高考数学讲义
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第一章培优点1 柯西不等式与权方和不等式题型一 柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式3.二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).例1 已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.方法一 由柯西不等式得方法二 由柯西不等式得思维升华掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.跟踪训练1 设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________.∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，当且仅当b＝k a，题型二 权方和不等式例2 (1)若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为__________.(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为____.思维升华(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.27跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为______.(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则的最小值为√A.1B.3C.6D.9能力提升1.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋的最小值是√A.－5B.－6C.3D.4123456∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，√3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为√36 4.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为______.8本课结束。
高考数学复习讲义共十一章
高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函 数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。
高考数学复习讲义：函数的性质及其应用
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)换元法：形如求 y＝ ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的 值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将 原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解． (3)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或 最值常用分离常数法求解．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立， ∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0，即 a＝1. 答案：1
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[把握考情]
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数 的单调性、求单调区间；利用单调性求参数的取 值范围、比较大小、求最值等； 2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数 常规角度 的奇偶性，利用奇偶性求值等； 3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期 性的判断，利用周期性求函数值等． 主要以选择、填空题为主，难度中档或中偏高档 函数的性质常与解不等式、函数的零点、命题的 创新角度 真假性、导数等交汇命题
上单调递减，故不正确；选项 C 中的函数是偶函数，在(0，
＋∞)上单调递增，故正确；选项 D 中的函数是奇函数，在 R
上单调递增，故不正确．故选 C. 答案：C
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2.[考法二]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)，且在
[－1,0]上单调递减，设 a＝f( 2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，
图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象 可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负 得函数的单调性
高考数学一轮复习讲义
高考数学一轮复习讲义导言本讲义旨在为高考考生提供一轮全面复数学的指导。
根据往年考试情况以及高考数学的考点分布，此讲义涵盖了高考数学的各个重要知识点，帮助考生对数学知识进行系统复和巩固。
第一章：代数与函数1.1 一元一次方程- 方程的定义和基本性质- 一元一次方程的解法- 应用题：利用一元一次方程解决实际问题1.2 一元二次方程- 方程的定义和基本性质- 一元二次方程的解法- 应用题：利用一元二次方程解决实际问题1.3 指数与对数- 指数与对数的基本知识- 指数与对数的运算- 应用题：利用指数与对数解决实际问题第二章：几何与图形2.1 直线与曲线- 直线与曲线的基本概念- 直线与曲线的性质与判定方法- 应用题：利用直线与曲线解决实际问题2.2 三角形- 三角形的基本概念和性质- 三角形的判定方法- 三角形的相似与全等- 应用题：利用三角形解决实际问题2.3 圆与圆周角- 圆的基本概念和性质- 圆周角的性质和计算- 应用题：利用圆和圆周角解决实际问题第三章：概率与统计3.1 概率- 概率的基本概念和性质- 概率计算方法- 应用题：利用概率解决实际问题3.2 统计- 统计的基本概念和方法- 统计图表的制作和分析- 水果调查统计案例总结通过全面复习以上各个单元的知识，考生可以更好地应对高考数学题目，提高解题能力和应变能力。
在复习过程中，建议考生多做习题并及时查找解答，加强对知识点的理解和掌握。
祝愿所有考生在高考中取得优异成绩！。
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，＋By＋C ＝0，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ01<0Δ02＝0Δ03>0几何观点d 04>rd 05＝rd 06<r2．圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)位置关系图形几何法公切线条数外离d >r 1＋r 2四条外切d＝r1＋r2三条相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M x N. 3．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(4)在圆中最长的弦是直径．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案B解析圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝12＝22，而0<22<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y ＝0的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝（－1）2＋（－2）2＝5，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2＝3，因此两圆的位置关系为相交．故选C.(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得，r＝|3×3＋4×（－1）|32＋42＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．答案y＝x＋1解析圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，k CM＝3－22－3 1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，k m·k CM＝－1，所以k m＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.考点探究——提素养考点一直线与圆的位置关系例1(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．答案相交解析由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，＋1＝0，y－2＝0，解得＝－1，＝－2，所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r 的值为________．答案±2解析由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得|2|12＋12＝|r|，即|r|＝2，故r的值为± 2.【通性通法】判断直线与圆的位置关系的两种方法特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．【巩固迁移】1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为()A．相交B．相离C．相切D．相切或相交答案C解析由题意可得x20＋y20＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝2x20＋y20＝22＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．答案(－32，32)解析由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝|－a|2<3，解得－32＜a＜32.考点二圆的弦长、切线问题(多考向探究)考向1弦长问题例2(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－3y cosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为()A．3B．5C．7D．3答案C解析因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－3y cosθ＝0的距离为d＝31＋3cos2θ，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝31＋3cos2θ∈32，3，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈32，又因为弦长为2r2－d2＝24－d2，所以当d取得最小值32时，弦长取得最大值，为7.故选C.(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．答案5解析因为圆心(0，0)到直线x－3y＋8＝0的距离d＝81＋3＝4，由|AB|＝2r2－d2，可得6＝2r2－42，解得r＝5.【通性通法】求直线被圆截得的弦长的两种方法【巩固迁移】3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为()A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0答案B解析当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.故选B.4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l ：x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 的面积为85”的m 的一个值：________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，由d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±2或m ＝±12.考向2切线问题例3(1)在平面直角坐标系中，过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为()A ．5x －12y ＋45＝0B ．y ＋5＝0C ．x －3＝0或5x －12y ＋45＝0D ．y －5＝0或12x －5y ＋45＝0答案C解析因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x ＝3，圆心(1，2)到直线x ＝3的距离为2，故直线x ＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0，则|k －2－3k ＋5|k 2＋1＝2，则|3－2k |k 2＋1＝2，两边平方得12k ＝5，k ＝512，所以y －5＝512(x －3)，即5x－12y ＋45＝0.综上，切线的方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.故选C.(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离．设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，所以|PM |的最小值为22，此时|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1＝7.【通性通法】1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系，求得切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程，如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得到切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求得k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．【巩固迁移】5．(2023·河南开封模拟)已知圆M 过点A (1，3)，B (1，－1)，C (－3，1)，则圆M 在点A 处的切线方程为()A ．3x ＋4y －15＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．4x ＋3y －13＝0D ．4x －3y ＋5＝0答案A解析设圆M 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.＋3E ＋F ＋10＝0，－E ＋F ＋2＝0，3D ＋E ＋F ＋10＝0，＝1，＝－2，＝－5，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋x －2y －5＝0，圆心为－12，所以直线AM的斜率k AM ＝3－11＋12＝43，所以圆M 在点A 处的切线方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.故选A.6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝()A ．1B ．154C ．104D ．64答案B解析解法一：因为x 2＋y 2－4x －1＝0，即(x －2)2＋y 2＝5，可得圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，因为|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PC |2－r 2＝3，可得sin ∠APC ＝522＝104，cos ∠APC ＝322＝64，则sin ∠APB ＝sin2∠APC ＝2sin ∠APC cos ∠APC ＝2×104×64＝154，cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝cos 2∠APC －sin 2∠APC ＝＝－14<0，即∠APB 为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB )＝sin ∠APB ＝154.故选B.解法二：圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心C (2，0)，半径r ＝5，过点P (0，－2)作圆C 的切线，切点为A ，B ，连接AB ，可得|PC |＝22＋（－2）2＝22，则|PA |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝3，因为|PA |2＋|PB |2－2|PA |·|PB |cos ∠APB ＝|CA |2＋|CB |2－2|CA |·|CB |cos ∠ACB ，且∠ACB ＝π－∠APB ，则3＋3－6cos ∠APB ＝5＋5－10cos(π－∠APB )，即3－3cos ∠APB ＝5＋5cos ∠APB ，解得cos ∠APB ＝－14<0，即∠APB 为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB )＝－cos ∠APB ＝14，又α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝154.故选B.解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝5，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不符合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则|2k－2|k2＋1＝5，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝（k1＋k2）2－4k1k2＝215，所以tanα＝|k1－k2|1＋k1k2＝15，即sinαcosα＝15，可得cosα＝sinα15，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2α15＝1，又α则sinα>0，解得sinα＝154.故选B.7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．答案[1，9]解析由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，分别对两个式子进行两边平方，整理可得21（8－x20）＋2k1x0y0＋8－y20＝0，22（8－x20）＋2k2x0y0＋8－y20＝0，∴k1，k2是方程k2(8－x20)＋2kx0y0＋8－y20＝0的两个不相等的实数根，易知8－x20≠0，∴k1·k2＝8－y208－x20，又k1·k2＝－1，∴8－y208－x20＝－1，即x20＋y20＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝9＋16＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.考点三圆与圆的位置关系例4(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为() A．相交B．相离C．外切D．内切答案A解析圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝3.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|<r2＋r1，所以两圆相交．故选A.(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则()A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C ．两个圆心所在直线的斜率为－43D ．两个圆相交弦所在直线的方程为6x －8y －25＝0答案BC解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2＝1，其圆心C 1(0，0)，半径R ＝1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，其圆心C 2(3，－4)，半径r ＝1，圆心距|C 1C 2|＝9＋16＝5，则|PO |的最小值为|C 1C 2|－R －r ＝3，最大值为|C 1C 2|＋R ＋r ＝7，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心C 1(0，0)，圆心C 2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k ＝－4－03－0＝－43，故C 正确；对于D ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝5，则|C 1C 2|>R ＋r ＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D 错误．故选BC.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．答案x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x＋4y －5＝0解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x ，＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l21，设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0，0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直．设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t ＞0，则点O (0，0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.【通性通法】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【巩固迁移】8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是()A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案B解析由题意，得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.9．(2023·云南丽江期中)圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0公切线的条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析根据题意，圆C 1：x 2＋y 2－6x －10y －2＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r ＝6；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋14y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R ＝7，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－2－3）2＋（－7－5）2＝13＝R ＋r ，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P 是圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上一动点，A ，B 是圆C ：x 2＋2x ＋y 2＋2y －2＝0上的两点，若|AB |＝23，则|PA →＋PB →|的取值范围为________．答案[42－2，82＋2]解析由题意知，点P 所在圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝2，且A ，B 所在圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (－1，－1)，半径为2.设D 是AB 的中点，连接CD ，则CD 垂直平分AB ，则|CD |1，所以点D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，即点D 所在圆C 1：(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1，又由PA →＋PB →＝2PD →，可得|PA →＋PB →|＝2|PD →|，|PD →|即为圆M ：x 2－4x ＋y 2－4y ＋6＝0上的点与圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC 1|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以32－1－2≤|PD →|≤32＋1＋2，即|PA →＋PB →|的取值范围为[42－2，82＋2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，直线l ：2x －y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且直线过圆C 的圆心答案B解析由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心C (－1，2)，半径r ＝5，则圆心到直线l ：2x －y －1＝0的距离d ＝|－2－2－1|22＋1＝55＝5＝r ，故直线l 与圆C 相切．故选B.2．(2024·黑龙江大庆质检)若直线kx －y ＋1－2k ＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为()A ．23B ．22C ．3D ．2答案B解析直线kx －y ＋1－2k ＝0，即k (x －2)－(y －1)＝0恒过定点M (2，1)，而(2－1)2＋12＝2<4，即点M 在圆C 内，因此当且仅当AB ⊥CM 时，|AB |最小，而圆C 的圆心C (1，0)，半径r ＝2，|CM |＝2，所以|AB |min ＝2r 2－|CM |2＝24－2＝2 2.故选B.3．(2023·河北联考一模)直线l ：ax ＋by －4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则(a －3)2＋(b －4)2的最大值为()A ．16B ．25C ．49D ．81答案C解析由直线l 与圆O 相切可得，圆心O (0，0)到直线l 的距离等于圆的半径，即|－4|a 2＋b 2＝2，故a 2＋b 2＝4，即点(a ，b )在圆O 上，(a －3)2＋(b －4)2的几何意义为圆上的点(a ，b )与点(3，4)之间距离的平方，由a 2＋b 2＝4，得圆心为(0，0)，因为32＋42>4，所以点(3，4)在圆a 2＋b 2＝4外，所以点(a ，b )到点(3，4)的距离的最大值为圆心到(3，4)的距离与圆半径之和，即d ＋r ＝（3－0）2＋（4－0）2＋2＝7，所以(a －3)2＋(b －4)2的最大值为72＝49.故选C.4．(2023·广东汕头模拟)已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，1－6)∪(1＋6，＋∞)C ．(0，4)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为圆C 1：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1与C 2：(x －a )2＋(y －a ＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C 1与C 2外离，所以（a －3）2＋（a －3＋4）2>4，解得a >3或a <－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D.5．(2023·山东青岛模拟)已知直线l ：3x ＋my ＋3＝0，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0，则下列说法正确的是()A ．“m >1”是“曲线C 表示圆”的充要条件B ．当m ＝33时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1C ．“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件D ．当m ＝－2时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1有两个公共点答案C解析对于A ，曲线C ：x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋5＝0⇒(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－1，曲线C 表示圆，则m 2－1>0，解得m <－1或m >1，所以“m >1”是“曲线C 表示圆”的充分不必要条件，A 错误；对于B ，当m ＝33时，直线l ：x ＋3y ＋1＝0，曲线C ：(x ＋2)2＋(y ＋33)2＝26，圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋3×（－33）＋1|1＋3＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝226－25＝2，B 错误；对于C ，若直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－m 2＋3|9＋m 2＝m 2－1，解得m ＝±3，所以“m ＝－3”是“直线l 与曲线C 表示的圆相切”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当m ＝－2时，曲线C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝3，其圆心坐标为(－2，2)，r ＝3，曲线C 与圆x 2＋y 2＝1的圆心距为（－2－0）2＋（2－0）2＝22>3＋1，故两圆相离，没有公共点，D 错误．故选C.6．(2024·山东淄博期末)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是()A ∞，－43∪[0，＋∞)B ∞，－43∪[0，1)C ∞，－43∪[1，＋∞)D ．－43，1答案A解析圆心C (1，0)，半径r ＝2，设P (x ，y )，因为两切线l 1⊥l 2，如图，设切点为A ，B ，则PA ⊥PB ，由切线性质定理，知PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，|PA |＝|PB |，所以四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2，则点P 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆，方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l ：y ＝kx －2过定点(0，－2)，直线方程即kx －y －2＝0，只要直线与点P 的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|k －2|k 2＋1≤2，解得k ≥0或k ≤－43，即实数k ∞，－43∪[0，＋∞)．故选A.7．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C解析解法一：令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式，化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.故选C.解法二：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，整理得(x －2)2＋(y －1)2＝9，令x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x －y ＝3cos θ－3sin θ＋1＝32cos 1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，则当θ＋π4＝2π，即θ＝7π4时，x －y 取得最大值32＋1.故选C.解法三：由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故选C.8．(2023·甘肃酒泉三模)若直线3x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，动点P 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，则△ABP 面积的取值范围是()A ．[2，32]B ．[3，23]C ．[3，33]D ．[22，32]答案C解析如图所示，因为直线3x －y －3＝0与坐标轴的交点A (3，0)，B (0，－3)，则|AB |＝3＋9＝23，圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心为C (0，1)，半径为r ＝1，则圆心C (0，1)到直线3x －y －3＝0的距离为d ＝|－1－3|3＋1＝2，所以圆x 2＋(y －1)2＝1上的点P 到直线3x －y －3＝0的距离的最小值为d －r ＝2－1＝1，最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3，所以△ABP 面积的最小值为12×23×1＝3，最大值为12×23×3＝33，即△ABP 面积的取值范围为[3，33]．故选C.二、多项选择题9．(2024·湖北武汉期末)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为()A．－1B．－2C．1D．2答案BD解析由圆x2＋y2＝4，可得圆心为(0，0)，半径为2，要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，所以|b|2＝2－1，所以b＝± 2.故选BD.10．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则() A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2答案ABD解析对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为|1＋1| 2＝2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋2，D正确．故选ABD.三、填空题11．(2023·广东深圳校考二模)过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为22的直线方程为________．答案x＋y－2＝0解析圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆心为(2，2)，半径r＝2，若弦长l＝22，则圆心到直线的距离d＝2，显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，所以d＝|2k－2－k＋1|k2＋（－1）2＝2，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案8解析圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A 为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.13．(2024·浙江校考模拟预测)已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，则过点MC1，C2都相切的直线方程为________(写出一个即可)．答案x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)解析若过M的切线斜率不存在，即为x＝2，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为y－43＝k(x－2)，则C1(0，0)，C2(3，2)到y－43＝k(x－2)的距离分别为d1＝|2k－43|k2＋1＝2，d2＝|k－23|k2＋1＝1，解得k＝－512，即y－43＝－512(x－2)，即5x＋12y－26＝0.综上，过M且与两圆都相切的直线方程为x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)．14．(2024·云南大理一模)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，过点A(1，1)的相互垂直的两条直线分别交圆C于点M，N和P，Q，则四边形MQNP面积的最大值为________．答案7解析圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，点A(1，1)在圆C内部，设圆心C到直线PQ和MN的距离分别为d1，d2，则有|PQ|＝24－d21，|MN|＝24－d22，且d21＋d22＝|CA|2＝1，所以四边形MQNP的面积S＝12|PQ|·|MN|＝24－d21·4－d22≤7，当且仅当d1＝d2＝22时，等号成立，故四边形MQNP面积的最大值为7.四、解答题15．(2024·辽宁大连月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为d＝r，即|2k－3－4k－1|1＋k2＝2，解得k＝－34，所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3－3|2＝ 2.故所求弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.16．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题意，得CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为|－8|12＋32＝4105，所以|PM |＝2＝4105，所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.17．(多选)(2023·重庆一中模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5，5)作圆E 的两条切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中正确的是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与圆E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与圆E 交于G ，H 两点，则当△EHG 的面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2，1)，半径为2，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5，5)，所以|PE |＝（5－2）2＋（5－1）2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F ＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0，0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S ＝12EH ·EG sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取最大值2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．故选ABD.18．(2023·福建龙岩统考二模)已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝2上一个动点，且直线l 1：m (x －3)－n (y －2)＝0与直线l 2：n (x －2)＋m (y －3)＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则|PM |的最小值是____________．答案2解析由两直线方程可知，l 1，l 2分别过定点A (3，2)，B (2，3)，且两直线互相垂直，设AB的中点为O ，则如图所示，则两直线的交点P 的轨迹为以O 为圆心，AB 为直径的圆O ，|AB |＝2，|OC |＝522，可知两圆相离，设直线OC 交圆C 于点E ，交圆O 于点D ，显然|PM |≥|ED |＝|OC |－|CE |－|OD |＝522－2－22＝ 2.。
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。
高考数学高考辅导讲义 华师版
高考数学高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点应用能力 学习能力 探索能力创造能力 能 力基本思想和方法 基本知识点 知识点的积累、掌握和运用P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．〖解〗（1）2OP ＝2OM ＋2MP －245cos ⋅⋅MP OM ＝2，⇒ OP ＝2；（2）如图建立直角坐标系y xo '，若点P 在xoy 中的坐标为P （x ，y ），在y xo '中的坐标为P （x '，y '），则x '＝x ＋y 22，y '＝y 22． 在坐标系y xo '中，圆的方程为2x '＋2y '＝1，故在斜坐标系xoy 中，圆的方程为2)22(y x +＋2)22(y ＝1，⇒ 2x ＋xy 2＋2y ＝1． 【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？〖分析〗（1）当b ＝n ＝1时，b ＝1，a ＝1，由c ≥b ，得c ＝1，2，┅．若c ＝1，得正三角形，若c ≥2，a ＋b ＝2，不能组成三角形，故b ＝n ＝1时，只有1个三角形；（2）当b ＝n ＝2时，a ＝2，c ＝2，3，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝2，三角形个数为1个，则1＋2＝3（个）； （3）当b ＝n ＝3时，a ＝3，c ＝3，4，5，三角形个数为3个，a ＝2，c ＝3，4，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝3，三角形个数为1个，则1＋2＋3＝6（个）； 〖解〗当b ＝n 时，三角形总数应有1＋2＋3＋┅＋n ＝2)1(+n n （个） 事实上，当b ＝n 时，a 由n 个值，即a ＝1，2，3，┅，n ；对于每一个a 值，若a ＝k （1≤k ≤n ），因为b ≤c ＜a ＋b ，即n ≤c ＜n ＋k ，所以c 的取值刚好有k 个，即c ＝n ，n ＋1，┅，n ＋k －1，故三角形总数为2)1(+n n （个）． 『说明』探求所满足的各种条件，求出在相应的条件下的结论时一种能力．【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．〖分析〗本题直接针对x 来证明本题是很困难的，故针对a 来考虑．〖证〗)(x f ＝)43(24--x x a ＋4x ＋3x －22x ＝)(a ϕ，它是a 的一次式．对（1），要证明对任意a ，有)(x f ＝0，即)(a ϕ＝0，只需证⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--0204323424x x x x x 有实数解，得x ＝－2； 对（2），只需⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--020*******x x x x x ，解得0x ＝2． 变形方程4x －22ax －x ＋2a －a ＝0有且仅有两个实根（可以是重根），求a 的取值范围． 〖解〗4x －22ax －x ＋2a －a ＝0 ⇒ 2a －a x )12(2+＋)(4x x -＝0，即)]1()][([22++---x x a x x a ＝0，当2x ＋x ＋1－a ＝0时，△＝1－)1(4a -＝4a －3，当a ≥43有两个实根，当a ＜43无实根； 当2x －x －a ＝0时，△＝1＋4a ，当a ≥－41有两个实根，当a ＜－41无实根． 故a 的取值范围为－41≤a ＜43．（探索条件） 『说明』要找到问题的解决方法，思维必须开阔、灵活，横的不行，试试竖的；平面上不行，空间中试试；正面思考不行，反面考虑试试．这种多角度、多层次的思维方式称之为“立体思维”．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．〖解〗（1）任取－1＜1x ＜2x ＜1，∴)(1x f －)(2x f ＝2111x x +－2221x x +＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--，∵－1＜1x ＜2x ＜1，∴1x －2x ＜0，∣21x x ∣＜1，1－21x x ＞0，得)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ，∴函数)(x f ＝21xx +在区间（－1，1）内是单调递增函数． （2）当x ≠0时，∣)(x f ∣＝21||x x +≤||2||x x ＝21． ∵)1(f ＝21，)1(-f ＝－21， ∴)1(f 为为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．〖解1〗设1a ，2a ，┅，n a 与1b ，2b ，┅，n b 都是正数，且21a ＋22a ＋┅＋2n a ＝1，21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1， 则11b a ，22b a ，┅，nn b a 中的最小数一定不大于1． 〖证2〗①设r r b a 为n 个分数中的最小数，则rr b a ≤k k b a （k ＝1，2，┅，n ）． ∵k b ≥0，∴k r r b b a ⋅≤k a ，⇒ 22)(k r r b b a ⋅≤2k a （k ＝1，2，┅，n ）， 于是)()(222212n r r b b b b a +⋅⋅⋅++≤21a ＋22a ＋┅＋2n a ，即rr b a ≤1． ②反证法．假设n 个分数中的最小数大于1，则全部分数均大于1． 即11b a ＞1，22b a ＞1，┅， n n b a ＞1，⇒ 1a ＞1b ，2a ＞2b ，┅，n a ＞n b ， 得21a ＞21b ，22a ＞22b ，┅，2n a ＞2n b ，∴21a ＋22a ＋┅＋2n a ＞21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1，与已知矛盾．故n 个分数中的最小数一定不大于1．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．〖证〗设等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }公比为q ．∵0＜1a ＜2a ，∴d ＝2a －1a ＞0，q ＝12b b ＝12a a ＞1． ∵1a ＋d ＝2a ＝2b ＝q a 1，∴d ＝)1(1-q a ．∵q ＞1，∴当n ＞2且n ∈N 时，2-n q ＋3-n q ＋┅＋q ＋1＞n －1，即111---q q n ＞n －1，1-n q －1＞)1)(1(--n q ， ⇒ n b ＝11-⋅n q a ＞)1)(1(1--n q a ＋1a ＝d n )1(-＋1a ＝n a ．∴当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim -∞→存在，求n n n a a 1lim -∞→． 〖解〗设n n n a a 1lim -∞→＝a ，则a ≥0，且)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a ＋1． 而n n a a 1-＋1＝n n n a a a +-1＝n n a a 1+，∴)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a 1， ⇒ a 1＝a ＋1，得a ＝215-．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ． 〖解〗（1）设公差为d （d ≠0），则⎩⎨⎧-=--=-dl n b d l m a )(1)(1 ⇒ 11--b a ＝l n l m --；设公比为q （q ≠1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--l n l m q b q a 11 ⇒ b a lg lg ＝l n l m --＝11--b a ， ∴1-b a ＝1-a b ．（2）若d ＝0，则1＝a ＝b ，且q ＝1，此时也满足1-b a＝1-a b ． 综上可得1-b a＝1-a b ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列． （1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝nx x n lg lg 11-． 〖解1〗设数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅的公差为d ，则d ＝2lg x －1lg x ＝3lg x －2lg x ＝┅＝1lg +n x －n x lg ＝┅ ＝12lg x x ＝23lg x x ＝┅＝n n x x 1lg +＝┅， ⇒12x x ＝23x x ＝┅＝nn x x 1+＝┅＝d 10． ⎩⎨⎧=-+==-+=md l x x l d m x x l m )1(lg lg )1(lg lg 11 ⇒ d l m )(-＝l －m ， ∵l ≠m ，∴d ＝－1，1x ＝110-+m l ． 得数列{n x }是以110-+m l 为首项，以d 10为公比的等比数列，m l S +＝1011])101(1[101--+-+m l m l ＝)110(91-+m l ． 〖证2〗∵数列{n x }是等比数列，且q ＞0，则2x ＝q x 1，2lg x ＝1lg x ＋q lg ，21lg lg 1x x ＝)lg (lg lg 111q x x +＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -，同理32lg lg 1x x ＝)lg 1lg 1(lg 132x x q -，n n x x lg lg 11-＝)lg 1lg 1(lg 11nn x x q --， ⇒ 原式＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -＋)lg 1lg 1(lg 132x x q -＋┅＋)lg 1lg 1(lg 11n n x x q -- ＝)lg 1lg 1(lg 11n x x q -＝n n x x q x x lg lg lg lg lg 11-＝nx x q x q n x lg lg lg lg lg )1(lg 111--+ ＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．〖解〗y ＝2)1(-x －22m ＋m ＝22y －22m ＋m ，得22y －y －22m ＋m ＝0， ⇒))(122(m y m y --+＝0，得y ＝221m -或y ＝m ． 当221m -≠m ，即m ≠41时，含有两个元素； 当221m -＝m ，即m ＝41时，含有1个元素． ∴集合M ∩N 中含有元素的个数是1或2．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．〖解〗设A 为{1，2，3，┅，n }的子集，且含有元素k （1≤k ≤n ），则对{1，2，3，┅，n }中不等于k 的每个元素i 均有i ∈A 或i ∉A 两种可能，故{1，2，3，┅，n }中含元素k 的子集有12-n 个，所以各个子集中元素之和的总和为)321(21n n +⋅⋅⋅+++-＝)1(22-⋅-n n n ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．〖解〗)1(-x x ≤)1(y y -⇒2)21(-x ＋2)21(-y ≤21． 圆周上的点到原点的最大距离为2，∴min k ＝2．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ． 〖解〗设y ＝|1|x -，则2y ＝∣1－x ∣． 当x ≥1时，设y ＝x k '与y ＝|1|x -＝1-x⇒2)(x k '＝x －1，△＝1－42)(k '＝0，得2)(k '＝41， ∵k ∈（0，21），∴有3个解． 【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．〖分析〗该方程的实根就是曲线y ＝22x a -（半径为a 的上半圆周）与曲线y ＝2－∣x ∣（固定的折线）交点的横坐标．〖解〗（1）当0＜a ＜1（2）当a ＝1时，有两个切点，故方程有2相异的实根；（3）当1＜a ＜2时，有44个相异的实根；（4）当a ＝2时，有3个交点，故方程有3个相异的实根；（5）当a ＞2时，无交点，故方程没有实根．『说明』用数形结合的方法，交点一目了然．高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45 放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下： 应用能力 学习能力探索能力 创造能力 能 力 基本思想和方法基本知识点 知识点的积累、掌握和运用过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim-∞→存在，求nn n a a 1lim -∞→．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列．（1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ．【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
第2节 基本不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。
2024年高考数学复习培优讲义专题2-指对同构(朗博同构)(含解析)
题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x ⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a xx e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．2023新高考1卷T19（2） 同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+.2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是 ．题型一 一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.重点题型·归类精讲2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______湖南省2023届高三下3月考试·16 6．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是 ．7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭福建龙岩九校联考·16 9．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ .湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为 ．浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8 11．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e湖南郴州高二下期末·16 13．函数．若对任意，都有，则实数m 的取值范围为_________．2023湖南邵阳二模·8 14．若不等式()1e 1ln 10txt x x ⎛⎫−−−≥ ⎪⎝⎭对任意[)2e 1,x ∞∈++恒成立，则正实数t 的取值范围是（ ）A. ln2,2e 1∞⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭B. ln21,2e 1∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭C. ln210,2e 1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D. ln2ln21,2e 12e 1+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦15．已知函数ln 0x f xe a ax a a a ，若关于x 的不等式0f x恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．],0(eB ．],0(2eC ．],1[2eD ．),1(2e()()()e1ln R mxf x m x x m =+−−∈0x >()0f x ≥16．关于x 的不等式ln 1axx e xe a x x−≤−−恒成立，则a 的取值范围为 ．2022衡阳市八中高二期末·16 17．已知函数1()(0)a x f x x alnx x a e=++−<，若()0f x 在[2x ∈，)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 2023届郴州三模·1618．设实数0m >，若对任意的21x e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，不等式ln 1mx mx x e e m m mx−≥−恒成立，则实数m 的取值范围为 ．湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14 19．对于任意实数0x >，不等式22e ln ln 0x a x a −+≥恒成立，则a 取值范围是__________.2023·广东惠州·一模T22(2)20．已知函数()2ln f x x a x =−，若函数()(2)e x f x a x x ≥+−恒成立，求实数a 的取值范围．2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22 21．已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x x =. (1)若R a ∈，讨论()f x 的单调性；(2)若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax ⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.2023·广东汕头·一模T2222．已知函数()e ln(2)ln 2x f x a x a =−++−．(1)若函数()f x 在2023x =处取得极值，求a 的值及函数的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．的题型二 二元同构2022届山东聊城一模·823．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（ ） A ．1122n B ．222ln ﹣ C ．1122n −D ．222ln +24．实数x ，y 满足ln ln xe y x y y =+，则2ln xe y x−的最小值为________2022届T8第一次联考·825．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1a ae b blnb ++<，则( ) A ．ab e >B ．1a b e +>C ．ab e <D ．1a b e +<2023茂名市高三一模·1226．(多选)e 是自然对数的底数，,m n ∈R ，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +>河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16 27．若正实数a ，b 满足()1ln ln e a a b a a b −−+≥，则1ab的最小值为 ．28．设11110e ,11ln1.111a b ==，则（ ）A ．1ab a <<B ．1ab b <<C ．1a ab <<D ．1b ab <<题型三 局部同构华大新高考五月押题卷·1229．(多选)已知0λ＞，若关于x 的方程()1ln 0x e x x xλλλ−−+＝存在正零点，则实数λ的值可能为A ．1eB ．12C ．eD ．230．已知函数1ln )(−−=x ae x f x ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2023·广东·海珠区高三2月联考·22 31．已知函数()()1e 02x f x ax a =−≠． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)已知函数()()ln xg x f x x=−有两个零点，求实数a 的取值范围．2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2） 部分同构+放缩 32．设()()e xxf x x =∈R ，若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1） 部分同构33．已知函数()e ln xf x ax a x x =−−，若不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.题型四 同构+切线放缩2023佛山一模T1134．(多选)若正实数x ，y 满足()1e 1ln x x y y −=+，则下列不等式中可能成立的是（ ）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩35．已知函数22ln 1()e x x f x x a x+=−−，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,e 1⎤−∞−⎦B ．(],e −∞C ．(],2−∞D ．(],1−∞2023届湖南四大名校5月“一起考”T736．若当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式2e cos cos lncos 1x x x x x ax −++≥恒成立，则满足条件的a 的最小整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 437．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数()()()()ln 2R ,e 1xf x x ax ag x x x a x =−−∈=−−+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.38．（2023·广东·统考一模）已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值； (2)当0x >时，()()1ln 2f x a x x ≥+++，求实数a 的取值范围.补充练习杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1．已知不等式()ln ln 10,1()xa a a x a a >−>≠对)1,(x ∀∈+∞恒成立，a 的取值范围是________.2023湖北高三九师联盟1月·82．已知a ＞b ＞1，若1a a b e be ae a ++=+，则 A ．ln(a ＋b )＞1B ．ln(a －b )＜0C ．333a b −+<D ．133a b −<湖北名校联合体高三下学期开学考·163．已知关于x 的不等式()1ln 2x e a a ax a −+>−(0)a >恒成立，则实数a 的取值范围为________.4．对0x ∀>，恒有()112ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为________.专题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】[)1+∞， ［方法一］：【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+． 令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−'=−=． 所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减． 所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥． 所以a 的取值范围为1a ≥． ［方法二］:换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+． 于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x xa e −≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e −−−−−−−=='． 当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减． 所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法三］：通性通法1()ln ln x f x ae x a −=−+,11()x f x ae x−'∴=−，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x −'=+> ∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−''∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −'=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a −==−+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++−+≥−+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥． 令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增． 因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥． 下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −=−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立． 因为11()0x T a ea−=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−． 因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立． 当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【解答】易得()f x 在()0,+∞↑，(),0−∞↓；()g x 在()0,1↓，()1,+∞↑只有y b =过()f x 与()g x 交点时，恰有3个不同交点 则有1223()()()()f x f x g x g x b ====，即12122233ln ln x xe x e x x x x x b −=−=−=−= ①∵111122ln ln xxxe x e e x x −==−− ，且1211,xe x <<，∴1212ln xe x x x =⇒= ② 又∵32ln 3332ln ln x x x x ex e x −=−=− ，且3200ln ,x x >>，∴2323ln x x x x e =⇒= ③由①②③可得：()()2132222ln 2xx x e x b x x b x +=+=++−=，证毕2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a x x e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【详解】（1）[方法一]：同构处理 由()0f x ≥得：ln ln 0x x e x x a −++−−≥令ln ,1t x x t −=≥，则()0tf t e t a =+−≥即t a e t ≤+ 令()[),1,tg t e t t =+∈+∞，则()'10tg t e =+>故()tg t e t =+在区间[)1,+∞上是增函数故()()min 11g t g e ==+，即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ [方法二]：常规求导()f x 的定义域为(0,)+∞，则2111()1x f x e x x x ⎛⎫'=−−+ ⎪⎝⎭1111111x x x e e x x x x x ⎛⎫−⎛⎫⎛⎫=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)1f x f e a ≥=+−， 若()0f x ≥,则10e a +−≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ （2）法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证11ln ln 0,(1,)x x e x x xe x x x x −+−−−>∈+∞同构，原不等式变形为：()1ln ln 1ln ln x x xxex x ex x+−++−>+ 令()xg x e x =+，则有1(ln )ln g x x g x x ⎛⎫−>+⎪⎝⎭即证：)1ln ln ,(1,x x x x x−>∈+∞+ 即证1()2ln 0(1,,)h x x x xx =+∈<+∞− ()()222121'()10,1x h x x x x x−−=−−=<>，即()h x 递减，故()(1)0h x h <=，证毕. [方法二]：对数平均不等式由题意得：()ln x xe ef x a x x=+−令1xe t x=>，则()ln f t t t a =+−，()1'10f t t =+>所以()ln g t t t a =+−在()1,+∞上单调递增，故()0g t =只有1个解又因为()ln x xe ef x a x x =+−有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x == 两边取对数得：1122ln ln x x x x −=−，即12121ln ln x x x x −=−()121212*ln ln x x x x x x −<−121x x <，即121x x <()121212*ln ln x x x x x x −<−121211212121222112ln ln ln ln ln x x xx xx x x x x x x x x x x −<⇔−⇔<−不妨设121x t x =>，则只需证12ln t t t <−构造()12ln ,1h t t t t t =−+>，则()22211'110h t t t t ⎛⎫=−−=−−< ⎪⎝⎭故()12ln h t t t t=−+在()1,+∞上单调递减故()()10h t h <=，即12ln t t t<−得证2023新高考1卷T19（2） 同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+. 解：即证：当a ＞0时，232ln 2xae a x a +−>+第一步，指数化，同构变形：()ln 2ln 2332ln ln ln 22a xa x ea x a e a x a a +++−>+⇒−+>−+ 第二步，换元：令ln t a x =+，t ∈R ，有23ln 2te t a a −>−+ 第三步，放缩：1t e t −≥（证明略），即证231ln 2a a >−+第四步，构造函数：令23()ln 2g a a a =−+，1'()2g a a a =−，故()g a 在202⎛⎫↑ ⎪ ⎪⎝⎭，，2,2⎫+∞↓⎪⎢⎪⎣⎭22132()ln ln 1122222g a g ⎛≤=−+=+< ⎝⎭2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是 ．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅−，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增， 所以当时()1,x −∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方 当()12,x x x ∈时，0fx，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，则有0020ln ln x x a a x a a −⋅=−⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=， 因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ()2ln 2e x f x a a x '=⋅−=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==−，则()()2g 2ln 2x x a a e '=−，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x −∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫'=−=−> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11ea <<. [方法三]：同构+放缩（简证） ① 先得出01a << ② ()ln ln 2ln ln ln ln x a xx ae ea a ex ea ex x a a ⋅=⇒⋅=⇒=（ln 0x a >）③ 放缩：xxe e ex e x≥⇒≥()()221ln 11ln 01ln ee a a a ea >⇒<⇒−<<⇒<<题型一 一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1a e≥【简证】()2ln 0f x x x −−≥恒成立等价于()22ln 0xaxe x x −−≥恒成立，即()()ln 2ln 22ln 2ln 0x xx x aee x x ae x x +−+=−+≥，则有ln 22ln x xx xa e++≥令2ln t x x =+，t ∈R ，则有max1t t a e e ⎛⎫≥=⎪⎝⎭（构造函数求导得出最值，过程略） 总结：同构+分参2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可知0a >，且ln e ln e xx a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立，设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分e 1x a ≥和0e 1x a <<两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.重点题型·归类精讲【详解】由题意可知0a >，ln e ln ln e x x a a x x +>，即ln e ln e x x a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立． 设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，因为()21ln xg x x−'=，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x <；当()1,x ∈+∞时，()0g x >． ①在()0,1x ∈上，若e 1x a ≥恒成立，即1a ≥，()()e0xg a g x ≥>；②在()0,1x ∈上，若0e 1x a <<，则e x a x >恒成立，即1e xxa <<恒成立， 令()e x x h x =，()0,1x ∈，则()10ex xh x −'=>，所以()h x 在()0,1上单调递增， 所以()()11e h x h <=，所以11e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12()(1)42ln 4(1)4ax ax f x a e x x x x a e x x ⎛⎫≤+−⇒+−≤+− ⎪⎝⎭，整理，同乘x 得：()2212ln (1)1ln (1)ax axx x a e x x ax e x ⎛⎫+≤+⇒+≤+ ⎪⎝⎭， 比较一下2种构造方式，方式1：令()x g x xe x =+，()'()11xg x x e =++，易错：由洛必达可知（选填时用）——这里用不了错了！()111lim 1lim 0x x x x x x x e e e −−→−∞→−∞+−∞+=====−+∞−−∞，故()'()110()xg x x e g x =++>⇒↑()11'()111x xx xx x e g x x e e e−−−+++=++=+=，令()1xh x e x =−+，易知()h x ≥2恒成立， 故()11()0'()0()xx x e e x h x g x g x −−++=−−++=−>⇒>⇒↑由()2222ln 21ln (1)ln ln axx ax x x ax e x ex axe ax +≤+⇒+≤+，则有2(ln )()g x g ax ≤，由单调性可知22min ln 2ln x x ax a x e⎛⎫≤⇒≥= ⎪⎝⎭参考ln xy x=图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程. 方式2：()ln g x x x x =+总结：（1）求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“∪”（2）先同构再判断单调性. 江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,+∞（2）(,1]−∞（1）解：当时，，，又，单调递增， ··············································· 2分 又，当时，当时，∴的单调递增区间为()1,+∞. ·························································· 4分 1a =()()1ln x f x e e x =−+()xe f x e x'=−()20xef x e x ''=+>()f x '∴()10f '=∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令， 则，在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得， ····················································· 6分 当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由恒成立，得，由得，， ······ 8分 ∴，∴，∴，设，则恒成立，故在上递增，而，∴， 又且函数在上是增函数，故的取值范围为. ···································································· 12分 法2：同法一得，由得，∴ ，，故的取值范围为. ················· 12分方法3：令，则，，则，令，则， ················································ 8分 ∵，∴在上单调递增，当时，显然成立；当时，恒成立，即恒成立，可证（过程略），，，即，，综上，的取值范围为(,1]−∞. ······························································ 12分 ()0f x ≥()ln 0x ae e a x −+≥()ln x a af x e e x e a =−−()a x a x e xe e f x e x x−'=−=()x ag x xe e =−()0x x g x e xe '=+>()x ag x xe e ∴=−()0,+∞()00ag e =−<x →+∞()g x →+∞0x 00x a x e e =0x x <()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x ()()000min ln x a a f x f x e e x e a ∴==−−()0f x ≥()min 0f x ≥00x a x e e =00ln x x a +=()()00000min (2ln )0x xf x f x e x e x x ∴==−+≥0001(2ln )0x x x −+≥000(2ln )10x x x +−≤00012ln 0x x x +−≤1()2ln h x x x x=+−221()10h x x x '=++>()h x (0,)+∞(1)0h =001x <≤00ln x x a +=ln y x x =+(0,1]a (,1]−∞()()000min ln x a af x f x e e x e a ==−−00x a x e e =00ln x x a +=()000min00011ln ln aa a a a a a e f x e x e a e x e a e x a e a x x x ⎛⎫⎛⎫=−−=−−=+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20a a e a e a ≥−−≥()220a e a ∴−≥a (,1]−∞a e t =ln a t =()()ln ln ln x e t t x t tx ≥+=()()()ln ln ln tx xxe tx tx tx e ≥=()(0)xg x xe x =>()()ln()g x g tx ≥()()10x g x x e '=+>()(0)xg x xe x =>()0,+∞()ln 0tx ≤()()ln()g x g tx ≥()ln 0tx >()ln ln ln x tx t x ≥=+ln ln t x x ≤−ln 1x x −≥∴ln 1t ≤∴t e ≤a e e ≤∴1a ≤a方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函数可得， ··········································· 7分 反之，当时，， 又可证（过程略），∴，∴恒成立，故的取值范围为. ···································································· 12分 补充：同构和型+放缩ln (ln )0(ln )ln ln ln x a x a x a x a x e x x e a x e e a x e a x e x x a e −−−+≥⇒≥+⇒−≥+⇒+≥+=+令()x g x e x =+↑，则有()min ()(ln )ln ln 1g x a g x x a x a x x −≥⇒−≥⇒≤−=总结：（1）两次求导+取点（2）法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单 湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______ 【答案】2e[]ln ln (1)lnln (1)1ln ln(1)1ln ln(1)1x x x a x a a x e a e a a x e a x x x e a x e−−−≥⇒≥−−−+⇒≥+−⇒−+−≥−令()x g x e x =+↑，则有()2(ln )ln(1)ln ln(1)ln(1)ln 2ln g x a g x x a x x x a a e a −≥−⇒−≥−⇒−−≥⇒≥⇒≥可放缩补充：构造函数求导令ln(1)()g x x x −−＝，12()111x g x x x '−=−=−− 故g (x )在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此min ()(2)2g x g ==. 因为不等式(1)ln(0)xa x e a a e−≥>恒成立，所以Ina ≤2，即2.a e ≤ 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以()0f x ≥(1)0f ≥a e e a ≥()(0)xg x xe x =>1a ≤1a ≤11x a a x −+≥+−ln 1,1x a x x e x a −≤−≥−+ln x a e a x −≥+()ln x ae e a x ≥+a (,1]−∞湖南省2023届高三下3月考试·166．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是 ． 【答案】1e解析：由ln e ln e ln ln mx mx x m x mx x x e x ≥⇒≥=⋅．令()e x f x x =，则()f x 在()0+∞，上单调递增， 且()()ln f mx f x ≥，所以ln mx x ≥，即ln xm x≥对()0x ∀∈+∞，恒成立． 令()ln xg x x =，则()21ln x g x x−'=，所以当()0e x ∈，时，()0g x '>；当()e x ∈+∞，时，()0g x '<， 故()g x 在[)1+∞，上的最大值是1e ，所以1e m ≥，即实数m 的最小值是1e ．故答案为：1e． 总结：同乘补全结构即可，入门型7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞【答案】A 【法一】：同构ln ln ln ln ln 0ln ln ln ln ln x a x a x x ae x a e e a x e a x x x e x +⇒+−+≥⇒≥+≥=+++构造函数()x g x e x =+，故ln ln ln ln (ln )(ln )a x x e a x e x g a x g x ++≥++≥+⇒ 而'()10x g x e =+>，则ln ln a x x +≥，即()max ln ln a x x ≥−令ln y x x =−，则1x y x '−=，故max 1y =−，则1ln 1a a e≥−⇒≥. 对于ln ln a x x +≥还可以直接分类参数：max1ln ln ln ln ln ln x xx xx a x x a x e a ee e ⎛⎫⎛⎫+≥⇒≥−=⇒≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 总结：需要同加x 才能补全结构 【法二】：整体求导、取点设()x f x ae lnx lna =−+，则0x >，0a >，1()x f x ae x∴'=−， 易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，存在0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x f x ae x '=−=， 即01x ae x =， 两边取对数，可得00lna x lnx +=−，当00x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，000001()()2x min f x f x ae lnx lna x lna x ∴==−+=++， 不等式0x ae lnx lna −+恒成立，∴00120x lna x ++恒成立， ∴12x lna x +−恒成立， 00001122x x x x +⋅=，当且仅当01x =时取等号， 22lna ∴−，即1ae ，故a 的取值范围是1[e，)+∞．湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭方法1：同构要使()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，只需ln ln l =n x x x k x x xe x x e e −−=−−−− 设ln x x t −=，求导可知(],1t ∈−∞−而t k t e =−，求导可知函数t k t e =−在(],1−∞−上单调递增，故1,1k e ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦方法2：分参求导ln xk x x xe −=−−，令()ln xg x x x xe −=−−，则()1'()1111x x x g x e x x x e x e −−⎪=⎛⎫+−=−−− ⎝⎭∵110xx e −> 故()ln x g x x x xe −=−−在(]0,1递增，()1,+∞递减，故max 1()(1)1g x g e==−−，故选B.注：由常见不等式1x e x ≥+得到，即1100xx e x x e−−>⇒>； 或者令11()x x xe e h x e x x x −=−=，221'()x x x e h x e−=，因为0x >,故'()0h x > 方法3：直接求导（可以消掉k ）()()2111'()1xx x x x xxx x e x xe e x x f x x e e xe xe −−−−−=−+=++=，不难得出x x e −在()0,+∞上恒小于0，故()f x 在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上递减，故max 1()(1)1f x f k e ==−−−，当0x →时，()f x →−∞，故()f x 的值域为1,1k e ⎛⎤−∞−−− ⎥⎝⎦，则11101k k e e−−−≥⇒≤−−. 福建龙岩九校联考·169．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】(],1−∞x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立等价于ln(1)1x m x mx x e +−>+−第一步，错位同构：()ln(1)1xm x x mx e +−+>−，第二步，构造对应函数：令()xg x mx e =−，则有[]ln(1)()g x g x +>第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(1)x x <+<，故()g x 在()0,+∞上单调递减 第四步，由单调性求出参数范围：()min'()001xx g x m e x m e=−≤>⇒≤=总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为 ． 【答案】11a e −<≤−解析：易得：()ln()ln()x xx a e a x a x a x e +≤−⇒+++≤+，1a >−即：ln()ln()x a x x a e x e +++≤+，构造函数()xg x x e =+，∴()()()ln g x a g x +≤．易知()g x 在[1,)x ∈+∞为增函数；∴()ln x x a ≥+， 令()()ln h x x x a =−+，()111x a h x x a x a+−'=−=++， 当0a ≥时，()0h x '≥，()h x 在[1,)x ∈+∞为增函数，()()10h x h ≥≥，∴01a e ≤≤−；当10a −<<时，11a −>；[1,1)x a ∈−，()0h x '<；()1x a ∈−+∞，时，()0h x '≥； ∴()()min 110h x h a a =−=−≥，∴11a −<≤，综上：11a e −<≤−． 总结：最后不等式要注意x 取值范围 补充：对于()ln x x a ≥+，也可以分参()()()minln ln ln 1x x x x x a e x a e x a a e x e ≥+⇒≥+⇒≥+⇒≤−=−浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测·811．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e【解答】解：令f （x ）＝e x ﹣aln （ax ），a ＞0，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞． ∴存在唯一x 0＞0，使得﹣＝0，即＝，x 0＝lna ﹣lnx 0，∴x ＝x 0时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）＝+ax 0﹣2alna ＞0，∴2﹣2lna ＞0，解得0＜a ＜e ． 总结：补全结构即可。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第七章§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。
高考数学高考辅导讲义 华师版
高考数学高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点应用能力 学习能力 探索能力创造能力 能 力基本思想和方法 基本知识点 知识点的积累、掌握和运用P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．〖解〗（1）2OP ＝2OM ＋2MP －245cos ⋅⋅MP OM ＝2，⇒ OP ＝2；（2）如图建立直角坐标系y xo '，若点P 在xoy 中的坐标为P （x ，y ），在y xo '中的坐标为P （x '，y '），则x '＝x ＋y 22，y '＝y 22． 在坐标系y xo '中，圆的方程为2x '＋2y '＝1，故在斜坐标系xoy 中，圆的方程为2)22(y x +＋2)22(y ＝1，⇒ 2x ＋xy 2＋2y ＝1． 【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？〖分析〗（1）当b ＝n ＝1时，b ＝1，a ＝1，由c ≥b ，得c ＝1，2，┅．若c ＝1，得正三角形，若c ≥2，a ＋b ＝2，不能组成三角形，故b ＝n ＝1时，只有1个三角形；（2）当b ＝n ＝2时，a ＝2，c ＝2，3，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝2，三角形个数为1个，则1＋2＝3（个）； （3）当b ＝n ＝3时，a ＝3，c ＝3，4，5，三角形个数为3个，a ＝2，c ＝3，4，三角形个数为2个，a ＝1，c ＝3，三角形个数为1个，则1＋2＋3＝6（个）； 〖解〗当b ＝n 时，三角形总数应有1＋2＋3＋┅＋n ＝2)1(+n n （个） 事实上，当b ＝n 时，a 由n 个值，即a ＝1，2，3，┅，n ；对于每一个a 值，若a ＝k （1≤k ≤n ），因为b ≤c ＜a ＋b ，即n ≤c ＜n ＋k ，所以c 的取值刚好有k 个，即c ＝n ，n ＋1，┅，n ＋k －1，故三角形总数为2)1(+n n （个）． 『说明』探求所满足的各种条件，求出在相应的条件下的结论时一种能力．【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．〖分析〗本题直接针对x 来证明本题是很困难的，故针对a 来考虑．〖证〗)(x f ＝)43(24--x x a ＋4x ＋3x －22x ＝)(a ϕ，它是a 的一次式．对（1），要证明对任意a ，有)(x f ＝0，即)(a ϕ＝0，只需证⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--0204323424x x x x x 有实数解，得x ＝－2； 对（2），只需⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--020*******x x x x x ，解得0x ＝2． 变形方程4x －22ax －x ＋2a －a ＝0有且仅有两个实根（可以是重根），求a 的取值范围． 〖解〗4x －22ax －x ＋2a －a ＝0 ⇒ 2a －a x )12(2+＋)(4x x -＝0，即)]1()][([22++---x x a x x a ＝0，当2x ＋x ＋1－a ＝0时，△＝1－)1(4a -＝4a －3，当a ≥43有两个实根，当a ＜43无实根； 当2x －x －a ＝0时，△＝1＋4a ，当a ≥－41有两个实根，当a ＜－41无实根． 故a 的取值范围为－41≤a ＜43．（探索条件） 『说明』要找到问题的解决方法，思维必须开阔、灵活，横的不行，试试竖的；平面上不行，空间中试试；正面思考不行，反面考虑试试．这种多角度、多层次的思维方式称之为“立体思维”．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．〖解〗（1）任取－1＜1x ＜2x ＜1，∴)(1x f －)(2x f ＝2111x x +－2221x x +＝)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--，∵－1＜1x ＜2x ＜1，∴1x －2x ＜0，∣21x x ∣＜1，1－21x x ＞0，得)(1x f －)(2x f ＜0，即)(1x f ＜)(2x f ，∴函数)(x f ＝21xx +在区间（－1，1）内是单调递增函数． （2）当x ≠0时，∣)(x f ∣＝21||x x +≤||2||x x ＝21． ∵)1(f ＝21，)1(-f ＝－21， ∴)1(f 为为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．〖解1〗设1a ，2a ，┅，n a 与1b ，2b ，┅，n b 都是正数，且21a ＋22a ＋┅＋2n a ＝1，21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1， 则11b a ，22b a ，┅，nn b a 中的最小数一定不大于1． 〖证2〗①设r r b a 为n 个分数中的最小数，则r r b a ≤kk b a （k ＝1，2，┅，n ）． ∵k b ≥0，∴k r r b b a ⋅≤k a ，⇒ 22)(k r r b b a ⋅≤2k a （k ＝1，2，┅，n ）， 于是)()(222212n r r b b b b a +⋅⋅⋅++≤21a ＋22a ＋┅＋2n a ，即rr b a ≤1． ②反证法．假设n 个分数中的最小数大于1，则全部分数均大于1． 即11b a ＞1，22b a ＞1，┅， nn b a ＞1，⇒ 1a ＞1b ，2a ＞2b ，┅，n a ＞n b ， 得21a ＞21b ，22a ＞22b ，┅，2n a ＞2n b ，∴21a ＋22a ＋┅＋2n a ＞21b ＋22b ＋┅＋2n b ＝1，与已知矛盾．故n 个分数中的最小数一定不大于1．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．〖证〗设等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }公比为q ．∵0＜1a ＜2a ，∴d ＝2a －1a ＞0，q ＝12b b ＝12a a ＞1． ∵1a ＋d ＝2a ＝2b ＝q a 1，∴d ＝)1(1-q a ．∵q ＞1，∴当n ＞2且n ∈N 时，2-n q ＋3-n q ＋┅＋q ＋1＞n －1，即111---q q n ＞n －1，1-n q －1＞)1)(1(--n q ， ⇒ n b ＝11-⋅n q a ＞)1)(1(1--n q a ＋1a ＝d n )1(-＋1a ＝n a ．∴当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim -∞→存在，求n n n a a 1lim -∞→． 〖解〗设n n n a a 1lim -∞→＝a ，则a ≥0，且)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a ＋1． 而n n a a 1-＋1＝n n n a a a +-1＝n n a a 1+，∴)1(lim 1+-∞→nn n a a ＝a 1， ⇒ a 1＝a ＋1，得a ＝215-．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ． 〖解〗（1）设公差为d （d ≠0），则⎩⎨⎧-=--=-dl n b d l m a )(1)(1 ⇒ 11--b a ＝l n l m --；设公比为q （q ≠1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--l n l m q b q a 11 ⇒ b a lg lg ＝l n l m --＝11--b a ， ∴1-b a ＝1-a b ．（2）若d ＝0，则1＝a ＝b ，且q ＝1，此时也满足1-b a＝1-a b ． 综上可得1-b a＝1-a b ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列． （1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝nx x n lg lg 11-． 〖解1〗设数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅的公差为d ，则d ＝2lg x －1lg x ＝3lg x －2lg x ＝┅＝1lg +n x －n x lg ＝┅ ＝12lg x x ＝23lg x x ＝┅＝nn x x 1lg +＝┅， ⇒12x x ＝23x x ＝┅＝nn x x 1+＝┅＝d 10． ⎩⎨⎧=-+==-+=md l x x l d m x x l m )1(lg lg )1(lg lg 11 ⇒ d l m )(-＝l －m ， ∵l ≠m ，∴d ＝－1，1x ＝110-+m l ． 得数列{n x }是以110-+m l 为首项，以d 10为公比的等比数列，m l S +＝1011])101(1[101--+-+m l m l ＝)110(91-+m l ． 〖证2〗∵数列{n x }是等比数列，且q ＞0，则2x ＝q x 1，2lg x ＝1lg x ＋q lg ，21lg lg 1x x ＝)lg (lg lg 111q x x +＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -，同理32lg lg 1x x ＝)lg 1lg 1(lg 132x x q -，n n x x lg lg 11-＝)lg 1lg 1(lg 11nn x x q --， ⇒ 原式＝)lg 1lg 1(lg 121x x q -＋)lg 1lg 1(lg 132x x q -＋┅＋)lg 1lg 1(lg 11n n x x q -- ＝)lg 1lg 1(lg 11n x x q -＝n n x x q x x lg lg lg lg lg 11-＝nx x q x q n x lg lg lg lg lg )1(lg 111--+ ＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．〖解〗y ＝2)1(-x －22m ＋m ＝22y －22m ＋m ，得22y －y －22m ＋m ＝0， ⇒))(122(m y m y --+＝0，得y ＝221m -或y ＝m ． 当221m -≠m ，即m ≠41时，含有两个元素； 当221m -＝m ，即m ＝41时，含有1个元素． ∴集合M ∩N 中含有元素的个数是1或2．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．〖解〗设A 为{1，2，3，┅，n }的子集，且含有元素k （1≤k ≤n ），则对{1，2，3，┅，n }中不等于k 的每个元素i 均有i ∈A 或i ∉A 两种可能，故{1，2，3，┅，n }中含元素k 的子集有12-n 个，所以各个子集中元素之和的总和为)321(21n n +⋅⋅⋅+++-＝)1(22-⋅-n n n ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．〖解〗)1(-x x ≤)1(y y -⇒2)21(-x ＋2)21(-y ≤21． 圆周上的点到原点的最大距离为2，∴min k ＝2．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ． 〖解〗设y ＝|1|x -，则2y ＝∣1－x ∣． 当x ≥1时，设y ＝x k '与y ＝|1|x -＝1-x⇒2)(x k '＝x －1，△＝1－42)(k '＝0，得2)(k '＝41， ∵k ∈（0，21），∴有3个解． 【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．〖分析〗该方程的实根就是曲线y ＝22x a -（半径为a 的上半圆周）与曲线y ＝2－∣x ∣（固定的折线）交点的横坐标．〖解〗（1）当0＜a ＜1（2）当a ＝1时，有两个切点，故方程有2相异的实根；（3）当1＜a ＜2时，有44个相异的实根；（4）当a ＝2时，有3个交点，故方程有3个相异的实根；（5）当a ＞2时，无交点，故方程没有实根．『说明』用数形结合的方法，交点一目了然．高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数y ＝)(x f 在x ＝22+t 处取得最小值－42t （t ＞0），)1(f ＝0． （1）求y ＝)(x f 的表达式；（2）若任意实数x 都满足等式)()(x g x f ＋x a n ＋n b ＝1+n x（)(x g 为多项式，n ∈N ），试用t 表示n a 和n b ；（3）设圆n C 的方程为2)(n a x -＋2)(n b y -＝1+n x ，圆n C 与1+n C 外切（n ＝1，2，┅），{n r }是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n r ，n S ．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45 放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P 在斜坐标系xoy 中的坐标（x ，y ）定义如下： 应用能力 学习能力探索能力 创造能力 能 力 基本思想和方法基本知识点 知识点的积累、掌握和运用过点P 作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M 、N两点，则x 表示M 点的坐标，y 表示N 点的坐标．（1）设点P 在斜坐标系xoy 中的坐标是P （－2，2），求点P 到原点O 的距离；（2）试求以原点O 为圆心，半径为1的圆在斜坐标系xoy 中的方程．【例2】设a ，b ，c 表示三角形三边的长，均为整数，且a ≤b ≤c ，若b ＝n （正整数），则这样的三角形有几个？【例3】设)(x f ＝4)1(x a +＋3x －2)23(x a +－4a ，证明： （1）对任意实数a ，方程)(x f ＝0都有实根；（2）存在某个0x ，对任意实数a ，恒有)(0x f ≠0．【例4】设函数)(x f ＝21x x +，x ∈R ． （1）试讨论在区间（－1，1）内，)(x f 的单调性；（2）证明)1(f 为)(x f 的极大值，)1(-f 为)(x f 的极小值．【例5】已知命题设1a ，2a 与1b ，2b 都是正数，且21a ＋22a ＝1，21b ＋22b ＝1，则11b a ，22b a 中的最小数一定不大于1． （1）试将上述命题推广到n 个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．【例6】设等差数列{n a }和等比数列{n b }，1a ＝1b ，2a ＝2b ，且0＜1a ＜2a ． 求证：当n ＞2且n ∈N 时，n a ＜n b ．【例7】若数列{n a }满足n a ＝1-n a ＋2-n a （n ＝3，4，┅），且n n n a a 1lim-∞→存在，求nn n a a 1lim -∞→．【例8】若1，a ，b 三个正数，既分别是一个等差数列的第l 项，第m 项，第n 项，又分别是一个等比数列的第l 项，第m 项，第n 项，则a ，b 应满足的关系式是 ．【例9】已知数列1lg x ，2lg x ，┅，n x lg ，┅为等差数列．（1）若m x lg ＝l ，l x lg ＝m ，（l ≠m ），求数列1x ，2x ，┅，n x 的前l ＋m 项的和；（2）求证：21lg lg 1x x ＋32lg lg 1x x ＋┅＋n n x x lg lg 11-＝n x x n lg lg 11-．【例10】设x 、y 、m ∈R ，M ＝{（x ，y ）｜2y ＝x －1}，N ＝{（x ，y ）｜y ＝2x －22m ＋m －2}，则集合M ∩N 中含有元素的个数是 ．【例11】在集合{1，2，3，┅，n }，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为 ．【例12】不等式)1(-x x ≤)1(y y -的解集中x ，y 能使2x ＋2y ≤k 成立时的k 的最小值为 ．【例13】当k ∈（0，21）时，方程|1|x -＝kx 的解的个数是 ．【例14】就正数a 的变化情况，讨论22x a -＝2－∣x ∣的相异实根的个数．。
2024年高考数学复习培优讲义专题15---几何法求二面角,线面角(含解析)
专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。
其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。
方法介绍一、定义法：交线上取点 等腰三角形共底边时作二面角步骤第一步：在交线l上取一点O第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB∠AOB即为二面角，余弦定理求角αβl OAB二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小使用情况：已知其中某个平面的垂线段第二步：过垂直B作l的垂线OB∠AOB即为二面角且△AOB为直角三角形，邻比斜三、作2次交线的垂线作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作OB⊥l连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角四、转换成线面角作二面角步骤第一步：作AO⊥l第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长)连接AB，∠AOB即为二面角△AOB为直角三角形，邻比斜五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理提问：什么时候用？若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角αβlOABαβlOABβαOABCαβlOAB六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶）将cos θ＝边之比∣面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解如图△ABC 在平面α上的投影为△A 1BC ， 则平面α与平面ABC 的夹角余弦值1cos A BCABCθ=△△即cos θ=投影原S S补充：即使交线没有画出来也可以直接用例题：一题多解2023汕头二模T20如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是所在棱上的中点.1C 1CD ABA B 1αBCAA 1D（1）求平面APQ 与平面ABCD 夹角的余弦值 （2）补全截面APQ2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1P C 1DABA B 1P C 1CDABA B 1PC 1DABA B 11．已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．252021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长2．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D −−的大小为45︒，求三棱锥A BCD −的体积.题型一 定义法1．如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC . (2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；2．(湛江期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，点M ，N 分别是PB ，AC 的中点，且MN ⊥A C ． （1）证明：BC ⊥平面PA C ．（2）若PA ＝4，AC ＝BC ＝22，求平面PBC 与平面AMC 夹角的余弦值．(几何法比较简单)3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,2,4A AD AB ∠=︒==，将ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P ，如图2．重点题型·归类精讲(1)证明：平面BCD⊥平面P AD；(2)当二面角D PA B−−的平面角的正切值为6时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．题型二三垂线法4．(佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，12PA AD AB CD===，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值．5．如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，,,224,23BC AD CD AD AD CD BC PB ⊥====∥ （2023广州一模T19）（1） 求证：AD PB ⊥；（2）求平面P AB 与平面ABCD 交角的正弦值.6．如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为2的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =且二面角E BC D −−的大小为60，求三棱锥A BCD −的体积．7．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱111ABCA B C 中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC 是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.(1)求证：111B C A D ⊥；(2)若2AB =且二面角11A BC B −−的余弦值为35，求点A 到侧面11BB C C 的距离.8．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，3BE =.(1)在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由； (2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.题型三 作2次交线的垂线9．在三棱锥S ABC −中,底面△ABC 为等腰直角三角形,90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒. （杭州二模） （1）求证：AC ⊥SB ；（2）若AB ＝2，22SC =，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值．题型四 找交线10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCI )是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥C D ． (1)证明：AB ⊥PB ；(2)若平面PAB ⊥平面PCD ，且102PA =，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． （广东省二模T19）题型五 转换成线线角湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期7月新起点考试11．在直三棱柱111ABC A B C −中，已知侧面11ABB A 为正方形，2BA BC ==，D ，,E F 分别为AC ，BC ，CC 1的中点，BF ⊥B 1D ．(1)证明：平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1；(2)求平面BC 1D 与平面1B DE 夹角的余弦值六、 题型六 投影面积法12．(2022·惠州第一次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知//AB CD ，AD ⊥CD ，BC BP =，CD ＝2AB＝4，△ADP 是等边三角形，E 为DP 的中点．(1)证明：AE ⊥平面PCD ；(2)若2,PA =求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值13．(2022深圳高二期末)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥BC ，且12,2BC CD AB ===取AB 的中点O ，连结OD ，并将△AOD 沿着OD 翻折，翻折后23AC =M ，N 分别是线段AD ，AB 的中点，如图(2)．（1）求证：AC⊥OM.（2）求平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值．专题3-1几何法求二面角，线面角立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。
2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.6 二次函数与幂函数
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
第4节 数列求和--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节数列求和课标解读考向预测1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握数列求和的几种常见方法.数列求和是高考考查的重点知识，预计2025年高考会考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和公式，可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等式等相结合，综合命题，难度适中.必备知识——强基础数列求和的几种常用方法1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式①已知等差数列的第1项和第n 项求前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2；②已知等差数列的第1项和公差求前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，①已知等比数列的第1项和第n 项求前n 项和S n ＝a 1－a n q1－q ；②已知等比数列的第1项和公比求前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q .2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．1．1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.2．12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3．裂项求和常用的变形(1)分式型：1n （n ＋k ）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋1）（n ＋2）＝121n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）等．(2)指数型：2n （2n ＋1－1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1－1，n ＋2n （n ＋1）·2n ＝1n ·2n －1－1（n ＋1）·2n 等．(3)根式型：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )等．(4)对数型：log m a n ＋1a n＝log m a n ＋1－log m a n ，a n >0，m >0且m ≠1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1＋n，则S 9＝2.()(2)1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n.()(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求和．()(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n＝3n－12.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编)数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝1n（n＋1），则S5＝()A．1B．56C．16D．130答案B解析∵a n＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.故选B.(2)(人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编)数列{a n}的通项公式a n＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为()A．－200B．－100C．200D．100答案D解析S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.(3)(人教A选择性必修第二册习题4.3T3改编)若数列{a n}的通项公式a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2答案C解析S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝2（1－2n）1－2＋2×n（n＋1）2－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.故选C.(4)在数列{a n}中，a1＝1，a n a n＋1＝－2，则S100＝________．答案－50解析根据题意，由a1＝1，a1a2＝－2，得a2＝－2，又a2a3＝－2，得a3＝1，a3a4＝－2，得a4＝－2，…，所以{a n}中所有的奇数项均为1，所有的偶数项均为－2，所以S100＝a1＋a2＋…＋a 99＋a 100＝1－2＋…＋1－2＝50×(－1)＝－50.考点探究——提素养考点一拆项分组法求和例1(2023·湖南岳阳统考三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，其公比q ≠－1，a 4＋a 5a 7＋a 8＝127，且S 4＝a 3＋93.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n log 13a n ，n 为奇数，n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)因为{a n }是等比数列，公比q ≠－1，则a 4＝a 1q 3，a 5＝a 1q 4，a 7＝a 1q 6，a 8＝a 1q 7，所以a 4＋a 5a 7＋a 8＝a 1q 3＋a 1q 4a 1q 6＋a 1q 7＝1q 3＝127，解得q ＝3，由S 4＝a 3＋93，可得a 1（1－34）1－3＝9a 1＋93，解得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n .(2)由(1)得b nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数.当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－(1＋3＋…＋n －1)＋(32＋34＋…＋3n )＝－n2·[1＋（n －1）]2＋9（1－9n2）1－9＝98(3n －1)－n 24；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝98(3n ＋1－1)－（n ＋1）24－3n ＋1＝18·3n ＋1－98－（n ＋1）24.综上所述，T nn ＋1－98－（n ＋1）24，n 为奇数，3n －1）－n 24，n 为偶数.【通性通法】拆项分组法求和的常见类型【巩固迁移】1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值为________．答案n 2＋1－12n解析由题意可得，通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋＋122＋123＋…＝n [1＋（2n －1）]2＋21－12＝n 2＋1－12n .考点二并项转化法求和例2在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d，1＋5d ＝12，1＋17d ＝36，1＝2，＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)由(1)，得b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n ·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ，(ⅰ)当n 为偶数时，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝2＋2＋…＋2＝n2×2＝n ；(ⅱ)当n 为奇数时，n －1为偶数，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝S n －1＋b n ＝n －1－2n ＝－n －1.∴Sn ，n 为偶数，n －1，n 为奇数.【通性通法】并项转化法求和【巩固迁移】2．(2024·浙江台州中学质检)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2n ，数列{b n }满足对任意正整数m ≥2均有b m －1＋b m ＋b m ＋1＝1a m 成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前99项和．解(1)因为a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2n ，所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝2(n －1)．两式相减，得na n ＝2，所以a n ＝2n (n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2，也符合上式，所以a n ＝2n .(2)由(1)知1a n ＝n2.因为对任意的正整数m ≥2，均有b m －1＋b m ＋b m ＋1＝1a m ＝m2，故数列{b n }的前99项和b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＋…＋b 97＋b 98＋b 99＝(b 1＋b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6)＋…＋(b 97＋b 98＋b 99)＝1a 2＋1a 5＋…＋1a 98＝22＋52＋…＋982＝825.考点三裂项相消法求和例3(2023·承德模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1S n＝2n .(1)证明：数列{a n }是等差数列；(2)若a 2＋1，a 3＋1，a 5成等比数列．从下面三个条件中选择一个，求数列{b n }的前n 项和T n .①b n ＝na 2n a 2n ＋1；②b n ＝1a n ＋a n ＋1；③b n ＝2n ＋3a n a n ＋12n ＋1.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)证明：因为a n ＋1S n＝2n ，即n (a n ＋1)＝2S n ，当n ＝1时，a 1＋1＝2S 1，解得a 1＝1，当n ≥2时，(n －1)(a n －1＋1)＝2S n －1，所以n (a n ＋1)－(n －1)(a n －1＋1)＝2S n －2S n －1，即n (a n ＋1)－(n －1)(a n －1＋1)＝2a n ，所以(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，当n ＝2时，上述式子恒成立，当n >2时，两边同除以(n －2)(n －1)可得a n n －1－a n －1n －2＝－1（n －1）（n －2）＝1n －1－1n －2，即a n n －1－1n －1＝a n －1n －2－1n －2，，即a n －1n －1＝a 2－1，所以a n －1＝(n －1)(a 2－1)，即a n ＝(n －1)(a 2－1)＋1，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＋1－a n ＝n (a 2－1)＋1－(n －1)(a 2－1)－1＝a 2－1，所以数列{a n }是以1为首项，a 2－1为公差的等差数列．(2)设{a n }的公差为d ，因为a 2＋1，a 3＋1，a 5成等比数列，所以(a 3＋1)2＝a 5(a 2＋1)，即(2＋2d )2＝(1＋4d )(2＋d )，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.若选①b n ＝na 2n a 2n ＋1，则b n ＝n （2n －1）2（2n ＋1）2＝181（2n －1）2－1（2n ＋1）2，所以T n ＝18112－132＋132－152＋…＋1（2n －1）2－1（2n ＋1）2＝181－1（2n ＋1）2.若选②b n ＝1a n ＋a n ＋1，则b n ＝12n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1（2n －1＋2n ＋1）（2n ＋1－2n －1）＝12(2n ＋1－2n －1)，所以T n ＝12(3－1＋5－3＋…＋2n ＋1－2n －1)＝12(2n ＋1－1)．若选③b n ＝2n ＋3a n a n ＋12n ＋1，则b n ＝2n ＋3（2n －1）（2n ＋1）2n ＋1＝1（2n －1）×2n －1（2n ＋1）×2n ＋1，所以T n ＝11×21－13×22＋13×22－15×23＋…＋1（2n －1）×2n －1（2n ＋1）×2n ＋1＝12－1（2n ＋1）×2n ＋1.【通性通法】利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝，1a n a n ＋2＝【巩固迁移】3．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝()A ．25B ．576C ．624D ．625答案C解析a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24，得n ＝624.故选C.4．(2022·新高考Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <2.解(1)1，公差为13的等差数列，所以S n a n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23，故S n ＝n ＋23a n .①当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1.②由①－②可知a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，所以(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1.所以a 2a 1×a3a 2×…×a n －1a n －2×a n a n －1＝31×42×53×…×n n －2×n ＋1n －1＝n （n ＋1）2(n ≥2)，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．(2)证明：因为1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2－2n ＋1＜2.考点四错位相减法求和例4(2023·全国甲卷)已知数列{a n }中，a 2＝1，设S n 为{a n }的前n 项和，2S n ＝na n .(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和T n .解(1)因为2S n ＝na n ，当n ＝1时，2a 1＝a 1，即a 1＝0；当n ＝3时，2(1＋a 3)＝3a 3，即a 3＝2，当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －1，所以2(S n－S n－1)＝na n－(n－1)a n－1，即2a n＝na n－(n－1)a n－1，化简得(n－2)a n＝(n－1)a n－1，当n≥3时，a nn－1＝a n－1n－2＝…＝a32＝1，即a n＝n－1，当n＝1，2时都满足上式，所以a n＝n－1(n∈N*)．(2)因为a n＋12n＝n2n，所以T n＝＋＋＋…＋n，1 2T n＝＋＋…＋(n－＋n＋1，两式相减得12T n＋…－n＋1＝12×11－12－n＋1＝1－，即T n＝2－(2＋n，n∈N*.【通性通法】1．错位相减法求和的适用条件若{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，{b n}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an b n}的前n项和S n.2．错位相减法求和的步骤3．错位相减法求和的注意事项注意在写出S n与qS n的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出点一S n －qS n ，特别是等比数列公比为负数的情形注意点二等式右边由第一项、中间n －1项的和式、最后一项三部分组成注意点三经常把b 2＋b 3＋…＋b n 这n －1项和看成n 项和，把－a n b n ＋1写成＋a n b n ＋1导致错误【巩固迁移】5．(2023·河北示范性高中调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝6，a n ＋1＝2(S n ＋1)．(1)证明{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解(1)因为a n ＋1＝2(S n ＋1)，所以a n ＝2(S n －1＋1)(n ≥2)，故a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)，又a 2＝2(S 1＋1)＝2a 1＋2，故a 1＝2，即a2a 1＝3，因此a n ＋1a n＝3(n ∈N *)．故{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列．因此a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．(2)因为T n ＝2×1＋2×2×3＋2×3×32＋…＋2n ×3n －1，①故3T n ＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2(n －1)×3n －1＋2n ×3n ，②①－②，得－2T n ＝2＋(2×3＋2×32＋…＋2×3n －1)－2n ×3n＝2＋2×3（3n －1－1）3－1－2n ×3n ＝－1＋(1－2n )×3n ，即T n ＝（2n －1）×3n ＋12.考点五倒序相加法求和例5已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝118，2a n ＋1－a n ＝16a n ＋1a n ，b n ＝1a n－16.(1)证明{b n }为等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7.解(1)由2a n ＋1－a n ＝16a n ＋1a n ，可得1a n ＋1＝2a n－16，于是1a n ＋1－16＝即b n ＋1＝2b n ，而b 1＝1a 1－16＝2，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以b n ＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)知a n ＝12n ＋16，所以a n b n ＝2n2n ＋16.因为a k b k ＋a 8－k b 8－k ＝2k 2k ＋16＋28－k 28－k ＋16＝2k －42k －4＋1＋11＋2k －4＝1，所以2(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7)＝(a 1b 1＋a 7b 7)＋(a 2b 2＋a 6b 6)＋…＋(a 7b 7＋a 1b 1)＝7，因此a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a 7b 7＝72.【通性通法】倒序相加法的使用策略策略一将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n 项和公式的推导即用此方法)策略二和对称性有关求和时可用倒序相加，比如函数关于点对称的性质，组合数中C k n ＝C n －kn 的性质【巩固迁移】6．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (1－x )＝1，数列{a n }满足a n ＝f (0)＋…＋f (1)，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝n ＋12解析∵f (x )＋f (1－x )＝1，∴1，又a n ＝f (0)＋…＋f (1)①，∴a n ＝f (1)＋…＋f (0)②，①＋②，得2a n ＝n ＋1，∴a n ＝n ＋12.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.课时作业一、单项选择题1．(2024·黑龙江牡丹江第二次阶段测试)已知等差数列{a n }，a 2＝3，a 5＝6前8项和为()A ．15B ．25C ．35D ．45答案B解析由a 2＝3，a 5＝6可得公差d ＝a 5－a 23＝1，所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n ＋1，因此1a n a n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，8…＝12－110＝25.故选B.2．在数列{a n }中，a n ＝(－1)n －1(4n －3)，前n 项和为S n ，则S 22－S 11为()A ．－85B ．85C ．－65D ．65答案C解析∵S 22＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 21＋a 22＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(81－85)＝(－4)×11＝－44，S 11＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(33－37)＋41＝(－4)×5＋41＝21，∴S 22－S 11＝－44－21＝－65.3．(2023·青岛调研)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a 1＝3，a 2k ＝8a 2k －1，a 2k ＋1＝12a 2k ，k ∈N *，则S 2023＝()A ．42023－1B ．3×22023－3C ．3×41012－9D ．5×41011－2答案C解析∵a 2k ＝8a 2k －1，a 2k ＋1＝12a 2k ，∴a 2k ＋1＝4a 2k －1.又a 1＝3，∴数列{a 2k －1}是首项为3，公比为4的等比数列．∵a 2＝8a 1＝24，a 2k ＋2a 2k ＝a 2k ＋2a 2k ＋1·a 2k ＋1a 2k＝4，∴数列{a 2k }是首项为24，公比为4的等比数列．∴S 2023＝(a 1＋a 3＋…＋a 2023)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2022)＝3（1－41012）1－4＋24（1－41011）1－4＝3×41012－9.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝cosn π3，a 1＝1，则S 2023＝()A ．0B ．12C ．1D ．32答案C解析S 2023＝a 1＋(a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7)＋…＋(a 2021＋a 2022＋a 2023)＝1＋cos2π3＋cos 5π3＋…＋cos 2018π3＋cos 2021π3＝1＋cos 2π3＋1.故选C.5．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则T 20＝()A ．190B ．192C ．180D ．182答案B解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋2＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－(2n －1＋2)＝2n －2n －1＝2n －1，经检验a 1＝4不满足上式，所以a n，n ＝1，n －1，n ≥2.设b n ＝log 2a n ，则b n，n ＝1，－1，n ≥2，所以T 20＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 20＝2＋1＋2＋3＋…＋19＝192.故选B.6．(2024·湖北黄冈调研)已知数列{a n }满足a n ·(－1)n ＋a n ＋2＝2n －1，S 20＝650，则a 23＝()A ．231B ．234C ．279D ．276答案B解析由a n ·(－1)n ＋a n ＋2＝2n －1，S 20＝650可知，当n 为偶数时，a n ＋a n ＋2＝2n －1，当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2n －1，所以S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＋(a 14＋a 16)＋(a 18＋a 20)＝650，即a 1＋(a 1＋1)＋(a 1＋6)＋(a 1＋15)＋(a 1＋28)＋(a 1＋45)＋(a 1＋66)＋(a 1＋91)＋(a 1＋120)＋(a 1＋153)＋3＋11＋19＋27＋35＝650，由此解得a 1＝3，所以a 23＝a 1＋231＝234.故选B.7．(2024·江苏常州高三阶段考试)已知正项数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列．若∑24k ＝11a k ＋a k ＋1＝3，则a 1＝()A ．169B ．916C ．43D ．34答案A解析设正项等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得，d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∵∑24k ＝11a k ＋a k ＋1＝∑24k ＝1a k ＋1－a k（a k ＋1＋a k ）（a k ＋1－a k ）＝∑24k ＝1a k ＋1－a k a k ＋1－a k ＝∑24k ＝11d(a k ＋1－a k )＝1d (a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a 25－a24)＝1d (a25－a 1)＝1d (a 1＋24d －a 1)＝3，即1a 1(5a 1－a 1)＝3，即4a 1＝3a 1，∵a 1>0，∴a1＝169.故选A.8．已知函数fg(x )＝f (x )＋1，若an ＝{a n }的前2022项和为()A．2023B ．2022C ．2021D ．2020答案B 解析由于函数f，则x 即0，所以f (x )＋f (1－x )＝0，所以g (x )＋g (1－x )＝[f (x )＋1]＋[f (1－x )＋1]＝2，所以2(a 1＋a 2＋…＋a 2022)＝2g…＋＝g＋g ＋…＋g2×2022，因此数列{a n }的前2022项和为a 1＋a 2＋…＋a 2022＝2022.故选B.二、多项选择题9．(2024·广东梅州市大埔县高三质检)已知数列{a n }的首项为4，且满足2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0(n ∈N *)，则()A B ．{a n }为递增数列C ．{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1＋4D n 项和T n ＝n 2＋n 2答案BD解析由2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0得a n ＋1n ＋1＝2·a n n ，是以a11＝a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为an n ＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝n ·2n ＋1，显然递增，故B 正确；因为S n＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，2S n ＝1×23＋2×24＋…＋n ×2n ＋2，所以－S n ＝1×22＋23＋…＋2n ＋1－n ×2n ＋2＝22（1－2n ）1－2－n ·2n ＋2，故S n ＝(n －1)·2n ＋2＋4，故C 错误；因为a n 2n ＋1＝n ·2n ＋12n ＋1＝n ，所n 项和T n ＝n （1＋n ）2＝n 2＋n 2，故D 正确．故选BD.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2，则下列结论中正确的是()A ．a n ＝n 2＋n ＋1n （n ＋1）B ．S n ＝n 2＋n －1n ＋1C ．a n ≤32D ．满足S n ≤2024的n 的最大值为2023答案ACD 解析a n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝[n （n ＋1）＋1]2n 2（n ＋1）2＝n 2＋n ＋1n （n ＋1），故A 正确；因为a n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，所以S n ＝n …n ＋1－1n ＋1＝n 2＋2n n ＋1，故B 错误；因为1＋1n （n ＋1）>1＋1（n ＋1）（n ＋2），所以a n >a n ＋1，所以{a n }是递减数列，所以a n ≤a 1＝32，故C正确；因为a n ＝1＋1n －1n ＋1>0，所以S n 递增，且S 2023<2024，S 2024>2024，所以满足S n ≤2024的n 的最大值为2023，故D 正确．故选ACD.三、填空题11.12！＋23！＋34！＋…＋n （n ＋1）！＝________．答案1－1（n ＋1）！解析∵k （k ＋1）！＝k ＋1－1（k ＋1）！＝1k ！－1（k ＋1）！，∴12！＋23！＋34！＋…＋n（n ＋1）！＝1－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！＋1n ！－1（n ＋1）！＝1－1（n ＋1）！.12．已知数列{a n }满足a n ＋2n ＋2，n 为奇数，a n ，n 为偶数，且a 1＝2，a 2＝1，则此数列的前20项和为________．答案1133解析当n 为奇数时，由a n ＋2＝a n ＋2可知，{a n }的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为a 1＝2；当n 为偶数时，由a n ＋2＝2a n 可知，{a n }的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为a 2＝1，故前20项和为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＋10×92×2＋1－2101－2＝110＋1023＝1133.13．(2024·云南曲靖高三月考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2且a 2n ＋1－2a 2n －a n a n ＋1＝0，令b n ＝(n ＋2)a n －257，则数列{b n }的前7项和为________．答案2021解析由a 2n ＋1－2a 2n －a n a n ＋1＝0可得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，因为a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，所以b n ＝2n (n ＋2)－257，令c n ＝2n (n ＋2)，{c n }的前n 项和为T n ，则T 7＝3×21＋4×22＋5×23＋…＋9×27，2T 7＝3×22＋4×23＋5×24＋…＋9×28，两式相减可得，－T 7＝3×21＋22＋23＋…＋27－9×28＝6＋4×（1－26）1－2－9×28＝6＋4×63－9×256＝－2046，所以T 7＝2046，所以数列{b n }的前7项和为T 7－257×7＝2046－25＝2021.14．(2023·湖北重点中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n －S n ＝2，记数列n 项和为T n .若对于任意n ∈N *，不等式k ＞T n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案13，＋解析依题意2a n －S n ＝2，当n ＝1时，a 1＝2，由2a n －1－S n －1＝2，n ≥2，两式相减并化简得a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n ，所以a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝2n（2n ＋1）（2n ＋1＋1）＝12n ＋1－12n ＋1＋1，所以T n …＋＝13－12n ＋1＋1<13，所以实数k 的取值范围是13，＋四、解答题15．(2024·湖北恩施模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1·4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12.由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －1·4na n a n ＋1＝(－1)n －1·4n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1当n 为偶数时，T n…1－12n ＋1＝2n2n ＋1；当n 为奇数时，T n…1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T nn为奇数n 为偶数T n16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝－2S n －1S n (n ≥2)．(1)求a n ；(2)设b n ＝2nS n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)∵a n ＝－2S n －1S n ，∴S n －S n －1＝－2S n －1S n ，∴S n －1－S n ＝2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，∴，且1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1＋2n －2＝2n －1，∴S n ＝12n －1(n ∈N *)，∴当n ≥2时，a n ＝－2（2n －1）（2n －3），又a 1＝1不满足上式，∴a nn ≥2.(2)由(1)可得b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1，两式相减得－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)2n ＋1＝2＋23（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1＝2－8＋2n ＋2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，∴T n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.17．(2024·江西临川一中阶段考试)函数f (x )＝ln x ，其中f (x )＋f (y )＝2，记S n ＝ln x n ＋ln (x n －1y )＋…＋ln (xy n －1)＋ln y n(n ∈N *)，则∑2024i ＝11S i ＝()A ．20242025B ．20252024C ．20254048D ．40482025答案A解析∵f (x )＝ln x ，f (x )＋f (y )＝2，∴f (x )＋f (y )＝ln x ＋ln y ＝ln (xy )＝2.S n ＝ln x n ＋ln (x n －1y )＋…＋ln (xy n －1)＋ln y n ，即S n ＝ln y n ＋ln (xy n －1)＋…＋ln (x n －1y )＋ln x n ，两式相加得，2S n ＝(n ＋1)ln(x n y n )＝n (n ＋1)ln (xy )＝2n (n ＋1)，∴S n ＝n (n ＋1)，∑2024i ＝11S i ＝∑2024i ＝11i （i ＋1）＝∑2024i ＝11－12025＝20242025.故选A.18．(2023·广西玉林统考三模)已知函数f (x )＝e －x －e x ，若函数h (x )＝f (x －4)＋x ，数列{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝44，则h (a 1)＋h (a 2)＋…＋h (a 11)＝________．答案44解析由题意，可得h (x )＝f (x －4)＋x ＝e －(x －4)－e x －4＋x ，设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11a 6＝44，解得a 6＝4，则h (a 6)＝h (4)＝e －(4－4)－e 4－4＋a 6＝a 6＝4，根据等差中项的性质，可得a 1＋a 11＝2a 6＝8，则h (a 1)＋h (a 11)＝e－(a 1－4)－e a 1－4＋a 1＋e－(a11－4)－e a 11－4＋a 11＝1e a 1－4＋1e a 11－4－(e a 1－4＋e a 11－4)＋a 1＋a 11＝e a 1－4＋e a 11－4e a 1＋a 11－8－(e a 1－4＋e a 11－4)＋a 1＋a 11＝a 1＋a 11＝8，同理可得，h (a 2)＋h (a 10)＝8，h (a 3)＋h (a 9)＝8，h (a 4)＋h (a 8)＝8，h (a 5)＋h (a 7)＝8，所以h (a 1)＋h (a 2)＋…＋h (a 11)＝5×8＋4＝44.19．(2023·山西太原二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，满足S 1，S 2，－S 3成等差数列，且a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝－3a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)设数列{a n }的公比为q ，依题意得S 1＋(－S 3)＝2S 2，所以－(a 2＋a 3)＝2(a 1＋a 2)，即－a 1(q ＋q 2)＝2a 1(1＋q )，因为a 1≠0，所以q 2＋3q ＋2＝0，解得q ＝－1或q ＝－2，因为S n ≠0，所以q ＝－2，又因为a 1a 2＝a 3，所以a 21q ＝a 1q 2，即a 1＝q ＝－2，所以a n ＝(－2)n .(2)由题意可得，b n ＝－3（－2）n[（－2）n ＋1][（－2）n ＋1＋1]＝（－2）n ＋1－（－2）n[（－2）n ＋1][（－2）n ＋1＋1]＝1（－2）n ＋1－1（－2）n ＋1＋1，则T n ＝1（－2）1＋1－1（－2）2＋1＋1（－2）2＋1－1（－2）3＋1＋…＋1（－2）n ＋1－1（－2）n ＋1＋1＝－1－1（－2）n ＋1＋1.20．(2024·新疆阿克苏地区质检)已知正整数数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2时，a 2n －1a n ＋1<a n －2025年高考数学复习讲义及练习解析211<a 2n ＋1a n ＋1恒成立．(1)证明数列{a n }是等比数列并求出其通项公式；(2)定义：|x |表示不大于xn 项和为S n ，求|S 1|＋|S 2|＋|S 3|＋…＋|S 2024|的值．解(1)由a 2n －1a n ＋1<a n －1<a 2n ＋1a n ＋1，得a 2n －1<a n －1a n ＋1<a 2n ＋1.因为{a n }是正整数数列，所以a n －1a n ＋1＝a 2n (n ≥2，n ∈N *)，于是{a n }是等比数列．又a 1＝1，a 2＝2，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)因为2n －1a n ＝2n －12n －1，S n ＝120＋321＋522＋…＋2n －12n －1，12S n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，两式相减得，12S n ＝1＋＋122＋123＋…－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以S n ＝6－2n ＋32n －1<6，又S n ＋1－S n ＝2n ＋12n >0，即{S n }为递增数列，S 1＝1，2<S 2＝52<3，3<S 3＝154<4，4<S 4＝378<5，S 5＝8316>5，所以|S 1|＝1，|S 2|＝2，|S 3|＝3，|S 4|＝4，|S n |＝5(n ≥5)，所以|S 1|＋|S 2|＋|S 3|＋…＋|S 2024|＝1＋2＋3＋4＋＝10110.。
老杨数学 高考数学专题讲义
高考数学专题讲义以下是一个可能的高考数学专题讲义案例，供您参考：一、导数及其应用1.导数的概念和性质2.导数的定义、导数的几何意义、导数的运算性质等。
3.导数在解题中的应用4.利用导数研究函数的单调性、极值与最值、曲线的切线方程等。
5.综合题型解析6.导数与其他知识点的结合，如函数、不等式、数列等，以及压轴题的解题思路等。
二、数列与不等式1.数列的概念与性质2.等差数列、等比数列的定义与性质，数列的通项公式和求和公式等。
3.不等式的性质与解法4.不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
5.数列与不等式的综合题型6.数列与不等式的结合题型，如数列求和、不等式证明等。
三、解析几何1.直线与圆2.直线的方程、圆的方程，直线与圆的位置关系等。
3.圆锥曲线4.椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和性质等。
5.解析几何中的最值问题6.利用圆锥曲线的性质求最值等。
四、立体几何1.空间几何体的性质与计算2.空间几何体的表面积、体积的计算等。
3.空间向量及其应用4.空间向量的加法、数乘、向量的模，向量的数量积、向量积等。
5.立体几何中的证明与计算问题6.利用空间向量证明题目，如垂直证明、角度计算等。
五、概率与统计1.概率的基本概念与计算方法2.概率的定义、概率的加法公式、概率的乘法公式等。
3.随机变量的分布及其性质4.离散型随机变量、连续型随机变量的分布及其性质等。
5.统计的基本概念与方法6.总体与样本、统计量及其性质、参数估计和假设检验等。
六、三角函数与解三角形1.三角函数的基本概念与性质2.角度的弧度制、三角函数的定义、三角函数的图象与性质等。
3.三角函数的恒等变换4.同角三角函数的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数等。
5.解三角形6.正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等，以及解三角形的实际应用。
七、平面向量1.平面向量的基本概念与性质2.向量的定义、向量的模、向量的方向、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等。
高考数学总复习全套讲义
高中数学复习讲义第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合用列举法表示．2.设集合，，则．3.已知集合，，则集合_______．4.设全集，集合，，则实数a的值为____8或2___．{0,2}【范例解析】例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B.分析：先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1），或.又，，可得.而或，或借助数轴可得或.【反馈演练】1．设集合，，，则=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合，.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的值.解：（1）由题意知：，，.①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．（3）由，则．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设，若，则.分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设，若，则；真命题；逆命题：设，若，则；假命题；否命题：设，若或，则；假命题；逆否命题：设，若，则或；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程的两实根的符号相同，q：方程的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p 或q ：方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且q ：方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p ：方程的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p ：有的四边形没有外接圆； （5）p ：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” . 解：（1）：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若，则”的逆否命题是__________________. 2．已知命题：，则.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____. 4．命题“若，则”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设，若，则或； （2）设，若，则． 解：（1）逆命题：设，若或，则；真命题； 否命题：设，若，则且；真命题； 逆否命题：设，若且，则；真命题； （2）逆命题：设，若，则；假命题； 否命题：设，若或，则；假命题； 逆否命题：设，若，则或；真命题．第3 课时 充分条件和必要条件若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221a b≤-【考点导读】1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．3.若，则的一个必要不充分条件是．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）是的___________________条件；（2）是的___________________条件；（3）是的___________________条件；（4）是或的___________________条件.分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.【反馈演练】1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分条件．2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的条件．充分不必要3．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：，若是的充分不必要条件，则．若，则，即；若，则解得．综上所述，．2012高中数学复习讲义第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
高考数学一轮复习基础精品讲义
③ 会根据命题中的常用逻辑用语，对集合进行运算和转化.
S 归纳总结
T（Textbook-Based）——同步课堂
体系搭建 一、知识框架
二、知识概念
（一)集合定义
1、集合：我们把要研究的对象称为集合（A）； 集合中的对象称为元素（a）；
2、元素的关系：属于（a∈A）；不属于（ a A ）；
3、集合的分类：有限集；无限集；空集（Φ）； 4、集合的表示方法：列举法；描述法；Venn 法； 5、集合的性质：互异性；确定性；无序性；
1
（二）集合之间的关系
类型
符号语言表述
子集
A B(或 B A)
Venn 图表示
B
A
A(B)ห้องสมุดไป่ตู้
真子集
A B(或 B A)
集合相等
A=B
（三)集合之间的基本运算 1、交集、并集、补集
运算类型
交集
B
A
A=B
并集
补集
符号表示 A B=｛x|xA，且 xB｝ A B={x|xA，或 xB})
12345 ③{ , , , , } ______________________________________________________．
34567
考点四：子集的定义
例 1、设集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}满足 A B，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．｛a｜a ≥2｝ B．｛a｜a≤1｝
（）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2} {1，0，2}
④ ∈{0，1，2} ⑤ ∈{0}
A.5
B.2
C.3
D.4
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题型一：综合法【例1】若110a b<<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b aa b+> Ｄ．a b a b -=-【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( )(A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或【例4】下列四个命题：①若102a <<,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a-1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+ab b a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在①ab b a ≥+222；②2≥+baa b ； 典例分析板块二.直接证明与间接证明③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =⋅cb ca ，则下列各式中，一定正确的是 （ ）A b ac ≥B c ab ≥C a bc ≥D c ab ≤【例8】已知不等式1()()9,a x y xy++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a b >B ．b a >C ．a b =D ．不确定【例10】设M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=u u u r u u u r30BAC ∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积，若1()(,,)2f P x y =，则14x y +的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)43(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ）的大小关系是)43(-f )1(2+-a a f .【例12】设≥++=++>>>cbac b a c b a 111,1,0,0,0则若【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 .【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0120，则a b a ρρρ．)2(-=【例15】定义运算 ()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为_________________．【例16】若c b a >>，*N n ∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。
【例17】已知集合M 是满足下列条件的函数f （x ）的全体：①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的,[0,)s t ∈+∞，都有()()()f s f t f s t +≤+在三个函数)1ln()(,12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x 中，属于集合M 的是 。
【例18】给出下列四个命题：①若0a b >>，则11a b>； ②若0a b >>，则11a b a b->-； ③若0a b >>，则22a b aa b b+>+； ④若0a >，0b >，且21a b +=，则21a b+的最小值为9. 其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）【例19】如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）图【例20】用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .【例21】若0a b c >，，，求证：()()()abc a b c b c a a c b +-+-+-≥．【例22】若a b c +∈R ，，，求证：3()a b ca b ba b c abc ++≥【例23】已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b【例24】证明：已知：0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例25】已知(0,),2πθ∈求2sin cos y θθ=的最大值。
【例26】设0,102=+<<y x a ，求证：81log log 2)(+≤+a a a a y x ．【例27】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．【例28】在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++题型二：分析法【例29】设m n ≠，43x m m n =-，34y n m n =-，则x 与y 的大小关系为（ ）。
（A ）x y >；（B ）x y =； （C ）x y <； （D ）x y ≠【例30】已知1,1,1c a c c b c c >=+=- ）。
(A) a b > (B)a b < (C)a b = (D)a 、b 大小不定【例31】设a 、b 、m 都是正整数，且a ＜b ，则下列不等式中恒不成立的是（ ）。
(A)1a a m b b m +<<+ (B) a a mb b m +≥+ (D) 1a a m b b m +≤≤+ (D) 1b m b a m a+<<+【例32】已知()()()f x y f x f y +=+，且()12f =，则()()()12f f f n ++⋅⋅⋅+不能等于（ ）。
(A)f （1）+2f （1）+…+nf （1） (B)(1)2n n f +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)n （n +1） (D)n （n +1）f （1）【例33】75226--与的大小关系是__________.【例34】在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 。
【例35】设26,37,2-=-==R Q P ，那么P, Q, R 的大小顺序是 。
【例36】有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。
”乙说：“甲、丙都未获奖。
”丙说：“我获奖了。
”丁说：“是乙获奖。
”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是【例37】若a b c ，，是△ABC 的三边长，求证：4442222222()a b c a b b c c a ++<++【例38】△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311。
【例39】用分析法证明：若a>0，则212122-+≥-+aa aa 。
【例40】设 a c bx ax x f )0()(2≠++=若函数)1(+x f 与)(x f 的图象关于轴对称，求证)21(+x f 为偶函数。
【例41】自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，+∈N n ，且1x ＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数c b a ,,. （Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当1x ，c b a ,,满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）【例42】设函数)(sin )(R x x x x f ∈=.（1）证明：Z k x k x f k x f ∈=-+,sin 2)()2(ππ；（2）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明240201)]([x x x f +=.【例43】已知二次函数()c bx ax x f ++=2,（1）若c b a >>且()01=f ,证明:()x f 的图像与x 轴有两个相异交点; （2）证明: 若对1x ,2x , 且12x x <，()()21x f x f ≠,则方程()()()221x f x f x f +=必有一实根在区间 (1x ,2x ) 内;（3）在(1)的条件下,是否存在R m ∈,使()a m f -=成立时,()3+m f 为正数.题型三：反证法【例44】下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 8 9 15x lg b a -2 c a + c a 333-- b a 24- 13++-c b a请将错误的一个改正为lg =【例45】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）( A ) 假设三内角都不大于60°； (B) 假设三内角都大于60°；(C) 假设三内角至多有一个大于60°； (D) 假设三内角至多有两个大于60°。
【例46】已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是（ ）（A ）一定不大于2 （B ）一定不大于22 （C ）一定不小于22 （D ）一定不小于2【例47】否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）至少有三个解 （D ）至少有两个解【例48】设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1c a+的值 ( ) （A ）都大于2 （B ）至少有一个不大于2 （C ）都小于2 （D ）至少有一个不小于2【例49】已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 ( )（A ） a 、b 都与l 相交 （B ） a 、b 中至少一条与l 相交 （C ） a 、b 中至多有一条与l 相交 （D ） a 、b 都与l 相交【例50】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（ ）A 、假设三内角都不大于60度；B 、 假设三内角都大于60度；C 、假设三内角至多有一个大于60度；D 、 假设三内角至多有两个大于60度。