第五讲 充要条件概念

第五讲 充要条件概念

【知识概要】

【例题及习题】

充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么)

一、 判断条件P 与结论q 的关系

1. 1应用充要条件的定义，直接判断

例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件也非必要条件

例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ）

A a ∈(-∞,1]

B a ∈[2,+)∞

C [1,2]

D a ∈(-∞,1]⋃[2,+)∞

例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

A a<0

B a>0

C a<-1

D a>1

例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( )

A a>0

B a ≥0

C a<0

D a ≤0

例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线

s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一

个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______

例 8 设P:a>0且b>a+c,q:方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根.问:q 是p 的什么条件?

例 9在△ABC 中，设命题p ：sin sin sin a b c B C A

==，命题q: △ABC 是等边三角形.那么命题p 是命题q 的（ ）

A 充分必要条件

B 必要不充分条件

C 充分不必要条件

D 既不充分也不必要条件

例 10 有限集合S 中元素的个数记作card(S).设A 、B 都为有限集，给出下列命题：

①A ⋂B ＝φ的充要条件是card(A ⋃B)=card(A)+card(B);

②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤card(B);

③A ⊆B 的充分条件是card(A)≤card(B);

④A=B 的充要条件是card(A)=card(B).

其中真命题的序号为（ ）

A ③、④

B ①、②

C ①、④

D ③、②

例 11.已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f -1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1(x)满足_____ 例 12.已知b a ,,c 为同一平面内的非零向量，甲：c a b a •=•，乙：c b =，则 ( )

A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C 甲是乙的充要条件

D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例 13 设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是

（A ）(0)0f = （B ）(0)1f = （C ）(0)1f '= （D ）(0)0f '=

1.2利用充分条件、必要条件、充要条件的传递性直接判断

例1 已知p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的____条件；（2）r 是q 的___条件；（3）p 是q 的______条件

例 2设甲、乙、丙是三个命题。如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）

A 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C 丙是甲的充要条件

D 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

1.3构造与命题相对应的集合，借助子集概念判断

例 1 对于实数x,y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件？

例 2.若非空集合M ⊂N,则”a ∈M 或a ∈N ”是”a ∈M ⋂N ”的( )

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 既非充分条件又非必要条件

例 3 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A ≠

⊂B 是(C u A)⋃B=U 的

( )

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 4 0

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 5集合A={x|1

1+-x x <0},B={x||x-b|

A –2≤b<0

B 0

C –3

D –2

例6 设p:x 2-x-20>0,q:2

10||2

x x -<-,则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

例 7.设x,y ∈R,则x 2+y 2<2是|x|+|y|2≤的 ( )

A 充要条件

B 既非必要条件又非充分条件

C 必要非充分条件

D 充分非必要条件

1. 4利用互为逆否命题的等价转化，变更问题进行判断

例 1若A 成立，当且仅当B 成立.求证：A 是B 的充要条件 例 2. ”|a-2|≠2-a ”是”a ≠2的______条件.

1．5反证法、反例说明法（只能在确定“若p 则q ”为假时使用），也是极其重要的判断方法

例 1 在ΔABC 中，“A>300”是“ sinA>2

1”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件

例2 已知βα,均为锐角，若p ：sin α

π则p 是q 的( )

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充要条件

D 既不充分条件也不必要条件

例 3 “实数a=b=c ”是”不等式a 3+b 3+c 3≥3abc 取等号“的( )

A 充分而不必要条件

B 充分必要条件

C 必要而不充分条件

D 既不充分又不必要

例 4. 设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解

集相同；命题Q ：2

12121c c b b a a ==，则命题Q( ) A 是命题P 的充分必要条件

B 是命题P 的充分条件但不是必要条件

C 是命题P 的必要条件但不充分条件

D 既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件

例 5.”ab<0”是”方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的( )

A 必要条件但不是充分条件

B 充分条件但不是必要条件

C 充分必要条件

D 既不是充分条件又不是必要条件 例 6.设命题甲:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,平面ACB 1与对角面

BB 1D 1D 垂直”;命题乙:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么,甲是