第五讲 充要条件概念

第五讲 充要条件概念【知识概要】【例题及习题】充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么)一、 判断条件P 与结论q 的关系1. 1应用充要条件的定义，直接判断例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分条件也非必要条件例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ）A a ∈(-∞,1]B a ∈[2,+)∞C [1,2]D a ∈(-∞,1]⋃[2,+)∞例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）A a<0B a>0C a<-1D a>1例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( )A a>0B a ≥0C a<0D a ≤0例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______例 8 设P:a>0且b>a+c,q:方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根.问:q 是p 的什么条件?例 9在△ABC 中，设命题p ：sin sin sin a b c B C A==，命题q: △ABC 是等边三角形.那么命题p 是命题q 的（ ）A 充分必要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件例 10 有限集合S 中元素的个数记作card(S).设A 、B 都为有限集，给出下列命题：①A ⋂B ＝φ的充要条件是card(A ⋃B)=card(A)+card(B);②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤card(B);③A ⊆B 的充分条件是card(A)≤card(B);④A=B 的充要条件是card(A)=card(B).其中真命题的序号为（ ）A ③、④B ①、②C ①、④D ③、②例 11.已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f -1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1(x)满足_____ 例 12.已知b a ,,c 为同一平面内的非零向量，甲：c a b a •=•，乙：c b =，则 ( )A 甲是乙的充分条件但不是必要条件B 甲是乙的必要条件但不是充分条件C 甲是乙的充要条件D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件例 13 设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（A ）(0)0f = （B ）(0)1f = （C ）(0)1f '= （D ）(0)0f '=1.2利用充分条件、必要条件、充要条件的传递性直接判断例1 已知p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：（1）s 是q 的____条件；（2）r 是q 的___条件；（3）p 是q 的______条件例 2设甲、乙、丙是三个命题。

如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C 丙是甲的充要条件D 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件1.3构造与命题相对应的集合，借助子集概念判断例 1 对于实数x,y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件？例 2.若非空集合M ⊂N,则”a ∈M 或a ∈N ”是”a ∈M ⋂N ”的( )A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分条件又非必要条件例 3 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A ≠⊂B 是(C u A)⋃B=U 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件例 4 0<x<5是不等式|x-2|<4成立的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件例 5集合A={x|11+-x x <0},B={x||x-b|<a},若“a=1”是A ⋂B φ≠的充分条件，则b 的取值范围可以是( )A –2≤b<0B 0<b ≤2C –3<b<-1D –2<b<2例6 设p:x 2-x-20>0,q:210||2x x -<-,则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件例 7.设x,y ∈R,则x 2+y 2<2是|x|+|y|2≤的 ( )A 充要条件B 既非必要条件又非充分条件C 必要非充分条件D 充分非必要条件1. 4利用互为逆否命题的等价转化，变更问题进行判断例 1若A 成立，当且仅当B 成立.求证：A 是B 的充要条件 例 2. ”|a-2|≠2-a ”是”a ≠2的______条件.1．5反证法、反例说明法（只能在确定“若p 则q ”为假时使用），也是极其重要的判断方法例 1 在ΔABC 中，“A>300”是“ sinA>21”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件例2 已知βα,均为锐角，若p ：sin α<sin(α+β)q:βα+<2π则p 是q 的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分条件也不必要条件例 3 “实数a=b=c ”是”不等式a 3+b 3+c 3≥3abc 取等号“的( )A 充分而不必要条件B 充分必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分又不必要例 4. 设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同；命题Q ：212121c c b b a a ==，则命题Q( ) A 是命题P 的充分必要条件B 是命题P 的充分条件但不是必要条件C 是命题P 的必要条件但不充分条件D 既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件例 5.”ab<0”是”方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的( )A 必要条件但不是充分条件B 充分条件但不是必要条件C 充分必要条件D 既不是充分条件又不是必要条件 例 6.设命题甲:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”;命题乙:”直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么,甲是乙的( )A 充分必要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D 既非充分又非必要条件例 7 已知函数f(x)是定义在R 上的函数，条件甲：f(x)有反函数；条件乙：f(x)是单调函数，则条件甲是条件乙的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件例8．“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的(A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件(C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件 例9在ΔABC 中,”A>B ”是”sinA>sinB ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分条件也非必要条件例10 设集合A={x |1x x -＜0},B={x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、 已知结论、条件与结论的关系，探求满足这个关系的条件2. 1应先分清楚是探求充分条件、必要条件、还是充要条件；如果 是探求充要条件问题，可以“先探求必要条件，再探求充分条件”例 1.函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )A ab=0B a+b=0C a=bD a 2+b 2=0例 2. 设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件为( )A b<0,且c>0B b>0,且c<0C b<0且c=0D b ≥0,且c=0ij （1）写出a 45的值；（1） 写出a ij 的计算公式；（2） 证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1是一个合数。

2．2关于解方程（组）；求函数的定义域（值域）；解不等式（组）；求函数单调区间；求数列中最大项问题；探求轨迹问题；以及形如“已知B 成立，求A ”；“求k 在什么范围内取值时，B 成立？”等题目，都属于隐含要“充要条件”解题，探求充要条件问题，解答时也是“先必要，后充分”或用“⇔”两方面同时探求。

显然，本问题实际上是要求学生自觉使用充要条件分析问题和解决问题 例 1.已知f(x)=x 3+ax 2+a 2-a 为R 上的奇函数(a ∈R), 求a 的值 例 2. 若x ∈R,|x-3|-|x-5|≥a 有实数解，则实数a 的取值范围______例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2.若对任意的x ∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A [2,+)∞B [2,+)∞C (0,2]D [-2,-1]3,2[⋃]例 4 已知c>0，设P:函数y=c x 在R 上单调递增；Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.例 5设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 成立在x=1,x=2时，取得极值.(1)求a,b 的值.(2)若存在x ∈[0,3],使f(x)<c 2成立，求c 的取值范围.例 6.设全集U ＝R.(1)解关于x 的不等式|x-1|+a-1>0(a ∈R);(2)记A 为(1)中不等式的解集，集合B ＝{x|sinx(πx-3π)+3cos(3ππ-x )=0}.若（C u A ）⋂B 恰有3个元素，求a 的取值范围.例 7(1)设{a n },{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n =a n +b n ,证明：数列{c n }不是等比数列(2) 已知数列{c n },其中C n =2n +3n ,且数列{c n+1-pc n }为等比数列，求常数p.。