数值幂法及反幂法分析方法

Av0
n i 1
aiik xi
ik a1x1
n i2
i 1
k
xi
uk
Ak v0 Ak v0
ik a1x1
n i2
i 1
k
xi
ik
a1 x1
n i2
i 1
k
xi
x1 . x1
同理：vk
1k
a1x1
n i2
ai
i 1
k
xi
1k 1a1x1
xn组成规范化正交组，即（x, x j） ij ),则
1。n
Ax, x x, x
1
对于任意非零向量x Rn
2。1
max
xRn ,x0
Ax, x x, x
.
3。n
min
xRn ,x0
Ax, x x, x
证明：1。设x Rn
由于x1, x2 ,, xn为Rn的一组正交向量，有
X a1x1 a2 x2 an xn
X
2
X
,
X
1 2
a1x1 an xn , a1x1 an xn
a12 a22 ,an2 0.
n
于是
Ax, x x, x
ai 2i
i 1 n
ai 2
i 1
n
n
n ai2
n
i 1 n
ai 2
Ax, x x, x
1 ai 2
i1 n
1
ai 2
i 1
i 1
本章主要介绍三种方法：幂法、反幂法、 正交相似变换的方法，来求A的特征值及相应 的特征向量.
w
max
2 1
p p
,
n 1
p p
min,
取2
p n
p,
p
2
p
2
p*时w最小.
这时，2 p* n p* 2 n . 1 p* 1 p* 21 2 n
2.Rayleigh商加速法
计算实对称阵A的主特征值1..
定理2 设A Rnn为实对称阵，1 2 3 n
对应的特征向量满足 xi , x j ij ,应用幂法计算1，
vk a11k x1, vk1 a11k1x1 a1vk , vk1 Avk 1vk .
即为A的特征值（近似），vk为相应的特征向量.
考虑主特征值1，由于1
vk1 i
vk
i
其中vk i为vk的
第i个分量.
又由 vk1 i
vk
i
1k
的收敛速度，
比值r 2 确定.r越小，收敛速度越快. 1
这种由非零向量v0及矩阵A的乘幂Ak构造向量
序列vk 以计算A的主特征值i及相应特征向量
的方法叫幂法.
定理1 设A Rnn有n个线性无关的向量，若
1 2 r且 1 r1 n
即A为r重实根，且有n个现行无关的特征向量，则
vk
Ak v0
a11k x1
a1kr xr
a x k r 1 r 1 r
则k的Rayleigh商给出1的较好近似：
定理3（Gerschgorin’s圆盘定理）
设A
aij
, 则A的每一个特征值必属于下属某个
nn
n
圆盘之中： aii aij i 1,2,, n. j1, ji
证明：设Ax x，I AX 0
记X
x1, x2 ,, xn T
0,
xi
max
1k n
xk
, xi
0
n
由第i个方程 aii xi aij x j及 x j xi 1 j i j1, ji
aii aij , x j xi aij .
ji
ji
这说明 属于复平面上以 aii 为圆心 aij j 1
为半径的一个圆盘中.
定义1 设A为n阶实对称矩阵，对任意非
零向量x，称Rx Axx,,xx为对应于向量x
的Rayleigh商.
定理4 设A Rnn为对称矩阵（其特征值次
记作1 2 n , 对应得特征向量x1, x2，
n i2
ai
i 1
k 1
xi
k充分大时，vk
1
a1x1
.
a1x1
二、加速方法
1.原点平移法
引进矩阵B A pI ,其中p为参数.
选择合适的p使B的特征值 2 2 ,这里A与B的特 1 1
征值与特征向量关系如下：
A pI vi ivi , Avi i pvi i 1,2,, n. i i pi 1,2,, n.
vk1 Avk Ak1v0
由设xk 组成Rn中一组基，则有 v0 a1x1 a2 x2 an xn a1 0
vk Avk1 Ak v0 a11k x1 a2k2 x2 ankn xn
1k a1x1
n i2
a1
i
1
k
xi
i 1i 1,2,, n
1
当k 时，有
数值幂法及反幂法 分析方法
§1 引 言
预备知识：
定理1 定理2
如果i i 1,2,, n是矩阵A的特征值，则有
n
n
1。 i aii trA;
i 1
i 1
2。det A 1 2n ;
设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵
使B T 1AT ),则 1。A与B有相同的特征值. 2。若x是B的一个特征向量，则Tx是A的特征向量.
§2幂法与反幂法
幂
加
反
速
幂
法
方
法
法
一、幂法
设实矩阵A
aij
有一个完全的特征向量组，其特征值
n
为1，2，，n，相应的特征向量为x1, x2 ,, xn.已知A的
主特征值是实根，且满足条件
1 2 3 n .
基本思想：任取初始向量v0 ,由矩阵A构造一向量序列
v1 Av0
v2 Av1 A2v0
n
uk
vk vk
则规范化的uk
x1 x1
, 1
vk
.
下面我们说明这种事实：
v1 Au0 Av0 ,
v2 Au1
A2v0 , Av0
vk
Ak v0 , Ak 1v0
u1
v1 v1
Av0 Av0
u2
v2 v2
A2v0
A2v0
.
uk
Ak v0 Ak v0
A与B有相同的特征向量.
对B用幂法得到1，则1 1 p.
关于p的选取，一般应对A的特征有个大致的了解，然
后试选p.
当A的特征值是实数时，怎样选择p使1的计算得以加
速？
设1 2 n1 n ,则不管p如何，A pI的主特 征值为1 p或n p,如计算1及x1，应选择p使 1 p n p ,且使收敛速度的比值：
1
ankn xi
1k
r ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
ai xi
n ai
i r 1
2 1
k
xi
r
vk1 1k ai xi k
i 1
vk1 1vk ,
vk 1 i vk i
1.
注意：应用幂法进行上机计算时，一般将迭代
向量 规范化：
v0 vk
u0 0
Auk1 k
1,2,,