相互独立事件精品教案
关于两个事件相互独立性的教学设计
关于两个事件相互独立性的教学设计
一、教学目标：
1. 了解并理解两个事件相互独立性的概念；
2. 能够判断两个事件是否相互独立；
3. 能够应用相互独立性的概念解决实际问题。
三、教学步骤：
步骤一：概念讲解（20分钟）
1. 教师引导学生思考并回顾事件的概念。
2. 教师出示两个骰子，并扔出一个骰子，让学生预测掷出的点数。
3. 教师解释事件A为第一个骰子的点数为奇数，事件B为第二个骰子的点数为偶数。
4. 教师解释相互独立性的概念：事件A的发生与事件B的发生互不影响。
5. 教师让学生思考事件A和事件B是否相互独立，并引导学生得出结论：事件A和事件B相互独立。
步骤二：判断练习（30分钟）
1. 教师出示几个判断题，让学生判断两个事件是否相互独立，并解释他们的判断依据。
2. 学生进行小组讨论，然后展示自己的判断结果，通过班内讨论来确认正确答案。
3. 教师对学生的回答进行点评，并解释正确答案。
步骤三：应用问题解决（30分钟）
1. 教师提供一些实际问题，引导学生应用相互独立性的概念解决问题。
例如：有两个红球和两个蓝球，每次从中随机取出一个球，不放回，求第一个球是红球第二个球是蓝球的概率。
2. 学生在小组内进行讨论和解答，然后展示自己的解答过程。
3. 教师对学生的解答进行点评，并给出正确的解答。
四、教学评价：
1. 教师观察学生在概念讲解、判断练习和应用问题解决中的参与情况和表现。
2. 学生通过小组讨论和展示，检验和评价自己和他人的回答。
3. 教师对学生的回答和解答进行点评和评价，给予及时的反馈。
事件的独立性教案5篇范文
事件的独立性教案5篇范文第一篇：事件的独立性教案事件的相互独立性数学与统计学学院芮丽娟2009212085一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）；（2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B)2、过程与方法：通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力3、情感态度与价值观: 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式三、教学设想：1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。
则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。
而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)2、基本概念：独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。
问：A，B，C中哪两个相互独立？分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而C事件要求抛掷的两次结果相同，当第一枚为正面时此时第二枚也必须为正，显然有影响，故不独立。
高中数学选修2-3精品教案5：2.2.2 事件的相互独立性教学设计
2．2.2 事件的相互独立性三维目标1.知识与技能(1)理解相互独立事件的定义及意义．(2)掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．重点、难点重点：相互独立事件的概率．难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．教学时引导学生结合学习过的互斥事件、对立事件，不断比较、分析理解相互独立事件．再通过例题与练习进一步理解P(AB)＝P(A)P(B)．教学建议在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念，初学者容易混淆，建议教师在教学中要让学生对这两个概念进行比较，让学生在比较中得到提高．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解相互独立事件的概率．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握事件独立性的判断．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求相互独立事件同时发生的概率．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握相互独立事件的实际应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1．理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式．3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.知识1相互独立事件的概念与性质【问题导思】甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．(1)事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？(2)试求P (A )，P (B )，P (AB )．(3)P (B |A )与P (B )相等吗？(4)P (AB )与P (A )P (B )相等吗？【提示】 (1)不影响；(2)P (A )＝35， P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310； (3)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12， ∴P (B |A )＝P (B )；(4)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )， ∴P (AB )＝P (A )P (B )．1．相互独立的概念设A 、B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 类型1事件独立性的判断例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断．解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16. ∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．规律方法1．利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．变式训练一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球． 解 (1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23， ∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件． 类型2 相互独立事件发生的概率例2 面对H7N9流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【思路探究】 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值解 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13. (1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160. (2)他们都失败即事件A B C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)(1－14)(1－13) ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35. 规律方法在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .互动探究在例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率；(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪A B C ∪A B C )，故所求事件的概率为P ＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))P (C )＋(1－P (A ))·P (B )(1－P (C ))＋P (A )(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13) ＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝15＋215＋110＝1330. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )发生，故所求事件的概率为P (A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋215＋15＝56. 类型3 相互独立事件的实际应用例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【思路探究】 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值． 解 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D E F ，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P 1＝P (D E F ＋D E F ＋D E F )＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F ，且P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P 2＝1－P 1－P (D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.规律方法1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．变式训练有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验，求恰有一件不合格的概率．解 设从三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95,则P (A )＝0.10，P (B )＝P (C )＝0.05.因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率为0.176.间接法在相互独立事件概率中的应用典例 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【思路点拨】 本题可以从反面：甲、乙两人考试均不合格来考虑．【规范解答】 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A ，B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415， 且事件A ，B 相互独立．甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－23)(1－1415)＝145.故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 思维启迪求解此类问题的思路一般有两种：1．直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率，采用的是“各个击破”的方针．2．间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．课堂小结1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件 互斥事件 判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发 生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即AB ＝∅ 概率公式 A 与B 相互独立等价于P (AB )＝ P (A )·P (B ) 若A 与B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋ P (B )，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )·P (B )，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积． 当堂检测1．若事件A 与B 相互独立，则下列不相互独立的事件为( )A ．A 与B B.A 与BC ．B 与BD ．B 与A【解析】 由相互独立性质知A 与B ，A 与B ，B 与A 也相互独立．【答案】 C2．若事件E 、F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )＝( ) A ．0 B.116 C.14 D.12【解析】 ∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116. 【答案】 B3．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．【解析】 P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.【答案】49 504．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中任取两件．(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件是正品的概率是多少？解分别用A、B表示从甲、乙机床的产品中抽得正品，C表示抽取的两件产品中恰有一件是正品，则C＝A B＋A B.由题意知，A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件．(1)P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)P(C)＝P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝0.96×(1－0.95)＋(1－0.96)×0.95＝0.086.。
关于两个事件相互独立性的教学设计
关于两个事件相互独立性的教学设计1. 引言1.1 引言在教学设计中，关于两个事件相互独立性的理解和运用是非常重要的。
了解这个概念可以帮助我们更好地设计教学活动，使学生在学习过程中获得更好的效果。
在教育教学中，我们经常需要考虑到不同事件之间的关系，尤其是在设计教学活动时。
两个事件的相互独立性指的是一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，它们之间没有任何因果关系。
这种概念在教学设计中是非常重要的，因为只有当我们能够确保事件之间的独立性的时候，我们才能够更好地控制教学活动的进程，确保学生能够有效地学习。
在本文中，我们将深入探讨两个事件的定义、相互独立事件的概念、独立事件的性质以及独立事件的性质在教学设计中的应用。
我们还将通过案例分析来展示如何在实际的教学活动中运用这些概念。
希望通过本文的学习，读者能够更好地理解和运用两个事件相互独立性的概念，在教学设计中取得更好的效果。
2. 正文2.1 两个事件的定义两个事件的定义指的是两个事件之间的关系，包括它们是否会相互影响或者互相独立。
在概率论中，两个事件的定义是指它们是否会互相影响对方发生的概率。
如果两个事件是独立的，那么它们发生的概率是相互独立的，即一个事件发生不会影响另一个事件的发生。
例如，如果有两个事件A和B，如果事件A的发生不会影响事件B 的发生，那么我们可以说事件A和事件B是独立的。
这意味着事件A 发生与否并不影响事件B的发生概率，反之亦然。
在教学设计中，理解两个事件的定义是非常重要的。
因为只有理解了两个事件是否相互独立，才能够正确地设计课程内容，确保学生能够正确地理解和应用知识。
总之，理解两个事件的定义是概率论中非常基础但又非常重要的概念。
只有正确理解了两个事件之间的关系，才能够正确地应用概率论知识，并设计出高质量的教学内容。
2.2 相互独立事件的概念相互独立事件是指两个事件之间不存在任何相互影响或关联的情况。
在统计学中，两个事件A和B被称为相互独立事件，如果事件A 的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，反之亦然。
关于两个事件相互独立性的教学设计
关于两个事件相互独立性的教学设计一、教学目标1. 知识目标：通过本节课的学习，使学生能够理解两个事件相互独立的概念；2. 技能目标：培养学生判断事件是否相互独立的能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：学生理解什么是两个事件相互独立；2. 教学难点：学生能够判断两个事件是否相互独立。
三、教学方法与教具准备1. 教学方法：讲述法、示例法、启发式教学法；2. 教具准备：课件、黑板、白板笔、练习题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个实际生活中的例子引入本节课的主题，如抛硬币、掷骰子等，让学生了解事件和概率的基本概念。
2. 概念讲解（15分钟）教师通过课件和黑板，简要介绍两个事件相互独立的概念，并给出相应的定义和数学符号表示。
要求学生注意概念的内涵和外延，并对概念进行各种情况的分析。
3. 示例讲解（15分钟）教师通过多个例子来讲解两个事件相互独立的情况，如抛掷两个硬币、抽取两张扑克牌等，让学生能够清楚地感受到两个事件是否相互独立的特点和条件。
4. 共同探讨（20分钟）教师将学生分成小组，每个小组讨论并总结两个事件相互独立的特点和条件，并在黑板上进行梳理和总结。
然后学生可以通过举一反三的方法，来思考和讨论其他的例子，判断其中两个事件是否相互独立。
5. 锻炼与应用（20分钟）教师通过练习题的形式来让学生独立解决问题，并展示和讨论解题过程和答案。
教师还可以组织学生进行小组间的竞赛，增加学生的积极性和参与度。
6. 总结与拓展（10分钟）教师可以通过总结本节课的主要内容，让学生再次回顾并进一步理解两个事件相互独立的概念和特点。
教师也可以引导学生探讨两个事件不相互独立的情况，进一步扩展学生对概率的认识。
五、教学反思通过本节课的设计，学生能够了解和理解两个事件相互独立的概念，并能够判断事件是否相互独立。
通过讨论和例子的引导，学生的思维能力得到锻炼，对概率问题的解决能力也得到提高。
2022年《事件的相互独立性》参考优秀教案1
事件的相互独立性学习目标1．掌握乘法公式及其应用。
个事件独立的条件及其在概率计算中的应用学习重点与难点：1乘法公式的内涵及其应用。
〔乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率〕个事件独立与两两独立之间的关系。
在独立的条件下，尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算。
教学过程设计一、回忆与引入条件概率公式及乘法公式二、两个事件的相互独立性1相互独立性定义设A、B是两事件，如果具有等式PAB=PAPB那么称A、B为相互独立事件。
2 、逆事件的相互独立性定理假设四对事件A与B，与B，A与和中有一对是独立的事件，那么另外各对事件也是相互独立的事件。
3 相互独立与互不相容的区别和关系相互独立与互不相容是两个不同的概念。
两事件互不相容是指两事件A,B 不能同时发生，即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。
一般地，假设AB=φ,那么有：0=PAB=PAPB|A=PBPA|B故假设PA>0 或PB>0那么PB|A=0或PA|B=0反之，假设PA>0或PB>0且PB|A=0或PA|B=0那么有PAB=0。
在古典概型〔即样本点有限〕下有AB=φ，即A与B互不相容。
假设PA>0〔或PB>0且PB|A>0或PA|B>0那么A、B两事件必能同时发生，而A、B必不是互不相容的。
三、三个事件间的两两独立性设A、B、C为三事件，如果具有等式PAB=PAPBPBC=PBPC 〔PCA=PCPA那么称三事件A、B、C为两两独立的事件。
三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件，假设同时满足与式，那么称A,B,C为相互独立事件。
易见，A,B,C相互独立，那么A,B,C必两两独立，反之不然。
比方：某单身小伙子，他梦想的姑娘有一双明亮的大眼睛，有一头飘柔的长发，并有充分的概率知识，假定这三种品质是相互独立的，且对应的概率分别为,及,那么他遇到的第一位年轻小姐〔或随机地选一位〕同时显示这三种品质的概率即为=××= 即百万分之一。
事件的相互独立性教案
§2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：一、复习引入：1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫n做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两P A个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A、B是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P（B| A）=P(B）,P（AB）=P( A ) P ( B |A）=P（A）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B相互独立（mutually independent ) .事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B）U （A B）表示．由于事件A B与A B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B）十P（A B）=P（A）P（B）+ P（A）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B）U（A B）表示．由于事件AB , A B和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P ( AB ) + P（A B）+ P（A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：⋅=⋅=⨯=，P A B P A P B()()()0.80.90.72∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B⋅发生）根据题意，事件A B⋅与A B⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：⋅+⋅=⋅+⋅P A B P A B P A P B P A P B()()()()()()=⨯-+-⨯=+=0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为=⋅+⋅+⋅=+=．()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是P A B P A P B⋅=⋅=--=，()()()(10.8)(10.9)0.02∴“两人至少有1人击中目标”的概率为=-⋅=-=．1()10.020.98P P A B（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：=⋅+⋅+⋅P P A B P A B P A B()()()=⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ． 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.847= 方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况[]21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-= 例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n )54( ∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机 点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（）()A2个球都是白球的概率()B2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.384 4．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)1(2) 0.56326.(1)0.01,0.16(2)0.999,0.9367. P=22⨯≈0.790.810.4048. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9.提示：86461P=⋅+⋅=121212122五、小结：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B 组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
高中数学相互独立概念教案
高中数学相互独立概念教案1. 了解相互独立事件的概念及其性质。
2. 掌握计算相互独立事件概率的方法。
3. 能够运用相互独立事件的概念解决实际问题。
教学重点：1. 相互独立事件的定义2. 相互独立事件的计算公式3. 相互独立事件的性质教学难点：1. 运用相互独立事件概念解决实际问题教学准备：1. 教科书、教学PPT2. 习题、案例3. 小黑板/白板、粉笔/马克笔教学过程：导入：引出学生对随机事件的认识，以及事件间的关系，引出相互独立事件的概念。
教学：1. 介绍相互独立事件的定义：两个事件A和B，如果事件A的发生不会影响事件B的发生，事件B的发生也不会影响事件A的发生，则称事件A和B是相互独立的。
2. 介绍相互独立事件的计算公式：P(A∩B) = P(A) * P(B)，即两个相互独立事件的交集概率等于它们各自的概率的乘积。
3. 介绍相互独立事件的性质：相互独立事件的补事件也相互独立；相互独立事件的并事件不一定相互独立。
4. 给出例题让学生进行练习和计算，并解释相互独立事件的应用。
练习：1. 学生进行习题练习，巩固相互独立事件的计算方法。
2. 学生通过实际问题进行应用练习，培养学生解决问题的能力。
总结：总结相互独立事件的概念，公式和性质，并强调相互独立事件在实际生活中的重要性。
课后作业：完成教科书上相互独立事件相关的习题，总结课上所学内容，并思考如何运用相互独立事件的概念解决实际问题。
教学反思：教师要能够引导学生深入理解相互独立事件的概念，能够提出实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生的创造思维和问题解决能力。
相互独立事件教案
相互独立事件教案教案标题：相互独立事件教案教案目标：1. 学生能够理解相互独立事件的概念和特征。
2. 学生能够运用相互独立事件的概念解决实际问题。
3. 学生能够运用概率的知识计算相互独立事件的概率。
教学内容：1. 相互独立事件的定义和特征。
2. 相互独立事件的计算方法。
3. 相互独立事件的实际应用。
教学步骤：引入活动：1. 引入概率的概念，让学生回顾已学的概率知识。
2. 提出一个问题，例如：“如果一个骰子掷出了一个6，那么下一次掷出6的概率是多少？”引导学生思考相互独立事件的概念。
教学主体：1. 解释相互独立事件的定义和特征，例如：“当一个事件的发生与另一个事件的发生无关时，这两个事件就是相互独立的。
”2. 通过示例解释相互独立事件的计算方法，例如：“如果掷一枚硬币两次，每次都是正面向上的概率是多少？”3. 引导学生进行练习，计算一些相互独立事件的概率。
拓展活动：1. 提供一些实际问题，让学生应用相互独立事件的概念解决问题，例如：“在一副扑克牌中，从中抽出一张牌，放回后再抽出一张牌，两次都是红心的概率是多少？”2. 引导学生思考相互独立事件在生活中的应用场景，例如：“购买彩票中奖的概率是否是相互独立事件？”3. 鼓励学生提出自己的问题，并尝试用相互独立事件的概念解决。
总结：1. 回顾相互独立事件的定义和特征。
2. 强调相互独立事件的计算方法和实际应用。
3. 鼓励学生在日常生活中运用相互独立事件的概念解决问题。
评估：1. 设计一些练习题，考察学生对相互独立事件的理解和应用能力。
2. 观察学生在拓展活动中的表现，评估他们的思维能力和创造力。
教学资源：1. 骰子、硬币等概率实验工具。
2. 扑克牌、彩票等实际问题的材料。
3. 相关练习题和解答。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究条件概率和独立性的关系。
2. 扩展学生对概率的理解，引入更复杂的概率问题，例如互斥事件和非互斥事件。
这个教案旨在帮助学生理解相互独立事件的概念和特征，并能够应用概率的知识解决实际问题。
教学设计1：10.2 事件的相互独立性
10.2事件的相互独立性教材分析事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.教学目标与核心素养课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.教学重难点重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.教学过程一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？解：因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K ”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J ”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .解：(1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件. 题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.解：设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB AB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116.所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本练习，习题10.2.教学反思两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
【教案】事件的相互独立性+教案高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计【课题】10．2事件的相互独立性【教学目标与核心素养】学习目标：1.理解两个事件相互独立的直观意义与数学定义．2.结合古典概型，利用事件的独立性计算概率素养目标：1.体会特殊到一般、化归与转化、分类讨论等数学思想2.渗透直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养【教学重点】两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题【教学难点】在实际问题情境中判断事件的独立性【教学设计】（1）由互斥（对立）事件引入知识，认识学习的必要性；（2）由情境与问题归纳总结出事件的相互独立性定义；（3）借助独立性定义探究事件的相互独立性的性质；（4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（5）拓展应用，提升逻辑推理、数学运算等技能．【教法】启发式、讲授法【学法】自主、合作与探究【教学备品】教学课件【课时安排】1课时(40分钟)【教学过程】引言：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课，我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题1下面两个随机试验，各定义了一对随机事件A和B.试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第1枚硬币正面朝上”，B=“第2枚硬币反面朝上”.试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.是A=“第1次摸到球的标号小于3”，B=“第2次摸到球的标号小于3”.探究1你认为两个随机试验中事件A和B是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件A和B的关系下一个定义吗？答：不是互斥事件，因为事件A和B互斥是指事件A和B在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生.用“独立”词语表达两个事件A和B关系比较合适.显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.相互独立事件的定义1：事件A（或B）发生与否不影响事件B（或A）发生的概率，则称事件A和B是相互独立事件.判断题：下列事件哪些是相互独立的？师生活动：，教师提出问题，学生进行思考后回答问题.教师关注学生如何解释自己的思考过程.设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.给出事件的相互独立性的定义1并渗透事件的相互独立性的性质.探究2我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(A+B)=P(A)+P(B)，那么你能否猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式呢？答：猜测相互独立事件A与B同时发生的概率公式为：P(AB)=P(A)P(B).在试验1中用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点.A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}.用古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.在试验2中样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，而A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}所以P(A)=P(B)=12P(AB)=14.于是也有P(AB)=P(A)P(B)积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.这两个随机试验都满足：事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.相互独立事件的定义2：对任意两个事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.小结：以上，我们给出了相互独立事件的两个定义，定义1是指两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的凭直觉判断.定义2是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性作出判断，这就是所谓的推理判断.在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义2判断，而是根据实际意义来加以判断的，根据实际背景判断事件的独立性往往并不困难.譬如，必然事件Ω与任意事件是否相互独立？用定义1 因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，当然，也不影响其他事件是否发生.所以，必然事件Ω与任意事件是相互独立.用定义2设A为任意事件，P(Ω)=1，P(ΩA)=P(Ω)P(A)＝P(A)，即必然事件Ω与任意事件独立.同样，不可能事件ϕ总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.所以，不可能事件ϕ与任意事件相互独立.师生活动：学生独立思考解决问题，教师，注意观察学生如何计算P(A)，P(B)，P(AB)，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随机事件，并给予个别指导.选择学生代表表达与交流思维过程.设计意图：让学生探索两个试验中事件A，B之间的共同数学本质属性P(AB)=P(A)P(B)，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.练习1 证明：若事件A和B是相互独立事件。
相互独立事件优秀教学设计
导学案:相互独立事件同时发生的概率学习目标:1.了解相互独立事件的意义；理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念.学习重难点：重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.难点：对事件独立性的判定，将复杂的概率问题分解转化为基本概率模型.复习回顾: 什么叫互斥事件？什么叫对立事件？事件A+B表示的意义是什么？课题引入: 常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮”，这句话有道理吗？从数学的角度，你能做出解释吗？新知建构：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球。
（球等大）（1）记“从甲坛子里摸出一个球，得到白球”为事件A，则P(A)= 。
（2）记“从乙坛子里摸出一个球，得到白球”为事件B，则P(B)= 。
（3）记“从两个坛子里分别摸出一个球，都是白球”为事件D，则事件D是？事件．P(D)=事件D与事件A,事件B的关系是什么？P(D)与P(A)，P(B)有什么关系？练一练： 1.篮球比赛中，“罚球二次”中事件A：第一次罚球，球进了；事件B：第二次罚球，球进了。
判断A与B是否相互独立？2. 一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？例1．甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，且相互之间没有影响，计算：(1)2人都击中目标的概率；(2) 恰有1人击击中目标的概率；(3)至少有1个击中目标的概率。
变式1：甲、乙、丙三人各射击一次，如果每人击中目标的概率都是0.6，求至多有2人击中目标的概率。
引例：常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮”,你觉得可不可能?假设事件A ：臭皮匠老大解出问题，事件B ：臭皮匠老二解出问题，事件C ：臭皮匠老三解出问题，事件事件D ：诸葛亮解出问题，且P (A )=50%，P (B )=45%，P (C )=40%， P (D )=80%，那么臭皮匠联队老大、老二、老三三人能胜过诸葛亮吗？例2. 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率变式1：如图三个开关串联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率变式2合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率合作讨论，深化探究: (前后4人一组合作讨论完成下面问题)1.一个电路板上装有甲乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.8，乙熔断的概率为0.7，两根同时熔断的概率为0.6，问至少有一根熔断的概率为多少？2. 通过第1题中解答过程，你能否从利用本节课及以前所学，提炼一个概率的一般加法公式，并用所学知识解析说明该公式？归纳总结: 这堂课你学到了什么? 学到了哪些思想方法？课后作业：随堂小测。
相互独立事件教案
相互独立事件教案教案名称：相互独立事件教学目标：1.了解相互独立事件的含义和特点；2.掌握相互独立事件的计算公式；3.能够应用概率知识解决实际问题。
教学重点：1.相互独立事件的概念和特点；2.相互独立事件的计算公式。
教学难点：1.能够应用概率知识解决实际问题。
教学准备：1.教学PPT；2.预习资料；3.相互独立事件的实例。
教学过程：1.导入（5分钟）向学生展示一些实际生活中的事件，如抛硬币、掷骰子、抽球等。
请学生讨论这些事件是否相互独立，并解释为什么。
引导学生明确相互独立事件的定义：在概率理论中，如果两个事件之间没有任何关系，发生其中一个事件不会对另一个事件的发生概率产生影响，这两个事件就称为相互独立事件。
2.理论讲解（15分钟）通过PPT向学生介绍相互独立事件的特点和计算公式，并结合具体的例子进行讲解。
特点：(1)两个事件A和B相互独立，即P(A，B)=P(A)，P(B，A)=P(B)；(2)如果两个事件A和B相互独立，则它们的乘积P(A∩B)=P(A)×P(B)。
计算公式：P(A∩B)=P(A)×P(B)3.实例演练（25分钟）向学生提供一些实际问题，结合所学的知识计算相应的概率。
例子1：甲、乙两个人各自抛一枚硬币，问两个人抛的硬币结果相同的概率是多少？解答：设A为甲抛的硬币结果是正面，B为乙抛的硬币结果是正面。
根据题意，事件A和事件B是相互独立的。
设事件C为两个人抛的硬币结果相同，即C=A∩B。
根据相互独立事件的计算公式，P(C)=P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/2=1/4例子2：一个骰子同时掷两次，问两次掷得的点数之和为6的概率是多少？解答：设事件A为第一次掷得的点数为1，事件B为第二次掷得的点数为5、根据题意，事件A和事件B是相互独立的。
设事件C为两次掷得的点数之和为6，即C=A∩B。
根据相互独立事件的计算公式，P(C)=P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/6×1/6=1/364.练习与拓展（20分钟）提供更多实例，让学生进行练习和思考，巩固所学的知识。
事件的相互独立性 教学设计 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
事件的相互独立性教学设计到球的标号小于3”.分别计算P(A),P（B）,P(AB)，你有什么发现?小组讨论。
小结：积事件AB的概率P（AB），也等于P（A），P（B）的乘积。
定义：任意两个事件A 与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立。
相互独立事件同时发生的概率:P(A-B)=P(A)P(B)二、授受新知，详加区分（一）请举出几个相互对结果不会产生影响的随机事件（设计意图：让学生深化对于独立性概念的理解，将生活化思维拔高形成严谨数学思维。
）（二）深入理解，独立性概念辨析（设计意图：让学生深刻理解独立性的含义。
从严谨的概念再回到感性体会,.进一步理解事件的相互独立性的性质）小结：如果三个事件A，B,C两两互斥,那么概率加法公式P（A1∪A2∪A3）=P(A1)+P（A2)+P(A3)成立,但当三个事件A，B,C两两独立时,等式P(ABC）=P(A)P(B)P(C)一般不成立。
（三）例题讲解，独立性本质含义（设计意图：通过书中例题，强调独立性作为代表一类较为特殊的事件关系地位。
强化学生完整体会概念，为一般情形“乘法定理”学习铺垫。
）.三、课后练习（设计意图：结合近年高考真题，提升学生对本节知识的运用与体会。
突出本节知识重难点。
）（2021·新高考Ⅰ卷·8)有6个相同的球,分别标有数字1,2.3.4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
事件的相互独立性(教学设计)
一、内容和内容解析内容：两个事件独立的直观意义、定义及其在古典概型的概率计算中的应用．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第十章第2节的内容．独立性是概率论的基本概念，与计算积事件的概率有关，可以简化计算，在选择性必修的独立性检验中、利用事件的独立性假定构造检验统计量，独立性的直观意义是“在随机试验中，事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率"，本质是P(AB)=P(A)P(B)，教科书先通过实例呈现独立性的直观意义，在此基础上分析计算P(AB)与P(A)，P(B)的关系，再抽象出两个事件相互独立的定义.互斥事件与相互独立的事件的内涵是不同的.事件A与B五斥是指事件A与B不能在任一随机试验中同时发生，其实质为AB=∅、P(AB)=0.因此，当事件A和B的概率都大于0时，如果事件∅和必然事件Ω是互斥事件，同时它们也是相互独立的事件，并且不可能事件∅、必然事件Ω与任何事件A是相互独立的.二、目标和目标解析目标：（1）结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义.（2）结合古典概型、利用事件的独立性计算概率.目标解析：（1）两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，不仅要直观感受到两个事件互不影响，还要能够用解析式来说明．因此，在归纳概括事件的相互独立的过程中，一定要用好具体的实例模型．（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在事件的相互独立性的教学中，从具体的实例中归纳概括相互独立事件的概念是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用事件的独立性解决具体的实际问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：对两个事件的包含、相等、互斥、互相对立意义的描述，均不涉及事件的概率.而两个事件的相互独立性，需要借助事件的概率来刻画.大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响.例如，对于问题“连续抛掷一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的结果是什么?”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”).学生的决策可能受到“代表性启发式”(当应用这种策略解决不确定情境的问题时，倾向于预测那些最能体现证据代表性的结果)错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性.教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义．2．教学问题二：学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆.事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B)，强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，其内涵是AB=∅.强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生．基于上述情况，本节课的教学难点定为：有关独立事件发生的概率计算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到两个事件相互独立，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用具体的实例，既可以帮助学生理解概念也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件相互独立的判断，让学生体会判断事件相互独立的基本方法，同时，应用事件的对立性解决问题其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计引入新知上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？[问题2]分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？[问题3]一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？[问题4]分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).教师3：提出问题3．学生3：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.教师4：提出问题4．学生4：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},11()(),()24P A P B P AB所以===于是P(AB)=P(A)P(B).立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
《事件的相互独立性》 教学设计
《事件的相互独立性》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解事件相互独立的概念，能准确判断两个事件是否相互独立。
（2）掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式，并能运用公式解决实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过实例探究，引导学生经历观察、分析、归纳、总结的过程，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
（2）通过实际问题的解决，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过自主探究和合作交流，激发学生的学习兴趣，培养学生的团队合作精神和创新意识。
（2）让学生在解决实际问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学生学习数学的积极性和主动性。
二、教学重难点1、教学重点（1）事件相互独立的概念。
（2）相互独立事件同时发生的概率计算公式。
2、教学难点（1）对事件相互独立概念的理解。
（2）正确运用相互独立事件同时发生的概率计算公式解决实际问题。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程1、情境导入通过展示生活中的一些随机事件，如抽奖、投篮等，引导学生思考这些事件之间的关系，从而引出本节课的主题——事件的相互独立性。
例如：在一次抽奖活动中，设 A 表示“第一次抽奖中奖”，B 表示“第二次抽奖中奖”，思考A 事件的发生是否会影响B 事件发生的概率？2、概念讲解（1）给出事件相互独立的定义：设 A、B 是两个事件，如果 P(AB) ＝ P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。
（2）通过具体的例子帮助学生理解概念，如抛掷两枚质地均匀的硬币，设 A 表示“第一枚硬币正面朝上”，B 表示“第二枚硬币正面朝上”，计算 P(A)、P(B)和 P(AB)，验证是否满足相互独立的条件。
3、公式推导（1）若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与\（＼overline{B}＼），＼（＼overline{A}＼）与B，＼（＼overline{A}＼）与\（＼overline{B}＼）也相互独立。
关于两个事件相互独立性的教学设计
关于两个事件相互独立性的教学设计教学目标：1. 学生能够理解两个事件相互独立的概念。
2. 学生能够应用相互独立的概念解决相关问题。
3. 学生能够通过实际例子理解相互独立性的重要性。
教学重难点：1. 相互独立事件的定义和特点。
2. 通过实际例子理解相互独立事件的概念。
教学过程：第一步：引入教师用一个简单的实际例子引入相互独立性的概念，例如投掷硬币的结果和掷骰子的结果是否互相影响。
通过这个例子，让学生认识到相互独立事件的概念。
第二步：讲解教师对相互独立事件进行详细的讲解，包括定义、特点和应用。
通过具体的例子和计算方法，让学生逐步理解相互独立性的概念，并能够应用到实际问题中。
第三步：示范教师通过几个实际例子进行示范，让学生学会如何判断两个事件是否相互独立，以及如何计算相互独立事件的概率。
第四步：练习教师布置一些相关的练习题，让学生独立完成并相互交流讨论。
通过练习，加强学生对相互独立性概念的理解和应用能力。
第五步：讨论教师安排小组讨论，让学生就相互独立性在日常生活中的应用进行讨论。
通过讨论，加深学生对相互独立性的认识，并能够发现身边的实际例子。
第六步：总结教师对本节课的内容进行总结，强调相互独立性的重要性和应用。
鼓励学生在日常生活中积极应用相关知识，加深对相互独立性的理解。
教学方法：1. 实例教学法：通过具体的例子引入、讲解和示范，让学生更容易理解相互独立性的概念。
2. 组织讨论法：通过小组讨论，激发学生的学习兴趣，加深对相互独立性的理解。
教学手段：1. 实物或图片：如硬币、骰子等实物或图片，用于示范相互独立事件的概念。
2. 黑板或幻灯片：用于讲解和示范相互独立性的相关概念和计算方法。
3. 练习题：布置相关的练习题，让学生巩固和应用所学知识。
教学评估：1. 学生课堂表现：包括对问题的回答和参与讨论的情况。
2. 练习成绩：学生完成的练习题的得分情况。
3. 讨论质量：学生小组讨论的深度和广度。
教学反思：1. 教学设计要力求形象生动，引入的实例要贴近学生的日常生活。
事件的相互独立性(教案)
2．2．2事件的相互独立性教案目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教案重点：独立事件同时发生的概率教案难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入： 1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复实验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次实验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()(n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =---(10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320()B 15()C 25()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （）()A 35192()B 25192()C 35576()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为；此穴无壮苗的概率为．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为；此穴有壮苗的概率为．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4.A 5.(1)132(2)0.56 6.(1)0.01 ,0.16 (2)0.999,0.9367.P=220.790.810.404⨯≈8.P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9.提示：8646121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教案反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
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练一练： 1.篮球比赛中，“罚球二次”中事件 A：第一次罚球，球进了；事件 B：第二次罚球，球进了。判断 A 与 B 是否相互独立？
2. 一袋中有 2 个白球，2 个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取 2 个
球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件 A，“第二个取出的是
导学案:相互独立事件同时发生的概率
学习目标: 1.了解相互独立事件的意义；理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念.
学习重难点：
重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式.
难点：对事件独立性的判定，将复杂的概率问题分解转化为基本概率模型.
复习回顾: 什么叫互斥事件？什么叫对立事件？事件 A+B 表示的意义是什么？
课题引入: 常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮”，这句话有道理吗？从数学的 角度，你能做出解释吗？
新知建构：
甲坛子里有 3 个白球，2 个黑球；乙坛子里有 2 个白球，2 个黑球。（球等大） （1）记“从甲坛子里摸出一个球，得到白球”为事件 A，则 P(A)= 。 （2）记“从乙坛子里摸出一个球，得到白球”为事件 B，则 P(B)= 。 （3）记“从两个坛子里分别摸出一个球，都是白球”为事件 D，则事件 D 是？ 事件．P(D)= 事件 D 与事件 A,事件 B 的关系是什么？
(3)至少有 1 个击中目标的概率。
变式 1：甲、乙、丙三人各射击一次，如果每人击中目标的概率都是 0.6，求 至多有 2 人击中目标的概率。 变式 2：如果 A,B 是两个相互独立事件,那么 1 P( A) P(B) 表示什么？能否通 过类推思想提炼更加一般结论。
引例：常言道“三个臭皮匠赛过诸葛亮”,你觉得可不可能? 假设事件 A：臭皮匠老大解出问题，事件 B：臭皮匠老二解出问题，事件 C： 臭皮匠老三解出问题，事件事件 D：诸葛亮解出问题，且 P(A)=50%， P(B)=45%，P(C)=40%， P(D)=80%，那么臭皮匠联队老大、老二、老三三人能 胜过诸葛亮吗？
白球”为事件 B，试问 A 与 B 是不是相互独立事件？
新旧类比：互斥事件与相互独立事件关系：
互斥事件
相互独立事件
概念
符号
计算公
式
典例精讲:
例 1．甲、乙 2 人各进行一次射击，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6，且相互
之间没有影响，计算：
(1)2 人都击中目标的概率；
(2) 恰有 1 人击击中目标的概率；
王新敞 奎屯
变式 2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够
闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工
JA JB
作的概率 新疆 王新敞 奎屯
JC
合作讨论，深化探究: (前后 4 人一组合作讨论完成下面问题) 1.一个电路板上装有甲乙两根熔丝，甲熔断的概率为 0.8，乙熔断的概率为 0.7，两根同时熔断的概率为 0.6，问至少有一根熔断的概率为多少？
例 2. 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中有 1 个开关能够 闭合，线路就能正常工作新疆假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是
王新敞 奎屯
0.7，计算在这段时某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率新疆
2. 通过第 1 题中解答过程，你能否从利用本节课及以前所学，提炼一个概率的 一般加法公式，并用所学知识解析说明该公式？
归纳总结: 这堂课你学到了什么? 学到了哪些思想方法？ 课后作业：随堂小测