2021年南通市高考数学模拟试卷(含答案)
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷(七)(附答案详解)
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（七）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x <2}，B ={x|x 2−2x −3<0}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <2}B. {x|−3<x <2}C. {x|x <2}D. {x|x <3}2. 已知复数z =3−i2+i ，其中i 为虚数单位，则下列结论中正确的是( )A. z =1+iB. |z|=√2C. |z|=2D. z 的虚部是−i3. 生物的性状是由遗传基因决定的，遗传基因在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且随机组合豌豆子叶的颜色是由一对基因D(显性)，d(隐性)决定的，其中DD ，Dd ，dD 子叶是黄色的，dd 子叶是绿色的；豌豆形状是由一对基因R(显性)，r(隐性)决定的，其中RR ，Rr ，rR 形状是圆粒，rr 形状是皱粒生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若父本和母本决定子叶颜色和颗粒形状的基因都是DdRr ，不考虑基因突变，则子代是绿色且圆粒的概率为( )A. 116B. 316C. 716D. 9164. 苏格兰数学家为简化天文学中的球面三角计算发明了对数，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知lg2≈0.3010，那么21000的估算值为( )A. 1.07×1031B. 1.07×10300C. 1.07×10301D. 1.07×103105. 已知集合M =[−1,1]，那么“a ≥−1”是“存在x ∈M ，使得4x −2x+1−a ≤0成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件6. 已知集合M ={(x,y)|y =√4−x 2}，N ={(x,y)|(x −2)2+(y −2)2=r 2(r >0)}，若M ∩N 只有两个子集，则正数r 的取值集合为( )A. {2+2√2,2√2−2}B. {r|2<r ≤2√5}C. {r|2<r ≤2√5或r =2√2−2}D. {r|2≤r ≤2√5或r =2√2+2}7. 已知a ，b ∈R ，函数f(x)={x,x <113x 3−12(a +1)x 2+ax,x ≥1，若函数y =f(x)−b 恰好有3个零点，则( )A. a <1，b <1B. a <1，b >1C. a >1，b <1D. a >1，b >18.定义“JO数列“{a n}如下：①a i∈{0,1，2，3}；②{a n}共有2k项，其中k项奇数，k项偶数；③对任意的m≤2k，都有a1，a2，a3，…，a m中偶数的个数不多于奇数的个数.若k=3，则不同的“JO数列”共有()A. 384个B. 320个C. 6个D. 5个二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价(单位：元/平方米)的数据(均价=销售总额÷销售总面积)，绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有()A. 月均价的极差大于4000元/平方米B. 年均价一定小于18000元/平方米C. 月均价高峰期大致在9月份和10月份D. 上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳10.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足对任意的x∈R，都有f(2+x)=f(−x)成立，且当0≤x≤1时，f(x)=x，那么下列说法中正确的有()A. 函数f(x)为周期函数B. 函数f(x)的对称中心为点(k,0)(k∈Z)C. 当0≤x≤4时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为2D. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)=111.已知x，y是正实数，且x+y=1，则下列说法中正确的有()A. x2+2y2有最小值23B. (x+1x)(y+1y)有最小值4C. x2+y2+1xy 有最小值92D. 3x2+1xy有最小值712.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，则下列说法中正确的有()A. AC⊥PBB. 平面PAB⊥平面ABCC. 二面角C −PB −A 的大小为60°D. 三棱锥P −ABC 外接球的表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为2x ±y =0，则它的离心率为______ ．14. 我国古代著名数学著作《九章算术》中记载“女子织布”问题：一女子善于织布，织布5天，每天织布量依次构成等比数列，头两天织布7寸半(1尺等于10寸)，末两天织布六尺，问共织布______ 尺.15. 已知函数f(x)=asin2x +bcos2x(ab ≠0)的图象向右平移π6个单位长度后，所得函数的图象关于点(π12,0)对称，则ba 的值为______ ． 16. 已知由sin2x =2sinxcosx ，cos2x =2cos 2x −1，cos3x =cos(2x +x)推得三倍角余弦公式cos3x =4cos 3x −3cosx ，已知cos54°=sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式得sin18°= ______ ，如图，已知五角形ABCDE 是由边长为2的正五边形GHIJK 和五个全等的等腰三角形组成的，则HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinBcosC =bsinBcosC +12csin2B ．(1)求角C ；(2)若a =3b ，ab =8sin 2C .求边c ．18.已知数列{a n}是首项a1、公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且满足_____．(1)①S3=3S1+S2，②S4=12；③a22−a12=8，这三个条件中任选一个，补充到题干中的横线上，求数列{a n}的通项公式，并判断此时数列{a n}是否存在n∈N∗，使得S n=2a n成立，并说明理由；(2)设数列{b n}满足b n=(a n−a1)(a n+1−a n)n−1，求数列{b n}的前n项和T n19.2020年新型冠状病毒肺炎席卷全球，为减小病毒感染风险，人类积极采取措施，其中“勤洗手”是有效措施之一，而正确的洗手方式对洗手步骤和时长有具体要求.某市为了了解在校高中生每次洗手的平均时长(单位：s)，教育主管部门对全市返校高中生进行随机问卷调查，并把得到的数据绘制成下面的频数分布表．(1)根据样本数据，可近似地认为高中生的洗手时长服从正态分布N(25,52).若该市高中生总共约有50000人，试估计有多少高中生每次洗手的平均时长在35s以上．附：若X服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6862，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973．(2)若认为洗手时长至少20s才能“达标”.现从该市高中生中随机抽取3人，将上述调查所得的频率视为概率，且高中生之间的洗手时长相互独立，记“达标”的高中生人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．20.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，A1C与AC1相交于点O．(1)求证：OD//平面C1CBB1；(2)若侧面A1ACC1⊥底面ABC，AA1=A1C，且直线A1B与底面ABC所成的角为π4，求平面A1OD与平面C1CBB1所成锐二面角的余弦值．21.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B(0,√3)，右焦点F(1,0)，且抛物线L：y2=−2px(p>0)以A1为焦点．(1)求椭圆E和抛物线L的方程；(2)过焦点F作直线l，交椭圆E于C，D两点，直线A2C与A1D交于点M，在抛物线L上求点N，使得线段NB，NM的长度之和取得最小值，并说明理由．22.已知函数f(x)=xlnx+ax，其中a>0且a∈R．(1)当a=1时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)≤a2xe x−1恒成立，其中e为自然对数的底数，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|x<2}，B={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，∴A∩B={x|−1<x<2}．故选：A．求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：z=3−i2+i =(3−i)(2−i)(2+i)(2−i)=6−3i−2i+i222+12=5−5i5=1−i，则|z|=√12+(−1)2=√2，z的虚部是−1．故A、C、D错误，B正确．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：子叶颜色的基因可能为DD，Dd，dD，dd，∴子叶颜色为绿色的概率为14，同理子代是圆粒的概率为34，由相互独立事件的概率公式知子代是绿色且圆粒的概率为：P=14×34=316．故选：B．利用古典概型分别求了出子叶颜色为绿色的概率和子代是圆粒的概率，由相互独立事件的概率乘法公式能求出子代是绿色且圆粒的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件的概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设21000=x，则lgx=1000lg2≈0.3010×1000=301，∴x≈10301，由选择支只有C与10301最接近，因此21000的估算值为1.07×10301，故选：C．设21000=x，化为对数式即可得出．本题考查了指数式与对数式的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵集合M=[−1,1]，∴“存在x∈M，使得4x−2x+1−a≤0成立”等价于“a≥(4x−2x+1)min，其中x∈[−1,1]“；由于y=4x−2x+1=(2x−1)2−1，,2]，又x∈[−1,1]，2x∈[12所以当x=0时，y有最小值−1；∴“存在x∈M，使得4x−2x+1−a≤0成立”等价于“a≥−1“；故“a≥−1”是“存在x∈M，使得4x−2x+1−a≤0成立”的充要条件，故选：D．根据已知条件，求得命题“存在x∈M，使得4x−2x+1−a≤0成立”的充要条件，再根据充分必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据条件转化为函数最值问题是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由y=√4−x2，得x2+y2=4(y≥0)，集合M表示半圆，(x−2)2+(y−2)2=r2(r>0)是以(2,2)为圆心，以r为半径的圆，∵M∩N只有两个子集，由子集公式可得，M∩N只有一个元素，如图所示：当x2+y2=4(y≥0)与(x−2)2+(y−2)2=r2(r>0)外切时，r=2√2−2；当2<r≤√(−2−2)2+22=2√5时，M∩N只有一个元素．∴正数r的取值集合为{r|2<r≤2√5或r−2√2−2}.故选：C．把集合M变形，由题意可得M∩N只有一个元素，画出图形，数形结合得答案．本题考查交集及其运算，考查圆与圆的位置关系，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f(x)={x,x<113x3−12(a+1)x2+ax,x≥1，令ℎ(x)=f(x)−b=13x3−12(a+1)x2+ax−b,x≥1，则ℎ′(x)=x2−(a+1)x+a=(x−a)(x−1)，当a≤1时，ℎ(x)至多有1个零点，当a>1时，ℎ(x)至多有2个零点，由题意，函数y=f(x)−b恰好有3个零点，那么当a>1的条件下g(x)=f(x)−b=x−b在x<1必有一个零点，则b<x<1，此时函数y=f(x)−b恰好有3个零点；综上可知a>1，b<1；故选：C．令ℎ(x)=f(x)−b=13x3−12(a+1)x2+ax−b,x≥1，则ℎ′(x)=x2−(a+1)x+a=(x−a)(x−1)，讨论a与1的大小关系，可得ℎ(x)的零点情况，再讨论g(x)=f(x)−b 的零点情况，可得a，b的范围．本题考查了分段函数的零点问题，导函数判断零点的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵对任意的m≤2k，都有a1，a2，a3，…，a m中偶数的个数不多于奇数的个数，且k=3，∴第一项必为奇数，第6项必为偶数．第一项为奇数时有C21=2种，第六项为偶数时有C21=2种．根据分步计数原理，只需确定中间的4项即可，中间4项又可以分为以下5种情况：①“奇奇偶偶”型：C21⋅C21⋅C21⋅C21=16种；②“偶奇奇偶”型：C21⋅C21⋅C21⋅C21=16种；③“奇偶奇偶”型：C21⋅C21⋅C21⋅C21=16种；④“奇偶偶奇”型：C21⋅C21⋅C21⋅C21=16种；⑤“偶奇偶奇”型：C21⋅C21⋅C21⋅C21=16种；∴根据分类加法原理可得，中间4项共有80种；综上可得，满足题意的“JO数列”共有C21⋅C21⋅80=320种．故选：B．可根据排列组合算法和分步计数原理进行求解．本题属于排列组合运算及分步计数、分类计数原理的综合考题，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】A.极差等于极大值−极小值．根据折线统计图，可得极大值>19000，极小值<15000，所以极差>19000−15000=4000元/平方米，故A正确；B.由于每月的成交数量未知，因此平均价无法确定，故B错误；C.根据折线图可得，月均价高峰期大致在9月份和10月份，故C正确；D.根据折线图，可知1−6月份极差<18000−15000=3000元/平方米，7−12月份极差>4000元/平方米，所以可判定上半年月均价变化相对波动性较小，变化比较平稳．故D正确．故选：ACD．数据分析题目，可根据定义进行分析判断．本题重在考查折线图对于数据的变化的反映，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：∵f(x)为奇函数，f(x+2)=f(−x)，∴f(x+2)=−f(x)，又∴f(x+4)=−f(x+2)，∴f(x+4)=f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴A正确，∵f(x +2)=f(−x)，∴函数f(x)的对称轴为x =1，∴点(1,0)不是对称中心，∴B 错误， 当0≤x ≤1时，f(x)=x ，∴f(1)=1，f(3)=f(−1)=−1， ∵函数f(x)的周期为4，∴f(2)=f(−2)=0，f(4)=f(0)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=1，∴D 正确，函数的大致图象如下：∴当0≤x ≤4时，函数f(x)的图象与x 轴围成的图形的面积为12×1×2×2=2，∴C 正确． 故选：ACD ．直接利用函数的图象和性质判定函数的周期，对称性，函数的值，从而判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：因为x +y =1，所以x =1−y >0，0<y <1，x 2+2y 2=(1−y)2+2y 2=3y 2−2y +1=3(y −13)2+23≥23 当y =13时，等号成立，所以A 正确；因为x +y ≥2√xy ，所以0<xy ≤14，(x +1x )(y +1y )=xy +xy +yx +1xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy −2≥14+8−2=254，当且仅当x =y =12时，等号成立，所以B 错误； x 2+y 2+1xy =1−2xy +1xy ≥1−2×14+4=92，当且仅当x =y =12时等号成立，所以C 正确；3x 2+1xy=3x 2+(x+y)2xy=4x 2+2xy+y 2xy=4x y+y x +2≥2√4+2=6，当且仅当x =13,y =23时等号成立，所以D 错误； 故选：AC ．对于选项A ，利用消元法结合二次函数的性质可得；对于选项B 、C 、D ，利用基本不等式中“1”的替换即可得到答案．本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到“1”的替换等，考查学生等价转化的思想，是一道中档题．12.【答案】BCD【解析】A .分析法：若AC ⊥PB ，则有因为AC ⊥BC ，PB ∩BC =B ，则AC ⊥平面PBC ， 由此可得AC ⊥PC ，这个这个结论与PA ⊥AC 相矛盾，故A 错误； B .因为PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAB ，所以根据面面垂直的判定定理可得，平面PAB ⊥平面ABC ，故B 正确； C .过点C 作CC 1//PA ，以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1点所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如下图)， 则有A(1,0，0)，B(0,1，0)，P(1,0，1)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则有{m⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{c =0a −b +c =0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 设平面CPB 的一个法向量为n⃗ =(r,s,t)， 则有{n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{s =0r −s +t =0⇒n ⃗ =(1,0,−1)， 设二面角C −PB −A 的平面角为θ，则有cosθ=cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=12，即得θ=60°.故C 正确．D .根据题意，可将三棱锥P −ABC 添补为底面为正方体，则可得其外接球的直径为正方体的体对角线，即2R =√3，因此可得R =√32，所以外接球的表面积为S =4πR 2=3π(如下图).故D 正确．故选：BCD．对于面面垂直可通过判定定理进行验证，二面角的大小可以通过向量法进行求解，空间球问题可以通过填补法进行求解．本题属于立体几何综合问题，主要考查二面角的正余弦问题，以及外接球表面积问题，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为2x±y=0，∴b=2k，a=k，c=√4k2+k2=√5k，∴e=ca =√5kk=√5．故答案为：√5．由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为2x±y=0，得到b=2k，a=k，求出c，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14.【答案】314【解析】解：由题意得，等比数列{a n}中，a1+a2=0.75，a4+a5=6，所以(a1+a2)q3=3q34=6，所以q=2，a1=14，S5=a1(1−q5)1−q =14(1−25)1−2=314．故答案为：314．由已知结合等比数列的性质可求q，a1，然后结合等比数列的求和公式可求．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．15.【答案】√33【解析】解：f(x)=asin2x+bcos2x=√a2+b2sin(2x+θ)，且tanθ=ba，将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得y=√a2+b2sin[2(x−π6)+θ]=√a2+b2sin(2x−π3+θ)，∵y=√a2+b2sin(2x−π3+θ)的图象关于点(π12,0)对称，∴2×π12−π3+θ=kπ，k∈Z，∴θ=π6+kπ，k∈Z，∴ba=tanθ=√33，故答案为：√33．先将函数f(x)用辅助角公式化为f(x)=√a2+b2sin(2x+θ)，且tanθ=ba，再将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得y=√a2+b2sin(2x−π3+θ)，最后利用正弦函数的对称性得到θ=π6+kπ，k∈Z即可．本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，考查学生的运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．16.【答案】√5−145+√5【解析】解：因为cos54°=sin36°，所以4cos318°−3cos18°=2sin18°cos18°，即4cos218°−3=2sin18°，所以cos218°=2sin18°+34，所以sin218°+cos218°=sin218°+12sin18°+34=1，即4sin218°+2sin18°−1=0，解得sin18°=−2+√202×4=√5−14，在五角形ABCDE中，EG=EI，HG=HI，HE=HE，所以△EHG≌△EHI，所以∠HEG=12∠CEB=18°，∠EHG=12∠IHG=54°，过点H 作HM ⊥BE 于点M ，则∠GHM =18°，于是cos∠GHM =HM GH，从而HM =GHcos∠GHM =2cos18°， 在Rt △EHM 中，sin∠HEG =HMEH，于是EH =HM sin∠HEG =2cos18°sin18∘，从而HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos54°=2×2cos18°sin18∘×sin36°=8cos 218°=8−8sin 218°=8−8×(√5−14)2=5+√5． 故答案为：√5−14；5+√5．由三倍角余弦公式以及二倍角正弦公式可得4cos 218°−3=2sin18°，由同角三角函数的基本关系即可求解sin18°，利用三角形全等，可得∠HEG =18°，∠EHG =54°，过点H 作HM ⊥BE 于点M ，可求得EH =2cos18°sin18∘，利用向量的数量积运算即可求得HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题主要考查三角函数的求值，平面向量数量积的运算，考查方程思想、数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵2asinBcosC =bsinBcosC +12csin2B ，且sin2B =2sinBcosB ， ∴2sinAsinBcosC =sinBsinBcosC +12sinC ⋅2sinBcosB ，∵sinB ≠0，∴2sinAcosC =sinBcosC +cosBsinC =sin(B +C)=sinA ， 又sinA ≠0， ∴cosC =12，∵C ∈(0,π)，∴C =π3．(2)∵ab =8sin 2C =8×sin 2π3=6，a =3b ， ∴a =3√2，b =√2，由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2ab ⋅cosC =(3√2)2+(√2)2−2⋅3√2⋅√2⋅12=14， ∴c =√14．【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合二倍角公式、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，可推出cosC =12，从而得解；(2)结合(1)中的结论与已知条件，可解得a=3√2，b=√2，再由余弦定理，得解．本题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用，还涉及二倍角公式、两角和的正弦公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)选①S3=3S1+S2，由题意可得公差d=2，又a3=S3−S2=a1+4=3a1，解得a1=2，则a n=2+2(n−1)=2n；n(2+2n)=n(n+1)，S n=12由S n=2a n，可得n(n+1)=4n，解得n=4(0舍去)，故存在n=4，使得S n=2a n成立；选②S4=12，可得4a1+6d=4a1+12=12，即a1=0，所以a n=2(n−1)；S n=1n(0+2n−2)=n(n−1)，2由S n=2a n，可得n(n−1)=4(n−1)，解得n=1或4，故存在n=1或4，使得S n=2a n成立；选③a22−a12=8，即有(a1+2)2−a12=4+4a1=8，解得a1=1，a n=1+2(n−1)=2n−1，n(1+2n−1)=n2，S n=12由S n=2a n，可得n2=4n−2，该方程无正整数解，故不存在n∈N∗，使得S n=2a n成立；(2)b n=(a n−a1)(a n+1−a n)n−1=2(n−1)⋅2n−1=(n−1)⋅2n，T n=0⋅21+1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n，2T n=0⋅22+1⋅23+2⋅24+⋯+(n−1)⋅2n+1，上面两式相减可得−T n=0+22+23+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1−(n−1)⋅2n+1，=4(1−2n−1)1−2化简可得T n=4+(n−2)⋅2n+1．【解析】(1)分别选①②③，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项，可得所求，判断存在性；(2)求得b n=(n−1)⋅2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可得，μ=25，σ=5，所以μ+σ=35，于是每次洗手的平均时长在35s 以上的概率为P(X ≥μ+2σ)=1−P(μ−2σ<X<μ+2σ)2≈1−0.95442=0.0228，所以0.0228×50000=1140，故约有1140名高中生每次洗手的平均时长在35s 以上；(2)由表格可知“达标”的高中生的频率为0.8，将频率视为概率， 则任意抽取一名高中生洗手时长“达标”的概率为45，且相互独立， 所以随机变量X ～B(3,45)，所以P(X =r)=C 3r(45)r ⋅(15)3−r ，其中r 的可能取值为0，1，2，3， 故X 的分布列为：X 0 1 2 3 P1125121254812564125所以X 的数学期望为E(X)=np =125．【解析】(1)由题意确定μ和σ值，然后求出每次洗手的平均时长在35s 以上的概率，进而求出人数即可；(2)求出任意抽取一名高中生洗手时长“达标”的概率，得到随机变量X ～B(3,45)，求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连接C 1B ，因为A 1C 与AC 1相交于点O ，四边形A 1ACC 1⊥是平行四边形， 所以O 为AC 1中点，又因为D 为AB 的中点，DO//C 1B ，又因为C 1B ⊂平面C 1CBB 1，DO ⊄平面C 1CBB 1，所以OD//平面C 1CBB 1．(2)解：取AC 中点M ，连接MB 、A 1M 、A 1B ，因为AA 1=A 1C ，△ABC 是等边三角形，所以AC ⊥A 1M ，AC ⊥BM ， 又因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，所以A 1M ⊥BM ， 所以A 1M 、MC 、MB 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为A 1B 在平面ABC 内射影为MB ，所以直线A 1B 与底面ABC 所成的角为∠A 1BM =π4， 所以A 1M =MB ，不妨设AB =2，A(0,−1,0)，B(√3,0，0)，C(0,1，0)，A 1(0,0，√3)，C 1(0,2，√3)，D(√32,−12,0)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，√3)，DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,1，√32)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，设平面A 1OD 与平面C 1CBB 1的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ =−√32x +12y +√3z =0DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√32x +y +√32z =0，令m ⃗⃗⃗ =(3,√3,1)， {BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3u +2v +√3w =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3u +v =0，令u =1，n ⃗ =(1,√3,−1)， 所以平面A 1OD 与平面C 1CBB 1所成锐二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√13⋅√5=√6513．【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可知b =√3，c =1，∴a 2=b 2+c 2=4， ∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1，∵A 1(−2,0)，∴p2=2， ∴p =4，∴抛物线L 的方程为：y 2=−8x ．(2)设直线CD 方程为：x =my +1，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立方程{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∴△=36m 2+36(3m 2+4)>0，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4 (∗)，∵直线A 2C 的方程为：y =y 1x 1−2(x −2)，直线A 1D 的方程为：y =y2x 2+2(x +2)，∴点M 的横坐标x M =2(x 1−2)y 2+2(x 2+2)y 1(x 2+2)y 1−(x 1−2)y 2，又∵{x 1=my 1+1x 2=my 2+1，∴x M =4my 1y 2+6y 1−2y 23y 1+y 2(∗∗)又利用(∗)式得my 1y 2y1+y 2=32，即4my 1y 2=6y 1+6y 2， 代入(∗∗)得x M =12y 1+4y 23y 1+y 2=4，即点M 在定直线x =4上，过点N 作定直线x =4的垂线，交抛物线的准线x =2于点H ， 则NB +NM ≥NB +NH +2=NB +NA 1+2≥BA 1+2=√7+2， 当且仅当N ，B ，A 1三点共线，同时N ，H ，M 三点共线时取等号， 此时点N(−22+8√73,−8√3+4√213)， 因此，当N(−22+8√73,−8√3+4√213)时，线段NB ，NM 的长度之和取得最小值．【解析】(1)根据题意可知b ，c 的值，再根据a 2=b 2+c 2求出a 的值，从而得到椭圆E 的方程；由椭圆E 的方程求出A 1的坐标，进而求出p 的值，得到抛物线L 的方程． (2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，直线CD 方程为：x =my +1，与椭圆E 的方程联立，利用韦达定理可得y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，进而可得4my 1y 2=6y 1+6y 2，再求出直线A 2C ，A 1D 的方程，从而得到点M 的横坐标x M =4，即点M 在定直线x =4上，则NB +NM ≥NB +NH +2=NB +NA 1+2≥BA 1+2=√7+2，当且仅当N ，B ，A 1三点共线，同时N ，H ，M 三点共线时取等号，从而求出点N 的坐标．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了抛物线的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题．22.【答案】(1)根据题意，当a =1时，f(x)=xlnx +x ，定义域为x ∈(0,+∞)，∴f′(x)=lnx +2， 令f′(x)=0，则有x =1e 2， ∴f′(x)>0⇒x >1e 2；f′(x)<0⇒0<x <1e 2， 即得函数f(x)在(0,1e 2)上单调递减；在(1e 2,+∞)上单调递增； ∴函数在x =1e 2处取得极小值为：f(1e 2)=1e 2⋅ln 1e 2+1e 2=−1e 2； (2)根据题意，f(x)≤a 2xe x−1⇔xlnx +ax ≤a 2xe x−1，由端点效应可得，f(1)=a <a 2⇒a ≥1.此即为恒成立的必要条件．下面证明充分条件，即：当a=1时，f(x)≤xe x−1，令g(x)=xlnx+x−xe x−1，则有g′(x)=lnx+2−e x−1−xe x−1=lnx+2−e x−1(x+ 1)，−e x−1(x+2)，∴g′′(x)=1x∵当x→0时，g′′(x)>0；当x→+∞时，g′′(x)<0，又∵g′(1)=0∴g′(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(x)≤a2xe x−1成立，∴a∈[1,+∞)．【解析】(1)根据函数极值的定义，利用倒数进行求解；(2)通过分离参数法进行求解．本题重点考查函数导数在求解极值中的应用，其次使用端点效应来求解恒成立的条件，属于难题。
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5)含答案
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5)含答案2021年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题第ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分后，共70分后．1．设立子集a??2,5?，b??x1?x?3?，则ab?▲．8589012246a?2i（i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为▲．1?2i3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为▲．4．继续执行如图所示的伪代码，则输入的结果的子集为▲．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为▲．?x2?4x?6,x≥0,6．设立函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的边值问题就是▲．x?6,x?0,?2．设a?r，复数（第3题）ｓ?１forifrom1to5step2s?s+iprintsendfor(第4题)117．未知圆柱的底面半径为r，低为h，体积为2，表面积为12，则?=▲．rh228．在平面直角坐标系xoy中，已知点a为双曲线x?y?4的左顶点，点b和点c 在双曲线的右支上，?abc是等边三角形，则?abc的面积为▲．9．若tan(??)?2，则sin2?的值▲．410．已知定义在集合a上的函数f(x)?log2(x?1)?log2(2x?1)，其值域为,1?，则a?▲．11．数列{an}中a1?0，a4??7，对?n?n?，当n?2时，(1?an)2?(1?an?1)(1?an?1)，则数列{an}的前n项的和为▲．12．设立实数a?1,b?1，则“a?b”就是“lna?lnb?a?b”设立的▲条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）13．在?abc中，b?45，m,n分别为边ac,ab的中点，且bm?ac?2cn?ab，则▲．14．在平面直角坐标xoy中，设圆m的半径为1，圆心在直线2x?y?4?0上,若圆m上不存有点n，并使babc的值为?bcbano?1，则圆心m横坐标的取值范围▲.na,其中a（0，3）2二、答疑题：本大题共6小题，总计90分后．恳请在答题卡选定区域内答题，答疑时写下文字说明、证明过．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14分后）?abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，面积为s．（1）若ab?ac?23s，谋a的值；（2）若tana∶tanb∶tanc＝1∶2∶3，且c?1，求b．第1页，共11页16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面abcd是平行四边形，pa?平面abcd，m 是ad中点，n是pc中点．（1）澄清：mn//面pab；（2）若平面pmc?平面pad，求证：cm?ad．pnabmdc（第16题）17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉市场需求，必须减小水渠的过水量，现把旧有水渠改挖（无法回填）成横断面为全等梯形的新水渠，并使水渠的底面与地面平行（不发生改变渠深），要使所挖土的土方量最少，恳请你设计水渠改挖后的底阔，并算出这个底阔．42（第17题图）x2y218．（本小题满分16分后）在平面直角坐标系xoy中，未知椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点与上顶点分别ab33，且过点(1,)．22（1）求椭圆的标准方程；（2）例如图，若直线l与该椭圆处设p,q两点，直线bq,ap的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；s②若点p在第一象限，设立?abp与?abq的面积分别为s1,s2，谋1的最大值．s2yb第2页，共11页o为a,b，椭圆的离心率为paxlq19．（本小题满分16分后）未知函数f(x)?mx?(m?2)lnx?2，g(x)?x2?mx?1，m?r．x （1）当m?0时，①求f(x)的单调区间；②若存有x1,x2?[1,2]，使f(x1)?g(x2)?1设立，谋m的值域范围；lnx?1（2）设h(x)?的导函数h?(x)，当m?1时，求证：[g(x)?1]h?(x)?1?e?2（其中e是自然对数的底xe数）．20．（本小题满分16分后）若数列{an}满足条件：存有正整数k，使an?k?an?k?2an 对一切n?n*,n?k都设立，则表示数列{an}为k级等差数列．（1）已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求a8?a9的值；（2）若an?2n?sin?n(?为常数），且{an}就是3级等差数列，谋?所有可能将值的子集，ZR19?挑最轻正值时数列{an}的前3n项和s3n；（3）若{an}既是2级等差数列，{an}也就是3级等差数列，证明：{an}就是等差数列．第ⅱ卷（附加题，共40分）21．【Suippes题】本题包含a、b、c、d共4小题，恳请选取其中两小题，并在适当的答题区域内答题．若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．搞，则按答题的前两小题评分．答疑时应写下文字说明、证明过程或编程语言步骤．a．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠paq是直角,圆o与射线ap相切于点t，与射线aq相交于两点b、c.求证:bt平分?oba.（第21题a）?12??10??1ba?b．，（报读４－２：矩阵与转换）设立二阶矩阵a，b 满足用户a01?，谋b?1．34c．（报读４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系则中，以原点为极点，x轴的也已半轴为极轴创建极坐标系，已知曲线错误！未找到引用源。
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷(三)
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若()(1)0a bi i +->，其中i 是虚数单位，则复数1a biz i+=+是( ) A ．正实数B ．负实数C ．纯虚数D ．虚数2．（5分）已知集合2{|4}A x y x ==-，{|}x B y y e ==，其中e 是自然对数的底数，则(AB = )A ．∅B ．[2-，)+∞C ．[2，)+∞D ．(0，2]3．（5分）城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强．某地区2010年至2019年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．这些年该地区居民生活水平在逐步提高B ．该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C ．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D ．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大 4．（5分）若向量(1,1)a =，(4,0)b =-，c a b λ=+，则||c 的最小值是( ) A ．2B 2C ．22D ．45．（5分）在1()n x x+的展开式中，第4项与第5项的二项式系数相等，则系数最大的有理项是( ) A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项6．（5分）已知函数()f x 满足()()f x f x -=，在(0,)+∞上单调递减．若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（5分）车牌识别道闸系统是一个广泛应用的智能系统．先将机动车车牌号存储在系统中，当检测的机动车车牌号与系统中存储的机动车车牌号一致时，道闸会自动打开否则不打开，那么“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）若直线1(0,0)x y a b a b+=>>经过点(1,1)，则圆22220x y ax by +--=面积的最小值是( ) A ．8πB ．4πC ．2πD ．无最小值二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）若函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)πϕπ-<<的最小正周期为π，其图象如图所示，则下列结论中正确的有( )A ．2ω=，3πϕ=B ．函数()f x 图象的对称轴方程是()122k x k Z ππ=+∈C ．函数()f x 的减区间是7[,]()1212k k k Z ππππ++∈D ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数sin 2y x =的图象 10．（5分）已知双曲线22:145x y C -=的左焦点为F ，则下列结论中正确的有( ) A ．双曲线C 的准线方程是43x =±B ．双曲线C 与双曲线22154y x -=有共同的渐近线 C ．双曲线C 上到左焦点F 距离为5的点有4个D ．过点15)P 与双曲线C 只有一个公共点的直线有两条11．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，P 是线段A 1C （不含端点）上的一个动点，那么在点P 的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）A ．存在某一位置，使得直线PE 和直线BB 1相交 B ．存在某一位置，使得BC ∥平面AEPC ．点A 1与点B 1到平面PBE 的距离总相等D ．三棱锥C 1﹣PBE 的体积不变12．（5分）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()10f x '+>，且(1)f x +为奇函数，那么下列结论中正确的有( ) A ．函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称B ．对于任意的12x x ≠，不等式1212()()1f x f x xx ->--恒成立C ．曲线()y f x =上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是45︒D ．不等式()1f x x +>的解集是(1,)+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若0x >，关于x 的不等式290x ax -+恒成立，则实数a 的最大值是 ． 14．（5分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的长为8，且AB 的中点的横坐标为3，则焦点F 的坐标是 ．15．（5分）干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”． 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸． 地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．“十天干”以“甲”字开始，“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、⋯、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、⋯癸未；甲申、乙酉、丙戌、⋯、癸已；⋯；甲寅、乙卯、丙辰、⋯、癸亥．如此配对，周而复始，循环使用在上世纪中，除了1911年， 年也是辛亥年． 16．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝BC ＝2，P A ⊥BC ，三棱锥P ﹣ABC 外接球的半径为，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是，三棱锥P﹣ABC体积的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①1231111nkS S S S+++⋯+<对任意的*n N∈恒成立，②ka是数列{}nb中的项，③1k kS S+>且12k kS S++<这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：已知数列{}na是各项均为正数的等差数列，其前n项和为nS，数列{}nb是等比数列，且13a=，51b=，262a b+=，3716a b+=．是否存在正整数k，使得_____？若k存在，求出k的最小值；若k不存在，请说明理由．18．（12分）在平面凸四边形ABCD中，AB BD⊥，::2:3:4AB CD BD=．（1）若4BACπ∠=，求ABC∆的面积与ACD∆的面积之比；（2）若3CDBπ∠=，求cos ABC∠的值．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，12AB AA=，点E在棱11A B上，且1114A B A E=，点F在棱11A D上．（1）求证：平面AEF⊥平面1A BF；（2）若BF与平面11AA D D所成的角为45︒，求二面角F AE B--的余弦值．20．（12分）2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．2()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．21．（12分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点M ，N ，我们把线段MN 称为椭圆的通径．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3，圆O 以椭圆E 的短轴为直径，且通径被圆O 2． （1）求椭圆E 的标准方程和圆O 的方程．（2）设直线:1l y kx =-与椭圆E 交于A ，B 两点，与圆O 交于P ，Q 两点，是否存在实数k ，使得P ，Q 是线段AB 的三等分点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数()(1)f x ln x x =+-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若数列{}n a 满足12a =，2121n n n a a n++=，求证：当*n N ∈时，4n a e <，其中e 是自然对数的底数．2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若()(1)0a bi i +->，其中i 是虚数单位，则复数1a biz i+=+是( ) A ．正实数B ．负实数C ．纯虚数D ．虚数【解答】解：()(1)()0a bi i a b b a i +-=++->， 所以0a b +>且0b a -=，即0a >，0b >， 故复数(1)111a bi a ai a i z a i i i+++====+++， 故复数z 是正实数． 故选：A ．2．（5分）已知集合2{|4}A x y x ==-，{|}x B y y e ==，其中e 是自然对数的底数，则(AB = )A ．∅B ．[2-，)+∞C ．[2，)+∞D ．(0，2]【解答】解：2{|40}{|22}A x x x x =-=-，{|0}B y y =>，(0AB ∴=，2]．故选：D ．3．（5分）城乡居民人均可支配收入是国民经济决策的重要依据，增长得越快，说明生活水平越高，消费能力越强．某地区2010年至2019年城乡居民人均可支配收入如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．这些年该地区居民生活水平在逐步提高B ．该地区每一户家庭的可支配收入每年都在增加C ．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异D ．这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大【解答】解：对于A ，由于两条折线图都是呈上升趋势，故这些年该地区居民生活水平在逐步提高，故选项A 正确；对于B ，折线图反映的是人均的情况，不能说明每一户的情况，故选项B 错误；对于C ，由两条折线图之间差距可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入有显著差异，故选项C 正确；对于D ，由两条折线图的张角在变大可知，这些年该地区城镇人均可支配收入与农村人均可支配收入的差距略有扩大，故选项D 正确． 故选：B ．4．（5分）若向量(1,1)a =，(4,0)b =-，c a b λ=+，则||c 的最小值是( )A ．2B C ．D ．4【解答】解：根据题意，向量(1,1)a =，(4,0)b =-， 则(4,)c a b λλλ=+=-，则222||(4)2228162(2)88c λλλλλ=-+=-+=-+，则有||22c ，即c 的最小值是 故选：C ．5．（5分）在1)n x+的展开式中，第4项与第5项的二项式系数相等，则系数最大的有理项是( ) A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【解答】解：由已知可得34nn C C =，则7n =，所以二项式71)x的展开式的通项公式为：73721771()rr rr rr T C C x x--+==， 当732r-为整数时，1r =，3，5，7，当1r =时，122277T C x x ==，当3r =时，3114735T C x x --==， 当5r =时，5446721T C x x --==，当7r =时，77787T C x x --==， 所以有理项的系数最大项为第4项， 故选：B ．6．（5分）已知函数()f x 满足()()f x f x -=，在(0,)+∞上单调递减．若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：因为函数()f x 满足()()f x f x -=，在(0,)+∞上单调递减． 所以0.25(log 3)(log 3)a f f ==，33(log 0.2)(log 5)b f f ==，3(0.2)c f =， 因为3351log 51log 30.22>>>>， 所以335(log 5)(log 3)(0.2)f f f <<， 则b a c <<． 故选：C ．7．（5分）车牌识别道闸系统是一个广泛应用的智能系统．先将机动车车牌号存储在系统中，当检测的机动车车牌号与系统中存储的机动车车牌号一致时，道闸会自动打开否则不打开，那么“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为机动车甲在车牌识别一致道闸自动打开，不一致道闸不自动打开， 故机动车甲在车牌识别无法推出道闸自动打开，“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的不充分条件， 道闸自动打开可以推出机动车甲在车牌识别，“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的必要条件，所以“机动车甲在车牌识别”是“道闸自动打开”的是必要不充分条件． 故选：B ． 8．（5分）若直线1(0,0)x y a b a b+=>>经过点(1,1)，则圆22220x y ax by +--=面积的最小值是( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．无最小值【解答】解：由题意得111a b+=，即a b ab +=， 因为22220x y ax by +--=， 所以2222()()x a y b a b -+-=+，因为11()()2224b a a b a b a b a b a b b a +=++=+++⋅=，当且仅当12a b ==时取等号，故4a b +，22222()2()2()(1)18a b a b ab a b a b a b +=+-=+-+=+--， 故圆的面积22()8a b ππ+． 故选：A ．二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）若函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)πϕπ-<<的最小正周期为π，其图象如图所示，则下列结论中正确的有( )A ．2ω=，3πϕ=B ．函数()f x 图象的对称轴方程是()122k x k Z ππ=+∈C ．函数()f x 的减区间是7[,]()1212k k k Z ππππ++∈D ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数sin 2y x =的图象 【解答】解：根据函数的图象，已知函数的最小正周期为π， 所以2ω=， 由于3x π=时，()03f π=，整理得2()3k k Z πϕπ⨯+=∈，解得3k πϕπ=-， 由于πϕπ-<<， 当0k =时，3πϕ=-，当0x =时，(0)sin()3f π=-=，与函数的图象在0x =时(0)0f >矛盾，故舍去，当1k =时，23πϕ=符合题意．故函数的关系式为2()sin(2)3f x x π=+，故A 错误； 对于B ：当2232x k πππ+=+时，()122k x k Z ππ=-+∈，故B 错误； 对于C ：令23222()232k x k k Z πππππ+++∈，解得5()1212k x k k Z ππππ-++∈，即单调递减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，故C 错误； 对于D ：函数2()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位长度后得到函数sin 2[()]sin 233y x x ππ=-+=的图象，故D 正确；故选：ACD ．10．（5分）已知双曲线22:145x y C -=的左焦点为F ，则下列结论中正确的有( )A ．双曲线C 的准线方程是43x =±B ．双曲线C 与双曲线22154y x -=有共同的渐近线C ．双曲线C 上到左焦点F 距离为5的点有4个D ．过点P 与双曲线C 只有一个公共点的直线有两条【解答】解：对于A ，双曲线22:145x y C -=中，24a =，25b =，2229c a b =+=，其准线方程为243a x c =±==±，故A 正确；对于B ，由于双曲线22:145x y C -=的渐近线方程为b y x a =±=，双曲线22154y x -=的渐近线方程为x y =，即y =， 所以曲线C 与双曲线22154y x -=有共同的渐近线，故B 正确； 对于C ，由于双曲线C 的右顶点(2,0)A 到左焦点(3,0)F -距离为5，故双曲线C 上到左焦点F 距离为5的点有三个（左支上有两个，右支上只有右顶点），故C 错误；对于D ，由于点P 在双曲线22:145x y C -=上，故过点P 与双曲线C 只有一个公共点的直线有两条（一条为过点P的切线，另一条为过点P与渐近线5y x=-平行的直线），故D正确；综上所述，四个选项中结论中正确的有ABD．故选：ABD．11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）A．存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交B．存在某一位置，使得BC∥平面AEPC．点A1与点B1到平面PBE的距离总相等D．三棱锥C1﹣PBE的体积不变【解答】解：选项A：P是线段A1C（不含端点）上的一个动点，PE∩平面ABB1A1＝E，而E∉BB1，由异面直线的判定定理可知PE与直线BB1异面，所以不存在某一位置，使得直线PE和直线BB1相交，故选项A不正确；选项B，连接ED交A1C于点P'，面AP'E即为面ADE，此时BC∥AD，而BC⊄平面ADE，AD⊂面ADE，所以BC∥平面ADE，即BC∥平面AEP，故选项B正确；选项C：如图过点A1与点B1作平面PBE的垂线，垂足分布为H，H1，有△B1HE≌△A1H1E，所以B1H＝A1H1，即点A1与点B1到平面PBE的距离总相等，故选项C正确；选项D：因为，为定值，连接B 1C交BC1于点F，连接EF，而A1C∥EF，A1C⊄平面C1BE，EF⊂平面C1BE，所以A1C∥平面C1BE，所以P到平面C1BE的距离为定值，所以三棱锥C1﹣PBE的体积不变，故选项D正确．故选：BCD．12．（5分）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()10f x '+>，且(1)f x +为奇函数，那么下列结论中正确的有( ) A ．函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称B ．对于任意的12x x ≠，不等式1212()()1f x f x x x ->--恒成立C ．曲线()y f x =上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是45︒D ．不等式()1f x x +>的解集是(1,)+∞ 【解答】解：(1)f x +是在R 上的奇函数，(1)f x ∴+的图象关于原点对称，又(1)f x +的图象向右平移1个单位得到函数()f x 图象，∴函数()f x 图象关于点(1,0)成中心对称，A ∴对；()10f x '+>，∴可取0()1f x '=成立，又tan451︒=，∴此时曲线()y f x =在0x x =处的切线的倾斜角是45︒，C ∴对；令()()g x f x x =+，()()10g x f x '='+>，可知函数()g x 在R 上是增函数．不等式()1f x x +>得()f x x f +>（1）1+，即()g x g >（1），又()g x 在R 上是增函数，1x ∴>，∴不等式()1f x x +>的解集是(1,)+∞，D ∴对；()()g x f x x =+是在R 上的增函数，∴对任意1x ，2x R ∈，12x x -与12()()g x g x -同号，∴1212()()0g x g x x x ->-，即112212()()0f x x f x x x x +-->-，得不等式1212()()1f x f x x x ->--恒成立，B ∴对；故选：ABCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若0x >，关于x 的不等式290x ax -+恒成立，则实数a 的最大值是 6 ． 【解答】解：若0x >，关于x 的不等式290x ax -+恒成立， 可得9a x x+对0x >恒成立， 由9926x x x x+⋅=，当且仅当3x =时，取得等号．所以9x x+的最小值为6， 所以6a ， 即a 的最大值为6． 故答案为：6．14．（5分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的长为8，且AB 的中点的横坐标为3，则焦点F 的坐标是 (1.0) ． 【解答】解：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由于线段AB 的中点E 的横坐标为3， 则1232x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得12||68AB x x p p =++=+=，解得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =； 抛物线的焦点坐标(1,0)． 故答案为：(1,0)15．（5分）干支纪年法是我国的一种传统纪年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”． 天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸． 地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．“十天干”以“甲”字开始，“十二地支”以“子”字开始两者按干支顺序相配，组成了干支纪年，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、⋯、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、⋯癸未；甲申、乙酉、丙戌、⋯、癸已；⋯；甲寅、乙卯、丙辰、⋯、癸亥．如此配对，周而复始，循环使用在上世纪中，除了1911年， 1971 年也是辛亥年． 【解答】解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，即周期是60年， 1911年是“干支纪年法”中的辛亥年，则1911601971+=，所以1971年也是辛亥年， 故答案是：1971．16．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝BC ＝2，P A ⊥BC ，三棱锥P ﹣ABC 外接球的半径为，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积是，三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值是 ．【解答】解：V 球＝＝＝，因为P A 为定长，当P A 为三棱锥P ﹣ABC 的高时体积才可能最大， 所以P A ⊥平面ABC ，过O 作OM ⊥BC ，ON ⊥P A ，OP ＝OA ＝OB ＝OC ＝R ＝，所以OM ＝ON ＝，三棱锥P ﹣ABC 的体积要最大，高为定值，只需底面△ABC 的面积最大即可， 因为三棱锥P ﹣ABC 外接球的半径为，所以OK 2+AK 2＝AO 2＝6，因为F 为AP 中点，所以AF ＝OK ， 所以AK ＝，K 为△ABC 外接圆圆心，所以由正弦定理可得，所以sin ∠CAB ＝1，即∠CAB ＝，所以AB 2+AC 2＝12，而AB 2+AC 2＝12≥2AB •AC ，所以AB •AC ≤6，当且仅当AB ＝AC 时取等号，即（S △ABC ）max ＝AB •AC sin ∠CAB ＝3， 所以三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为××3＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①1231111nk S S S S +++⋯+<对任意的*n N ∈恒成立，②k a 是数列{}n b 中的项，③1k k S S +>且12k k S S ++<这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且13a =，51b =，262a b +=，3716a b +=．是否存在正整数k ，使得 _____？若k 存在，求出k 的最小值；若k 不存在，请说明理由． 【解答】解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 由已知可得2323216d q d q ++=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=-⎩或65d q =-⎧⎨=⎩， 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以0d >， 所以2d =，3q =-，所以32(1)21n a n n =+-=+，5(3)n n b -=-， 所以(1)32(2)2n n n S n n n -=+⨯=+． 选条件①，因为1111()22n S n n =-+，所以1231111nS S S S +++⋯+1111111111(1)232435112n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 11113233(1)1221242(1)(2)4n n n n n +=+--=-<<++++， 故存在正整数1k 使得12311111nS S S S +++⋯+<对任意的*n N ∈恒成立， k 的最小值为1．选条件②，令521(3)n k -+=-， 当4k =，7n =时，等式成立，故存在正整数4k =，使得k a 是数列{}n b 中的项． 选条件③，假设存在整数k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<， 则(2)(1)(3)(1)(3)(2)(4)k k k k k k k k +>++⎧⎨++<++⎩，解得5322k -<<-，故假设不成立，所以不存在整数k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<．18．（12分）在平面凸四边形ABCD 中，AB BD ⊥，::2:3:4AB CD BD =． （1）若4BAC π∠=，求ABC ∆的面积与ACD ∆的面积之比； （2）若3CDB π∠=，求cos ABC ∠的值．【解答】解：（1）设BD 与AC 交于E ，因为4BAE π∠=，2ABC π∠=，所以ABE ∆为等腰直角三角形， 12AB BE BD ==，12BE DE BD ==， 所以ABE AED S S ∆=，ABE ECD S ∆∆=， 所以ABC ACD S S ∆∆=，1ABC ACD S S ∆∆==， ABC ∆的面积与ACD ∆的面积之比1:1；（2）CDB ∆中，设4BD =，则3CD =， 由余弦定理得21169243132BC =+-⨯⨯⨯=， 故13BC =， 由正弦定理得sin sin CD BCCBD CDB=∠∠， 所以313sin 3CBD =∠， 所以339sin CBD ∠=， 所以339cos cos()sin 2ABC CBD CBD π∠=∠+=-∠=-．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，点E 在棱11A B 上，且1114A B A E =，点F 在棱11A D 上．（1）求证：平面AEF ⊥平面1A BF ；（2）若BF 与平面11AA D D 所成的角为45︒，求二面角F AE B --的余弦值．【解答】（1）证明：设直线AE 与1A B 交于点P ， 因为12AB AA =，1114A B AB A E ==， 所以11112A E AA AA AB ==， 故△1AA E ∽△1AA B ， 所以11A BA EAA ∠=∠，又190EAA PAB ∠+∠=︒，所以190A BA PAB ∠+∠=︒， 所以90APB ∠=︒，即1A B AE ⊥，又在长方体中，1A F ⊥平面11ABB A ，且AE ⊂平面11ABB A ， 所以1A F AE ⊥， 又111A FA B A =，1A F ，1A B ⊂平面1A BF ，所以AE ⊥平面1A BF ， 又AE ⊂平面AEF ， 故平面AEF ⊥平面1A BF ；（2）解：在长方体中，AB ⊥平面11AA D D ，所以直线BF 与平面11AA D D 所成的角即为45BFA ∠=︒， 所以AB AF =，又因为112AA AB =，所以160A AF ∠=︒，130AFA ∠=︒， 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设2AB =，则(0A ，0，0)，1(,0,1),(2,0,0),2E B F ，所以1(,0,1),(0,3,1)2AE AF ==，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则有10230n AE x z n AF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则1,z y =-，故3(2,,1)n =-， 又平面AEB 的一个法向量为(0,1,0)m =，所以||1|cos ,|||||414n m n m n m ⋅<>===⨯，由图可知，二面角F AE B --的平面角为钝角， 故二面角F AE B --的余弦值为14-．20．（12分）2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区 山区 10 总计附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．2()P K k0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，超过1.5万元的频率为(0.50.40.1)0.50.5++⨯=， 所以超过1.5万元的户数有1000.550⨯=户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为3:2，抽取了100户， 故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区， 故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计 平原地区 40 20 60 山区 10 30 40 总计5050100则2()100(40301020)5016.66710.828()()()()604050503n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关； （2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为25，山区的概率为35，X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以00443216(0)()()55625P X C ===， 11343296(1)()()55625P X C ===， 222432216(2)()()55625P X C ===， 331432216(3)()()55625P X C ===， 44043281(4)()()55625P X C ===，所以X 的分布列为：因为X 服从二项分布3~(4,)5X B ，所以X 的数学期望312()4 2.455E X =⨯==．21．（12分）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点M ，N ，我们把线段MN 称为椭圆的通径．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，通径长为3，圆O 以椭圆E 的短轴为直径，且通径被圆O ． （1）求椭圆E 的标准方程和圆O 的方程．（2）设直线:1l y kx =-与椭圆E 交于A ，B 两点，与圆O 交于P ，Q 两点，是否存在实数k ，使得P，Q 是线段AB 的三等分点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，3(,)2M c ，所以2222222223()212c a b b c a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =，1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=，圆O 的方程为223x y +=．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx +--=，所以122122834834k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，由2213y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得22(1)220k x kx +--=， 所以3423422121k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为||AB ==，||PQ 当P ，Q 为线段AB 的三等分点是，1||||3PQ AB =，13=，22341k k ++，令2234()1k g t k+=+，随着2k 的增大而增大， 所以当20k =时，46()min g t =， 所以不存在实数k ，满足条件． 22．（12分）已知函数()(1)f x ln x x =+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）若数列{}n a 满足12a =，2121n n n a a n++=，求证：当*n N ∈时，4n a e <，其中e 是自然对数的底数．【解答】解：（1）()(1)f x ln x x =+-，()f x 的定义域是(1,)-+∞， 1()111x f x x x ∴'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 在(1,0)-单调递增，当0x =时，()(0)0f x f '='=，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故函数()f x 在0x =时取最大值(0)0f =；（2）2121n n n a a n ++=，则121(1)n n a a n+=+， 12211(1)(1)n n n lna ln a lna ln n n+∴=+=++， 又由（1）问可知当0x >时，(1)0ln x x +-<，即(1)ln x x +<， 2211(1)ln n n ∴+<，12211(1)n n n lna lna ln lna n n +∴=++<+， 121n n lna lna n +∴-<，显然12a =，24a =，则14a e <，24a e <， 当3n 时，有11221()()()n n n n n lna lna lna lna lna lna lna ---=-+-+⋯+-2221111111[1]22(1)(2)11223(2)(1)1n n n n n <++⋯++++⋯+=-<--⨯⨯---， 2n lna ∴<，即2n lna lne <，2n a e ∴<，又24e e <，∴当*n N ∈时，4n a e <成立．。
2021年江苏高考数学全真模拟试卷(四)(南通教研室)
2021年江苏高考数学全真模拟试卷四（南通教研室）数学Ⅰ试题A ．必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={x ｜x ≥0},B =(－2,－1,0,2) ，则A ∩B = ▲ ． 2.已知复数z ＋i =－3＋ii,其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ ．3.某地区小学生、初中生、高中生的人数之比为4:3:2.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中高中生有24人,则样本容量n 的值是 ▲ ．4.执行如图所示的伪代码,如果输入的x 的值为5,那么输出的y 的值是 ▲ ．5.函数y =log 3(－x ＋5x －6)的定义域是 ▲ ．6.某国家队“短道速滑”项目有A ,B ,C ,D ，4名运动员.若这四人实力相 当,现从中任选2名参加2022年北京冬奥会,则A ,B 至少有1人被选 中的概率是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C : x 2a 2－y 2b 2=1 (a >0，b >0)的一条渐近线垂直于直线y ＝2x －1则双曲线C 的离心率是 ▲ ． 8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm . 当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆, 则此圆锥形沙堆的高是 ▲ ．注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的 规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答 律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗. （第4题图）Read xIf x ≤4 Theny ←6x Elsey ← x ＋5 End If Print y（第8题）9.若S n ,是等比数列{a n }的前n 项和, S 3, S 9 , S 6成等差数列,则a 9a 6＝ ▲ ．10. 已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且f (x ＋4)=f (x ),当0≤x ≤2时, f (x )=－x 2+ax ＋b , 对f (－1)的值是 ▲ ．11.已知三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB =4，点A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动,则OA → ・OC →的 最大值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 的方程为x 2+（y －1）2 = 4.过点P (x 0，y 0)存在直线l 被圆C 截得的弦长为2 3 ,则实数x 0的取值范围是 ▲ ． 13.已知函数f (x )=（a ＋1）x 2－bx ＋a ，若函数f (x )有零点、且与函 数y ＝f (f (x ))的零点完全相同，则实数b 的取值范围为 ▲ ． 14.如图，在ABC 中已知2BC 2+AB 2=2AC 2,且BC 长线上的点D 足DA =DB ,则∠DAC 的最大值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为 菱形、E 为棱A 1A 的中点,且O 为A 1C 1与B 1D 1的交点. (1) 求证: OE ∥平面ABC 1;(2) 求证: 平面AA 1C 1⊥平面B 1D 1E.16.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0,0≤φ <2π) 的图象如图所示.(1) 求函数f (x )的解析式; (2) 若角α满足f (α)=2, α∈(3π4 ,7π4)求sin α的值.（第11题）（第14题）ACBD（第15题） ACBDEOC 1A 1D 1 B 117.(本小题满分14分)图1是某高架桥箱梁的横截面,它由上部路面和下部支撑箱两部分组成.如图2,路面宽度 AB =10m,下部支撑箱CDEF 为等腰梯形(CD >EF ),且AC =BD .为了保证承重能力与稳定性,需下部支撑箱的面积为8m 2,高度为2m 且2m ≤EF ≤3m 若路面AB 、侧边CF 和DE 、底部EF 的造价分别为4a 千元/m,5a 千元/m,6a 千元/m (a 为正常数),∠DCF = θ. (1) 试用θ表示箱梁的总造价y (千元);18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,1)为椭圆E x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的上顶点，P 为椭圆E 上异于上、下顶点的一个动点.当点P 的横坐标为2 33 时,OP ＝ 2 .(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 设M 为x 轴的正半轴上的一个动点.的坐标;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分16分)（第17题）（图1）（图2）A CFBD Eθ （第18题）APx y OM已知函数f (x )=e x －ax ,其中e 为自然对数的底数.(1) 若函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为y =x ＋1,求实数a 的值; (2) 若函数f (x )有2个不同的零点x 1,x 2. ①求实数a 的取值范围; ②求证:2< x 1＋x 2<2ln a.20.(本小题满分16分)对于给定的数列{a n },{b n },设c k = max {ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k }(k =1,2,…,n ), 即c k 是ka 1+b 1,ka 2+b 2,…, ka k +b k 中的最大值,则称数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列” (1)设a n =n +1,b n =2n 求c 1,c 2, c 3的值,并证明数列{c nn}是等差数列；(2)设数列{a n },{b n }都是公比为q 的正项等比数列,若数列{c n }是等差数列,求公比q 的取值范围; (3) 设数列{a n }满足a n ＞0,数列{c n }是数列{a n },{b n }的“和谐数列”,且ka i ＋b i ＋c k -i +1＝m(m 为常数,i =1,2, …, k ),求证: c n =m a n ＋b n ．2020年江苏高考数学全真模拟试卷(四)（南通教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 1 ,矩阵B 的逆矩阵B -1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 .若矩阵M ＝AB ,求矩阵M .B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t －1， ,(t 为参数,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝2｜cos θ｜， (θ为参数)求直线l 与曲线C 的交点坐标.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ,y ,z 均是正实数,且x 2＋9y 2＋4z 2＝36，求证x ＋y ＋z ≤7.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,AB ⊥AC ,AP =AC =4,AB =2,D ,E 分别为棱BC ,PC 的中点,点F 在棱P A 上,设t ＝PF AF.(1)当t ＝13时,求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；(2)试确定t 的值，使二面角C -EF -D 的平面角的余弦值为42121 .23.(本小题满分10分)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n 依次取0,1,2,3,…时(a ＋b )n 展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列{a n }.例:a 1=1,a 2=1+1,a 3=1+2 ,….(1) 写出数列{a n }的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;(2) 猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ,与a n +2的大小关系,并用数学归纳法证明.（第22题）BACDEPF。
江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷(二)【解析】
江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷（二）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合}4|{},,3|{2<=∈<=x x B N x x x A 且，则=B A （） A . }2|{<x x B .}1{C . }1,1{-D . }1,0{ 【答案】D2. 若复数z 满足i i z =-⋅)2(，其中i 为虚数单位，则复数=z （） A . i 5251+-B .i 5251--C .i 5251+ D .i 5251- 【答案】B3. 已知b a c b a ===,31log ,225.0，则c b a ,,的大小关系为（） （）A . b a c >>B . a b c >>C . b c a >>D . c b a >> 【答案】C4. 八音是我国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，每类又包括若干种乐器，现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“士”包括“缶、埙”2种乐器；“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器；“竹”包括“箭、笛、竿”3种乐器，现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三名同学演奏，则不同的分配方案有（） A . 24种 B .72种 C . 144种D . 288种【答案】C5. 如图，点C 在半径为2的AB 上运动，∠AOB=3π若n m +=，则n m +的最大值为（） A . 1B .2C .332D . 3【答案】C6. 已知21,F F 分别为双曲线15422=-y x 的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足21MF MF ⊥，则△21MF F 的面积为（） A . 5B .10C .14D . 142【答案】A7. 人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作A ，隐性基因记作a .成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA ，aA 或Aa ”人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用B ，b 表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因B ，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb ，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为（）A .161B .163C .167D .169 【答案】D8. 已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，当0>x 时，x x x f 23)(+=，则不等式13)2(<-x f 的解集为（） A . ),4()0,(+∞-∞ B .)4,0(C . )2,0(D . ),2()0,(+∞-∞ 【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ，其中d c b a n +++=.A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C.若被调查的男女生均为100人，则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关D.无论被调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关 【答案】AC10. 已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）A.在),0(π上存在21,x x ，使得2|)()(|21=-x f x fB.ω的取值花围为)310,37[ C.)(x f 在)4,0(π上单调递增D.)(x f 在),0(π上有且只有一个最大值点 【答案】ABC11.如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，AB AA 21=，P 为面对角线C B 1上的一个动点，则下列说法中正确的有（） A.⊥1BD 平面D C A 11B.C B 1与11C A 所成角的余弦值为1010C.三棱锥11DC A P -的体积为定值D.平面11A ABB 内存在与11D AC 和底面ABCD 交线平行 【答案】BC12. 关于曲线y x y x C ||1:22+=+，下列说法中正确的有（） A.曲线C 关于y 轴对称B.曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2C.曲线C 恰好经过6个整点D.曲线C 在直线1±=x 和1±=y 所围成的正方形区域内（包括边界）【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若31)4sin(=+απ，则=α2sin . 【答案】79-14. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.根据中央对精准扶贫的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则不同的分派方案共有种. 【答案】90015. 已知半径为5的球面上有P ，A ，B ，C 四点，满足∠ACB=90°，AC=7，15=BC ，则球心O 到平面ABC 的距离为（2分），三棱锥P -ABC 体积的最大值为（3分）.【答案】2815316. 已知F 为抛物线x y 22=的焦点，)2,(a A ，点P 在抛物线上且满足PF =PA .若这样的点P 有且只有一个，则实数a 的值为. 【答案】12±四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在①4,2411+=-=a b a b ,②22113,a b a b ==，③3,12211-=+=a b a b 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. 问题：已知数列}{n a 满足2332212222n a a a a nn =+⋅⋅⋅+++，数列}{n b 为等比数列，且，n S 为数列}{nn b a 的前n 项和.是否存在正整数k ，使得2020≥k S 成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知函数)30(23)3cos(sin 2)(<<++=ωπωωx x x f 在12π=x 处取得最大值.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,2cos ,21)(==+=c a cC b A f .求a .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面APB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 直梯形，AB //CD ，AB ⊥BC ，∠ABP=30°，AP =BC =CD =1,AB =2. （1）求证：AP ⊥CP ；（2）求二面角B -PC -D 的余弦值.20.（本小题满分12分）网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP 、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数i y 和时间第i x 天间的数据，列表如下：（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y 与时间x 之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算r 时精确到0.01）. 参考数据：88.654340≈. 附：相关系数21_21__1_)()())((∑∑∑===----=n i in i i in i i y y x x y y x x r ,回归直线方程的斜率x b y a x x y y x x b n i ii n i i∧∧==∧-=---=∑∑截距,)())((21__1_ （2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率.（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为31，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.21.（本小题满分12分） 已知椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，A 为椭圆C 上一点△21F AF 的周长为324+，21AF F ∠最大时的余弦值为21-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 和A 为x 轴同侧的两点，且 1801221=∠+∠F BF F AF ，求四边形B F AF21面积的最大值及此时直线1AF 的方程.22.（本小题满分12分） 已知函数a xx x f ++=1ln )(.（1）当a >0时，讨论函数)1(2)()(2-+--=x a xa x af x F 在（0，2）上的单调性； （2）当)2ln ,0(∈a 时，求证：函数)()(x f e x g x =（e 为自然对数的底数）存在唯一极值点0x .且0)(0>x g .。
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(附答案详解)
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 已知集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，下列结论成立的是( )A. M ⊆NB. M ∩N =⌀C. M ∪N =MD. ∁M N ={1}2. 在复平面内与复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3. 已知函数f(x)={xlnx,x >0x e x,x ≤0则函数y =f(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.4. 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是( )A. 3√34B. √33C. √34D. √3125. 设当x =θ时，函数f(x)=3sinx +4cosx 取得最小值，则sinθ=( )A. 35B. 45C. −35D. −456. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n+1=S n ，若a n ∈(0,2020)，则称项a n为“和谐项”，则数列{a n }的所有“和谐项”的平方和为( )A. 13×411+83B. 13×411−43C. 13×410+83D. 13×412−437. 已知函数f(x)=x 2⋅e −x ，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c.若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立，则c 的取值范围是( )A. (4e 2,43)B. [4e 2,43]C. (−∞,43]D. [4e 2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）8.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小9.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是()A. BD⊥CMB. 存在一个位置，使△CDM为等边三角形C. DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°10.设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是()A. 若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B. 若OA⊥OB，直线AB过定点(1,0)C. 若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D. 若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|=1，则|BF|=1311.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，则下列命题正确的是()A. 当x>0时，f(x)=−e−x(x−1)B. 函数f(x)有3个零点C. f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(f(−25π4))=______．13. 平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为______ ．14. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =30°，C =45°，c =3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC =60°，则△PBC 面积的最大值是______ ． 15. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A(−1,0)，当|PF||PA|取得最小值时，直线AP 的方程为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m ，n ，求事件“|m −n|>10”概率．17. 已知数列{a n }满足：S n =2a n −4n ，设b n =a n +4，c n =1b n．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n}其前n项和为T n，如果T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围．18.某地区上年度电价为0.8元/kW⋅ℎ，年用电量为akW⋅ℎ，本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅ℎ至0.75元/kW⋅ℎ之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅ℎ经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3元/kW⋅ℎ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？(注：收益=实际用电量×(实际电价−成本价))19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a2．4(1)若a=√6，b=√2，求cos B．(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)的最大值．20.已知椭圆O：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2√3，椭圆O的离心率为12．(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：x2+(y−2)2=r2，(0<r<2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−a2x2(e=2.71828…为自然对数的底数)有两个极值点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x2<2lna．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，不满足M ⊆N ，则A 错； M ∩N ={−2,2}，则B 错； M ∪N =M ，则C 正确； C M N ={1,3}，则D 错． 故选：C ．利用子集、交集、并集、补集定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查子集、交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查两个复数代数形式的乘除法，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得答案． 【解答】解：∵复数z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，∴复数z 的共轭复数是1−i ，就是复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：当x >0时，f(x)=xlnx ，则令f′(x)=lnx +1=0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)=e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y轴对称，再向右移动一个单位得到的，故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为故选：B．利用导数分析出f(x)的单调性，进而得到f(x)图象示意图，再根据f(1−x)图象与f(x)图象的关系即可进行判断本题考查函数图象的变换，涉及导数判断函数单调性，数形结合思想，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于基础题．作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积．【解答】解：由题可知正三棱锥P−ABC的外接球的球心在底面正三角形ABC的中心，如图，设正三棱锥P−ABC的底面中心为O，OC，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=32∵O是三棱锥P−ABC的外接球球心，∴OP =OC =1，∴CD =32，BD =√32,BC =√3，∴V P−ABC =13S △ABC ⋅OP=13×√34×(√3)2×1=√34． 故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．利用辅助角公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最小值，解出θ，从而可得sinθ的值． 【解答】解：f(x)=3sinx +4cosx =5(35sinx +45cosx)=5sin(x +φ)，其中sinφ=45，cosφ=35， 由f(θ)=5sin(θ+φ)=−5， 可得sin(θ+φ)=−1， ∴θ+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ，θ=−φ−π2+2kπ，k ∈Z ，∴sinθ=sin(−φ−π2+2kπ)=sin(−φ−π2)=−cosφ=−35，故选C ．6.【答案】A【解析】解：因为a n+1=S n ，所以a n =S n−1(n ≥2)，则a n+1−a n =S n −S n−1，即a n+1−a n =a n ，a n+1=2a n ， 所以a n+1a n=2(n ≥2)，因为a 1=2，所以a 2=S 1=a 1=2，故a n ={2n−1,n ≥22,n =1，因为a n ∈(0,2020)，所以1≤n ≤11， 于是数列{a n }的所有“和谐项“的平方和为：a 12+a 22+⋯+a 102+a 112=4+4+42+⋯+410=4+4(1−410)1−4=4+411−43=13×411+83，故选：A ．根据a n+1=S n 得出a n =S n−1(n ≥2)，然后两式相减，得出a n+1a n=2，再然后根据a 1=2得出a 2=2以及a n ={2n−1,n ≥22,n =1最后根据“和谐项“的定义得出1≤n ≤11，通过等比数列前n 项和公式求和即可得出结果．本题考查数列的前n 项和的求法，考查等比数列的定义以及数列通项公式的求法，能否正确理解“和谐项“是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，中档题分别求出f(x)，g(x)的导数，分析单调性，求出函数的值域，结合集合的包含关系得到关于c 的不等式组，解出即可，属于中等题． 【解答】解：f(x)=x 2⋅e −x ，x ∈(0,+∞)， 则f ′(x)=x(2−x)e x，令f ′(x)<0，解得：x >2， 令f ′(x)>0，解得：2>x >0， 故f(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递减， 故f(x)max =f(2)=4e 2，而x →0时，f(x)→0，x →+∞时，f(x)→0， 故f(x)∈(0,4e 2]，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c ， g ′(x)=−(x −3)(x −1)， 令g ′(x)⩾0，解得：1⩽x ⩽3， 故g(x)在[1,3]递增，而g(x)min =g(1)=−43+c ，g(x)max =g(3)=c ， 故g(x)∈[−43+c,c]，若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立， 则(0,4e 2]⊆[−43+c,c]，故{−43+c ≤04e 2≤c，解得：4e 2≤c ≤43，故选B ．8.【答案】AB【解析】解：A 、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差=173−161=12，故本选项符合题意；B 、男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C 、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D 、抽取的学生中，男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意． 故选：AB ．A 、根据极差的公式：极差=最大值−最小值解答；B 、根据两组数据的取值范围判断均值大小；C 、根据中位数的定义求出数值；D 、根据两组数的据波动性大小；本题考查了统计数据的分析与应用问题，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O.将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME ⊥BD ，EC ⊥BD ，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC ⊥BD ，所以A 正确；由题意可知AB =BC =CD =DA =BD ，三棱锥是正四面体时，△CDM 为等边三角形，所以B 正确；三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，所以C 不正确；在平面MBD 与底面BCD 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°，D 正确． 故选：ABD ．画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可． 本题考查空间几何体的直线与直线，直线与平面的位置关系的综合判断，命题的真假的判断，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于选项A ：A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+(x 1x 2)2=0，∴x 1x 2(1+x 1x 2)=0，∴x 2=−1x 1，∴|OA||OB|=√x 12(1+x 12)1x 12(1+1x 12)=√1+x 12+1x 12+1≥√2+2|x 1|⋅1|x 1|=2，当且仅当x 1=±1时等号成立，故选项A 正确；对于选项B ：若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−m ，∴y 1y 2=x 12x 22=(x 1x 2)2=m 2，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴−m +m 2=0，∴m =0或1， 易知直线AB 不过原点，∴m =1，∴直线AB 的方程为：y =kx +1，恒过定点(0,1)，故选项B 错误，∴原点O 到直线AB 的距离d =2，∵k 2≥0，∴k 2+1≥1，∴d ≤1，故选项C 正确；对于选项D ：直线AB 过抛物线的焦点F(0,14)，设直线AB 的方程为：y =kx +14， 联立方程{y =kx +14x 2=y ，消去y 得：x 2−kx −14=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨设点A 在y 轴右侧，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，∴|AF|=y 1+14=13，∴y 1=112，∴x 1=√36，∴x 2=−14x 1=−√32，∴y 2=34，∴|BF|=y 2+14=1，故选项D 正确， 故选：ACD ．若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系．11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，f(−x)=e −x (−x +1)，∴f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)， x =0时，f(0)=0.因此函数f(x)有三个零点：0，±1．当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值， f(−2)=−1e 2.可得其图象：f(x)<0时的解集为：(−∞,−1)∪(0,1)．∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤|f(0+)−f(0−)|<2． 因此BCD 都正确． 故选：BCD ．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，可得f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)，x =0时，f(0)=0.当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值，进而判断出结论． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】1e 3【解析】解：根据题意，函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(−25π4)=sin 2(−25π4)−tan(−25π4)=12−(−1)=32，则f(f(−25π4))=f(32)=e −3=1e 3；故答案为：1e 3．根据题意，由函数的解析式求出f(−25π4)的值，进而计算f(f(−25π4))即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， =(λ+23μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ， 解可得，λ=−1，μ=32， 则λ+μ=12， 故答案为：12．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理后结合向量基本定理即可求解．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题．14.【答案】9√38【解析】解：在△ABC中，由正弦定理asinA =csinC得，a=csinAsinC =3×sin30°sin45=3√22，在△PBC中，由余弦定理得，a2=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos∠BPC，∴92=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos60°，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC，∵PB2+PC2≥2PB⋅PC，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC≥PB⋅PC，当且仅当PB=PC时取等号，∴PB⋅PC≤92，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin60°≤12×92×√32=9√38，∴△PBC的最大值为9√38．故答案为：9√38．由已知利用正弦定理即可解得a的值，在△PBC中，由余弦定理，基本不等式可求PB⋅PC≤92，当且仅PC=PB时取等号，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】x+y+1=0或x−y+1=0【解析】解：设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(−1,0)∴|PF|2=(4t2−1)2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=(4t2+1)2+16t2=16t4+24t2+1∴(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−16t216t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24≥1−2√16t⋅1t2+24=1−1640=35，当且仅当16t2=1t2，即t=±12时取等号，此时点P坐标为(1,2)或(1,−2)，此时直线AP的方程为y=±(x+1)，即x+y+1=0或x−y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x−y+1=0，设P点的坐标为(4t2,4t)，根据点与点的距离公式，可得(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24，再根据基本不等式求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率(0.004+0.018+0.04)×10= 0.62，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x，则(0.004+0.018)×10+0.04×(x−70)=0.5，解得x=77，所以中位数是77，设平均数为x−，则x−=55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50,60)时，只有xy一种情况，若m，n∈[90,100]时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在[50,60)和[90,100)内时，有xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有6种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数有6种，∴p(|m−n)>10)=610=35．【解析】(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率为0.62，从而中位数在[70,80)内，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，利用频率分布直方图的性质能求出平均数．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为2人，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数．本题考查中位数、平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及列举法的合理运用．17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2a1−4，解得a1=4，当n≥2时，S n=2a n−4n①，S n−1=2a n−1−4(n−1)②由①−②得a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1−4，即a n=2a n−1+4，可得a n+4=2(a n−1+4)，即b n=2b n−1，所以b n=b1⋅2n−1=8⋅2n−1=2n+2，则a n=2n+2−4；(2)由(1)知c n=(12)n+2，所以T n=18[1−(12)n]1−12=14[1−(12)n]<14，由T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，所以m≥14．【解析】(1)由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n−S n−1，推得a n=2a n−1+4，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得c n，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)：设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)(5分)(2)依题意有{(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)≥[a×(0.8−0.3)](1+20%)0.55≤x≤o.75(9分)整理得{x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw⋅ℎ仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．【解析】(1)先根据题意设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益即可；(2)依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．19.【答案】解：(1)∵S=b2+c2−a24，可得12bcsinA=2bccosA4，∴sinA=cosA，可得tanA=1，∵A∈(0,π)，∴A=π4，∵a=√6，b=√2，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=b⋅sinAa=√2×√22√6=√66，又∵a>b，B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√306．(2)∵A=π4，∴sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=sin(B+π4)+sinBcosB+cos(B−π4)=√22sinB+√22cosB+sinBcosB+√22cosB+√22sinB=√2(sinB+cosB)+sinBcosB 令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，∴原式=12t2+√2t−12=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，∴当t=√2时，B=π4，此时，原式的最大值为52．【解析】(1)利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=1，结合范围A∈(0,π)，可求A的值，由正弦定理可得sin B的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．(2)由已知可求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=√2(sinB+cosB)+sinBcosB，令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，可求原式=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，利用二次函数的性质可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可知当点P在椭圆O的上顶点时，S△PAB最大，S△PAB=12×2ab=ab=2√3，∴{ab=2√3ca=12a2−b2=c2，解得{a=2b=√3c=1．∴椭圆O的标准方程为x24+y23=1；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0， ∵直线与圆E ：x 2+(y −2)2=r 2相切， ∴d =2=r ，得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0．设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)， 则k 1k 1=1．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k 1(x −2)x 24+y 23=1，得(3+4k 12)x 2−16k 12x +16k 12−12=0．∴x 1=8k 12−63+4k 12，y 1=−12k13+4k 12，同理x 2=8k 22−63+4k 22=8−6k 124+3k 12，y 2=−12k 23+4k 22=−12k14+3k 12． ∴k CD =y 2−y 1x2−x 1=−12k 14+3k 12−−12k 13+4k 128−6k 124+3k 12−8k 12−63+4k 12=k14(k 12+1)． ∴直线CD 的方程为y +12k 13+4k 12=k 14(k 12+1)(x −8k 12−63+4k 12)．整理得：y =k 14(k 12+1)x −7k 12(k 12+1)=k14(k 12+1)(x −14)．∴直线CD 恒过定点(14,0)．【解析】(1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △PAB 最大，得到ab =2√3，与离心率及隐含条件联立求得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0，由圆心到切线的距离等于半径可得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 1=1.再设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，分别求出C ，D 的坐标，求出CD 所在直线当斜率，得到直线CD 的方程，整理后由直线系方程可得直线CD 恒过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=e x −ax ，∵函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，∴方程f′(x)=0有两个不等的实数根x 1，x 2， 设g(x)=f′(x)=e x −ax ，则g′(x)=e x −a ， ①当a ≤0时，g′(x)=e x −a >0，∴g(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②当a>0时，由g′(x)=0得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)min=g(lna)=a−alna<0，即a>e，令φ(a)=a−2lna(a>0),φ′(a)=1−2a =a−2a，当a∈(0,2)时，φ′(a)<0，φ(a)为减函数，当a∈(2,+∞)时，φ′(a)>0，φ(a)为增函数，∴φ(a)min=φ(2)=2−2ln2=2(1−ln2)>0，∴φ(a)>0，即a>2lna，从而lna<a2<a，e a>a2，∴g(a)=e a−a2>0，又g(0)=1>0，∴g(x)在(0,lna)和(lna,a)上各有一个零点，符合题意．综上，实数a的取值范围为(e,+∞)；(2)证明：不妨设x1<x2，则x1∈(−∞,lna)，x2∈(lna,+∞)，则x1<lna<x2，设p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−ax−[e2lna−x−a(2lna−x)]=e x−a2e−x−2ax+2alna，则p′(x)=e x+a2e−x−2a≥2√e x⋅a2e−x−2a=2a−2a=0，当且仅当e x=a2e−x，即x=lna时等号成立，∴p(x)在R上为增函数，由x2>lna，故p(x2)>p(lna)=0，即g(x2)−g(2lna−x2)>0，又∵x1，x2为函数g(x)的两个零点，∴g(x1)=g(x2)，∴g(x1)>g(2lna−x2)，又x2>lna，故2lna−x2<lna，又函数g(x)在(−∞,lna)上单调递减，∴x1<2lna−x2，即x1+x2<2lna．【解析】(1)依题意，方程f′(x)=0有两个不等的实数根x1，x2，设g(x)=f′(x)=e x−ax，求导后分a≤0及a>0讨论即可得出结果；(2)不妨设x1<x2，由(1)知x1<lna<x2，构造函数p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−a2e−x−2ax+2alna，可证p(x)为R上的增函数，进而可得g(x1)>g(2lna−x2)，再利用函数g(x)的单调性即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题的处理策略，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．。
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷(九)
2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（九）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2+2x +3},B ={x|y =√3−x }，则A ∩B =( )A. [2,3]B. [2,3)C. (2,3]D. (2,3)2. 若复数z 满足iz =4−3i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为( )A. 8B. 10C. 12D. 144. 17世纪初，约翰⋅纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算.据此可判断数2210(取lg2≈0.3010)的位数是( )A. 108B. 109C. 308D. 3095. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x +4y −5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点.若AB =2√2，则圆的半径r 为( )A. 3B. 2C. √3D. √26. 为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如表；若零件数x 与加工时间y 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ̂=0.36x +0.01，则a =( )A. 1B. 0.8C. 1.09D. 1.57. 在矩形ABCD 中，AC =1，AE ⊥BD ，垂足为E ，则(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值是( )A. 427B. 13C. √36D. √338.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x−2，则不等式f(x−1)≥2f(x)的解集为()A. (−∞,0]B. (−∞,log21+√52]C. [0,log21+√52] D. [0,1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知数列{a n}，{b n}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有()A. 数列{a n b n}是等比数列B. 数列{a n+b n}是等比数列C. 数列{lg|b na n|}是等差数列 D. 数列{lg(a n2b n2)}是等差数列10.已知方程x216+k −y29−k=1(k∈R)，则下列说法中正确的有()A. 方程x216+k −y29−k=1可表示圆B. 当k>9时，方程x216+k −y29−k=1表示焦点在x轴上的椭圆C. 当−16<k<9时，方程x216+k −y29−k=1表示焦点在x轴上的双曲线D. 当方程x216+k −y29−k=1表示椭圆或双曲线时，焦距均为1011.已知函数f(x)=2sin2x与g(x)=−2cos2x，则下列结论中正确的有()A. 将y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度后可得到y=g(x)的图象B. 将y=f(x)+g(x)的图象向右平移π4个单位长度后可得到y=f(x)−g(x)的图象C. y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=π8对称D. y=f(x)+g(x)的图象与y=f(x)−g(x)的图象关于直线x=π4对称12.若非负实数a，b，c满足a+b+c=1，则下列说法中一定正确的有()A. a2+b2+c2的最小值为13B. (a+b)c的最大值为29C. ac+bc+ca的最大值为13D. a√b+b√c的最大值为49三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.《墨子⋅经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的______ .(选“充分条件”必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空)14.已知抛物线C1：y2=−2px(p>0)的准线恰好与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右准线重合，双曲线C2的左准线与抛物线C1交于P，Q两点，且双曲线C2的右顶点到左准线的距离等于线段PQ的长，则双曲线C2的离心率为______ ．15.《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m，掷铁饼者双手之间的距离约为5√24m，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则挪铁饼者的肩宽约为______ m.(精确到0.01m)16.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长均为2，则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①A，C，B成等差数列，②a，b，c成等差数列，③sinA=cosC这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5sinA=3sinB，且_______，求sin A的值．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+S3=20，S6=2S4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b1=4，且b n+1−b n=4a n，求数列{1b n−1}的前n项和T n．19. 近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提高手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用“烧钱”来形容毫不为过.小明对某品牌手机近5年的广告费投入(单位：亿美元)进行了统计，具体数据见表：并随机调查了300名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见表：(1)求广告费投入y 与年份代号x 之间的线性回归方程；(2)是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？ (3)若以这300名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况，则从这300名市民中随机选取3人，记选到喜欢该品牌手机且50岁以上的市民人数为X.求X 的分布列及数学期望E(X)． 附：①回归直线中y ^=b ^x +a ^，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y ̂−b ̂x ̂．②K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，BC =2AD ，AP =AB =AD =CD =2． (1)求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2)若E 为棱PB 上一点(不与P ，B 重合)，二面角E −CD −P 的余弦值为5√714，求PE PB 的值．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，两条准线之间的距离为8√33． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的上顶点为B ，过点(−1,−1)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点(点M ，N 分别位于第一、第三象限)，若直线BM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1⋅k 2的取值范围．22.已知函数f(x)=x−sinxcosx−alnx，a∈R．(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(2)若f(m)=f(n)，0<m<n，求证：m2+n2>|a|．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={y|y=(x+1)2+2}={y|y≥2}，B={x|x<3}，∴A∩B=[2,3)．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，配方求二次函数值域的方法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为iz=4−3i，=−3−4i，所以z=4−3ii其对应的点(−3,−4)在第三象限．故选：C．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，有C21=2种分配方案，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，有C31C21=6种分配方案，则一共有2+6=8种分配方案；故选：A．根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：记N =2210， ∵210=1024，∴lgN =lg21024=1024lg2≈1024×0.3010=308.224， ∴N =10308.224∈(10308,10309)， ∵10308是一个309位数，10309是最小的310位数，且N 为整数， ∴2210的位数309． 故选：D ．记N =2210，210=1024，从而lgN =lg21024=1024lg2≈308.224，从而N =10308.224∈(10308,10309)，由此能求出2210的位数．本题考查对数的运算，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心为O(0,0)， 圆心O 到直线3x +4y −5=0的距离d =√32+42=1， 又AB =2√2，∴r 2=12+(√2)2=3， 则r =√3(r >0)． 故选：C ．求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解圆的半径．本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查线性回归方程的应用，回归直线的性质，属于基础题．先求出x 和y 的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入回归方程求出a 的值． 【解答】 解：∵x −=1+3+5+74=4，y −=0.5+a+2+2.54=a+54，∴这组数据的样本中心点是(4,5+a 4)，∵y ̂=0.36x +0.01， 把样本中心点代入得，5+a 4=0.36×4+0.01，可得a =0.8． 故选：B ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查向量数量积及其几何意义，涉及到利用基本不等式求最值，是一道中档题． 设∠CAB =θ，将(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )用θ表示，再利用基本不等式即可得到最大值． 【解答】 解：如图，设∠CAB =θ，θ∈(0°,90°)，则由AC =1，AE ⊥BD ，得AB =cosθ，AD =sinθ，AE =sinθcosθ，所以(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(sinθcosθ)2sin 2θ =12sin 2θ×2cos 2θ×sin 2θ ≤12(sin 2θ+2cos 2θ+sin 2θ3)3=427，当且仅当sin 2θ=2cos 2θ，即tanθ=√2时，等号成立． 故选：A ．8.【答案】B【解析】解：因为函数f(x)为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=2x −2单调递增，所以f(x)=2|x|−2， 因为f(x −1)≥2f(x)， 所以2|x−1|−2≥2(2|x|−2)， 即2|x−1|−2|x|+1+2≥0， 当x ≤0时，可化为2≥0，成立，当0<x <1时，21−x −2x+1+2≥0，即2−x −2x +1≥0， 令t =2x ，则1<t <2，所以t −1−1t ≤0，即t 2−t −1≤0， 解得1<t ≤1+√52，所以0<x ≤log 21+√52，当x ≥1时，2x−1−2x+1+2≥0， 即2x ≤43，显然成立，综上，f(x −1)≥2f(x)的解集(−∞,log 21+√52].故选：B ．先根据偶函数的性质求出函数解析式，把已知不等式代入函数解析式进行求解即可． 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．9.【答案】ACD【解析】解：设等比数列{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ． A .a n+1b n+1a n b n=pq ，∴数列{a n b n }是公比为pq 的等比数列，正确；B .数列{a n +b n }不一定是等比数列，例如取数列{a n }，{b n }分别为：a n =2n ，b n =−2n ；C .∵lg|b n+1a n+1|−lg|bn a n|=lg|b n+1b n⋅a nan+1|=lg|q p |为一常数，∴数列{lg|bn a n|}是等差数列，正确；D .∵lg(a n+12b n+12)−lg(a n 2b n 2)=lg(a n+1a n )2(b n+1b n)2=lg(p 2q 2)为一常数，∴数列{lg|bna n|}是等差数列，正确； 故选：ACD ．利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算性质即可判断出正误． 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：A中，方程x216+k −y29−k=1(k∈R)，16+k≠k−9，所以方程不表示圆的方程，故A不正确；B中，当k>9时，方程x216+k −y29−k=1，因为16+k>9−k，所以方程表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；C中，当−16<k<9时，方程x216+k −y29−k=1中，16+k>0，9−k>0，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确；D中，当方程x216+k −y29−k=1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10，所以D正确；故选：BCD．分别将k的值代入各个命题，可判断出命题的真假，或者判断出充分必要，进而选出结果．本题考查圆锥曲线，圆与方程以及充分条件必要条件的判断，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：∵函数f(x)=2sin2x，g(x)=−2cos2x=sin(2x−π2)，故将y=f(x)的图象向右平移π4个单位长度后可得到y=g(x)的图象，故A正确；由题意，y=f(x)+g(x)=2sin2x−cos2x=2√2sin(2x−π4)，y=f(x)−g(x)=2sin2x+cos2x=2√2sin(2x+π4)，故将y=f(x)+g(x)的图象向右平移π4个单位长度后可得到y=2√2sin(2x−3π4)的图象，故B错误；由于f(π4−x)=2√2sin(−2x+π4)≠g(x)，故C错误；当x=π4时，y=f(x)+g(x)=2√2sin(2x−π4)=2，y=f(x)−g(x)=2√2=2，故它们的关于直线x=π4对称，故D正确，故选：AD．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时取等号， 所以2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2ac +2bc ， 所以3a 2+3b 2+3c 2≥(a +b +c)2=1， 故a 2+b 2+c 2的最小值13，A 正确； 因为(a +b)c =(1−c)c =≤(1−c+c 2)2=14，当且仅当1−c =c ，即c =12时取等号，即(a +b)c 的最大值14，B 正确；同A ，1=(a +b +c)2≥3ac +3bc +3ca ，所以ab +ac +bc ≤13，当且仅当a =b =b 时取等号，C 正确； 令√b =x ，√c =y ，所以a √b +b √c =(1−b −c)√b +b √c =(1−x 2−y 2)+x 2y =x −x 3+xy(x −y)≤x −x 3+x ⋅x 24=x −3x 34，令f(x)=x −3x 34，0≤x ≤1， 则f′(x)=1−9x 24，易得，当0≤x <23时，f′(x)>0，函数单调递增，当23≤x ≤1时，f′(x)<0，函数单调递减，故f(x)≤f(23)=49，D 正确． 故选：ACD ．由已知结合基本不等式及相关结论，利用导数与函数的性质分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，基本不等式的应用条件的配凑是求解问题的关键，导数知识的应用是判断D 的关键．13.【答案】必要条件【解析】解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要条件．故答案为：必要条件．读懂古文含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，理解古文含义是解决本题的关键．14.【答案】3【解析】解：抛物线C 1：y 2=−2px(p >0)的准线为x =p2， 由题意可得p2=a 2c，由{x =−p 2y 2=−2px 可设P(−p 2,p)，Q(−p 2,−p)， 则|PQ|=2p ， 由题意可得a +a 2c=a +p2=2p ，即有a =32p ， c =92p ，则e =ca =3． 故答案为：3．求得抛物线的准线方程，可得p2=a 2c，联立双曲线的左准线方程和抛物线的方程，求得P ，Q 的坐标和|PQ|，可得a +a 2c =a +p2=2p ，解得a ，c(用p 表示)，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】0.39【解析】解：如图，由题意得AB =5√24,OA =OB =1.25=54，则OA 2+OB 2=AB 2,∠AOB =π2，从而弓形所在的弧长为：l=π2⋅54=5π8，所以其肩宽为5π8−π4×2=π8≈0.39m.故答案为：0.39．首先将实际问题抽象出数学模型，然后利用解三角形相关知识进行计算即可．本题主要考查实际问题建立数学模型的方法，解三角形的方法，扇形弧长的计算等知识，属于中等题．16.【答案】2π【解析】解：正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长均为2，则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线如图，是两个半径为2的圆的14的弧长，如图Â1B与Â1C，两部分，所以以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为：12×4π=2π．故答案为：2π．画出图形，判断以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的轨迹，然后求解长度之和即可．本题考查球与几何体的截面问题，考查空间想象能力，之和思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：选①A，C，B成等差数列，因为A+B+C=π且A+B=2C，所以C=60°，B=120°−A，因为5sinA=3sinB=3sin(120°−A)=3√32cosA+32sinA，整理得7sinA=3√3cosA，因为sin2A+cos2A=1且sinA>0，cosA>9，所以sinA=3√5738；选②a，b，c成等差数列，2b=a+c，因为5sinA=3sinB，由正弦定理得5a=3b，故b=53a，c=73a，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =25a29+49a29−a22×5a3×7a3=1314，因为A∈(0,π)，所以sinA=3√314；选③sinA=cosC=sin(π2−C)，所以A=π2−C或A+π2−C=π，即A+C=π2或A−C=π2，若A+C=π2，B=π2则sinB=1，因为5sinA=3sinB=3，所以sinA=35，若A=C+π2，则B=π−A−C=3π2−2A，因为5sinA=3sinB=3sin(3π2−2A)=−3cos2A=−3(1−2sin2A)，整理得6sin2A−5sinA−3=0，解得sinA=5−√9712<0(舍)或sinA=5+√9712>1(舍)，此时不存在．【解析】选①A，C，B成等差数列可得B=120°−A，然后结合5sinA=3sinB=3sin(120°−A)，然后结合差角正弦公式展开即可求解；选②a，b，c成等差数列，2b=a+c，由sinA=3sinB，结合正弦定理及余弦定理可求；选③sinA=cosC=sin(π2−C)，进而可得A，C的关系，然后结合5sinA=3sinB及和差角公式展开可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+S3=20，S6=2S4，∴a1+d+3a1+3d=20，6a1+6×52d=2(4a1+4×32d)，解得：a1=3，d=2．a n=3+2(n−1)=2n+1．(2)设数列{b n}满足b1=4，且b n+1−b n=4a n=8n+4，则b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)+b1=4(2n−1+2n−3+⋯…+3)+4=4×(n−1)(2n−1+3)2+4=4n 2．∴1bn−1=14n 2−1=12(12n−1−12n+1)， ∴数列{1b n−1}的前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯…+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2+S 3=20，S 6=2S 4，可得a 1+d +3a 1+3d =20，6a 1+6×52d =2(4a 1+4×32d)，解得a 1，d.即可得出a n ．(2)设数列{b n }满足b 1=4，且b n+1−b n =4a n =8n +4，可得b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b 2−b 1)+b 1=4n 2，1b n−1=14n 2−1=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、裂项求和方法、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知x −=15×(1+2+3+4+5)=3，y −=15×(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.6， 所以∑(5i=1x i −x −)=4+1+0+1+4=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−2)×(−1.8)+(−1)×(−1)+0×(−0.4)+1×1.2+2×2=9.8， 所以b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=9.810=0.98，故a ̂=y ̂−b ̂x ̂=7.6−0.98×3=4.66，所以广告费投入y 与年份代号x 之间的线性回归方程为y ̂=0.98x +4.66； (2)补充完整的2×2列联表如下：所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=300×(150×40−50×60)2200×100×210×90=300×3000×3000200×100×210×90≈7.143>6.635，故有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性； (3)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，从这300名市民中随机抽取1人，是喜欢该品牌手机且50岁以上的市民的概率为60300=15， 所以P(X =0)=(1−15)3=64125，P(X =1)=C 31×(1−15)2×15=48125， P(X =2)=C 32×(1−15)×(15)2=12125，P(X =3)=C 33×(15)3=1125，故X 的分布列为：X 0 1 2 3 P6412548125121251125因为X ～B(3,15)， 所以E(X)=3×15=35．【解析】(1)求出样本中心，利用公式求出b ^和a ^，从而求出线性回归方程；(2)由题中的数据，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，与临界值表中的数据进行比较，即可得到答案；(3)确定X 的可能取值，分别求出其对应的概率，列出分布列，因为X ～B(3,15)，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：取BC 的中点M ，连结AM ，因为AD//BC ，BC =2AD ， 所以AD//MC ，AD =MC ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 所以AM =DC =2，则AM =12BC ，所以AB ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AC ，又AB ，PA ⊂平面PAB ，AB ∩PA =A ，所以AC ⊥平面PAB ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB ； (2)解：由(1)可知，AB ，AC ，AP 两两互相垂直， 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则B(2,0,0),C(0,2√3,0),D(−1,√3,0),P(0,0,2)， 设PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<λ<1，因为D⃗⃗ C =(1,√3,0),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,0,−2λ)， 所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2√3,−2+2λ)， 设平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√3y =02√3y −2z =0， 令y =1，则x =−√3,z =√3， 故n ⃗ =(−√3,1,√3)，设平面ECD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a +√3b =0−2a +2√3b +(2λ−2)c =0， 令b =1，则a =−√3,c =√3⋅1+λ1−λ， 故m ⃗⃗⃗ =(−√3,1,√3⋅1+λ1−λ)， 令t =1+λ1−λ，则t >1，因为二面角E −CD −P 的余弦值为5√714， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√7⋅√4+3t2=5√714，化简可得13t 2−32t +12=0，解得t =2或t =613(舍)， 所以t =1+λ1−λ=2，解得λ=13，故PEPB 的值为13．【解析】(1)取BC 的中点M ，连结AM ，先证明四边形AMCD 为平行四边形，从而得到AB ⊥AC ，由线面垂直的性质定理可得PA ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可证明AC ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，设PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<λ<1，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面PCD 和平面ECD 的法向量，由向量的夹角公式建立方程，求解λ的值，即可得到答案．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为√32，两条准线之间的距离为8√33， 所以{ c a =√322⋅a 2c =8√33a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)点B(0,1)，设点(−1,−1)为点P ，右顶点A(2,0)， 设直线l 的方程为y =k(x +1)−1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 因为点M ，N 分别位于第一、第三象限， 所以k BP =−1−1−1=2，k AP =−1−1−2=13，所以13<k <2，联立{y =k(x +1)−1x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2+(8k 2−8k)x +4k 2−8k =0， 所以x 1+x 2=−8k 2−8k1+4k 2，x 1x 2=4k 2−8k 1+4k 2，y 1+y 2=k(x 1+1)−1+k(x 2+1)−1=k(x 1+x 2)+2k −2=k(−8k 2−8k 1+4k 2)+2k −2=2k−21+4k 2，y 1y 2=[k(x 1+1)−1][k(x 2+1)−1]=k 2(x 1+1)(x 2+1)−k(x 1+1)−k(x 2+1)+1 =k 2x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2−k(x 1+x 2)−2k +1 =k 2x 1x 2+(k 2−k)(x 1+x 2)+k 2−2k +1 =k 2⋅4k 2−8k 1+4k 2+(k 2−k)(−8k 2−8k 1+4k2)+k 2−2k +1 =−3k 2−2k+11+4k 2，k 1=k BM =y 1−1x 1，k 2=k BN =y 2−1x 2，所以k 1⋅k 2=k 1=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=y 1y 2−(y 1+y 2)+1x 1x 2=−3k 2−2k +11+4k 2−2k −21+4k 2+14k 2−8k 1+4k 2=k 2−4k +44k 2−8k=k −24k=14(1−2k )，(13<k <2)， 所以−54<14(1−2k )<0，所以k 1k 2的取值范围为(−54,0)．【解析】(1)由椭圆的离心率为√32，两条准线之间的距离为8√33，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)设点(−1,−1)为点P ，设直线l 的方程为y =k(x +1)−1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由点M ，N 分别位于第一、第三象限，推出13<k <2，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1+y 2，y 1y 2，再计算k 1⋅k 2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a =0时，y =f(x)=x −sinxcosx ，导数为f′(x)=1−cos 2x +sin 2x ，可得切线的斜率为f′(π2)=1−0+1=2，且f(π2)=π2， 所以切线的方程为y −π2=2(x −π2)， 即为y =2x −π2；(2)证明：由题意可得f′(x)=1−cos2x −ax ， 若a ≤0，则f′(x)≥0，所以f(x)在(0,+∞)递增， 因此不存在0<m <n ，使得f(m)=f(n)，所以a >0； 设g(x)=x −12sin2x −x 2，x >0，则g′(x)=1−cos2x −2x ， 令ℎ(x)=g′(x)=1−cos2x −2x ，ℎ′(x)=2sin2x −2≤0，所以g′(x)在(0,+∞)递减，又g′(0)=0，所以g′(x)<0在(0,+∞)恒成立， 从而g(x)在(0,+∞)递减，从而m −n −12sin2m +12sin2n >m 2−n 2.① 又由f(m)=f(n)，可得m −sinmcosm −alnm =n −sinncosn −alnn ， 所以m −n −12sin2m +12sin2n =a(lnm −lnn).② 由①②可得a(lnm −lnn)>m 2−n 2．第21页，共21页 又因为0<m <n ，所以a <2(m 2−n 2)lnm 2−lnn 2，因此要证m 2+n 2>|a|=a ，只需证明m 2+n 2>2(m 2−n 2)lnm 2−lnn 2， 即证ln(m n )2−2[(m n )2−1](m n )2+1<0，③设H(t)=lnt −2(t−1)t+1，0<t <1，则H′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以H(t)在(0,1)上为增函数，又因为0<(m n )2<1，所以H((m n )2)<H(1)=0，即③式成立．所以m 2+n 2>|a|获证．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；(2)求得f(x)的导数，判断a ≤0不成立，设g(x)=x −12sin2x −x 2，x >0，求得导数，判断g(x)的单调性，得到m ，n 的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查构造函数法、方程思想和运算能力、推理能力，属于难题．。
2021年江苏省南通市高考数学考前练习试卷(四模)(附答案详解)
2021年江苏省南通市高考数学考前练习试卷（四模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知集合A={1,2，3}，B={−1,0，1，2}，若M⊆A且M⊆B，则M的个数为()A. 1B. 3C. 4D. 62.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知向量a⃗=(sinθ,1)，b⃗ =(2sinθ,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，则cos2θ=()A. 0B. 12C. √22D. −13.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知等比数列{a n}的公比为q，则“q<1”是“|a4|>|a5|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·江苏省南通市·模拟题)4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为()A. 81B. 72C. 36D. 65.(2021·江苏省南通市·模拟题)我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>，|1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>，|01>，|10>，|11>”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000>，|001>，|010>，|011>，|100>，|101>，|110>，|111>”8种叠加态，⋅⋅⋅.只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个位的数()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 18B. 19C. 62D. 636.(2021·江苏省南通市·模拟题)在(1+2x2)(x+1x)10的展开式中，常数项为()A. 210B. 252C. 462D. 6727.(2021·江苏省南通市·模拟题)双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足∠F2PO=2∠F1PO=π3，则该双曲线的离心率为() A. √3+1 B. √2+1 C. √3 D. √28. (2021·江苏省南通市·模拟题)在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点.当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN//平面A 1BD ，则线段MN 的最小值为( )A. 1B. √62C. √2D. √3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·江苏省南通市·模拟题)新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图：根据该图数据，这7次人口普查中( )A. 城镇人口数均少于乡村人口数B. 乡村人口数达到最高峰是第4次C. 和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D. 城镇人口总数逐次增加10. (2021·江苏省南通市·模拟题)下列结论正确的是( )A. 若复数z 满足z +z −=0，则z 为纯虚数 B. 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R C. 若复数z 满足z 2≥0，则z ∈RD. 若复数z 1，z 2满足z 12+z 22=0，则z 1=z 2=011. (2021·江苏省南通市·模拟题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C =π2，将△ABC 分别绕边a ，b ，c 所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为V a ，V b ，V c ，侧面积分别记为S a ，S b ，S c ，则( )A. V a +V b ≥2V cB. S a +S b ≥2S cC. 1V a 2+1V b 2=1V c 2D. 1S a 2+1S b2=1S c 2 12. (2021·江苏省南通市·模拟题)已知定义在R 上的函数f(x)=|√1+sin2x −√1−sin2x|，则( )A. f(−x)=f(x)B. f(x+π2)=f(x) C. f(x)的最大值为2D. 不等式f(x)≥2c0sx的解集为{x|π4+2kπ≤x<7π4+2kπ,k∈Z}三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知角α的终边经过点(−3,4)，则cos(3π2+α)的值是______ ．14.(2021·江苏省南通市·模拟题)设曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个f(x)=______ ．15.(2021·江苏省南通市·模拟题)甲、乙、丙三支足球队进行双循环赛(任意两支球队都要在自己的主场和对方的主场各赛一场).根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.比赛进行中的统计数据如表：已赛场数胜的场数平的场数负的场数积分甲42117乙30212丙31114根据表格中的信息可知：(1)还需进行______ 场比赛，整个双循环赛全部结束；(2)在与乙队的比赛中，甲队共得了分______ ．16.(2021·江苏省南通市·模拟题)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615−1660)设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动.记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON=DN=1，MN=3，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a6=2，a4+a5=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a1a3a5…a2n−1，n∈N∗，求数列{b n}的最大项．18.(2021·江苏省南通市·模拟题)如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处km，观测三点的俯角分别为α，β，γ.现测得a=15°，β=45°，y=30°，AD=52 km，BC=1km.计划沿直线AC开通一条穿山隧道，试求出隧道DE的长度．EB=1219.(2021·江苏省南通市·模拟题)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，CD=3.直线PB与平面ABCD 所成的角为45°．(1)求证：PB⊥BC；(2)求二面角A−PB−C的正弦值．20.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知P为抛物线C：y2=4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N．(1)证明：线段MP的中点在定直线上；(2)若点P的坐标为(2,2√2)，试判断M，Q，N三点是否共线．21.(2021·江苏省南通市·模拟题)在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为p．(1)若p=0.005，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；(2)混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与p的值是否有关？(参考数据：0.99510≈0.9511，0.99530≈0.8604)22.(2021·江苏省南通市·模拟题)已知函数f(x)=(x2+mx+1)e x，m∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式x2−mx+1+e x+2≥0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】集合的基本关系【解析】解：集合A={1,2，3}，B={−1,0，1，2}，∴A∩B={1,2}，∵M⊆A且M⊆B，∴M可能为⌀，{1}，{2}，{1,2}，∴M的个数为4．故选：C．求出A∩B，由M⊆A且M⊆B，得到M可能为⌀，{1}，{2}，{1,2}，由此能求出M的个数．本题考查了集合的包含关系，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【知识点】向量垂直的判断与证明【解析】解：∵向量a⃗=(sinθ,1)，b⃗ =(2sinθ,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2sin2θ−1=−cos2θ=0，则cos2θ=0，故选：A．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，二倍角公式，求得cos2θ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，二倍角公式，属于基础题．3.【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：若|a4|>|a5|，则|a1q3|>|a1q4|，∵a1≠0，q≠0，∴|q|<1，∴−1<q<1，∵{q|−1<q<1}⊆{q|q<1}，∴q<1是|a4|>|a5|的必要不充分条件，故选：B．根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将4位优秀党务工作者分为3组，有C42=6种分组方法，②将分好的3组排列，安排到3个单位，有A33=6种情况，∴不同的安排方法数有6×6=36种，故选：C．根据题意，分2步进行分析：①将4位优秀党务工作者分为3组，②将分好的3组排列，安排到3个单位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】B【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：由题意，设n个超导量子比特共有2n种叠加态，所以62个超导量子比特共有N=262种叠加态，两边同时取常用对数，则lgN=lg262=62lg2≈62×0.3010=18.662，所以N=1018.662=100.662×1018，因为100<100.662<101，故N是一个19位数．故选：B．根据n个超导量子比特共有2n种叠加态，得到N=262，然后两边同时取常用对数，由此进行分析求解即可．本题考查了数学文化，对数的运算，考查了知识的迁移与应用，属于中档题．6.【答案】D【知识点】二项式定理【解析】解：在(1+2x2)(x+1x)10的展开式中，常数项为1×C105x5⋅(1x )5+2x2×C106x4⋅(1x)6=C105+2C106=10×9×8×7×65×4×3×2×1+2×10×9×8×74×3×2×1=252+420=672，故选：D．(1+2x2)(x+1x )10的展开式中的常数项，由第一个括号中的1与(x+1x)10的展开式中的常数项之积与第一个括号中的2x2与(x+1x)10的展开式中的x−2项之积合并而成．本题考查二项式定理，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：设P在双曲线的右支上，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由∠F2PO=2∠F1PO=π3，可得∠F1PF2=π6+π3=π2，|OP|=c，|△POF2为等边三角形，即有n=c，由双曲线的定义可得m−n=2a，则m=c+2a，由勾股定理可得m2+n2=4c2，即(c+2a)2+c2=4c2，化为c2−2ac−2a2=0，又e=ca，可得e2−2e−2=0，解得e=1+√3(负的舍去)．故选：A．设P在双曲线的右支上，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由等边三角形的性质和双曲线的定义，可得m=c+2a，n=c，再由勾股定理和离心率的公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及等边三角形和直角三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8.【答案】B【知识点】线面平行的判定【解析】解：取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，所以PN//BD，因为PN⊄平面A1DB，BD⊂平面A1DB，所以PN//平面A1DB，同理，P、Q分别为CD、DD1中点，所以PQ//D1C，因为A1D1=BC，且A1D1//BC，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以A1B//D1C，所以PQ//A1B，因为PQ⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，所以PQ//平面A1DB，又PQ∩PN=P，PQ⊂平面PQN，PN⊂平面PQN，所以平面PQN//平面A1BD，因为MN//平面A1BD，所以MN⊂平面PQN，又点M在平面DCC1D1内运动，所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=√2，PQ=12CD1=√2，QN=√(√2)2+22=√6，所以cos∠NPQ=PN 2+PQ2−QN22PQ×PN=−12，所以∠NPQ=120°，所以N点到PQ的最小距离d=PN⋅sin(180°−120°)=√6，2．所以线段MN的最小值为√62故选：B．取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，利用线面平行的判定和平行四边形的性质可得A1B//D1C，可得PQ//A1B，利用面面平行的判定和性质可知MN//平面A1BD，可证M∈PQ，在△PQN中，求解PN，PQ，QN的值，利用余弦定理可求cos∠NPQ，可得∠NPQ=120°，解三角形即可求解线段MN的最小值．本题主要考查了线面平行的判定和平行四边形的性质，考查了面面平行的判定和性质，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．9.【答案】BCD【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：由统计图可知，2020年城镇人口多于乡村人口，故选项A错误；由由统计图可知，乡村人口数达到最高峰是第4次，故选项B正确；从第二次开始，城镇人口与前一次相比的人口比重增量分别为：18.30−13.26=5.04，20.91−18.30=2.61，26.44−20.91=5.53，36.22−26.44=9.78，49.68−36.22=13.46，63.89−49.68=14.21，所以城镇人口比重增量最大的是第7次，故选项C正确；由统计图可知，城镇人口总数逐次增加，故选项D正确．故选：BCD．利用题中条形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】BC【知识点】复数的概念、复数的四则运算 【解析】解：若z =0，则z +z −=0，故A 错， 设z =a +bi(a,b ∈R)，则1z =aa 2+b 2−ba 2+b 2i ∈R ， 故ba 2+b 2=0，即b =0，故z ∈R ，故B 对，因z 2=(a +bi)2=a 2+2abi −b 2≥0，故a 2−b 2≥0且2ab =0， 故b =0，故z ∈R ，故C 对，若z 1=1，z 2=i ，则满足z 12+z 22=0，故D 错，故选：BC ．对于A 、D 选项通过举反例排除，设z =a +bi(a,b ∈R)，通过化简运算可判断B 、C 正确．本题考查了复数的运算及判断，同时考查了通过举反例判断命题的真假性，属于基础题．11.【答案】ABC【知识点】命题及其关系【解析】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设CD =ℎ，则ℎ=ab c，c 2=a 2+b 2．由题意可得：V a =13×πb 2×a ，V b =13πa 2b ，V c =13π(abc )2×c =13πa 2b 2√a 2+b 2，∴V a +V b −2V c =π3ab(a +b −2ab √a 2+b 2)≥π3ab(2√ab −2ab√2ab)=π3ab(2−√2)√ab >0，因此A 正确；1V a 2+1V b2=9π2a 2b 2(1b2+1a 2)，1V c2=9π2a 2b 2a 2+b 2a 2b 2=9π2a 2b 2(1b 2+1a 2)， ∴1V a2+1V b2=1V c2，因此C 正确．侧面积分别记为S a =πbc ，S b =πac ，S c =πab(a+b)c．S a +S b −2S c =π[bc +ac −2ab(a+b)c ]=π(a+b)(a 2+b 2)−2ab(a+b)√a 2+b 2≥0，因此B 正确；1S a2+1S b2=1π2c 2(1a 2+1b 2)=1π2a 2b 2，1S c2=1π2a 2b 2(a+b)2⋅(a 2+b 2)，1S a2+1S b2−1S c2=(a+b)2−(a 2+b 2)(πab)2<0，∴1S a2+1S b2<1S c2，因此D 不正确．故选：ABC ．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设CD =ℎ，则ℎ=ab c.分别计算出体积V a ，V b ，V c ，侧面积S a ，S b ，S c .通过作差即可比较出大小关系．本题考查了圆锥的体积与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】AB【知识点】函数的最值【解析】解：对于A ，f(−x)=|√1+sin(−2x)−√1−sin(−2x)|=|√1+sin2x −√1−sin2x|=f(x)， 故A 正确；对于B ，f(x +π2)=|√1+sin(2x +π)−√1−sin(2x +π)|=|√1+sin2x −√1−sin2x|=f(x)， 故B 正确；对于C ，由选项B 可知，f(x)的周期为π2，不妨取x ∈[0,π2]，f(x)=|√1+sin2x −√1−sin2x|=|√(sinx +cosx)2−√(sinx −cosx)2| =||sinx +cosx|−|sinx −cosx||={2sinx,0≤x ≤π42cosx,π4<x ≤π2，可得f(x)∈[0,√2]，故C 错误； 对于D ，当x =7π4时，f(7π4)=√2=2cos 7π4，即x =7π4时，不等式成立，故D 错误．故选：AB ．分别取x =−x ，x =x +π2代入验证判断A 与B ；由周期性化简函数解析式，求得最大值判断C ；验证x =7π4时不等式成立判断D ．本题考查函数周期性与奇偶性的应用，训练了特殊值的恰当运用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．13.【答案】45【知识点】任意角的三角函数【解析】解：角α的终边上的点P(−3,4)到原点的距离为r=√(−3)2+42=5，由任意角的三角函数的定义得sinα=yr =45，所以cos(3π2+α)=sinα=45．故答案为：45．先求出角α的终边上的点P(−3,4)到原点的距离r的值，再利用任意角的三角函数的定义可求sinα，进而根据诱导公式即可求出结果．本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】f(x)=x+x2(答案不唯一)【知识点】导数的几何意义【解析】解：曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为1，可得f′(0)=1，不妨令f′(x)=1+2x，所以f(x)可以为f(x)=x+x2，故答案为：f(x)=x+x2(答案不唯一)．利用已知条件构造导函数，即可得到一个函数的解析式即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，函数的求解，是基础题．15.【答案】1 4【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：(1)由题意可知，每队需要和除去自己外的另外两队各进行两场比赛，故每队需进行的比赛数为2C21=4，而甲队已完成4场比赛，故乙和丙两队再互相进行一场比赛，即可完成整个双循环赛；(2)从表中可以得到，由于乙队未能胜利一场，故在乙和丙进行的唯一一场比赛中，乙和丙两队只能平局，由此可以推断出甲乙两队比赛，甲队胜利一局，平局一局，甲丙两队的比赛，丙队胜利一局，失败一局，故与乙队比赛中，甲队获得了3×1+1=4分．故答案为：(1)1；(2)4．(1)由题意求出每队需进行的比赛数，然后再通过表中的数据可知，乙和丙两队再互相进行一场比赛即可；(2)由表中的数据可知，乙队未能胜利一场，故在乙和丙进行的唯一一场比赛中，乙和丙两队只能平局，由此进行推理即可得到答案．本题考查了合情推理的应用，涉及排列组合的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．16.【答案】√15【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：以滑槽AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，因为ON =1，所以点N 的运动轨迹C 1是以O 为圆心，半径为1的圆，其方程为x 2+y 2=1，设点N(cosθ,sinθ)，由于ON =DN =1，则D(2cosθ,0)， 由MN =3，可得NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M(x,y)， 所以(x −cosθ,y −sinθ)=3(cosθ,−sinθ)，解得M(4cosθ,−2sinθ)， 则点M 的运动轨迹C 2是椭圆，其方程为x 216+y 24=1，设C 2上的点P(4cosα,2sinα)，则OP 2=16cos 2α+4sin 2α=4+12cos 2α≤16， 则切线长为√OP 2−1≤√16−1=√15， 所以切线长的最大值为√15． 故答案为：√15．以滑槽AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，分别求出曲线C 1和C 2的方程，利用三角换元设椭圆上任意一点的坐标，先求出OP 的最大值，然后利用圆的切线长的求解方法，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，与椭圆有关的最值问题，圆的切线长的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，由a 6=2，a 4+a 5=12{a 1q 5=2a 1q 3+a 1q 4=12，解得：{a 1=64q =12或{a 1=−486q =−13(舍去)， ∴a n =64×(12)n−1=27−n ；(2)b n =a 1a 3a 5…a 2n−1=26×24×22×⋅⋅⋅×28−2n =2n(6+8−2n)2=2−n2+7n=2−(n−3.5)2+12.25，∴当n 取3或4时，b n 取得最大项12．【知识点】等比数列的性质【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a6=2，a4+a5=12列关于a1，q 的方程组，然后可求得a n；(2)写出b n的通项，然后确定其最大项．本题考查等差、等比数列通项公式及求和，考查数学运算能力，属于中档题．18.【答案】解：在△PBC中，∠C=γ=30°，∠CPB=β−γ=15°，BC=1，由正弦定理可得|BC|sin∠CPB =|PB|sin∠C，即1sin15∘=|PB|sin30∘，所以|PB|=12sin15∘，在△PAB中，因为∠A=α=15°，∠ABP=β=45°，所以∠APB=180°−∠A−∠ABP=120°，由正弦定理可得|BP|sin∠A =|AB|sin∠APB，所以|AB|=sin120°2sin15∘=√321−cos30°=3+2√3，所以|DE|=|AB|−|AD|−|EB|=3+2√3−52−12=2√3，所以隧道DE的长度为2√3km．【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用【解析】在△PBC中，正弦定理可得1sin15∘=|PB|sin30∘，在△PAB中，由正弦定理可得|AB|=3+2√3，再计算|DE|，即可得出答案．本题考查解三角形，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：由题意，取AD的中点O，连结OB，OC，OP，因为PA=PD，则PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，故PO⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，则PO⊥AB，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为PO⊥平面ABCD，所以OB为PB在平面ABCD内的射影，则∠PBO 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 所以∠PBO =45°，又PO ⊥OB ，AD =2，OA =1， 所以PO =OB =√2， 因为AB =1，CD =3，所以A(1,0，0)，B(1,0，0)，C(−1,3，0)，P(0,0，√2)， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−2)+1×2+(−√2)×0=0， 故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PB ⊥BC ；(2)解：由(1)可知，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面PBC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y −√2z =0−2x +2y =0， 令x =1，则y =1，z =√2， 故n ⃗ =(1,1,√2)，设平面PAB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a +b −√2c =0b =0， 令a =√2，则b =0，c =1， 故m ⃗⃗⃗ =(√2,0,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√22×√3=√63， 因为<n⃗ ,m ⃗⃗⃗ >∈[0,π]， 所以sin <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−cos 2<n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=(√63)=√33，故二面角A −PB −C 的正弦值为√33．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)取AD 的中点O ，连结OB ，OC ，OP ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线PB 和BC 的方向向量，通过两个向量数量积为0，即可证明； (2)求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBC 和平面PAB 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了空间向量在立体几何的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】(1)证明：设P(x 0,y 0)，则y 02=4x 0，因为点P 在第一象限，所以y 0=2√x 0， 因为y =2√x ，则y′=√x ， 所以直线l 的斜率为√x ，则直线l 的方程为y −2√x 0=√x −x 0)， 令y =0，则x =−x 0，所以M(−x 0,0)，则线段MP 的中点为(0,y2)，故选的MP 的中点在定直线x =0上；(2)解：若点P 的坐标为(2,2√2)，则M(−2,0)， 所以k MP =√22,k PF =2√2，因为PN ⊥l ，则k PN =−√2，所以PF 的直线方程为y =2√2(x −1)，直线PN 的方程为y =−√2(x −4)， 联立方程组{y 2=4x y =2√2(x −1)，可得2x 2−5x +2=0，所以x =12或x =2，则Q(12,−√2)，联立方程组{y 2=4xy =−√2(x −4)，可得x 2−10x +16=0，所以x =2或x =8，则N(8,−4√2)，因为M(−2,0)，Q(12,−√2)，N(8,−4√2)， 所以k MQ =−2√25,k MN =−2√25， 则点M ，Q ，N 三点共线．【知识点】直线与抛物线的位置关系【解析】(1)利用导数求出切线方程，进而求出点M 的坐标，利用中点坐标公式即可证明；(2)由题意求出点M ，Q ，N 的坐标，利用斜率判断三点是否共线即可．本题考查了抛物线方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，利用导数研究曲线的切线，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设每组检测的次数为X ，则X 的可能取值为1，11，P(X =1)=(1−p)10=0.99510=0.9511， P(X =11)=1−P(X =1)=1−0.9511=0.0489， ∴X 的分布列为：E(X)=1×0.9511+11×0.0489=1.489．∴每组检测次数的期望值是1.489次．(2)当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为X，则X的可能取值为1，11，P(X=1)=(1−p)10，P(X=11)=1−(1−p)10，∴X的分布列为：∴E(X)=1×(1−p)10+11×[1−(1−p)10]=11−10(1−p)10，当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为Y，则Y的分布列为：∴E(Y)=1×(1−p)30+31×[11−10(1−p)10]−[31−30(1−p)30]=30(1−p)30−30(1−p)10+2．设(1−p)10=t，f(t)=30t3−30t+2(0≤t≤1)，则f′(t)=90t2−30=30(3t2−1)，当0≤t<√33时，f′(t)<0，f(t)在[0,√33)上单调递减，当√33<t≤1时，f′(t)>0，f(t)在(√33,1]上单调递增，∴当t=√33时，f(t)在最小值为6−20√33<0，当t=0或1时，f(1)有最大值为2>0，∴存在p1，p2，满足t1=(1−p1)10，t2=(1−p2)10，且t1∈(0,√33),t2∈(√33,1)，使得f(t1)=f(t2)=0，当t∈(0,t1)∪(t2,1)时，3E(X)−E(Y)>0，即3E(X)>E(Y)，此时，每组30人更优越．当t∈(t1,t2)时，3E(X)−E(Y)<0，即3E(X)<E(Y)，此时，每组10人更优越，∴分组方法的优越性与p的值有关．【知识点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)设每组检测的次数为X，则X的可能取值为1，11，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和每组检测次数的期望值．(2)当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为X，则X的可能取值为1，11，由此能求出X的分布列和数学期望；当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为Y，求出Y的分布列和数学期望E(Y)=30(1−p)30−30(1−p)10+2.设(1−p)10=t，f(t)= 30t3−30t+2(0≤t≤1)，则f′(t)=90t2−30=30(3t2−1)，利用导数性质能求出分组方法的优越性与p的值有关．本小题主要考查独立重复试验、概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=e x(2x+m)+e x(x2+mx+1)=e x(x+1)(x+m+1)，①当m=0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，②当m<0时，令f′(x)>0，解得x<−1或x>−m−1，令f′(x)<0，得−1<x<−m−1，所以f(x)在(−∞,−1)和(−m−1,+∞)上单调递增，在(−1,m−1)上单调递减，③当m>0时，令f′(x)>0，解得x<−m−1或x>−1，令f′(x)<0时，−m−1<x<−1，所以f(x)在(−∞,−m−1)和(−1,+∞)上单调递增，在(−m−1,−1)上单调递减．(2)不等式x2−mx+1+e x+2≥0⇔e−x(x2−mx+1)+e2≥0，令−x=t，得e t(t2+mt+1)+e2≥0，即(t2+mt+1)e t≥−e2，①当m=0时，(t2+mt+1)e t=(t2+1)e t>0≥−e2，②当m<0时，当t<−1时，(t2+mt+1)e t>0>−e2，≥−e2，当t≥−1时，f(t)min=f(−m−1)=m+2e m+1(m<0)，设g(m)=m+2e m+1g′(m)=−m+1，e m+1当m<−1时，g′(m)>0，g(m)单调递增，当−1<m<0时，g′(m)<0，g(m)单调递减，，因为g(−3)=−e2，g(0)=2e≥−e2，解得m∈[−3,0)，由m+2e m+1所以m∈[−3,0)，③当0<m≤2时，t2+mt+1=(t+m2)2+1−m24≥0，所以(t2+mt+1)e t≥0>−e2，④当m>2时，f(t)在(−∞,−m−1)和(−1,+∞)上单调递增，在(−m−1,−1)上单调递减，当t≤−m−1时，t2+mt+1=t(t+m)+1≥m+2>0，(t2+mt+1)e t>0≥−e2，当t≥−m−1时，f(t)min=f(−1)=2−me≥−e2，解得m≤e3+2，所以2≤m≤e3+2，综上，m的取值范围是[−3,e3+2]．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)求导可得f′(x)的解析式，分别讨论m=0，m<0和m>0时，f′(x)的正负，可得f(x)的单调区间，即可得出答案．(2)原不等式等价于e−x(x2−mx+1)+e2≥0，令−x=t，得(t2+mt+1)e t≥−e2，利用导数及函数的性质，分别求得m=0，m<0，0<m≤2和m>2时，(t2+mt+1)e t 的单调性及最值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．第21页，共21页。
江苏省南通市2021届高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
江苏省南通市2021届高考数学模拟试卷(3月份)一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.若集合A={x|x−2<0}，B={x|e x>1}，则A∩B=()A. RB. (−∞,2)C. (0,2)D. (2,+∞)2.设复数z1=1+i，z2=2+bi，若z2z1为实数，则实数b=()A. −2B. −1C. 1D. 23.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式最有可能是()A. f(x)=3x−13x+1B. f(x)=3x+13x−1C. f(x)=1−3x1+3xD. f(x)=1+3x1−3x4.已知三棱锥P−ABC四个顶点都在半径为2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是()A. 7π4B. 2π C. 9π4D. 3π5.已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.在数列{a n}中，a n=31−3n，设b n=a n a n+1a n+2(n∈N∗).T n是数列{b n}的前n项和，当T n取得最大值时n的值为()A. 11B. 10C. 9D. 87.已知函数f(x)=13x3−(4m−1)x2+(15m2−2m−7)x+2在R上是增函数，则m的取值范围为()A. m≤2或m≥4B. −4≤m≤−2C. 2≤m≤4D. 以上皆不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论正确的是( )A. x =8B. 甲得分的方差是736C. y =26D. 乙得分的方差小于甲得分的方差9.下列说法正确的是( )A. “a +1>b ”是“a >b ”的一个必要不充分条件B. 若集合A ={x|ax 2+ax +1=0}中只有一个元素，则a =4或a =0C. 已知p ：∀x ∈R,1x−2>0，则￢p ：∃x 0∈R,1x 0−2≤0D. 已知集合M ={0,1}，则满足条件M ∪N =M 的集合N 的个数为410. 已知抛物线y 2=4x 焦点为F ，点A(1,3)，点P 在抛物线上，则下列结论正确的是( )A. |PA|+|PF|的最小值为3B. |PA|+|PF|的最大值为7C. |PA|−|PF|的最小值为−2D. |PA|−|PF|的最大值为311. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =4，AA 1=6，P 是AA 1中点，点M 在侧面AA 1B 1B(含边界)上运动，则( )A. 直线CP 与BB 1所成角余弦值为3√3434B. 存在点M(异于点P)，使得P 、M 、C 、D 1四点共面．C. 存在点M 使得MC ⊥BDD. 若点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，则点M 的轨迹是抛物线的一部分三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知函数f(x)={(2a −1)x +3a,x <2a x,x ≥2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0，则a 的取值范围是______．13. 在△ABC 中，D 为边AB 上一点，M 为△ABC 内一点，且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +35BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△AMD 与△ABC 的面积比的值为______．14.，，则边b =15. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|⋅|EF|的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组[15,25)50.5第2组[25,35)a0.9第3组[35,45)27x第4组[45,55)90.36第5组[55,65)30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．17. 设{a n}是一个公差为2的等差数列，a1，a2，a4成等比数列．(Ⅰ)求数列a n的通项公式a n；(Ⅱ)数列{b n}满足b n=n⋅2a n，设{b n}的前n项和为S n，求S n．18. 某工厂计划生产并销售某种文化产品m万件(生产量与销售量相等)，为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用x(万元)，且满足m=x+13(其中0<x≤a，a为常数).已知生产该产品需投入成本(9m+1m−13)万元(不含促销费用)，产品的促销价格定为(3+32m)元/件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得利润最大？最大利润为多少？19. 已知函数f(x)=2cos2x+√3sin2x．(1)当x∈(0,π2)，求f(x)的值域；(2)在△ABC中，若C为锐角，f(A+B)=0，AC=6，BC=3√3，求AB的长．20. 点P为圆O；x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．(I)求曲线C的方程；(II)直线l经过定点(0,2)与曲线C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值．21. 已知函数(e为自然对数的底数)．(1)设曲线处的切线为，若与点(1,0)的距离为，求a的值；(2)若对于任意实数恒成立，试确定的取值范围；(3)当上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A ={x|x −2<0}={x|x <2}， B ={x|e x >1}={x|x >0}， 则A ∩B ={x|0<x <2}=(0,2)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据交集的定义求出A ∩B ． 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2.答案：D解析：试题分析：根据已知中复数z 1=1+i ，z 2=2+bi ，利用复数的除法运算公式我们可计算出z 2z 1的值，又由z 2z 1为实数，即其虚部为0，由此可以构造关于b 的方程，解方程即可得到答案． ∵z 1=1+i ，z 2=2+bi ， ∴z 2z 1=2+bi 1+i=(2+b)+(b−2)i2又∵z 2z 1为实数， ∴b −2=0 即b =2 故选D3.答案：A解析：解：由图可知，当x >0时，f(x)>0，而此时1−3x <0，故排除CD ； 同时注意选项B 在x =0处没有意义，这与题设不符，故排除． 故选：A ．观察图象可知当x >0时，f(x)>0，由此可排除CD ；又函数的定义域为R ，由此可排除B ． 本题考查利用函数图象确定函数解析式，考查识图能力及数形结合思想，属于基础题．4.答案：C解析：本题考查球的内接三棱锥中，求经过底面正三角形边的中点的最小截面圆的面积，着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．设正△ABC 的中心为O 1，连接O 1A ，根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E 的球O 的截面，当截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值． 解：设正△ABC 的中心为O 1，连接O 1A ，∵O 1是正△ABC 的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，∴O 1O ⊥平面ABC ，∵PA ⊥面ABC ， ∴O 1O//PA ，∵PA =2=OA =OP ，三角形OAP 为等边三角形， 取PA 的中点G ，则OG ⊥PA ， 又AO 1⊥PA ，则四边形OO 1AG 为矩形，∴球心O 到平面ABC 的距离为O 1O =AG =12PA =1，∴Rt △O 1OA 中，O 1A =√OA 2−OO 12=√3，∵E 为AB 的中点，△ABC 是等边三角形， ∴AE =AO 1cos30°=32．在等腰三角形OAB 中，OE =√OA 2−AE 2=√22−(32)2=√72，∵过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小， ∴当截面与OE 垂直时，截面圆的面积有最小值．设球O 的半径为R ，此时截面圆的半径r =√R 2−OE 2=√22−74=32，可得此时截面面积为S =πr 2=9π4，故选：C ．5.答案：D解析：试题分析：由题可知，当时，由得，对称轴是，是函数的最小值，且是函数的最大值，所以，又因为，都存在，使得，所以当时，，因为是增函数，所以，解得，综上所述实数a的取值范围是；考点： 二次函数在闭区间的最值 函数的零点6.答案：B解析：解：由a n=31−3n，得a1=28>0，等差数列{a n}的公差d=−3<0，，由a n=31−3n>0，得n<313则数列{a n}的前10项大于0，自第11项起小于0．由b n=a n a n+1a n+2(n∈N∗)，知从b1到b8的值都大于零，n=9时，b9<0，n=10时，b10>0，且|b10|>|b9|.而当n≥11时，b n<0，∴当T n取得最大值时n的值为10．故选：B．由已知得到等差数列{a n}的公差d<0，且数列{a n}的前10项大于0，自第11项起小于0.由b n=a n a n+1a n+2(n∈N∗)，知从b1到b8的值都大于零，n=9时，b9<0，n=10时，b10>0，且|b10|>|b9|.而当n≥11时，b n<0，由此可得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，关键是明确数列{b n}的项的特点，是中档题．7.答案：Cx3−(4m−1)x2+(15m2−2m−7)x+2在R上是增函数，解析：解：若函数f(x)=13只需f′(x)=x2−2(4m−1)x+(15m2−2m−7)≥0在R上恒成立即可，∴只需△=4(4m−1)2−4(15m2−2m−7)≤0即可，解得：2≤m≤4，故选：C．问题转化为f′(x)=x2−2(4m−1)x+(15m2−2m−7)≥0在R上恒成立即可，结合二次函数的性质从而求出m的范围．本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.答案：AD解析：解：∵甲得分的极差为32，∴30+x−6=32，解得x=8，故A正确；∵乙得分的平均值为24，∴15(12+25+26+20+y+31)=24，解得y=6，故C错误；甲得分的平均数为：15(6+14+28+38+34)=24，∴甲得分的方差是：S12=15[(6−24)2+(14−24)2+(28−24)2+(38−24)2+(34−24)2]=147.2，故B错误；乙得分的方差是：S22=15[(12−24)2+(25−24)2+(26−24)2+(26−24)2+(31−24)2]=125.2，∴乙得分的方差小于甲得分的方差，故D错误．故选：AD．甲得分的极差为32，由此能求出x的值；由乙得分的平均值为24，能求出y的值；甲得分的平均数为24，分别求出甲得分的方差和乙得分的方差，由此能求出结果．本题考查平均数、方差、极差的求法及应用，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：AD解析：解：对于A，“a>b”⇒“a+1>b”，反之未必，如a=0.5，b=1，“a+1>b”成立，但“a>b”不成立，所以A对；对于B，集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，分类讨论：当a=0时，A=⌀，当a≠0则，△=a2−4a=0⇒a=4，所以B错；对于C，∃x=−1∈R，1x−2=−13<0，所以已知为假，所以C错；对于D，M∪N=M⇔N⊆M，满足条件M∪N=M的集合的个数为4，所以D对；故选：AD ．A 由充分条件与必要条件概念判断，B 由二次函数存在唯一实根条件判断，C 由全称命题判断，D 由集合概念判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了集合的基本概念，难度不大，属基础题．10.答案：AD解析：解：如图1，点A 在抛物线外，|PF|+|PA|≥|AF|，故|PA|+|PF|的最小值为|FA|=3， 如图2，只有当F ，P ，A 三点共线时|PA|−|PF|最大，最大值为|FA|=3，故选：AD ．画出图象，根据抛物线的图象可得，|PF|+|PA|≥|AF|，当F ，P ，A 三点共线时|PA|−|PF|≤|FA|即可求解．本题考查了抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题．11.答案：BD解析：解：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =3，AD =4，AA 1=6，P 是AA 1中点，点M 在侧面AA 1B 1B(含边界)上运动，则A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(3,4，0)，D(0,4，0)，A 1(0,0，6)，P(0,0，3)，B 1(3,0，6)，D 1(0,4，6)，对于选项A ，因为CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4,3),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,6)， 则|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+16+9×6=3√3434， 所以直线CP 与BB 1所成角余弦值为3√3434，故选项A 正确；对于选项B ，取AB 的中点Q ，则Q(32,0,0)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,−3)， 又CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,6)，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PQ//CD 1， 因此当点M 在线段PQ 上(除点P 外)，都能使得PQ//CD 1， 即P ，M ，C ，D 1四点共面，故选项B 正确；对于选项C ，由题意设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)， 则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,4,−z)，又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4,0)， 若MC ⊥BD ，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+3x +16=0，解得x =−73不在0≤x ≤3范围内， 所以不存在点M 使得MC ⊥BD ，故选项C 错误；对于选项D ，同选项C ，设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)，则点M 到平面ABCD 的距离为z ，点M 到点A 1的距离为|A 1M|=√x 2+(z −6)2， 因为点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，所以z =|A 1M|=√x 2+(z −6)2，整理可得x 2=12z −36，其中0≤x ≤3，0≤z ≤6，所以点M 的轨迹方程为x 2=12z −36(0≤x ≤3,0≤z ≤6)，是抛物线的一部分，故选项D 正确． 故选：BD ．以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出直线CP 与BB 1的方向向量，利用异面直线所成角的计算公式求解即可判断选项A ，取AB 的中点Q ，用向量的方法证明PQ//CD 1，即可判断选项B ，设M(x,0，z)(0≤x ≤3，0≤z ≤6)，假设MC ⊥BD ，根据数量积为0列出方程求解，即可判断选项C ，利用点M 到平面ABCD 距离与到点A 1的距离相等，求出点M 的轨迹方程，即可判断选项D ．本题考查了命题真假的判断，主要考查了立体几何的综合应用，涉及了空间角的求解、空间中线线关系的判定、动点轨迹方程的求解，综合性强，考查的知识点多，对学生掌握知识的广度和深度都有一定的要求，属于中档题．12.答案：[413,12)解析：解：根据条件知，f(x)在R 上单调递减， ∴{2a −1<0a >02(2a −1)+3a ≥a2， 解得413≤a <12，∴实数a 的取值范围为[413,12).。
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高考数学模拟试卷(1)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ． 6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ． 7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ．8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ． 9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+， 若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.（第5题）（第17题）15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知coscos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ． （1）求证：平面ABC //平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分）， 中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）A FED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n n b -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．第II 卷（附加题，共40分）（第18题）（第21- A 题）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵ABC ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长． D ．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标． 23．(1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；（2）猜想n p 的表达式，并证明．＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ …………………… ＊ ＊ … ＊ ＊高考模拟试卷(1)参考答案一、填空题1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i iz i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=， 从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14． ()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+，2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点， 当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，结合图形知，实数k 的取值范围是())5114-∞-，，． 二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=，解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜，从而23C π=，即23C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ① 由三角形ABC 的面积1sin 2ab C ==13ab =， ②由①②得，a b ==．16． （1）因为AB //DE ，又AB ⊄平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为ABBC C =，AB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ， 又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE .17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NF EM PE=，所以2121n m -=-，即211m n+=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn =最小．由211m n =+≥8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，“=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n m m n =即2m =，1n 时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米．18． （1）由椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）知， 焦距为2=， 解得a =因为a ＞1，所以a =（第17题）（2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ， 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222120a k x a kx ++=， 解得10x =，222221a kx a k=-+．因此2122221a kΑΡx a k=-=+． （3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2）知，1AP2AQ ，12，所以22222222121212)1(2)0k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦（，因为1k ，20k >，12k k ≠，所以22222212121(2)0k k a a k k +++-=， 变形得，()()22221211111(2)a a k k ++=+-， 从而221+(2)1a a -＞，解得a则)1c e a =． 19． （1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，即()()()323222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=，所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，所以(1)0(2)0f f ''==，， 即6202440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：显然，函数()f x 在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+． 所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数， 所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0；当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1； 当4c =-或5c =-时，零点个数为2；当54c -<<-时，零点个数为3．20．（1）依题意，11111166022a a a aa b ++=- （当且仅当111a a =时，等号成立）．（2）易得()1342n n --=--，当n 为奇数时，()13420n n --=--<，所以43n <，又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-；当n 为偶数时，()13420n n --=-->，所以43n >，又*n ∈N ，故246n =，，，…若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()1342n n --<--，即()12134n n --->-．证明：记()12()34n p n n ---=-，则()()()112434(2)341()32322n n n p n n p n n n +----+-=⋅=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17p n p >=>．综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)xb f x a x d q q=+--⋅， 则1()ln x b f x d q q q '=-⋅，()21()ln x b f x q q q''=-⋅，由参考结论，知112()n n ξ∃∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ∃∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ∃∈，，()0f η''=，即()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅=， 这与()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠．第Ⅱ卷（附加题，共40分）A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ．因为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ， 所以11101122020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ．由逆矩阵公式得，1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，即22(2)9x y +-=．直线π()3θρ=∈R化为普通方程y =0y -=．圆心(02)，0y -=的距离为1d ==，于是所求线段长为 D ．由柯西不等式可得，(()22222215⎤++=⎦≤，（当且仅当=16[34]5x =∈，时，“=”成立．） 22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，其中2(122)CA a a =--，，2(122)CB b b =--，， 从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，化简得，51a b a +=-+；（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a-=-+， 令5x =得，22(5)2251y a a a a a =-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：12 31 32 2 13 2 3 13 1 23 2 1共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：所以24263p ==；（2）设当n k =时，12k M M M <<⋅⋅⋅的概率为k p ，则当1n k =+时，121k k M M M M +<<⋅⋅⋅<的概率为1k p +， 而1k +排在第1k +行的概率为12(1)(11)22k k k k +=++++， 所以12(2)2k k p p k k +=+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224p p =，4325p p =，5426p p =，…，121n n p p n -=+， 叠乘，得()22214n n p p n n -=+⨯⨯⋅⋅⋅⨯，其中24263p ==， 所以n p 2(1)!n n =+．1 2 31 32 2 13 2 3 1。