模糊集理论及其应用 第一章
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−1
, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
2
当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
−1
10
1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
17
注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到 一般情形. 即设T为任意给定的指标集, ∀t∈T, A, B∈ F( U ), 则 (∪t∈T At)(u)=∨t∈TAt(u); (∩t∈T At)(u)=∧t∈TAt(u). 注1.3.2 上述介绍的模糊集合的并、交运算 (∪, ∩)是有Zadeh提出的, 称之为模糊格运算,它是 经典集合格运算的直接推广. 然而, 推广的方式不 是唯一的. 可以有多种推广方式, 例如:
6
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．
7
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
14
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
1 µA
5
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 µA来认识和掌握 A ．µA(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， µA(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而µＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若µA(u) =１，则认为u完全属于 ； 完全属于A 完全属于 若µA(u) =０，则认为u完全不属于 完全不属于A． 完全不属于 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
8
A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
目录
例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
13
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
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目录
定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
∫
Байду номын сангаас
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
{
3
1.1 经典集合与特征函数(1/2)
目录
由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
4
1.1 经典集合与特征函数(2/2)
目录
§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
1
第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
5
1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
15
2
第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设 A , B , C ∈ P ( U )，则 定理 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∩( B C ) ( A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′ ; (9) 排中律(互补律)： A∪A′ = U , A∩A′ = ∅ . 由此可见， (P ( U ) , ∪ , ∩ , ′ )构成一个布尔代数 布尔代数。 布尔代数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
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(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格
, ,
当 0 ≤ u ≤ 25
; .
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当 25 < u ≤ 200
用Zadeh表示法就是
u − 25 1 + 1 5 Y =∫ +∫ [0 , 25 ] u [ 25 , 200 ] u
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1.2 模糊集合与隶属函数(4/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U ={u1 , u2 , … , un }时， A∈ F ( U ) 也可用 如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， …，A( un)) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 例如 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) ∈[0,1](i=1，2，…，n )，故称式(1-2-3) 所示的向量为模糊向量 模糊向量。 模糊向量
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注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到 一般情形. 即设T为任意给定的指标集, ∀t∈T, A, B∈ F( U ), 则 (∪t∈T At)(u)=∨t∈TAt(u); (∩t∈T At)(u)=∧t∈TAt(u). 注1.3.2 上述介绍的模糊集合的并、交运算 (∪, ∩)是有Zadeh提出的, 称之为模糊格运算,它是 经典集合格运算的直接推广. 然而, 推广的方式不 是唯一的. 可以有多种推广方式, 例如:
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若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典 集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) ⊂ F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集 幂集， 幂集 模糊幂集。 而称F ( U )为U 的模糊幂集 模糊幂集 由于模糊集合A只能由其隶属函数µA来表达， 故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替µA(u) , 即 A(u) ≌ µA(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加 区分．
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1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A∈ F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
例1.3.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }时， A,B∈ F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) A⊄B且 B ⊄ A, A ≠ B (ii) A∪B =(0.8∨0.2, 0.9∨0.5, 0.3∨0.6, 0.6∨0.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) A∩B =(0.8∧0.2, 0.9 ∧ 0.5, 0.3 ∧ 0.6, 0.6 ∧ 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A′ =(1－0.8, 1－ 0.9, 1－ 0.3, 1－ 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)” 这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即
1 µA
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 µA来认识和掌握 A ．µA(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， µA(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而µＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若µA(u) =１，则认为u完全属于 ； 完全属于A 完全属于 若µA(u) =０，则认为u完全不属于 完全不属于A． 完全不属于 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
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A (u i ) ui
A (u 1 ) A (u 2 ) A (u n ) A = + +L + u1 u2 un
(1 − 2 − 1 )
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
目录
例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A= + + + + u1 u2 u3 u4 u5
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B ∈ F ( U ) , 则 定义 ( i ) A ⊆ B iff A(u) ≤ B(u) , ∀u∈U ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , ∀u∈U ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), ∀u∈U ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), ∀u∈U ; ( vi) A′: A′(u) = 1﹣A(u) , ∀u∈U . 如下图所示:
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目录
定理1.3.2 在(F( U ), ∪, ∩, ′ )中,幂等律、交换律、结 定理 合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和De Morgan对 偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′. 但是, A∪A′ ≠ U, A∩A′ ≠ ∅
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§1.3 模糊集合的运算
1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集 合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如 下： 定义1.3.1 设 A,B ∈ P ( U )，则 定义 ( i ) A ⊆ B iff ∀u∈U , χA(u) ≤ χB(u); ( ii) A = B iff ∀u∈U , χA(u) = χB(u); (iii) A∪B: ∀u∈U , χ A∪B (u) = max {χA(u) ,χB(u)}; (vi) A∩B: ∀u∈U , χ A∩B (u) = min {χA(u) ,χB(u)}; ( v) A′: ∀u∈U, χA′(u) = 1﹣χA(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“∪(并), ∩(交), ′(补)”这三种运算具有如下九条基本性质.
∫
Байду номын сангаас
U
u
− 2)
这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶 ∫ 属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =[0，200]， Zadeh给出 “年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为
Y (u ) = 1 u − 25 2 1 + 5
{
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1.1 经典集合与特征函数(1/2)
目录
由此可见，经典集合A 与其特征函数χ A 是 一一对应的． 由于χA 只取0和1两个值，故经典集合A 只 能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分 明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个 模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。 而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存 在的。因此，必须把经典集合扩充，使之能够 刻划模糊现象和解决模糊性问题。
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1.1 经典集合与特征函数(2/2)
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§1.2 模糊集合与隶属函数
1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与 控制论专家，California 大学 Buckely 分校Ｌ.Ａ.Ｚadeh 教 授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设Ｕ 为论域，则称由如下实值函数 定义 µA ：Ｕ → [ 0，1 ]， u → µA ( u ) 所确定的集合 A 为Ｕ 上的模糊集合 模糊集合，而称µA 为模糊集合A 模糊集合 的隶属函数 A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度 隶属函数，µ 隶属度。 隶属函数 隶属度
模糊集理论及其应用
陈水利
厦门 集美大学 理学院
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第一章 模糊集合及其运算
1.1 经典集合与特征函数( P3~4) 1.2 模糊集合与隶属函数( P5~11) 1.3 模糊集合的运算( P12~14)
10 3
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1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P15~24)
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第一章
模糊集合及其运算
§1.1 经典集合与特征函数
所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体．设Ｕ 为所讨论对 象的全体，称之为论域．显然，论域Ｕ 是一个集合．论域Ｕ 中的每 个对象 u 称为 Ｕ 的元素．如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经 典集合. 设 A 为论域Ｕ上的一个集合，则∀ u∈Ｕ， u∈A or u∉A ，二 者必居且仅居其一．这种关系可用如下二值函数表示之： χ A ：Ｕ → {0，1}， 1， u∈A u → χ A( u ) = 0， u∉A 称 χ A 为集合A的特征函数．反之，给定一个二值函数 χ A ：Ｕ → {0，1}， u → χ A( u ) ． 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = { u∈Ｕ， χ A ( u ) = 1} ．
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1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
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§１．3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设 A , B , C ∈ P ( U )，则 定理 (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), A∩( B C ) ( A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); (6) 复原律： (A′ )′= A ; (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′ ; (9) 排中律(互补律)： A∪A′ = U , A∩A′ = ∅ . 由此可见， (P ( U ) , ∪ , ∩ , ′ )构成一个布尔代数 布尔代数。 布尔代数
表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为 A 0.75 A 0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。
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(2) 若论域U 为无限集，则 A∈ F ( U ) 可表示为 A (u ) (1 − 2 A =
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例如: 例如 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A′ =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A ∪ A′ =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) ≠(1, 1, 1, 1)= U A ∩ A′ =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) ≠(0, 0, 0, 0)= ∅ 由此可见, (F( U ), ∪, ∩, ′ )不构成一个布尔代数,而 , , ) , 是构成一个软代数系统 称之为 软代数系统, 软代数系统 模糊格(Fuzzy Lattice) 模糊格