高二数学组合与组合数

課堂練習：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有2(A
2 8
+
C12C17C17 )
种方法；
②若不取6，则有
C17
组合数计算公式
复习
(1)C m

Am n

n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
An
m!
(2)C m m n!
n m!(n m)!
组合数性质1： C
m n

C nm n
c c c 组合数性质2： m m m1
n1
n
n
C
0 n
=1
常用的组合数性质公式还有：
补充
1、Cn0 Cn1 Cnn 2n 2、Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 3、kCnk nCnk11
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 Cm2 Cn2 个平行四边形 .
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
Cm2 Cn2C
2 t
2 6
C
2 4
C
2 2
=
90
种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C16
C
2 5
C33
A
3 3
=
360
种方法；
③“1、1、4型”，有
C
4 6
A
3 3
=
90
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
例題講解：
例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？
种分法C16.+ 2C62 + 3C36 + C64 = 126
例題講解：
例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有 44 = 256 种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每
组m个元素），共有
Cmmn

Cm mn-m
……
A
n n
Cmm
种方法
例題講解：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
（2）10个优秀指标分配到一、二、三3个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可
构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
既有 C59 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
2n1
例題講解：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：（1）根据分步计数原理得到：
C
2 6
C24
C
2 2
=
90 种
例題講解：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：
（2）分为三份，每份2本；
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C26C24C22 种方法，
C16
C
2 5
C33
=
60
种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
C16
C52
C
3 3
A
3 3
=
360 种方法．
例題講解：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
解：（5）可以分为三类情况：
①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有C
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，
设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同
学有
A
3 3
种方法．根据分步计数原理
可得：C26C24C22
=
xA
3 3
，所以．
x=
C26
C24 C22
A
3 3
= 15
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法
点评：
本题是分组中的“均匀分组”问题．
个平行六面体
課堂練習：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位
不变，共有C132×2 = 440种不同的调换方法
7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 数必须少于男生，有__4_5_种选派方法； （3）分成三组，每组3人，有__2_8_0___种不同分法.
“捆绑”在一起看成一个元素有C
2 4
种方法；第二步：从
四个不同的盒中任取三个将球放入有
A
3 4
种方法，以，
一共有
C
2 4
A
3 4
＝144种方法
例題講解：
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为C
3 6
=
20
种方法
課堂練習：
1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且
票必须分完，那么不同的分法种数是 C54 = 5 ．
2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 98 种邀请方法.
组合与组合数
复习
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合
注 ①n个不同元素
②m≤n
③组合与元素的顺序无关 排列与元素的顺序有关
④两个组合的元素完全相同为相同组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的组合数 表示方法 Cmn
标，以此类推，因此共有
C
5 9
= 126
种分法.
例題講解：
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题
转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）
可知共有
C
2 6
=
15
种分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有