幂函数的概念及其性质

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高一数学《幂函数》PPT课件

根据n, m, p的取值不同，图像形状各异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半径，利用幂函数表示圆的面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正方形边长，利用幂函数表示面积与边长关系。

幂函数的概念与性质

幂函数的概念与性质在数学中，幂函数是一种常见而重要的函数类型。

它是一种形如f(x) = x^n的函数，其中n是常数，x是自变量，而f(x)则是因变量。

幂函数的性质取决于n的值，下面将详细介绍幂函数的概念与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一类特殊的单变量函数，其定义为f(x) = x^n，其中n是常数，x是自变量。

在这个函数中，自变量x的值经过幂指数n的运算而得到新的函数值f(x)。

当幂函数的指数n为正数时，函数图像会呈现出不同的特点。

例如当n为2时，幂函数为f(x) = x^2，它代表了二次函数的图像，是一个开口向上的抛物线。

当n为3时，幂函数为f(x) = x^3，它代表了一个呈现出S形曲线的三次函数。

同理，幂函数的指数n为负数时，函数图像也会呈现出不同的形状。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，除非指数n为分数时会有例外。

对于n为整数的幂函数，其值域为非负实数集R+；当n 为奇数时，幂函数的值域为整个实数集R。

2. 对称性：当幂函数的指数n为偶数时，函数图像关于y轴具有对称性。

当幂函数的指数n为奇数时，函数图像关于原点具有对称性。

3. 单调性：幂函数的单调性与指数n的正负性有关。

当n为正数时，幂函数是递增的；当n为负数时，幂函数是递减的。

4. 极限性质：幂函数具有一些特殊的极限性质。

当n大于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于正无穷；当n小于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于零。

5. 奇偶性：幂函数的奇偶性与指数n的奇偶性一致。

当n为偶数时，幂函数为偶函数；当n为奇数时，幂函数为奇函数。

6. 渐近线：幂函数的图像可以存在水平渐近线、斜渐近线和铅直渐近线。

具体的渐近线取决于指数n的正负和奇偶性。

7. 凸凹性：当指数n大于1时，幂函数的图像为凸函数；当指数n小于1时，幂函数的图像为凹函数。

综上所述，幂函数是一种常用且重要的函数类型，其性质与指数n的值密切相关。

幂函数的概念与性质

幂函数的概念与性质幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。

本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、幂函数的概念幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

这里要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，指数n可以是任意实数。

幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。

当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。

值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)；当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数则是递减的。

4. 渐近线：当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷，即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。

5. 极值点：幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。

6. 对称轴：幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。

当指数n为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。

7. 特殊性质：当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。

它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。

一、基本性质幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。

它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。

二、作用机制幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。

因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。

这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。

此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。

从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。

三、表达方式幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0.例如：y=x^2，即平方函数，n=2；y=x^3，即立方函数，n=3；y=x^2，即倒数平方函数，n=2.四、实际应用1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。

例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系；2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。

综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。

第15讲幂函数及其性质

第15讲幂函数及其性质【知识点梳理】（1）幂函数的定义：一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.（2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质常见的幂函数图像及性质：（4对幂函数性质的综合考查，主要体现为单调性、奇偶性，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质1.幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α=是减函数.2.幂函数的奇偶性：令qpα=（其中,p q 互质，*,,1p q N p ∈>）.（1）若p 为奇数，则q py x =的奇偶性取决于q 是奇数还是偶数.当q 是奇数时，q py x =是奇函数；当q 是偶数时，q py x =是偶函数.（2）若p 为偶数，则q 必是奇数，此时qpy x =既不是奇函数，也不是偶函数.1.幂函数的凸性1.上凸函数、下凸函数的定义：设函数(x)f 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≥都成立，则称()f x 在[,]a b 上是上凸的函数，即上凸函数.设函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对[,]a b 中任意不同两点121212()(),,()22x x f x f x x x f ++≤都成立，则称()f x 在[,]a b 上是下凸的函数，即下凸函数.这个定义从几何形式上看就是：在函数()f x 的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方，那么这个函数就是上凸函数；如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断，一般开口向下的二次函数是上凸函数，开口向上的二次函数是下凸函数.2.幂函数的凸性（1）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在1α>时，函数是下凸函数；（2）幂函数y x α=，(0,)x ∈+∞，在01α<<时，函数是上凸函数；（3）幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，在0α<时，函数是下凸函数.【典型例题】题型一幂函数的概念【例1】在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．【题型专练】1．现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知函数()()()2211 nn f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.3.已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二：幂函数的三要素【例1】幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例2】已知幂函数()22333mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值可以为（）A ．5B ．1C ．2D ．4【题型专练】1.若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．2.已知幂函数()f x 的图象经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为___．3.设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3题型三：幂函数的性质【例1】幂函数()()2231mm f x m m x+-=--在x ∈（0，+∞）上是减函数，则m ＝（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1【例2】幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（）A ．27B ．9C ．19D ．127【例3】已知幂函数()f x 的图象经过点()9,3，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当210x x >>时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【例4】已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【例5】若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型专练】1．若幂函数()()215m f x m m x -=+-在()0,∞+上单调递减，则m =（）A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-2．已知幂函数()()()224210,m m f x m x ∞-+=-+在上单调递增，则m =（）A ．0B ．13-C ．103-或D ．106-或3．已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞4.已知幂函数()223()pp f x x p N --*=∈的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp aa -<+，则a 的取值范围是_____．5．写出一个具有性质①②③的函数()f x =______．①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．题型四：幂函数的图象【例1】幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>【例2】已知幂函数()f x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：①()f x 为偶函数；②曲线C 不过原点O ；③曲线C 在第一象限呈上升趋势，④当1≥x 时，()1f x ≥.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数()f x ___________.【例3】如图所示是函数m ny x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1m n<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>【题型专练】1．图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A.12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，32.幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ． III, VII3．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．题型五：幂函数的综合运用【例1】已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间()0,+¥上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.【例2】已知幂函数()y f x =经过点14,8⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求此幂函数的表达式和定义域；(2)若()()232f a f a +<-，求实数a 的取值范围．【题型专练】1．若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.2．已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.3．已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值．。

幂函数与指数函数的概念与性质

幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生活中的应用非常广泛。

本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。

一、幂函数的概念与性质幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。

其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。

幂函数可以分为正幂函数和负幂函数。

1. 正幂函数当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。

正幂函数的图像随着n的变化而发生改变。

- 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。

- 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x< 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。

- 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。

2. 负幂函数当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。

负幂函数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡，而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。

二、指数函数的概念与性质指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828）为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。

指数函数的性质如下：1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。

即f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。

2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势：- 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更大。

- 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。

三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它们的相互转化关系。

幂函数的定义及性质

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

幂函数的基本概念与性质

幂函数的基本概念与性质幂函数是数学中一类重要的函数类型，其表示形式为$f(x) = ax^b$，其中a和b为常数，且b是实数。

幂函数的基本概念包括定义域、值域、图像特征等，而幂函数的性质则涉及到增减性、奇偶性、最值和渐近线等方面。

本文将详细探讨幂函数的基本概念与性质，以帮助读者更好地理解这一函数类型。

一、幂函数的基本概念1. 定义域：幂函数的定义域为所有使得底数$x$的幂指数$b$合法的实数。

通常来说，当$b$为有理数时，定义域为全体实数；若$b$为无理数，定义域则需根据具体情况进行讨论。

2. 值域：幂函数的值域根据幂指数$b$的正负以及常数$a$的正负可以得到不同的结果。

当$b$为正数时，如果$a$也为正数，则值域为全体正实数；若$a$为负数，则值域为全体负实数。

当$b$为负数时，根据奇偶性的不同，值域也有所不同。

3. 图像特征：幂函数的图像特征主要与幂指数$b$的正负、常数$a$的正负以及其他可能的变化因素有关。

当$b$为正数时，幂函数呈现递增趋势，且随着$b$的增大，图像会更加陡峭；当$b$为负数时，幂函数会呈现递减趋势，且随着$b$的增大，图像会更加平缓。

二、幂函数的性质1. 增减性：当幂函数的幂指数$b$为正数时，函数是递增的，即随着自变量$x$的增大，函数值$f(x)$也随之增大。

相反，当$b$为负数时，函数是递减的，即随着自变量$x$的增大，函数值$f(x)$会减小。

2. 奇偶性：幂函数的奇偶性取决于底数$x$的幂指数$b$的奇偶性。

当$b$为偶数时，函数是偶函数，即$f(-x) = f(x)$；当$b$为奇数时，函数是奇函数，即$f(-x) = -f(x)$。

3. 最值：当幂函数的幂指数$b$为正数时，最小值为函数的定义域中最小的值，最大值为正无穷。

当幂指数$b$为负数时，最小值为负无穷，最大值为函数的定义域中最小的值。

同时，最值的具体取值还与常数$a$的正负有关。

4. 渐近线：当幂函数的幂指数$b$大于1时，函数的图像会趋近于$y=0$的水平渐近线；当幂指数$b$小于1时，函数的图像会趋近于$x$轴的正半轴。

幂函数的性质与变化规律

幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。

本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。

一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。

特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。

幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。

（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。

2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。

在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。

对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。

3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。

4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。

只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。

幂函数的概念与计算

幂函数的概念与计算幂函数是数学中常见且重要的一类函数，具有形如f(x) = ax^m的特点。

其中，a是实数，而m是自然数或正整数。

幂函数的特点是自变量x的指数是恒定不变的，而系数a可以是任意实数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是由实数到实数的映射，在定义域内具有以下特点：1. 幂函数的定义域是实数集R，即幂函数对任意实数都有定义。

2. 幂函数的值域则取决于指数m的奇偶性。

当m为奇数时，值域为全体实数；当m为偶数时，值域为非负实数。

3. 当指数m为正整数时，幂函数是递增函数；当指数m为负整数时，幂函数是递减函数。

4. 当指数m为正偶数时，幂函数的图像呈现上升的开口向上的形状；当指数m为正奇数时，幂函数的图像呈现上升的开口向下的形状。

5. 幂函数在x轴上有一个零点x=0，其它的零点则取决于指数m的取值。

二、幂函数的计算方法在实际问题中，我们需要具体计算幂函数的值。

根据幂函数的特性，我们可以采用以下方法进行计算：1. 零点计算：对于幂函数f(x) = ax^m，我们可以令f(x) = 0，然后求解方程ax^m = 0，从而得到幂函数的零点。

2. 极值计算：当幂函数为单调函数时，可以通过求解f'(x) = 0来得到极值点。

3. 特殊值计算：根据幂函数的定义和性质，我们可以计算一些特殊值，例如当x=1时，f(x) = a；当x=-1时，f(x) = a(-1)^m。

三、幂函数的应用举例幂函数在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 功率函数：电路中的功率由电流和电压的乘积决定，而功率函数可以表示为P = U^2/R，其中U表示电压，R表示电阻。

这个功率函数就是一个幂函数，其中指数m为2。

2. 面积与体积计算：许多几何图形的面积和体积可以用幂函数来表示。

例如，正方形的面积函数可以表示为A = s^2，其中s表示正方形的边长；球体的体积函数可以表示为V = (4/3)πr^3，其中r表示球体的半径。

幂函数的像与性质

幂函数的像与性质幂函数是高中数学中一个重要的函数概念，它在数学分析、微积分和图像绘制等领域中有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨幂函数的像以及其性质。

一、幂函数的定义和基本形式幂函数的定义如下：f(x) = x^a其中，a为实数，x为定义域内的数值。

幂函数的基本形式有两种：1. 正幂函数：当a>0时，幂函数f(x) = x^a是递增函数，即随着x的增大，f(x)也随之增大。

这种幂函数的图像呈现单调递增的趋势，且过原点(0,0)。

2. 负幂函数：当a<0时，幂函数f(x) = x^a是递减函数，即随着x的增大，f(x)反而减小。

这种幂函数的图像则在第一象限和第三象限之间交替，过原点(0,0)。

二、1. 正幂函数的像正幂函数f(x) = x^a，当a>0时，其像为正实数集(0,+∞)，即函数的取值范围为所有大于零的实数。

2. 负幂函数的像负幂函数f(x) = x^a，当a<0时，其像为(0, +∞)的一个区间，不包括0。

也就是说，负幂函数的取值范围是大于零的实数，但不包括0。

3. 幂函数的奇偶性幂函数f(x) = x^a的奇偶性与a的正负有关。

当a为偶数时，函数f(x)为偶函数，即关于y轴对称；当a为奇数时，函数f(x)为奇函数，即关于原点对称。

4. 幂函数的增减性正幂函数f(x) = x^a在定义域内是递增的。

对于a>1，函数的增长趋势会更为迅速；而当0<a<1时，函数f(x)的增长速度会减弱，趋于缓慢增长。

负幂函数f(x) = x^a在定义域内则是递减的。

5. 幂函数的图像幂函数的图像与a的取值密切相关。

当a>1时，幂函数的图像会向上迅速弯曲；当0<a<1时，图像会向下迅速弯曲；而当a<0时，图像在不同象限间变化。

三、幂函数在实际问题中的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用。

以经济增长为例，经济学家常常使用幂函数模型来描述生产、消费和投资等经济变量之间的关系。

幂函数的定义与性质

幂函数的定义与性质幂函数是一类基本的数学函数，它的定义形式是f(x) = ax^k，其中a和k是常数，且a不等于零。

幂函数在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是在物理等领域，都有重要的作用。

本文将重点介绍幂函数的定义与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一种基本的数学函数，它的定义形式如下：f(x) = ax^k其中，a是一个不等于零的常数，k是一个实数。

a被称为幂函数的系数，k被称为幂指数。

幂指数k可以是正数、负数、零或分数。

具体的取值范围决定了幂函数的性质。

二、幂函数的性质1. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域是实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

根据幂函数定义，当幂指数k是正数或分数时，幂函数的值域是正实数集(0,+∞)；当幂指数k是负数时，幂函数的值域是(0,+∞)的倒数集(0,1)；当幂指数k是零时，幂函数的值域是{a}，即幂指数为零时函数的值固定为系数a。

2. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与幂指数k的正负有关。

当幂指数k大于1时，幂函数呈现出单调递增的特性，图像在原点右侧上升；当幂指数k介于0和1之间时，幂函数呈现出单调递减的特性，图像在原点右侧下降；当幂指数k小于0时，幂函数图像会关于x轴对称，且在增大的过程中逐渐趋近于0。

3. 幂函数的性质与幂指数k的关系幂函数的性质与幂指数k的取值有关。

当幂指数k大于1时，幂函数是增长的加速函数；当幂指数k小于1但不等于零时，幂函数是增长的减速函数；当幂指数k小于0时，幂函数是单调递减函数；当幂指数k等于0时，幂函数是常数函数。

4. 幂函数与其他函数的关系幂函数是一类重要的基本函数，它与指数函数、对数函数和三角函数等有着紧密的关系。

通过对幂函数和其他函数的组合运算，可以得到更为复杂的函数表达式。

这种关系在数学建模、物理学和工程学等领域的问题求解中得到广泛应用。

结语：幂函数作为一类基本的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用。

它的定义形式简明扼要，通过对幂指数k的取值范围进行分析，我们可以得到不同性质的幂函数。

幂函数图像及性质

幂函数图像及性质一、什么是幂函数在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。

当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。

二、幂函数的图像特点1. 当 a > 1 时•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。

•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。

•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。

2. 当 a = 1 时•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。

3. 当 0 < a < 1 时•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。

三、幂函数的性质1. 定义域和值域•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。

2. 奇偶性•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。

3. 单调性•当 a > 1 时，幂函数是增函数；•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。

4. 特殊情况•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。

四、实例分析示例 1考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。

随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。

示例 2当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。

五、总结幂函数是数学中非常重要的一类函数，通过本文的讨论，我们了解了幂函数的图像特点和性质。

无论是在理论研究还是实际应用中，对于幂函数的理解都具有重要的意义。

希望本文内容能够帮助读者更深入地理解幂函数及其性质。

《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件

提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
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【例3】比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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幂函数的概念与性质

幂函数的概念与性质幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为f(x) = ax^n，其中a和n分别表示常数，x表示自变量。

本文将探讨幂函数的概念以及其性质。

1. 幂函数的定义幂函数是指以自变量的某个幂为指数的函数。

其中，a表示比例常数，n表示幂指数。

幂函数可以表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数。

2. 幂函数的例子幂函数的例子包括二次函数、三次函数、平方根函数等。

例如，二次函数f(x) = ax^2、三次函数f(x) = ax^3以及平方根函数f(x) = ax^(1/2)等都属于幂函数。

3. 幂函数的性质（1）定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^n，定义域取决于幂指数n的奇偶性和基数a的正负性。

当n为偶数时，定义域可以是全体实数；当n为奇数时，如果a为正数，定义域也是全体实数，如果a为负数，则定义域为负实数，因为负数的奇次方不能得到实数结果。

对于值域，当n为奇数时，值域为全体实数；当n为偶数时，若a为正数，值域为非负实数，若a为负数，值域为非正实数。

（2）奇偶性：幂函数在n为奇数时具有奇函数的特点，即f(-x) = -f(x)，在n为偶数时则没有这个性质。

（3）单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增的；当n 为负数时，幂函数在定义域上是递减的。

（4）图像：幂函数的图像可以是直线、抛物线、半圆等形状，具体形状取决于幂指数n的值。

通过对幂函数的定义和性质的分析，我们可以更好地理解和应用幂函数。

幂函数在数学中具有广泛的应用，被用于描述自然界的现象、建模和解决实际问题等。

深入理解幂函数的概念和性质有助于我们更好地掌握数学知识，并在实际应用中灵活运用。

总结起来，幂函数是一类常见的函数形式，包括了二次函数、三次函数、平方根函数等。

通过对幂函数的定义和性质的研究，我们了解到它们的定义域、值域、奇偶性、单调性和图像等特点。

深入理解幂函数有助于我们更好地应用它们解决实际问题，同时也对我们的数学思维能力的发展起到推动作用。

幂函数的定义和性质

幂函数的定义和性质幂函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为f(x)=ax^b，其中a 和b是实数，且a不等于零。

1. 幂函数的定义幂函数是由变量的幂指数决定的函数，其中底数为自变量x，指数为常数b。

常见的幂函数包括平方函数和立方函数。

幂函数的一般形式为f(x)=ax^b，其中a不为零。

2. 幂函数的性质2.1 定义域和值域幂函数的定义域是实数集R中所有使得底数非负的x值。

当指数b 为正数时，幂函数的值域是正实数集R+；当指数b为负数时，幂函数的值域是(0, +∞)。

2.2 奇偶性当指数b为偶数时，幂函数f(x)=ax^b是偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数f(x)=ax^b是奇函数，即关于原点对称。

2.3 单调性当底数a为正数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递增函数；当底数a为负数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递减函数。

2.4 极限性质当指数b大于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b也趋近于正无穷大；当指数b小于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b趋近于零。

2.5 对称轴当指数b为整数且为偶数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为y轴；当指数b为整数且为奇数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为原点。

3. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与底数a和指数b的大小关系密切相关：3.1 当底数a大于1时，幂函数的图像在x轴的右侧递增，离x轴越远函数值越大。

3.2 当底数0 < a < 1时，幂函数的图像在x轴的右侧递减，离x轴越远函数值越小。

3.3 当底数a为负数且指数b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称。

此时，随着底数a变为负数，图像会上下翻转。

3.4 当底数a为负数且指数b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。

此时，随着底数a变为负数，图像会关于原点上下翻转。

4. 应用举例幂函数的应用十分广泛，其中包括经济学、物理学、统计学等多个领域，在不同领域中扮演着重要的角色。

幂函数知识点大一

幂函数知识点大一幂函数知识点幂函数是数学中的一种基本函数，其形式为$f(x) = a^x$，其中a为常数且a ≠ 0。

在大一的数学学习中，我们需要了解幂函数的一些重要概念和性质，下面将逐一介绍。

一、幂函数的定义域和值域1. 定义域：幂函数的定义域为实数集R，即幂函数在整个实数轴上都有定义。

2. 值域：当指数为实数时，若a > 1，则幂函数的值域为(0, +∞)，即正实数集；若0 < a < 1，则幂函数的值域为(0, 1)，即开区间(0, 1)；若a = 1，则幂函数的值域为{1}，即只有一个取值。

二、幂函数的图像特点1. 当a > 1时，幂函数为增函数：- 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0；- 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大。

2. 当0 < a < 1时，幂函数为减函数：- 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大； - 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于0。

3. 当a = 1时，幂函数为常函数：- 不论指数x的取值如何变化，幂函数的值始终为1。

三、幂函数的性质1. 偶次幂函数和奇次幂函数：- 当幂函数的指数为偶数时，其图像关于y轴对称；- 当幂函数的指数为奇数时，其图像关于原点对称。

2. 幂函数的性质：- 幂函数f(x) = a^x与指数函数g(x) = b^x（a, b > 0）具有相同的图像性质；- 幂函数中，底数a为实数且a ≠ 0，指数x为实数。

四、求解幂函数相关问题1. 求幂函数的零点：当幂函数$f(x) = a^x$等于零时，即$a^x = 0$，此时幂函数没有实数解。

2. 求幂函数的解析式：当已知幂函数通过两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$时，可以根据这两个点的坐标来求解幂函数的解析式。

五、典型例题例题1：已知幂函数$y = 3^x$，求函数在x = 2处的函数值。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。

从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。

在本文中，我们将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。

1. 幂函数的定义和表示方式幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。

一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

2. 幂函数的基本性质2.1 幂函数的奇偶性与增减性：当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。

当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂函数是减函数。

2.2 幂函数的单调性：当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递减的。

2.3 幂函数的相关性质：a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)，(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。

3. 幂函数图像和特征幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。

3.1 幂函数的渐近线：当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。

3.2 幂函数的特殊点：当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。

3.3 幂函数的拐点：当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。

4. 幂函数的应用幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：4.1 音乐和声音强度的计算：声音的强度与音源与听者距离的幂函数关系密切，通过对幂函数的建模和计算，可以获得声音强度的变化规律。

幂函数的性质与应用

幂函数的性质与应用幂函数是数学中常见的一类函数，具有许多特殊的性质和广泛的应用。

本文将探讨幂函数的性质及其在不同领域中的应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数可以表示为f(x)=ax^n的形式，其中a是常数，n是指数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数，当指数n为整数时，值域是正实数；若n是奇数，值域为全体实数；若n是偶数，值域为非负实数。

2. 对称性：幂函数具有关于y轴的对称性，即f(x)=f(-x)。

这是因为当指数n为偶数时，x的正负变化不会影响结果。

3. 增减性：幂函数增减性取决于指数n的奇偶性。

当n为奇数时，幂函数是单调递增或递减的；当n为偶数时，幂函数在正数区间单调递增，在负数区间单调递减。

4. 极限性质：幂函数的极限性质与指数n的正负有关。

当n>0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近正无穷；当n<0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近零。

二、幂函数在科学和实际应用中的应用幂函数在不同领域中具有广泛的应用，包括物理学、经济学、生物学等。

1. 物理学中的应用：幂函数在描述一些物理现象中经常被使用。

例如，牛顿第二定律F=ma中的力与加速度的关系可以用幂函数表示。

2. 经济学中的应用：幂函数在描述经济增长、收入分配等方面起着重要作用。

例如，GDP与时间的关系可以用幂函数来模拟。

3. 生物学中的应用：幂函数在描述生物体积、生物种群增长等方面被广泛应用。

例如，生物体积与体重的关系可以用幂函数来表示。

4. 数据拟合与回归分析：幂函数可以用来拟合一些非线性关系的数据，并进行回归分析。

通过幂函数可以更好地描述数据的变化趋势和关系。

5. 优化问题：幂函数在一些优化问题中也常被应用。

例如，求解最优投资组合问题时，可以利用幂函数对不同资产的风险和收益进行建模。

三、结论幂函数作为一类常见的函数，在数学中具有一些特殊的性质和广泛的应用。

通过了解幂函数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。

总结幂函数知识点

总结幂函数知识点在此文中，我们将对幂函数的基本概念、性质及应用进行详细的介绍和总结。

一、幂函数的基本概念1. 幂函数的定义幂函数是指形如y=ax^n (a≠0, n为实数)的函数，其中x为自变量，y为因变量，a为常数，n为幂次。

当n为正整数时，称为整数幂函数；当n为负整数时，称为分式幂函数；当n为零时，称为常函数。

2. 幂函数的图像（1）当n为正整数时，幂函数y=x^n（n>1）的图像为开口朝上的抛物线，n为偶数时，图像在第一象限为开口向上的抛物线，n为奇数时，图像在第三象限为开口向上的抛物线。

（2）当n为负整数时，幂函数y=x^n（n<0）的图像为经过点(1,1)的单调递减且对称于y轴的曲线。

（3）当n为零时，幂函数y=x^0的图像为一条水平直线y=1。

3. 幂函数的定义域幂函数y=ax^n（n为实数）的定义域为全体实数集合R。

4. 幂函数的值域（1）当n为正偶数时，幂函数y=ax^n的值域为[0,+∞)；（2）当n为正奇数时，幂函数y=ax^n的值域为(-∞,+∞)；（3）当-n为偶数时，幂函数y=ax^n的值域为(0,+∞)；（4）当-n为奇数时，幂函数y=ax^n的值域为(-∞,0)。

二、幂函数的性质1. 增减性质对于幂函数y=ax^n，当a>0且n为正偶数时，函数在定义域上为增函数；当a<0且n为正偶数时，函数在定义域上为减函数；当a>0且n为正奇数时，函数在定义域上为减函数；当a<0且n为正奇数时，函数在定义域上为增函数。

2. 奇偶性质当n为偶数时，幂函数y=x^n为偶函数；当n为奇数时，幂函数y=x^n为奇函数。

3. 单调性质当n为正整数时，幂函数y=x^n在定义域上为单调递增函数或单调递减函数。

4. 对称性质当n为偶数时，幂函数y=x^n关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数y=x^n关于原点对称。

5. 渐近性质幂函数y=ax^n的图像与x轴无渐近线，当a>0时，图像与y轴无渐近线。

幂函数的概念及其性质

高一数学《幂函数》PPT课件

幂函数的概念与性质

幂函数的概念与性质

幂函数知识点总结

第15讲 幂函数及其性质

幂函数与指数函数的概念与性质

幂函数的定义及性质

幂函数的基本概念与性质

幂函数的性质与变化规律

幂函数的概念与计算

幂函数的像与性质

幂函数的定义与性质

幂函数图像及性质

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