等差数列教案1_数学_必修_北师大版

课 题：3.1 等差数列（一）

教学目的：1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

内容分析：

本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)

教学过程：

一、复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子

1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…

（问：多少天后他的单词量达到3000？）

2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…

（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）

从上面两例中，我们分别得到两个数列

① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，…

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +

，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求其通项公式，

根据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12

d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=

d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=

已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 练习：开始的题目：讲解过程（略）

分析：当0>d ，为递增数列

当0

3.等差中项：如果，在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，

那么A 应满足什么条件？

答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 。

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

4.第二通项公式 ：

由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+=

即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=

n

m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+=

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由35285,81-=-=-==d a

n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a

⑵由4)5(9,51-=---=-=d a

得数列通项公式为：)1(45---=n a n

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则

⎩⎨⎧=+=+311110

411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=32

1d a ∴53)1(1-=-+=n d n a a n

5519120=+=d a a

解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a

∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n

小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=

例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数

解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2）） ])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数 ∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p

注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，… ②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.

③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)