一元三次方程的解法
考试中一元三次方程的解法
考试中⼀元三次⽅程的解法
第⼀种：⼀般类型⽤配⽅法提取出⼀个因式可以求出⼀个根，其余的就变成⼀元⼆次⽅程求出另两个根。
第⼆种：没有⼀次项：⽤⼗字相乘法把三次项拆分成⼆次项和⼀次项凑齐原⽅程⼆次项的系数，此时拆分成的⼆次项不⼀定符合原⽅程，可在⼗字相乘法中调换⼆次项和⼀次项的位置再次进⾏尝试，先在⼗字相乘法中的每⼀⾏解出可能值（可能值的正负号并不确定，应当分别代⼊原⽅程之后才能确定正负号，）代⼊⽅程，若符合，则继续求解。
第三种：没有⼆次项：与第⼆种类似。
⾄于盛⾦公式等⼀元三次⽅程的解法等，在考试中不太实⽤，⼀般考试不会去考特别复杂的解⽅程，毕竟⼤多时候考的是基本概念是否清晰。
一元三次方程的解法三——三次根式置换法
一元三次方程的解法三——三次根式置换法本方基于MMA,给出了一元三次方程精简式的三次根式置换法的求解过程,其结果与卡丹公式一致。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.三次根式置换法这里,仅对精简方程求解过程进行阐述,标准式和一般式可以套用。
当s ≠0时,令x =u +v,代入x 3+3r x +2s =0,展开得2s +3r u +u 3+3r v +3u 2v +3u v 2+v 3=0整理为,u 3+v 3+2s +3(u v +r )(u +v )=01 我们令u 3+v 3+2s =0并令v 3=-k,则u 3=-v 3-2s =k -2s 。
取u =k -2s 3,v =-k 3。
代入x 3+3r x +2s =0,分解因式,得3 k -2s 3+-k 3 -k k -2s 3+r ⩵0因s ≠0,所以x ≠0。
所以-k k -2s 3+r =0。
得k 2-2s k -r 3=0解得,k 1,2=s ±r 3+s 2。
2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法三——三次根式置换法.nb代入后得到结果与卡尔丹公式一致！。
一元多次方程式的解法
一元多次方程式的解法下面将详细介绍一元多次方程式各个次数的解法。
一次方程式解法：一元一次方程式的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，而x为未知数。
解一次方程式的步骤如下：1. 将方程式转化为标准形式，即将常数项移到等式的右边，得到ax = -b。
2.如果a不为0，则可通过除以a，得到x=-b/a。
例如，解方程式3x+4=7：首先将方程式转化为标准形式，得到3x=3、然后通过除以3，得到x=1、因此，方程式的解为x=1二次方程式解法：一元二次方程式的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，而x为未知数。
解二次方程式的步骤如下：1. 使用二次方程式的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
2. 计算∆= b² - 4ac，其中∆被称为判别式。
a)如果∆>0，方程式有两个不同的实根。
b)如果∆=0，方程式有一个重根。
c)如果∆<0，方程式没有实根，但可能有两个虚根。
例如，解方程式x²+3x+2=0：根据求根公式，计算∆=3²-4(1)(2)=1、因为∆大于0，方程式有两个不同的实根。
x=(-3±√(3²-4(1)(2)))/2(1)=(-3±√(1))/2化简得到x=(-3±1)/2，即x=-2或x=-1、因此，方程式的解为x=-2和x=-1三次方程式解法：一元三次方程式的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，而x为未知数。
解三次方程式的步骤如下：1. 使用三次方程式的求根公式或者Horner法则来寻找一个实根。
这个实根可以通过试探的方法找到，然后使用合成除法概念，将原方程除以(x - r)，其中r是找到的实根，然后求得一个二次方程。
2.通过使用已知的二次方程求根公式来找出这个二次方程的解。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法数教091班王超逸 48号一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为X^3＋bX^2＋cX＋d=0．一元三次方程的韦达定理设方程为ax^3+b^2x+cx+d=0则有x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a；一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．一元三次方程解法的发现三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。
他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法．一元三次方程的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程分解因式的解法
一元三次方程的分解因式的一般解法如下：
1. 将一元三次方程转化为标准形式：将方程移项使得等式的右边为0，得到形如ax³+bx²+cx+d=0的方程。
2. 利用综合除法，找到方程的一个根作为因式的一部分，然后使用综合除法将方程除以这个根。
3. 将步骤2中得到的二次方程再次进行分解因式，直到不再能够继续分解为止。
4. 将分解因式的结果写为一元三次方程的等式形式。
需要注意的是，一元三次方程的分解因式并不总能够找到解，有时方程的根可能是复数。
一元三次方程式解法
一元三次方程式解法
一、一元三次方程的一般形式
一元三次方程的一般形式为（）。
二、卡尔丹公式法（适用于一般形式的一元三次方程）
（一）步骤一：将方程化为缺项三次方程
1. 为了简化计算，我们先通过变量代换将一般的一元三次方程转化为缺二次项的形式。
令，将其代入原方程。
展开并化简后得到的形式，其中，。
（二）步骤二：利用卡尔丹公式求解
1. 设。
对于，将代入可得。
展开，则。
令，即。
把代入，得到。
设，则方程变为。
2. 求解
根据一元二次方程的求根公式。
3. 求出和
因为，所以，。
这里取或，得到两组和的值。
4. 求出
，将求出的和的值代入得到的值。
5. 求出
最后根据求出原方程的解。
三、因式分解法（当方程可以因式分解时）
1. 如果一元三次方程能够通过观察或者一些技巧进行因式分解，例如分解成的形式。
则根据零乘任何数为零的原理，得到或者。
对于，直接解得；对于，可以使用一元二次方程的求根公式来求解。
四、试根法
1. 对于整系数一元三次方程（为整数且
）。
先找出常数项的所有因数。
然后通过试根，将（）代入方程看是否满足方程等于零。
如果是方程的一个根，那么原方程可以分解为
的形式，再进一步求解得到其他根。
一元三次方程的解法
如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
它的解是：
其中
根与系数的关系为
判别式为
当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当时）为
其中
一般的一元三次方程可写成
的形式。
上式除以，并设，则可化为如下形式：
其中，.
可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
三个根与系数的关系为。
完整版)含参一元三次方程解法
完整版)含参一元三次方程解法一元三次方程是指形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中a。
b。
c。
d 是已知常数，x 是未知数。
解一元三次方程的一种方法是利用因式分解。
在因式分解之前，我们首先需要找到方程中的根，也就是方程等于零时的解。
然后可以将这些根代入(x - 根)这样的因子中，从而进行因式分解。
最后，我们可以利用因式分解的结果来求得方程的解。
这里给出一种含参的一元三次方程解法。
首先，我们假设方程的解为 x = t + k，其中 t 是一个参数，k 是一个已知常数。
将这个假设代入方程中，我们可以得到：a(t + k)^3 + b(t + k)^2 + c(t + k) + d = 0将上式展开并合并同类项，可得：at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck + d =我们可以将上式中的每一项系数分别表示为一个函数，形如：f(t) = at^3 + (3ak + b)t^2 + (3ak^2 + 2bk + c)t + ak^3 + bk^2 + ck+ d这样，我们就可以将一元三次方程变为一个一元二次方程 f(t)= 0.对于 f(t) = 0 这个一元二次方程，我们可以使用求解二次方程的方法来求得 t。
一旦求得 t，我们就可以将 t 代入 x = t + k，从而得到方程的根。
需要注意的是，在求解二次方程时可能会得到两个解。
这意味着我们可能会得到两个不同的t 值，进而得到两个不同的根。
因此，在求解一元三次方程时，我们可能会得到多个解。
综上所述，这种含参的一元三次方程解法提供了一种简单且有效的方式来求解一元三次方程。
可以根据需要选择合适的参数和常数，从而得到方程的根。
希望这份文档能对你解决含参一元三次方程提供帮助。
如果需要更多详细的解法和示例，可以进一步查阅相关资料。
一元三次方程快速解法有哪些
本 文 格 式 为 Word 版，下 载 可 任 意 编 辑第 1 页 共 1 页一元三次方程快速解法有哪些一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法，下面是我给大家带来的一元三次方程快速解法，希望能够帮助到大家!一元三次方程快速解法有哪些1因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用.对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0;x2=1;x3=-1。
2一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z ，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。
再令z^3=w ，代入，得：w^2-p/27w+q=0.这实际上是关于w 的二次方程。
解出w ，再顺次解出z ，x 。
3卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p 、qR)。
判别式=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3); X2= (Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)^2; X3=(Y1)^(1/3)^2+(Y2)^(1/3)，其中=(-1+i3^(1/2))/2;Y(1,2)=-(q/2)((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，(a ，b ，c ，dR ，且a0)。
令X=Yb/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
通用求根公式当一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的系数是负数时，使用卡丹公式求解，会出现问题。
可以用一下公式：。
一元三次方程的解法二——韦达-拉格朗日置换法
一元三次方程的解法二——韦达-拉格朗日置换法本方基于MMA,给出了一元三次方程精简式的韦达-拉格朗日置换法的求解过程,其结果与卡丹公式一致。
并对一般的二次置换法求解过程进行了阐述,其结果同样与卡丹公式一致。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.韦达-拉格朗日置换法这里,仅对精简方程求解过程进行阐述,标准式和一般式可以套用。
当r ≠0时,令x =z -p z,z ≠0,代入x 3+3r x +2s =0,展开得2s -r 3z 3+z 3=0整理为z 6+2s z 3-r 3=0解得z 3=-s ±r 3+s 2得x =-s ±r 3+s 23-p -s ±r 3+s 23结果与卡尔丹公式一致！三.一般二次置换法这里,仅对精简方程求解过程进行阐述,标准式和一般式可以套用。
当r ≠0时,令x =k z +,k ≠0,代入x 3+3r x +2s =0,展开得k 3z 3+3k 3z +3k r z +3k 3z+3k r z+k 3z 3+2s =0整理为,k 3z 3++3k k 2+r z++2s =0 1 选择k 使,3k k 2+r =0。
因k ≠0,所以,k 2+r =0,即k =±ⅈr , 1 变成k 3z 3++2s =0两边乘以z 3,整理,得k 3z 6+2s z 3+k 3=0所以,z 3是关于t 的一元二次方程k 3t 2+2s t +k 3=0的两根。
解得,t 1,2=k t 1t 2=1。
因k ≠0,所以t ≠0。
取z =-s +-k 6+s 23k,1z=-s --k 6+s 23k。
一元三次方程的解法五——因式分解公式法
一元三次方程的解法五——因式分解公式法本方基于MMA,给出了一元三次方程精简式因式分解公式法的求解过程,其结果与卡丹公式一致。
一.一元三次方程1.一般式：a x3+b x2+c x+d=0(a≠0)2.标准式：x3+p x+q=0其中,p=3a c-b23a2,q=2b3-9a b c+27a2d27a3。
3.精简式：x3+3r x+2s=0其中,r=3a c-b29a2,s=2b3-9a b c+27a2d54a3。
二.因式分解公式法根据因式分解公式a3+b3+c3-3a b c= a+b+c a2+b2+c2-a c-b c-a b=12a+b+c a-b 2+ b-c 2+(a-c)2知,当a=b=c或a+b+c=0时,a3+b3+c3-3a b c=0。
a3+b3+c3-3a b c==12a+b+c a-b 2+ b-c 2+(a-c)2 //完全简化FullSimplifyTrue令c=x,假设b≠c,得关于x的方程x3-3a b x+a3+b3=0 1 与一元三次方程精简式x3+3r x+2s=0比较,得a b=-ra3+b3=2s即a3b3=-r3a3+b3=2s所以,a 3,b 3是关于t 的一元二次方程t 2-2s t -r 3=0的两根。
解得t 1,2=s ±r 3+s 2因b ≠c,所以x +a +b =0,即x =-a -b =-s +r 3+s 23+-s -r 3+s 23=-s +r 3+s 23+-r -s +r 3+s 23。
结果与卡尔丹公式一致！x 1=u +v,x 2=ωu +ω2v,x 3=ω2u +ωv 。
其中,ω=余弦Cos 2π3 +⋯I 正弦Sin 2π3=2u = -s +r 3+s 2 1/3r ≠00r =0,v =-r u r ≠0-2s 3r =0。
通过韦达定理验证！2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法五——因式分解公式法.nb。
一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法
一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式盛金公式法-待定系数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。
一.一元三次方程1.一般式：a x3+b x2+c x+d=0(a≠0)2.标准式：x3+p x+q=0其中,p=3a c-b23a2,q=2b3-9a b c+27a2d27a3。
3.精简式：x3+3r x+2s=0其中,r=3a c-b29a2,s=2b3-9a b c+27a2d54a3。
二.待定系数法-盛金公式法1.标准式：x3+p x+q=0设标准式：x3+p x+q=0的三根为x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。
其中,h,k为待定系数。
则有x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-h k 3,x1x2x3=-h3+k3 27。
根据韦达定理,得-h k3=p 1-h3+k327=-q 2由 1 得,h k=-3p,h3k3=-27p3。
代入 2 得,h3+k3=27q。
则h3,y3是关于t的一元二次方程t2-27q t-27p3=0的两根。
t1,2=329q±12p3+81q2。
h,k有六组根,只需取最简结的一组。
当h=329q+12p3+81q23≠0,取k=-3ph。
当h=0时,p=0,标准方程简化为x3+q=0。
此时,k=3q3。
综合,得x1=-h-k3,x2=-ωh-ω2k3,x3=-ω2h-ωk3。
其中,h=329q+12p3+81q23p≠0 0p=0,k=-3php≠03q3p=0,ω=2清除全部ClearAll[p,q,h,k]h=329q+12p3+81q23;k=-3ph;ω=2x1=-h-k3;x2=-ωh-ω2k3;x3=-ω2h-ωk3;完全简化FullSimplify[{x1+x2+x3,x1x2+x1x3+x2x3,x1x2x3}]{0,p,-q}2 4.2 方程的解法\\附录2 一元三次方程\\一元三次方程的13种解法\\一元三次方程的解法七——盛金公式法-待定系数法.nb清除全部ClearAll [p,q,h,k ]h =0;k =3q 3;ω=2x 1=-k3;x 2=-ω2k3;x 3=-ωk3;完全简化FullSimplify [{x 1+x 2+x 3,x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3,x 1x 2x 3}]{0,0,-q }2.精简式：x 3+3r x +2s =0设精简式：x 3+3r x +2s =0的三根为x 1=-h -k 3,x 2=-ωh -ω2k 3,x 3=-ω2h -ωk3。
一元三次方程的15种解法
一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。
解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。
本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。
2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。
具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。
4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。
具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。
初等数学《一元三次方程的解法》
一元三次方程的解法一．引例：例1.求方程049623=-+-x x x 的根 例2.求方程04523=+-x x 的根 例3.求方程0810623=-+-x x x 的根二．一般三次方程的解决方法设有一般三次方程)0(023≠=+++a cx bx ax （1） 第一步，消项降次。
运用待定系数法将三次方程转化为二次方程。
1.将它的二次项系数化为零.令k y x +=，其中k 为待定系数，代入方程（1），展开并得到 0)()23()3(23223=+++++++++d ck bk ak y c bk a k y b ak ay ， 取a b k 3-=，实际上是做变换ab y x 3-= （2） 整理得到0)3272()3(2323=+-++-+d abc a b y c a b ay 两端除以a 得到 03=++q py y （3） 其中)3272(1),3(1232d abc a b a q c a b a p +-=+-= 以上实际证明了任意的一元三次方程都可以转换成缺二次项的三次方程，只要我们解出（3）的解利用变化（2）就可以知道（1）的解。
2.作变换v u y +=，其中v u 、是未知数，代入方程（3）有0)()(3=++++q v u p v u整理得到 0))(3(33=+++++v u p uv q v u （4） 因为我们用两个未知数v u 、代替了y ，为了简飒（4）中的未知数，不妨再要求303p uv p uv -=⇔=+，这样一来（4）变为了⎩⎨⎧=++=+00333q v u p uv 即27333p v u -=并且q v u -=+33，利用韦达定理，知道33v u 、分别是二次方程 02732=-+p qz z （5） 的两个根。
第二步：解二次方程方程（5），并求出三次方程（3）的根。
由二次方程的求根公式可知：2742323p q q u ++-=，2742323p q q v +--=. 从而;,,2742123123321u u u u p q q u ωω==++-= .,,2742123123321v v v v p q q v ωω==+--= 其中2312,231i i --=+-=ωω. 所以方程（3）有三个解，它们是.11231212111,,v u y v u y v u y ωωωω+=+=+=第三步：归纳三次方程的求根公式 令27432p q D += 1.当0>D 时，33v u 、是不相等的实数根方程（3）有一个实根和两个共轭虚根 ).(23)(21),(23)(21,1111112311111212111v u i v u v u y v u i v u v u y v u y --+-=+=-++-=+=+=ωωωω 2. 当0=D 时，这时233q v u -==，方程（3）有三个实根，并且有两个根相等， 33231222,q y y q y ==-=. 3.当0<D 时，这时v u 、是复数，并且是共轭复数.实际上由=z n z n 有.327274427422742333322332332p p p q q p q i q p q q u -=-=--=++-=++-= 现在证明v u 、共轭，.)3(33332u p u p u u p u u u p u p v =--=-=-=-= 设it s u +=1是u 的任意一个值，从而it s v -=1，因此.3)(23)(21,3)(23)(21,21111112311111212111t s v u i v u v u y t s v u i v u v u y s v u y +-=--+-=+=--=-++-=+==+=ωωωω 为三个互异的实根。
一元三次方程的解法
i 1,2,3 Y { yi | y 3 py q 0, y C}
3. 通过
x F 1 y
反变换求出方程的解集
i 1,2,3。 X {xi | ax 3 bx 2 cx d 0, a 0, x C}
下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。
1 a 1 a 1 a
a 0 ax 3 bx 2 cx d 0
在复数域内的解。
Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
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一元三次方程的解法
一元三次方程的解法
对一元三次方程
a 0 ， ax 3 bx 2 cx d 0
用代数方法求解其在复数域内全部解的步骤，可以分为以下三个步骤。 1. 通过线性变换
y F x
将方程变化为无二次项的三次方程
y 3 py q 0
2. 求解上述方程的解集
如何变换？
则设存在线性变换
k 0 y F x kx h
使得
a 0 ax 3 bx 2 cx d 0
k 和 h 。 将方程
y＝kx h
代入
y 3 py q 0
并整理得
k 3 x 3 3hk 2 x 2 3h 2 k pk x h 3 ph q 0
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一元三次方程的解法
如何进行反变换？
由
y F x 3 a x
可知
b
2
3a 3
x F 1 y 3
于是解出
1 b 1 y 3 a 3 a
一元三次方程的几何解法
一元三次方程的几何解法一元三次方程是指一个未知数的三次方程，其一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知常数，且a ≠ 0。
解一元三次方程的方法有很多种，其中一种较为特殊且有趣的解法是几何解法。
通过几何解法，我们可以将方程的解与几何图形相对应，从而更直观地理解方程的解。
我们将一元三次方程化简为标准形式。
假设我们要解的方程为x^3 + px^2 + qx + r = 0，其中p、q、r为已知常数。
为了方便讨论，我们可以将方程两边同时除以a（a ≠ 0），得到x^3 + (p/a)x^2 + (q/a)x + (r/a) = 0。
接下来，我们将方程的解与几何图形相对应。
我们可以构建一个以x为横坐标、y为纵坐标的坐标系，将方程的解表示为坐标系中的点。
我们令y = x，即将方程的解表示为坐标系中的一条直线。
然后，我们找到直线与方程图形的交点。
如果交点的个数为3个，那么这三个交点就是方程的解。
如果交点的个数为1个或2个，那么我们需要通过进一步的分析来确定方程的解。
如果交点的个数为1个，即直线与方程图形只有一个交点，那么我们可以得出结论：方程有一个实根和两个共轭复根。
如果交点的个数为2个，即直线与方程图形有两个交点，那么我们可以得出结论：方程有两个实根和一个共轭复根。
通过几何解法，我们可以更加直观地理解一元三次方程的解。
我们可以通过观察交点的个数以及交点的位置，判断方程的解的性质。
这种几何解法不仅可以帮助我们更好地理解方程的解，还能够帮助我们解决实际问题中的数学难题。
总结一下，一元三次方程的几何解法是一种将方程的解与几何图形相对应的方法。
通过构建坐标系、绘制直线和方程图形的交点，我们可以直观地判断方程的解的性质。
几何解法不仅可以帮助我们理解方程的解，还可以帮助我们解决实际问题中的数学难题。
这种解法的优势在于其直观性和准确性，使我们更容易理解和应用一元三次方程的解。
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一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。