第8章材料非线性问题的有限元法解读
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第7章 非线性有限元
——材料非线性问题
1. 材料非线性问题的求解方法 2. 塑性应力应变关系 3. 弹塑性矩阵的表达式 4. 弹塑性问题的求解方法 5. 弹塑性问题的实例计算
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
(x
xn
)＝0
它的解是
Δx
Y
( xn
)
/(
dY dx
)n；
xn1 xn＋Δxn1
这就是牛顿－拉斐逊方法的迭代公式。
牛顿－拉斐逊方法的迭代过程如图7.1(a)所示，它要求在每 次迭代时计算 Y '(x) dY (x) / dx ，因此计算工作量巨大。
修正的牛顿－拉斐逊方法 迭代公式是
Δx
Y
( xn
dY ＝dF
d d
KT
式中，KT是曲线F＝Kδ的斜率，代表切 线刚度。第二步，从B1点作曲线F＝Kδ 的切线交直线F＝R于A2点，取A2点的横 坐标是δ2。从图中看出
A1B1 /(2 1)＝(KT )1
由于 A1B1＝R F(1)；2 1 (Δ )2
得
A1B1＝(KT )（1 Δ）2＝R F(1)
f ({σ},{ε}) 0
(7.2)
必须注意，由于小变形的关系，应力形式的平衡方程仍然是线 性的，但是以结点位移列阵{δ} 表示的平衡方程则不再是线性的 了。因为应力{σ}和应变{ε} 之间是非线性的，从而应力{σ}与位 移{δ}之间也是非线性的；于是(7.1)式可以写成
K({δ}){δ}{R} 0
(7.3)
1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法
任何具有一阶导数的连续函数Y(x)，在xn点作一阶泰勒级数展开， 它在xn点的线性近似公式是
Y
(x)
Y
( xn
)
dY dx
n
(x
xn
)
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
Y (x)
Y
( xn
)
dY dx
n
[K]n1{}n {R}
迭代步骤 如图7.3。
(7.5) (7.6)
(2) 切线刚度法 设材料的应力应变关系表示为增量形式
d{} [DT ({})]d{}
就可以利用切线刚度法，[DT ({})] 是切线弹
性矩阵。把公式（7.1）改写成
{Y ({})} [B]T{σ}dV {R} 0 (7.7) 考虑由于增量d{δ}引起{Y}的变化。因为 {R}与{δ}无关，则
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K({}){}{ f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。
材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。
非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。
2 变刚度法 (1) 割线刚度法 如果材料的应力应变关系能够表示成如 下形式
{} [D{}]{}
于是由(1.2)式，上式可以写成
{} [D({})][B]{} [D({})][B]{}
把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得
[K({R})] [B]T[D({})][B]dV
把(7.3)式写成迭代公式
)
/(
dY dx
)
；
0
xn1 x＋Δxn1
在每次迭代时Y’(x)值是不变的，迭代过程如图7.1(b)所示。
牛顿－拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程
结构的平衡方程式为
K({δ}){δ}{R} 0
(7.4)
简单起见，考虑单自由度系统。设Y(δ)=K(δ)δ－R＝0，因为
K是δ的函数，即K＝K(δ)。令F(δ)＝Kδ，于是
把上式和(e)式比较可以看出，δ2就是位移的第二次近似。 如此不断重复，则得迭代公式如下
(KT )（n Δ）n1＝R F(n )；n1 n （Δ）n1
因此，图7.2(a) 就是求解 (7.3) 式 的图解表示。由于KT表示结构的切线 刚度，因而牛顿—拉斐逊方法也称为 切线刚度法。
同样，修正的牛顿－拉斐逊方法 可以用图7.2 (b) 表示。由于每次迭代 不改变它的刚度值，所以也称为等刚 度法。
Y ( ) F{δ}{R} 0
用牛顿－拉斐逊方法求非线性方程Y(δ)＝0的根，(7.1)式的 迭代公式可以写成
(
dY
d
)n
Δ n1
R
F
(
n
)；
n1 n＋Δ n1
(e)
我们来叙述牛顿—拉斐逊方法求解(7.3)式的图解表示。
在图7.2中，给出了牛顿—拉斐逊迭代方法。曲线F＝Kδ和 直线F＝R的交点A的横坐标是(7.3)式的精确解。迭代开始时按线 性理论求解位移δ1 作为第一次近似值，即图7.2a 中A1 点的横坐 标。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向，则有
d{Y ({})} [B]T d{σ}dV
( [B]T[DT ({})][B]dV )d{} [KT ]d{}
切线刚度矩阵
[KT ] [B]T[DT ({})][B]dV
利用牛顿—拉斐逊方法，得到迭代公式
[KT ]n { }n1 {Y}n
[B]T{σ}n dV {R}；{}n1 {}n {}n1
(7.8)
( 7.9)
3 初应力法
设材料的物理方程取为
{} f ({}) (7.10)
即由给定的应变值确定相应的应力值。上式可用具有初应力的
在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
对于材料非线性问题进行有限元分析，由于考虑的是小变形， 平衡方程和几何关系依然成立，即
[B]T{σ}dV {R}
(7.1)
{ε} [B]{δ}
但是物理方程是非线性的，可以写成如下的一般形式
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系．
但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。
——材料非线性问题
1. 材料非线性问题的求解方法 2. 塑性应力应变关系 3. 弹塑性矩阵的表达式 4. 弹塑性问题的求解方法 5. 弹塑性问题的实例计算
7.1 材料非线性问题的求解方法
前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹 性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与 应力的关系（本构方程）也是线性的。
(x
xn
)＝0
它的解是
Δx
Y
( xn
)
/(
dY dx
)n；
xn1 xn＋Δxn1
这就是牛顿－拉斐逊方法的迭代公式。
牛顿－拉斐逊方法的迭代过程如图7.1(a)所示，它要求在每 次迭代时计算 Y '(x) dY (x) / dx ，因此计算工作量巨大。
修正的牛顿－拉斐逊方法 迭代公式是
Δx
Y
( xn
dY ＝dF
d d
KT
式中，KT是曲线F＝Kδ的斜率，代表切 线刚度。第二步，从B1点作曲线F＝Kδ 的切线交直线F＝R于A2点，取A2点的横 坐标是δ2。从图中看出
A1B1 /(2 1)＝(KT )1
由于 A1B1＝R F(1)；2 1 (Δ )2
得
A1B1＝(KT )（1 Δ）2＝R F(1)
f ({σ},{ε}) 0
(7.2)
必须注意，由于小变形的关系，应力形式的平衡方程仍然是线 性的，但是以结点位移列阵{δ} 表示的平衡方程则不再是线性的 了。因为应力{σ}和应变{ε} 之间是非线性的，从而应力{σ}与位 移{δ}之间也是非线性的；于是(7.1)式可以写成
K({δ}){δ}{R} 0
(7.3)
1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法
任何具有一阶导数的连续函数Y(x)，在xn点作一阶泰勒级数展开， 它在xn点的线性近似公式是
Y
(x)
Y
( xn
)
dY dx
n
(x
xn
)
因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
Y (x)
Y
( xn
)
dY dx
n
[K]n1{}n {R}
迭代步骤 如图7.3。
(7.5) (7.6)
(2) 切线刚度法 设材料的应力应变关系表示为增量形式
d{} [DT ({})]d{}
就可以利用切线刚度法，[DT ({})] 是切线弹
性矩阵。把公式（7.1）改写成
{Y ({})} [B]T{σ}dV {R} 0 (7.7) 考虑由于增量d{δ}引起{Y}的变化。因为 {R}与{δ}无关，则
非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程
Ψ ( ) K({}){}{ f } 0
即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。
材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表 现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应 力应变关系。
非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。 加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在 于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸 载过程两者有完全不同的路径。
2 变刚度法 (1) 割线刚度法 如果材料的应力应变关系能够表示成如 下形式
{} [D{}]{}
于是由(1.2)式，上式可以写成
{} [D({})][B]{} [D({})][B]{}
把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得
[K({R})] [B]T[D({})][B]dV
把(7.3)式写成迭代公式
)
/(
dY dx
)
；
0
xn1 x＋Δxn1
在每次迭代时Y’(x)值是不变的，迭代过程如图7.1(b)所示。
牛顿－拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程
结构的平衡方程式为
K({δ}){δ}{R} 0
(7.4)
简单起见，考虑单自由度系统。设Y(δ)=K(δ)δ－R＝0，因为
K是δ的函数，即K＝K(δ)。令F(δ)＝Kδ，于是
把上式和(e)式比较可以看出，δ2就是位移的第二次近似。 如此不断重复，则得迭代公式如下
(KT )（n Δ）n1＝R F(n )；n1 n （Δ）n1
因此，图7.2(a) 就是求解 (7.3) 式 的图解表示。由于KT表示结构的切线 刚度，因而牛顿—拉斐逊方法也称为 切线刚度法。
同样，修正的牛顿－拉斐逊方法 可以用图7.2 (b) 表示。由于每次迭代 不改变它的刚度值，所以也称为等刚 度法。
Y ( ) F{δ}{R} 0
用牛顿－拉斐逊方法求非线性方程Y(δ)＝0的根，(7.1)式的 迭代公式可以写成
(
dY
d
)n
Δ n1
R
F
(
n
)；
n1 n＋Δ n1
(e)
我们来叙述牛顿—拉斐逊方法求解(7.3)式的图解表示。
在图7.2中，给出了牛顿—拉斐逊迭代方法。曲线F＝Kδ和 直线F＝R的交点A的横坐标是(7.3)式的精确解。迭代开始时按线 性理论求解位移δ1 作为第一次近似值，即图7.2a 中A1 点的横坐 标。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向，则有
d{Y ({})} [B]T d{σ}dV
( [B]T[DT ({})][B]dV )d{} [KT ]d{}
切线刚度矩阵
[KT ] [B]T[DT ({})][B]dV
利用牛顿—拉斐逊方法，得到迭代公式
[KT ]n { }n1 {Y}n
[B]T{σ}n dV {R}；{}n1 {}n {}n1
(7.8)
( 7.9)
3 初应力法
设材料的物理方程取为
{} f ({}) (7.10)
即由给定的应变值确定相应的应力值。上式可用具有初应力的
在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变形随时 间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、 粘弹塑性问题、徐变问题。
对于材料非线性问题进行有限元分析，由于考虑的是小变形， 平衡方程和几何关系依然成立，即
[B]T{σ}dV {R}
(7.1)
{ε} [B]{δ}
但是物理方程是非线性的，可以写成如下的一般形式
1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的； 2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的； 3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系．
但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不 满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称 为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。