正态分布、应用实例
正态分布的性质及实际应用举例
华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 2姓名：王宇翔学号：1姓名：陈涵学号：2联系方式：2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
2 研究问题及成果：正态分布性质；3原则及标准正态分布；实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。
在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。
铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。
在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。
在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。
在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。
总之。
正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。
正态分布的应用
正态分布的应用1.零件规格的设计由自动生产线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布)1,(µN ，平均内径µ是待定的，可以通过调整该自动生产线来设定，方差反映这条自动生产线的加工精度。
如果加工的零件内径小于10或大于12均为不合格品，其余为合格品。
销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润L （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系：12=σ⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤<−=125121020101X X X L 若若问：平均直径µ为何值时，才能使销售一个零件的平均利润最大？由于L 是随机变量，它是X 的函数，所以平均利润即为期望利润。
由)1,(~µN X ，那么)1,0(~N X µ−}12{5}10(}1210{20)(>−<−≤≤=X P X P X P L E=}12{5}10(}1210{20µµµµµµµ−>−−−<−−−≤−≤−X P X P X P=)12(55)10()10(20)12(20µµµµ−Φ+−−Φ−−Φ−−Φ5)10(21)12(25−−Φ−−Φ=µµ可知，期望利润与平均内径µ有关，是µ的一元函数。
为了求期望利润的最大值，令)(L E 0)12(25)10(21)(=−−−=µϕµϕµd L dE ，其中)()(x x ϕ、Φ分别为标准正态分布的分布函数与概率密度函数，则2)12(2)10(22225221µµππ−−−−=e e 即 2)12(2)10(222521µµ−−−−=e e解之，得 9.102125ln 2111≈−=µ 由此可知，当平均内径µ设定为10.9毫米时，可使销售每个零件的平均利润最大。
正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用.
μ越大，图像越陡，下降的越快；σ越小，图像越陡，下降的越快。
对数正态分布失效率函数λ（t）
蓝线：μ=0 σ=0.5 红线：μ=0.8 σ=0.5 棕线：μ=0 σ=1
图像随μ的增大而变得陡峭，且向λ（t）轴靠近。图像随σ的增大先下降再上升，且向λ（t）轴靠近。
表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
分布
身高/cm
实际分布人数
实际分布百分数
理论分布X+-来自s168.69～176.71
67
67
68.27
X+-1.96s
164.84～180.56
95
95
95.00
X+-2.58s
162.35～183.05
99
99
99.00
指数分布函数
指数分布概率密度函数f（t）
本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。
指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。
指数分布案例分析【2】
对数正态分布函数
对数正态分布概率密度函数f（t）
4.5 正态分布的应用
第四章 常用概率分布五、正态分布的应用正态分布的应用1. 确定医学参考值范围n参考值范围(reference range)：指特定的“正常”人群的解 剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数 个体的取值所在的范围。
正态分布的应用 n制定参考值范围的步骤：1. 选择足够数量的正常人作为调查对象。
2. 样本含量足够大。
3. 确定取单侧还是取双侧正常值范围。
4. 选择适当的百分界限。
5. 选择适当的计算方法。
n估计医学参考值范围的方法：1. 正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。
2. 百分位数法：适用于偏态分布资料。
过高异常 过高异常过低异常 过低异常例1 某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分 布近似于正态分布，得均数为117.4g/L ，标准差为10.2g/L ， 试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。
分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正 常值范围。
该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39（g/L ）1.96117.4 1.9610.297.41~137.39X S ±=±´=例 1A 某年某市调查了200例正常成人血铅含量（μg/100g) 如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。
分析：血铅的分布为偏峰分布，且血铅含量只以 过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。
( ) ( ) 95 5.%3820095%18938.7/100 7L x iP L n x f g gf m =+-å=+´-=正态分布的应用2. 质量控制图n控制图基本原理：如果某一波动仅仅由个体差异或随机测 量误差所致，那么观察结果服从正态分布。
2. 质量控制图控制图共有7条水平线，中心线位于总体均数μ处，警戒限位于处，控制限位于 处，此外还有2条位于 处。
如果总体均数和总体标准差未知，也可用样本估计值代 替，这时，7条水平线分别位于 、 、 和 处。
例谈正态分布在实际生活中的应用
期
１ －（ ） １ ￣ １ｏ 二 ｚ ＜
查表得 三＿ ＞ ２３ ， 一 ． ３得
）ｏ９ ＞． ９ ．
ｚ＞ １８ ９ ≈ １９所 以该 地公 共汽 车 门的高 ８ ．８ ８ ．
度应 设计 为 １ ９ａ ８ ｍ． － 例 ２ 某 城市 从南 郊 某地 乘 公共 汽 车前 往 北 区火 车站 有两 条 路 线可 走 ， 一条 路线 穿过 市 区 ， 第 路线 较短 ， 但交 通 拥 挤 ， 需 时 间 （ 位 ： ）服从 所 单 分 正态 分布 Ｎ（ Ｏ １ 。 ； ５ ， ０ ） 第二 条路 线 沿环 城公 路走 ， 但交 通 阻 塞 少 ， 需 时 间 服 从 正 态 分 布 Ｎ（０ 所 ６，
每 天都 在 乘 车 ， 可很 少 有 同 学 留 心 就 在 这 平
的高 度是按 照 保证 成年 男 子 与车 门 顶部 碰头 的概
率在 １ 以下 设 计 的 ， 果 成 年 男 子 的身 高 ～ 如 Ｎ（ ７ ，６ 单 位 ：ｍ） 则 该 地 汽 车 门 的高 度 应 １ ５ ３ ）（ ｃ ， 设 计 为多高 ？
同 学们养 成用 数学 知识 的 良好 习惯 ．
例 ３ （ ０ ６ 湖北 省 高考试 题 理 １ 题 ） ２０ 年 ９ 在某 校举行 的 数学 竞赛 中 ， 体参 赛 学 生 的 竞 赛 成绩 全
； 就 是 Ｐ（ ≥ ）＜ １ 的解集 的最 小值 ． 由于 ～
Ｆ Ｎ（ ７ ， ６ ， 以 Ｐ（ １５３ ）所 ≥ ）一 １ Ｐ（ 一 ＜ ）一
故参 赛学 生 的人数 约 为— ０Ｌ８≈ ５ ６人・ ｏ ２ ２ ２
．
（ ）假定 设奖 的分 数线 为 分 ， ２ 则
Ｐ（ ≥ ｚ）一 １一 Ｐ（ ＜ ）一
统计学中的正态分布与假设检验公式整理
统计学中的正态分布与假设检验公式整理正态分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域的数据分析和模型建立中。
而假设检验则是统计学中常用的一种方法，用于对假设的真实性进行验证。
本文将对正态分布和假设检验的公式进行整理，并讨论其在统计学中的应用。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种连续概率分布。
它的概率密度函数的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))其中，f(x)表示在取值为x的点的概率密度，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
正态分布的均值决定了分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状。
正态分布具有许多重要性质，例如：1. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，得到的正态分布称为标准正态分布。
其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布在实际应用中经常用于转换其他正态分布为标准化分布，方便计算和比较。
2. 正态性检验：统计学中经常需要判断一组数据是否符合正态分布。
常用的正态性检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验等。
这些方法都是基于样本数据与理论正态分布的差异来进行判断。
3. 中心极限定理：中心极限定理是统计学中一条非常重要的定理，它指出，对于任意一组具有有限方差的独立随机变量，其样本均值的分布在样本量趋于无穷时，逼近于正态分布。
二、假设检验假设检验是统计学中用于验证某个假设是否成立的一种方法。
在假设检验过程中，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过数据分析来判断是否支持原假设。
1. 假设检验的步骤：(1) 建立假设：根据实际问题和研究目的，提出原假设和备择假设。
(2) 选择显著性水平：显著性水平α是控制拒绝原假设的错误概率。
一般常用的显著性水平有0.05和0.01。
二项分布与正态分布的应用
二项分布与正态分布的应用二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，而正态分布则是统计学中常见的连续型概率分布。
二项分布和正态分布在现实生活中有着广泛的应用，本文将分别探讨它们的应用领域及相关计算方法。
一、二项分布的应用二项分布适用于满足以下条件的离散随机变量：每次试验只有两种可能结果，且每次试验相互独立。
具体而言，二项分布常用于以下几个应用领域：1.1 质量检验在制造业中，常常需要对产品进行质量检验。
假设某产品每个单位有一定的概率存在缺陷，而每次抽取的产品相互独立。
那么我们可以利用二项分布来计算在一定抽取数量下，出现指定数量缺陷的概率。
这对于质量控制非常重要。
1.2 投资决策在金融领域中，投资是一项风险较高的行为。
投资者通过分析过往数据，可以得到某种投资方式的成功概率。
假设某个投资方式成功的概率为p，通过多次投资实验，我们可以利用二项分布来计算在一定次数内成功的概率。
这对于投资者来说，有助于做出更加明智的决策。
1.3 调查统计在社会科学研究中，调查统计是常用的研究方法。
假设我们想了解某个群体中某个现象出现的比例，如访问某个特定网站的比例。
我们可以通过抽样调查来获得样本中观察到该现象的次数，并利用二项分布来计算整个群体中该现象出现的比例。
二、正态分布的应用正态分布又称高斯分布，是一种常见的连续型概率分布。
其分布曲线呈钟型，对称且唯一峰值。
正态分布在各个领域都有着广泛的应用，以下是其中的几个例子：2.1 身高体重在人类的身高体重统计中，存在着一定的规律性。
大多数人的身高和体重集中于某个平均值，而相对极端的个案则较为罕见。
这种现象可以通过正态分布进行描述和分析，通过均值和标准差等参数，我们可以了解身高和体重在整个人群中的分布情况。
2.2 考试成绩在教育领域中，学生的考试成绩往往服从正态分布。
通过对一组学生的考试成绩进行统计，我们可以得到平均分数和标准差等指标，进而分析成绩的分布和学生群体的整体表现。
2.3 经济指标在经济学中，许多指标也服从正态分布。
正态分布在日常生活中
正态分布在日常生活中正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为常见的一种概率分布。
它具有许多重要的性质，被广泛应用于各个领域。
在日常生活中，我们可能并不经常意识到正态分布的存在，但实际上，它在我们的生活中随处可见，影响着我们的方方面面。
首先，正态分布在人类身体特征中的体现。
人类身体特征的分布往往符合正态分布。
比如身高、体重等指标，大多数人的身高体重集中在平均值附近，而离平均值越远的人数越少，呈现出两头低、中间高的钟型曲线。
这也是为什么我们常说“大多数人都是普通人”，因为正态分布使得大多数人的身体特征集中在平均水平上。
其次，正态分布在考试成绩中的体现。
在学校的考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
即使经过老师精心设计的考题，也会有一部分学生表现优异，一部分学生表现较差，但大多数学生的成绩集中在中间水平，符合正态分布的规律。
这也是为什么考试成绩常常以平均分为中心，向两端逐渐减少的原因。
此外，正态分布在自然界现象中的体现也非常普遍。
比如气温的变化，大多数情况下遵循正态分布。
在一个季节内，气温的变化会在一个平均值附近波动，极端高温和极端低温的出现概率较低，大部分时间气温保持在一个相对稳定的范围内。
这种正态分布的特点使得气候变化更具有可预测性。
此外，金融领域中的股票价格波动也常常符合正态分布。
股票价格的波动是由市场供求关系、宏观经济环境等多种因素共同作用的结果，而这些因素的影响往往呈现出正态分布的规律。
股票价格的波动大多集中在平均水平附近，极端波动的概率较低，这也是投资者进行风险评估和资产配置时需要考虑的因素之一。
总的来说，正态分布在日常生活中无处不在，它是自然界、人类社会各个领域中普遍存在的一种规律。
了解正态分布的特点和应用，有助于我们更好地理解和把握周围世界的变化，为决策和行为提供科学依据。
希望通过本文的介绍，读者能对正态分布有更深入的了解，从而在实际生活中运用这一概念，更好地适应和理解周围的种种现象。
正态分布的实际应用问题
正态分布的实际应用问题例5 (2019·黄冈模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差s 2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31；②z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<z <μ＋2σ)＝0.954 4； ③0.84134≈0.501. [解析] (1)由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴这4 000名考生的平均成绩x 为70.5分．(2)由题知z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ＝x ＝70.5. σ2＝204.75，σ＝14.31，∴z 服从正态分布N (μ，σ2)，即N (70.5,14.312)． 而P (μ－σ<z <μ＋σ)＝P (56.19<z <84.81)＝0.6826， ∴P (z ≥84.81)＝1－0.68262＝0.158.7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.1587×4000＝634.8≈634. (3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.1587＝0.8413. 而ξ～B (4,0.8413)，∴P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－C 44×0.84134≈1－0.501＝0.499.名师点拨 ☞解决正态分布问题的三个关键点若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则 (1)对称轴x ＝μ； (2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率〔变式训练3〕(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑16i ＝1x i＝9.97，s ＝116∑16i ＝1 (x i－x )2＝116∑16i ＝1 (x 2i－16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX ＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^ )之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115 (1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
正态分布及其应用
正态分布的数理统计学概念： 正态分布的数理统计学概念： 如果随机变量（X）的概率密度函数为：
1 f ( x) = e σ 2π
( x−µ )2 −
2σ 2
-∞＜x＜+∞
则该随机变量服从正态分布。 式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π 为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底， 即2.71828···。
若某一随机变量X，其总体均数µ=0,总体标准差σ=1， 即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯 把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时， 我们把U或Z称为标准正态变量。 标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统 计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若 进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随 机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量 （U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化， 也称为U或Z变换。
下面我们以第一节某地13岁女孩118人的身高(cm)资料，来说明身高变量服从 正态分布。 频数分布表：
某地 13 岁女孩 118 人的身高(cm)资料频数分布 频数 （2） 2 2 8 20 26 25 20 9 3 2 1 118 身高组段 （1） 129～ 132～ 135～ 138～ 141～ 144～ 147～ 150～ 153～ 156～ 159～162 合计 组中值 (3) 130.5 133.5 136.5 139.5 142.5 145.5 148.5 151.5 154.5 157.5 160.5 —
百分位数法： 适用于资料服从偏态分布时。 公式： 双侧 1-α参考值范围： P (α 2 ) ～ P (1−α 2 ) 100 100 单侧 1-α参考值范围：> P α 或< P (1−α ) 100 100 例题参见教科书。
正态分布应用练习题
正态分布应用练习题正态分布（也称为高斯分布）是统计学中一种常见的概率分布。
它是以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的，因为他在研究测量误差时首先提出了这个分布。
正态分布在实际问题中的应用非常广泛，包括经济学、自然科学、社会科学等领域。
在本文中，我们将通过一些练习题来应用正态分布。
练习题一：考试成绩假设一门考试的平均分为80分，标准差为10分，试求该门考试的成绩分布情况。
解答：根据正态分布理论，我们可以利用正态分布的概率密度函数来计算某个分数的概率。
设考试成绩为X，则X服从正态分布N(80, 10^2)。
现假设有一名学生的考试成绩为90分，我们可以计算该成绩在整个考试成绩中的排名。
根据正态分布的概率密度函数，我们可以得到：P(X ≤ 90) = Φ((90-80)/10)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
查找标准正态分布表可得Φ(1) ≈ 0.8413。
因此，P(X ≤ 90) ≈ 0.8413，也就是说，该学生的考试成绩在所有考试成绩中排名约为84.13%。
练习题二：产品质量控制某公司生产的产品每天的重量符合正态分布，平均重量为500克，标准差为10克。
该公司规定产品的合格范围在490克到510克之间。
现在，我们要求计算该公司生产的产品中，重量符合规定范围的比例。
解答：设产品重量为X，X服从正态分布N(500, 10^2)。
我们可以计算该产品的重量在规定范围内的概率。
P(490 ≤ X ≤ 510) = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10)通过查找标准正态分布表，我们可以得到Φ(1) ≈ 0.8413 和Φ(-1) ≈ 0.1587。
因此，P(490 ≤ X ≤ 510) ≈ 0.8413 - 0.1587 ≈ 0.6826。
即该公司生产的产品中，重量在490克到510克之间的比例约为68.26%。
练习题三：房屋租金某城市的房屋租金符合正态分布，平均租金为5000元，标准差为1000元。
正态分布在生活中的应用
正态分布在生活中的应用
正态分布是一种常见的概率分布，在生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：
1. 身高分布：人类身高呈现出近似于正态分布的特点，即大多
数人身高都集中在平均值附近，而高矮个体数量逐渐减少。
这种分布在医疗健康、人类遗传学等领域中有着重要意义。
2. 考试成绩分布：在大规模考试中，成绩往往呈现出类似于正
态分布的形态。
这种分布可以帮助教师、学生和家长更好地理解考试成绩的分布情况，进而更好地制定学习计划、教学策略等。
3. 财富分布：财富分布也呈现出类似于正态分布的特点，即绝
大多数人的财富都集中在平均值附近，而极富或极贫的人数逐渐减少。
这种分布在经济学、社会学等领域中具有重要的研究价值。
4. 产品质量分布：在制造业中，产品质量往往呈现出近似于正
态分布的特点。
这种分布可以帮助企业更好地把握产品质量的分布情况，进而更好地制定品质控制策略。
总之，正态分布在生活中有着广泛的应用，它为我们提供了一种有效的统计工具，帮助我们更加深入地理解事物的分布情况，从而更好地制定决策和策略。
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正态分布用于实际,魅力无比[论文]
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正态分布用于实际，魅力无比数学是一门应用学科，它源于生活，又要服务于生活，所以许多数学知识都来源于实际，应用于实际，结合实际加以深化。
在工农业生产和实际生活中，有这样一类现象，被称为正态分布。
在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。
比如对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件相对稳定，而且不存在系统误差的明显因素，那么产品的尺寸服从正态分布。
生产中，在正常生产条件下，各种产品的质量指标，如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度等等，在生物学中，统一群体的某种特征，如同龄儿童的身高、体重、肺活量，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量、千粒重等等，都服从正态分布，正常情况下，一个班级、一个学校、一个地区学生的学习成绩，人的寿命也服从正太分布。
因此，掌握正态分布有很实际的意义。
正态分布是指随机变量的分布呈现中间多，两头少的趋势。
其密度函数为f（x）= 其中μ为随机变量取值的平均值，σ为随机变量的标准差。
并且有р（x≤a）表示直线x=a以及曲线还有x轴围成的区域的面积。
其中μ=0，σ=1的正态分布为标准正态分布，因正态分布特别重要，所以配有标准正态分布表。
在标准正态分布中，记р（x≤а）= φ（а），于是有：φ（0）=0.5，其他的非标准正态分布都可以转化为标准正态分布来解决，转化方法为р（ξ≤x）=φ（）下面通过几个例子来说明正态分布在实际中的应用。
如某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体。
平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若要录取40%，录取分数线是多少分？因为总体服从正态分布，又是非标准正态分布，因非标准正态分布可以转化为标准正态分布，可利用正态分布表求得结果。
设录取分数线为x分，由题意知分数在x分以上的占总体的40%，而成绩在x分以下的占60%，于是有р（ξ≤x）=60%，转化为标准正态分布为1?-φ（）=40%，即φ（）=60%，有标准正态分布表知φ（0.25）=60%，于是有 =0.25，解方程得x=505（分）。
正态分布生活实例
正态分布生活实例某大学九班有100位学生，其中70%的学生身高在160cm至170cm之间，身高低于160cm或高于170cm的学生占30%。
这个班级的身高分布可以用正态分布描述。
小明是这个班级的一名学生，身高为175cm。
他发现他的身高比班级大多数同学要高，但不知道具体有多少人的身高比他低。
于是他利用班级身高分布的正态分布特征，进行了计算。
根据正态分布的性质，小明可以通过计算标准差找出与他身高相近的学生人数。
假设这个班级的身高分布的均值为165cm，标准差为5cm。
小明知道，根据正态分布的规律，约有68%的学生身高在均值加减一个标准差范围内。
也就是说，大约有68%的学生身高在160cm至170cm之间。
而小明的身高处于这个范围之外。
他和其他32%的学生一起构成了另一部分正态分布的尾部，也就是身高低于160cm或高于170cm的学生。
但小明想要确定具体有多少人的身高比他低，他需要计算出标准差的相对位置。
小明的身高距离均值的差距为175cm-165cm=10cm。
接下来，他需要计算这个差距相对于标准差的倍数。
计算公式为：差距倍数 = 差距 / 标准差差距倍数 = 10cm / 5cm = 2根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据。
也就是说，大约有95%的学生的身高低于小明的身高。
小明可以通过计算人数比例来确定具体有多少人的身高比他低。
根据正态分布的性质，差距倍数为2的区域内有95%的数据，而差距倍数为2之外的区域的数据占据了剩余的5%。
他可以估计，在班级的学生中，有5%的学生的身高高于他。
通过以上分析，小明可以得到结论：在他的班级中，大约有5%的学生的身高比他低。
这个实例展示了正态分布的应用。
通过了解正态分布的性质，我们可以利用正态分布来分析和估计不同情况下的数据分布和相对位置，从而得出一些有用的信息。
正态分布在日常生活中的应用
正态分布是概率论中常用的一种概率分布形式，它在日常生活中的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用：
1. 统计分析：正态分布是统计分析中常用的概率分布形式。
在统计分析中，我们经常需要对一些随机变量进行分析，例如身高、体重、考试成绩等。
这些变量通常可以近似地看作正态分布，因此我们可以使用正态分布来进行统计分析和推断。
2. 假设检验：假设检验是统计学中常用的一种方法，用于检验一个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要使用正态分布来计算假设检验的结果是否成立。
例如，我们可以通过使用正态分布来计算一个样本的平均值是否与总体平均值存在显著差异。
3. 质量控制：正态分布是质量控制中常用的概率分布形式。
在生产过程中，我们通常需要对产品的质量进行控制，以确保产品质量符合要求。
使用正态分布可以帮助我们确定产品的公差和不合格率，以及制定相应的质量控制方案。
4. 金融领域：正态分布是金融领域中常用的概率分布形式。
在金融学中，我们通常需要对资产的价格进行概率分布分析，例如股票价格、债券收益率等。
使用正态分布可以帮助我们计算资产价格的波动性、风险和预期收益。
5. 自然科学：正态分布是自然科学中常用的概率分布形式。
在自然科学领域，我们经常需要对一些自然现象进行分析，例如物理学中的粒子运动、化学反应等。
使用正态分布可以帮助我们对这些自然现
象进行概率分析和预测。
正态分布在日常生活中的应用非常广泛，包括统计分析、假设检验、质量控制、金融领域和自然科学等多个领域。
了解正态分布的基本理论和应用方法可以帮助我们更好地理解和分析这些领域中的问题和现象。
正态分布详解(很详细)
所以 h 170 =2.33,
6
即 h=170+13.98 184
设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.
这一讲，我们介绍了正态分布，它的 应用极为广泛，在本课程中我们一直要和 它打交道.
后面第五章中，我们还将介绍为什么 这么多随机现象都近似服从正态分布 .
解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
因为X～N(170,62), X 170 ~ N (0,1)
6
故
P(X< h)=
( h 170) 6
0.99
查表得 (2.33)=0.9901>0.99f (x源自 1e , (
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
回忆我们在本章第三讲中遇到过的 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨 量的数据画出了频率直方图。
P(|X| 1)=2(1)-1=0.6826
P(|X| 2)=2(2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2)时，
P(|Y | ) 0.6826 P(|Y | 2 ) 0.9544
正态分布在实际生活中的应用
《概率论与数理统计》之蔡仲巾千创作论文 正态分布在实际生活中的应用正态分布在实际生活中的应用摘要：正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
其密度函数为：)2/()(2221)(σμπσ--=x e x f ，由μ、σ决定其性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；还有智力测试、填报志愿等问题。
关键词：正态分布 实际应用 预测正文：正态分布（normal distribution ）又名高斯分布（Gaussian distribution ），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其尺度差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布的密度函数：)2/()(2221)(σμπσ--=x e x f • f (x)为与x 对应的正态曲线的纵坐标高度；• μ为总体均数即数学期望决定了其图像位置•σ为总体尺度差决定了分布的幅度；•π为圆周率，即3.14159；• e 为自然对数的底，即2.71828。
我们通常所说的尺度正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定，他还具有如下特征：1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4、正态分布有两个参数，即均数μ和尺度差σ，可记作N （μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；尺度差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
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（二）医学参考值范围制定的一般原则：
1、抽取足够数量的“正常人”作为调查对象 2、对选定的正常人进行统一而准确的测定 3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组 确定医学参考值范围 4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围 5、选定适当的百分界限 6、选择适当制定方法
病人
a.如需兼顾假阳性和假阴性，取95％较适当； b.如主要目的是减少假阳性（如用于确诊病 人或选定科研病例），宁取99％。
c.如主要目的是减少假阴性（如用于初筛搜 查病人），宁取80％或90％。
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6、选择适当制定方法（见下）。 （三）制定医学参考值范围常用方法：
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1、正态分布法
(1)适用范围：（近似）正态分布或对数正 态分布资料
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（二）医学参考值范围制定的一般原则：
1、抽取足够数量的“正常人”作为调 查对象
“正常人”— 不是究指 标的疾病和因素的人。
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例如:制定SGPT（谷丙转氨酶）正常值 范围，“正常人” 的条件是：
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（2）医学参考值范围制定所需的样 本例数一般要求 n>100
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2、对选定的正常人进行统一而准确的测定：
(1)测定的方法、仪器、试剂，操作 的熟练程度，方法的精确度均要统一；
(2)要尽量与应用医学参考值范围时的 实际情况一致。
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3、考虑是否应按性别、年龄、职业等 因素分组确定医学参考值范围。
原则上，组间差别明显，并有实 际意义，应分开制定，否则应合并。
当μ一定时， σ越大，表示数据越分散，曲线越“胖”； σ越小，表示数据越集中，曲线越“瘦”。
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三、正态曲线下面积分布规律
无论μ σ取什么值，正态曲 线与横轴间的面积总等于1
面积总 等于1
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熟记下列常用的曲线下面积分布规律： 1 2 3
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X-S X+S
2.5%
X-1.96S X+1.96S
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根据所选定的百分界限， 会造成假阳性或/和假阴性。
如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性：
（1）正常人的分布和病人的分布没有 重叠，这是只要求减少假阳性，则取 99％较为理想。
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正常人
病人
诊断界值
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（2）正常人分布与病人分布有重叠
假阴性（漏诊）
假阳性（误诊）
正常人
诊断界值
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即身=0高.1界39于2=11136..952-%119.0cm范围内的 7岁男童比例为13.92%， 其人数为110×13.92%=15（人）。
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第三节 正态分布的应用
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一、估计频数分布
例3.3 （略）
例3.4
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二、制定参考值范围
（一）医学参考值范围意义： 医学参考值范围（亦称为正常值
4.72
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例3.3 已知 X=121.95cm, S=4.72cm 欲估计身高界于116.5-119.0cm范
围内的7岁男童比例及人数。
求该面积
-1.15 -0.63
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Ф(u1) =Ф(1Ф.(1u52))=0=.Ф12(5-1 0.63)=0.2643 Ф(u2)- Ф(u1) = 0.2643 0.1251
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考察组间差别最简便而有效的方法 是：
从频数分布表，直接比较各组的 分布范围，高峰位置，分布趋势等是否相 近，如相近就合并，如差异明显，就分组。 或做两样本均数的假设检验，有差别就分 组，无差别就合并。精品课件
4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围。
（1）白细胞数过高和过低均属于异常， 需制定下限（最小值）和上限（最大 值），称双侧医学参考值范围。
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68.27%
95.00% 2.5%
第二节 标准正态分布 一、标准正态分布与标准化变换
正态分布是一个分布族。对应于不 同的参数μ和σ会产生不同位置不同形 状的正态分布。
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为了应用方便，令
u x
u变换
标准正态 分布
u服从均数为0、标准差为1的正态分布
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-1.0 +1.0
2.5%
(2)计算公式： x ±uS
单侧
双侧
上限
x 95％ ±1.96S x 99％ ±2.58S
95％ x ＋1.645S 99％ x ＋2.326S
下限
95％ x －1.645S
x 99％ －2.326S
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2、百分位数法
(1)适用范围： a.偏态分布资料 b.分布不清资料 c.开口资料
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(2)计算公式：
-1.96 +1.96
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68.27%
95.00% 2.5%
二、标准正态分布表 附表Ⅰ
Φ(u)
－∞
－3
－2
－1
0
＋1
＋2
＋3 ＋ ∞
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查表确定标准正态分布曲线下的 面积时必须注意：
（1）当μ，σ和X已知时，先按u变 换公式求得u值，再用u值查表；
u x
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当μ，σ和X未知时，用样本 均数和样本标准差S代替求u值。
双侧：
95％ P2.5～P97.5 99％ P0.5～P99.5
单侧：
上限 95％ P95 99％ P99
u x x
s
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（2）查表时，可以利用标准正态分 布的两个特征：
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例3.3 已知 X=121.95cm, S=4.72cm 欲估计身高界于116.5-119.0cm范
围内的7岁男童比例及人数。
求该面积
116.5 119.0
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116.5－121.95 u＝1=－ 1.15
4.72 119.0－121.95 u＝2=－ 0.63
正态分布及其应用
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第一节、正态分布的概念及 特征 一、正态分布图形
两头低，中间高，左右对称， 呈钟型的单峰曲线。
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正 态 分 布 特 征
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二、正态分布的两个参数
（1）μ－位置参数：
当 σ一定时，μ越大，曲线越向右移动；μ 越小，曲线越向左移动。
（2）σ－离散度参数，决定曲线的形态：
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(2)肺活量只过低为异常，只需制定医学 参考值范围的下限； 尿铅只过高为异常， 只需制定医学参考值范围的上限；均称 单侧医学参考值范围。
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5、选定适当的百分界限。
正常值范围的意思：绝大多数正 常人的某项观察值均在该范围之内。这 个绝大多，习惯上指正常人的80％、90 ％、95％、99％（最常用是95％）。