现代控制理论试题及答案 研究生现代控制工程试卷
现代控制理论考试题及答案
答案及评分标准一，填空（3分每空，共15分）1．输出变量 2.变量的个数最少 3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001 4. 其状态空间最小实现为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100001100010 ； u x y 2102121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 5. 0,021==x x二，选择题（3分每题，共12分） 1.B 2.D 3.B 4.C三，判断题（3分每题，共12分）1.2. √3.4. √四，简答题（共23分）1.（5分） 解 判定系统11221223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。
解 2114523I A λλλλλ+--==+++，两个特征根均具有负实部，（3分） 系统大范围一致渐近稳定。
（2分） 无大范围扣一分，无一致渐近扣一分。
2. （5分）11b ab b -⎛⎫⎪--⎝⎭能控性矩阵为 （2分）1 rank 211det 1b ab b b ab b -⎛⎫= ⎪--⎝⎭-⎛⎫⇔ ⎪--⎝⎭210b ab =-+-≠ （5分）3.（8分）在零初始条件下进行拉式变换得：)()(2)()()(2)(3)(223S U S SU S U S S Y S SY S Y S S Y S ++=+++12312)()()(232+++++==∴S S S S S S U S Y S G （4分）[]XY U X X 121100321100010.=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∴ （8分）4.(5分)解：[]B CS G A SI --=1)( （2分）2342+--=S S S （5分） 五，计算题1. 1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦能控性矩阵满秩，所以系统能化成能控标准型。
（2分）[][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（10分） 能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010..（12分） 2. 解：11][)(---==A SI L e t At φ (２分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A SI L e t 3232323211326623][)(φ (8分) ∴系统零初态响应为 X(t)=0,34121)(32320)(≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-----⎰t e e e e d Bu et t t t t t A τττ (12分) 3. 解：因为能观性矩阵满秩，所以系统可观，可以设计状态观测器。
现代控制理论试题
现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】现代控制理论试题一、名词解释（15分）1、能控性2、能观性3、系统的最小实现4、渐近稳定性二、简答题（15分）1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么三、计算题（70分）1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。
其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。
2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)图1：RC无源网络3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程：其中，采样周期为T=2.4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。
现代控制理论试题答案一、概念题1、何为系统的能控性和能观性答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。
（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。
若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
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现代控制理论试题及答案一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。
其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。
取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。
解f ma =……………………………….……1分令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有122u kx kx mx --=&………………………………2分于是有12x x =&………………………………..……………1分2121k h x x x u m m m=--+&……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有1y x =…………………………….……….1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有11220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&………..……………..2分 []1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………………..……….……….2分二、（8分）矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&xAx ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 。
试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。
解因为系统的零输入响应是()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分所以221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ 将它们综合起来，得22122(,0)11tt tt e e t e e ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦Φ……………….……….2分 122222222122(,0)11122112222t t tt t t t t t t t t t tt t e e t e e e e ee e e e e e e e e -----------------⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦Φ …………….……….2分 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程()()00,,dt t t t dt=A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：0100022220(,)(,)222424t t ttttt t tt t d t t t t dt e e e e e ee e -==--------=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎡⎤-+-+=⎢⎥-+-+⎣⎦A ΦΦ…………….……….1分0213⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦…………………………………….……….1分三、（10分）（1）设系统为()()()011, (0)011a t t u t x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦&x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。
现代控制理论试卷答案3套
现代控制理论试卷 1一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
（）(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。
（）(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。
（）(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。
（）(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。
（）二、（12分）已知系统1001010,(0)00121x x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t.三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43Ws s++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。
四、（9分）已知系统[]210020,011003x x y⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。
八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
现代控制理论 试卷 1参考答案一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
现代控制理论试题(详细答案)
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制工程-试题+答案
5
统是稳定的，但非渐进稳定。 ③ 当 a0 时， 原点是 给定系 统的唯 一平衡 态，如 果选择 正定函 数
1 2 V ( x) ( x12 x2 ) 为李雅普诺夫函数，那么 V ( x) 对时间的全导数为 a 2 4 V ( x) ( x1 x1 x2 x2 ) 2( x14 x2 )0 a
可得， a b 0且d 0 。
0 1 0 rank 0 1 3 0 b2 d 0 0 bd (b a) d bd
③综上所述，d 0 。
2、试用李雅普诺夫（Lyapunov）第二方法分析判定系统在平衡状态的稳定性。 （1） X
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
状态完全能控的充分必要条件为如下定义的能控性矩阵
Qc [ B
满秩，即
AB
An1 B]
rankQc rank[ B
AB
An1 B] n
0 0 0 1 由题可知， A 1 a 0 ， B 0 ， 0 0 b c
传递函数为
Y (S ) 10 U ( S ) S ( S 1)
试利用状态观测器、状态反馈的基本概念，以及极点配置原理，设计带全维状态观 测器的状态反馈闭环控制系统。 系统要求设计指标为： 全维状态观测器的希望极点为-15， -15；闭环控制系统的希望极点为-2+j 和-2-j。要求：①分析极点配置的基本条件；②写 出在给定希望极点条件下求解状态反馈阵 K 和状态观测阵 L 的计算步骤；③写出带全维 状态观测器的闭环控制系统状态空间表达式；④画出带全维状态观测器的状态反馈闭环 控制系统的详细状态变量图。 答： （1）极点配置的基本条件：对线性定常系统 ( A, B) 利用线性状态反馈阵 K ，能使状态 反馈闭环系统 K ( A BK , B) 的极点任意配置的充分必要条件为被控系统 ( A, B) 状态 完全能控。 ①判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+&&&&&&&，试求其状态空间最小实现。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1A1,B1,C1和=∑2A2,B2,C2是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的完全能观的,则∑2是状态完全能观的完全能控的.对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=A,B,C,状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵变换矩阵,空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φt2.线性定常非齐次方程的解:xt=Φtx0+∫t0Φt-τBuτdτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态xt0,转移到指定的任一终端状态xtf,称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:1在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.2T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为rn维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.1状态反馈不改变受控系统的能控性2输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能1采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控2对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件1∑0完全能控2动态补偿器的阶数为n-13对系统用从输出到x线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定1对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定2对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的3对系统采用输出到x反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出 11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ,试求其状态空间最小实现;5分 ②设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =试判定系统的能控性;5分2 已知系统的状态空间表达式为00001⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时,系统的输出)(t y ;10分 3给定系统的状态空间表达式为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ,211021y x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦,若能,则将其解耦10分 4 给定系统的状态空间表达式为设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器10分 5 ①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点,并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围;5分② 判定系统11221223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性;5分6 已知系统 u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型;10分 7 已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]1110y x = 求出串联后系统现代控制理论试题1 ① 取拉氏变换知 )()2()()22(33s u s s s y s ++=+21121)1(21)(2213++-=+++=s s s s s g 3分其状态空间最小实现为u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y 2分② 1n c u B ABA B -⎡⎤=⎣⎦012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,秩为2,系统状态不完全能控; 2 解 02210(,)0.50.51⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭t t t t , 0()(,0)(0)(,)()tx t t x t B d τττ=Φ+Φ⎰ 1y = 3解 [][]100211101101c B ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, [][]200021102101c B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以120d d ==,121121E E E -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; 1111213--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E 又因为E 非奇异,所以能用实现解耦控制; 2分12630011c A F c A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1分 求出u kx Lv =-+4 解 令122E E E E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 代入系统得()123120()011100101sE sI A EC sE s E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--=---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭理想特征多项式为*332()(1)331f x s s s s =-=+++ 列方程,比较系数求得 001E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 全维状态观测器为[]ˆˆx A EC x Bu Ey =-++ 12020ˆ01100,00111x u y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦5 解 ①显然原点为一个平衡点,根据克拉索夫斯基方法,可知 因为 02<-；所以,当0)cos 21(42cos 21cos 212211111>--=----x a a x x时,该系统在原点大范围渐近稳定;解上述不等式知,491>a 时,不等式恒成立; 即491>a 时,系统在原点大范围渐近稳定; ② 解 2114523I A λλλλλ+--==+++,两个特征根均具有负实部,系统大范围一致渐近稳定;2分6 解 1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ [][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 7 解 组合系统状态空间表达式为[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5分组合系统传递函数为21()()()G s G s G s = 2分21331(1)(1)(1)(1)s s s s s s s ++=⨯=+-+-+ 3分。
现代控制理论试题
现代控制理论试题现代控制理论试题⼀、名词解释（15分）1、能控性2、能观性3、系统的最⼩实现4、渐近稳定性⼆、简答题（15分）1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？3、传递函数矩阵的最⼩实现A、B、C和D的充要条件是什么？4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？三、计算题（70分）1、RC⽆源⽹络如图1所⽰，试列写出其状态⽅程和输出⽅程。
其中，为系统的两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出输⼊，选y。
23、4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和5、a的6、判断原点平衡状态即稳定：7、试确定⼀个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。
现代控制理论试题答案⼀、概念题1、何为系统的能控性和能观性？答：（1）对于线性定常连续系统，若存在⼀分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。
（2）对于线性定常系统，在任意给定的输⼊u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯⼀地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。
若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
2、何为系统的最⼩实现？答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建⽴系统的状态空间表达式的⼯作，称为实现问题。
在所有可能的实现中，维数最⼩的实现称为最⼩实现。
3、何为系统的渐近稳定性？答：若在时刻为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于的实数和任意给定的初始状态，使得时，有，则称为李雅普若夫意义下的渐近稳定⼆、简答题1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？答：⽅法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：。
现代控制理论试卷及答案
现代控制理论试卷一、简答题（对或错，10分）（1）描述系统的状态方程不是唯一的。
（2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。
（3）对单输入单输出系统，如果1()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。
（4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。
（5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。
（6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。
（8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。
（9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。
（10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。
对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。
二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。
（15分）1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦12(0)0,(),0(0)1tx u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、设系统的传递函数为()10()(1)(2)y s u s s s s =++。
试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。
（15分） 四、已知系统传递函数2()2()43Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。
（15分）五、已知系统的动态方程为[]211010a x x uy b x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。
现代控制理论试题(详细答案)
现代控制理论试题B 卷及答案2 1cvcvx ，一、 1 系统 x2xu, y 0 1 x 能控的状态变量个数是 0 1能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2 试从高阶微分方程 y3y 8 y 5u 求得系统的状态方程和输出方程（4 分/ 个）解 1 ． 能控的状态变量个数是 2，能观测的状态变量个数是 1。
状态变量个数是 2。
⋯ .. （4 分）2．选取状态变量 x 1y ， x 2y ， x 3y ，可得⋯ .. ⋯ . ⋯⋯ .（1 分）x 1 x 2x 2 x 3⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分）x 3 8x 1 3x 35uy x 1写成 0 1 0 0x0 0 1 x 0 u ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分）8 035y 1 0 0 x ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分）二、 1 给出线性定常系统 x( k 1) Ax( k) Bu( k), y(k) Cx (k) 能控的定义。
（3 分）2 1 0 2 已知系统 x0 2 0 x, y 0 1 1 x ，判定该系统是否完0 03全能观？ (5 分)解 1 ．答：若存在控制向量序列 u (k ), u(k 1), , u(k N 1) ，时系统从第k 步的状态 x(k) 开始，在第 N 步达到零状态，即 x( N ) 0 ，其中 N 是大于0 的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个 k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
⋯ .. ⋯. ⋯⋯ . （3 分）2.2 1 0CA 0110 2 0 0 2 3⋯⋯⋯.. ⋯⋯⋯.0 0 3（1 分）2 1 0CA20230 2 0 0 4 9 ⋯⋯.. ⋯⋯⋯.（1分）0 0 3C 0 1 1U O CA 0 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯ . （1 分）CA20 4 9rankU O 2 n ，所以该系统不完全能观⋯⋯ .. ⋯. ⋯⋯ .（2 分）三、已知系统 1、 2 的传递函数分别为g1 (s)s2 1 ,g2s 1 3s 2( s)3s 2 s2s2求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+&&&&&&&，试求其状态空间最小实现。
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
(完整版)现代控制理论试卷答案与解析
现代控制理论试卷作业一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流11121222121212010Y xUR R R RY xR R R R R R⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和电容C上的电压2x为状态变量，电容C上的电压2x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L ci x u x==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：2221R C x x L x••+-=1121()0R x C x L x u••++-=从上述两式可解出1x•，2x•，即可得到状态空间表达式如下：121121212()()R Rx R R LRxR R C••⎡-⎡⎤⎢+⎢⎥⎢=⎢⎥⎢-⎣⎦⎢+⎣121121221212()()11()()R RxR R L R R LuxR R C R R C⎤⎡⎤⎥⎢⎥++⎡⎤⎥⎢⎥+⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦-⎥⎢⎥++⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡21yy=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-21121211RRRRRRR⎥⎦⎤⎢⎣⎡21xx+uRRR⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+212二、考虑下列系统：（a）给出这个系统状态变量的实现；（b）可以选出参数K（或a）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。
解：（a）模拟结构图如下：13123312312321332133x u kx xx u kxx x x axy x x•••=--=-=+-=+则可得系统的状态空间表达式：123xxx•••⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦32-⎡⎢⎢⎢⎣112311xkk x ua x-⎡⎤⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥-+⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦[2y=1]123xxx⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（b ） 因为 3023A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 001 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦ 110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦302Ab -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦131001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 23023A b -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦301-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦92k k a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ [M b = Ab 2110A b ⎡⎢⎤=⎦⎢⎢⎣ 301- 91020k k a -⎤⎡⎥⎢-→⎥⎢⎥⎢--⎦⎣ 010 31k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。
现代控制理论期末试题及答案
现代控制理论期末试题及答案一、选择题1. 以下哪项不是现代控制理论的基本特征？A. 多变量控制B. 非线性控制C. 自适应控制D. 单变量控制答案：D. 单变量控制2. PID控制器中，P代表的是什么？A. 比例B. 积分C. 微分D. 参数答案：A. 比例3. 动态系统的状态方程通常是以什么形式表示的？A. 微分方程B. 代数方程C. 积分方程D. 线性方程答案：A. 微分方程4. 控制系统的稳定性可以通过什么分析方法来判断？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 巴特沃斯准则D. 极点分布答案：C. 巴特沃斯准则5. 控制系统的性能可以通过什么指标来评估？A. 驰豫时间B. 超调量C. 峰值时间D. 准确度答案：A. 驰豫时间二、问答题1. 说明PID控制器的原理和作用。
答：PID控制器是一种常用的控制器，它由比例环节（P）、积分环节（I）和微分环节（D）组成。
比例环节根据控制误差的大小来产生控制量，积分环节用于累积控制误差并增加控制量，微分环节用于预测控制误差的变化趋势并调整控制量。
PID控制器的作用是通过调整上述三个环节的权重和参数，使得控制系统能够尽可能快速地响应控制信号，并且保持控制精度和稳定性。
2. 什么是状态空间法？简要描述其主要思想。
答：状态空间法是用于描述动态系统的一种方法。
其主要思想是将系统的状态表示为一组变量的集合，通过对这些变量的微分方程建模来描述系统的动态行为。
状态空间模型包括状态方程和输出方程，其中状态方程描述了系统状态的变化规律，输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
通过求解状态方程和输出方程，可以得到系统的状态响应和输出响应，进而对系统进行分析和设计。
三、计算题1. 给定一个具有状态方程和输出方程如下的系统，求解其状态和输出的完整响应。
状态方程：\[\dot{x} = Ax + Bu\]\[y = Cx + Du\]其中，矩阵A为\[A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}\]矩阵B为\[B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]矩阵C为\[C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\]矩阵D为\[D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}\]初值条件为：\[x(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]输入信号为：\[u(t) = 2 \sin(t)\]答：首先，根据给定的状态方程和初值条件，可以求解出系统的状态响应。
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现代控制理论试题及答案
一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。
其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。
取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。
解
f ma =……………………………….……1分
令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有
122u kx kx mx --=&………………………………2分
于是有
12x x =&………………………………..……………1分
2121
k h x x x u m m m
=-
-+&……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有
1y x =…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
11
220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&………..……………..2分 []1210x y x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
……………………..……….……….2分
二、（8分）矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&x
Ax ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦x 时，2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x 。
试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。
解
因为系统的零输入响应是
()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分
所以
221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ 将它们综合起来，得
22122(,0)11t
t t
t e e t e e ----⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦Φ……………….……….2分 1
22222222122(,0)11122112222t t t
t t t t t t t t t t t
t t e e t e e e e e
e e e e e e e e e -----------------⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦
Φ …………….……….2分 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程
()()00,,d
t t t t dt
=A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：
01000
22220
(,)(,)
222424t t t
t
t
t
t t t
t t d t t t t dt e e e e e e
e e -==--------=⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭⎡⎤-+-+=⎢⎥-+-+⎣⎦A ΦΦ…………….……….1分
0213⎡⎤
=⎢⎥
--⎣⎦
…………………………………….……….1分
三、（10分）（1）设系统为
()()()011, (0)011a t t u t x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。
(2)已知系统[]011, 11341u y ⎡⎤⎡⎤
=+=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x
x x ，写出其对偶系统（3分）。
解 （1）
()00at
bt e t e --⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
Φ……………………………..…….……..1分 ()()0
()(0)()d τt t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..2分
()
()010
10d τ110
a t at
t bt b t e e t e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..1分 ()()0d τa t at t bt b t e e e e τ
τττ------⎡⎤
⎡⎤=+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰.……….…………………..…..1分
111=111at at bt bt e t e a a a e t e b b b ----⎡⎤
⎛⎫+-+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎛⎫+-+⎢⎥
⎪⎝⎭⎣
⎦…………………………..…..2分 （2）
031141u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x x ………….….……….……..2分
[]11y =x ……….………………...……….……..1分
四、（10分）
（1）求系统[]111222102, 11121x x x u y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&的传递函数()g s .（5分） (2)求系统110102110111u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
&x x 的能控标准型（可以不求变换矩阵）。
（5分）
解 (1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：
1()()g s c sI A b -=-……….……….…………….1分
由
1012s sI A s -⎡⎤
-=⎢⎥
--⎣⎦
…………...………………..1分 得
1
101()11(1)(2)2s sI A s s s -⎡⎤
⎢⎥
-⎢
⎥-=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
………..………….1分
于是
[]21021
()11111(1)(2)2333322
s g s s s s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎡⎤-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎢⎥---⎣⎦
-==
-+-…………..2分
（2）
1
10
210
1
1
s s I A s s +-⋅-=--+………...……………….1分
2(1)(1)s s s =+-- …...………………………1分
3221s s s s s =--+--…………..……………1分 321s s =--……………………………………1分
从而知能控标准型为
010*********u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
&x x …………………………1分
五、(10分）（1）利用Lyapunov 第一方法判断系统平衡点0x =的稳定性（5分）：
1
11222124sin 331
x x x x x x x e x =+-=-++&&
（2）取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性（5分）：
1153x x ⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
&
解
（1）
1
20
1
14cos 33x x x A e =-⎛⎫= ⎪-⎝⎭…………………………….2分 1323-⎛⎫= ⎪⎝⎭
……………………………………………….1分 A 的特征值为25±，具有正实部…………………………..1分
所以系统在平衡点0x =不稳定……………………...……….1分
（2）
令a b P b c ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
0T A P PA Q ++=………………………………………….1分
21010
2502610
a b b c a b c -+=--+=-+=…………………………………………….1分 4.5110.5P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
…………………………………………..….2分
4.50, 1.250P >=>，P 正定，大范围一致渐近稳定….1分。