月湖区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

月湖区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,
]6π
B ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3
π
π 2． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B ．
akm C ．2akm
D ．
akm
3． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或
D ．
或
4． 复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
5． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56
6． 为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=
sin （3x+
）的图象（ ）
A ．向右平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向左平移
个单位
7． 若关于的不等式2
043
x a
x x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ） A ． B ．12 C ．1
2
- D ．2-
8． 已知函数f （x ）＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i 10．双曲线
E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25
－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 11．已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β
二、填空题
13．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．
14．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________. 15．若复数34
sin (cos )i 55
z αα=-
+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 16．已知
=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．
17．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．
18．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
三、解答题
19．已知△ABC 的顶点A （3，1），B （﹣1，3）C （2，﹣1）求： （1）AB 边上的中线所在的直线方程； （2）AC 边上的高BH 所在的直线方程．
20．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为
极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为ρ=4sin θ．
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．
21．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
22．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BC 的中点．求证：
（I ）AB ∥平面EFG ； （II ）平面EFG ⊥平面ABC ．
23．圆锥底面半径为1cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
24．2
()sin 2f x x x =+
.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆的面积为.
月湖区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
考点：三角形中正余弦定理的运用.
2．【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm，
即灯塔A与灯塔B的距离为akm，
故选：D．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2
=3m ，
离心率e=．
焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2
=﹣3m ，
离心率e==．
故选：C ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
4． 【答案】A
【解析】()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+===--，所以虚部为-1，故选A. 5． 【答案】D 【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离. 6． 【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移
个单位，
即可得到y=sin[3（x+
﹣
）]=
sin3x 的图象，
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程
2
043
x a
x x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.
考点：不等式与方程的关系.
8． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9. 即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C.
9． 【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i ﹣1的虚部是1， 故选A ．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
10．【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
11．【答案】C
【解析】解：设g （x ）=xe x ，y=mx ﹣m ， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g （x ）=xe x 在直线y=mx ﹣m 下方， g ′（x ）=（x+1）e x ，
g （x ）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g （x ）min =g （﹣1）=﹣，y=mx ﹣m 恒过定点P （1，0）， 结合函数图象得K PA ≤m ＜K PB ，
即
≤m ＜
，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
12．【答案】D
【解析】解：对于A，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c是平面β内一条直线
因为α∥β，c⊂β，可得c∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b不一定与直线c平行
故b⊂α，c∥α，不能推出b∥c．得A项不正确；
对于B，因为α⊥β，设α∩β=b，若直线c∥b，则满足c∥α，α⊥β，
但此时直线c⊂β或c∥β，推不出c⊥β，故B项不正确；
对于C，当b⊂α，c⊄α且b∥c时，可推出c∥α．
但是条件中缺少“c⊄α”这一条，故C项不正确；
对于D，因为c∥α，设经过c的平面γ交平面α于b，则有c∥b
结合c⊥β得b⊥β，由b⊂α可得α⊥β，故D项是真命题
故选：D
【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】63
【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．
14．【答案】 【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 15．【答案】34
-
【解析】由题意知3sin 05α-=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3tan 4
α=-.
16．【答案】
．
【解析】解：∵=1﹣bi ，∴a=（1+i ）（1﹣bi ）=1+b+（1﹣b ）i ，
∴
，解得b=1，a=2．
∴|a ﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
17．【答案】 ﹣1054 ．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2
﹣3x+b n =0的两根， ∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，
∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．
则b5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【答案】2．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，
∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵A（3，1），B（﹣1，3），C（2，﹣1），
∴AB的中点M（1，2），
∴直线CM的方程为=
∴AB边上的中线所在的直线方程为3x+y﹣5=0；
（2）∵直线AC的斜率为=2，
∴直线BH的斜率为：﹣，
∴AC边上的高BH所在的直线方程为y﹣3=﹣（x+1），
化为一般式可得x+2y﹣5=0
20．【答案】
【解析】解：（1）方程ρ=4sin θ的两边同时乘以ρ，得ρ2
=4ρsin θ，
将极坐标与直角坐标互化公式
代入上式，
整理得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2
﹣4y=0．
（2）由消去t ，得直线l 的普通方程为y=x+3，
因为点M （﹣2，1）在直线l 上，可设l 的标准参数方程为，
代入圆C 的方程中，得．
设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理，得
＞0，t 1t 2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=，
即|MA|+|MB|=
．
【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2
，
ρcos θ，ρsin θ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，（x ≠0）等．
2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M 0（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数
方程为，参数t 表示以M 0为起点，直线上任意一点M 为终点的向量的数量，即当
沿
直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣
．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴
ED
EP
EF EA =
，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 2
9
=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得427=EP .
∴4
15
=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)2
9
427(4152+⨯=PA ，解得4315=
PA ．……………………10分 22．【答案】
【解析】证明：（I ）在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，G 分别是AC ，BC 的中点．
所以AB ∥EG …
因为EG ⊂平面EFG ，AB ⊄平面EFG
所以AB ∥平面EFG … （II ）因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 所以AB ⊥CD …
又BC ⊥CD 且AB ∩BC=B 所以CD ⊥平面ABC …
又E ，F 分别是AC ，AD ，的中点 所以CD ∥EF 所以EF ⊥平面ABC …
又EF ⊂平面EFG ，
所以平面平面EFG ⊥平面ABC ．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．
23．． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =，11C D =，
作SO EF ⊥于O ，则SO =
1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11
CC EC SO EO =
121
x -
=，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征． 24．【答案】（1）5,3
6k k π
πππ⎡
⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）；（2
）【解析】
试题分析：（1）根据32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可得3
A π
=
，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
试题解析:（1
）111()cos 22sin(2)22262
f x x x x π=
-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
∴()f x 的单调递减区间为5[,]36
k k ππ
ππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．。