北师大版八上数学-平方根
北师大版八年级数学上册2.2.1《平方根》教案
举例：
-难点解释：对于负数没有平方根的概念，可以通过数轴上的点来解释，正数的平方根在数轴上对称，而负数没有对应的正数平方根。
-计算方法：以√9为例，讲解如何通过试错法或近似法（如牛顿迭代法）来估算平方根，强调计算过程的逐步精确。
4.应用平方根解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解平方根的定义，形成对数学概念的本质认识，培养数学抽象素养。
2.通过对平方根性质的探究，提高逻辑推理能力和数学运算能力，发展数学逻辑思维。
3.学会运用平方根解决实际问题，培养数学建模素养，增强数学应用意识。
4.在探索平方根的过程中，增强数据分析能力，学会从数学角度发现问题和提出问题，培养数学探究素养。
首先，我发现在导入新课的环节，虽然我试图通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，但可能由于例子不够贴近他们的实际经验，部分学生显得不够投入。下次我可以尝试寻找更贴近学生生活的例子，或者让学生自己分享他们在哪里见过平方根，以提高他们的参与度。
在理论介绍环节，我讲解了平方根的定义和性质，但可能讲解得太快，导致一些学生跟不上。我应该在讲解时更加注意语速，并在关键点处暂停，让学生有时间消化和理解。此外，我可以通过提问的方式检查学生的理解程度，确保他们能够跟上课程的进度。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得比较积极，但我也注意到有些小组在讨论时偏离了主题。未来，我应该在分组讨论时提供更明确的指导，确保每个小组都能围绕核心知识点进行深入的探讨。
对于教学难点，比如负数没有平方根的概念，我尝试通过数轴来解释，但效果似乎并不理想。我考虑在下次课中引入更多的图形和实际操作，如使用卡片或教具来直观展示正数平方根的对称性，从而帮助学生更好地理解负数平方根的不存在。
北师大版数学八年级上册2《平方根》教案4
北师大版数学八年级上册2《平方根》教案4一. 教材分析《平方根》是北师大版数学八年级上册第2章的一节内容。
本节主要让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根在实际生活中的应用。
通过学习本节内容，学生能进一步理解数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。
但是，对于平方根的概念和求法，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际应用，帮助学生理解和掌握平方根的相关知识。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.能够运用平方根解决实际问题，提高数学应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念。
2.求一个数的平方根的方法。
3.平方根在实际生活中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过具体的问题和实例，引导学生探究平方根的概念和求法，再通过小组合作交流，巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题和实例。
2.准备课件和教学素材。
3.准备小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如果一个正方形的边长是4厘米，那么它的面积是多少？引导学生思考如何求解这个问题，进而引出平方根的概念。
2.呈现（15分钟）讲解平方根的概念，并通过具体的例子让学生理解平方根的意义。
例如，求16的平方根，可以引导学生思考：什么数乘以自己等于16？学生可以通过试错法，找到16的平方根是4。
同时，讲解负数的平方根，以及无理数和有理数平方根的区别。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些求平方根的练习题，巩固所学知识。
可以设置一些层次性的题目，让学生根据自己的能力选择练习。
4.巩固（5分钟）通过小组合作学习，让学生讨论并总结求一个数的平方根的方法。
每个小组分享自己的心得，大家共同总结出求平方根的步骤。
北师大版数学八年级上册 平方根
0
.
如何用字母表示你所发现的规律呢？
归纳总结
a2 (a≥0) 的性质：
一般地， a2 ＝ a (a ≥0).
思考：当 a＜0 时， a2 = ？
例3 化简：
(1) 16 ；
(2) (5)2 .
你还有其 它算法吗？
解：(1) 16 42 4. (2) (5)2 25 5.
(5)2 52 5.
填一填(2)
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
-88
3
4
-43
-1111
0.6
？ ？ ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
x2 ？64
9 ？16
121 0.36
0 -4
概念学习
平方根的定义： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即
x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二 次方根）.
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
想一想：本小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： (ab)2 = a2b2
思考2：根据前面得出的性质填一填，
并说明理由．
22 =
2
；
0.12 = 0.1 ；
2 3
2
=
2 3 ； 02 =
第二章 实数
2.2 平方根
第2课时 平方根
1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a，则这个数叫做 a 的
算术平方根，表示为 a(a≥0) .
2. 我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算
的是什么？ 答：已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 其中加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考：乘方有没有逆运算？
北师大版八年级数学上册教案《平方根》北师大)
《平方根》平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，引导学生建立清晰的概念系统，有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中。
【知识与能力目标】1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。
3表示的是非负数a 的平方根。
【过程与方法目标】1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系。
【情感态度价值观目标】进一步感受到所学数学知识之间的内在联系。
【教学重点】平方根和算术平方根的概念和求法.【教学难点】弄清平方根与算术平方根的意义有两个边长为1的正方形，剪刀。
一、创设情境我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根。
二、探索新知（1）计算:42，(－4)2； 23()5，23()5；(10)2，(-10)202（2）如果x 2=16，则x 等于多少？因为42=16所以x=4；又因为(－4)2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16。
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。
就是说，如果x 2=a,那么x 就叫做a 的平方根。
比如100的平方根是10与－10。
北师大版八年级平方根的说课稿
北师大版八年级平方根的说课稿北师大版八年级平方根的说课稿【篇1】一、说教材《算术平方根》是人教版七年级数学第六章实数的第一节内容。
本节课学习第一个课时----算术平方根，是学习实数的准备知识，为学习二次根式作铺垫，提供知识积累。
二、说教学目标结合着七年级学生的认知结构及其心理特征，我制定了以下的教学目标：1.让学生理解算术平方根的概念，正确的读写有关算术平方根的式子，会用平方运算求完全平方数的算术平方根。
2.让学生经历从实际例子归纳出算术平方根概念的过程，理解概念的本质。
三、说教学的重难点教学重点：算术平方根的概念教学难点：掌握算术平方根的概念和性质、能正确求出完全平方数的算术平方根及利用双重非负性解决问题四、说学情1、学生现有基础：学生在上学期时已学过了乘方的运算，有助于本节的学习活动。
2、学习的现状：此阶段的学生对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法。
五、说教法与学法教法：以前学生虽然学过乘方运算，但由于间隔时间过长，他们会有不同程度的遗忘，甚至有些概念已没了印象，同时也为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，结合本课特点，我采取以下教学方法：（1）情境教学法：（2）对比教学法：把二次方与算术平方根的概念，计算过程等对比起来进行教学，降低了学生的学习难度。
学法：小组交流合作法和自主学习法，把过程还给学生，让过程与结果并重。
六、教学程序：本节课的主要流程为：预习新知、激趣引入→新知探究、合作交流→巩固练习、强化认识（一）、预习新知、激趣引入由画布问题引出算术平方根的概念：如果一个正数的平方等于a，即2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
这样的设计，其目的是通过表格填空，与正数的平方比较引出算术平方根的概念，沟通二者之间的关系，培养学生的逆向思维能力。
（二）、新知探究合作交流这一环节是整节课的`重点环节，引导学生对算术平方根的概念和性质进行了探究，在此基础上掌握a的算术平方根的表示方法及被开方数a的限制。
北师大版数学八年级上册《算术平方根》教案1
北师大版数学八年级上册《算术平方根》教案1一. 教材分析《算术平方根》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要介绍了算术平方根的概念、性质和运算方法。
通过学习本章，学生能够理解算术平方根的定义，掌握求算术平方根的方法，并能够运用算术平方根解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章之前，已经掌握了实数的概念和运算方法，具备了一定的数学基础。
但是，对于算术平方根的概念和运算方法可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解算术平方根的定义，掌握求算术平方根的方法，并能够运用算术平方根解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、思考、交流等方式，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够对数学产生兴趣，培养积极的学习态度，增强自信心。
四. 教学重难点1.重点：算术平方根的定义和求法。
2.难点：算术平方根在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，培养解决问题的能力。
2.启发式教学法：通过提问和引导，激发学生的思维，引导学生主动探索和发现。
3.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的实例和实际问题，用于引发学生的兴趣和思考。
2.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量物体长度、计算土地面积等，引发学生的兴趣和思考，引出算术平方根的概念。
2.呈现（15分钟）教师通过讲解和展示，介绍算术平方根的定义和性质，让学生初步了解和认识算术平方根。
3.操练（15分钟）教师给出一些算术平方根的题目，学生独立完成，教师进行个别指导和讲解。
通过反复练习，让学生掌握求算术平方根的方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，学生运用算术平方根的知识解决。
通过解决实际问题，巩固学生对算术平方根的理解和掌握。
统编北师大版八年级数学上册优质课件 第1课时 算术平方根
课后作业
布置作业：教材P27 习题2.3 1、2、3题。 完成练习册中本课时的习题。
1. 求下列各数的算术平方根：
36, 9 ,17, 0.81,104. 16
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5.求AB的长.
一、填空题.
1.若一个数的算术平方根是 5 ，则这个数是 .
4
2. 9 的算方为 144 ，1 7 算术平方根为
.
25 9
x2= ，y2= ， z2= ，w2= 。
x、y、z、w中哪些是有理数？
哪些是无理数？
因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，
5，所以x、y、z不是有理数，而是无理数， 即 x 2， y 3， w 5 . 因为22=4.所以z=2，是有理数.
结论
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这
个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ a ”，
4. (-1.44)2的算术平方根为
.
二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
（1）（7.4）2；（2）（- 3.9）2；（3）3.25；（4）2 1 . 4
三、自由下落的物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的 关系为h=4.9t2有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，
到达地面需要多长时间？
读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.
特别地，规定0的算术平方根是0， 0 =0.
例1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）49 ；（4）14.
64
在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤 采取语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大 家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根 是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.
北师大版八年级上册数学平方根及算数平方根经典讲义
第二讲 平方根及算数平方根【考纲要求】掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法；2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】（一）什么是平方根？【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长．★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值．概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方=2536,所以2536的平方根是建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根.211= , 212= ,213= ,214= ,215= ,216= , 217= ,218= ,219= ,220= ,（二）平方根有什么性质呢?【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1归纳平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。
（三）一个非负数a 的平方根的表示法．一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．（四）求一个数的平方根——开平方运算求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根：0.0001； 179； （–16）2，， 144121， 15， 0.64， 410-， 0)65(．解答：★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．另外，需注意（1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数．（2）注意区分(–a )2与–a 2（a ≠0），(–a )2的平方根是±a ，而–a 2是一个负数，它没有平方根．【例4】针对训练：（1）4的平方根是（ ）A ． 2B ．16C ．2±D ．±16（2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根．(A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ．（五）什么是算术平方根？正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根【例5】下列说法正确的是（ ）．（A ）91-的算术平方根是31 （B ）91-的平方根是31-（C ）91的算术平方根是31- （D ）91的平方根是31±★反思与小结：对于平方根和算术平方根的理解误区有两个，其一是认为任何数都有平方根；其二是将平方根和算术平方根混淆，实际上平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有1个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数．【举一反三】求下列各数的算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 971．（4）81 (六)针对练习:【例6】(1)求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：(2)一个自然数算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a +B ．21a +C ．21a +D ．1a +（3）化简：16＝ ． （4）（2017黔西南州）的平方根是 ．★反思与小结：弄清上面各式的意义： a （a >0）表示a 的算术平方根，而–a （a >0）表示a 的负的平方根，±a 则为正数a 的两个平方根。
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 2.2 平方根 课件(共28张PPT)
（1）算术平方根的概念，式子 a 中的双
重非负性：一是a≥0， 二是 a ≥0． 〔2〕算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数；
0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根．
〔3〕求一个正数的算术平方根的运算与平 方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关 系求非负数的算术平方根．
大
开
1、假设x 34y 23 z0 ，
二、求以下各数的算术平方根：
36，114241 ，15，0.64， 10，4
2，25
．( 5 ) 0
6
解:(1) 因为62=36,所以36的算术平方根是6,即 36 6 ;
(2) 因为 (11)2 121 ,所以 121 的算术平方根是 11 ,
12 144
144
12
即 121 11 ; 144 12
( 12的) 2算术平方根是
1
，2
的4 2 算术平方根是
2，
重要结论： 1、正数有一个算术平方根 2、0的算术平方根是0 3、负数没有算术平方根 4、算术平方根等于它本身的数是0或1
5、
练一练：1、填空：
（1） 方根是
的平方等于 1.96，所以 1.96 的算术平 ；
（2）36 的算术平方根是 ； 9 的算术平方根是 ； 16
49 〔1〕900；〔2〕1；〔3〕64 ；〔4〕14．
解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30, 即 900 30 ;
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 1 1
(3)因为 (7 )2 49 ,所以 49 的算术平方根
8 64
64
是
7 8,
即
49 64
7
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第2章第2节的内容。
本节主要让学生了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根的性质。
通过学习本节内容，为学生进一步学习立方根、四次方根等概念打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。
但是，平方根的概念和求法对学生来说是一个新的内容，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对平方根的性质有一定的困惑，需要通过大量的练习和讲解来加深理解。
三. 教学目标1.了解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.理解平方根的性质，能够运用平方根的概念和性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.平方根的概念和求法。
2.平方根的性质和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探索和发现来学习平方根的概念和性质。
2.使用实例和练习，让学生通过动手操作和思考来掌握求一个数的平方根的方法。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在小组内共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“你们知道什么是乘方吗？乘方和平方有什么关系？”引导学生回顾乘方的概念，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.教师通过PPT展示平方根的定义，解释平方根的概念。
2.教师用实例来讲解如何求一个数的平方根，如求9的平方根。
操练（10分钟）1.学生独立完成练习题，求出指定数的平方根。
2.教师选取部分学生的作业进行点评和讲解。
巩固（10分钟）1.学生分组讨论，总结平方根的性质。
2.各小组汇报讨论结果，教师进行点评和讲解。
拓展（10分钟）1.教师提出一些实际问题，让学生运用平方根的概念和性质来解决。
2.学生独立思考和解决问题，教师进行指导。
小结（5分钟）教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结平方根的概念和性质。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
北师大初中数学 八年级上册第二章《2.2平方根》教案
北师大版数学八年级上册《平方根（1）》教案教学目标：1.知道数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.掌握算术平方根的性质.教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．教学难点对算术平方根的概念和性质的理解．教法与学法：讲练结合、自主学习、小组合作、交流展示。
课前准备教具：教材，多媒体课件，电脑．学具：教材，笔，练习本．教学过程设计本课时设计七个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：达标检测；第七环节：作业布置． 本节课教学流程为：一、 创设情境，复习引入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在22=a 中，2是有理数，而a 是无理数.在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.二、 合作探究, 交流展示师：请同学们回答勾股定理.的内容.生：勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.师：下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空. 根据下图填空并回答问题.2x =_________2y =_________2z =_________2w =_________问题情境 初步探究 反馈练习学习小结 检测反馈深入探究 作业布置（5,4,3,22222====w z y x .）（1）x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？为什么？（学习小组内讨论）（x ，y ，w 是无理数，z 是有理数.因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x ，y , z 不是有理数，而22=4，所以z =2.）（2）大家能不能把上图中的x ，y ，z ，w 表示出来呢？请大家仔细看书后回答.学生阅读38页算术平方根的定义，并让试着表示x ，y ，z ，w（x =2,y =3,z =4,w =5）师板书：若一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.设计意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二。
北师大版数学八年级上册《平方根》说课稿2
北师大版数学八年级上册《平方根》说课稿2一. 教材分析北师大版数学八年级上册《平方根》这一节的内容，主要介绍了平方根的概念和性质，以及如何求一个数的平方根。
平方根是实数范围内的一种特殊运算，它在数学中有着广泛的应用。
本节课的内容是学生学习实数系统的基石，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和性质有一定的了解。
但是，平方根的概念和性质与乘方有所不同，需要学生进行一定的转换和拓展。
此外，学生对于实数的概念和性质还不够熟悉，需要在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方根的概念，掌握平方根的性质，能够熟练地求一个正数的平方根。
2.过程与方法：通过探究平方根的概念和性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3.情感态度价值观：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：平方根的概念和性质，求一个正数的平方根。
2.难点：平方根的性质的理解和应用，对于特殊情况的处理。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生主动探究平方根的概念和性质。
2.教学手段：利用多媒体课件，生动形象地展示平方根的概念和性质。
六.说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘方，引导学生思考乘方与平方根的关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍平方根的概念，引导学生通过实例探究平方根的性质。
3.知识讲解：讲解平方根的概念和性质，引导学生进行思考和讨论。
4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展。
5.总结与反思：让学生总结平方根的概念和性质，反思自己在学习过程中的优点和不足。
七.说板书设计板书设计如下：概念：…性质：…求法：…八.说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。
对于学生在课堂上的积极参与、思考和提问，给予肯定和鼓励；对于作业和练习题的完成情况，要及时给予反馈和指导。
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.2《平方根》教学设计一. 教材分析《平方根》是北师大版八年级数学上册第二章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、算术平方根的基础上，进一步引导学生探索平方根的概念，理解平方根与算术平方根的联系和区别，以及掌握平方根的运算方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于有理数的乘方、算术平方根等概念有一定的了解。
但是，学生对于平方根的理解可能会存在一定的困难，因此需要通过实例来帮助学生直观地理解平方根的概念。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握平方根的运算方法。
2.能够运用平方根的概念解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：平方根的概念，平方根的运算方法。
2.难点：平方根与算术平方根的联系和区别。
五. 教学方法采用讲授法、引导发现法、实践操作法、小组合作交流法等，结合多媒体教学手段，以学生为主体，教师为指导，引导学生自主探索、合作交流，从而达到理解平方根的概念，掌握平方根的运算方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作平方根的教学课件，包括平方根的定义、例题、练习等。
2.教学素材：准备一些有关平方根的实际问题，以及一些关于平方根的图片素材。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如：“一个正方形的边长是6厘米，求它的面积。
”让学生思考如何求解这个问题。
2.呈现（10分钟）引导学生回顾算术平方根的定义，然后给出平方根的定义：“一个非负数x的平方根是另一个非负数y，使得y²=x。
”接着，通过PPT展示一些平方根的例子，让学生观察、思考，加深对平方根的理解。
3.操练（10分钟）让学生自主完成一些关于平方根的练习题，如：求下列各数的平方根：（1）4；（2）-4；（3）9；（4）-9。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结平方根的运算方法，以及平方根与算术平方根的联系和区别。
北师大 初中数学八年级上册第二章《2.2平方根》教案
北师大版数学八年级上册《平方根（第2课时）》教案一、本节课的教学目标是 ①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系． ②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．二、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．第一环节 复习旧知 引入新知内容:方法一 复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________．展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____．方法二 复习引入问题 平方等于9，254，49的数还有吗？目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果．说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节 : 新课学习内容 （一）探究新知填空32=(9 )(－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14)()214= (不存在)2=－4 (12-)2=(14) （二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根．表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 记作 a ±．例如:(±4)2=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ．目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节 例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11 解 （1）()2648=±Q ，648∴±的平方根是，648±=±即；（2）()24949771211211111,=∴±±Q 的平方根为，49712111±=±即；（3）()20.0004,0.00040.020.02=∴±±Q 的平方根是，0.00040.02±=±即；（4）()()()22,25252525=∴±±--Q 2的平方根是， ()22525=±-即； （5）1111Q 的平方根是目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数． （二）思考提升1．()25-的平方根是 ，81_____，49的平方根是_____； 2．264= ，()25=- ，64= ，0.04=_______； 32a = ，20a a ≥=当时， ．（三）巩固练习1 ．下列说法正确的是 ①381-是的平方根；②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．(A) a +1 (B)1a + (C) 2a +1 (D)21a +4．x 为何值，2x -有意义？答 因为02x -≥，所以0x ≤ 目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．第四环节 课堂小结内容 引导学生总结本课时的知识、方法．目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念 若2x a =，则x 叫a 的平方根，x a =平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节 提高训练内容 1.511a ，511-b ，求a b +的值．2．已知实数a ，b 满足2496b a b +-=①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积．目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节 作业布置习题2．４。
北师大版八年级数学上册《平方根(2)》课件
▪不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 ▪正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 ▪书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
3．正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根____，另a一个是______， 它－们互a 为_________．相合反起数来记作“_________”±，读a作“正、负根号 a”． 4 ． 求 一 个 数 a 的 平 方 根 的 运 算 ， 叫 做 ___开__平__方____ ． a 叫 做 ___被__开__方__数____
1．(2 分)(2014·鞍山)4 的平方根是(
A．2
B．±2
C. 2
2．(2 分)下列说法中正确的是( C
A．4 是 8 的算术平方根
B．16 的平方根是 4
C. 6是 6 的平方根
D．－a 没有平方根
B) D．± 2
)
3．(2 分)如果 a(a＞0)的平方根是±m，那么( D )
A．a2＝±m
谢谢观赏
You made my day平方根
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a
的___平__方__根___(也叫二次方根)．
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例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时 间t（秒）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多 长时间？
解:将h=19.6代入公式
h = 4.9t2,
得 t2=4,所以t = 4 =2(秒).
即铁球到达地面需要2秒.
式子
a 的两层含义:
a ≥0 .
(1) a≥0 ;
即
121 11 ; 144 12
(3) 15的算术平方根是 15 ; (4) 因为0.82=0.64 ,所以0.64的算术平方根是0.8 , 即 0.64 0.8 ; 2 2 4 (5) 因为 (10 ) 10 ,所以10-4的算术平方根是10-2 , 即 10 4 10 2 ; (6) 因为 225 15 ,所以 225 的算术平方根是 15 ;
解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30, 即 900 30 ; (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 1 1 ;
49 7 49 7 ( )2 (3)因为 ,所以 64 的算术平方根是 , 8 8 64
即
49 7 64 8 ;
(4)14的算术平方根是 14 .
4
5
已知x2=2，你能 求出x吗？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平 方根，记为“ ”，读作“根号 a ”． 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即
0 0 ．
例1 求下列各数的算术平方根：
49 （1）900；（2）1；（3） ；（4）14． 64
5 0 5 0 (7) 因为 ( ) 1, 所以 ( ) 的算术平方根是1. 6 6
二、填空题： 1．若一个数的算术平方根 是 7 ，那么这个数是 7 ； 2． 9 的算术平方根是
2 2 ( 3． ) 的算术平方根是 3
3
2 3
(m 2) 2 =
； ；
4．若 m 2 2 ，则
16
．
北师大版数学八年级上册
第二章 实数
2.平方根(一)
郓城第一初级中学 初二数学组
如图所示,右边的大正方形是由左边的两个 小正方形剪拼成的,请表示a2= 2 .
1
1
a
1
1
a
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
E w
A 1 O 1 x B z y 1 1
x2=
2
3
，
D
1 C
y2=
z2= w2=
，
， ．
5.5 4.5
2
2
10 (米).
所以帐篷支撑竿的高是
米.
B
C
（1）算术平方根的概念，式子 a 中的双 重非负性： 一是a≥0， 二是 a ≥0． （2）算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数； 0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根． （3）求一个正数的算术平方根的运算与平 方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关 系求非负数的算术平方根．
(2)
例3 如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积 为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面 积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的 E 长和宽． A D 解：设正方形ABFE的边长为a, 有 a2 = 144 , 所以 a = 144 =12, 所以 AB = AE =EF=CD= 12. 又因为 S正方形ABFE=2S长方形CDEF , B C F 设FC=x , 所以 144=2×12x , x=6. 所以BC=BF+FC=12+6=18(cm). 所以长方形的长为18cm,宽为12cm.
三、如图，从帐篷支撑 竿AB的顶部A向地面拉 一根绳子AC固定帐 篷．若绳子的长度为5.5 米，地面固定点C到帐 篷支撑竿底部B的距离 是4.5米，则帐篷支撑竿 的高是多少米？
A
解:由题意得 AC=5.5米, BC=4.5米, ∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理 得 AB AC 2 BC 2
非平方数的算术平方根只能用根号表示
如图所示,右边的大正方形是由左边的两个 小正方形剪拼成的,请表示a= 2 .
1
1
a
1
1
a
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： E w A z y 1 D y2=3，y =
3 ;
x2=2，x=
2 ;
1
O 1
x
B
1 C
1
z2=4，z = 2 ;
w2=5,w =
5 .
一、求下列各数的算术平方根：
5 0 121 4 36， ，15，0.64，10 ， 225 ， ( 6 )． 144
解:(1) 因为62=36,所以36的算术平方根是6,即
36 6 ;
11 121 121 11 (2) 因为 ( ) 2 ,所以 的算术平方根是 , 144 12 144 12
习题2.3