(精校版)2017年北京文数高考试题文档版(含答案)

(精校版)2017年北京文数高考试题文档版(含答案)绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U=R，集合{|22}或，则=<->A x x x（A）(2,2)-（B）-∞-+∞(,2)(2,)（C）[2,2]-（D）-∞-+∞(,2][2,)（2）若复数(1i)(i)-+在复平面内对应的点在第二象限，则a实数a的取值范围是（A）(,1)-∞（B）-∞-(,1)（C）(1,)+∞（D）-+∞(1,)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A ）2 （B ）32（C ）53（D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为1053（C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． （10）若双曲线221y x m-=的离心率为，则实数m =__________．（11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是__________． （12）已知点P 在圆22=1xy +上，点A 的坐标为(-2,0)，O为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________．（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知等差数列{}na 和等比数列{}nb 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．（16）（本小题13分）已知函数())2sin cos 3f x x -x xπ=-. （I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．（17）（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．（18）（本小题14分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．（19）（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．（20）（本小题13分）已知函数()e cosx=-．f x x x（Ⅰ）求曲线()f处的切线方程；=在点(0,(0))y f x（Ⅱ）求函数()上的最大值和最小值．f x在区间π[0,]22017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）答案一、（1）C （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A （8）D 二、（9）1（10）23（12）6（11）1[,1]2（13）1,2,3---（答案不唯一）（14）6 12三、（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以a n=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3. 所以2212113n n n b b q ---==.从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=.（16）（共13分）解：（Ⅰ）31π()cos 2sin 2sin 2sin 22sin(2)22223f x x x x x x x =+-=+=+.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤. 所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-. 所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-. （17）（共13分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为5⨯=.40020100（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为+⨯⨯=，(0.020.04)1010060所以样本中分数不小于70的男生人数为1⨯=.60302所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.（18）（共14分）解：（I）因为PA AB⊥，所以PA⊥平面ABC，⊥，PA BC又因为BD⊂平面ABC，所以PA BD⊥.（II）因为AB BC⊥，=，D为AC中点，所以BD AC由（I）知，PA BD⊥，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.（III）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDE DE=，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b +=>>.由题意得2,a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =所以2221ba c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠. 直线AM 的斜率2AMn km =+，故直线DE 的斜率2DEm kn+=.所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2n y x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+.由点M 在椭圆C 上，得2244mn -=.所以45Ey n=-.又12||||||||25BDEE SBD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.（20）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()ecos xf x x x=-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x'=---=-.当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-.。