角和角的比较知识归纳及经典习题

角（基础）知识讲解

【高清课堂：角397364 角的概念】

要点一、角的概念

1．角的定义：

（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．

图1 图2

（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．

要点诠释：

（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．

（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

1.下列语句正确的是( C )

A．两条直线相交，组成的图形叫做角．

B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．

C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．

D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．

【答案】

【解析】根据角的定义判断

【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．

举一反三：

【变式】判断下列说法是否正确

(1)两条射线组成的图形叫做角( ×)

(2)平角是一条直线( × )

(3)周角是一条射线( × )

2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释：

用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．

写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°).

【答案与解析】

解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．

(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．

(3)图中共有7个角．

【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．

已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？

分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。

公式为：2)1

(

n

n

。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101

条，构成的角的个数为5050个。

已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？

分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。

公式为：2)1

(

n

n

。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101条，构成的角的个数为5050个。

3.角的画法

（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．

（3）角的和、差关系：利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．要点四、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方

向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

要点诠释：

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．

A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是( )

A．南偏东60°B．南偏西60°

C．南偏东30°D．南偏西30°

【答案】D

【解析】依题意画出示意图．由图可知，图中∠1即表示从A看B的北偏东30°，∠2是从B看A的方位角．由此可确定从B看A是南偏西30°．

【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的

观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．

举一反三：

【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．

【答案】北偏西30°

要点五、钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．

4时15分时针与分针的夹角.

【答案与解析】

如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．

即4时15分时针与分针的夹角为37.5°

【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．举一反三：

【变式】2时48分时针与分针的夹角．

【答案】

解法2：如图(2)