模自同态环的理想格与正规根

第16卷第4期数学研究与评论V o l.16N o.4 1996年11月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON N ov.1996
模自同态环的理想格与正规根Ξ
王俊民 彭联刚
(云南大学数学系,昆明650091)
摘　要　设
R P是环R上的左模.记P 3=Hom
R
(P,R),J=P P3,S0=P3P.本文讨
论了J与S0的双零化理想格之间的关系,以及R,J,S0和End R P的正规根之间的关系.
关键词　模自同态环,双零化理想,正规根.
分类号　AM S(1991)16D,16N CCL O153.3
§1　引　言
本文中的环均指结合环,未必有单位元.
约定:R表环,P表左R2模,S=End R P.将S对P的作用写在右边,此时P自然可视为双侧(R,S)模.记P3=Hom R(P,R),P3也可按自然方式作成(S,R)模.对任意x,y∈P和f∈P3,定义y(f x)=(y f)x,则f x∈S.记
J=P P3={∑x f(有限和) x∈P,f∈P3};
S0=P3P={∑f x(有限和) f∈P3,x∈P},
易知J和S0分别是R和S的理想.因为对任意x,y∈P,f,g∈P3,r∈R,s∈S,有(x f)y= x(f y),(f x)g=f(x g),(f r)x=f(rx)和(x s)f=x(sf).故可分别将它们记为x f y,f x g, f rx和x sf.
本文进一步推广[4]的结果,得到更一般的结论:当J2=J和S20=S0时,J的双零化理想格与S0的双零化理想格之间存在互逆的格同构,并且这个同构把J的常见根(如B aer根, L evitzk i根,Jacob son根)对应到S0的相应的根.
§2　主要结果及证明
定理1　设
A1={I I是R的理想,J IJ=I};
J1={K K是S的理想,S0K S0=K}.
定义51(I)=P3I P,#1(K)=P K P3,则51和#1是A1和J1之间的互逆格同构.
Ξ1993年12月24日收到.
证明　任取I∈A1,有
S051(I)S0=P3P P3I P P3P=P3J IJ P=P3I P=51(I),
即知51(I)∈J1,故51是A1到J1的映射.显然是保序的.同样可验证#1是J1到A1的保序映射.任取I∈A1,有#151(I)=P P3I P P3=J IJ=I.类似地,任取K∈J1,有51#1(K) =K.故51和#1是互逆格同构.
定义1　称J的理想A是双零化理想,如果存在R的含于J的理想I,使得A={a∈J (I
(S0 K) +J aJ) I=0}.记为A=Bann J(J I).类似地定义S0的双零化理想T为:T=Bann S
={t∈S0 (K+S0tS0) K=0},其中K是S的某个含于S0的理想.
令A={Bann J(J I) I是R的含于J的理想},J={Bann S0(S0 K) K是S的含于S0的理想}.即A和J分别是J和S0的全体双零化理想.定义
5:A　A→B ann S0(S0 P3J A J P)∈J;
#:J　T→B ann J(J P S0T S0P3)∈A.
引理1　设J2=J,S20=S0,令52:A　A→J A J∈A,#2:A1　I→Bann J(J I)∈A, 53:J　T→S0T S0∈J1,#3:J1　K→Bann S0(S0 K)∈J.则52,#2和53,#3分别是A与A1之间和J与J1之间的互逆格同构.
证明　由J2=J知52是A到A1的映射.显然52和#2都是保序的.对任意A∈A,有#252(A)=Bann J(J J A J),显然AΑ#252(A).又A=Bann J(J I),于是J(#252(A))JΑJ A JΑJ,故#252(A)ΑA,从而#252(A)=A.另一方面,任取I∈A1,有52#2(I)= J B ann J(J I)JΑI,但I=J IJΑJ B ann J(J I)J,即IΑ52#2(I),故52#2(I)=I.所以52和#2是A与A1之间的互逆格同构.类似可证53和#3是J与J1之间的互逆格同构.
由定理1和引理1立即可得到J与S0之间的双零化理想格同构的定理.
定理2　设J2=J,S20=S0,那么5和#定义了A与J之间的互逆格同构.
定义2　设Α是Am itsu r2Ku ro sh意义下的根性质,称Α是正规的,如果对每个M o rita Con tex t(R1,M,N,R2)均有NΑ(R1)MΑΑ(R2).
若Α是超幂零根,则Α是正规根当且仅当Α是遗传根和强根[1].这里强根是指每个Α2半单环的任意非零单侧理想都不是Α2根环.可见B aer根,L evitzk i根和J acob son根都是正规根.
以下约定,Α表示Am itsu r2Ku ro sh意义下的根性质,Α是正规根,且满足条件:对任一环A,Α(A)是A的某些素理想的交或者是A本身.于是,Α以Baer根,L evitzk i根和J acob son根为特殊情形.
引理2　Α(J)和Α(S0)都是双零化理想.
证明　若Α(J)=J,显然是双零化理想.若Α(J)≠J,则Α(J)=∩I i,其中每个I i是J的素理想.但对x∈J,J X JΑI i当且仅当x∈I i.故Α(J)=Bann J(J Α(J)),即Α(J)是双零化理想.
类似可证Α(S0)是双零化理想.
定理3　设J2=J,S20=S0,则5(Α(J))=Α(S0),#(Α(S0))=Α(J).
证明　由引理2知5(Α(J))和#(Α(S0))均有意义.注意到(J,P,P3,S0)自然成为一个M o rita Con tex t,于是,P3Α(J)PΑΑ(S0),PΑ(S0)P3ΑΑ(J).从而
S05(Α(J))S0=S0(B ann S
(S0 P3JΑ(J)J P))S0ΑP3Α(J)PΑΑ(S0).
由引理2的证明可知5(Α(J))ΑΑ(S0).类似地,可得#(Α(S0))ΑΑ(J).但5和#是互逆格同构,因此得5(Α(J))=Α(S0)和#(Α(S0))=Α(J).
命题1　下列命题成立:
(1)　设J P=P,那么Gen R P=Gen R J,且对任一左R2模M,若JM=M,则M∈Gen R P.
(1′)　设P S0=P,那么Gen P S=Gen(S0)S,且对任一右S2模N,若N S0=N,则N∈Gen P s.
(2)　J P=P且R P是自生成元的充要条件是J关于End P S在P上作用稠密.即对P中任意有限个元p1,p2,…,p n和End P S中任意元f,存在J中元j,使得j p i=f p i,i=1,2,…,n.
(2′)　P S0=P且P S是自生成元的充要条件是S0关于S在P上作用稠密.
(3)　如果J关于End P S在P上作用稠密,那么对任意M∈Gen R P,有JM=M.特别地,对R的任一含于J的左理想I,有J I=I.
(3′)　如果S0关于S在P上作用稠密,那么对任意N∈Gen P S,有N S0=N.特别地,对S的任一含于S0的右理想K,有K S0=K.
证明　(1)任取p∈P,f∈P3,定义
Υ:P　x→x f∈P P3=J.
显然Υ∈Hom R(P,J)且pΥ=p f.于是JΑP Hom R(P,J),从而J∈Gen R P.另一方面,任取p∈P,显然J到J p有一个R2满同态,因此P=J P∈Gen R J.于是Gen R P=Gen R J.
若R2模R M满足JM=M,类似可证M=JM∈Gen R J=Gen R P.
(2)　充分性由稠密性可得J P=P.又设N是R P的任一子模,任取p∈N,又由稠密性知存在j=∑p i f i(有限和),其中p i∈P,f i∈P3,使得p=j p=∑p i f i p.取定其中任一i,定义
Υi:P　x→x f i p∈N.
显然Υi∈Hom R(P,N)且p iΥi=p i f i p.故p i f i p∈P Hom R(P,N).于是p∈P Hom R(P,N),从而NΑP Hom R(P,N).这说明N∈Gen R P.因此R P是自生成元.
必要性　由J P=P易知,对任意M∈Gen R P,有JM=M.将R按自然方式扩充成一个有单位元的环R1.由R P自生成知,任意有限直和R P(n)的任一子模∈Gen R P,特别地,任意取p1,p2,…,p n∈P,有R1(p1,p2,…,p n)∈Gen R P.从而R1(p1,p2,…,p n)=J R1(p1,p2,…,p n) =J(p1,p2,…,p n).另一方面,由R1(p1,p2,…,p n)∈Gen R P知,存在某个直和R P(m)到R1(p1, p2,…,p n)的R2满同态Υ.不妨设m是大于n的自然数,则Υ可视为End R P(m)中的元素.任取
R P (m)的二次自同态环B iend
R P
(m)中元f,有f R
1(p1,p2,…,p n)=f(p
(m)Υ)=(f p(m))ΥΑ
R1(p1,p2,…,p n).由此知R1(p1,p2,…,p n)成为B iend R P(m)2模.由[2]4.3引理2知End P S可视为B iend R P(m)P的子环.从而
(End P S)R1(p1,p2,…,p n)=R1(p1,p2,…,p n)=J(p1,p2,…,p n).
于是(End P S)(p1,p2,…,p n)=J(p1,p2,…,p n).此即说明J关于End P s在R P上作用稠密.
(3)　由(1)和(2)易得.
(1′),(2′)和(3′)类似可证.
推论1　设R P是投射模且是自生成元,则J关于End P S在P上作用稠密.
推论1′　设R P是投射模且是自生成元,则S0关于S在P上作用稠密.
证明　因为R P是投射模,由[3]知S0关于S在P上作用稠密.这就得到推论1′.于是也得到P=P S0=J P.但R P是自生成元,故J关于End P S在P上作用稠密.这就是推论1.
据[4],称J的理想A是零化理想,如果存在R的含于J的理想I,使得A是左R2模J I在J中的零化子.类似地定义,称S0的理想T是零化理想,如果存在S的含于S0的理想K,使得T是右S2模S0 K在S0中的零化子.
定理4　设J和S0分别关于End P S和S在P上作用稠密.特别地,R P是投射模和自生成元.那么下列命题成立:
(一)　I是J的零化理想当且仅当I是J的双零化理想.K是S0的零化理想当且仅当K是S0的双零化理想.于是5和#也是J与S0的零化理想之间的互逆格同构,且5(Α(J))=Α(S0),#(Α(S0))=Α(J).
(二)　如果R P是忠实的,那么下列几条等价:
(1)　R是Α2半单环(素环,左本原环). (2)　J是Α2半单环(素环,左本原环).
(3)　S0是Α2半单环(素环,左本原环). (4)　S是Α2半单环(素环,左本原环).
证明　(一)由命题1知,对R的任一含于J的理想A均有J A=A.同样,对S的任一含于S0的理想T均有T S0=T.于是易知(一)为真.
(二)　Α2半单性:
(1)](2)　显然.
(S0).故S0Α(S0)=S0Α(S0)S0=0,因此PΑ(S0)=
(2)](3)　Α(S0)=5(0)=B ann S
P S0Α(S0)=0,但P S忠实,于是Α(S0)=0.
(3)](4)　由Α(S)∩S0=Α(S0)=0知S0Α(S)=0,于是PΑ(S)=PS0Α(S)=0.由P S 忠实知Α(S)=0.
类似可得(4)](3)](2)](1).
素性:　(1)Ζ(2)和(3)Ζ(4)易得.
(2)](3)　设T和K是S0的理想,且T K=0.则(P T P3)(P K P3)=P T S0K P3ΑP T K P3=0.于是P T P3=0或P K P3=0,从而S0T=S0T S0=0或S0K=S0K S0=0.类似于上面的证明可得T=0或K=0.即S0也是素环.
(3)](2)　仿(2)](3)的证明可得.
左本原性:　(1)Ζ(2)和(3)Ζ(4)仿[4]中证明可得.
(2)](3)　设M是J上忠实单纯左模.任取m∈M和f∈P3,定义Υ:P　p→(p f)m ∈M.易知Υ是J2模同态.记f m=Υ.则P3M={∑f m(有限和) f∈P3,m∈M}是左S2模Hom J(P,M)的子模,并且P3M≠0,若不然,则由P3M=0得JM=P(P3M)=0,这不可能.下面证明P3M是S0上忠实单纯左模.设T是S0的理想,且T P3M=0,则(P T P3)M= 0.故P T P3=0.于是S0T=S0T S0=0.由此易知T=0.这说明P3M是忠实的S02左模.又设m是M的非零元,则M=J m.从而P3M=P3J m=P3m.设N m是P3m的任一非零左P3的子模,于是PN m≠0,从而PN m=M.因此有P3M=S0N m=N m.
S02模,其中N是S
这说明P3M是单纯的左S02模.至此已证明了S0是左本原环.
(3)](2)　仿(2)](3)的证明可得.
定义3　设A和B是环,M既是左A2模又是左B2模.称N∈Gen B M可由M自然地定义为左A2模,如果存在直和B M(I)和它到N的B2同态满射Υ,使得对任意a∈A,m∈M(I),Υ(am)由Υ(m)唯一确定,即若Υ(m)=Υ(m1),则Υ(am)=Υ(am1).此时定义aΥ(m)=Υ(am).
按上面的定义,N显然成为A2模.且对任意直和B M(I1)和它到N的任意B2同态满射Υ1,均可按上述方式将N定义成A2模,且对任意x∈M(I1).若Υ(m)=Υ1(x),则Υ(am)=Υ1(ax).即上述定义与直和B M(I)以及它到N的B2同态满射的选择无关.
引理3　设A和B是环,U既是左A2模又是左B2模.如果B关于A在U上作用稠密,即对任意有限个u1,u2,…,u n∈U和任意a∈A,存在b∈B,使得bu i=au i,i=1,2,…,n.那么有
(1)　对任意M∈Gen B U,M可由U自然地定义为左A2模.
(2)　对任意M,N∈Gen B U和f∈Hom B(M,N),将M和N由U自然地定义为左A2模之后,f可视为M到N的A2同态.
证明　(1)设有B2同态满射Υ(B U(I))=M,其中B U(I)是某个直和,记为X.对任意a∈A 和x1,x2∈X,如果Υ(x1)=Υ(x2),因为存在b∈B,使得bx1=ax1,bx2=ax2,所以Υ(ax1)=Υ(bx1)=bΥ(x1)=bΥ(x2)=Υ(bx2)=Υ(ax2).故定义aΥ(x1)=Υ(ax1)有意义.此时M成为左A2模.类似可证上述定义与B U(I)和Υ的选择无关.
(2)　设有一直和B U(I),它到B M和B N分别有满同态Υ和Ω.对任意m∈M,a∈A,存在x∈U(I),y∈U(I),使得Υ(x)=m,Ω(y)=f(m).由稠密性知存在b∈B,使得bx=ax,by= ay.于是f(am)=f(Υ(ax))=bf(m)=bΩ(y)=Ω(ay)=aΩ(y)=af(m).故f也可视为A2同态.
命题2　设J关于End P S在P上作用稠密.那么下列几条等价:
(1)　S0=S. (2)　P S是生成元. (3)　End P
P是有限生成投射模.
S
(4)　J P=P有有限张成集,且J P是拟投射模.
(5)　R P=P有有限张成集,且R P是拟投射模.
(6)　R P=P有有限张成集,且R P是投射模.
证明　(1)](2)　由命题1可得.
(2)](3)　见[5]中引理17.7.
(3)](1)　由投射模对偶基原理易得.
(3)](4)　由J关于End P S在P上作用稠密知J P=P有有限张成集.设Υ是P到J2模N的J2模同态满射.任取f∈Hom J(P,N),由引理3知N可由P自然地定义为左End P S2模,且Υ和f都可视为End P S2同态.由End P
P的投射性知存在P到自身的End P S2同态g,使得gΥ
S
=f.显然g也是J2同态,并且作为J2同态也有gΥ=f.故J P是似投射模.
(4)](3)　易知P是有限生成End P S2模.设M和N是End P S2模,且M到N有一个
(P,N),Υ和f也可自然地End P S2同态满射Υ.M和N可自然地视为J2模.任取f∈Hom End P
S
视为J2同态.但J P=P,故f和Υ可分别视为P到J N和JM到J N的J2同态.因为J P=
P有有限张成集且是拟投射模,故仿[5]命题16.12的证明,可得J P关于Gen J P是投射的.
由命题1知JM,J N∈Gen J P.从而存在P到JM的J2同态g,使得gΥ=f.由引理3,g可视为End P S2同态.易知,作为End P S2同态仍有gΥ=f.因此,P是投射End P S2模.
(4)Ζ(5)和(4)Ζ(6)仿(3)Ζ(4)的证明可得.
由上述各命题和定理,立即得到较[4]中结论更精细的
推论2　设R P是忠实模,且J P=P.如果R P是拟投射生成元,即R P是拟投射模也是自生成元,且R P=P有有限张成集.那么有
(1)　5和#是J的零化理想与S的理想之间的互逆格同构.且5(Α(J))=Α(S),#(Α(S)) =Α(J).
(2)　若R,J和S中有一个是Α2半单环(素环,左本原环),则其余两个也是Α2半单环(素环,左本原环).
参　考　文　献
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H eidelberg Berlin,1974.
Lattice of Ideals and Normal Rad icals of
Endom orph is m R i ngs of M odules
W ang J unm in P en L iang ang
(D ep t.of M ath.,Yunnan U niversity)
Abstract
L et R P be a left R2m odu le and P3the dual m odu le.In th is p ap er,w e ob tain that there ex ists an isom o rp h is m betw een lattices of b i2ann ih ilato r ideals of P P3and P3P,and in th is isom o rp h is m,no rm al radicals co rrespond to no rm al radicals.
Keywords　endom o rp h is m rings of m odu les,b i2ann ih ilato r ideal,no rm al radical.。