第二讲函数与方程(答案)

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高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦单选题1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a ，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（） A ．{x |x 〉1或x <−16}B ．{x |−16<x <1} C ．{x |x 〉1或x <−3}D ．{x |−3<x <2} 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1}．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−ba =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2，故选：D4、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可，即a >f(3)=2，得a >2，所以实数a 的取值范围为(2,+∞)，故选：D5、若非零实数a ，b 满足a 2C ．1ab2<1a 2bD ．a 2+a 1，A 不成立；取a =−2,b =1，满足a b 2+b ，D 不成立．故选：C6、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x0.5>100．故选：C. 7、不等式x−1x+2<0的解集为（）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、下列说法正确的为（） A ．x +1x ≥2 B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D．已知时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+3=2√x2+3=2√x2+3√x2+3√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3+√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.多选题9、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 因a,b均为正数，且a+2b=1，则有ab=12⋅a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b=12时取“=”，即ab的最大值为18，A正确；1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)=5+(2ba+2ab)≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=13时取“=”，即1a+2b的最小值为9，B正确；3a>3a>显然00，b >0，则下列命题成立的有（） A ．若ab =1，则a 2+b 2≥2B ．若ab =1，则1a +1b ≥2 C ．若a +b =1，则a 2+b 2≤12D ．若a +b =1，则1a +1b ≥4 答案：ABD分析：利用基本不等式逐项判断.A.若ab =1，则a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；B.若ab =1，则1a+1b ≥2√1ab=2当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；C.若a +b =1，则a 2+b 2≥12(a +b )2=12，当且仅当a =b =1时，等号成立，故错误； D.若a +b =1，则1a +1b =a+b ab=1ab ≥1(a+b 2)2=4，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；故选：ABD11、（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（） A ．a +b √ab ≥3B ．(a +b )(1a +1b)≥4 C ．22√ab≥a +b D ．√a+b≥√ab答案：AD分析：A 选项，利用基本不等式a +b ≥2√ab 和2√ab +√ab≥2√2√ab √ab可得出该不等式的正误；B 选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C 选项，利用基本不等式a 2+b 2≥(a+b )22以及√ab ≤a+b 2可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.对于A ，a +b √ab≥2√ab +√ab≥2√2<3，当且仅当a =b =√22时等号同时成立；对于B ，(a +b )(1a +1b)=2+a b +b a ≥2+2√a b ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号；对于C ，22√ab≥22√ab≥(a+b )2a+b=a +b ，当且仅当a =b 时取等号；对于D ，当a =12，b =13时，√a+b=13√6=√215，√ab =√16，√16>√215，所以√a+b<√ab .故选AD.小提示：本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 12、下列命题不正确的（）A ．1a <1b <0⇒|a|>|b|B ．ac >bc ⇒a >bC ．a 3>b 3ab >0}⇒1a <1bD ．a 2>b 2ab >0}⇒1a <1b 答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A ：∵1a <1b <0∴ab >0且−1a >−1b >0，因此−1a ⋅ab >−1b ⋅ab >0⋅ab ，即−b >−a >0⇒|−b |>|−a |>0⇒|b |>|a |，故本命题不正确； B ：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C ：由a 3>b 3⇒a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)>0，而ab >0，所以有a >b ，而1a −1b =b−a ab<0⇒1a <1b ，故本命题正确；D ：若a =−2,b =−1，显然{a 2>b 2ab >0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 13、已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则ca >db D ．若a >b ，c >d >0，则ad >bc答案：AC分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 解：由不等式性质逐项分析：A 选项：由c >d ，故−c <−d ，根据不等式同向相加的原则a −d >b −c ，故A 正确B 选项：若a >0>b ，0>c >d 则ac <bd ，故B 错误；C 选项：ab >0，bc −ad >0，则bc−ad ab>0，化简得c a−db>0，故C 正确；D 选项：a =−1，b =−2，c =2，d =1则ad =bc =−1，故D 错误. 故选：AC 填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a 的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于 2，令f (x )=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.16、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题17、解关于x的不等式：x2−(3a−1)x+2a2−2a>0．答案：见解析分析：根据条件得[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小,求解即可.原不等式可化为[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小．（1）当a−1>2a，即a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；（2）当a−1=2a，即a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；（3）当a−1<2a，即a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.综上：当a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；当a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；当a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.18、已知关于x的不等式mx2+5x+m<0，m∈R．（1）若m =2，则求上述不等式的解集；（2）若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围．答案：（1）(−2,−12)；（2）m <−52．分析：（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在x ∈R 上恒成立，讨论m =0、m ≠0，结合二次函数的性质求m 的范围．（1）将m =2代入不等式，得：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0，得−2<x <−12， ∴不等式的解集为(−2,−12)；（2）∀x ∈R,mx 2+5x +m <0恒成立，1）当m =0时，有5x <0，显然不恒成立，舍去；2）当m ≠0时，由二次函数的性质得：{m <0Δ=25−4m 2<0，解得m <−52； ∴综上，有m <−52.。

第一部分专题六第二讲基本初等函数、函数与方程

[限时训练·直通高考] 科学设题拿下高考高分[A 组基础练]1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－2或3解析：f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：C2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1) C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．答案：C 3．若c ＝log 3 cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：因为0<1π<13<1，所以1＝>0，所以0<a <1，因为b ＝>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3 cos π5<log 3 1＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B. 答案：B4．(2020·西安一中月考)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2 x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是非奇非偶函数；y ＝log 2 x 的定义域是(0，＋∞)；只有y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意．答案：B5．(2020·新乡模拟)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( ) A ．4或－52 B ．4或－2 C ．5或－2D ．6或－52解析：g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2. 答案：C6．(2020·大连模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B. 答案：B7．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A. 答案：A8．(2020·绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C. 答案：C9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若当x ＝0时，f (x )取得最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2]D ．[0,2]解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，且当x ＝0时，f (x )取得最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．∴2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是[0,2]．故选D. 答案：D10.函数f (x )＝(3ax －b )2的图象如图所示，则( ) A ．a >0且b >1 B ．a >0且01 D ．a <0且00，则3a >1，则3ax →0，f (x )→b 2，不合题意，若a ＝0，则3ax ＝1，则f (x )＝(1－b )2，不合题意，故a <0，此时3a <1.设3ax ＝t ，则易知当t ＝b ，即3ax ＝b 时，f (x )取最小值，由图象可知此时x <0，故3ax >1，即b >1.综上所述，a <0且b >1.故选C. 答案：C11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析：由题意可得直线y ＝x 与函数f (x )＝2(x >m )有且只有一个交点．若要满足题目要求，则需满足直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象恰有两个交点，如图，由图象可知，函数y ＝x 与f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象交点为A (－2，－2)，B (－1，－1)，故有m ≥－1.而当m ≥2时，直线y ＝x 和射线y ＝2(x >m )无交点，故实数m 的取值范围是[－1,2)．故选B. 答案：B12．(2020·武汉调研)已知函数f(x)＝e x－a ln(ax－a)＋a(a>0)，若关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，e2] B．(0，e2)C．[1，e2]D．(1，e2)解析：因为f(x)＝e x－a ln(ax－a)＋a>0恒成立，所以e xa>ln(x－1)＋ln a－1，e x－ln a＋x－ln a>ln(x－1)＋x－1，e x－ln a＋x－ln a>e ln(x－1)＋ln(x－1)，令g(x)＝e x＋x，易得g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x－ln a>ln(x－1)，即－ln a>ln(x－1)－x，因为ln(x－1)－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a>－2，所以0<a<e2，所以实数a的取值范围是(0，e2)，故选B.答案：B13．(2020·新余一中质检)已知f(x)＝22x＋1＋sin x，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝________.解析：∵f(x)＋f(－x)＝22x＋1＋sin x＋22－x＋1－sin x＝22x＋1＋2x＋11＋2x＝2，且f(0)＝1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝5.答案：514．(2020·杭州期中测试)函数y＝log2(－x2＋4x)的增区间是________，值域是________．解析：函数y＝log2(－x2＋4x)的增区间，即函数t＝－x2＋4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得在满足t>0的条件下，函数t的增区间为(0,2]．由于0<t ≤4，故y ＝log 2 t ∈(－∞，2]．答案：(0,2] (－∞，2]15．(2020·三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：分)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．解析：由已知可得T a ＝24，T 0＝88，T ＝40，则40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解得h ＝10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10，解得t ＝10.故还需要10分钟．答案：1016．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0的图象，如图所示．设f (x )＝t ，由图可知，t ∈(0,4]，f (x )＝t 有4个根，∴在(0,4]上，方程t 2－bt ＋1＝0有2个不同的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧1>0，b2>0，Δ＝b 2－4>0，16－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤2，174[B 组创新练]1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f (x )＝2x ＋32x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0,1,2,3} B ．{0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{1,2}解析：f (x )＝2x ＋32x ＋1＝(1＋2x )＋21＋2x＝1＋21＋2x ，又2x>0，∴21＋2x ∈(0,2)，∴1＋21＋2x∈(1,3)．∴当f (x )∈(1,2)时，y ＝[f (x )]＝1；当f (x )∈[2,3)时，y ＝[f (x )]＝2.∴函数y ＝[f (x )]的值域是{1,2}．故选D. 答案：D2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol /L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol /L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg3≈0.48)( ) A.12 B.13 C.16D.110解析：由题意可得pH ＝－lg [H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg [H ＋]＋14.∵7.35<－lg [H ＋]<7.45，∴－7.45<lg [H ＋]<－7.35，∴－0.9<2lg [H ＋]＋14<－0.7，即－0.9<lg [H ＋][OH －]<－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误，lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误，lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确，lg 110＝－1，故D 错误，故选C. 答案：C3．(2020·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由2＋x 2－x >0得x ∈(－2,2)，又y ＝2x 在(－2,2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x ＝log 3⎝⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2,2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m >1，解得12<m <1，故选D.答案：D4．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝{a (a －b )3，a ≤b ，b (b －a )3，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，若函数g (x )＝f (x )－mx 2(m ∈R )恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是________，x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：当2x －1≤x －1，即x ≤0时，f (x )＝(2x －1)x 3，当2x －1>x －1，即x >0时，f (x )＝－(x －1)x 3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x 3，x ≤0，－(x －1)x 3，x >0，因为g (x )有三个零点，所以函数f (x )与y ＝mx 2的图象有三个交点，即k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0的图象与直线y ＝m 有三个交点，作出k (x )的图象，如图，其中x >0时，函数k (x )的最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1×12＝14，所以0<m <14.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝1，所以0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14. 由⎩⎨⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34，所以1－34<x 1<0，所以1－316<x 1x 2x 3<0，且当m 无限接近14时，x 1x 2x 3趋近于1－316，当m 无限接近0时，x 1x 2x 3趋近于0.故x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库单选题1、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx=t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2=m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m⇒√y x=√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.2、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞) 答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2ba，2×6=−ca ，得b =−4a ，c =−12a ， ∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 3、已知a >b >c >0，则（） A ．2a b (a −c ) C ．1a−c >1b−c D ．(a −c )3>(b −c )3 答案：D分析：由不等式的性质判断ACD ；取特殊值判断B.解：对于A ，因为a >b >c >0，所以a +a >b +a >b +c ，即2a >b +c ，故错误；对于B ，取a =3>b =2>c =1>0，则a (b −c )=3b >c >0，得a −c >b −c >0，所以1a−c<1b−c，故错误；对于D ，由a >b >c >0，得a −c >b −c >0，所以(a −c )3>(b −c )3，故正确. 故选：D.4、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．a+b 2≥√ab(a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2√ab(a >0,b >0)C ．2aba+b ≤√ab(a >0,b >0)D ．a+b 2≤√a 2+b 22(a >0,b >0)答案：D分析：根据图形，求出圆的半径以及OC .再利用勾股定理求得FC ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=12AB=a+b2，又由OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2，在直角△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=(a−b2)2+(a+b2)2=a2+b22，因为FO≤FC，所以a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b时取等号．故选：D.5、已知a>1，则a+4a−1的最小值是（）A．5B．6C．3√2D．2√2答案：A分析：由于a>1，所以a−1>0，则a+4a−1=(a−1)+4a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值由于a>1，所以a−1>0所以a+4a−1=a−1+4a−1+1≥2√(a−1)⋅4(a−1)+1=5，当且仅当a−1=4a−1，即a=3时取等号.故选：A.6、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．7、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6x x 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6xx 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ，故选：A8、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a+2b的最小值为（）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可. 解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，ba+2b=2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b)−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D 多选题9、已知正数a，b满足a2+b2=2a+2b，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（）A．2B．3C．4D．5答案：BC分析：利用基本不等式构造关于a+b的一元二次不等式，即可求解.解：2(a+b)=a2+b2=12(a2+b2+a2+b2)≥12(a+b)2（当且仅当a=b时，取等号），即(a+b)2−4(a+b)≤0，解得：0≤a+b≤4，又a+b=2时，ab=0，不合题意，故选：BC10、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x−k+4500x)L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过．．．9L，则速度x的值可为（）A．60B．80C．100D．120答案：ABC解析：先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列不等式，解不等式求得x的取值范围.由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，∴15(120−k+4500120)=11.5，解得：k=100，故每小时油耗为15(x+4500x)−20，由题意得15(x+4500x)−20≤9，解得：45≤x≤100，又60≤x≤120，故60≤x≤100，所以速度x的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题.11、下列结论正确的是（）A．当x>0时，√x√x≥2B．当x>2时，x+1x的最小值是2C．当x<54时，4x−2+14x−5的最小值是5D．设x>0，y>0，且x+y=2，则1x +4y的最小值是92答案：AD分析：由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．解：x>0时，√x+√x⩾2，当且仅当x=1时取等号，A正确；当x>2时，x+1x >52，没有最小值，B错误；当x<54时，4x−2+14x−5=4x−5+14x−5+3=−(5−4x+15−4x)+3⩽−2√(5−4x)15−4x+3=1，有最大值，没有最小值，C错误；x>0，y>0，x+y=2，则1x +4y=(1x+4y)(x+y)×12=12(5+yx+4xy)⩾12(5+4)=92，当且仅当yx =4xy且x+y=2即x=23，y=43时取等号，故选：AD．12、2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为T1，T2，T3．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）V1奔跑，另一半的时间以速度V2奔跑；乙全程以速度√V1V2奔跑；丙有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑．其中V1>0，V2>0．则下列结论中一定成立的是（）A．T1≤T2≤T3B．T1≥T2≥T3C．T1T3=T22D．1T1+1T3=1T2答案：AC分析：首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.由题意12T1V1+12T1V2=100，所以T1=100V1+V22，T2=V1V2，T3=50V1+50V2=1002V1V2V1+V2，根据基本不等式可知V 1+V 22≥√V 1V 2≥2V 1V 2V 1+V 2>0，故T 1≤T 2≤T 3，当且仅当V 1=V 2时等号全部成立，故A 选项正确，B 选项错误； T 1T 3=100V 1+V 22×1002V 1V 2V 1+V 2=1002V 1V 2=T 22，故C 选项正确；1T 1+1T 3=V 1+V 22100+2V 1V 2V 1+V 2100≠√V 1V 2100=1T 2，故D 选项错误．故选：AC ．13、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若a >b >0，则1a<1b B ．若a,b,∈R ，则3a 2+b 2≥2√3abC ．若a >b >0，c >0，则ac −bc >0D ．若a b >0，所以1a −1b =b−a ab <0，故A 正确；对于B ，3a 2+b 2−2√3ab =(√3a −b)2≥0，故B 正确；对于C ，若a >b >0，c >0，则ac >bc ，即ac −bc >0，故C 正确；对于D ，当a =−2，b =1时，满足a |b |，故D 不正确．故选：ABC ．填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、若实数a,b满足a2+b2=1，则1a2+4b2+1的最小值为_________.答案：92##4.5分析：根据实数a,b满足a2+b2=1，利用“1”的代换得到1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=1 2(5+b2+1a2+4a2b2+1)，再利用基本不等式求解.因为实数a,b满足a2+b2=1，所以1a2+4b2+1=12(1a2+4b2+1)⋅(a2+b2+1)=12(5+b2+1a2+4a2b2+1)，≥12(5+2√(b2+1a2)⋅(4a2b2+1))=92，当且仅当{b2+1a2=4a2b2+1a2+b2+1=2，即a=√63,b=√33时，等号成立，所以1a2+4b2+1的最小值为92，所以答案是：9216、若实数a>b，则下列说法正确的是__________．（1）a+c>b+c；（2）ac<bc；（3）1a <1b；（4）a2>b2答案：（1）分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果c≥0时不成立，故错误；（3）若a=1,b=−1时，1a <1b不成立，故错误；（4）若a=1,b=−1，a2>b2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.解答题17、在△ABC 中，2B =A +C .（1）当AC =12时，求S △ABC 的最大值；（2）当S △ABC =4√3时，求△ABC 周长的最小值. 答案：（1）36√3；（2）12.分析：（1）由题意，B =60°，b =12，由余弦定理、基本不等式，即可求S △ABC 的最大值；（2）当S △ABC =4√3时，求出ac ，利用余弦定理、基本不等式，即可求出△ABC 周长的最小值. 解：（1）由题意，B =60°，b =12，∴由余弦定理可得122=a 2+c 2−2accos60°≥ac ， ∴ac ≤144，∴S △ABC =12acsinB ≤36√3， ∴S △ABC 的最大值为36√3；（2）S △ABC =4√3=12ac ×√32， ∴ac =16，又b 2=a 2+c 2−2accos60°=(a +c)2−48， b 2=a 2+c 2−2accos60°≥ac ， ∴a +c =√b 2+48，b ≥4∴△ABC 周长为a +b +c ≥8+4=12当且仅当时，△ABC 周长的最小值为12.小提示：本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.18、（1）若x >1，求y =x +4x−1的最小值及对应x 的值；（2）若0<x <2，求4x +12−x 的最小值及对应x 的值．答案：（1）最小值为5，x =3；（2）最小值为92，x =43．分析：（1）化简y =x −1+4x−1+1，再利用基本不等式求解；a b c ==（2）化简y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]，再利用基本不等式求解.（1）因为x>1，所以x−1>0,4x−1>0，y=x−1+4x−1+1≥2√(x−1)(4x−1)+1=5当且仅当x−1=4x−1(x>1)即x=3时等号成立，函数取最小值5；（2）y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]=12[5+4(2−x)x+x2−x]≥12(5+2√4(2−x)x×x2−x)=92当且仅当4(2−x)x =x2−x(0<x<2)即x=43时等号成立，函数取最小值92.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若且a 1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确；对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20，由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)，又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1，则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13，则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3．（2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误，故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca >cb B ．ab b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确；对于B ，若a 0，ab −b 2=b (a −b )>0，所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确；由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ，则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16，解得c =4，故D 正确．故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确；由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4，当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1，所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。

二次函数与方程及实际问题及答案

二次函数与方程及实际问题1、二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2、二次函数y=x2－2x－3的图象如图所示。

当y＜0时，自变量x的取值范围是A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－3或x＞33、函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）（A）有两个不相等的实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等实数根（D）无实数根4、已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y>0，则m的取值范围是（） A．m ≥ B．m> C．m ≤ D．m<5、抛物线=与x轴交点为（）A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点6、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率均为x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A ．B ．Ｃ． D ．7、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )A．4米 B．3米 C．2米 D．1米9、若函数y＝（1－m）x＋2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为________ 10、点A(2，y1)、B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1_______y2（填“>”“<”或“＝”）11、把二次函数y＝－4（1＋2x）（x－3）化为一般形式为：______________12、二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2= .13、如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线＝1，若其与轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式＞0的解集是14、函数 y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的值为__________.15、抛物线与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是 .16、抛物线y＝x2－4x－5与x轴的正半轴的交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_________．17、如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m，•跨度为•40m，•现把它的示意图放在平面直角坐标系中••，••则此抛物线的函数关系式为__________．18、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，则函数关系式为__________．19、一个三角形的底边和这边上的高的和为10，则函数关系式为__________．．20、有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为。

(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质

第二讲函数（二）一、函数的图象1，图象的变换（1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。

（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。

④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。

（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。

②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。

例1.将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-）例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。

(完整版)函数与方程经典例题及答案

函数与方程典型例题习题例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++，由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-．（2）令()0f x =得2x =或4-，∴零点是122,4x x ==-．（3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为（ D ））A .1B .0C .2或0D .22．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ）A .1B .2C .3D .不确定3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B .0，41- C .41,21- D .0，41,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥. 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-．7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．答案：有解．函数与方程测试题（时间45分钟）一、填空题（共计6小题，每题10分）1、函数f(x)=122--x x 在区间（2，3）上零点的个数为 .2、已知：f(x)=b a x +的图象如图所示，则a 与b 的值分别为3、设f （x ）x e +1，则f （x ）＝ .4、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为________元5、若不等式2x +ax+1≥0对于一切x ∈（０，21］成立，则a 的最小值是 . 6、如果y=mx x -2，[]1,1-∈x 的最小值为－４，则m 的值为 .二、解答题（共计2小题，每题20分）7、设集合P=｛x|224+-x x +a=0，x ∈R ｝.（１）若P 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合Q ；（２）若对于任意a ∈Q ，不等式x 2-6x<a （x-2）恒成立，求x 的取值范围.8、已知函数f （x ）=xa 11-（a>0，x>0）. （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f （x ）在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］（m≠n），求a 的取值范围.试题答案：1、根据求根公式得方程两根212,1±=x ，故答案为1个。

备战2023年高考数学二轮复习专题第二讲思想方法融会贯通

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一
二
三
四
二轮·数学
(2)(2021·山师附中调研)已知函数 h(x)＝xln x 与函数 g(x)＝kx－1 的图象在
区间1e，e上有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是( B )
A．1＋1e，e－1
B．1，1＋1e
C．(1，e－1]
D．(1，＋∞)
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[解析] (2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即1x＋ln x＝k．若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间1e，e上有两个不等实根，则函数 f(x)＝ln x ＋1x与 y＝k 在区间1e，e上有两个不相同的交点，f′(x)＝1x－x12，令1x－x12＝ 0 可得 x＝1，当 x∈1e，1时，f′(x)＜0，函数是减函数；当 x∈(1，e]时，
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若 0＜x1＜x2＜1，则( C )
[即学即用]
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解析：设 f(x)＝ex－ln x(0＜x＜1)，则 f′(x)＝ex－1x＝xexx－1．令 f′(x)＝0，得 xex－1＝0．根据 y＝ex 的图象与 y＝1x的图象，可知函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．
为( B )
A．ea－1＜a＜ae C．ae＜ea－1＜a
B．ae＜a＜ea－1 D．a＜ea－1＜ae
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[解析] (1)设 f(x)＝ex－x－1，x＞0，则 f′(x)＝ex－1＞0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)＞0， ∴ex－1＞x，即 ea－1＞a．又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae，从而 ea－1＞a＞ae．

部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式带答案知识点总结(超全)

(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式带答案知识点总结(超全)单选题1、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 2、不等式3x 2−x −2≥0的解集是（）A ．{x |−23≤x ≤1 }B ．{x |−1≤x ≤23 } C ．{x |x ≤−23 或x ≥1}D ．{x |x ≤−1 或x ≥23}3、不等式1+x1−x ≥0的解集为（）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}4、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A ．2a +b =1B ．ab 的最大值为18C ．1a +2b 的最小值为4D ．1a +1b 的最小值为3+2√2 5、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b6、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)7、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +ma+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（） A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥88、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（）A ．2B ．√2+1C ．94D ．52多选题9、设a >0,b >0，且2a +3b =1，则下列不等式成立的是（） A ．b >3 B ．ab ≤24 C ．4a 2+9b 2≥12 D ．2a +b ≤7+4√310、对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(ax −1)(x +1)<0的解集可能是（） A ．{x|−1<x <1a}B ．{x|x ≠−1}C ．{x|1a<x <−1}D ．R11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2 }（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2 }（x 1<x 2），且|x 1−x 2|=4，则c =4 填空题12、设函数f (x )=ax 2−2x +c ，不等式f (x )>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，若对任意x ∈[−1,2],f (x )≤m 2−4恒成立，则实数m 的取值范围为__________.部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式带答案(十三)参考答案1、答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1 =3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1. 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 2、答案：C分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．解：3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)≥0 解得：x ≤−23或x ≥1. 故选：C. 3、答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．4、答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．5、答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C 6、答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 7、答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a+12b+m a+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立，又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.8、答案：C分析：将a+4b=4ab，转化为1b +4a=4，由a+b=14(a+b)(1b+4a)=14(5+ab+4ba)，利用基本不等式求解.因为a+4b=4ab，所以1b +4a=4，所以a+b=14(a+b)(1b+4a)=14(5+ab+4ba)，≥14(5+2√ab⋅4ba)=94，当且仅当{1b +4a=4ab=4ba，即{a=32b=34时，等号成立，故选：C9、答案：AC分析：对于选项A，利用已知求出a的关系式，然后由a>0即可求出b的范围；对于选项BCD，利用基本不等式以及“1”的代换即可求解，判断是否正确．对于选项A，因为a>0,b>0，且2a +3b=1，则a=21−3b，由a>0，则21−3b >0，即1−3b>0，解得b>3，故A正确，对于选项B，因为a>0,b>0，所以2a +3b=1≥2√2a⋅3b，当且仅当2a=3b=12时取等号，此时√6ab≤12，解得ab≥24，故B错误；对于选项C，a>0,b>0，且2a +3b=1，则4a2+9b2+12ab=1，即4a2+9b2=1−12ab，由选项B可得：4a2+9b2=1−12ab ≥1−1224=1−12=12，当且仅当2a=3b=12时取等号，故C正确；选项D：因为2a+b=(2a+b)(2a +3b)=7+2ba+6ab≥7+2√2ba⋅6ab=7+4√3，当且仅当2ba=6ab时取等号，故D错误.故选：AC．10、答案：AB分析：讨论参数a，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.由(ax−1)(x+1)<0，分类讨论a如下：当a>0时，−1<x<1a；当a=0时，x>−1；当−1<a<0时，x<1a或x>−1；当a=−1时，x≠−1；当a<−1时，x<−1或x>1a.故选：AB.11、答案：ABD解析：因为y=x2+ax+b（a>0）有且只有一个零点，故可得Δ=a2−4b=0，即a2=4b>0，再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y=x2+ax+b（a>0）有且只有一个零点，故可得Δ=a2−4b=0，即a2=4b>0，对A：a2−b2≤4等价于b2−4b+4≥0，显然(b−2)2≥0，故A正确；对B：a2+1b =4b+1b≥2√4b×1b=4，故B正确；对C：因为不等式x2+ax−b<0的解集为(x1,x2)，故可得x1x2=−b<0，故C错误；对D：因为不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2)，且|x1−x2|=4，则方程x2+ax+b−c=0的两根为x1，x2，故可得√(x1+x2)2−4x1x2=√a2−4(b−c)=√4c=2√c=4，故可得c=4，故D正确.故选：ABD.小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：先根据不等式的解集求得a=1,c=−3，得到f(x)=x2−2x−3，再把对任意x∈[−1,2]，f(x)≤m2−4恒成立，结合二次函数的性质，转化为m2−4≥0恒成立，即可求解.由函数f(x)=ax2−2x+c，且不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，即−1,3是方程ax2−2x+c=0两个实数根，可得{−1+3=2a−1×3=ca，解得a=1,c=−3，所以f(x)=x2−2x−3，又由f(x)=x2−2x−3=(x−1)2−4，且x∈[−1,2]，当x=−1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)max=0，因为对任意x∈[−1,2],f(x)≤m2−4恒成立，即m2−4≥0恒成立，解得m≤−2或m≥2，所以实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞).。

压轴小题02 辨析函数与方程的根的情况(含答案解析)

辨析函数与方程的根的情况一、方法综述确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点．二、解题策略类型一求方程解的个数例1．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】当[],0x π∈-时，[]0,x ππ+∈，故()()11sin 22g x g x x π=+=-，同理可得当[]2,x ππ∈--时，()1sin 4g x x =-，此时()()()1sin 04y f x g x x g x x π=-=--≥+>，故()()y f x g x =-在[]2,ππ--无零点，同理()()y f x g x =-在[]4,2ππ--也无零点.因为()()2g x g x π+=，故将()[],0,y g x x π=∈上的图象向右平移π个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，()f x 、()g x 在[],4ππ-上的图象如图所示：因为222357log 2,log 4,log 8222πππ><<，故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，下证：当[],0x π∈-，()()y f x g x =-有且只有一个零点. 此时1sin 2y x x =-+，而11cos 02y x '=-+<，故()()y f x g x =-在[],0π-上为减函数，故当[],0x π∈-，有()()()()000f x g x f g -≤-=，当且仅当0x =时等号成立. 故()f x 、()g x 在[],4ππ-上的图象共有6个不同交点，即()()y f x g x =-在[]4,4ππ-有6个不同的零点，故选：A.【名师点睛】函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D2、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.3、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．4、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A．ba >b+1a+1B．a+1a>b+1bC．a+1b>b+1aD．2a+ba+2b>ab答案：C分析：根据不等式的性质，对选项逐一判断对于A，ba −b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，故ba−b+1a+1=b−aa(a+1)<0，即ba<b+1a+1，故A错；对于B，a+1a −(b+1b)=(a−b)(1−1ab)不确定符号，取a=1,b=12则a+1a<b+1b，故B错误；对于C，a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)，因为a>b>0，故a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，即a+1b>b+1a，故C正确；对于D，2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b，因为a>b>0，故2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b<0，即2a+ba+2b<ab，故D错误．故选：C8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B多选题9、若a>1，b<2，则（）A．a−b>−1B．(a−1)(b−2)<0C ．a +1a−1的最小值为2D ．12−b≥b答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD 选项；利用基本不等式可判断C 选项. 因为b <2，所以−b >−2，又a >1，所以a −b >−1，A 正确；因为a >1，b <2，则a −1>0，b −2<0，所以(a −1)(b −2)<0，B 正确；因为a >1，所以a −1>0，所以a +1a−1=a −1+1a−1+1≥2√(a −1)⋅1a−1+1=3，当且仅当a =2时，等号成立，C 不正确；因为b <2，则b (b −2)+1=(b −1)2≥0，所以，b (2−b )≤1，因为2−b >0，所以12−b≥b ，D 正确.故选：ABD.10、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，则下列结论正确的是（） A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a +b +c >0 答案：BCD分析：对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及b >0，即可求解.解：对A ，∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，故相应的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下，即a <0，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和−12是关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba =2+(−12)=32>0，又∵a <0，故b >0,c >0，故B ，C 正确；对D ，∵c a =−1， ∴a +c =0，又∵b >0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.11、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为（）A．√ab≤a+b2(a>0，b>0)B．√ab≥2aba+b(a>0，b>0)C．a2+b2≥2ab(a>0，b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)答案：BCD解析：由AC=a,BC=b，得到OD=12(a+b)，然后利用射影定理得到CD2=ab判断. 因为AC=a,BC=b，所以OD=12(a+b),因为∠ADB=90∘，所以由射影定理得CD2=ab，因为OD≥CD，所以√ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号，故选：BCD12、若1≤x≤3≤y≤5，则（）A．4≤x+y≤8B．x+y+1x +16y的最小值为10C．−2≤x−y≤0D．(x+1y )(y+4x)的最小值为9OD答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误；因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x +1y )(y +4x )=xy +4xy +5≥2√4+5=9，当且仅当xy =2时，等号成立，但1≤x ≤3≤y ≤5，xy 取不到2，所以(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，因此D 不正确，故选：AB13、若a 1|b |C ．(a +1b )2>(b +1a )2D ．(a +1a )2>(b +1b )2答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可. 对于A 选项, 由于a 1a >1b ,所以0>b +1a >a +1b ,所以(a +1b )2>(b +1a )2,故C 选项正确; 对于D 选项,令a =−2,b =−12,则a +1a =b +1b =−52,所以(a +1a )2>(b +1b )2不成立,故D 选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断. 填空题14、不等式ax 2+x +1>0的解集为(m,1)，则m =__________．答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0，所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、函数y =2√x 2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果. 令t =√x 2+1≥1，则y =2√x 2+1=t +4t≥4，当且仅当t =2，即x =±√3时，y min =4.所以函数y =2√x 2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、已知a >0,b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b的最小值为_________．答案：4分析：根据已知条件，将所求的式子化为a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求解. ∵a >0,b >0,∴a +b >0，ab =1,∴12a+12b +8a+b=ab 2a+ab 2b+8a+b=a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4，当且仅当a +b =4时取等号，结合ab =1,解得a =2−√3,b =2+√3，或a =2+√3,b =2−√3时，等号成立. 所以答案是：4小提示：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 解答题17、如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为20m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？答案：(1)长为92m ，宽为185m(2)长为5m ，宽为4m分析：（1）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，可得出4x +5y =36，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x +5y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论. （1）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，由已知可得4x +5y =36，由基本不等式可得S =xy =120⋅4x ⋅5y ≤120×(4x+5y 2)2=815(m 2)，当且仅当{4x =5y4x +5y =36，即当{x =92y =185时，等号成立，因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 18、实数a 、b 满足−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4. (1)求实数a 、b 的取值范围； (2)求3a −2b 的取值范围．答案：(1)a ∈[−2,3]，b ∈[−72,32](2)[−4,11]分析：（1）由a =12[(a +b )+(a −b )]，b =12[(a +b )−(a −b )]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a −2b =12(a +b)+52(a −b)，再利用不等式的性质得解. （1）解：由−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4，则a =12[(a +b )+(a −b )]，所以−4≤(a +b )+(a −b )≤6，所以−2≤12[(a +b )+(a −b )]≤3，即−2≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[−2,3]．因为b =12[(a +b )−(a −b )]，由−1≤a −b ≤4，所以−4≤b −a ≤1，所以−7≤(a +b )−(a −b )≤3，所以−72≤12[(a +b )−(a −b )]≤32， ∴−72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[−72,32]．（2）解：设3a −2b =m (a +b )+n (a −b )=(m +n )a +(m −n )b ，则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52，∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，∴−4≤3a−2b≤11，即3a−2b的取值范围为[−4,11]．。

第2讲基本初等函数、函数与方程

有且仅有两个零点，则a的取值范围是
()
A．0＜a＜1
B．a＞1
C．1＜a＜2
D．a＞2
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解析：令f(x)＝0得logax＝x－2，分别作出函数y＝logax和y＝x－2的图象． (1)当a＞1时，函数y＝logax和y＝x－2的图象如图①所示．由图象可知函数y＝logax和y＝x－2的图象有两个交点，所以f(x)＝logax－x＋2有两个零点，符合题意． (2)当0＜a＜1时，函数y＝logax和y＝x－2的图象如图②所示．由图象可知y＝logax和y＝x－2的图象有一个交点，所以f(x)＝logax－x＋2有一个零点，不符合题意. 综上，a的取值范围为a＞1.
且g(3)<0，g(4)>0，所以g(3)g(4)<0，g(x)＝2x＋log2x－17在
(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以3<a<4，故a>b2＝4] (1)D (2)B
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解题方略
基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1 时，两函数在定义域内都为减函数； (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断； (3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
则函数g(x)＝f(x)－1的所有
零点之和等于
()
A．4
B．2
C．1

第二讲函数、基本初等函数

(
► 探究点二函数的图象的分析与判断例2 (1)设a<b，则函数y＝(a－x)(x－b)2的图象可能是 )
图1－2－1
第2讲│ 要点热点探究
1 (2)[2012· 课程标准卷] 已知函数f(x)＝，则y lnx＋1－x ＝f(x)的图象大致为( )
图1－2－2
第2讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ⇨ (推理)函数有两个零点，从函数零点的位置和性质考虑 ⇨ (结论)结合选项图象作出判断． (2)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ⇨ (推理)从函数的整体性质考虑，函数的定义域、值域、单调性 ⇨ (结论)结合选项图象作出判断．
即－1<x<0或0<x≤2.故选B.
第2讲│ 要点热点探究
(2)考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等解决．若当x为无理数时，x＋T也为无理数，则D(x＋T)＝D(x)；故D(x)是周期函数，故C错误；若x为有理数，则－x也为有理数，则D(－x)＝D(x)，若x 为无理数，则－x也为无理数，则D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，故B正确；结合函数的图象，A选项D(x)的值域为 {0,1}，正确；且D(x)不是单调函数也正确，所以C错误．
[答案] (1)B
(2)C
[解析] (1)f(10)＝lg10＝1，所以f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2，选B. (2)根据幂函数y＝x0.5的单调性可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得 log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库单选题1、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（）A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14)=n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54=94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(ba −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A4、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．5、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C8、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B． a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、下列说法中正确的是（） A ．若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1 B ．若-2<a <3，1b >0，m >0，则ma<mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 答案：AC分析：利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.对于A ，因c 2+1>0，于是有1c 2+1>0，而a >b ，由不等式性质得a c 2+1>bc 2+1，A 正确；对于B ，因为1b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以ma <mb ，C 正确；对于D ，−1>−2且−2>−3，而(−1)⋅(−2)<(−2)(−3)，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11、下列说法正确的是（）A ．若x >2，则函数y =x +1x−1的最小值为3B ．若x >0,y >0，3x +1y =5，则3x +4y 的最小值为5 C ．若x >0，则xx 2+1的最大值为12D ．若x >0,y >0,x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 答案：BC分析：利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.对于A 中，由x >2，可得函数y =x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)×1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1时，即x =2时等号成立，因为x >2，所以等号不成立，所以函数y =x +1x−1的最小值为不是3，所以A 不正确；对于B 中，由x >0,y >0，3x+1y=5，则3x +4y =15⋅(3x +4y)(3x+1y)=15×[13+(12y x+3x y)]≥15×(13+2√12y x×3x y)=5，当且仅当12y x=3x y时，即x =2y =1时，等号成立，所以3x +4y 的最小值为5，所以B 正确；对于C 中，由x >0，则x x 2+1=1x+1x因为x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x时，即x =1时，等号成立，所以x x 2+1的最大值为12，所以C 正确；对于D 中，由x >0,y >0，可得x +y +xy ≥2√xy +xy ，当且仅当x =y 时，等号成立，所以xy +2√xy ≤3，即xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)≤0，解得0<√xy ≤1，即0<xy ≤1，所以xy 的最大值为1，所以D 不正确. 故选：BC.12、已知正数a ，b 满足a +2b =1，则（） A ．ab 有最大值18B ．1a +2b 有最小值8 C ．1b+ba有最小值4D ．a 2+b 2有最小值15答案：ACD分析：A 由a ⋅2b ≤(a+2b 2)2即可确定ab 最大值；B 利用基本不等式“1”的代换有1a +2b =2b a+2a b+5即可求最小值；C 将a +2b =1代入，利用基本不等式即可求最小值；D 将a =1−2b 代入，结合二次函数的性质求最值. A ：a ⋅2b ≤(a+2b 2)2=14，则ab ≤18当且仅当a =12，b =14时取等号，正确；B ：1a +2b =(a +2b )(1a +2b )=2b a +2a b+5≥4+5=9，当且仅当a =b =13时取等号，错误；C ：1b +ba =a+2b b+ba =2+ab +ba ≥2+2=4，当且仅当a =b =13时取等号，正确；D ：a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15(0|b|B．ac>bc⇒a>bC．a 3>b3ab>0}⇒1a<1bD．a2>b2ab>0}⇒1a<1b答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A：∵1a <1b<0∴ab>0且−1a>−1b>0，因此−1a⋅ab>−1b⋅ab>0⋅ab，即−b>−a>0⇒|−b|>|−a|>0⇒|b|>|a|，故本命题不正确；B：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C：由a3>b3⇒a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)>0，而ab>0，所以有a>b，而1a −1b=b−aab<0⇒1a<1b，故本命题正确；D：若a=−2,b=−1，显然{a 2>b2ab>0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 填空题14、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2 b ≤4，0<1a+2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：415、若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵a >0,b >0， ∴1a +a b2+b ≥2√1a⋅a b2+b =2b+b ≥2√2b⋅b =2√2，当且仅当1a =a b2且2b=b ，即所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2. 所以答案是：2√2.16、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0， g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0，因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0，所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立，所以a +b 的最小值是√3．所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而a b ==可求得a +b 的最小值．解答题17、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1．答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0，当m =0时，−1<0，满足题意；当m ≠0时，则{m <0Δ=m 2+4m <0，解得：−4<m <0；综上所述：m 的取值范围为(−4,0]．（2）由f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1得mx 2−mx −1−mx 2+x 2−2x +2m +1<0，即x 2−(m +2)x +2m <0，即(x −m )(x −2)<0；当m <2时，解得：m <x <2；当m >2时，解得2<x <m ；当m =2时，解集为∅．综上所述：当m <2时，解集为(m,2)；当m >2时，解集为(2,m )；当m =2时，解集为∅． 18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0). （1）若不等式的解集是{x |x <−3或x >−2}，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值；（2）由题意得出{k <0Δ<0，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k >0Δ≤0，由此可解得实数k 的取值范围.（1）因为不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是{x |x <−3或x >−2}，所以，−3和−2是方程kx 2−2x +6k =0的两个实数根，且k <0，由韦达定理得(−3)+(−2)=2k，所以k =−25；（2）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是R ，所以{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66，因此，实数k 的取值范围是(−∞,−√66)；（3）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为∅，则不等式kx 2−2x +6k ≥0(k ≠0)对任意的x ∈R 恒成立，所以{k >0Δ=4−24k 2≤0，解得k ≥√66. 因此，实数k 的取值范围是[√66,+∞). 小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.。

2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例 1 (1)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值答案 C解析画出y ＝|f (x )|＝|2x－1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案 B解析由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a <e.规律方法 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝ln(x 2＋2)－ex －1的大致图象可能是( )答案 A解析当x →＋∞时，f (x )→－∞，故排除D ；函数f (x )的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f (0)＝ln2－e －1，由于ln2>ln e ＝12，e －1<12，所以f (0)＝ln2－e －1>0，故排除C.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x>0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断例2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．2 B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e答案 D解析当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x ≤0时，f ′(x )>0，故f (x )在(－1,0]上单调递增，所以x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e.又当x ≥1时，f (x )＝3－x ，当0<x <1时，f (x )＝x ＋1.作出f (x )的图象，如图所示．因为g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f (x )的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1<m <2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m <2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2 求参数的值或取值范围例3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0) 解析设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解，又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g (x )恰有两个不同的零点，即g (x )的图象与x 轴有两个交点．若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有两个零点，则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1，则当x >a 时，g (x )＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有一个零点，则当x >a 时，g (x )＝3－x 必有一个零点，即－3≤a <－1，综上所述，a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练 2 (1)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4答案 B解析作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案 CD解析当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8. 专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a等于( ) A.116B.19C.18D.16 答案 B解析方法一因为a log 34＝2，所以log 34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝14a ＝19.方法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调，f (2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0， f (3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )答案 A解析由题意知，当a >0时，函数f (x )＝2－ax 为减函数．若0<a <1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a >1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a∈(0,2)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a 4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( ) A ．60B ．63C ．66D ．69 答案 C解析因为I (t )＝K1＋e －0.23t －53，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353e t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1， ∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1 D ．a ≥2答案 A解析令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2020·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案 C解析 g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象，－2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g (x )在x <0时有且仅有一个零点，y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x，f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案 D解析作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0，解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0，解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32.二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22 D ．b －a >lg6答案 ACD解析由10a＝4,10b＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b －a ＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg 254<1，故B 错误，D 正确；ab ＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg 22，故C 正确．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，a >0，a ≠1，则( ) A ．函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1) B ．函数f (x )＋g (x )的图象关于y 轴对称 C ．函数f (x )＋g (x )在定义域上有最小值0 D ．函数f (x )－g (x )在区间(0,1)上是减函数答案 AB解析 ∵f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，a >0，a ≠1，∴f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1，故A 对；由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )，得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1<x <1，∴f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a >1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，故D 错．11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点答案 AB解析对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误．12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132答案 ACD解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax.若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案－3解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln2)＝e－a ln2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x >0的最小值为________．答案 2 2解析因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a 0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2；当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax≥2ax ·2ax＝22，当且仅当x ＝2a时，等号成立，综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析由题意知，当x <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈－1，0，|x ＋3|－1，x ∈－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．答案 [3,4]解析由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2，设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1，因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3. 方法一因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．。

高中函数与方程知识点+例题+练习含答案

教学过程(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练1】(1)(2014·合肥模拟)函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在区间________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．(2)(2012·北京卷改编)函数f(x)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________．考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．教学效果分析教学过程1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇【典例】(2013·安徽卷改编)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为________．[反思感悟] (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数之和．(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．【自主体验】(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为________．教学效果分析能力提升题组一、填空题1．(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12； ②(1,2) ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)． 2．(2013·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为________． 3．(2013·天津卷改编)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则g (a )，0，f (b )的大小关系为________．二、解答题4．(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．。

初中数学专题复习方程与函数(含答案)

专题复习1 方程与函数◆考点链接方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．◆典例精析【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子，动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止；•点Q 沿A→D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P 、Q •两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x （s ）后橡皮筋扫过的面积为y （cm 2）．（1）当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ 的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，•建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁．解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x ，AQ=x ，而y=12AP·AQ ．即y=x 2；（2）当S 四边形ABPQ =12S 正方形ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子，这时BP=2x －2，AQ=x ，12（2x －2+x ）×2=12×22．∴x=43；（3）当1≤x≤43时，AB=2，BP=2x －2，AQ=x ． ∴y=2AQ BP ×AB=3x －2，即y=3x －2．当43≤x≤2时，BP=2x －2，AQ=x ，过O 点作OE ⊥AB ，E 为垂足，这时OE=1，y=S 梯形BEOP +S 梯形OEAQ ．∴y=32x ，90°≤∠POQ≤180°；（4）作图略．评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，•并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，•其余树苗按原价的九折出售．（1）规定购买该树苗只能在甲、•乙两处中的一处购买，•设一次性购买x （•x •≥1000，则x 为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y 1元，写出y 1与x 之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y 2元，写出y 2与x 之间的函数关系式（均不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，•在哪一处购买所花的费用少？为什么？（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？解：（1）y 1=0.8×4x=3.2x ，即y 1=3.2x ；y 2=0.9×4（x －150），即y 2=3.6x －540．（2）当x=1 500时，y 1=3.2×1 500=4 800，y2=3.6×1 500－540=4 860，y1<y2．∴在甲处购买所花的费用少．（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，即w=0.4a+7 460．∵10002500 100025002500,aa≤≤⎧⎨≤-≤⎩∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．∵0.4>0，∴w随a增大而增大．∴当a=1 000时，w最小=7 860．2 500－1 000=1 500（株）．答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．探究实践【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x•轴与y轴上两种情形．解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）方程x 2－mx+m －2=0的根为由m 为整数，当（m －2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x 轴才可能交于整数点．设（m －2）2+4=n 2（其中n 为整数）．所以[n+（m －2）][n －（m －2）]=4．因为n+（m －2）与n －（m －2）的奇偶性相同，所以2222222 2.n m n m n m n m +-=+-=-⎧⎧⎨⎨-+=-+=-⎩⎩或解得m=2．经检验，m=2合题意．（3）当m=2时，抛物线y=x 2－2x ，顶点A （1，－1），与x 轴交点为O （0，0），B （2，0），•易知△AOB 为等腰直角三角形．∴M 1（1，0）为所求的点．若满足条件的点M 2在y 轴上时，设M 2（0，y ），作AN ⊥y 轴于N ．由M 2A=M 2B ，得（y+1）2+12=y 2+22，得y=1，∴M 2（0，1）也为所求的点．综上所述满足条件的M 点坐标为（1，0）或（0，1）．评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．◆中考演练一、填空题1．已知：反比例函数y=k x与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的横坐标是－4，•则k 的值是________．2．函数y=x 2+2（a+2）x+a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________．二、选择题1．点P （a ，b ）是直线y=－x+5与双曲线y=6x的一个交点，则以a 、b •为两实数根的一元二次方程是（）． A ．x 2－5x+6=0 B ．x 2+5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=02．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、解答题1．（济南）已知：抛物线y=－12x 2+（6x+m －3与x 轴有A 、B 两个交点，且A 、B •两点关于y 轴对称．（1）求m 的值；（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．2．已知c<0，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－4x的图象的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、•B，•且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．◆实战模拟一、填空题1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+•b不经过第______象限．2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）•及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3•和x2=_______．3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC•则m=________．二、选择题1．抛物线y=x 2－（2m －1）x －2m 与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），且12x x =1，则m •的值为（）． A ．－12 B ．0 C ．±12 D ．12 2．抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（）．A ．b －c －1=0B ．b+c+1=0C ．b －c+1=0D ．b+c －1=03．（武汉）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，•且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）．A ．（2，－3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）三、解答题1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，•使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，•请说明理由．2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），•与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，•求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案:中考演练一、1．－8 2．a>－1且a≠0二、1．A 2．A三、1．（1）m=6 （2）y=－12x 2+3，顶点（0，3）（3）方程－12x 2+（6x+m －3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等） 2．（1）=2x 2－4x －2 （2）易得m+n=－4，A （n m，0），B （0，n ），m=±2，所求一元二次方程为x 2+4x －12=0或x 2+4x+4=0实战模拟一、1．三 2．－3．3 3．±2二、1．D 2．B 3．C三、1．（1）点A （3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m ，m=1．设二次函数为y=a （x －1）2，4=a （3－1）2，a=1∴y=（x －1）2，即y=x 2－2x+1（2）设P 、E 两点的纵坐标分别为y P ，y E ，PE=h=y P －y E =（x+1）－（x 2－2x+1）=－x 2+3x即h=－x 2+3x （0<x<3）（3）∵PE=DC ，点D 在y=x+1上，∴点D 坐标为（1，2）∴－x 2+3x=2，解得x 1=2，x 2=1（舍去）∴当P 点坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形2．（1）y=－12x 2+12x+3 （2）直线AC 方程为y=32x+3，直线BC 方程为y=－x+3 （3）存在，设直线y=m 与y 轴交于点E （0，m ），易知0<m<3．①当PQ 为等腰Rt △PQR 的一腰时，作PR 1⊥x 轴于R 1（如图1），由△CPQ ∽△CAB ，315315915,,,(,),(,)5384888PQ EC m m m P Q AB OC -===-有易求得， ∴R 1（－34，0），作QR 2⊥x 轴于R 2，则R 2（98，0），• 经检验知R 1、R 2是满足条件的点．②当PQ 为等腰Rt △PQR 的底边时，取PQ 的中点S ，•过点S 作SR 3⊥PQ 于R 3（如图2），由△CPQ ∽△CAB ，有32315121518153,,,(,),(,),(53111111111111PQ EC m m m P Q R AB OC -===-即易得可得，0），经检验可知R 3合题意．。