章b 理想流体的有旋和无旋流动
第四章流体的有旋流动和无旋流动
第四章 流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。
本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。
第一节 流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。
但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。
因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。
所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。
变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。
下面我们分别讨论这几种运动情况。
一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx 、dy 、dz ，形心a 处的速度为u，沿三个坐标轴的速度分量分别为u x 、u y 、u z ，如图4－1所示。
如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量也都是u x 、u y 和u z ，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。
图4－1 微团移动分析4－2 微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy 平面的轴(z 轴)转动的情况，如图4－2所示。
设O 点在x 轴和y 轴方向的速度分量分别为u x 和u y 。
当A 点在y 轴方向的分速度不同于O 点在y 轴方向的分速度及B 点在x 轴方向的分速度不同于O 点在x 轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。
A 点在y 轴方向的分速度和B 点在x 轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为x xu u d y y ∂∂+和y yu u d xx ∂∂+，它们相对于O 点的对应分速度(相对于O 点的线速度)分别为x xu d y ∂∂和y yu d x∂∂，所以它们相对于O 点的角速度(逆时针方向旋转为正)应为A 点上xu x x xu ∂∂=∂∂y y d /dB 点上 yuy y y u ∂∂-=∂∂-x x d /d 而对于微团中其它各点绕z 轴转动的角速度(如C 点等)则是由该点y 向的分速度在x 轴方向的变化量和x 向的分速度在y 轴方向的变化量共同产生的。
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角 点具有相同的速 度 分 量 vx 、 vy 。 导 致 矩 形 ABCD 平 移 vxδt, 上 移 vyδt, ABCD的形 状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。
理想流体动力学
∂ϕ ∂z
利用梯度的概念，可类推出 vl =
∂ϕ 。 （参加书上的推导方式） ∂l
2.存在势函数的流动一定是无旋流动 设某一流动，存在势函数 设某 流动，存在势函数 ϕ ( x, y, z, t ) ，其流动的角速度分量：
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂v y ∂vx ∂ ∂ϕ ωz = ( ) = [ ( ) − ( )] = ( − )=0 − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y
这说明， 一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢 量与流向平行 可推知流线与等势面是正交的 量与流向平行，可推知流线与等势面是正交的。
4.势函数是调和函数（满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数） ，对 不可压缩流体，连续性方程为： 缩 连
∂v x ∂v y ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z
从上所见，在不可压缩流体有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续 性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，转化为求解一定 边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 Laplace l 方程是一个线性方程，其解具有可叠加性，如： 方程是 个线性方程 其解具有可叠加性 如 ϕ1 ，ϕ 2 是 方程的解，则ϕ1 + ϕ 2 也是方程的解。利用这一性质，分析研究一些简单 的势流 然后叠加可组成比较复杂的势流 的势流，然后叠加可组成比较复杂的势流。 三、流函数 在三维、理想、不可压缩无旋流动中，由于存在速度势函数ϕ ，而 使问题大为简化。 对于不可压缩流体的平面运动（有旋、无旋） 缩 体 平 动 有旋 无旋 ，还存在另一个表征 存在另 个 征 流动的函数—流函数。且不同的流函数数值代表不同的流线。如下图所 示：
将用势函数表示的速度分量：v x = 得：
流体力学课程自学辅导资料
流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。
研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。
研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。
特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 ？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
《流体力学》第八章绕流运动解析
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
第三章 流体运动学§3-1 研究流体流动的两种方法及系统和控讲解
§3- 3 流体流动的分类
1.物理性质
2.流动状态 3.时间变数 4.空间变数 (1)理想流体和粘性流体流动 (2)不可压缩与可压缩流体流动 (1)有旋流动和无旋流动
(2)层流流动和湍流流动
定常流动和非定常流动 (1)均匀流动和非均匀流动 (2)一元,二元,三元流动
一.定常、非定常流动
1.定义
2.举例 3.数学表达式及特点
组分方程：
Y fu t ( Y fu ) ( Y fu ) 1 urY fu r u zY fu 1 Dr D R fu r r z r r r z z
§3- 1 研究流体流动的两种方法 及系统与控制体
一.拉格朗日法
1.定义 着眼于流体质点，研究每一个流体质点在运动 2.举例 过程中的位置、速度、加速度等各种物理量的 变化规律，并综合所有流体质点的这种规律， 3.评价 以获得整个流体运动的规律。
二.欧拉法
1.定义
2.举例 3.评价 着眼于流场（充满运动流体的空间）而不是着眼 于个别流体质点的运动，通过研究不同流体质点 在所流经的空间点的物理量随时间的变化规律， 以获得整个流场内流体的运动规律。
1 1 rotv v 2 2
5.点C的运动分解(数学方法)
vxc vx z dx ez dy e y dz y dz z dy
6.有旋运动与无旋运动(判据)
0
vz v y y z vx vz z x v y vx x y
二.均匀流动和非均匀流动
1.定义 2.举例 3.数学表达式及特点
4.一元、二元和三元流动
三.例题（p43.例3-1）
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节 流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。 所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy
工程流体力学3.2流体运动的一些基本概念 2
流线
某一瞬时，速度方向线 欧拉法
微分方程
u
dx dt
（t为自变量，
v
dy dt
x, y, z 为t
w
dz dt
的函数 ）
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
(x,y,z为t的函数，t为参数）
第二节 流体运动的一些基本概念
质量流量（kg / s）：
qv V dA
A
qm V dA
A
平均流速——是一个假想的流速，即பைடு நூலகம்定在有效截面上各点都以相
同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真 实流速流动时所得到的体积流量相同。
V qv A
第二节 流体运动的一些基本概念
知识点（三）
流管 流束 流量
第二节 流体运动的一些基本概念
一、 流管、流束和总流
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线
组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。 定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。
流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。
第二节 流体运动的一些基本概念
二. 一维流动、二维流动和三维流动
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简 化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流动
定常流动： x, y, z
8-第8讲 理想流体的有旋与无旋流动
21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）
q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有
第4章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
ω x
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂w ∂y
−
∂v ∂z
⎟⎟⎠⎞
ω y
=
1 2
⎜⎛ ∂u ⎝ ∂z
−
∂w ⎟⎞ ∂x ⎠
ω z
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂v ∂x
−
∂u ∂y
⎟⎟⎠⎞
写成矢量形式为
ω = ω2 +ω2 +ω2
x
y
z
ωr
=
ω
x
二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数ϕ 满足拉普拉斯方程，势函数 ϕ 是调和函数。
∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ + ∂ 2ϕ = ∇ 2ϕ = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
结论：在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这
样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 ϕ 值之差。与曲线的形状无关。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
思考题：
4-1 流体微团的运动一般由哪几部分组成？ 4-2 何谓流体微团的体积膨胀速率？ 4-3 什么是有旋流动和无旋流动？流体是有旋流动还是无旋流动是否与流体微团的运动 轨迹有关？ 4-4 何谓速度环量和旋涡强度？两者之间有什么关系？ 4-5 何谓涡量？涡量和流体运动速度有何关系？
东北电力大学
《工程流体力学》教案
第4章
第 4 章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动
授课教师 洪文鹏、张玲、郭婷婷、孙斌、张志达 授课对象
第七章__有旋流动和无旋流动_10~15
叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
叶栅的库塔-儒可夫斯基公式
Fx vx
Fy vy
F Fx2 Fy2 v tg Fx vx
Fy vy
理想不可压缩流体绕过叶栅作定常无旋流动时，
流体作用于叶栅中每个叶型上合力的大小等于密度、 来流速度、和速度环量三者的乘积，合力的方向为 几何平均速度矢量沿反速度环流的方向旋转90o。
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
简单不可压缩平面无旋流动的叠加
无旋流动的特性: 几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。
证明: 已知几个简单无旋流动 1,2,3...
叠加得: 1 2 3 ... 2 21 22 23 ... 2 (1 2 3 ...) 0
叠加后速度势函数满足拉普拉斯方程，
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流动描述：
一个速度为V的均匀平行来流，对半径r0的无限长圆 柱体作横向绕流，该流动可认为是由平行流和偶极流叠 加而成。
y
o
x
y
o x
平行流绕圆柱体的无环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
势函数和流函数的确定：
平行流的势函数和流函数 Vx
r02 r2
)r sin
2
ln
r
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
驻点位置
y
O
A
B
x
sin 4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
流线图
y
O
A
B
x
4r0v
平行流绕圆柱体的有环量绕流
—— 简单不可压缩平面无旋流动的叠加
第七章 理想气体的有旋流动和无旋流动
第五章 管流损失和水力计算
§7.10 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §7.11 几种简单的平面无旋流动的叠加 §7.12 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 §7.13 平行流绕过圆柱体有环流的平面流动 库塔-儒可夫斯基公式 库塔-
§7.1 微分形式的连续方程
一、微分形式的连续方程
的微元平行六面体。 控制体的选取: 边长为dx， ， 的微元平行六面体 控制体的选取: 边长为 ，dy，dz的微元平行六面体。 形心坐标： x, y, z 形心坐标： 三方向速度： 三方向速度： vx , vy , vz 密度： 密度：ρ
∇ ⋅ ( ρv ) =
∂ ∂ ∂ ( ρv x ) + ( ρv y ) + ( ρv z ) = 0 ∂x ∂y ∂z
不可压缩流体的定 常或非定常流动： 常或非定常流动：
∇⋅v =
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z
§7.1 微分形式的连续方程
其它形式的连续方程（ 二、其它形式的连续方程（续）
v x dt
y方向移动速度： vy 方向移动速度： 方向移动速度 z方向移动速度： vz 方向移动速度： 方向移动速度
D
A
v y dt
C
x
§7.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
流体微团运动的分解( 二、流体微团运动的分解(续)
1.移动 1.移动 各角点的速度分量中都包 含vx,vy x方向移动速度： vx 方向移动速度： 方向移动速度
vx − ∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + − ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
vx −
∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
理想流体的有旋流动和无旋流动
Ω
S
C
n
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周 线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K v ds vx dx v y dy vz dz
K
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关， 规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向 形成右手螺旋系统。
v yB v yC v xA v xB d dx dy 2 2 v v yA v xC v xD dx yD dy 2 2
0
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
v y vx d x y dxdy
v y vx d 2 z dxdy x y
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度
流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
v v v x y z x y z
v M i vi
vi xj x j
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM i
v vi i x j x j
vi 1 vi v j 1 vi v j ij ij ( ) ( ) x j 2 x j xi 2 x j xi
不可压缩流体 定常流动
即
常数
divv 0
vx v y vz 0 x y z
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正 规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量： 上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积
但随流物理量总是正的 在积分前加负号
一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动 涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处 曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一 条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量： 质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
斯托克斯（G. G. Stokes）定理
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周 线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束 的涡通量之和。
因而在自由涡中，当我们向中心移动 时，速度增加，压力减小。
第八节 平面涡流
• 兰肯涡
平面组合涡：中心区是 强迫涡；外围区是自由涡。
中心区是以涡心为圆心 的圆，其中的速度与离涡 心的距离成正比，涡量为 常数。外围部分的流速则 与离涡心的距离成反比， 流动有势，涡量为零。
是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉·汤姆孙。 他从小热爱数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大 学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑 桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖 章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应 聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦 皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇 家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封 为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来 他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的 名字提出和命名。
dx
vx y
dy
C
vy
v y x
dx
B
vx
vx x
dx
d
1 2 [vx
(vx
vx x
dx)]dx
1 2 [(vy
vy x
dx)
(vy
vy x
dx
vy y
dy)]dy
1 2
[(vx
vx x
dy)
(vx
vx x
dx
vx y
dy)]dx
1 2
[vy
(vy
vy x
dx)]dy
( v y x
vx y
)dxdy
2ndA
dJ
单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地 收缩成一点而不越出流体的边界。这种 区域称为单连通区域。否则，称为多连 通区域。
对多连通域：
ABK内B’A’K外 可使用斯托克斯定 理
外 内 2 ndA
A
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的 外周线的速度环量与沿所有内周 涡管 涡束 涡通量
涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场 中任取一不是涡线的封闭曲 线，通过封闭曲线上每一点 作涡线，这些涡线形成一个 管状表面，称为涡管。涡管 中充满着作旋转运动的流体， 称为涡束。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速度方 向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍 称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。
dJ 2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2ndA
A
第六节 速度环量 斯托克斯定理
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某 一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速 度分布有密切关系。
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续 地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于 是形成了一个用角速度(x, y, z,t) 表示的涡 量场（或称角速度场）。
流线 流管 流束 流量
涡线 涡管 涡束 涡通量
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡线
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每 一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向 相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时 转动轴线。
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作
用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
K
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压性的理想流
体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保 持定值。
Ω
如何描述旋涡的强弱
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用 下沿任何由流体质点所组成的封闭周线 的速度环量不随时间而变化。
dΓ
dt
v2 [d (
2
)
d
dPF
]
0
（8-25）
对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行 产生、也是不能自行消灭的。
涡通量
（涡管强度）
速度环量
（旋涡强度） 斯托克斯定理
汤姆孙定理
亥姆霍兹三定理
（１） 强迫涡旋
第八节 平面涡流
简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋
转，形成强迫涡。
显然强迫涡的速度分布与固体旋转一
样， 。这是一种有旋运动，强迫涡又
称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。
求解强迫涡的压力场，可用静力学中
讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
流场中原来有漩涡和速度环量的， 永远有漩涡和保持原有的环量；原来 没有漩涡和速度环量的，就永远没有 漩涡和环量．
涡线.rm 示牌随风摇摆.mov 液体和气体的旋转.mov
启动涡.mpg
开尔文（1824～1907）William Thomson Lord Kelvin
压力分布关系为：
。
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋 简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 。（C为常数）， 即与半径成反比。
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流 体微团并未旋转。
根据伯努利定理，沿流线，在自由涡 中，各条流线H均相等。所以流场中的压 力分布关系式为：
k J 2ndA
A
斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单 连通区域、空间曲面。
vy
v y y
dy
当封闭周线内有涡束 时，则沿封闭周线的 速度环量等于该封闭 周线内所有涡束的涡 通量之和。
y
vx
vx y
dy
D
dy
d• г
vy
A vx dx
1)微元封闭区域：o
vy
v y x
dx
v y y
dy
vx
vx x
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
旋涡的基本性质： 1、亥姆霍兹第一定理：
在同一瞬间涡管各 截面上的涡通量都相同。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理说明涡管不可能在 流体中终止。
涡管的存在 自成封闭的管圈 起于边界、终于边界
吸烟者吐出的环形烟圈 水中的漩涡 龙卷风
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理