高等代数北大编-第1章习题参考答案

第一章 多项式

一 、习题及参考解答

1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2

2

3

+-=---=x x x g x x x x f ； 2）

2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得9

2926)(,9731)(--=-=

x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2

+-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3

2

|1， 2）q px x mx x ++++2

4

2

|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2

=-+++m q x m p ，

所以当⎩⎨⎧=-=++0

012m q m p 时有q px x mx x ++-+3

2|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0

10

)2(2

2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨

⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2

12

m p q 时，皆有q px x mx x ++++2

42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：

1）5

3

()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3

2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）

432()261339109()327

q x x x x x r x =-+-+=-；

2）

2()2(52)()98q x x ix i r x i

=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成

2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+

的形式：

1）5

0(),1f x x x ==；

2）42

0()23,2f x x x x =-+=-；

3）432

0()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

解 1）由综合除法，可得2345

()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-； 2）由综合除法，可得4

2

2

3

4

231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++； 3） 由综合除法，可得4

3

2

2(1)3(7)x ix i x x i +-+-++

234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++。

5．求()f x 与()g x 的最大公因式：

1）43232

()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--； 2）4332

()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；

3

）42432

()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++。

解 1）((),())1f x g x x =+； 2）((),())1f x g x =；

3

）2

((),())1f x g x x =--。

6．求(),()u x v x 使()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=。 1）432432

()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232

()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322

()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--。

解 1）因为2

2((),())2()f x g x x r x =-=

再由11212()()()()

()()()()

f x q x

g x r x g x q x r x r x =+⎧⎨

=+⎩，

解得

22121212()()()()()()[()()()][()]()[1()()]()r x g x q x r x g x q x f x q x g x q x f x q x q x g x =-=--=-++，

于是

212()()1

()1()()11(1)2

u x q x x v x q x q x x x =-=--=+=++=+。

2）仿上面方法，可得((),())1f x g x x =-，且21122

(),()13333

u x x v x x x =-

+=--。 3）由((),())1f x g x =可得3

2

()1,()32u x x v x x x x =--=+--。

７．设3

2

()(1)22f x x t x x u =++++与3

2

()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值。 解 因为

32211212()()()()()(2)()()()()

f x q x

g x r x x tx u x x u g x q x r x r x =+=+++++=+，

2((2))(2)(24)(3)x t x x u u t x u t =+-++-+-+-，

且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式2()r x 为0，即

(24)0

(3)0

u t u t -+-=⎧⎨

-=⎩， 从而可解得1102u t =⎧⎨

=⎩ 或 22

2

3u t =-⎧⎨=⎩。 ８．证明：如果()|(),()|()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。

证 易见()d x 是()f x 与()g x 的公因式。另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式，下证

()|()x d x ϕ。

由于()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，这就是说存在多项式()s x 与()t x ，使

()()()()()d x s x f x t x g x =+，

从而由()|(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ，得证。

９．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，(()h x 的首系数为１）。 证 因为存在多项式(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，