C(5，0），其对称轴与x轴相交于点M．(１)求抛物线的解析式和对称轴;(２)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由；(３）连接AC,在直线AＣ的下方的抛物线上,是否存在一点N，使△ＮAC的面积最大？若存在，请求出点Ｎ的坐标;若不存在,请说明理由.考点: 二次函数综合题．专题: 压轴题.分析:(1)抛物线经过点A(0，4）,B（1，0),Ｃ(５，0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为ｙ＝a(x﹣１）(x﹣5），代入A（0,4）即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;（2)点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4)，连接BA′交对称轴于点P，连接A Ｐ,此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式,即可得出点Ｐ的坐标．（３)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点Ｎ(ｔ,t2﹣t+4）(0<ｔ<5），再求得直线AC的解析式,即可求得ＮG的长与△ＡCN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答:解:（1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1)（x﹣5），把点A（0，４）代入上式得:ａ=，∴y＝（x﹣1）(ｘ﹣5）＝x2﹣x+4＝(x﹣3）2﹣,∴抛物线的对称轴是：ｘ=3；(２)P点坐标为(3，)．理由如下：∵点Ａ（0，４),抛物线的对称轴是x＝３，∴点A关于对称轴的对称点Ａ′的坐标为（6,4)如图1,连接BＡ′交对称轴于点P，连接ＡP，此时△ＰAB的周长最小.设直线BA′的解析式为y=kx+b,把Ａ′（6,4),Ｂ（1,0）代入得，解得，∴ｙ＝x﹣,∵点P的横坐标为３，∴ｙ=×3﹣＝,∴Ｐ（3,）.（3)在直线AC的下方的抛物线上存在点Ｎ，使△NAC面积最大.设Ｎ点的横坐标为t，此时点N(t,t２﹣t+４）(０＜t＜５），如图2，过点N作ＮG∥y轴交AC于G；作ＡD⊥NG于D,由点A(０,4)和点Ｃ(5，０)可求出直线AC的解析式为:y=﹣ｘ＋４，把ｘ＝t代入得:y=﹣ｔ+4，则Ｇ（ｔ，﹣t＋4)，此时:NG=﹣t+4﹣（ｔ2﹣ｔ＋4）=﹣t2+4ｔ，∵AD+CＦ=CO=5，∴S△ACN=S△ＡNＧ+S△CGN=AＭ×ＮG+NG×ＣＦ=AＤ•OＣ＝×(﹣t2+4t)×5＝﹣２t2+１0t=﹣2(ｔ﹣）2+，∴当t=时，△ＣAN面积的最大值为，由t=，得：ｙ=t2﹣t＋4=﹣3,∴N(，﹣3）．点评:本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用.4．(2015•通辽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ａx２+bx+ｃ（a≠0)的顶点为B（2,1)，且过点A（0,２),直线ｙ=x与抛物线交于点D,Ｅ（点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交ｘ轴于点G，EF⊥ｘ轴,垂足为Ｆ,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧，ＰQ⊥ｘ轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1)求该抛物线的解析式;（２）求点P的坐标；(３）求证:CＥ=EＦ；（４）连接PＥ,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△ＣＱＭ与△CPE全等？若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由．［注：3+2＝（+1）２].考点: 二次函数综合题.专题: 压轴题.分析:(1）根据抛物线的顶点是(2,1）,因而设抛物线的表达式为ｙ＝ａ（ｘ﹣2)２+1,把Ａ的坐标代入即可求得函数的解析式；（2)根据△PCQ为等边三角形，则△ＣGＱ中,∠CQD=３０°，CG的长度可以求得,利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CＱP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得Ｐ的坐标；(3)解方程组即可求得E的坐标,则EＦ的长等于E的纵坐标,ＯE的长度，利用勾股定理可以求得,同理,OC的长度可以求得,则ＣE的长度即可求解；(4)可以利用反证法,假设x轴上存在一点,使△ＣQＭ≌△CＰE,可以证得ＥＭ＝EＦ，即M与F重合，与点E为直线y=ｘ上的点，∠ＣEF=45°即点Ｍ与点F不重合相矛盾，故M不存在.解答:解：（１)设抛物线的表达式为y=a(ｘ﹣２）2+1,将点Ａ（0，2）代入，得ａ（０﹣2)2+1=2, 解这个方程，得a=,∴抛物线的表达式为y＝（ｘ﹣2)2+1＝x2﹣x+2;（２）将x=2代入y=x,得y＝2∴点C的坐标为（２,2）即CG=2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CＱP=6０°,CQ=PＱ,∵ＰＱ⊥x轴，∴∠CＱＧ＝30°，∴ＣQ=4，GQ＝２.∴ＯQ=2+2，PＱ=4，将y=4代入y=(x﹣２)2+1，得４=(x﹣２)2+1解这个方程,得ｘ１=２+2=OQ,ｘ２=2﹣2<0（不合题意，舍去).∴点P的坐标为(2+2，4)；(3)把y＝x代入y=x2﹣x+2，得x＝x2﹣x＋2解这个方程，得x1=４+2,x２＝4﹣2<２(不合题意,舍去）∴y=4+2＝EＦ∴点E的坐标为（4+2，４+2)∴ＯE=＝4+4,又∵OC==2,∴CＥ=OE﹣OＣ=4+２,∴CE＝EＦ；（4)不存在．如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CＥ,∠QCM=∠ＰCＥ∵∠QCP＝60°,∴∠MCE＝６0°又∵ＣE＝EＦ,∴EM=EF,又∵点Ｅ为直线y=x上的点,∴∠CEＦ=４５°,∴点Ｍ与点F不重合．∵EＦ⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误,满足条件的点M不存在.点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质,解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．5.（２015•龙岩)如图,已知点D在双曲线ｙ＝（ｘ＞0)的图象上,以D为圆心的⊙D与ｙ轴相切于点C(０，4)，与x轴交于Ａ,Ｂ两点,抛物线ｙ＝ax2+bｘ+c经过Ａ,B,C三点,点P是抛物线上的动点,且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1)写出点Ｄ的坐标并求出抛物线的解析式;(2)证明∠ACO＝∠ＯBC；（３）探究是否存在点P，使点Ｑ为线段AP的四等分点?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题.分析:（1)根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接AD,BD,易得出Ａ,Ｂ的坐标，即可求出抛物线的解析式;(２）连接AC，tan∠ACＯ=＝,tan∠CBＯ＝=，即可得出∠ACＯ＝∠CBO．(３）分别过点Ｑ,P作ＱF⊥ｘ轴,PG⊥x轴,垂足分别为Ｆ,G,设P（t，t2﹣ｔ+4),分三种情况①AＱ:AP＝１:4，②AＱ:AP=2：４,③AQ：AＰ=3:4,分别求解即可．解答:解：(1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点Ｃ（0,4)，∴点D的纵坐标是4,又∵点D在双曲线y＝（ｘ＞0)的图象上，∴4=,解得x=５，故点D的坐标是(5,4）.如图1，过点D作ＤＥ⊥ｘ轴,垂足为E,连接AD,BＤ,在RT△DＡE中,DA=5，DＥ＝4,∴AE＝=3，∴OA=OE﹣ＡE=2，OB=OA+2ＡE=8，∴A（2，０)，B(8，0）,设抛物线的解析式为y=a（ｘ﹣2)(x﹣8），由于它过点C（0,4）, ∴a(0﹣2）(0﹣8）=4，解得a=,∴抛物线的解析式为y＝x2﹣ｘ+4．（2）如图2，连接AC，在RＴ△AOC中，ＯA=2,CO=４,∴tan∠ACＯ=＝，在RＴ△BOC中，OＢ=８，CＯ＝4，∴tan∠CＢO==，∴∠ACＯ＝∠CＢO.（3)∵Ｂ（8,0），C(0,４）,∴直线BC的解析式为y＝﹣ｘ+４,如图3，分别过点Ｑ，Ｐ作QF⊥x轴,PG⊥ｘ轴，垂足分别为F,Ｇ，设P(ｔ,ｔ2﹣ｔ+4）,①AQ:AP=1:４,则易得Q（，)，∵点Ｑ在直线y=﹣x+4上,∴﹣+4=,整理得t2﹣８ｔ﹣36=0，解得t1=4+2，t2=４﹣2，∴P１(４+2,1１﹣),P２（４﹣2,11＋)，②AＱ：AP=2:4，则易得Q（,），∵点Q在直线y＝﹣ｘ+4上，∴﹣•+4=，整理得t２﹣8t﹣12＝0，解得P3＝４＋2,P4=４﹣2,∴P3（4＋２，５﹣)，Ｐ4（4﹣2，5+）;③ＡQ：AP=３:４，则易得Q(，）,∵点Ｑ在直线y=﹣x+4上,∴﹣•+４＝,整理得t2﹣８t﹣4=０,解得t５=4＋2,t６＝4﹣2，∴P５(４+２,３﹣）,Ｐ6(4﹣2，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点,其坐标分别为Ｐ1(4＋２，１1﹣),P2(4﹣2,11+）,P３(4+2，５﹣)，P４（4﹣2,５+）；P５（４＋2,3﹣），P6（4﹣2，3+).点评:本题主要考查了二次函数的综合题,涉及双曲线,一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解.6．（20１５•甘南州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ=﹣x2+bｘ+c，经过A(0,﹣4),B（x1，０),C(x2,0)三点，且|ｘ2﹣ｘ１｜＝5．（1）求b，c的值；(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以ＢC为对角线的菱形；(３）在抛物线上是否存在一点Ｐ,使得四边形BＰOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题.专题：压轴题．分析:(１)把A(０，﹣4)代入可求c,运用两根关系及|x2﹣x1|=５,对式子合理变形，求ｂ;(2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；(3）由四边形BPOH是以OＢ为对角线的菱形,可得PH垂直平分OＢ,求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段ＯB的长度关系,判断是否为正方形即可.解答:解：（1）∵抛物线y＝﹣ｘ２+bｘ+c，经过点A(0，﹣4），∴ｃ=﹣4又∵由题意可知,x1、ｘ２是方程﹣x2+bｘ﹣４＝0的两个根,∴x１+x2=b,x１ｘ２＝6由已知得（x2﹣x1)2=２5又∵(x2﹣x1)2=（x2＋ｘ1）２﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24＝25解得ｂ＝±,当ｂ=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.∴ｂ=﹣．（2)∵四边形ＢDCE是以ＢC为对角线的菱形，根据菱形的性质,点Ｄ必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x２﹣x﹣4=﹣(x＋）2+，∴抛物线的顶点（﹣,)即为所求的点D．(3)∵四边形BＰOH是以OＢ为对角线的菱形,点B的坐标为（﹣6,0),根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线ｙ=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时,y=﹣×(﹣３)2﹣×（﹣3）﹣４=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3,４）,使得四边形BPOH为菱形.四边形ＢPＯH不能成为正方形,因为如果四边形ＢPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3,3),但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法,根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．7.(201５•镇江）如图,二次函数y＝ａx２+ｂｘ+c（ａ≠0）的图象经过点(0，３），且当x=1时，y有最小值2.（1)求a，b，c的值;（2)设二次函数ｙ＝ｋ（2ｘ＋2)﹣（ax2+bx+ｃ）（k为实数）,它的图象的顶点为Ｄ．①当k=１时,求二次函数ｙ=ｋ（2ｘ+2)﹣(ax２+bｘ+c)的图象与x轴的交点坐标;②请在二次函数y=ａx2+bx+c与y＝k(２x+2）﹣(ax２+bx＋c)的图象上各找出一个点Ｍ，Ｎ，不论ｋ取何值,这两个点始终关于ｘ轴对称，直接写出点Ｍ，N的坐标（点M在点Ｎ的上方)；③过点M的一次函数y=﹣ｘ+t的图象与二次函数y=ax2＋bx+ｃ的图象交于另一点P,当k为何值时,点D在∠ＮMＰ的平分线上？④当ｋ取﹣２，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+２)﹣（ax2＋bx+ｃ)的顶点分别为(﹣1，﹣６,）,(0,﹣5）,(１，﹣２），（2，3),（３，１0)，请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？考点：二次函数综合题．专题: 压轴题．分析：（１）利用顶点式的解析式求解即可；(2）)①当ｋ=１时,y＝﹣ｘ2+4x﹣1,令y=0,﹣x2+4ｘ﹣１=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；②ｙ=k（2x+2)﹣（ax2+bx＋ｃ)当经x=﹣1时，y=ax２+bｘ＋ｃ与y=ｋ（2ｘ+２)﹣。

人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数 期中压轴题专题练习题(无答案)

人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数 期中压轴题专题练习题(无答案)

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数期中压轴题专题练习题1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．7、如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a ＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．8、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B 两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．9、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．10、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．11、在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．12、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG 所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A （﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．14、如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．15、如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P 为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．16、如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．。

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)2020年中考数学二次函数压轴题专题复1.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$交$x$轴于$A、B$两点，交$y$轴于点$C(0,c)$，$OA=1$，$OB=4$，直线$l$过点$A$，交$y$轴$CD$于点$D$，交抛物线于点$E$，且满足$\tan∠OAD=$。

1）求抛物线的解析式；2）动点$P$从点$B$出发，沿$x$轴正方向以每秒$2$个单位长度的速度向点$A$运动，动点$Q$从点$A$出发，沿射线$AE$以每秒$1$个单位长度的速度向点$E$运动，当点$P$运动到点$A$时，点$Q$也停止运动，设运动时间为$t$秒。

①在$P、Q$的运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\triangleADC$与$\triangle PQA$相似，若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。

②在$P、Q$的运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使得$\triangle APQ$与$\triangle CAQ$的面积之和最大？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由。

2.在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$交$x$轴于$A、B$两点（$A$在$B$的左侧），且$OA=3$，$OB=1$，与$y$轴交于$C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为$D(-1,4)$。

1）求$A、B$两点的坐标；2）求抛物线的解析式；3）过点$D$作直线$DE\parallel y$轴，交$x$轴于点$E$，点$P$是抛物线上$B、D$两点间的一个动点（点$P$不与$B、D$两点重合），$PA、PB$与直线$DE$分别交于点$F、G$，当点$P$运动时，$EF+EG$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。

3.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A、B$，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为（$-4,0$），$P$是抛物线上一点（点$P$与点$A、B、C$不重合）。

2020--2021学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合练习(无答案)

2020--2021学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 压轴题综合练习(无答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数复习压轴题综合练习1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；2、二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．3、已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B ．（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP=OQ ，求点Q 的坐标．4、已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，与y 轴相交于点()()030C m m ->，，顶点为点D 。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；⑵如图①，当2∆的面m=时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；⑶如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC∆相似？5、在直角坐标系xoy中，(0,2)B-，将ABOA、(1,0)∆经过旋转、平移变化后得到如图所示的BCD∆.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将∆的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标；ABC（3）现将ABO∆分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运∆、BCD动过程中ABO∆重叠部分面积的最大值.∆与BCD6、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x 轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．7、如图，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（10，8），沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为（6，8），抛物线y=ax 2+bx+c 经过O 、A 、E 三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD 的长；（3）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标．8、如图，抛物线252++=bx ax y 与直线AB 交于点A （－1，0），B （4，25）．点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点（不与点A ，B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，△ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；9、如图，抛物线y＝－x2+x－4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。

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y
A
O B
x
C
D
十字相乘
y = ax 2 + bx + c
2
1 y = a (x - x )(x - x )
问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标
函数
点
形
配方法（★）
y = x 2 + 2x - 3 y = (x + 3)(x - 1) y = (x + 1)2 - 4
y = a (x - h )2 + k
原始三角形：
重视四点围成的三角形（边、角关系）
x 轴交点(x ，0)、(x ，0)
1
2
y 轴交点（0，c ）
顶点（h,k ）
问题2：判断△ACD的形状，并说明理由
问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标
问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。

问题5：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标
问题6：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，PG∥y轴交AC 于G，PH为邻边作矩形PEGH，求矩形PEGH周长的最大值。

问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长
问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标
问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M点在N点上方），求四边形BMNC周长的最小值及此时M点坐标
P
B ·
· A
两村一路（线段）和最小 两村一路（同侧） 差最大 两村一路（异侧）
差最大
将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。

解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。

两村两路和最小
一村两路和最小
两村一路（同侧）和最小
两村一路（异侧） 和最小
问题10：求四边形ABCD的面积
问题11：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得三角形CAN的面积最大？若存在，请求出△CAN的最大面积及点N的坐标。

S=（m×AD）÷2 S=（m×BD）÷2 S=（m×CD）÷2 注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！
问题12：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得四边形ABCN的面积最大？若存在，请求出四边形ABCN的最大面积。

问题13：抛物线上是否存在点N，使得S△ABN= S△ABC,若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由
更多见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ群：391979252；微信号：ABC-shuxue;
积为2:1两部分？
坐标；若不存在，请说明理由
N、E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标
的四边形为平行四边形，求M、N的坐标
平行四边形的存在性
预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标
之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。

分类
三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）
两定两动
两点之间线 段是一条边 两点之间线 段是对角线
利用①②③ ④综合解决
点的四边形为菱形，求点E的坐标
求出点M的坐标，若不能，请说明理由
△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不能，请说明理由
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若不能，请说明理由
直接写出点M的坐标。

y。

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