学而思初一数学春季班第13讲 全等中的基本模型.目标满分班 教师版

三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第六讲暑期班第五讲爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级阶梯13全等中的基本模型把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型例题精讲思路导航知识互联网题型一：平移型全等【引例】 如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =． 在AFC △和DEB △中，AC DBA D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )． 另两结论均成立，证明同上．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A典题精练常见轴对称模型【例2】 如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】 60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．【解析】证法一：∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠．∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴DB EC =，AD AE =． 在DBC △与ECB △中，BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =，∴DBC ECB △≌△． ∴BDC CEB ∠=∠∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠， ∴ADM AEN ∠=∠． 在AMD △与ANE △中，90M N ∠=∠=︒，AD AE =，ADM AEN ∠=∠，∴AMD ANE △≌△，典题精练思路导航题型二：对称型全等E D N M CBA4321EDCB A∴AM AN =．证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴AD AE =．在DAC △与EAB △中，AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠，∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒， 在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠，∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =． 证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△， 在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△， ∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．常见旋转模型：思路导航题型三：旋转型全等E D N M CBAE D N M CBA【引例】 如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数． 【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：⑴AE CG =；⑵AE CG ⊥. 【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠ ∴CDG ADE ∠=∠在CDG △和ADE △中 CD ADCDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE △≌△∴AE CG =，CGD AED ∠=∠ ∵90DME AED ∠+∠=︒ ∴+90OMG CGD ∠∠=︒ 即90GOM ∠=° ∴AE CG ⊥【点评】 可拓展证明2222AG CE AC GE +=+.【例5】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．典题精练例题精讲A'B'CBAM D NEFO GFEDCBAM请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形．⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=. (找出图中所有的60角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明.辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.思路导航题型四：辅助线添加初步【例6】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．（海淀区期末考试）【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠． ∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =． 方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠．典题精练NM EFDCBA∴ADM BDN =∠∠． ∴ADM BDN △≌△．∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ．在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠． ∴CDN BDM △≌△．∴DM DN =．⑶ DM DN =．【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【例7】 在四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，求证：AD BC =．【解析】 连接BD∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠ 在ABD △和CDB △中D CBADCBANM E FDCBAN MEF D CBAAB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD CDB △≌△ ∴AD CB =．【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥． 【解析】 分别连接BF 、CE 、BE ，利用SAS 证得ABF △≌DEC △， ∴BF CE =，利用SSS 证得BFE △≌ECB △， ∴BEF EBC ∠=∠， ∴BC EF ∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠. 【解析】 利用SAS 证得ABE ACD △≌△，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =， 利用AAS 证得BOD COE △≌△， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD AOE △≌△， ∴OAD OAE ∠=∠， ∴AO 平分DAE ∠训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =． 求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．思维拓展训练（选讲）QPEDA【解析】 ∵BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，∴ABD ACE ∠=∠， ∵BP AC =，CQ AB =， ∴ABP QCA △≌△，∴AP AQ =，APB QAC ∠=∠． ∵BP AC ⊥，∴90ADP ∠=︒， ∴90APB DAP ∠+∠=︒， ∴90CAQ DAP ∠+∠=︒， 即90PAQ ∠=︒， ∴AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【解析】延长AB 、AE ，交直线CD 于F 、G ．∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠． ∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF △与EDG △中 FBC GED BC EDBCF EDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG △≌△ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AMF △与AMG △中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG △≌△ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒， ∴AM CD ⊥训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．M EDC BAGFMEDCBA【解析】连接AC 、AD ．∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED △≌△， ∴AC AD =又∵F 为CD 的中点， ∴FC FD =∴ACF ADF △≌△ ∴AFC AFD ∠=∠ 即AF BE ⊥．题型一 平移型全等 巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥， BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？F ED C BAABC F DE复习巩固请说明理由．【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =， 又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△， ∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述．【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =.求证：AB CD =．（北京市中考题） 【解析】 证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =题型三 旋转型全等 巩固练习【练习3】 如图所示，已知过ABC △的顶点A 作AF AB ⊥且使AF AB =，过A 作AH AC ⊥，且使AH AC =．求证：BH FC ⊥． 【解析】 ∵AF AB ⊥，AH AC ⊥，∴90FAB HAC ∠=∠=∴FAB BAC HAC BAC ∠+∠=∠+∠，即FAC BAH ∠=∠ 又AF AB =，AH AC =(2)(1)ABCE F GGFEC BAOPDCB A432FAH∴ABH △≌AFC △ ∴41∠=∠又23∠=∠，3490∠+∠= ∴1290∠+∠=， ∴BH FC ⊥【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由． 【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠， ∵AF CD ⊥，AH BE ⊥， ∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =． 又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF EDA⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒． 又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN N MEGF ADBCC B(E)A(G)第十四种品格：信念天堂的位置在得克萨斯州的一所小学里，一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。