沪科版八年级数学上册第第15章 轴对称图形与等腰三角形习题讲义(解析版)

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15.1 第3课时 点的轴对称与坐标变化 课件(共18张PPT) 沪科版数学八年级上册

15.1 第3课时 点的轴对称与坐标变化 课件(共18张PPT) 沪科版数学八年级上册

预习导学
已知点 的关于x轴 对称点的
坐标
完成下表. A(-1,4)
A1(1,4)
B(-3,1) B1(3,1)
A2(-1,-4) B2(-3,-1)
C(-4,3) C1(4,3) C2(-4,-3)
合作探究
关于坐标轴轴对称的点的坐标
1.与点A(5,a)关于y轴对称的点的坐标是( A )
合作探究
1.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴 对称变换,即第1次作原图形关于x轴对称,第2次作上一次变换 后的图形关于y轴对称,第3次作上一次变换后的图形关于x轴对 称,第4次作上一次变换后的图形关于y轴对称…,若原来点A的 坐标是(a,b),则经过第2015次变换后所得的点A的对应点的坐 标是 (-a,b) .
A.(-5,a) B.(a,-5)
C.(a,5)
D.(-5,-a)
合作探究
【变式训练】在平面直角坐标系中,已知点A(2,-3), B(-3,-2),C(-5,6),则点A,B,C关于x轴的对称点A', B',C'的坐标分别为 A'(2,3) , B'(-3,2) , C'(-5, -6) ,则A,B,C关于y轴的对称点A″,B″,C″的坐标分别 为 A″(-2,-3) , B″(3,-2) , C″(5,6) .
合作探究
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作的三角形;点B1的坐标 为(-2,-1).
(2)如图,△A2B2C2即为所求作的三角形;点C2的坐标为(1, 1).
预习导学
上节课,我们知道要作一个图形关于一条直线对称后的图 形,应先做出对应点,再连线.那么,在平面直角坐标系中,如 何做一个图形关于坐标轴对称后的图形呢?

沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形含答案

沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形含答案

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.2、下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等;②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;③若△ABC与△DEF成轴对称,则△ABC一定与△DEF全等;④有一个角是60度的三角形是等边三角形;⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线.正确命题的个数是( )A.2B.3C.4D.53、在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩“抢凳子”游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的()A.三边中垂线的交点B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点4、若等腰三角形的底角为54°,则顶角为( )A.108°B.72°C.54°D.36°5、以下图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.等腰梯形6、如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1, S2,则S1+S2的值为()A.16B.17C.18D.197、下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.正三角形B.正五边形C.等腰直角三角形D.矩形8、观察如图,把边长为3的两个正方形沿其对角线长剪开,可得4个直角三角形,这4个直角三角形可拼成一个新的正方形,则新正方形的边长为()A.3B.6C.D.189、如图,在中,,边上的垂直平分线分别交、于点、,若的周长是11,则()A.28B.18C.10D.710、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④BD=2CD.A.4B.3C.2D.111、利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( )A. B. C.D.12、下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.13、如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC14、如图,扇形OAB中,∠AOB=90°,将扇形OAB绕点B逆时针旋转,得到扇形BDC,若点O刚好落在弧AB上的点D处,则的值为()A. B. C. D.15、平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有()个.A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,已知△ABC,BC=10,BC边的垂直平分线交AB,BC于点E、D.若△ACE的周长为12,则△ABC的周长为________.17、若□ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成1cm、2cm的两条线段,则口ABCD的周长是________18、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分,则矩形的周长为________.19、如图,中,,于点,于点,于点,,则________ .20、如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,三角形AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②AG=2GC,③BE+DF=EF,④S△CEF =2S△ABE正确的有________(只填序号).21、等腰△ABC中,当顶角A的大小确定时,它的对边BC与邻边(腰AB或AC)的比值确定,记为f(A),易得f(60°)=1.若α是等腰三角形的顶角,则f(α)的取值范围是________.22、在等腰三角形ABC中,∠C=90°,BC=2cm.如果以AC的中点O为旋转中心,将这个三角形旋转180°,点B落在点B′处,那么点B′与点B的原来位置相距________cm.23、如图,D为等边内的一点,,,若,则的度数是________.24、如图,△ABC中∠A=30°,E是AC边上的点,先将△ABE沿着BE翻折,翻折后△ABE的AB边交AC于点D,又将△BCD沿着BD翻折,C点恰好落在BE 上,此时∠CDB=82°,则原三角形的∠B =________度.25、等腰三角形的两边长为3和6,则这个等腰三角形的周长是 ________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.求证:AD=AE.27、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为直角边作等腰三角形CDE,其中∠DCE=90°,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)若AC=3cm,求DE的长.28、设等腰三角形顶角为α,一腰上的高线与底边所夹的角为β,是否存在α和β之间的必然关系?若存在,则把它找出来;若不存在,则说明理由。

沪科版八上数学1等腰三角形--含30°角的直角三角形的性质教学课件

沪科版八上数学1等腰三角形--含30°角的直角三角形的性质教学课件
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第3节 等腰三角形
含30°角的直角三角形的性质
1 课堂讲授
含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
知识点 1 含30°角的直角三角形的性质
知1-讲
1.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知2-讲
1 如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横
梁AD,AB=8 m,∠A=30°,则立柱BC的长
度为( A )
A.4 m
B.8 mC.10 mD.16源自m知2-练知2-练
2 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,
其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,
∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到
(1)画出礁石C的位置;(2)求从B处到礁石C的距离.
解:(1)以B为顶点,向北偏西60°作角, 这角一边与AC交于点C, 则点C为 礁石所在地.
知2-讲
解: (2)∵∠ACB= 60°-30°=30°,(三角形 的外角性质) 又∵∠BAC= 30°,∴∠BCA=∠BAC. ∴BC=BA. ∵BA=10×(10-8)=20(n mile), ∴BC=20(n mile). 即从 B处到礁石C的距离是20n mile.
1.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一 半.这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化 为直角三角形中边的等量关系.在一般情况下,遇到 30°角常用的添加辅助线的方法就是作垂线,构造含 30°角的直角三角形,解决相关的线段问题.
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的 长:

最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件:15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT

最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件:15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT

系,∠ABC、∠C呢?
x

∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
(2)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°;
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_;
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°,30°.
5.在△ABC中, AB=AC,AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°,则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_. A
B
DC
BD=DC(作图),
应用格式:
AD=AD(公共边),
∵AB=AC(已知)
∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(等边对等角)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
证法2: 证明:作顶角∠BAC的平分线AD, 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC , ∴∠1=∠2.
在△ABD与△ACD中, AB=AC(已知), ∠1=∠2(已证), AD=AD(公共边), ∴ △ABD ≌ △ACD(SAS), ∴ ∠B=∠C.
图①
图②
证明:(1)如图①,过A作AG⊥BC于G. ∵AB=AC,AD=AE, ∴BG=CG,DG=EG, ∴BG-DG=CG-EG, ∴BD=CE; (2)∵BD=CE,F为DE的中点, ∴BD+DF=CE+EF, ∴BF=CF. ∵AB=AC,∴AF⊥BC.

沪科版八年级上册15.含30°角的直角三角形的性质课件

沪科版八年级上册15.含30°角的直角三角形的性质课件

含30°角的直角三角形的 性质
1.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.这 个定理 将特殊的直角三角形中的角度关系转化为直角三角形 中边的等量关系.在一般情况下,遇到30°角常用的添加辅助 线的方法就是作垂线,构造含30°角的直角三角形,解决相关 的线段问题.
含30°角的直角三角形的 性质
感悟新知
2. 作用 应用于证线段的倍分关系和计算角度.
感悟新知
例 1 [期末·汝州] 已知:如图15.3-15,在△ ADC 中, AD=CD, 且AB ∥ DC,CB ⊥ AB 于B,CE ⊥ AD 交 AD 的延长线于E,连接BE. (1)求证:CE=CB; (2)若∠ CAE=30°,CE=2, 求AC 的长度.
2.利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长: 根据:直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 用途:求线段长度和证明线段倍分关系. 作法:当图形中含有30°角时,通过作垂线构造含有30°角
的直角三角形.
作业提升
请完成教等可得CE=CB. 在 Rt △ AEC 中,根据30°角所对的直角边等于斜 边的一半可求出AC 的长.
教你一招 含30°角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的
数量关系.
感悟新知
(1)证明:∵ AD=CD, ∴∠ DAC= ∠ DCA. ∵ AB ∥ CD, ∴∠ DCA= ∠ CAB, ∴∠ DAC= ∠ CAB. 又∵ CE ⊥ AD,CB ⊥ AB, ∴∠ AEC= ∠ ABC=90° . 又∵ AC=AC, ∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
学习目标

完整版沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形含答案

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沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是()A. B. C. D.2、如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.63、如图,过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥ BC,然后作△ABC 关于直线l对称的△A′B′C,P为线段A′C上一动点,连接AP,PB,则AP+PB的最小值是()A.4B.3C.2D.2+4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=26°,则∠CDE度数为()A.71°B.64°C.80°D.45°5、如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为()A.140°B.100°C.50°D.40°6、在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是( )A.C点B.D点C.E点D.F点7、如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为()A.13B.15C.17D.198、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1和点P关于OA对称,点P2和点P关于OB对称,则P1、O、P2三点构成的三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形9、如图,将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正四边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形10、如图,Rt△ABC中,∠ACB =90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB 上A′处,折痕为CD,则∠A′DB的度数为()A.40°B.30°C.20°D.10°11、如图,在△ABC中,∠A=105º,AC的垂直平分线MN交BC于点E,AB+BE=BC,则∠B的度数是()A.45ºB.50ºC.55ºD.60º12、如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC',DC′与AB交于点E,连结AC',若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC′的距离为()A. B. C. D.13、如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,使B落在E处,AE交CD于点F,则下列结论中不一定成立的是()A.AD=CEB.AF=CFC.△ADF≌△CEFD.∠DAF=∠CAF14、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为()A.36°B.60°C.72°D.108°15、三角形ABC的三条内角平分线为AE,BF,CG,下面的说法中正确的个数有()①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点③三角形的内角平分线位于三角形的内部④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,点A是∠MON=45°内部一点,且OA=4cm,分别在边OM,ON上各取一点B,C,分别连接A,B,C三点组成三角形,则ΔABC最小周长为 ________ 。

沪科版八年级上册15.等边三角形的性质和判定课件

沪科版八年级上册15.等边三角形的性质和判定课件

感悟新知
(2)解:∠ QMC 的大小不变化. ∵△ ABQ ≌△ CAP,∴∠ BAQ= ∠ ACP. ∵∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ MAC, ∴∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ MAC= ∠ BAC=60°. (3)解:∠ QMC 的大小不变化. 易知△ ABQ ≌△ CAP,∴∠ BAQ= ∠ ACP. ∵∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ APM, ∴ ∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ APM=180 °- ∠ PAC= 180°-60°=120°.
感悟新知
(2)∵△ PDE 为等边三角形,∴ PD=PE. 在△ BDP 和△ CPE 中, ∠B=∠C, ∠ BDP= ∠ CPE, PD=EP, ∴△ BDP ≌△ CPE,(AAS) ∴ BD=CP,BP=CE, ∴ BD+CE=CP+BP=BC=8.
感悟新知
例2 如图15.3-5,等边三角形ABC 的边长为3,D 是 AC 的中点,点E 在BC 的延长线上,若DE=DB, 求CE 的长.
作业提升
作业1 请完成教材课后习题
例 5 [期末·西安蓝田] 如图15.3-12,在△ ABC 中,DE 是 AC 边的垂直平分线,且分别交BC,AC 于点D 和E, ∠ B=60°,∠ C=30°, 求证:△ ABD 是等边三角形.
解题秘方:根据三个角都相等的三角形是等边三角形证 明即可.
感悟新知
教你一招 从角的角度证明三角形是等边三角形,两条思路: 一 是证明三角形的三个内角相等; 二 是求出三角形的三个内角度数都是60° .
感悟新知
例4 [期中·天津和平区] 如图15.3-11,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,AF 为BC 的中线,D 为AF 上的 一点且BD 的垂直平分线过点C 并交BD 于E. 求证:△ BCD 是等边三角形.

沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 等腰三角形的性质

沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形  等腰三角形的性质

8.【中考·黔西南州】如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线 上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=________度.
15
【点拨】∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°. ∵CG=CD,∠CGD+∠CDG=∠ACB, ∴∠CDG=∠CGD=30°.
9.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD 与CE交于点F,则∠DFC=________.
(2)求∠ACF的度数.
解:∵在等边三角形ABC中,AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAE=30°. ∵△ABE≌△CBF,∴∠BCF=∠BAE=30°. 又∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
15.【2020·绍兴】问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E ,C,作△AEC,使AE=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度 数.
结论不一定正确的是( )
A.AD⊥BC
D
B.∠EBC=∠ECB
C.∠ABE=∠ACE
D.AE=BE
7.【2021·合肥庐阳区四十五中月考】如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB= AC,AD=AE.求证:BD=CE.
证明:作AF⊥BC,垂足为F, ∵AB=AC,∴BF=CF, ∵AD=AE,∴DF=EF, ∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.
证明:在△ACD中,∵CD=AC,CF是△ACD的中线, ∴CF平分∠ACD,∴∠ACF=∠DCF. ∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB. ∴∠FCA+∠ACE=∠DCF+∠ECB=90°, ∴CE⊥CF.
13.【芜湖鸠江区校级统考】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ABC= 35°,E是BC边上一点,且AE=CE,D是C边上的中点,连接AD,AE.

沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计

沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计

沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析《轴对称图形与等腰三角形》是沪科版八年级上数学第15章的内容,本章主要让学生了解轴对称图形的概念,学会判断一个图形是否为轴对称图形,以及掌握等腰三角形的性质。

教材通过生活中的实例引入轴对称图形,让学生感受数学与生活的联系,培养学生的数学素养。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级的数学知识,具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但部分学生对实际生活中的几何图形认识不足,对轴对称图形和等腰三角形的概念理解可能存在困难。

因此,在教学过程中,要注重引导学生观察生活中的几何图形,激发学生的学习兴趣,帮助学生建立清晰的概念。

三. 教学目标1.理解轴对称图形的概念,学会判断一个图形是否为轴对称图形。

2.掌握等腰三角形的性质,能运用等腰三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.轴对称图形的概念及判断。

2.等腰三角形的性质及运用。

五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实例,引导学生感受轴对称图形的存在,激发学生的学习兴趣。

2.互动教学法:引导学生观察、讨论、分析,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.实践操作法:让学生动手操作,加深对轴对称图形和等腰三角形性质的理解。

4.归纳总结法:在教学过程中,引导学生总结轴对称图形和等腰三角形的性质,提高学生的表达能力。

六. 教学准备1.教学课件:制作精美的课件,展示生活中的轴对称图形和等腰三角形。

2.教学素材:准备一些实际的图形,如卡片、模型等,用于引导学生观察和操作。

3.教学设备:多媒体设备、投影仪等。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些生活中的轴对称图形,如剪刀、飞机模型等,引导学生观察并提问:“这些图形有什么特点?”让学生初步感知轴对称图形的存在。

2.呈现(10分钟)讲解轴对称图形的概念,引导学生了解轴对称图形的定义及特点。

沪科版数学八年级上册同步教学课件 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论

沪科版数学八年级上册同步教学课件 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论

B
D
C
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
BAD 1 BAC = 60°. 2
6.如图,已知△ABC为等腰三角形,BD、CE为底
角的平分线,且∠DBC=∠F,求证:EC∥DF.
证明:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线,
2x B
D 2x
C
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.
A

设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ,
解得 x=36 °,
2x B
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.

典例精析
例4 如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC. (1)若AD=AE,求证:BD=CE; (2)若BD=CE,F为DE的中点,如图②,求证: AF⊥BC.
图①
图②
证明:(1)如图①,过A作 AG⊥BC于G. ∵AB=AC,AD=AE, ∴BG=CG,DG=EG, ∴BG-DG=CG-EG, ∴BD=CE; (2)∵BD=CE,F为DE的中点, ∴BD+DF=CE+EF, ∴BF=CF. ∵AB=AC,∴AF⊥BC.
方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一 个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要 分两种情况讨论.
☆等腰三角形的性质2
建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁 上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三 角板底边中点,就说房梁是水平的,你知道为什么吗?

沪科版八年级数学上册第15章:15.1 第2课时 平面直角坐标系中的轴对称

沪科版八年级数学上册第15章:15.1 第2课时 平面直角坐标系中的轴对称

1
关于y轴对称的△A ′ B ′ C ′.
-4 -3 -2 -1-01
-2 -3
-4
A′
C′ B′
12345 x
21
8.已知点A(2a+b,-4),B(3,a-2b)关于x轴对称, 求点C(a,b)在第几象限? 解:∵点A(2a+b,-4),B(3,a-2b)关于x轴 对称, ∴2a+b=3,a-2b=4, 解得a=2,b=-1. ∴点C(2,-1)在第四象限.
D.直线y=x对称
2.在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平
移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点
C的坐标是( D )
A.(-4,-2)
B.(2,2)
C.(-2,2)
D.(2,-2)
18
3.设点M(x,y)在第二象限,且|x|=2,|y|=3,则点
M关于y轴的对称点的坐标是( A )
(一找二描三连)
13
针对训练: 平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为 A(0,4),B(2,4),C(3,-1). (1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点; (2)若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称,画出 △A'B'C',并写出A'、B'、C'的坐标.
14
解:如图所示:
y
A (0,4)
4
讲授新课
一 用坐标表示轴对称
互动探究
问题1:已知点A和一条直线MN,你能画出这
个点关于已知直线的对称点吗?
(1)过点A作AO⊥MN,
M
垂足为点O,
(2)延长AO至A′, 使OA′=AO.
A

沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)

沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)

八年级 数学 上册 沪科版
(1)解:∠ABE=∠ACD. AB=AC,
理由:在△ABE 和△ACD 中,∵∠A=∠A, AE=AD,
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE=∠ACD.
第 20 页
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(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,由(1)可知∠ABE=∠ACD, ∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,又∵AB=AC, ∴点 A,F 均在线段 BC 的垂直平分线上, 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
第 21 页
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考点 4:含 30 度角的直角三角形 15.如图,一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m, 为了方便卸货,常用一块木板搭成一个斜面,要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°,则这块木板的长度至少为 ( A ) A.3 m B.2.5 m C.2.6 m D.0.75 m
第 14 页
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证明:连接 AP, 在△CAP 与△BAP 中,
CA=BA,
∴AP=AP, CP=BP,
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP=∠BAP, 又∵PE⊥AC,PD⊥AB,∴PE=PD.
第 15 页
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考点 3:等腰(边)三角形的性质与判定 11.(瑞安期中)在△ABC 中,若∠A=15°,∠B=150°,则△ABC 是( A ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
第 18 页
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14.如图,已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD=AE,连接 BE,CD,交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由; (2)求证:过点 A,F 的直线垂直平分线段 BC.

沪科版八年级数学上册第15章教学课件:15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称(共35张PPT)

沪科版八年级数学上册第15章教学课件:15.1 第1课时 轴对称图形与轴对称(共35张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己,这是成功的秘诀。

它们有什么共同的特点?
讲授新课
一 轴对称和轴对称图形
轴对称 图形
a
m
对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对 称轴.
例4 在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和
△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请
在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
E
D
C(F)
CF
D C(F)
E
CF
A (D)
BA
B(E) A
B
A(D)
B(E)
方法归纳:作一个图形关于一条已知直线的对称图形,关键
是作出图形上一些点关于这条直线的对称点,然后再根据已
你能举出一些轴对称图形的例子吗?
全班总动员
ABCDEFGHIJKLM
N O P Q R S T U VW X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为 你所报的字母的形状是一个轴对称图形,你就迅速 站起来报出,并说出它有几条对称轴;如果你认为你 报的字母的形状不是轴对称图形,那么,你只需坐 在座位上报就可以了.其他同学认真听,如果报错了, 及时提醒.
ABCDE FG HI J KLMN OPQRST U VWXYZ
做一做:找出下列各图形中的对称轴,并说明哪一个 图形的对称轴最多.
想一想:
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
下面的每对图形有什么共同特点如?图点A、A ′就是一对对称点.

八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪

八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪

《等腰三角形》一、说教材分析:1.教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。

通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系,并且对轴对称图形特征的直观反映(三线合一),对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。

2、教学目标:(1)认知目标:要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征,使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算,逐步渗透几何证题的基本方法:分析法和综合法;(2)能力目标:培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力;使学生初步学会分析几何证明题的思路,从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力;(3)情感目标:通过亲自动手,发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征,对学生进行数学美育教育。

3、教学重难点:(1)教学重点:等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。

(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。

4、教具准备:为了使学生了解这堂课,本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。

二、说教学方法:由于八年级学生的理解能力和思维特征,他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点,以及八年级学生刚刚学习轴对称图形,对轴对称图形的分析相对比较好,再加上八年级学生思维的感官性,所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效,特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察,采用教具直观教学法,启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。

教学过程中注意师生之间的情感交流,培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。

对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征,通过让学生动手操作,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,以及一般三角形的模版,从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。

第15章 轴对称图形和等腰三角形数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)

第15章 轴对称图形和等腰三角形数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)

第15章轴对称图形和等腰三角形数学八年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,矩形ABCD中,E是AB的中点,将△BCE沿CE翻折,点B落在点F处,tan∠BCE= .设AB=x,△ABF的面积为y,则y与x的函数图象大致为A. B. C. D.2、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C.D.3、如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是()A.AD=BDB.AE=ACC.ED+EB=BDD.AE+CB=AB4、如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为()A.10B.6C.4D.不确定5、如图,折叠长方形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则折痕AE的长为()A. cmB. cmC.12cmD.13 cm6、下列图形中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.7、如图,已知正方形ABCD的边长为12,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF 交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论:①△ADG≌△FDG;②GB=2AG;③△GDE∽△BEF;④S△BEF=.在以上4个结论中,正确的有()A.1  B.2C.3D.48、如图,已知,点P在边上,,点M,N在边上,,若,则()A.8B.6C.5D.39、如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D 恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4 且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为()A.1B.C.2D.10、如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为()A. B.1 C. D.211、如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N ;②作直线MN交AC于点D,连接BD。

沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习

沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形与等腰三角形知识例题讲解与练习

第15章轴对称图形与等腰三角形【知识剖析】一、轴对称图形与轴对称1、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称:如果一个图形沿着一条直线折叠,它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称. 这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.3、轴对称性质与判定:(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段. (2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系例1、把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是()例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D/、C/的位置.若∠EFB=65°,则∠AED/等于().A、70°B、65°C、50°D、25°例3、如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别在边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A/重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=().A、150°B、210°C、105°D、75°例4、已知点M(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是________.例5、若点P关于x轴的对称点为P1(2a+b,-a+1),关于y轴的对称点为P2(4-b,b+2),则a+b的值为_________.例6、如图,在平面直角坐标系xoy中.(1)请写出△ABC各顶点的坐标,并求△ABC的面积;(2)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1;(3)已知点A与点A2(-3,2)关于直线l成轴对称,请画出直线l及△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2,并直接写出直线l的函数解析式;(4)若点P(m,n)是△ABC中AB边上一点,请表示其在△A2B2C2中对应点的坐标.二、线段的垂直平分线1、定义:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.2、性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.∵直线l垂直平分AB,点P在l上∴ PA=PB3.∵ PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上4、三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.例7、如图,在△ABC中,∠BAC=100°,DF、EG分别为AB和AC的垂直平分线,求∠DAE 的度数.例8、如图,AB=CD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E,垂足分别为N、M. 求证:∠ABE=∠CDE.例9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF. 求证:AE=AF.例10、如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,E是AB上一点,且在线段BD的垂直平分线上,BD的垂直平分线交BD于点G,DE交AC于点F. 求证:点E在线段AF的垂直平分线上.三、等腰三角形1、定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、性质:(1)等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.推论:等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°.(2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一)3、判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.四、等边三角形1、定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形.2、性质:等边三角形的三边相等;三个角都相等,每一个内角等于60°.3、判定:(1)定义法:三边都相等的三角形是等边三角形.(2)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.五、直角三角形含30°角的直角三角形性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.例11、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于().A、80°B、70°C、60°D、50°例12、如图,已知梯形ABED的周长是20cm,∠ABC=60°,CD∥AB,AC∥DE,且AB=AC=AD=DE. 计算△DCE的周长.例13、如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.例14、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于点D,则BD=_______.例15、如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE 相交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.例16、如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF=______.例17、如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q 不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.(1)当∠BQD=30°时,求AP的长.(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果发生改变,请说明理由.六、角的平分线1、性质:角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2、判定:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、三角形三条角平分线的性质:三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.例18、如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=AC ,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E.若AB=10cm ,求△DBE 的周长.例19、如图,PM ⊥BD 于点M ,PN ⊥AD 于点N ,BD=AD ,PM=PN. 求证:OB=OA.例20、如图,∠B=∠C=90°,M 的BC 的中点,DM 平分∠ADC.若连接AM ,则AM 是否平分∠BAD ?并说明理由.例21、如图,在△ABC 中,请证明:(1)若AD 为∠BAC 的平分线,则::ABD ACD S S AB AC =(2)设D 为BC 上的一点,连接AD ,若::ABD ACD S S AB AC = ,则AD 为∠BAC 的平分线.例22、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,AC=4,点P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,试求点P到AB边的距离.例23、如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,请你添加一个条件,使AD⊥EF,并进行证明.【综合练习】一、选择题1、在下列交通标志中,是轴对称图形的有().A.4个B.3个C.2个D.1个2、在等腰三角形ABC中,AC=2BC,其周长为60,则BC的长为().A.15B.12C.15或12D.以上都不正确3、如图,每组中的两个图形,成轴对称的是().A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)4、已知点P(-1-2a,5)关于x轴的对称点和点M(3,b)关于y轴的对称点相同,则A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为().A.(1,-5)B.(1,5)C.(-1,5)D.(-1,-5)5、如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,垂足为E,交AB于D,AB=11cm,BC=7cm,则△BCD 的周长为().A.16cmB.22cmC.18cmD.25cm(第5题)(第7题)(第9题)6、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA 对称,则△P1OP2是().A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AM=DN. 其中正确的结论有()个.A.3B.2C.1D.08、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的().A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点9、如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD等于().A.20°B.30°C.35°D.40°10、如图,折叠直角三角形纸片,使点C落在AB上的点E处. 已知BC=12,∠B=30°,则DE的长是().A.6B.4C.3D.2(第10题)(第11题)(第12题)11、如图,BF,CF是△ABC的两个外角的平分线,交点为F,若∠A=50°,则∠BFC的度数是().A.50°B.60°C.40°D.65°12、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E. 若∠BAE=10°,则∠C的度数为().A.30°B.40°C.50°D.60°二、填空题13、如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=75°,AC=12cm,ED垂直平分BC,则BE等于_____cm.(第13题)(第14题)(第15题)14、在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处.他先沿正东方向走了200m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C,那么,由此可知B、C两地相距_____m.15、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠ADC=130°,则∠BAC=______.16、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,CE⊥AB,垂足为E,AD是∠BAC的平分线.若AB=5cm,CE=245cm,BC=6cm,则AD=_____cm.(第16题)(第17题)17、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如果∠A=30°,BD=1cm,那么∠BCD=____,BC=_____cm,AD=______cm.18、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则∠B 等于__________.19、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AD=BD=2CD,点D到AB的距离等于5cm,则BC=______,∠CAD=_______.(第19题)(第20题)20、如图,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是______.三、解答题21、如图,在直线AB一侧有C、D两点,在AB上找一点P,使PC+PD的长最短,找出此点并说明理由.22、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E. 求证:△AEF是等边三角形.23、如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,且12AE BD.求证:BD是∠ABC的平分线.24、如图,△ABC是等边三角形,D是△ABC内一点,且BD=AD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,问:∠BPD的度数是不是一定的?若是,求出它的度数;若不是,请说明理由.25、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B 同时出发,几秒后△PQB为等腰三角形?26、如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角板的直角顶点P在射线OM 上滑动,两直角边分别与OA,OB交于C,D.则PC和PD有怎样的数量关系,并证明你的结论.。

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第15章轴对称图形与等腰三角形15.1轴对称图形第1课时轴对称图形01基础题知识点1轴对称图形1.(苏州中考)下列四个图案中,不是轴对称图案的是(B)A B C D2.如图,下面四个图形中,有一个不是轴对称图形,它是(A)3.【关注传统文化】(芜湖期末)无为剔墨纱灯是一种古老的传统手工艺品,灯壁四周绘以花卉、山水、人物等形象,在烛光穿射下频频闪眨,栩栩如生.下列四个无为剔墨纱灯的灯壁图案中不是轴对称图形的是(D)A B C D知识点2对称轴的确定4.下列数字图形中,有且仅有一条对称轴的是(A)5.(黄山期末)下列四个图形:其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是(B)A.4 B.3 C.2 D.102中档题6.(遵义中考)把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是(C)①②③A B C D7.作图:下面是用小正方形组成的L形图,请你用三种不同的方法分别在图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形,并画出对称轴.解:如图.8.如图,已知图形B是一个正方形,图形A由三个图形B构成.请用图形A与B合拼成一个轴对称图形,并把它画在网格中(画出两种结果).解:答案不唯一,如图.9.如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方格涂成了灰色.现在要在其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色,使整个灰色的小方格图案成轴对称图形,这样的白色小方格有4个,请在图中设计出一种方案.解:如图所示,答案不唯一.10.(教材P120练习T1变式)画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格.根据上表n条对称轴.解:如图.第2课时轴对称01基础题知识点1成轴对称1.如图所示的各组图形中的两个小狗,成轴对称的是(A)2.如图所示:其中,轴对称图形有甲、乙、丙、丁,与甲成轴对称的图形有丁.知识点2线段的垂直平分线3.如图,直线l是线段AB的垂直平分线,已知AB=12 cm,则OA=6cm.知识点3轴对称的性质4.(蒙城月考)如图,△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC,下列说法中不正确的是(C) A.∠DAO=∠CBO,∠ADO=∠BCOB.直线l垂直平分AB,CDC.△AOD和△BOC均是等腰三角形D.AD=BC,OD=OC第4题图第5题图5.如图,∠A=30°,∠C′=60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B=90°.知识点4轴对称作图6.(教材P122练习T3变式)在下面各图中画△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称.解:△A′B′C′如图所示.易错点对称轴位置不确定7.(呼和浩特中考)图中序号(1),(2),(3),(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是(A)A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)02中档题8.下列说法中,正确的是(C)A.设点A,B关于直线MN对称,则线段AB垂直平分直线MNB.如果△ABC≌△A′B′C′,那么一定存在一条直线MN,使△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称C.线段MN上的一点关于直线MN的对称点就是它本身D.两个图形关于MN对称,则这两个图形分别在MN的两侧9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,求∠A′DB的度数.解:根据题意知:△ACD与△A′CD关于CD对称,∴∠A=∠CA′D.∵∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=40°.∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=10°.10.(安徽期中)如图的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个第3课时 平面直角坐标系中的轴对称01 基础题知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标特征1.(阜阳期末)在平面直角坐标系中,点A(7,-2)关于x 轴对称的点A′的坐标是(A ) A .(7,2) B .(7,-2) C .(-7,2) D .(-7,-2)2.在平面直角坐标系中,点P(4,-2)关于y 轴的对称点在(C ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.线段MN 在平面直角坐标系中的位置如图,若线段M′N′与MN 关于y 轴对称,则点M 的对应点M′的坐标为(D )A .(4,2)B .(-4,2)C .(-4,-2)D .(4,-2)4.已知A ,B 两点关于x 轴对称,且点A 的坐标是(3,-1),则点A ,B 之间的距离为2. 5.在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(-2,5),点Q 与点A 关于y 轴对称,点P 与点Q 关于x 轴对称,则点P 的坐标是(2,-5).6.已知点A(2m +n ,2),B(1,n -m),当m ,n 分别为何值时,下列条件成立? (1)A ,B 关于x 轴对称; (2)A ,B 关于y 轴对称.解:(1)∵点A(2m +n ,2),B(1,n -m)关于x 轴对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧2m +n =1,n -m =-2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1,n =-1. (2)∵A(2m +n ,2),B(1,n -m)关于y 轴对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧2m +n =-1,n -m =2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =1.知识点2 关于坐标轴对称的图形的画法7.(教材P124练习T2变式)利用关于坐标轴对称的点的坐标的特征,在下面的平面直角坐标系中分别作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1和关于x 轴对称的△A 2B 2C 2,并写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各个顶点的坐标.解:如图所示:A 1(2,1),B 1(4,-2),C 1(1,-1), A 2(-2,-1),B 2(-4,2),C 2(-1,1).8.如图是建有平面直角坐标系的正方形网格,请按下列要求操作:(1)画△ABC ,使A ,B ,C 三点的坐标分别为(3,1),(4,-1),(2,-2);(2)画△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC 关于y 轴对称,连接AA′,BB ′.计算四边形AA′B′B 的面积. 解:(1)如图.(2)如图,四边形AA′B′B 的面积为14.02 中档题9.(淮安中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,2)的横坐标乘以-1,纵坐标不变,得到点A′,则点A 和点A′的关系是(B )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于原点对称D .将点A 向x 轴负方向平移1个单位长度得点A′10.已知点P (a +1,2a -3)关于x 轴的对称点在第一象限,则a 的取值范围是(B)A .a <-1B .-1<a <32C .-32<a <1D .a >3211.点P(-2,-4)与点Q(6,-4)的位置关系是(C) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称C .关于直线x =2对称D .关于直线y =2对称12.(福州中考)如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A ,B ,C ,D ,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是(B )A .点AB .点BC .点CD .点D13.已知点A(-1,-2),B(1,3),将点A 向上平移5个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称. 14.(蚌埠期末)如图,已知A(-3,-3),B(-2,-1),C(-1,-3)是平面直角坐标系上三点.(1)请画出△ABC和△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,写出点A1,B1,C1的坐标;(2)若将点B向上平移h个单位长度,使其落在△A1B1C1的内部,指出h的取值范围.解:(1)所作图形如图所示.A1(-3,3),B1(-2,1),C1(-1,3).(2)由图可得2<h<4.15.(铜陵期末)如图,在平面直角坐标系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;(2)写出点的坐标(直接写答案):A1(3,2);B1(4,-3);C1(1,-1);(3)△A1B1C1的面积为6.5;(4)在y轴上画出点P,使PB+PC最小.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(4)如图所示,P点即为所求.在直线l,l上分别求分别作点P关于两直)15.2 线段的垂直平分线01 基础题知识点1 用尺规作线段的垂直平分线1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是(C)2.如图,一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图,作出线段AB 的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明); (2)若不用尺规作图,你还有其他作法吗?请说明作法(不作图).解:(1)如图.(2)对折,使得点A 与点B 重合,则折痕所在的直线为线段AB 的垂直平分线.知识点2 线段垂直平分线的性质3.(合肥包河区期末)如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧相交于M ,N ,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD.如果AD =5,CD =2,那么BC =(D)A .2B .3C .4D .7第3题图 第4题图4.如图,在四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD ,垂足为E ,下列结论不一定成立的是(C) A .AB =AD B .AC 平分∠BCD C .AB =BD D .BE =DE5.(黄山月考改编)如图,在△ABC 中,DE 是BC 的垂直平分线,垂足为E ,交AC 于点D.若AB =6,△ABD 的周长为15,则AC =9.6.如图,AD ⊥BC ,BD =CD ,点C 在AE 的垂直平分线上.若AB =5 cm ,BD =3 cm ,求BE 的长.解:∵AD ⊥BC ,BD =CD , ∴AB =AC.∵点C 在AE 的垂直平分线上, ∴AC =CE. ∴CE =AB.∵AB =5 cm ,BD =3 cm , ∴CE =5 cm ,CD =3 cm .∴BE =BD +DC +CE =11 cm .知识点3 线段垂直平分线的判定7.在锐角△ABC 内一点P 满足PA =PB =PC ,则点P 是△ABC(D) A .三条角平分线的交点 B .三条中线的交点 C .三条高的交点D .三边垂直平分线的交点8.如图,点D 是△ABC 的边BC 上一点,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,并且DE =DF ,连接AD ,EF.求证:AD 垂直平分EF.证明:∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴∠AED =∠AFD =90°. 在Rt △ADE 和Rt △ADF 中,⎩⎨⎧AD =AD ,DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △ADF(HL ). ∴AE =AF.∴点A ,D 在线段EF 的垂直平分线上,即AD 垂直平分EF.知识点4 线段垂直平分线的应用9.(教材P130练习T1变式)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P ,使P 到该镇所属A 村,B 村,C 村的距离都相等(A ,B ,C 不在同一直线上,地理位置如图所示),请你用尺规作图的方法确定点P 的位置.(不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示.02 中档题10.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ,交AB 于点E ,则AD 与BC 的大小关系是(A )A .AD >BCB .AD =BC C .AD <BC D .无法比较 11.(本课时T5变式)如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ,交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24,△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12,则线段DE 的长为6.第11题图 第12题图12.如图,在△ABC 中,边AB ,BC 的垂直平分线交于点P ,且AP =5,那么PC =5. 13.(安庆期末)已知C ,D 两点在线段AB 的垂直平分线上,且∠ACB =50°,∠ADB =90°,则∠CAD =110°或20°.14.如图所示,点P 在线段AB 的垂直平分线上,PC ⊥PA ,PD ⊥PB ,AC =BD.求证:点P 在线段CD 的垂直平分线上.证明:∵点P 在线段AB 的垂直平分线上, ∴PA =PB.∵PC ⊥PA ,PD ⊥PB , ∴∠APC =∠BPD =90°. 在Rt △APC 和Rt △BPD 中,⎩⎨⎧AC =BD ,PA =PB ,∴Rt △APC ≌Rt △BPD(HL ).∴PC=PD.∴点P在线段CD的垂直平分线上.03综合题15.如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD.(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED,你同意王云同学的判断吗?请说明理由;(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.解:(1)王云同学的判断是正确的.理由如下:∵AB=AD,∴点A在BD的垂直平分线上.∵CB=CD,∴点C在BD的垂直平分线上.∴AC为BD的垂直平分线.∴BE=DE,AC⊥BD.(2)由(1)得AC⊥BD.∴S四边形ABCD=S△CBD+S△ABD=12BD·CE+12BD·AE=12BD·AC=12ab.16.如图,在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为(A)A.10°B.15°C.40°D.50°15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质01基础题知识点1等边对等角1.(教材P133练习T1(1)变式)等腰直角三角形的一个底角的度数是(B)A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是(D)A.70°B.55°C.50°D.40°第2题图第3题图3.(新疆中考)如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D为(B)A.85°B.75°C.60°D.30°4.(江西中考)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A=75°.图1图25.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,且BD=DC.求证:∠ABD=∠ACD.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD.6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠ADE的度数.解:∵AB=AC,AD=AD,AD⊥BC,∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠DAE=∠BAD=28°.又∵AD=AE,∴∠ADE =12(180°-∠DAE)=12×(180°-28°)=76°.知识点2 等腰三角形的“三线合一”7.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 为BC 边的中点,∠BAD =20°,则∠C =70°.第7题图 第9题图8.在△ABC 中,AB =AC.(1)若AD 平分∠BAC ,则∠BDA =90°,BD =CD ; (2)若BD =CD ,则AD 平分∠BAC ,∠ADC =90°; (3)若AD ⊥BC ,则∠BAD =∠CAD ,BD =CD .9.(教材P134练习T3变式)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC ,以下结论中错误的是(B) A .△ABD ≌△ACD B .∠B =∠BAD C .D 为BC 的中点D .AD 是△ABC 的角平分线10.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 是BC 的中点,点E 在AD 上.求证:BE =CE.证明:∵AB =AC ,点D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC.∴AD 垂直平分BC. ∴BE =CE.11.(北京中考)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD 是BC 边上的中线,BE ⊥AC 于点E.求证:∠CBE =∠BAD.证明:∵AB =AC , ∴∠ABD =∠C.又∵AD 是BC 边上的中线, ∴AD ⊥BC. ∵BE ⊥AC ,∴∠BEC =∠ADB =90°.∴∠C +∠CBE =∠ABD +∠BAD =90°. ∴∠CBE =∠BAD.易错点 未分类讨论致错12.(教材P 134练习T 1(3)变式)一个等腰三角形中有一个内角为80°,则另外的两个内角的度数为80°,20°或50°,50°.13.等腰三角形的边长分别是4和5,则该等腰三角形的周长为13或14.02 中档题14.(台州中考)如图,已知等腰三角形ABC ,AB =AC.若以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交腰AC 于点E ,则下列结论一定正确的是(C )A .AE =ECB .AE =BEC .∠EBC =∠BACD .∠EBC =∠ABE第14题图 第15题图15.【方程思想】如图,AB ∥CD ,BE 垂直平分AD ,DC =BC.若∠A =70°,则∠C =(A ) A .100° B .110° C .115° D .120° 16.(绵阳中考)如图,AC ,BD 相交于点O ,AB ∥DC ,AB =BC ,∠D =40°,∠ACB =35°,则∠AOD =75°.第16题图 第17题图17.(教材P136练习T3变式)在如图所示的钢架中,焊上等长的钢条P 1P 2,P 2P 3,P 3P 4,P 4P 5来加固钢架.若AP 1=P 1P 2,∠P 3P 2P 4=54°,则∠A 的度数是18°.18.(教材P140习题T11变式)已知:如图,AB =AE ,∠B =∠E ,BC =ED ,AF ⊥CD .求证:点F 是CD 的中点.证明:连接AC ,AD , 在△ABC 和△AED 中,⎩⎨⎧AB =AE ,∠B =∠E ,BC =ED ,∴△ABC ≌△AED (SAS). ∴AC =AD .∵AF ⊥CD ,∴CF =FD (等腰三角形三线合一). ∴点F 是CD 的中点.19.(阜阳联考期末)如图,△ABC 是等腰三角形,D ,E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点,且BD =CE ,连接DE 交底BC 于点G.求证:GD =GE.证明:过点E 作EF ∥AB 交BC 延长线于点F. ∵AB =AC , ∴∠B =∠ACB. ∵EF ∥AB , ∴∠F =∠B.∵∠ACB =∠FCE , ∴∠F =∠FCE. ∴CE =EF.∵BD =CE ,∴BD =EF.在△DBG 和△EFG 中,⎩⎨⎧∠DGB =∠EGF ,∠B =∠F ,BD =FE ,∴△DBG ≌△EFG(AAS ). ∴GD =GE.03 综合题20.如图,AB =AC ,CD ⊥AB 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,BE 与CD 相交于点O.(1)求证:AD =AE ;(2)连接OA ,BC ,试判断直线OA ,BC 的位置关系并说明理由.解:(1)证明:在△ACD 和△ABE 中,∵∠CAD =∠BAE ,∠ADC =∠AEB =90°,AC =AB , ∴△ACD ≌△ABE(AAS ). ∴AD =AE.(2)OA ⊥BC.理由:在Rt △ADO 和Rt △AEO 中, ∵OA =OA ,AD =AE ,∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).∴∠DAO=∠EAO,即OA是∠BAC的平分线.又∵AB=AC,∴OA⊥BC.21.【方程思想】如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(B)A.40°B.36°C.30°D.25°第2课时等边三角形的性质01基础题知识点等边三角形的性质1.如图所示,已知△ABC是等边三角形.根据图形填空:(1)边的关系:AB=BC=AC;(2)角的关系:∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°;(3)若AD⊥BC,则BD=DC,∠BAD=∠CAD=30°;(4)若AE=EC,则BE⊥AC,∠CBE=∠ABE=30°;(5)若∠ACF=∠BCF,则CF⊥AB,AF=BF;(6)等边三角形是轴对称图形,它的对称轴是各边的垂直平分线,它有3条对称轴.第1题图第2题图2.如图,过等边△ABC的顶点A作射线.若∠1=20°,则∠2的度数是(A)A.100°B.80°C.60°D.40°3.(蚌埠期末)如图,AD是等边△ABC的中线,AE=AD,则∠EDC的度数为(D)A.30°B.20°C.25°D.15°第3题图第4题图4.如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y=3.5.(湘潭中考)如图,在等边△ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD=30°.第5题图第6题图6.如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置.若∠α=40°,则∠β=20°.7.如图,点D,E分别在等边△ABC边BC,CA的延长线上,且CD=AE,连接AD,BE.求证:BE=AD.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.∴∠BAE =∠ACD =120°. 在△BAE 和△ACD 中,⎩⎨⎧AE =CD ,∠BAE =∠ACD ,AB =CA ,∴△BAE ≌△ACD(SAS ). ∴BE =AD.02 中档题8.(福建中考)如图,在等边△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,点E 在线段AD 上,∠EBC =45°,则∠ACE 等于(A )A .15°B .30°C .45°D .60°第8题图 第9题图9.如图,已知△ABC 是等边三角形,点B ,C ,D ,E 在同一直线上,且CG =CD ,DF =DE ,则∠E =(C) A .30° B .20° C .15° D .100°10.如图,△ABC 是等边三角形,BC =BD ,∠BAD =20°,则∠BCD 的度数为50°.第10题图 第11题图11.如图,在等边△ABC 中,点D ,E 分别在边BC ,AB 上,且BD =AE ,AD 与CE 相交于点F ,则∠DFC =60度.12.如图,等边△ABC 中,点D 为AC 边的中点,过点C 作CE ∥AB ,且AE ⊥CE.求证:∠CAE =∠ABD.证明:∵△ABC 是等边三角形,D 为AC 边的中点, ∴BD ⊥AC.∴∠BDA =90°. ∵AE ⊥CE ,∴∠E =∠BDA =90°. ∵CE ∥AB , ∴∠ACE =∠BAD.∴90°-∠ACE =90°-∠BAD , 即∠CAE =∠ABD.03 综合题13.在△ABC 中,AB =AC ,在△ABC 的外部作等边△ACD ,E 为AC 的中点,连接DE 并延长交BC 于点F ,连接BD.(1)如图1,若∠BAC =100°,求∠BDF 的度数;(2)如图2,∠ACB 的平分线交AB 于点M ,交EF 于点N ,连接BN.①补全图2;②若BN =DN ,求证:∠MNB =∠MBN.解:(1)在等边△ACD 中,∠CAD =∠ADC =60°,AD =AC =DC. ∵E 为AC 的中点,∴∠ADE =12∠ADC =30°.∵AB =AC ,∴AD =AB.∵∠BAD =∠BAC +∠CAD =160°, ∴∠ADB =∠ABD =10°.∴∠BDF =∠ADF -∠ADB =20°. (2)①补全图形,如图.②证明:连接AN.∵CM 平分∠ACB ,∴设∠ACM =∠BCM =α. ∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB =2α. 在等边△ACD 中,∵E 为AC 的中点,∴DN ⊥AC. ∴NA =NC.∴∠NAC =∠NCA =α. ∴∠DAN =60°+α.在△ABN 和△ADN 中,⎩⎨⎧AB =AD ,BN =DN ,AN =AN ,∴△ABN ≌△ADN(SSS ).∴∠ABN =∠ADN =30°,∠BAN =∠DAN =60°+α. ∴∠BAC =∠BAN +∠NAC =60°+2α.在△ABC 中,∠BAC +∠ACB +∠ABC =180°, ∴60°+2α+2α+2α=180°. ∴α=20°.∴∠NBC =∠ABC -∠ABN =10°. ∴∠MNB =∠NBC +∠NCB =30°.∴∠MNB=∠MBN.14.(教材P140习题T10变式)如图,在等边△ABC中,点D,E为线段BC,AC上动点且BD=CE,连接AD,BE相交于点F,连接CF,下面结论:①△ABD≌△BCE;②∠AFB=120°;③若BD=CD,则F A=FB=FC;④若∠AFC=90°,则AF=3BF.其中结论正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个第3课时等腰三角形的判定01基础题知识点1等腰三角形的判定1.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(B)A.a=3,b=3,c=4B.a∶b∶c=4∶5∶6C.∠B=50°,∠C=80°D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶22.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3 cm,则CD等于(A)A.3 cmB.4 cmC.1.5 cmD.2 cm3.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则△DCE是(A)A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.无法确定第3题图第4题图4.如图,在△ABC中,BD⊥AC,∠A=50°,∠CBD=25°.若AC=5 cm,则AB=5_cm.5.已知:如图,在△ABC中,∠1=∠2,DE∥AC,求证:△ADE是等腰三角形.证明:∵DE∥AC,∴∠ADE=∠2.∵∠1=∠2,∴∠ADE=∠1.∴EA=ED,即△ADE是等腰三角形.6.(蚌埠期末)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,且分别交CD,AC于点F,E.求证:CE=CF.证明:∵∠ACB =90°, ∴∠ACD +∠BCD =90°. ∵CD 为AB 边上的高, ∴∠ADC =90°.∴∠A +∠ACD =90°. ∴∠A =∠BCD.∵BE 是∠ABC 的平分线,∴∠ABE =∠CBE.∴∠CFE =∠BCD +∠CBE =∠A +∠ABE. ∵∠CEF =∠A +∠ABE , ∴∠CEF =∠CFE. ∴CE =CF.知识点2 等边三角形的判定7.有一个外角是120°,另两个外角相等的三角形是(C ) A .不等边三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .不能确定8.在下列命题中:①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是①④.(只需填写序号)9.如图,△ABC 是等边三角形,点D ,E ,F 分别在BC ,AB ,CA 边延长线上,且BE =AF =CD.求证:△DEF 是等边三角形.证明:∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC =∠ABC =60°,AB =AC =BC. ∴∠EAF =∠EBD =120°. ∵BE =AF ,∴BE +AB =FA +AC ,即AE =CF. 在△AEF 和△BDE 中,⎩⎨⎧AF =BE ,∠EAF =∠DBE ,AE =BD ,∴△AEF ≌△BDE(SAS ). ∴EF =ED.同理可得△AEF ≌△CFD ,∴EF =FD. ∴EF =ED =FD.易错点选择腰的标准不明确致错10.在如图的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点.若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数有(C)A.6个B.7个C.8个D.9个02中档题11.(龙岩中考)在如图所示的三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(3)(4)12.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D,过点D作BC的平行线交AB于点E,交AC于点F,已知∠BED+∠CFD=240°,则∠BDC=120°.13.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,若AD=BD,求∠A的度数;(2)如图2,在(1)的条件下,作DE⊥AB于E,连接EC.求证:△EBC是等边三角形.解:(1)∵AD=BD,∴∠A=∠DBA.∵BD平分∠ABC,∴∠DBA=∠DBC,∴∠A=∠DBA=∠DBC.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°.∴∠A=30°.(2)证明:∵AD=BD,DE⊥AB,∴AE=BE.∴CE=BE.∴∠EBC=60°.∴△EBC是等边三角形.14.(合肥瑶海区期末)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=90°,在射线BA上找一点D,使△ACD为等腰三角形,则∠ACD的度数为70°或40°或20°.等腰三角形中常见辅助线的作法【方法指导】对于单一等腰三角形作“三线合一”的图形,是作底边上的高、中线还是顶角平分线可根据解题需要而定;对于叠合等腰三角形作“三线合一”的图形,则需巧作辅助线,下面就通过以下几种图形说明巧作辅助线的方法:图①作底边上的高;图②作顶角的平分线;图③作中线;图④连接AD并延长,再证其是“三线”之一即可.1.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=CE,若AB=6,则AC=6.2.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,D为AB边的中点,M,N分别为AC,BC上的点,且DM⊥DN.若BC=5,CM=2,则CN=3.3.如图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:△DGE是等腰三角形.证明:连接AG,∴∠B=∠1,∠C=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,AD=AE.又∵G为BC中点,∴AG⊥BC.∴AG⊥DE且平分DE.∴DG=GE.∴△DGE是等腰三角形.第4课时 含30°角的直角三角形的性质01 基础题知识点 含30°角的直角三角形的性质1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =8,则BC =(C ) A .8 B .6 C .4 D .2第1题图 第3题图 2.在△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则BC ∶AB 等于(B) A .2∶1 B .1∶2 C .1∶3 D .2∶33.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面3米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量∠ABC =30°,则树高为(B )A .6米B .9米C .10米D .12米4.如图,在△ABC 中,∠B =30°,ED 垂直平分BC ,ED =3,则CE 的长为6.第4题图 第5题图5.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD 是△ABC 的角平分线,CD =2,则BC =6. 6.如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,∠A =30°.求证:AB =4BD.证明:∵△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°, ∴BC =12AB ,∠B =60°.又∵△BCD 中,CD ⊥AB , ∴∠BCD =30°.∴BD =12BC.∴BD =14AB ,即AB =4BD.7.(阜阳联考期末)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =15°,DE 垂直平分AB 交BC 于点E ,BE =4,求AC 的长.解:∵DE 垂直平分AB ,∴AE =BE =4.∴∠BAE =∠B =15°.∴∠AEC =∠BAE +∠B =15°+15°=30°. ∵∠C =90°, ∴AC =12AE =12×4=2.易错点 在运用含30°角的直角三角形的性质时,忽略分类讨论致错8.在△ABC 中,BD 是△ABC 的高,且AB =AC =2BD ,则∠DBC 的度数为15°或75°.02 中档题9.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =30°,AB ⊥AD ,AD =4 cm ,则BC 的长为(B) A .8 cm B .12 cm C .15 cm D .16 cm第9题图 第10题图10.(扬州中考)如图,已知∠AOB =60°,点P 在边OA 上,OP =12,点M ,N 在边OB 上,PM =PN.若MN =2,则OM =(C)A .3B .4C .5D .611.如图,这是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h =6.5米,自动扶梯的倾角为30°,若自动扶梯运行速度为v =0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒.12.如图,△ABC 是等边三角形,AD ⊥BC ,DE ⊥AB.若AB =8 cm ,则BD =4_cm ,BE =2_cm .第12题图 第13题图13.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,BC =4,以点C 为圆心,CB 长为半径作弧,交AB 于点D ;再分别以点B 和点D 为圆心,大于12BD 的长为半径作弧,两弧相交于点E ,作射线CE 交AB 于点F ,则AF14.如图,一艘轮船早上8时从点A 向正北方向出发,小岛P 在轮船的北偏西15°方向.轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B 处,小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求此时轮船距小岛为多少海里?(2)在小岛P 的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.解:(1)∵∠PAB =15°,∠PBC =30°, ∴∠PAB =∠APB.∴PB =AB =15×3=45(海里). (2)不会有触电危险.理由如下: 过点P 作PD ⊥BC 于点D ,在Rt △PBD 中,∠PBD =30°, PB =45, ∴PD =12PB =22.5.∵22.5>20.∴轮船继续向前航行,不会有触礁危险.15.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,D 为BC 的中点,DE ⊥AC 于点E ,AE =8,求CE 的长.解:连接AD , ∵AB =AC , ∠BAC =120°, D 为BC 的中点,∴AD ⊥BC ,AD 平分∠BAC ,∠B =∠C =30°. ∴∠DAC =12∠BAC =60°.∵DE ⊥AC 于点E ,∴∠AED =90°. ∴∠ADE =30°.在Rt △ADE 中,AE =8,∠ADE =30°, ∴AD =2AE =16.在Rt △ADC 中,AD =16,∠C =30°, ∴AC =2AD =32.16.已知,如图,△ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长BC 至E ,使CE =CD. (1)求证:DB =DE ;(2)若点F 是BE 的中点,连接DF ,且CF =2,求等边△ABC 的边长.解:(1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC =∠ACB =60°. 又∵BD 是中线, ∴BD 平分∠ABC. ∴∠DBC =12∠ABC =30°.∵CE =CD ,∴∠E =∠CDE.又∵∠ACB =∠E +∠CDE , ∴∠E =∠CDE =30°. ∴∠DBC =∠E. ∴DB =DE.(2)由(1)可知DB =DE , 又∵点F 是BE 的中点, ∴DF ⊥BE.∵∠ACB =60°,∴∠CDF =180°-90°-60°=30°. 又∵△CDF 为直角三角形, ∴CF =12CD.∴CD =4.∵BD 是中线, ∴AC =2CD =8, 即等边△ABC 的边长为8.小专题8 等腰三角形中的分类讨论 ——教材P134练习T1(3)的变式与应用教材母题:(教材P 134练习T 1(3))如果等腰三角形有一个内角等于80°,那么这个三角形的最小内角等于20°或50°.【思路点拨】 先分情况讨论:80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角,再根据三角形的内角和定理进行计算.当80°是等腰三角形的顶角时,则底角就是12×(180°-80°)=50°;当80°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-80°×2=20°,所以这个三角形的最小内角的度数为20°或50°.(1)在解有关等腰三角形求角度的问题时,若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键;(2)在解有关等腰三角形边长问题时,通常也要进行讨论,注意分类讨论后一定要运用三边关系检验,所求的结果若能够组成三角形,才能继续进行有关的计算.1.若一个等腰三角形的两边长分别为2,4,则第三边的长为(C) A .2 B .3 C .4 D .2或4 2.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为(C ) A .50° B .80° C .50°或80° D .40°或65°3.一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个等腰三角形的顶角等于70°或40°.4.(通辽中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°. 5.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分,求这个三角形的三边长. 解:在△ABC 中,AB =AC ,且AD =CD ,设AB =x ,BC =y. ①当AB +AD =15,DC +BC =12时,则⎩⎨⎧x2+x =15,x 2+y =12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =10,y =7.②当AB +AD =12,BC +CD =15时,有⎩⎨⎧x2+x =12,x 2+y =15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =11.且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系,故这个三角形的三边长为10,10,7或8,8,11.6.在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,求∠B 的度数. 解:①当∠A 为锐角时,如图1.∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°,∴∠A =40°.∴∠B =(180°-∠A)÷2=70°.图1 图2②当∠A为钝角时,如图2.∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,∴∠1=40°.∴∠BAC=140°.∴∠B=∠C=(180°-140°)÷2=20°.综上所述,∠B的度数为70°或20°.7.在△ABC中,∠ABC=30°,∠BAC=70°.在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,请画出这样的四个图形.解:答案不唯一,如图.小专题9 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形①利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形.若∠1=∠2,AC ∥OB ,则△OAC 为等腰三角形. ②作腰的平行线构造等腰三角形.若AB =AC ,DE ∥AC ,则△BDE 为等腰三角形.③作底边的平行线构造等腰三角形.若AB =AC ,DE ∥BC ,则△ADE 为等腰三角形.1.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上,且BD =CE ,DE 交BC 于点F.求证:DF =EF.证明:过点D 作DM ∥AC 交BC 于点M , ∴∠DMB =∠ACB ,∠FDM =∠E. ∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB. ∴∠B =∠DMB.∴BD =MD. ∵BD =CE ,∴MD =CE.在△DMF 和△ECF 中,⎩⎨⎧∠MDF =∠E ,∠MFD =∠CFE ,MD =CE ,∴△DMF ≌△ECF(AAS ). ∴DF =EF.2.已知△ABC 为等边三角形,点D 为AC 上的一个动点,点E 为BC 延长线上一点,且BD =DE. (1)如图1,若点D 在边AC 上,猜想线段AD 与CE 之间的关系,并说明理由; (2)如图2,若点D 在AC 的延长线上,(1)中的结论是否成立,请说明理由.解:(1)AD =CE.理由:过点D 作DP ∥BC ,交AB 于点P. ∵△ABC 是等边三角形,∴∠APD =∠ABC =∠ACB =∠PDA =60°. ∴△APD 也是等边三角形. ∴AP =PD =AD.∵DB =DE ,∴∠DBC =∠DEC. ∵DP ∥BC ,∴∠PDB =∠CBD.∴∠PDB =∠DEC.又∵∠BPD =∠A +∠ADP =120°,∠DCE =∠A +∠ABC =120°, ∴∠BPD =∠DCE.在△BPD 和△DCE 中,⎩⎨⎧∠PDB =∠CED ,∠BPD =∠DCE ,DB =ED ,∴△BPD ≌△DCE(AAS ). ∴PD =CE.∴AD =CE. (2)AD =CE 成立.理由:过点D 作DP ∥BC ,交AB 的延长线于点P. ∵△ABC 是等边三角形,∴∠APD =∠ABC =∠ACB =∠PDC =60°. ∴△APD 也是等边三角形. ∴AP =PD =AD.∵DB =DE ,∴∠DBC =∠DEC. ∵DP ∥BC ,∴∠PDB =∠CBD. ∴∠PDB =∠DEC.在△BPD 和△DCE 中,⎩⎨⎧∠PDB =∠CED ,∠P =∠DCE =60°,DB =ED ,∴△BPD ≌△DCE(AAS ).∴PD =CE. ∴AD =CE.类型2 角平分线+垂线→等腰三角形如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,CD ⊥AD ,故可以延长CD 交AB 于点E ,则△ACE 是等腰三角形.3.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =90°,BE 是角平分线,CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ,求证:BE =2CD.证明:延长BA ,CD 相交于点Q. ∵∠CAQ =∠BAE =∠BDC =90°, ∴∠ACQ +∠Q =90°, ∠ABE +∠Q =90°. ∴∠ACQ =∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中,⎩⎨⎧∠ABE =∠ACQ ,AB =AC ,∠BAE =∠CAQ ,∴△ABE ≌△ACQ(ASA ).∴BE =CQ. ∵BD 平分∠ABC ,∴∠QBD =∠CBD.∵∠BDC =90°,∴∠BDC =∠BDQ =90°.在△QDB 和△CDB 中,⎩⎨⎧∠QBD =∠CBD ,BD =BD ,∠BDQ =∠BDC ,∴△QDB ≌△CDB(ASA ).∴DQ =CD. ∴BE =CQ =2CD.类型3 运用倍角关系构造等腰三角形已知在△ABC 中,∠ACB =12∠ABC.①如图1,作∠ABC 的平分线BD ,则可构造等腰△BDC ;②如图2,∠BCE =2∠ACB ,交BA 的延长线于点E ,则可构造等腰△BCE ;③如图3,延长CB 至点D ,使BD =AB ,则可构造两个等腰三角形,如△ABD ,△ADC ; ④如图4,作∠BCE =∠ACB ,交AB 的延长线于点E ,则可构造等腰△BCE.。

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