【精品】高二数学上第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质教案

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人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质

x a
2 2

y b
2 2
1
渐近线为
x a

y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2

x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b

x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2

y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶焦
对
点点
称轴
F1
A1
A2
F2
X

高中数学双曲线几何性质教案

高中数学双曲线几何性质教案
一、教学目标：
1. 了解双曲线的定义和基本性质；
2. 能够根据给定条件解决双曲线相关问题；
3. 掌握双曲线的方程和图像特点。

二、教学内容：
1. 双曲线的定义和基本性质；
2. 双曲线的方程和图像特点；
3. 双曲线的焦点、准轴、渐近线等相关概念。

三、教学重点：
1. 理解双曲线的几何性质；
2. 掌握双曲线的方程和图像特点。

四、教学难点：
1. 理解双曲线方程中参数对图像的影响；
2. 能够灵活运用双曲线的性质解决问题。

五、教学方法：
1. 讲解结合示例；
2. 提问互动，引导学生思考；
3. 小组讨论，合作解题。

六、教学过程：
一、导入
1. 欢迎学生，引入双曲线的定义和概念；
2. 让学生回顾椭圆和抛物线的性质，引申到双曲线。

二、讲解
1. 介绍双曲线的定义和一般方程；
2. 讲解双曲线的图像特点和性质；
3. 详细解释双曲线的焦点、准轴、渐近线等重要概念。

三、练习
1. 带学生做几道双曲线方程求解问题；
2. 引导学生分组合作，解决双曲线相关实际问题。

四、巩固
1. 总结双曲线的性质和特点；
2. 提醒学生复习重点内容，做好准备。

七、作业布置
1. 布置相关习题，巩固所学知识；
2. 提供实际问题，让学生应用双曲线知识解答。

八、评价与反思
1. 对学生的学习情况进行评价；
2. 总结教学过程，反思教学方法，提出改进意见。

以上是本节课的教学内容，希望同学们能认真学习，掌握双曲线的性质和应用，成为数学的高手！。

学高中数学圆锥曲线与方程双曲线的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修

２．２．２双曲线的简单几何性质学习目标核心素养１．掌握双曲线的简单几何性质．（重点）２．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．（难点）１．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.２．借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.１．双曲线的几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点（—a,0），（a,0）（0，—a），（0，a）轴长实轴长＝２a，虚轴长＝２b离心率e＝错误!>１渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x（２）双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] （１）渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．（２）e２＝错误!＝１＋错误!，错误!是渐近线的斜率或其倒数．２．双曲线的中心和等轴双曲线（１）双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．（２）等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝错误!.１．双曲线错误!—y２＝１的顶点坐标是（）Ａ．（４,0），（0,１）Ｂ．（—４,0），（４,0）Ｃ．（0,１），（0，—１）Ｄ．（—４,0），（0，—１）B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝４，因此双曲线的顶点坐标是（—４,0），（４,0）．]２．中心在原点，实轴长为１0，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１B[由题意可知２a＝１0,２b＝6，即a＝５，b＝３，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１，故选Ｂ．]３．若点M（x0，y0）是双曲线错误!—错误!＝１上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．（—∞，—４]∪[４，＋∞）R y＝±错误!x错误![由错误!—错误!＝１得错误!≥１，即x0≥４或x0≤—４，y0∈R.渐近线方程为y＝±错误!x，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.]双曲线的几何性质２２线方程．[思路点拨] 先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是错误!—错误!＝１，∴a２＝9，b２＝４，∴a＝３，b＝２，c＝错误!.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（—３,0），（３,0），焦点坐标为（—错误!，0），（错误!，0），实轴长２a＝6，虚轴长２b＝４，离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为y＝±错误!x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤１把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.２由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.３由c２＝a２＋b２求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.错误!１．（１）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±２x的是（）Ａ．x２—错误!＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—x２＝１Ｄ．y２—错误!＝１（２）若双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±２xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x（１）C（２）B[（１）A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令错误!—x２＝0，得y＝±２x；令y２—错误!＝0，得y＝±错误!x.故选Ｃ．（２）在双曲线中，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x.]由双曲线的几何性质求标准方程（１）以直线２x±３y＝0为渐近线，过点（１,２）；（２）与双曲线错误!—错误!＝１具有相同的渐近线，且过点M（３，—２）；（３）过点（２,0），与双曲线错误!—错误!＝１离心率相等；（４）与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，离心率为错误!.[解] （１）法一：由题意可设所求双曲线方程为４x２—9y２＝λ（λ≠0），将点（１,２）的坐标代入方程解得λ＝—３２．因此所求双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．法二：由题意可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝１（mn>0）．由题意，得错误!解得错误!因此所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．由点M（３，—２）在双曲线上，得错误!—错误!＝λ，λ＝—２．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝错误!，故所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝—错误!<0（舍去）．综上可知，所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．（４）法一：由椭圆方程可得焦点坐标为（—３,0），（３,0），即c＝３且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．因为e＝错误!＝错误!，所以a＝２，则b２＝c２—a２＝５，故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（１6<λ<２５）．因为e＝错误!，所以错误!＝错误!—１，解得λ＝２１．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx２—ny２＝１（mn>0），从而直接求解．２．常见双曲线方程的设法（１）渐近线为y＝±错误!x的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0，m>0，n>0）；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A２x２—B２y２＝m（m≠0，A>0，B>0）．（２）与双曲线错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）共渐近线的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ或错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（３）与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）离心率相等的双曲线系方程可设为错误!—错误!＝λ（λ>0）或错误!—错误!＝λ（λ>0），这是因为离心率不能确定焦点位置．错误!２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）虚轴长为１２，离心率为错误!；（２）焦点在x轴上，离心率为错误!，且过点（—５,３）；（３）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±错误!x.[解] （１）设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由题意知２b＝１２，错误!＝错误!且c２＝a２＋b２，∴b＝6，c＝１0，a＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．（２）∵e＝错误!＝错误!，∴c＝错误!a，b２＝c２—a２＝a２.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0）．把点（—５,３）代入方程，解得a２＝１6．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设以y＝±错误!x为渐近线的双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），当λ>0时，a２＝４λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝错误!.当λ<0时，a２＝—9λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝—１．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．双曲线的离心率问题１．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．２．若探究１中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）中的a，b存在怎样的关系？提示：直线l的斜率k≤错误!.【例３】（１）设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝１２0°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] （１）根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；（２）可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有错误!≥tan 60°.（１）错误!（２）[２，＋∞）[（１）由题意２c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝２×２c×sin 60°＝２错误!c，由双曲线的定义，有２a＝|AC|—|BC|＝２错误!c—２c⇒a＝（错误!—１）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）因为双曲线渐近线的斜率为k＝错误!，直线的斜率为k１＝tan 60°＝错误!，故有错误!≥错误!，所以e＝错误!＝错误!≥错误!＝２，所以所求离心率的取值范围是e≥２．]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.错误!３．（１）如图，F１和F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，A，B是以O 为圆心、以|OF１|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F２AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．（２）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．（１）错误!＋１（２）（１,２）[（１）∵|F１F２|＝２c，且|OF１|＝|OA|＝|OF２|＝c，∴△AF１F２为直角三角形．又∵△F２AB为等边三角形，∴|AF２|＝错误!c，|AF１|＝c.由双曲线的定义知错误!c—c＝２a，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＋１．（２）如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<４５°.又当x＝—c时，y＝错误!，∴tan∠AEF＝错误!＝错误!<１，∴e２—e—２<0，又e>１，∴１<e<２．]１．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）右边的常数１换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a２x２—b２y２＝λ（λ≠0），再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．２．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．１．判断正误（１）双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．（）（２）若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．（）（３）焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．（）（４）焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．（５）等轴双曲线的离心率等于错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×（５）√２．双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程是（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝２，b＝３，因此渐近线方程为y＝±错误!x.]３．若a>１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是（）Ａ．（错误!，＋∞）Ｂ．（错误!，２）Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（１,２）C[由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.∵a>１，∴0<错误!<１，∴１<１＋错误!<２，∴１<e<错误!.]４．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（１）两渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点错误!；（２）以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为焦点，以直线y＝±错误!x为渐近线；（３）过点P（３，—错误!），离心率e＝错误!.[解] （１）∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴可设双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），将错误!代入方程，得λ＝２，故所求方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求的双曲线方程为错误!—y２＝λ（λ>0），又双曲线的焦点为（±错误!，0），∴c２＝４λ＋λ＝１0，解得λ＝２．故所求的双曲线方程为错误!—错误!＝１．（３）若双曲线的实轴在x轴上，设错误!—错误!＝１为所求．由e＝错误!，得错误!＝错误!. １由点P（３，—错误!）在双曲线上，得错误!—错误!＝１．２由１２及a２＋b２＝c２，得a２＝１，b２＝错误!.若双曲线的实轴在y轴上，设错误!—错误!＝１为所求．同理有错误!＝错误!，错误!—错误!＝１，a２＋b２＝c２.解之，得b２＝—错误!（不符，舍去）．故所求双曲线方程为x２—４y２＝１．即x２—错误!＝１．。

双曲线的几何性质教案

双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。

二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。

三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。

双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。

双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。

两条分支无限延伸，且永不相交。

2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。

其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。

3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。

四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。

2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。

3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。

4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。

双曲线的简单几何性质精品教案

双曲线的简单几何性质章节名称双曲线的简单几何性质（第二课时）本节（课）教课内容剖析数学发展观以为：数学好像其余事物同样，是不停在运动、变化中发展的，又在不停发展中显现新的活力与生命。

学生在学习一个数学新知识时，若能鉴于数学发展观，从问题的本质下手，对问题的条件、结论及结题方法等方面进行商讨，在相对完好的运动发展的过程中领会到新知识的应用价值，那么这样的学习不不过深刻有效的，并且是风趣的。

鉴于以上考虑，在教课上做了以下设计：在网络环境下，以网页为载体，借助《几何画板》强盛的动向演示功能，经过大批自主实验（包含察看实验、考证明验、研究实验等）让学生认识圆锥曲线定义的本质，熟习圆锥曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线地点关系的要点。

本节课是在学生借助图象用类比法学习了双曲线的简单几何性质的基础上的一节以复习和研究为主的课。

依照的课程标准1．认识圆锥曲线的本质背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决本质问题中的作用。

2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握他们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

3．认识双曲线的定义、几何图形和标准方策还可以够，指导双曲线的有关性质。

4．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的地点关系）和本质问题。

5．经过圆锥曲线的学习，进一步领会数形联合的思想。

本节（课）教课目的1．知识与技术（ 1）类比椭圆的几何性质，复习稳固双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等；（ 2）能娴熟运用双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程、极点、离心率等性质解题；（3）经过数学实验，研究直线与双曲线的交点个数问题，掌握用方程与不等式思想解决分析几何问题。

2．过程与方法（1）运用类比复习法，复习稳固椭圆和双曲线的几何性质，并学会划分它们的异同，培育学生独立研究、贯通融会的能力；（2）联合双曲线的图形特色，娴熟运用双曲线的几何性质解题，感悟数与形的交融，掌握数形联合思想；（3）先利用数学软件研究直线与双曲线的地点关系，从而用方程与不等式的方法求解，考证察看结果，培育学生的发现问题、解决问题的能力，掌握方程与不等式相联合解决分析几何问题的方法。

高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修

高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修一、双曲线的简单几何性质的学习对双曲线性质的讨论是我们又一次用曲线方程研究曲线性质的方法的学习，因此，在教学中，应尽力注意让学生对这种方法从思想上有一定的认识，并逐渐形成一种应用意识、1、问题：教学双曲线的渐近线时，应注意些什么？答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线、（2）使学生理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0、(3)使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法、最简单且实用的方法是：把双曲线方程中等号右边为1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程、（4）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法、简单且实用的方法是：如果两条渐逝线的方程为AxBy=0，那么双曲线的方程为（Ax+By）（Ax-By)=m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定、2、双曲线几何性质的简单应用［例1］求与双曲线共渐近线且过A（2，-3）点的双曲线方程及离心率、解法一：双曲线的渐近线方程为：y=x（1）设所求双曲线方程为∵,∴b=a ①∵A(2,-3)在双曲线上∴ ②由①-②，得方程组无解（2）设双曲线方程为∵,∴b=a ③∵A(2,-3)在双曲线上∴ ④由③④得a2=,b2=4∴所求双曲线方程为且离心率e=解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)∵点A（2，-3）在双曲线上∴λ=∴所求双曲线方程为即评述：（1）很显然，解法二优于解法一、（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)、一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程(λ≠0)求双曲线方程较为方便、通常是根据题设中的另一条件确定参数λ、（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的、教学中，要引起重视、二、在研究双曲线的几何性质基础上，我们应对根据曲线方程作出曲线图形感到得心应手［例2］作方程x=的图象、分析：∵x=∴x≥1∴x2-y2=1∴方程图象如右图，即表示双曲线x2-y2=1的右支、［例3］作方程y=的图象、分析：∵y=∴方程图象应该是圆x2+y2=1及双曲线x2-y2=1在x轴上方的图象、请读者自行完成、评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是f(x,y)=0,那么点P（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分、三、参考练习题1、双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ 、答案：24 F1（-3，0），F2（3，0） y=x2、(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F\、F2，∠F1MF2=120，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、答案：B3、已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是______、答案：●备课资料一、椭圆与双曲线标准方程和图形、性质如下表椭圆双曲线方程图形顶点坐标（a,0）(0,b)(0,a)(b,0)(a,0)(0,a)对称轴x=0,y=0焦点坐标(c,0)(0,c)(c,0)(0,c)对称中心（0，0）离心率准线方程渐近线方程二、双曲线标准方程的求法［例1］求以曲线2x2+y2-4x-10=0和y2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程、分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数、解：∵2x2+y2-4x-10=0y2=2x-2∴∴渐近线方程为y=x当焦点在x轴上时，由且a=6,得b=4、∴所求双曲线方程为当焦点在y轴上时，由,且a=6,得b=9、∴所求双曲线方程为评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握、（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成、［例2］已知双曲线的渐近线方程为3x2y=0，两条准线间的距离为,求双曲线标准方程、分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程、解：∵双曲线渐近线方程为y=x∴设双曲线方程为(λ≠0)（1）若λ＞0,则a2=4λ,b2=9λ∴准线方程为：x=∴∴λ=4(2)若λ＜0,则a2=-9λ,b2=-4λ∴准线方程为：y=∴∴λ=-∴所求双曲线方程为：或评述：（1）准确及时地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便、（2）通过待定系数法求出参数N、［例3］中心在原点，一个焦点为F（1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程、解：设双曲线的标准方程为,则解得∴为所求双曲线的标准方程、评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧、［例4］求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P（1，-3）且离心率为的双曲线标准方程、解：设所求双曲线方程为(k≠0)则∴∴k=-8∴所求双曲线方程为评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e=是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线x2-y2=m2(m＞0)则a2=b2=m2,∴c2=a2+b2=2m2∴c=m∴e=反之，如果一个双曲线的离心率e=、∴∴c=a,c2=2a2∴a2+b2=2a2∴a2=b2,a=b∴双曲线是等轴双曲线（2）读者还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等、三、双曲线比值（第二）定义的应用［例5］已知点A（3，0），F（2，0），在双曲线x2-=1上求一点P，使|PA|+|PF|的值最小、解：∵a=1,b=∴c=2∴e=2设点P到与焦点F（2，0）相应准线的距离为d则=2∴|PF|=d∴|PA|+|PF|=|PA|+d至此，将问题转化成在双曲线上求一点P，使P到定点A的距离与到准线距离和最小、即到定点A的距离与到准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，解之得，点P（，2）评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单、教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力、四、参考练习题1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为（）A、B、2C、2D、4解析：设这对共轭双曲线的方程为和(a＞0,b＞0)∴e1=,e2=∴(e1+e2)2= ≥2+2+22=8当且仅当a=b时，等号成立、从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2、答案：C2、一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为（）A、或B、或C、或D、解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是θ，则θ=2arctan,从而tan∵tan∴=或∴e= 即：e=或e=答案：C备课资料参考例题[例]己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2、（1）求L1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值、分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）、前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一元二次方程有两个不等的实根判别式△>0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即|AB|= =（其中k为直线的斜率）、解：（1）据题意，L1、L2的斜率都存在，因为L1过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组①有两个不同的解、在方程组①中，消去y，整理得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0、②若k12-1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾、故k12-1≠0，即|k1|≠1、方程②的判别式为△1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)、设L2的斜率为k2，因为L2过点P（-，0），-且与双曲线有两个交点，故方程组③有两个不同的解、在方程组③中消去y，整理得（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0、④同理有k22-1≠0，△2=4（3k22-1）、因为L1⊥L2，所以有k1k2=-1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是∴k1∈（-，-1）∪（-1，-）∪（，1）∪（1，）、（2）双曲线y2-x2=1的顶点为（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0+)=1、解得k1=、∴k2=-,代入方程④得x2+4x+3=0、⑤设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,则x1+x2=-4,x1x2=3、∴|A2B2|= =3、当取A1（0，-1）时，由双曲线y2-x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2、∴L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2、注意：直线方程与双曲线方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，绝对不能忽视对k12-1是否为零的讨论，仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论△和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-1≠0是非常必要的、备课资料“以定点为中点的二次曲线的弦所在直线方程”的求法[例]设M（a,b）为二次曲线F（x,y）=0的内部的一个定点，经过点M的直线与二曲线交于A、B两点，使得M为AB弦的中点，则直线AB方程为F（2a-x,2b-x）-F(x,y)=0、证明：设A、B两点坐标分别为A（x,y）、B（x1,y1）,于是有a=(x+x1),b=(y+y1),即x1=2a-x,y1=2b-y、∵A（x,y）,B(2a-x,2b-y)在曲线上,∴F(x,y)=0, ①F(2a-x,2b-y)=0、②以上两式相减得F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、③∵①、②两式的两个方程的二次项系数相同，∴③一定是关于x、y的一次方程、又∵A、B两点坐标适合①、②、∴一定也适合③式、∴AB的直线方程为F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、。

高二数学上 8.4 双曲线的几何性质(二) 教案旧人教版

8.4 双曲线的几何性质（二）教学要求：更进一步掌握双曲线的几何性质，掌握用待定系数法求双曲线的标准方程，理解共轭双曲线的概念。

教学重点：掌握用待定系数法求双曲线的标准方程。

教学难点：理解共轭双曲线的定义和方程关系。

教学过程：一、复习准备：1.求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。

y 2－8x 2＝32 x 2－9y 2＝812.叙述双曲线22a x －22b y ＝1的几何性质。

二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：如图，双曲线自然通风塔的剖面，求此双曲线的方程。

②分析：方程是哪种形式？已知数据12可得出什么结论？如何求b ？ ③师生共求：设所求方程为2212x －22b y ＝1设点B(13,y 1)，点C(25,y 2)，→ 代入所设方程 →求出y 1、y 2→列式|y 1|＋|y 2|＝55求得b （24.5）④定义共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线。

⑤练习：写出22a x －22b y ＝1的共轭双曲线方程。

⑥出示例：求证双曲线和它的共轭双曲线：有共同的渐近线；四个焦点在同圆上。

⑦分析→试证→图形帮助理解。

2.练习：25m C 下口①等轴双曲线的一个焦点是(-6,0)，求它的共轭双曲线的标准方程和渐近线方程。

②求与椭圆492x ＋242y ＝1有公共焦点，且离心率e ＝45的双曲线方程。

三、巩固练习：1.动圆C 与定圆C 1：（x ＋3）2＋y 2＝9、C 2：(x －3)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心的轨迹方程。

2.课堂作业：书P114 3 4、7题。

高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案

课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。

高三数学高考一轮复习系列教案第八章圆锥曲线大纲版

第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足：．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】（2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题一、选择题1．动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为（） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13．（2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4．椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45．已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6．我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于（） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7．椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为．8．设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是． 9．设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双曲线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在轴上；12222=-bx ay ，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，焦准距P ＝．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为．例题讲练【例1】根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】（04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】（2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2．（04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是（）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353．已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为（）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4．（2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7．中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为．9．（2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛物线 1．抛物线定义：离的点的轨迹叫抛物线，焦点，叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为，准线为． ② px y 22-=，焦点为，准线为． ③ py x 22=，焦点为，准线为． ④ py x 22-=，焦点为，准线为． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围：、． ② 对称性：抛物线关于轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝．iii) S △AOB ＝（表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于．例题讲练【例1】已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】（05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题一、选择题1．过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2．已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是（）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3．已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4．（2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6．（04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是（） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7．点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为． 8．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为米(精确到0.1米)． 9．过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练【例1】直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】（2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题一、选择题1．曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是（） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2．若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213．经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为（） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．（华师大二附中2005年模拟试卷2）直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是（） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是（）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7．已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8．对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是．9．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围．提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2．动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3．已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4．设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5．设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6．已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是（） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7．长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为．8．经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程． 9．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。

《双曲线的几何性质》教案

《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。

二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。

2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。

三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。

2. 双曲线方程的求解。

四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。

2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。

2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。

3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。

4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。

5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。

7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。

2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。

3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。

七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。

2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。

3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。

双曲线的几何性质数学教案设计

双曲线的几何性质数学教案设计一、教学目标1. 理解双曲线的定义和标准方程。

2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、离心率等。

3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。

二、教学内容1. 双曲线的定义和标准方程介绍双曲线的定义，即所有到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。

推导双曲线的标准方程，即$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$（其中$a > 0, b > 0$）。

2. 双曲线的焦点和准线解释双曲线的焦点概念，即双曲线上每个点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率。

推导双曲线的焦点坐标，即$(\pm c, 0)$，其中$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

介绍准线的概念，即与双曲线对称的直线，其方程为$x = \pm\frac{a^2}{c}$。

3. 双曲线的离心率定义双曲线的离心率$e$ 为$e = \frac{c}{a}$。

解释离心率与双曲线的形状的关系，即$e > 1$ 表示双曲线开口向外，$e < 1$ 表示双曲线开口向内。

4. 双曲线的渐近线介绍双曲线的渐近线概念，即当$x$ 趋于无穷大或无穷小时，双曲线的曲线趋近于一条直线。

推导双曲线的渐近线方程，即$y = \pm\frac{b}{a}x$。

5. 双曲线的对称性和周期性解释双曲线的对称性，即双曲线关于$x$ 轴和$y$ 轴对称。

介绍双曲线的周期性，即双曲线在$x$ 轴和$y$ 轴上具有无限周期。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索双曲线的几何性质，激发学生的学习兴趣和主动性。

2. 使用图形和实例进行直观的解释和演示，帮助学生理解和记忆双曲线的几何性质。

3. 组织小组讨论和合作，鼓励学生之间的交流和思考，培养学生的团队合作能力。

四、教学评估1. 课堂讲解和提问：通过观察学生在课堂上的参与和回答问题的表现，评估学生对双曲线几何性质的理解程度。

(最新整理)高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4双曲线的第二定义教案

向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称
中心为双曲线的中心 2．顶点顶点： A1(a,0), A2 a,0 特殊点： B1(0,b), B2 0,b
y
N Q
B2
M
A1 O
A2
x
B1
高二数学上第八章圆锥曲线方程：8.4 双曲线的第二定义教案
实轴： A1A2 长为 2a， a 叫做半实轴长虚轴： B1B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
a
a
a2
斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，
双曲线的离心率越大,它的开口就越阔
8．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双
曲线的共轭双曲线区别：三量 a，b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同
共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
焦半径公式的推导:利用双曲线的第二定义，设双曲线
x2 y 2 1 (a 0,b 0) ，
a2 b2
F1, F2 是其左右焦点
则由第二定义： MF1 e ， MF1 e
d1
x0
a2 c
MF1 a ex0
同理 MF2 a ex0 即有焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：
MF1 MF2
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异
3．渐近线
过双曲线
x2 a2
y2 b2
1的两顶点
A1,
A2 ，作
Y
轴的平行线
x
a ，经过 B1, B2 作
X
轴的平行线 y b ，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是 y b x （ x y 0 )，这两条直线就是双曲线的渐近线

高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析新课标人教版教案

高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。

高二数学《双曲线的简单几何性质》教案

2.3.2双曲线的简单几何性质数学组邵丽霞一、课标要求：知道双曲线的有关性质。

二、学习目标：1.通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质2.了解双曲线的渐进性，并能解决一些简单的问题。

3.进一步体会数形结合的思想。

三、自主学习：问题1：类比椭圆几何性质的研究方法，如何得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？（以焦点在x 轴上的双曲线为例）1. 范围①双曲线在不等式 x ≤－a 与 x ≥a 所表示的区域内.②怎么由双曲线方程求出它的范围？（即从代数的角度验证结论）2. 对称性①双曲线关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于原点对称。

②如何用定义证明双曲线的这种对称性？3.顶点实轴：x 轴实轴长：2a 实半轴长：a虚轴：y 轴虚轴长：2b 虚半轴长：b4.渐近线①渐近线,思考：由双曲线标准方程如何求渐近线方程？ ②等轴双曲线5.离心率①离心率的概念②离心率的范围③离心率刻画双曲线的什么特征？问题2:等轴双曲线的渐近线、离心率：四、典型例题例1:求双曲线 14416922=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.变式题：求双曲线14416922-=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程，并画出草图例2．已知双曲线的渐近线是 02=±y x ，并且双曲线过点 )3,4(M ，求双曲线方程.变式题：已知双曲线渐近线是 04=±y x ，并且双曲线过点)5,4(N ，求双曲线方程. 例3．已知双曲线的焦距为16，离心率是34，求双曲线的标准方程。

例4:求下列双曲线的标准方程：(1)与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点五、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是（）12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 2.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是___________3.双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于4.与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程为____________六、我的课堂小结：双曲线的简单性质及应用。

高中数学双曲线的教案

高中数学双曲线的教案
教学目标：学生能够理解双曲线的定义、性质和方程，掌握双曲线的图像和基本变换规律。

教学重点：双曲线的定义、性质和方程。

教学难点：双曲线的基本变换规律和图像的绘制。

教学准备：教材、教具、黑板、彩色粉笔、实例习题。

教学过程：
第一步：导入
1. 导入双曲线的概念，引导学生思考什么是双曲线。

2. 引出本节课的主要内容和目标。

第二步：概念讲解
1. 讲解双曲线的定义和性质。

2. 介绍双曲线的标准方程及其特征。

第三步：例题讲解
1. 通过例题引导学生理解双曲线的方程和图像。

2. 讲解双曲线的标准方程与图像之间的关系。

第四步：练习训练
1. 放置几道练习题，让学生巩固理论知识。

2. 指导学生独立解题，然后进行讲评。

第五步：拓展延伸
1. 提供一些拓展题目，让学生进一步探索双曲线的特性。

2. 引导学生探讨双曲线在实际生活中的应用。

第六步：课堂总结
1. 总结本节课的内容和重点。

2. 提醒学生复习和练习重点知识。

教学反馈：布置相关练习题，鼓励学生在课后进行复习和巩固。

教学辅导：提供学生在学习过程中遇到的问题进行辅导和帮助。

教学延伸：引导学生通过互联网等多种途径学习双曲线的相关知识，拓展课外学习。

教学评价：在课堂结束时对学生学习情况进行评价，评估学生对双曲线知识的掌握情况。

以上就是本次双曲线教学内容，希望学生们能够在学习过程中认真思考，积极提问，希望大家能够充实自己的数学知识，提高自己的数学能力。