人教版分式课件ppt1
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数学：16.2分式的运算(第1课时)课件(人教版八年级下)
a2 4
a 3
(5)
2x 6 4 4x x
2
( x 3)
x x6
2
3 x
2 x2
熟练运用
1.化简( xy x )
2
x 2 2 xy y 2 xy
x y x
2
= -y
2、 x 2004, y 2005时 当 求 x y
4 2 4 2
x 2 xy y
yx x y
2 2
先化简 再求值
的值
原式= -(x+y)=-(2004+2005)=-4009
2
a 1
( a 2 ) ( a 1)
2
( a 1) ( a 2 )( a 2 )
2
a2 ( a 1)( a 2 )
例2 计算:
1
2
49 m m 7m 1 2 2 (m 7m) m 49 m(m 7) ( m 7 )( m 7 )
500
500
∴ a 2 1 ＜ ( a 1) 2 “丰收2号”小麦的单位面积产量高 500 500 500 a2 1 a 1 （2）
( a 1) 2 a2 1 ( a 1) 2 500 a 1
“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位 面积产量的 a 1 倍。
2
1
m m7
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、
分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
例3
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去 一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收2号” 小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的 小麦都收获了500千克。 （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解（1）∵ 0＜（a－1）＜ a 2－1
15.2.1第1课时分式的乘除 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
（3）分式乘除法的运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的
符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
新知探究
知识点
例3
分式的乘除
如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方
形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小
麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获
1
.
当取m=1时，原式=
11
2
化简求值问题要注意字母的取值要使分数有意义！
相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
分数除以分数的法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.
（能约分化简的要约分化简）
新知探究
知识点
分式的乘除
思考 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母.
a c ac
上述法则可以用式子表示为：
A．三个人都正确
B．甲有错误
C．乙有错误
D．丙有错误
课堂训练
5.计算（x2-xy）÷
的结果是
x2
.
6.如果检测员在n分钟内可检查9个产品,那么他在2小时内可检查产
品
40�� 个
课堂训练
7.八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中， 用到了平方差公式进行因式分解.
n
V
V m
长方体容积的高为 ， 水面的高度为 ab n .
ab
分式的乘法运算
新知探究
知识点
问题2
分式的乘除
符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
新知探究
知识点
例3
分式的乘除
如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方
形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小
麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获
1
.
当取m=1时，原式=
11
2
化简求值问题要注意字母的取值要使分数有意义！
相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
分数除以分数的法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.
（能约分化简的要约分化简）
新知探究
知识点
分式的乘除
思考 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为
积的分母.
a c ac
上述法则可以用式子表示为：
A．三个人都正确
B．甲有错误
C．乙有错误
D．丙有错误
课堂训练
5.计算（x2-xy）÷
的结果是
x2
.
6.如果检测员在n分钟内可检查9个产品,那么他在2小时内可检查产
品
40�� 个
课堂训练
7.八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中， 用到了平方差公式进行因式分解.
n
V
V m
长方体容积的高为 ， 水面的高度为 ab n .
ab
分式的乘法运算
新知探究
知识点
问题2
分式的乘除
人教版《分式的运算》PPT教学模板
33xy 2y2
3x
21x 2 y8x2y
5 a
4xyyx
xyxy
人教版《分式的运算》完美实用课件 （PPT优 秀课件 ）
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例2 计算:
a24a4 a1 (1)a22a1a24
1
1
(2) 4
9m2
m27m
练习 计算：
注意：乘法
(1)3a3b 10ab
用符号语言表达： a c ac b d bd
人教版《分式的运算》完美实用课件 （PPT优 秀课件 ）
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合作学习
（3） 2 4 ＝ 2 5＝25
猜一猜
3 5 3 4 34
a c ? bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
25a2b3 a2b2
运算时,分子 或分母能分
(2)x24y22xxy2y22xx222yxy 解的要分解.
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例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米(a>1)的正方
形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰 收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块 试验田的小麦都收获了500千克。 （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
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小结
（1）分式的乘法法则和除法法则
（2）分子或分母是多项式的分式乘除法 的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂) 排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分 子为这个整式的分式；
3x
21x 2 y8x2y
5 a
4xyyx
xyxy
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例2 计算:
a24a4 a1 (1)a22a1a24
1
1
(2) 4
9m2
m27m
练习 计算：
注意：乘法
(1)3a3b 10ab
用符号语言表达： a c ac b d bd
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合作学习
（3） 2 4 ＝ 2 5＝25
猜一猜
3 5 3 4 34
a c ? bd
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
25a2b3 a2b2
运算时,分子 或分母能分
(2)x24y22xxy2y22xx222yxy 解的要分解.
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例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米(a>1)的正方
形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰 收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块 试验田的小麦都收获了500千克。 （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
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小结
（1）分式的乘法法则和除法法则
（2）分子或分母是多项式的分式乘除法 的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂) 排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分 子为这个整式的分式；
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
《分式的乘除》人教版数学ppt课件1
45 35
1 024 . 243
2.对于任意一个正整数n，第n步得到的折线的总长度是多少？
(4)n 4 4 3 33
4 44 3 33
4 3
4n 3n
.
分
对于任意一个正整数n，有
式
的
( f )n g
=
fn gn
.
乘 方 法
分式乘方要把分子、分母分别乘方．
则
【例题】
例3 计算：
(1 )
(
x y2
1
（a-1)2 m2，单位面积产量是 5 0 0 kg/m2.
(a 1)2
∵0＜（a－1）2＜ a 2－1，
∴ 500 a2 1
500 (a 1)
2
，∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（ 2 ） (a 5 0 1 0 )2a 5 2 0 0 1(a 5 0 1 0 )2a 5 2 0 0 1a a 1 1 ，
n 航行的时间比是______.
面积产量是 kg/m2；
a b ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
作效率的( )倍. 第二步，把上述折线中每一条线段重复第一步的做法，便得到由长度相等的线段组成的折线，总长度为
m n 【例2】“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验
m m 7
课堂练习 计算
3a 16b
3ab 10xy
(1) 4b 9a 2 (2) 4x 2 y 21b
12xy (3)
8x 2 y
5a
2y 2 (4) 3xy
3x
太有趣了，我还想做
人教版数学八年级上册15.分式的基本性质课件(1)
解：3 3 3 1 6 63 2 2 与 4 相等吗? 5 10
分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以） 一个不等于零的数，分数的值不变.
你认为分式“a ”与“1”；分式
2a
2
“ n2 ”与“n ”相等吗？
mn
m
类比分数的基本性质，你能得到分式 的基本性质吗？说说看！
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一 个不等于零的数，分数的值不变.
探索新知1
例1 下列变形是否正确？如果正确，说出是如
何变形的？如果不正确，说明理由.
（1）2xx
1 2
；（2）x
x
1
x2 ；
x 1
（3） x2 y2 x y ． x y
解：（1）正确．分子分母除以x ； （2）不正确．分子乘x，而分母没乘； （3）正确．分子分母除以（x -y）．
探索新知 2
归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）运用分式的基本性质时应注意什么？ （3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？ （4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程。
布置作业
教科书P133习题15.1第4、6题.
（1）2bc ac
；（2）（x
y）y xy 2
；（3）（xx2
xy y）2
；（4）mm22
m． 1
解： （1）2bc 2b ； ac a（2）（x ຫໍສະໝຸດ y）y x y ；xy 2
xy
变式训练
练习3 约分：
（1）2bc ac
；（2）（x
y）y xy 2
；（3）（xx2
xy y）2
；（4）mm22
类比分数的基本性质，得到： 分式的基本性质：
《分式》PPT课件--图文全文
答：甲追上乙需要 时．当a=6，b=５时，甲追上乙需要 ５时．
解：根据题意，乙先行１时的路程是１×b（千米），甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是 b÷（a－b）= （时） 当a=6，b=５时，甲追上乙所需的时间是
＝
＝５（时）
代数式
整式
分式
分母中必含有字母
分母不能为零
当分子为零，分母不为零时， 分式值为零。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
解：根据题意可知， 该保护区每平方米内灰熊的只数是：７÷p=
文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元，降价销售开始时，文林书店这种图书 的库存量是 。
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果价格b元，取甲种糖果m㎏，乙种糖果n㎏，混合后，平均每千克价格 元。
像10a+2b， ， ，2a²这样含有字母的数学表达式称为代数式.
整式
单项式:数与字母或字母与字母的积
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就不一定是整式了．
有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种 代数式！
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方米的保护区内找到７只灰熊，那么该保护区 每平方米有＿＿＿＿只灰熊．
轮船在静水中每小时走a千米，水流速度为每小时b千米，轮船在逆流中航行s千米，然后又返回出发地，那么轮船需要的时间 是 小时。
一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成 本是 元。
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．
解：根据题意，乙先行１时的路程是１×b（千米），甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是 b÷（a－b）= （时） 当a=6，b=５时，甲追上乙所需的时间是
＝
＝５（时）
代数式
整式
分式
分母中必含有字母
分母不能为零
当分子为零，分母不为零时， 分式值为零。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
解：根据题意可知， 该保护区每平方米内灰熊的只数是：７÷p=
文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元，降价销售开始时，文林书店这种图书 的库存量是 。
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果价格b元，取甲种糖果m㎏，乙种糖果n㎏，混合后，平均每千克价格 元。
像10a+2b， ， ，2a²这样含有字母的数学表达式称为代数式.
整式
单项式:数与字母或字母与字母的积
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就不一定是整式了．
有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种 代数式！
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方米的保护区内找到７只灰熊，那么该保护区 每平方米有＿＿＿＿只灰熊．
轮船在静水中每小时走a千米，水流速度为每小时b千米，轮船在逆流中航行s千米，然后又返回出发地，那么轮船需要的时间 是 小时。
一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成 本是 元。
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．
人教版八年级数学上册 《分式方程》分式PPT
人教版八年级数学上册 《分式方程》分式PPT
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
分式方程
第一页，共四十七页。
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
2．一元一次方程有什么特点？
①只含有一个未知数 ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母
产生增根.
第三十页，共四十七页。
增根问题
k为何值时，分式方程
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0 把 x=1代入上式，则k=-1 把 x=-1代入上式，k 值不存在 ∴当k =-1，原方程有增根.
所以m+3-1=0
所以m=-2
第二十七页，共四十七页。
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
第二十八页，共四十七页。
增根问题
1.当m=0时，方程 x=6，不会
会产生增根吗？
2.当m=1时，方程
会产生增根吗？
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是
分式方程的解
最简公分母不为0最简公分母为0 x=a不是 分式程的解
第十六页，共四十七页。
解分式方程
1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
第十七页，共四十七页。
练习
解下列方程：
第十八页，共四十七页。
练习 解下列方程：
第十九页，共四十七页。
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解．
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
分式方程
第一页，共四十七页。
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
2．一元一次方程有什么特点？
①只含有一个未知数 ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母
产生增根.
第三十页，共四十七页。
增根问题
k为何值时，分式方程
解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0 把 x=1代入上式，则k=-1 把 x=-1代入上式，k 值不存在 ∴当k =-1，原方程有增根.
所以m+3-1=0
所以m=-2
第二十七页，共四十七页。
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
第二十八页，共四十七页。
增根问题
1.当m=0时，方程 x=6，不会
会产生增根吗？
2.当m=1时，方程
会产生增根吗？
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是
分式方程的解
最简公分母不为0最简公分母为0 x=a不是 分式程的解
第十六页，共四十七页。
解分式方程
1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
第十七页，共四十七页。
练习
解下列方程：
第十八页，共四十七页。
练习 解下列方程：
第十九页，共四十七页。
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解．
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
八年级数学上册第十五章分式方程课时1分式方程及其解法教学课件新版新人教版ppt
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
当堂小练
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且．a≠－2
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 2x a 1的解是正数，
x 1
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1， 解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列 关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：根据题意得： 130 70 40 v 40 - v 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
第十五章 分式
15.3 分式方程 课时一 分式方程及其解法
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （难点） 2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 3.了解分式方程验根的必要性．（重点）
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15.1 分 式
第十五章 分 式
第2课时 分式的基本性质
1 课堂讲解 2 课时流程
分式的基本性质 分式的符号法则 约分 最简分式
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 分式的基本性质
由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么
2 = 2c , 4c 4 .
3 3c
5c 5
a
一般地，对于任意一个分数 , 有
一项系数不含“－”号．
错解：
x y x y . x y x y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项
的符号当成了分子、分母的符号．
正确解法： xx yy （ （ xx+yy） ） xx yy.
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
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知4－练
1 下列各式中，是最简分式的是___②__⑤___．(填序号)
①
（
x2 x
y2 y） 2
；②
x x
2 2
；③
ab a2
；
④ a b ；⑤ x 2 .
a2 ab
x2 1
2 已知四张卡片上面分别写着6，x＋1，x2－1，x
－1，从中任意选两个整式，其中能组成最简
分式的有_____5___个．
知2－练
1
(中考·丽水)分式
1
1
x
可变形为(
D)
A． 1 x1
1 B. 1 x
C．
1
1
x
1 D.
x1
2 (中考·淄博)下列运算错误的是( D )
（a
A. （ b
b）2 a）2
1
B.
-ab ab
1
C. 0.5ab 5a10b D. a b b a
0.2a0.3b 2a3b
ab ba
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知识点 2 分式的符号法则
知2－讲
分式的符号准则：将分式、分子、分母的符号改
变其中的任意两个，其结果不变. 即： aaa a.
b b b b
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知2－讲
x y 例2 不改变分式 x y 的值，使分子、分母的第
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知4－讲
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 . 最简分式的条件: （1）分子、分母必须是整式 ； （2）分子、分母没有公因式 .
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知3－讲
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知3－讲
例3 约分：
25a 2bc3
（1） 1 5 a b 2 c ;
（2）
x2
x2
12xy 6y2 3x 3y
.
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.
解：（ 1 ） 1 25 5a ab 2b 2c c3=55 aa bb cc 5 3 ab c253 ab c2; （ 2 ） x2x 2 6 x 9 9= （ x （ + 3 x ） （ + 3 x ） 2 3 ） =x x + 3 3; （ 3 ） 6x2 31 x2 x3 yy 6y2=（ 6 （ 3x x y y ） ） 2= （ 2xy） .
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1
(中考·赤峰)化简 a 2 b a b 2 正确的是( ba
B)
A．ab
B．－ab
C．a2－b2
D．b2－a2
2
(中考·河北) 若a＝2b≠0，则
a2 a2
b2 ab
的值为
___1_.5__．
知3－练
2aa 2b（ 2aa 2bb ） b2aa b2 bb2.
所以，括号中应分别填a和2ab-b2.
知1－讲
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在 有意义的情况下才能应用．应用时要注意是否符 合两个“同”：一是要同时作“乘法”或“除法”运算； 二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的 整式．
（2）1 ab
（） a2b ,
2aa2 b（a2b） （b0）.
知1－讲
1
（2）因为 a b 的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的
值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
1 1a a ab aba a2b,
同样地，因为 2 a b 的分母a2乘b才能化为a2b，
a2
所以分子也需乘b，即
其中A，B，C是整式 .
(C≠0)，
例1 填空：
（1）x 3
（
） ,
xy y
3x2 3xy 6x2
（x
y； ）
（2）a1b
（
） a2b ,
2aa2 b（a2b） （b0）.
解：（1）因为 x 3 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式
xy
的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除
以x，即
x3 xy
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知识点 4 最简分式
知4－导
在化简分式 5 x y 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
20 x2y
小颖： 5xy
20x2 y
5x 20 x 2
;
小明： 5xy
20x2y
5xy 4x5xy
1. 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看.
知1－练
1 下列式子从左到右的变形一定正确的是( C )
A. a + 3 a
b3 b
B. a a c
b bc
C. 3 a a
3b b
D.
a a2 b b2
2
如果把
5x x y
中的x与y都扩大到原来的20倍，那
么这个式子的值( A )
A．不变
B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍 D．缩小到原来的 1
知2－讲
当分式的分子、分母是多项式时，若分子、分 母的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号， 再利用分式的基本性质化成题目要求的结果；变形可 要注意不要把分子、分母的第一项的符号误认为是分 子、分母的符号．
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a a c , b bc
a ac b bc
b
(c≠0），
其中a，b，c是数.
知1－导
知1－讲
思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于
0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为
A AC , B B C
A AC B BC
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人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
1.掌握分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或 除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
2.能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形. 3.在对分式进行变形时要注意乘（或除以）的整式
是同一个并且不等于0. 4.能对分式进行约分.
20
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3 写出下列等式中所缺的分子或分母．
(1)
1 ab
(
bc ab2c
)(c0)；
(2)
m ( ma＋mb
ab
a2b2
)(ab)；
(3)
x x(x-y)
(
1 x－y
. )
知1－练
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知识点 3 约 分
知3－讲
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变 形叫分式的约分.
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约分的步骤: (1)约去系数的最大公约数； (2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
x3 x xy x
x2 .
y
同样地，因为 3 x 2 3 x y 的分子3x2+3xy除以3x才
6x2
能化为x+y，所以分母也需除以3x，即
3x2 6 x2 3x y （ 3x2 6 x2 3 x （ y ） 3 x （ ） 3x ） =x 2 xy.
所以，括号中应分别填x2和2x.
知1－讲
第十五章 分 式
第2课时 分式的基本性质
1 课堂讲解 2 课时流程
分式的基本性质 分式的符号法则 约分 最简分式
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 分式的基本性质
由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么
2 = 2c , 4c 4 .
3 3c
5c 5
a
一般地，对于任意一个分数 , 有
一项系数不含“－”号．
错解：
x y x y . x y x y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项
的符号当成了分子、分母的符号．
正确解法： xx yy （ （ xx+yy） ） xx yy.
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知4－练
1 下列各式中，是最简分式的是___②__⑤___．(填序号)
①
（
x2 x
y2 y） 2
；②
x x
2 2
；③
ab a2
；
④ a b ；⑤ x 2 .
a2 ab
x2 1
2 已知四张卡片上面分别写着6，x＋1，x2－1，x
－1，从中任意选两个整式，其中能组成最简
分式的有_____5___个．
知2－练
1
(中考·丽水)分式
1
1
x
可变形为(
D)
A． 1 x1
1 B. 1 x
C．
1
1
x
1 D.
x1
2 (中考·淄博)下列运算错误的是( D )
（a
A. （ b
b）2 a）2
1
B.
-ab ab
1
C. 0.5ab 5a10b D. a b b a
0.2a0.3b 2a3b
ab ba
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知识点 2 分式的符号法则
知2－讲
分式的符号准则：将分式、分子、分母的符号改
变其中的任意两个，其结果不变. 即： aaa a.
b b b b
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
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知2－讲
x y 例2 不改变分式 x y 的值，使分子、分母的第
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知4－讲
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 . 最简分式的条件: （1）分子、分母必须是整式 ； （2）分子、分母没有公因式 .
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知3－讲
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知3－讲
例3 约分：
25a 2bc3
（1） 1 5 a b 2 c ;
（2）
x2
x2
12xy 6y2 3x 3y
.
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.
解：（ 1 ） 1 25 5a ab 2b 2c c3=55 aa bb cc 5 3 ab c253 ab c2; （ 2 ） x2x 2 6 x 9 9= （ x （ + 3 x ） （ + 3 x ） 2 3 ） =x x + 3 3; （ 3 ） 6x2 31 x2 x3 yy 6y2=（ 6 （ 3x x y y ） ） 2= （ 2xy） .
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1
(中考·赤峰)化简 a 2 b a b 2 正确的是( ba
B)
A．ab
B．－ab
C．a2－b2
D．b2－a2
2
(中考·河北) 若a＝2b≠0，则
a2 a2
b2 ab
的值为
___1_.5__．
知3－练
2aa 2b（ 2aa 2bb ） b2aa b2 bb2.
所以，括号中应分别填a和2ab-b2.
知1－讲
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在 有意义的情况下才能应用．应用时要注意是否符 合两个“同”：一是要同时作“乘法”或“除法”运算； 二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的 整式．
（2）1 ab
（） a2b ,
2aa2 b（a2b） （b0）.
知1－讲
1
（2）因为 a b 的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的
值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
1 1a a ab aba a2b,
同样地，因为 2 a b 的分母a2乘b才能化为a2b，
a2
所以分子也需乘b，即
其中A，B，C是整式 .
(C≠0)，
例1 填空：
（1）x 3
（
） ,
xy y
3x2 3xy 6x2
（x
y； ）
（2）a1b
（
） a2b ,
2aa2 b（a2b） （b0）.
解：（1）因为 x 3 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式
xy
的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除
以x，即
x3 xy
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知识点 4 最简分式
知4－导
在化简分式 5 x y 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
20 x2y
小颖： 5xy
20x2 y
5x 20 x 2
;
小明： 5xy
20x2y
5xy 4x5xy
1. 4x
你对他们俩的解法有何看法？说说看.
知1－练
1 下列式子从左到右的变形一定正确的是( C )
A. a + 3 a
b3 b
B. a a c
b bc
C. 3 a a
3b b
D.
a a2 b b2
2
如果把
5x x y
中的x与y都扩大到原来的20倍，那
么这个式子的值( A )
A．不变
B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍 D．缩小到原来的 1
知2－讲
当分式的分子、分母是多项式时，若分子、分 母的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号， 再利用分式的基本性质化成题目要求的结果；变形可 要注意不要把分子、分母的第一项的符号误认为是分 子、分母的符号．
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
a a c , b bc
a ac b bc
b
(c≠0），
其中a，b，c是数.
知1－导
知1－讲
思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于
0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为
A AC , B B C
A AC B BC
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
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1.掌握分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或 除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
2.能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形. 3.在对分式进行变形时要注意乘（或除以）的整式
是同一个并且不等于0. 4.能对分式进行约分.
20
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
3 写出下列等式中所缺的分子或分母．
(1)
1 ab
(
bc ab2c
)(c0)；
(2)
m ( ma＋mb
ab
a2b2
)(ab)；
(3)
x x(x-y)
(
1 x－y
. )
知1－练
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
知识点 3 约 分
知3－讲
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变 形叫分式的约分.
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
人教版.分式课件份ppt1（PPT优秀课 件）
约分的步骤: (1)约去系数的最大公约数； (2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
x3 x xy x
x2 .
y
同样地，因为 3 x 2 3 x y 的分子3x2+3xy除以3x才
6x2
能化为x+y，所以分母也需除以3x，即
3x2 6 x2 3x y （ 3x2 6 x2 3 x （ y ） 3 x （ ） 3x ） =x 2 xy.
所以，括号中应分别填x2和2x.
知1－讲