14 二阶电路、状态方程简介rev 西安交大电路课件
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电路PPT课件第7章 二阶电路
| duC
dt
t=0 = – 2K1 – 4K2 = –iLC—(0)= 4
2 0
联立 K1 + K2 = 2 – 2K1 – 4K2 = 4
解得 K1 = 6，K2 = – 4
uC(t) = 6e -2t – 4e - 4t V t≥0
-4 iL
4
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
1 0
= – 3e -2t + 4e - 4t t≥0
1. 列出 RLC电路的微分方程
VCR：
i=
C
duC dt
uL
=
L
di dt
KVL： uL + uR+ uC = uS
有
L
di dt
+ Ri + uC = uS
iR +
uS
-
L
+
C u- C
整理
LC
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC =
uS
两个初始条件 uC(0) = ?
求零输入响应 uS = 0
-3
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
t
t
例1：已知图示电路中t ≥ 0时1 u1S = 0 R = 3 L = 2 H
C = 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t≥0
iR +
uS
-
L
+
C u- C
解:（2）不列微分方程
阻尼电阻 Rd＝2
L = 2.828 C
R ＞ Rd 过阻尼情况
电路分析课件-二阶电路
+
R
-C
L
(2) R 2 L C
P R ( R )2 1 2L 2L LC
特徵根為一對共軛複根
令： R (衰减系数)
2L
0
1 (谐振角频率) LC
则
2 0
2
(固有振荡角频率)
P j
uc的解答形式： uc A1e p1t A2e p2t e (t)( A1e jt A2e jt )
1 ，
LC
2
uc U0 sin(t 900 ) uL
i U0 sint L
+
-C
t
等幅振盪
L
(3) R 2 L C
P1
P2
R 2L
uc A1e t A2te t
由初始条件duc dt
uc (0 ) U0 A1 U0
(0 ) 0 A1( ) A2
0
解出：
A1 A2
(4)定常數
1 Asin 2
iL (0 )
100 A cos
100Asin
0
uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或設解答形式為： iR 1 Ae100t sin(100t )
A
2
小結：
(1)二階電路含兩個動態元件，用二階常微分方程描述。
(2)二階電路的性質取決於特徵根，特徵根取決於電路 的結構和參數，與激勵和初值無關。
电路第十四章 二阶电路
i(0 ) I0 t0 , K在1，由KVL, 有
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s
《阶电路和二阶电路》课件
详细描述
由于二阶电路具有丰富的动态特性，它被广 泛应用于各种工程领域，如电子、通信和控 制工程。例如，在通信系统中，二阶电路可 以用于滤波、信号处理和振荡器设计；在控 制工程中，二阶电路可以用于模拟控制系统 和自动控制装置。此外，二阶电路还在音频 处理、图像处理和生物医学工程等领域有所
应用。
03
阶电路和二阶电路的比较
阶电路实例分析
01
RC电路的时间常数决定了输出信号达到稳态值的时 间。
02
实例二：RL电路
03
RL电路是阶电路的另一种，由电阻R和电感L组成。
阶电路实例分析
01
当输入信号加在RL电路时，输出 信号同样会随着时间的变化而变 化，最终达到稳态值。
02
RL电路的时间常数决定了输出信 号达到稳态值的时间。
阶电路与二阶电路的未来发展
交叉融合
随着科技的不断发展，阶电路和 二阶电路之间的界限逐渐模糊， 两者之间的交叉融合将成为一个
重要的发展趋势。
绿色环保
随着环保意识的不断提高，未来的 电路将更加注重绿色环保，采用更 加环保的材料和工艺，减少对环境 的负面影响。
智能化升级
随着人工智能和物联网技术的不断 发展，未来的电路将更加智能化， 能够实现更加复杂的功能和应用。
二阶电路实例分析
当输入信号加在RLC并联电路时，输 出信号同样会产生振荡，振荡的频率 和幅度由电路参数决定。
RLC并联电路的阻尼比和自然频率同 样决定了振荡的幅度和频率。
阶电路与二阶电路的实例比较
相同点
阶电路和二阶电路都会对输入信号进行时间上的处理，使输出信号随时间变化而 变化。
不同点
阶电路的输出信号最终会达到稳态值，而二阶电路的输出信号会产生振荡。此外 ，二阶电路具有两个特征频率，分别是自然频率和阻尼比，这些参数决定了振荡 的幅度和频率。
14状态方程讲解
第十四章 状态方程§14-1 电路的状态、状态变量及状态方程一、状态和状态变量经典法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要知道电路结构及参数和外加激励之外，还必须知道电路中电容电压，C u 和电感电流C i 的初始值。
有了这些初始值才能确定积分常数，才能确定唯一解．．．，即电路在换路后任意时刻的情况。
C u 及L i 的初始值称为电路的初始状态．．。
只要知道了一个已知电路在换路时的初始状态和换路后作用于电路的外加激励。
就可以确定在换路后任何时刻的电路的响应。
一般意义上的定义： 一个电路在0t t=时的状态．．，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组（的值）。
这个变量组中的每一个变量，称为状态变量。
完全描述电路性能──如果给定0t t=时这组变量的值和0t t ≥时的外加激励，就能完全确定电路在0t t ≥的任何时刻的任一响应。
在电路分析中，这些所谓变量，就是各元件（支路）电流、电压（电荷、磁链）。
最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表示。
相应的，电路中0t t =时刻的其它任何一个电压、电流都可以用状态变量和激励的线性组合来表达。
若一个电路中有几个状态变量)( , ),( ),(21t x t x t x n ，这几个状态变量就构成了一个数学上的矢量)(t X 。
（变量组）)(t X 称为电路的状态矢量。
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)( )()()(21t x t x t x t X n 一个电路可以选出多种不同的状态矢量，但其中最容易选取的是由电容电压)(t u C 、电感电流)(t i L 构成的状态矢量。
结合以上定义和讨论可以看出， )(t u C 及)(t i L 确实满足状态变量的基本定义。
所以，一般在电路中将各独立电容的)(t u C ，各独立电感的)(t i L 作为一组状态变量，有时也可以将)(t q 、)(t ψ作为一组状态变量（多用于非线性电路）。
二阶电路讲义
因此称为非振荡放电过程，又称为过阻尼放电。
2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。
3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。
非振荡放电过阻尼:
R
R
+
+
C
L
C
L
-
-
0 < t < tm uc减小，i 增加
t > tm uc减小， i 减小
e t ( A1 A2 t)
R 2 L不等负实根 C
非 振 荡 ( 过 阻 尼 ) A1e p1t A2e p2t
实验工具的使用及实验内容
(一 ) R 2 L
C
p1, p2是不等的负实根 (t=0)
1
uC A1e p1t A2e p2t
由初始条件:
+
uc -
C
iR + uL L -
uC (0 ) uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0
duC
i(0 ) 0
dt t 0
C
p1A1 p2A2 0
则
A1
p2 p2
p1
U0
A2
p1 p2 p1
U0
a.电容电压响应uC:
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t p1e p2t )
2 uC响 应 曲 线
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t
p1e p2t )
uc U0
uC一直单调下降
t
3 能量转换关系
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。
2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。
3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。
非振荡放电过阻尼:
R
R
+
+
C
L
C
L
-
-
0 < t < tm uc减小，i 增加
t > tm uc减小， i 减小
e t ( A1 A2 t)
R 2 L不等负实根 C
非 振 荡 ( 过 阻 尼 ) A1e p1t A2e p2t
实验工具的使用及实验内容
(一 ) R 2 L
C
p1, p2是不等的负实根 (t=0)
1
uC A1e p1t A2e p2t
由初始条件:
+
uc -
C
iR + uL L -
uC (0 ) uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0
duC
i(0 ) 0
dt t 0
C
p1A1 p2A2 0
则
A1
p2 p2
p1
U0
A2
p1 p2 p1
U0
a.电容电压响应uC:
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t p1e p2t )
2 uC响 应 曲 线
uC
U0 p2 p1
( p2 e p1t
p1e p2t )
uc U0
uC一直单调下降
t
3 能量转换关系
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。
二阶电路
第6章
重点掌握
二阶电路
二阶电路的零输入响应 学习方法 1. 掌握求解二阶电路的方法、步骤。 2. 了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不 同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡 与非振荡。
§6.1 二阶电路的零输入响应
(t=0) uc + C i R + uL L RLC串联电路的零输入响应 已知 uC(0-)=U0 i(0-)=0
U 0 e [cos t sin t ] 0 U 0 e t sin( t )V Ke t sin( t )
t
A U0 P2 P1 B j U0 U0 P2 P1
同前
也可直接求A、B 由初始条件
例1
100μ F
20Ω +u - c
iL
+ 0.5H 10Ω 10Ω
50V -
电路所示如图 t = 0 时打开开关。 5Ω 求 : 电容电压uC , 并画 波形图。
20Ω
+ i L uC
解
50V + 10Ω 10Ω
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A duC duC d ( 3) 0.5 [ C ] 25C uC 0 dt dt dt 特征方程为 50P2+2500P+106=0
uC A 1e p1t A 2 e p2 t e t ( A 1e j t A 2 e j t )
e t [( A1 A 2 ) cos t j ( A1 A 2 ) sin t ]
实数 虚数
e t [ A cos t B sin t ]
U0 uC ( P2 e p1t P1e p2 t ) P2 P1 U 0 t e ( P2 e jt P1e jt ) 2 j
重点掌握
二阶电路
二阶电路的零输入响应 学习方法 1. 掌握求解二阶电路的方法、步骤。 2. 了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不 同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡 与非振荡。
§6.1 二阶电路的零输入响应
(t=0) uc + C i R + uL L RLC串联电路的零输入响应 已知 uC(0-)=U0 i(0-)=0
U 0 e [cos t sin t ] 0 U 0 e t sin( t )V Ke t sin( t )
t
A U0 P2 P1 B j U0 U0 P2 P1
同前
也可直接求A、B 由初始条件
例1
100μ F
20Ω +u - c
iL
+ 0.5H 10Ω 10Ω
50V -
电路所示如图 t = 0 时打开开关。 5Ω 求 : 电容电压uC , 并画 波形图。
20Ω
+ i L uC
解
50V + 10Ω 10Ω
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A duC duC d ( 3) 0.5 [ C ] 25C uC 0 dt dt dt 特征方程为 50P2+2500P+106=0
uC A 1e p1t A 2 e p2 t e t ( A 1e j t A 2 e j t )
e t [( A1 A 2 ) cos t j ( A1 A 2 ) sin t ]
实数 虚数
e t [ A cos t B sin t ]
U0 uC ( P2 e p1t P1e p2 t ) P2 P1 U 0 t e ( P2 e jt P1e jt ) 2 j
14状态方程
第十四章 状态方程§14-1 电路的状态、状态变量及状态方程一、状态和状态变量经典法分析一阶、二阶电路时，求响应除了要知道电路结构及参数和外加激励之外，还必须知道电路中电容电压，C u 和电感电流C i 的初始值。
有了这些初始值才能确定积分常数，才能确定唯一解．．．，即电路在换路后任意时刻的情况。
C u 及L i 的初始值称为电路的初始状态．．。
只要知道了一个已知电路在换路时的初始状态和换路后作用于电路的外加激励。
就可以确定在换路后任何时刻的电路的响应。
一般意义上的定义： 一个电路在0t t=时的状态．．，是指能完全描述在这一时刻电路性能的最小变量组（的值）。
这个变量组中的每一个变量，称为状态变量。
完全描述电路性能──如果给定0t t=时这组变量的值和0t t ≥时的外加激励，就能完全确定电路在0t t ≥的任何时刻的任一响应。
在电路分析中，这些所谓变量，就是各元件（支路）电流、电压（电荷、磁链）。
最小是指这些变量组中每一个变量都是独立的，不可能用其它变量的线性组合来表示。
相应的，电路中0t t =时刻的其它任何一个电压、电流都可以用状态变量和激励的线性组合来表达。
若一个电路中有几个状态变量)( , ),( ),(21t x t x t x n ，这几个状态变量就构成了一个数学上的矢量)(t X 。
（变量组）)(t X 称为电路的状态矢量。
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)( )()()(21t x t x t x t X n 一个电路可以选出多种不同的状态矢量，但其中最容易选取的是由电容电压)(t u C 、电感电流)(t i L 构成的状态矢量。
结合以上定义和讨论可以看出， )(t u C 及)(t i L 确实满足状态变量的基本定义。
所以，一般在电路中将各独立电容的)(t u C ，各独立电感的)(t i L 作为一组状态变量，有时也可以将)(t q 、)(t ψ作为一组状态变量（多用于非线性电路）。
二阶电路课用.ppt
t 1
t 2
C
1
2
1
2
1 2
1 2
1 LC
e e t 1
t 2
衰减慢 衰减快
式中：待定系数（积分常数）K1、K2 由 uC(0) 和 u'C(0) 确定。
即
uC (0) k1 k2
u/ (0) C
k1s1
k 2 s2
1k1
2k2
i(0) C
∴
k1
s2
1
s1
[s2uC (0)
i(0)] C
R 2L
2
)
1 LC
,
即 R 2 L 时的临界阻尼非振荡情况
C
此时，固有频率S 为一对相等的负实数，即 S1 = S2 = –
R 2L
=－α
从高数知：这时齐次微分方程的解答形式为：
u k e k e k e k e (t)
st 1
t
st 2
t
t t
C
1
2
1
2
式中，待定系数（积分常数）K1、K2 仍由 uC(0) 和 u'C(0) 来确定。
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能
在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向
（极性），形成周而复始的振荡 。WC WL
注：1）若 R = 0，则为无阻尼等幅振荡；
2）若 R ≠ 0，则为阻尼衰减（减幅）振荡；
3）若 R 很大，则不产生振荡。
4
2
基本要求：
理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念， 重点掌握 R L C 串联电路微分方程的建立及相应初 始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路 的状态及零输入响应的形式，掌握直流 R L C 串联 电路的全响应及 G C L 并联电路的分析。
14 二阶电路、状态方程简介new
14 二阶电路、 状态方程简介
主要内容
什么是二阶电路？ 为什么要讲二阶电路? 二阶电路的求解 二阶电路的三种工作状态 状态方程简介（不期末考试，考
属考研内容）
什么是二阶电路？
微分方程为二阶的电路
称为 二阶电路
为什么要讲二阶电路？
阶数高但又不是太高 应用十分广泛 较之一阶电路行为更多样、有趣
uC
6V
R调到多少时电路工作于临界阻尼状态，若已知 此时电容初始电压为4V，电感初始电流为0，求 iL(t),L R1
L
us
R2
C
uc
us 48V R1 10 R2 2 L 2H
C 0.25F
电容电压、电感电流初始值均为0， 求uc(t)、iL(t)，判断电路工作于哪种状态。
二阶电路的求解
列微分方程 写出特征方程，判断解的形式 求非齐次特解和齐次通解 代入初始条件
二阶电路的求解
R
iL
C
uC
L
已知电容初始电压为U0，电感初始电流为0 求uc(t)、iL(t)
二阶电路的三种工作状态
Δ
>0 过阻尼 Δ =0 临界阻尼 Δ <0 欠阻尼 L 在R、L、C串联时 临界阻尼2
C
uC
L
已知L=1mH, C=1nF,当R为多少时电路工作 于临界阻尼状态，若已知此时电容初始电压 为2V，电感初始电流为0，求uc(t)、iL(t)
二阶电路——例题2
i1 L1 R2 R1 L2 i2
us
us 6V R1 2 R2 6
L1 1H
L2 4H
电路原已达稳态，t=0开关闭合，判断电路 工作于那种状态，并求i1(t)、i2(t) 。
主要内容
什么是二阶电路？ 为什么要讲二阶电路? 二阶电路的求解 二阶电路的三种工作状态 状态方程简介（不期末考试，考
属考研内容）
什么是二阶电路？
微分方程为二阶的电路
称为 二阶电路
为什么要讲二阶电路？
阶数高但又不是太高 应用十分广泛 较之一阶电路行为更多样、有趣
uC
6V
R调到多少时电路工作于临界阻尼状态，若已知 此时电容初始电压为4V，电感初始电流为0，求 iL(t),L R1
L
us
R2
C
uc
us 48V R1 10 R2 2 L 2H
C 0.25F
电容电压、电感电流初始值均为0， 求uc(t)、iL(t)，判断电路工作于哪种状态。
二阶电路的求解
列微分方程 写出特征方程，判断解的形式 求非齐次特解和齐次通解 代入初始条件
二阶电路的求解
R
iL
C
uC
L
已知电容初始电压为U0，电感初始电流为0 求uc(t)、iL(t)
二阶电路的三种工作状态
Δ
>0 过阻尼 Δ =0 临界阻尼 Δ <0 欠阻尼 L 在R、L、C串联时 临界阻尼2
C
uC
L
已知L=1mH, C=1nF,当R为多少时电路工作 于临界阻尼状态，若已知此时电容初始电压 为2V，电感初始电流为0，求uc(t)、iL(t)
二阶电路——例题2
i1 L1 R2 R1 L2 i2
us
us 6V R1 2 R2 6
L1 1H
L2 4H
电路原已达稳态，t=0开关闭合，判断电路 工作于那种状态，并求i1(t)、i2(t) 。
二阶电路
t=2 tm时 uL 最大
di U0 p t p t uL L ( P1e 1 P2e 2 ) dt ( P2 P1 )
iC=i为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:
( P1 e
p1t
P2 e
p2 t
)0
P2 e P1t m Pt P1 e 2 m
p2 n p1 tm p1 p2
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
微分方程为： +
L R
L
Ee( ) t
C -
u C
d uc duc LC RC uc E dt dt
求通解的特征方程为；
2
LCP 2 RCP 1 0
uc u u
' c
" c
特解: 特解
u E
" c
通解
uc解答形式为：
uc E A1e
t
小结：
L R2 过阻尼， 非振荡放电 C
uc A1e
p1t
A2 e
p 2t
L uc A1e t A2 te t R2 临界阻尼， 非振荡放电 C L uc Ae t sin(t ) R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uc ( 0 ) 由初始条件 duc (0 ) dt
t=0+ ic=0 , t= i c=0
ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm i增加, uL>0
di U0 p1t p2 t uL L ( P1e P2e ) t > t i 减小, u <0 m L dt ( P2 P1 )
二阶电路
2
（2）求特解：与激励性质同 直流： C 开路、L 短路 （3）求积分常数 A1 、 A 2
正弦： 用相量法
0.5u1 2Ω i1
例 1 求图所示电路中电流 i (t)的零状态响应。 解：1.列写微分方程 di 2A 由 KVL 2(2 − i ) = 2i1 + 6 ∫ i1dt + + 2i dt i1= i - 0.5 u1 =i - 0.5×2 (2 - i) = 2i – 2 整理得：
+ A2 e
p2 t
两个负实根 非振荡放电
0
tm
t
1
临界阻尼 R = R0 P 1 = P 2
uc = ( A1 + A2t )e pt
重实根 临界状态 ，图同上
uc uC 0 i
π π+β 2π-β 2π
U0
* 欠阻尼 R < R0 P P 1 = P 2 1,2 = −δ ± jω 共轭复根
i L
VCR
i = −C
uL = L
d 2u di = − LC 2C dt dt
uc (0+ ) = u0
故
LC
d 2 uc du + RC c + uc = 0 2 dt dt iL (0+ ) = 0
齐次方程，只需求通解
uc (0+ ) = U 0
2.解方程
uc = A1e p1t + A2 e p2t
2.0ms V(3)
4.0ms Time
6.0ms
8.0ms
0V 0s V(1)
2.0ms V(3)
4.0ms Time
6.0ms
（2）求特解：与激励性质同 直流： C 开路、L 短路 （3）求积分常数 A1 、 A 2
正弦： 用相量法
0.5u1 2Ω i1
例 1 求图所示电路中电流 i (t)的零状态响应。 解：1.列写微分方程 di 2A 由 KVL 2(2 − i ) = 2i1 + 6 ∫ i1dt + + 2i dt i1= i - 0.5 u1 =i - 0.5×2 (2 - i) = 2i – 2 整理得：
+ A2 e
p2 t
两个负实根 非振荡放电
0
tm
t
1
临界阻尼 R = R0 P 1 = P 2
uc = ( A1 + A2t )e pt
重实根 临界状态 ，图同上
uc uC 0 i
π π+β 2π-β 2π
U0
* 欠阻尼 R < R0 P P 1 = P 2 1,2 = −δ ± jω 共轭复根
i L
VCR
i = −C
uL = L
d 2u di = − LC 2C dt dt
uc (0+ ) = u0
故
LC
d 2 uc du + RC c + uc = 0 2 dt dt iL (0+ ) = 0
齐次方程，只需求通解
uc (0+ ) = U 0
2.解方程
uc = A1e p1t + A2 e p2t
2.0ms V(3)
4.0ms Time
6.0ms
8.0ms
0V 0s V(1)
2.0ms V(3)
4.0ms Time
6.0ms
二阶电路课件PPT
例7-3 电路如图7-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流
的零输入响应。
图7－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R
2
1
3
2L LC
32 52 3 j4
uC
0
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0
其特征根为
s1，2
R 2L
R 2L
2
1 LC
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当
R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时， s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时， s1, s2
为两个相等的实根。临界阻
uC (t) K1est K2test
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 t=0得到
uC (0) K1
求导，再令得到
duC (t) dt
t 0
K1s K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC (0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入
3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出 现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的 正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周 期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅 的变化范围。
电路基础第14章
d 0
02 2
1 LC
cos( d t ) I s
10
三、全响应 t>0 ,由KCL,有
u du C i Is R dt
又
di dt d 2i 可得 L di LC 2 i I s R dt dt u L
d 2i 1 di 1 i Is 2 dt RC dt LC
又
di dt d 2i 可得 L di LC 2 i I s R dt dt u L
d 2i 1 di 1 i Is 2 dt RC dt LC
(二阶常系数线性齐次微分方程)
P2
1 1 P 0 RC LC
(特征方程)
9
特征根:
P ,2 1
1 2 RC
(特征方程)
t 0 , K在2，由KVL,有
(二阶常系数线性齐次微分方程)
u c (0 ) U s
duc (0 ) 0 dt
1
特征根:
P ,2 1
R 2L
(
R 2 1 ) 2L LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即
R2
p2t
L C
uc Ae B
2 L C
i ( A Bt ) i Ae
t
pt
Is
R 1 2 L C
1 2 RC
3、共轭复根：(欠阻尼) 即
d 0
02 2
1 LC
cos( d t ) I s
12
P2 1 1 P 0 RC LC
d 2i 1 di 1 i0 2 dt RC dt LC
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i1 L1
R2
i2
L2
us
R1
us = 6V R1 = 2Ω R2 = 6Ω
L1 = 1H
L2 = 4H
电路原已达稳态， 开关闭合 开关闭合， 电路原已达稳态，t=0开关闭合，判断电路 工作于那种状态，并求i 工作于那种状态，并求 1(t)、i2(t) 。
状态方程简介
由状态变量构成的一阶微分方程组 状态变量就是能决定状态的独立变量 状态方程的列写方法是： 状态方程的列写方法是： 寻找单电感回路（列KVL） 寻找单电感回路（ ） 单电感回路 单电容割集（ 单电容割集（列KCL） ）
14 二阶电路、 二阶电路、 状态方程简介
主要内容
什么是二阶电路？ 什么是二阶电路？ 为什么要讲二阶电路? 为什么要讲二阶电路 二阶电路的求解 二阶电路的三种工作状态 状态方程简介
什么是二阶电路？ 什么是二阶电路？
微分方程为二阶的电路 称为 二阶电路
为什么要讲二阶电路？ 为什么要讲二阶电路？
阶数高但又不是太高 应用十分广泛 较之一阶电路行为更多样、有趣 较之一阶电路行为更多样、
二阶电路的求解
列微分方程 写出特征方程， 写出特征方程，判断解的形式 求非齐次特解和齐次通解 代入初始条件
二阶电路的求解
iL
uC
已知电容初始电压为U 电感初始电流为0 已知电容初始电压为 0，电感初始电流为0 求uc(t)、iL(t)
二阶电路的三种工作状态
Δ>0 过阻尼 Δ=0 临界阻尼 Δ<0 欠阻尼 L 在R、L、C串联时 临界阻尼2
状态方程——例题 例题1 状态方程 例题
状态方程——例题 例题2 状态方程 例题
作业1 作业
R
iL
0.2F
uC
6V
1H
R调到多少时电路工作于临界阻尼状态，若已知 调到多少时电路工作于临界阻尼状态， 调到多少时电路工作于临界阻尼状态 此时电容初始电压为4V，电感初始电流为0，求 此时电容初电阻变为2欧时 再求i 欧时，
-2.0 0s V(C1:1) 2ms I(L1) 4ms 6ms 8ms 10ms Time 12ms 14ms
过犹不及！ 过犹不及！
欠阻尼能量转化分析
2.0 1.0
ωt = 2π − β
ωt = π
0
ωt = π − β
-1.0
ωt = 2π
-2.0 0s V(C1:1)
0.5ms I(L1)
作业2 作业
iL R1
us
L
R2
C
uc
us = 48V R1 = 10Ω R2 = 2Ω L = 2H
C = 0.25F
电容电压、电感电流初始值均为 ， 电容电压、电感电流初始值均为0， 求uc(t)、iL(t)，判断电路工作于哪种状态。
作业3 作业
为状态变量， 已iL、 uC1、 uC2为状态变量，写出状态方程的 矩阵形式
二阶电路——例题 例题1 二阶电路 例题 iL
uC
已知L=1mH, C=1nF,当R为多少时电路工作 已知 当 为多少时电路工作 于临界阻尼状态， 于临界阻尼状态，若已知此时电容初始电压 为2V，电感初始电流为 ，求uc(t)、iL(t) ，电感初始电流为0，
二阶电路——例题 例题2 二阶电路 例题
6ms
8ms
10ms Time
12ms
临界阻尼（ 临界阻尼（R = 10Ω）
1 2.0V 2 150mA
1.5V
100mA
1.0V
50mA
0.5V
0V
>> 0A 0s 1
V(C1:1)
2ms 2
4ms I(L1)
6ms
8ms
10ms Time
12ms
欠阻尼（R = 2Ω ）
2.0
1.0
0
-1.0
1.0ms
1.5ms
2.0ms
2.5ms Time
3.0ms
3.5ms
4.0ms
4.5ms
5.0ms
uc (t ) = a 2 + b 2 e −δ t sin(ωt + β ) iL (t ) = C (bδ − aω )e
a = U0
b=
−δ t
sin ωt
δ U0 ω
β = arctan
ω δ
2 L C
C
二阶电路
R
C = 100µF
iL
L = 2.5mH
uc
uc (0 − ) = 2 V
临界阻尼
2
L = 10 Ω C
过阻尼（ R = 20Ω）
1 2.0V 2 100mA
80mA 1.5V
60mA
1.0V
40mA
0.5V 20mA
0V
>> 0A 0s 1
V(C1:1)
2ms 2
4ms I(L1)
R2
i2
L2
us
R1
us = 6V R1 = 2Ω R2 = 6Ω
L1 = 1H
L2 = 4H
电路原已达稳态， 开关闭合 开关闭合， 电路原已达稳态，t=0开关闭合，判断电路 工作于那种状态，并求i 工作于那种状态，并求 1(t)、i2(t) 。
状态方程简介
由状态变量构成的一阶微分方程组 状态变量就是能决定状态的独立变量 状态方程的列写方法是： 状态方程的列写方法是： 寻找单电感回路（列KVL） 寻找单电感回路（ ） 单电感回路 单电容割集（ 单电容割集（列KCL） ）
14 二阶电路、 二阶电路、 状态方程简介
主要内容
什么是二阶电路？ 什么是二阶电路？ 为什么要讲二阶电路? 为什么要讲二阶电路 二阶电路的求解 二阶电路的三种工作状态 状态方程简介
什么是二阶电路？ 什么是二阶电路？
微分方程为二阶的电路 称为 二阶电路
为什么要讲二阶电路？ 为什么要讲二阶电路？
阶数高但又不是太高 应用十分广泛 较之一阶电路行为更多样、有趣 较之一阶电路行为更多样、
二阶电路的求解
列微分方程 写出特征方程， 写出特征方程，判断解的形式 求非齐次特解和齐次通解 代入初始条件
二阶电路的求解
iL
uC
已知电容初始电压为U 电感初始电流为0 已知电容初始电压为 0，电感初始电流为0 求uc(t)、iL(t)
二阶电路的三种工作状态
Δ>0 过阻尼 Δ=0 临界阻尼 Δ<0 欠阻尼 L 在R、L、C串联时 临界阻尼2
状态方程——例题 例题1 状态方程 例题
状态方程——例题 例题2 状态方程 例题
作业1 作业
R
iL
0.2F
uC
6V
1H
R调到多少时电路工作于临界阻尼状态，若已知 调到多少时电路工作于临界阻尼状态， 调到多少时电路工作于临界阻尼状态 此时电容初始电压为4V，电感初始电流为0，求 此时电容初电阻变为2欧时 再求i 欧时，
-2.0 0s V(C1:1) 2ms I(L1) 4ms 6ms 8ms 10ms Time 12ms 14ms
过犹不及！ 过犹不及！
欠阻尼能量转化分析
2.0 1.0
ωt = 2π − β
ωt = π
0
ωt = π − β
-1.0
ωt = 2π
-2.0 0s V(C1:1)
0.5ms I(L1)
作业2 作业
iL R1
us
L
R2
C
uc
us = 48V R1 = 10Ω R2 = 2Ω L = 2H
C = 0.25F
电容电压、电感电流初始值均为 ， 电容电压、电感电流初始值均为0， 求uc(t)、iL(t)，判断电路工作于哪种状态。
作业3 作业
为状态变量， 已iL、 uC1、 uC2为状态变量，写出状态方程的 矩阵形式
二阶电路——例题 例题1 二阶电路 例题 iL
uC
已知L=1mH, C=1nF,当R为多少时电路工作 已知 当 为多少时电路工作 于临界阻尼状态， 于临界阻尼状态，若已知此时电容初始电压 为2V，电感初始电流为 ，求uc(t)、iL(t) ，电感初始电流为0，
二阶电路——例题 例题2 二阶电路 例题
6ms
8ms
10ms Time
12ms
临界阻尼（ 临界阻尼（R = 10Ω）
1 2.0V 2 150mA
1.5V
100mA
1.0V
50mA
0.5V
0V
>> 0A 0s 1
V(C1:1)
2ms 2
4ms I(L1)
6ms
8ms
10ms Time
12ms
欠阻尼（R = 2Ω ）
2.0
1.0
0
-1.0
1.0ms
1.5ms
2.0ms
2.5ms Time
3.0ms
3.5ms
4.0ms
4.5ms
5.0ms
uc (t ) = a 2 + b 2 e −δ t sin(ωt + β ) iL (t ) = C (bδ − aω )e
a = U0
b=
−δ t
sin ωt
δ U0 ω
β = arctan
ω δ
2 L C
C
二阶电路
R
C = 100µF
iL
L = 2.5mH
uc
uc (0 − ) = 2 V
临界阻尼
2
L = 10 Ω C
过阻尼（ R = 20Ω）
1 2.0V 2 100mA
80mA 1.5V
60mA
1.0V
40mA
0.5V 20mA
0V
>> 0A 0s 1
V(C1:1)
2ms 2
4ms I(L1)