第7章二叉树模型介绍ppt课件
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《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
《二叉树的概念》课件
过程中进行一些特定的操作。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
二叉树.ppt
• 初始化二叉树
• 合并两棵二叉树 二叉树的大部分运算都是围绕结点进行的
• 访问某个结点的左子结点、右子结点、父结点
• 访问结点存储的数据。
4.3 二叉树的抽象数据类型
二叉树结点抽象数据类型BinaryTreeNode是带有参数
T 的模板，T是存储在结点中的数据类型
每个元素结点都有leftchild()和rightchild()左右子结点结构
4.3 二叉树的抽象数据类型
public: BinaryTreeNode(); //缺省构造函数 BinaryTreeNode(const T& ele);//拷贝构造函数
//给定了结点值和左右子树的构造函数
BinaryTreeNode(const T& ele, BinaryTreeNode<T>* l, BinaryTreeNode<T>* r); T value() const;//返回当前结点的数据 //返回当前结点指向左子树
BinaryTreeNode<T>* leftchild() const;
4.3 二叉树的抽象数据类型
//设置当前结点的左子树 void setLeftchild(BinaryTreeNode<T>*) ; //设置当前结点的右子树
void setRightchild(BinaryTreeNode<T>*) ;
定该抽象数据类型的存储方式 template <class T> class BinaryTree { private: //二叉树根结点指针
பைடு நூலகம்
BinaryTreeNode<T>* root;
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
有
mh 1 m1
个结点。
二叉树：是n(n≥0)个结点的有限集合。n=0的树称为空二
叉树；n>0的二叉树由一个根结点以及两棵互不相交的、
分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
左子树
A
根结点
右子树
B
C
D
E
I
GH
J
• 二叉树的基本特征: • ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点） • ② 左子树和右子树有左右之分，且次序不能颠倒。
例：一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（ ）。
A.252
B.500
C.254
D.501
n=2n0+n1-1 n=1001为奇数，所以n1=0 n0=(n+1)/2=1002/2=501
例：一棵二叉树中有7个度为2的结点和5个度为1的结点，
其总共有（ ）个结点。
A.16
B.18 C.20
B D
A C
E
F
n=B+1 n=n0+n1+n2 B=n1+2n2
n1+2n2 +1=n0+n1+n2
G
n0=n2+1
例：具有10个叶子结点的二叉树中有（ ）个度为2的结点.
A.8
B. 9
C.10
D.11
求解方法归纳
求解二叉树的结点个数问题：
n0=n2+1
n=n0+n1+n2
所以有：
n=n1+2n2+1 n=2n0+n1-1
第1层
A
20
第2层
B
C
21
期权定价的二叉树模型
16/39
风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
17/39
在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
2020/11/29
21/39
风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学上表现为衍生证券定价的 微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变 量，尤其是期望收益率。
第7章 期权定价的二叉树模型
➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
STu 22 cTu 1
S0 20 c0 ?
3个月
STd 18 cTd 0
执行价格为21 元的看涨期权。
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
2/39
股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
2020/11/29
34/39
⒉ 两步二叉树的一般形式
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
7/39
金融工程二叉树模型介绍PPT课件
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
2.0257 18
C
19.8
E
0.0
0.0
16.2
节点B的价值
F 0.0
= e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) =
2.0257
节点A的价值
= e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 +
0.3477×0)
1111..118
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D1111..119
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
1111..220
构造一个无风险证券组合
考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头
22D – 1
18D
证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25
1111.5
证券组合的价值
无风险证券组合是:
0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头
证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50
证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
1111.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
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“上行-下行状况”与“下行-上行状况”相等 n期之后可能的节点数为 个
两步二叉树图
一般结论
一个看跌期权的例子
美式期权
Delta
动态复制的原理
例如，利用债券 B和股票 S复制股票期权 c
可以利用B 和 S 构造复制的资产组合，使得随着时间变 化，通过调整一种资产所得可以补偿由于调整另一种 资产而带来的损失，不用现金的注入或流出就可以完 成持续的再平衡，并且复制的资产组合的最终价值与 期权到期时的价值相等。
旧权重乘以新价格等于新权重乘以新价格，说明价格变化 的影响被权重的变化所内部抵消了。所以就不需要任何资 金的流入和流出，所以是自融资的
小结
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
执行价格
单步二叉树模型
复制无风险证券
一般结论
股权预期收益的无关性
风险中性定价
单步二叉树模型的再考察
两步二ing tree）
即“上行-下行状况”与“下行-上行状况”不相等。 N期之后将有 个可能的结果
重组树状图（recombining tree）
C 1 u 8 4 .1 8 (1 .1 ) 1 4 0 4 7 .4
求
C
d 1
1dB2 du1dS2 duC2 du
1dB2 dd1dS2 ddC2 dd
qd 1
(1.265)
+
bd 1
(100)
=
0
q1d (1.265) + b1d (84) = 0
q1d = 0,b1d = 0
构造复制组合的成本将与期权的无套利价值相等
动态复制的要点
每一期期末，动态构造的合成与期权价值相等 复制组合的每一期的调整都不能有净现金的流入
或流出 需要知道标的资产的相关性
股票和期权价格变动的相关性 二叉树或三叉树 偏微分方程 随机微分方程或者Monte Carlo模拟风险因子
期初卖空57.5元的债券并购买0.79单位股票
权重调整过程
期初，借入57.5元，购买0.79单位股票
组合价值为 21.3
保证第一期期末，调整前与调整后组合价值相同， 自融资
上涨状态：-57.5（1.1）+0.79（140）=-84.18（1.1）+1（140） 下跌状态： -57.5（1.1）+0.79（80）=0（1.1）+0（140）
C
i 2
相等，期末值
1uB2 uu1uS2 uuC2 uu
1uB2 ud1uS2 udC2 ud
求解权重
1u (1.188) 1u (160) 60 1u (1.188) 1u (142) 42 1u 84.18, 1u 1 在第二期期初的上涨状态，卖出84.18单位债券， 买入1股股票 第二期期初组合成本是
复制期权
利用一个债券和股票来复制股票期权
假定股票的看涨期权的执行价格为100
第二期期末状态
期权到期时的价值状态
C 2 u u 6 0 ,C 2 u d 4 2 ,C 2 d u 0 ,C 2 d d 0
考虑
C
u 1
利用B1 和S1 的组合复制
C
u 1
T2时刻，该组合的价值与期权
C
d 1
0
求 C0
0B1u 0S1uC1u 0B1d 0S1dC1d
0(1.1) 0(140) 47.40 0(1.1) 0(80) 0 0 57.5, 0 0.79
C 0 5 7 .5 0 .7 9 ( 1 0 0 ) 2 1 .3
第7章 二叉树模型（动态复制）
静态复制技术的问 题
被复制的资产是高度非线性的
复制期权这样的非线性资产，需要定期的调整复制组 合
期权定价
远期和期货定价
远期价格和期货价格 合约双方同意在到期日购买或出售标的资产的价格
期权定价
期权合约的价值（期初的期权费） 远期和期货中的期货价格实际对应的是期权合约中的
两步二叉树图
一般结论
一个看跌期权的例子
美式期权
Delta
动态复制的原理
例如，利用债券 B和股票 S复制股票期权 c
可以利用B 和 S 构造复制的资产组合，使得随着时间变 化，通过调整一种资产所得可以补偿由于调整另一种 资产而带来的损失，不用现金的注入或流出就可以完 成持续的再平衡，并且复制的资产组合的最终价值与 期权到期时的价值相等。
旧权重乘以新价格等于新权重乘以新价格，说明价格变化 的影响被权重的变化所内部抵消了。所以就不需要任何资 金的流入和流出，所以是自融资的
小结
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执行价格
单步二叉树模型
复制无风险证券
一般结论
股权预期收益的无关性
风险中性定价
单步二叉树模型的再考察
两步二ing tree）
即“上行-下行状况”与“下行-上行状况”不相等。 N期之后将有 个可能的结果
重组树状图（recombining tree）
C 1 u 8 4 .1 8 (1 .1 ) 1 4 0 4 7 .4
求
C
d 1
1dB2 du1dS2 duC2 du
1dB2 dd1dS2 ddC2 dd
qd 1
(1.265)
+
bd 1
(100)
=
0
q1d (1.265) + b1d (84) = 0
q1d = 0,b1d = 0
构造复制组合的成本将与期权的无套利价值相等
动态复制的要点
每一期期末，动态构造的合成与期权价值相等 复制组合的每一期的调整都不能有净现金的流入
或流出 需要知道标的资产的相关性
股票和期权价格变动的相关性 二叉树或三叉树 偏微分方程 随机微分方程或者Monte Carlo模拟风险因子
期初卖空57.5元的债券并购买0.79单位股票
权重调整过程
期初，借入57.5元，购买0.79单位股票
组合价值为 21.3
保证第一期期末，调整前与调整后组合价值相同， 自融资
上涨状态：-57.5（1.1）+0.79（140）=-84.18（1.1）+1（140） 下跌状态： -57.5（1.1）+0.79（80）=0（1.1）+0（140）
C
i 2
相等，期末值
1uB2 uu1uS2 uuC2 uu
1uB2 ud1uS2 udC2 ud
求解权重
1u (1.188) 1u (160) 60 1u (1.188) 1u (142) 42 1u 84.18, 1u 1 在第二期期初的上涨状态，卖出84.18单位债券， 买入1股股票 第二期期初组合成本是
复制期权
利用一个债券和股票来复制股票期权
假定股票的看涨期权的执行价格为100
第二期期末状态
期权到期时的价值状态
C 2 u u 6 0 ,C 2 u d 4 2 ,C 2 d u 0 ,C 2 d d 0
考虑
C
u 1
利用B1 和S1 的组合复制
C
u 1
T2时刻，该组合的价值与期权
C
d 1
0
求 C0
0B1u 0S1uC1u 0B1d 0S1dC1d
0(1.1) 0(140) 47.40 0(1.1) 0(80) 0 0 57.5, 0 0.79
C 0 5 7 .5 0 .7 9 ( 1 0 0 ) 2 1 .3
第7章 二叉树模型（动态复制）
静态复制技术的问 题
被复制的资产是高度非线性的
复制期权这样的非线性资产，需要定期的调整复制组 合
期权定价
远期和期货定价
远期价格和期货价格 合约双方同意在到期日购买或出售标的资产的价格
期权定价
期权合约的价值（期初的期权费） 远期和期货中的期货价格实际对应的是期权合约中的