2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2)

x t3 a
{ y
b
t3
t
1
R为参数
,
求a,
b的值.
2
26．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直
a 12 b 12 log2 32 log3 22 2log2 3 log3 2 2 ，故 C 错误； ∵ a2 b2 2 2log2 3 log3 2 log2 32 log3 22
2 4 log2 3log3 2 2log2 3log3 2 8 ，故 D 正确
故 C． 【点睛】
18．已知实数
x,
y
满足不等式组
x
x
y y
1 0 3 0
，则
y x
的取值范围为__________．
19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在
空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 ▲
20． sin 50 1 3 tan10 ________________.
a
17．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了 乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙 的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的 数字是________．
y 2 0
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
x 3 2cos
24．已知曲线
C
的参数方程为
y
1 2sin
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
三、解答题
21．已知数列 an 满足 a1 2, an1 2an 2n1 .
（1）设 bn
an 2n
，求数列
bn
的通项公式；
（2）求数列an的前 n 项和 Sn ；
1 n n2 4n 2 2n
（3）记 cn
an an 1
，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
22．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
所以向量 OB 对应的复数为 2 i ．
故选 A． 【点睛】 该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最 后结果. 【详解】
由题意得，复数
1
i 2
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式： a b 2 ab 和不 等式 a2 b2 2ab 的应用，属于中档题 9．A
解析：A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离 心率． 【详解】
设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQ x 轴， 又 PQ | OF | c ，| PA | c , PA 为以 OF 为直径的圆的半径，
出错，造成不必要的失分.
2．A
解析：A 【解析】
【分析】
首先根据向量 OA 对应的复数为 1 2i ，得到点 A 的坐标，结合点 A 与点 B 关于直线 y x 对称得到点 B 的坐标，从而求得向量 OB 对应的复数，得到结果.
【详解】
复数 1 2i 对应的点为 A(1,2) ， 点 A 关于直线 y x 的对称点为 B(2,1) ，
位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看
后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩
B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．丁可以知道四人的成绩
8．已知 2a 3b 6 ，则 a ， b 不可能满足的关系是（）
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用基本不等式 ab a b 转化为指数运算即可求解。 2
【详解】
由基本不等式可得 2a 2b 2 2ab ，又因为 a b 3 ，所以 2a 2b 2 2ab 4 2
（当且仅当 a b 3 等号成立） 2
故答案为：D 【点睛】 本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。
2
A为圆心| OA | c ． 2
P
c 2
,
c 2
，又
P 点在圆
x2
y2
a2 上，
c2
c2
a2 ，即 c2
a2,
44
2
e2
c2 a2
（）
A． (4, 0)
B． (2, 0)
C． (0, 2)
D． (0, 0)
6．已知集合 A {x | x 1 0} ， B {0,1, 2} ，则 A B
A．{0}
B．{1}
C．{1, 2}
D．{0,1, 2}
7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两
2020 年高三数学下期末试卷(及答案)(2)
一、选择题
1．已知 a 2i b i ， a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a+b =（ ） i
A．-1
B．1
C．2
D．3
2．在复平面内， O 为原点，向量 OA 对应的复数为 1 2i ，若点 A 关于直线 y x 的对
称点为点 B ，则向量 OB 对应的复数为( )
A． a b ab
B． a b 4
C． a 12 b 12 2
D． a2 b2 8
9．设 F 为双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1 （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径
的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
解：由集合 A 得 x 1,
所以 A B 1, 2
故答案选 C. 【点睛】 本题主要考查交集的运算，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐 一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位 良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的 思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
i
i2
所以
2 b a 1
b a
2
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通 过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若△APD 的面积为 6 ，求直线 AP 的方程. 2
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B 【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求出 a,b 的
值，从而可得结果. 【详解】
因为 a 2i ai 2i2 2 ai b i ， a,b R ，
i3
i
1 i
3i
1
i
3i i
i
3
i ．故应选
B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
i2 1.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基 础题.
A． 2 i
B． 2 i
C．1 2i
D． 1 2i
3． 1 i2 i （ ）
i3
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
D． 3 i
4．若设 a 、 b 为实数，且 a b 3 ，则 2a 2b 的最小值是（ ）
A． 6
B． 8
C． 2 6
D． 4 2
5．一动圆的圆心在抛物线 y2 8x 上，且动圆恒与直线 x 2 0 相切，则此动圆必过定点
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据 2a 3b 6 即可得出 a 1 log2 3 ， b 1 log3 2 ，根据 log2 3 log3 2 1 ， log3 2 log3 2 2 ，即可判断出结果．
【详解】
∵ 2a 3b 6 ； ∴ a log2 6 1 log2 3 ， b log3 6 1 log3 2 ； ∴ a b 2 log2 3 log3 2 4 ， ab 2 log2 3 log3 2 4 ，故 A, B 正确；