九年级数学几何图形圆的精选练习题

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九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版

九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ，连结EB ，交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ．（2）若DE = ，AB =6，求AE的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点：垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1）求证：∠ADB=∠CDE ：（2）若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3）若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点：圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1）如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2）在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3）在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知，.（1）求证：是等边三角形；（2）求的度数．考点：等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》(一)

决战2021年九年级中考复习数学考点满分专练——几何专题：《圆的综合》（一）1．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．2．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）如图1，已知⊙O的半径为．①求的长；②若D为EB中点，求BC的长．（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．3．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．4．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．6．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．7．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝DK，求证：AK•AO＝KB•AE；（3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想P A，PB，PF的数量关系，并证明．8．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．10．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．参考答案1．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．2．解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DBD＝45°，∵∠CBD＝∠EAD＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）①∵∠EAD＝45°，∴∠EOC＝90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为，∴CE的弧长＝×2×π×＝；②∵D为EB中点，∴ED＝BD，∵AE＝ED，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，∴AE＝2，∴AD＝2，∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，∴△AED∽△BCD，∴BC＝；（3）∵AF：FD＝7：3，∴AF＝AD，过点E作EG⊥AD，∴EG＝AD，∴GF＝AD，∴tan∠EFG＝，∴＝＝，∴FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，∴EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，∴AD＝r，∴AF＝r，∴AC＝AF+FC＝r，∵CD＝BC＝4，∴AC＝4+AD＝4+r，∴r＝4+r，∴r＝．3．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．4．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．5．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．6．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．7．解：（1）证明：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，又∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠B＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，∴∠ACE＝∠B，∵AD＝DK，CD⊥AB，∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，∴∠CAE＝∠BKC，∴△CAE∽△BKC，∴＝，∴AC•KC＝AE•KB，又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，∴△OCA∽△CAK，∴＝，∴AC•KC＝AK•AO，∴AK•AO＝KB•AE；（3）P A2+PF2＝PB2．理由如下：如图，连接AF、BF，∵＝，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，∴∠ECK＝∠EKC，∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴＝＝，∴BC＝2AC，∵点G是BC的中点，∴BC＝2CG＝2GB，∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，∴CP⊥AG，AP＝PG，设AC＝CG＝GB＝x，则AG＝＝x，∴＝＝，又∠PGB＝∠BGA，∴△PGB∽△BGA，∴∠GBP＝∠GAB，∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，∴BP＝BF＝AF，∵在Rt△APF中，P A2+PF2＝AF2，∴P A2+PF2＝PB2．8．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝＝，r2＝AC＝＝2，∴r1＜r2，故答案为：＜．（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，则直线OM的解析式为：y＝﹣x，设M（x，﹣x），∵OM＝OB，∴OM＝＝，∴x2+＝8，解得：x＝﹣或x＝（舍），∴﹣x＝，∴M（﹣，），将M（﹣，）代入y＝x+b得：＝×（﹣）+b，解得：b＝4．当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣x+n，将B（2，2）代入得：2＝﹣×2+n，∴n＝2+，∴直线BN的解析式为：y＝﹣x+2+，设N（m，﹣m+2+），∵BN＝OB，∴＝，∴4﹣4m+m2+﹣+＝8∴m2﹣4m+2＝0，∴m＝2﹣（舍）或m＝2+，∴﹣m+2+＝﹣（2+）+2+＝2﹣，∴N（2+，2﹣），∴将N（2+，2﹣）代入y＝x+b得：2﹣＝（2+）+b，解得：b＝，∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：＜b＜．9．（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，∵＝，∴BE＝CE＝3，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．10．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．。

2021年九年级数学初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。

二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。

三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。

1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。

（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。

2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。

如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。

（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。

全国各地初中(九年级)数学竞赛《几何》真题大全 (附答案)

全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全竞赛专题7 几何一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于AB 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n个不全共线的点，求证：存在一条直线l，它恰通过其中两个点．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A，B，C，D为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A，B，C，D在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之．15．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19．20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．竞赛专题7 几何答案解析一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒【答案】B 【详解】解设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y z k ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =【答案】A 【详解】解因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ，所以4,4k b b k =+=-，于是(4)y kx k =+-．令0y =得4,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭．令0x =得(0,4)B k -．连OP ，得 114122OABOAP OPBSSSOA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 14141(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．显然0k <．令k u =-，则0u >，于是116116442822OABSu u u u⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭．等号成立当且仅当16(0)u u u=>，即4u =，这时4,48k b k =-=-=．故选A ．注：OAB 的面积也可用114(4)22OABk SOA OB k k-=⨯⨯=⨯⨯-算出． 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】作图知与DEF 相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如图所示的三种，故选C ．二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】解由DP x =得10PC x =-．又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+，所以EFBAFPD y SS =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<．故应填550(010)y x x =+<<．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．【答案】1133．【详解】如图，设1O 的半径为8，2O ，3O 的半径为5，切点为A ．由对称性，能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上，且与已知三个圆内切．若设这个圆形纸片的半径为r ，则在12Rt O O A 中22221122(85)512O A OO O A =-=+-=，在2Rt OO A 中，25OO r =-，1112(8)OA O A OO r =-=--，25O A =，于是，由22222OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+，由此解出4011333r ==，即所求圆形纸片的最小半径等于1133．6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．【答案】42π+【详解】如图，所覆盖面积2 114214222ABCS S S ππ=+=⨯⨯+⋅=+半圆．故答案为：42π+．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．【答案】49【详解】解要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ，也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内（图6－1）．作OG AB ⊥于G ，交11A B 于1G 且163cm GG =，所以33336183OG AB ====1118363123OG OG GG =-==而113OG =，所以1132433OA ===，故11124A B OA ==．设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ，则所求概率为22211122224243639S A B p S AB =====．故应填49．三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．【答案】9条，见解析【详解】解法一：设最少要连n 条线段，如图4－3中7个点之间共连有9条线段，其中任意三点间必有两点连有线段，故9n ≤．另一方面，我们证明9n ≥，下面分4种情形讨论：（1）若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线，则依题意1A ，i A ，j A (27)i j ≤<≤中必有2点连线，于是只可能i A 与j A 连有线，即237,,,A A A 这6点中任意两点连有线，图中一共连了65152⨯=条线．（2）若7点中存在一点1A 只连出一条线段，设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，没有连线，则同（1）可知3A ，4A ，5A ，6A ，7A 这5点中任意两点连有线，至少连有54102⨯=条线．（3）若每点出发至少连出2条线，且有一点恰连出2条线．设该点为1A ，它连出的两条线为12A A ，13A A ，则不与1A 相连的4个点每两点连有线，要连4362⨯=条线，而2A 连出的线段至少2条，除21A A 外，至少还有一条，所以此时至少要连6219++=条线．（4）若每点至少连出3条线，则至少要连73102⨯>条线．综上所述，最少要连9条线段．解法二：设7点中从1A 出发所连的线段最少，只有k 条，设它们是121311,,,k A A A A A A +，其余6k -个点126,,,k B B B -都与1A 没有连线，于是对任意2点i B ，j B (16)i j k ≤<≤-，由已知条件知1A ，i B ，j B 中必有2点连有线，而1A 与i B ，1A 与j B 没有连线，故只可能i B 与j B 连有线，即16,,k B B -中每点与其余5k -点连有线，于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+．但上述计数中每条线段计算了2次，故图中所连线段至少为()21210302k k -+=22551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151522⎛⎫⎛⎫≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1569=-=，即至少要连9条线段．另一方面，如图4－3中，7点中连有9条线段时满足题设条件．综上所述，最少要连9条线段．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．【答案】见解析【详解】分析把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分．证明设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<．若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．【答案】见解析【详解】证明如图，以1A 为位似中心，以2:1为相似比作1M 的位似图形M ，则M 仍为凸五边形且1M 在M 内．下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内，例如先证4M 在M 内．设P 是4M 内任意一点，它是1M 内的点Q 经过平移得到的，于是14QP A A ∥，故14A A PQ 为平行四边形，又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点，因Q 和4A 属于1M ，且1M 是凸五边形，故R 属于M ，而111,:2:1A R RP A P A R ==，故P 属于M ．又P 是M ，内任意一点，所以4M 包含在M 之内，同理235,,M M M 都包含在M 内，设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ，则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=．于是，由图形重叠原理知，12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．【答案】见解析【详解】证明：我们称不超过120︒的弧为好弧．不妨设以1A 为端点的好弧最少，并且设它只有1n -条，它们是12131,,,n A A A A A A ，从而以231,,,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条，故以这n 个点为端点的好弧至少有1(1)2n n ⋅-条，除这n 个点外，其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++，从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤．因1i j A A A ，至少有一个内角不超过60︒，故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒，根据1A 的取法，这条弧不能是1i A A 和1j A A ，而只能是j i A A ，即j i A A 是好弧．可见以1221,,,n n A A A ++中任意两点,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧．这样的好弧有1(21)(20)2n n ⋅--条．综上所述知好弧至少有2211213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭条．当10n =或11时，y 取到最小值100，于是结论成立．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．【答案】59 【详解】解我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻，而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤，其中060,060x y ≤≤≤≤．我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻（从中午12点以后算起，以分为单位），于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC ．代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内（图6－2），于是21260240402H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-，故两人能会面的概率为22226040251()6039HOABC S p S -===-=正方形．答：两人能会面的概率等于59． 13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n 个不全共线的点，求证：存在一条直线l ，它恰通过其中两个点．【答案】见解析【详解】证明：平面上只有有限点，过每两点作一直线只有有限点直线，每条直线与不在这条直线上的点（由已知条件知这样的点必存在）配成对，则这样的点只有有限个，每个点线对中都有该点到直线的距离，记这些距离最小的点对为(,)P l ，则l 为所求．实际上，设l 上有不少于3个给定的已知点，则过P 作PA l ⊥于A （如图），则在l 上A 的某一侧（包括A ）必有2个已知点，设为,M N （M 可能与A 重合，连PN ，并M 作MQ PN ⊥于Q ，过A 作AR PN ⊥于R ，则MQ AR AP d ≤<=，这与AP d =最小矛盾，于是结论得证．注本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题．这个貌似简单的问题，当时困扰过不少的数学家，并且这状况持续350年之久，直到1933年，伽莱(T. Callai)给出了一个非常复杂的证明．不久以后，凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明，其证法的关键就是利用极端原理．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A ，B ，C ，D 为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A ，B ，C ，D 在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之． 3 【详解】注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形，覆盖此三角形的圆的半径不小33 （1）A 、B 、C 、D 共线，这时4点在一条长度不超过1的线段内，结论显然成立；（2）A 、B 、C 、D 中有3点（例如A 、B 、C ）构成一个三角形，第4点D 在此三角形内，不妨设60C ∠≥︒，以AB 为弦作圆O ，使AB 所对的弓形弧（含C 的一侧）为60︒，则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点．作此圆直径2AE R =，则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤，即3R ≤，故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 （3）A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点，则A C ∠+∠，B D ∠+∠中必有一个不小于180︒，不妨设180B D ∠+∠≥︒，同（2）可证ABC 的外接圆半径3≤180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上，故A 、B 、C 、D 3 315．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．【答案】见解析【详解】四边形的4个内角中至少有一个90≥︒，不妨设90A ∠≥︒，以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △．若90C ∠≥︒，圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立，若90C ∠>︒，则C 在圆外，圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交，不妨设圆O 与CD 交于E ，于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD ．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）因为对于半径为1的圆，边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧，边长为1的正方形至多盖住90︒的弧，边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧（因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=，而6090120360︒+︒+︒<︒，所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆．（2）如图所示，用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．【答案】见解析【详解】分析与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆，则小圆圆心都在以O 为中心，615-=为半径的圆内．如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ，都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠，那么7112i O O ≤+≤，即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖．由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积．但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅，得到矛盾，于是命题得证．注：本例的证题关键是将外圆缩小，而将里圆扩大，这是解决嵌入问题的一种技巧，即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ，其中1O ，2O ，3O 有公共点1A ，1O ，2O ，4O 有公共点2A ，1O ，3O ，4O 有公共点3A ，2O ，3O ，4O 公共点4A ．（1）若1A ，2A ，3A ，4A 共线（如图顺序），因为1A ，3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点，故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内，又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点，故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点．（2）若1A ，2A ，3A ，4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部（如图）．因为1A ，2A ，3A 都在1O 内，故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖，从而4A 在圆形纸片1O 内，而4A 是圆形纸片2O ，3O ，4O 的公共点，所以4A 是这张圆形纸片的公共点．（3）若1A ，2A ，3A ，4A 是一个凸四边形的4个顶点（如图），同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内，线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点．总之，这4张圆形纸片一定有公共点．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】从给定圆中选出半径最大的圆1O ，其半径为1r ，面积为1S ，则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积()211139M r S π≤=，即1119S M ≥．然后去掉与圆1O 重叠的圆，再从剩下的圆（圆1O 除外）选出半径最大的圆2O ，其半径为2r ，并将与圆2O 有重叠的圆去掉．这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ，2O ，…k O ，它们覆盖的面积为()12121199k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=． 20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设正方形ABCD 的边长为5，先放置一个边长为4的正方形CEFG ，其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点，E 在边CD 上，F 在正方形ABCD 内，G 在边CB 上．连AF ，再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ，其中A 是原正方形的一个顶点，且使D 在射线11D C 上（如图），由勾股定理有：2211D D AD AD =-2211543D C =-=<．故D 在线段11D C 内，且1111431C D D C D D =-=-=．设11B C 与CD 交于H ，则1541DE CD CE DC DH =-=-==<，故E 在线段DH 内，从而E 被正方形111AB C D 覆盖．又11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠，即AF 在1B AD 内，且1224AF DE AB ==，故F 也被正方形111AB C D 覆盖，这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖．同理，梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖，于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖． 21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm 的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析．【解析】【分析】【详解】（1）当30α=︒时，如图a ，过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F ．在Rt CDF △中，20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==<，所以点F 在线段AD 上，20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形．而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=．因为3400038000⎛> ⎝⎭，所以当30α=︒时溶液不会溢出．（2）如图b ，当60α=︒时，过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F ．在Rt CBF △中，30cm 30BC BCF =∠=︒，，10320cm BF =<，所以点F 在线段AB 上，故溶液纵截面为Rt BFC △．因211503cm 2BFC S BC BF =⨯⨯=，容器内溶液量为315032030003cm =，倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<，所以不能实现要求． 22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．【答案】0.879．【解析】【分析】【详解】设自当天零时算起，甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ，则必须024,024x y ≤≤≤≤．我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点，于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上（如下图）．如果轮船不需要等候码头空出，那么当船甲先到时，船乙应迟来1个小时以上，即1y x -≥，即1y x ≥+；当船乙先到时，船甲应迟来2个小时以上，即2x y -≥，即2y x ≤-，即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在直线2y x =-的下方，也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上，故所求概率ADE CFGABCD S S p S +=四边形．而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=，所以211222223231103220.879241152p ⨯⨯+⨯⨯===．答：两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．【答案】14【解析】【分析】【详解】解设其中两条线段的长为,x y ，则第3条线段的长为()a x y -+，于是,x y 的取值范围是0,0,0,0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于2a ，即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标，则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内．而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2222a a a a C D E 为顶点的CDE △内，故所求概率为11222142CDE OAB a a CD DE Sp S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯．答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14． 24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．【答案】见解析【解析】【分析】如图：证明P ，A ，B ，C 四点共圆．可得CBE APC ∠=∠．①，证明C ，E ，B ，H 四点共圆，可得CHE CBE ∠=∠．②，证明C ，H ，F ，P 四点共圆，可得180APC CHF ∠=︒-∠．③，由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒．可得结论；【详解】如图，延长BH 与直线AD 相交于点P ，连接CP ．因为45DAC ∠=︒，BP AC ⊥，所以45BPA ∠=︒．又45BCADAC∠=∠=︒，所以BPA BCA ∠=∠，于是P ，A ，B ，C 四点共圆．所以CBE APC ∠=∠．①连接CE ，由AC 为圆直径，得90CEA CHB ∠=︒=∠，所以C ，E ，B ，H 四点共圆，于是CHE CBE ∠=∠．②连接CF ，由AC 为圆直径，得90CFP CHP ∠=︒=∠，所以C ，H ，F ，P 四点共圆，于是180APC CHF ∠=︒-∠．③由②，①，③，得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠，所以180CHE CHF ∠+∠=︒．所以E ，H ，F 三点共线．【点睛】本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形．。

九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。

【初中数学】人教版九年级上册第3课时几何图形问题(练习题)

人教版九年级上册第3课时几何图形问题(2912)A 知识要点分类练夯实基础1.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A.(30−2x)(40−x)=600B.(30−x)(40−x)=600C.(30−x)(40−2x)=600D.(30−2x)(40−2x)=6002.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为．3.一条长为12cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和等于5cm2，则这两个正方形的边长分别为.4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m).试设计一种砌法，使所砌三面墙的总长度为50m，且矩形花园的面积为300m2.5.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图所示)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为（）A.(x+1)(x+2)=18B.x2−3x+16=0C.(x−1)(x−2)=18D.x2+3x+16=06.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长(AB)35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，若设小道的宽为x米，则种植面积(单位：平方米)为（）A.35×20−35x−20x+2x2B.35×20−35x−2×20xC.(35−2x)(20−x)D.(35−x)(20−2x)7.如图，小明家有一块长1.5m、宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为m.8.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．B 规律方法综合练训练思维9.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，则矩形ABCD的面积是（）A.24cm2B.21cm2C.16cm2D.9cm210.如图，有一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面.积的1780(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价.C 拓广探究创新练提升素养11.已知：如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为xs(x>0).(1) s后，△PBQ的面积为4cm2；(2)几秒后，PQ的长度为5cm？(3)△PBQ的面积能否为7cm2？请说明理由参考答案1.【答案】:D【解析】:设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据题意得：(40−2x)(30−2x)=600．故选：D．2.【答案】:x(x+40)=12005.【答案】:C3.【答案】:1cm，2cm4.【答案】:解：设AB的长为xm，则BC的长为(50−2x)m.根据题意，得x(50−2x)=300，2x2−50x+300=0，解得x1=10，x2=15.当x=10时，50−2x=30>25(不合题意，舍去)；当x=15时，50−2x=20<25(符合题意).答：当AB的长为15m，BC的长为20m时，可使矩形花园的面积为300m2.6.【答案】:C【解析】:依题意，得：(35−2x)(20−x)，故选：C．7.【答案】:0.25【解析】:设花色地毯的宽为xm，那么地毯的面积=(1.5+2x)(1+2x)m2.因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，所以(1.5+2x)(1+2x)=2×1.5×1，即8x2+10x−3=0.解得x1=0.25，x2=−1.5(不合题意，舍去).故花色地毯的宽为0.25m.8.【答案】:设花边的宽度为xm．依题意，得 (2−2x)(1.4−2x)=1.6，解得x 1=1.5(舍去)，x 2=0.2.答：花边的宽度为0.2m【解析】:设花边的宽度为xm ．表示出剩下部分的长与宽，以“剩下部分的面积为1.6m 2”为等量关系列方程求解9.【答案】:C【解析】:设正方形ABEF 的边长为xcm ，正方形ADGH 的边长为ycm ，依题意得x 2+y 2=68,①又2x +2y =20,②因为x 2+y 2=(x +y)2−2xy ，将①②代入得xy =16，即矩形ABCD 的面积是16cm 210(1)【答案】解：设配色条纹的宽度为x 米. 依题意，得2x ×5+2x ×4−4x 2=1780×5×4，解得x 1=174(不符合题意，舍去），x 2=14. 答：配色条纹的宽度为14米.(2)【答案】配色条纹部分的造价为1780×5×4×200=850(元)，其余部分的造价为(1−1780)×5×4×100=1575(元)，所以总造价为850+1575=2425(元).答：地毯的总造价是2425元11(1)【答案】1【解析】:由S △PBQ =12BP ·BQ ，得12(5−x)·2x =4，整理，得x 2−5x +4=0，解得x 1=1，x 2=4.当x =4时，2x =8>7,说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去.所以1s后△PBQ的面积为4cm2.故答案为1.(2)【答案】解：由BP2+BQ2=PQ2，得(5−x)2+(2x)2=52，整理,得x2−2x=0，解得x1=0(不合题意，舍去），x2=2.答：2s后，PQ的长度为5cm.(3)【答案】不能.理由：假设△PBQ的面积为7cm2,则(5−x)·2x=7，由题意，得12整理，得x2−5x+7=0.因为Δ=b2−4ac=(−5)2−4×1×7=25−28=−3<0,所以此方程无实数根,所以△PBQ的面积不能为7cm2.。

2021年九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题：《圆的提高题》(二)

九年级中考复习数学考点提分专练——几何专题《圆的提高题》（二）1．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，求点F到直线AB的距离．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于E，＝．（1）求证：∠BDC＝2∠ADB；（2）若直径BM交AC于点N，AD﹣BN＝2，BC＝8，求⊙O的半径．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）当⊙O半径为1时，①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；②直线y＝x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．5．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝6，CB＝8，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，过点E作MN∥AB分别交CA、CB延长线于M，N．（1）补全图形，并证明MN是⊙O的切线．（2）分别求MN、CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，AC，BE为⊙O上位于AB异侧的两条弦，连接BC，CE，延长AB到点D，使得∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）当AC＝CE时，①求证：BC2＝BEBD；②若BD＝3BE，AC＝2，求⊙O的半径r．8．如图，⊙O与△ABC的AB边相切于点B，与AC、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，BE是⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，AB＝3，求DE的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．10．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．（2）如图2，，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案1．解：∵∠A＝600，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如图1：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，过点O作OH⊥AB，过F作FP⊥OH，FG⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1．②如图2：∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．综上所述，点F到直线AB的距离是﹣1或2﹣．2．（1）证明：如图1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，∵＝．∴DG⊥BC，BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD，∵AC⊥BD，∴∠DEF＝90°，∵∠CPF＝90°，∴∠DEF＝∠CPF，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠EDF＝∠ACB＝∠ADB＝∠CDG，∴∠BDC＝2∠ADB；（2）解：如图2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交⊙O于G，连接CG，BG，由（1）知：∠ADB＝∠BDG＝∠CDG，∴＝，∴∠CBG＝∠BCA，∴BG∥AC，∴∠ONF＝∠OBG，∠OFN＝∠OGB，∵OB＝OG，∴∠OBG＝∠OGB，∴∠ONF＝∠OFN，∴OF＝ON，∵AC⊥BD，∠ADB＝∠FDB，∴∠DAE＝∠AFD，∴AB＝DF，同理得：CF＝CG，∴AD﹣BN，＝DF﹣BN＝OD+OF﹣（OB﹣ON）＝OF+ON＝2，∴OF＝ON＝1，∵CF＝CG，CP⊥FG，∴FP＝PG，设FP＝a，则OB＝OG＝2a+1，FP＝a+1，∵DG⊥BC，且BC＝8，∴BP＝BC＝4，Rt△OBP中，OB2＝OP2+BP2，∴（2a+1）2＝（a+1）2+42，3a2+2a﹣16＝0，（a﹣2）（3a+8）＝0，∴a1＝2，a2＝﹣（舍），∴⊙O的半径OG＝2a+1＝5．3．解：（1）①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为：P2，P3．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y＝x+b经过点E时，b＝1．当直线y＝x+b与大圆相切于K（在第二象限）时，连接OK，由题意B（0，b），A（﹣b，0），∴OB＝b，OA＝b，AB＝＝b，∵OK＝2，ABOK＝OAOB，∴b×2＝bb，解得b＝2，观察图象可知，当1＜b≤2时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当﹣2≤b＜﹣1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的取值范围为1＜b≤2或﹣2≤b＜﹣1．（2）如图3中，不妨设E（m，m），则点E在直线y＝x时，∵m＞0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E（m，m），∴OM＝m，EM＝，∴以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM＝＝，∴∠EOM＝30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON＝∠EOM＝30°，∴∠TOD＝30°，∴OT＝2DT＝4，∴T（0，4），当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O（0，0）时，T（0，﹣2），观察图象可知，当﹣2＜t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．4．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．5．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，又∵点M是弧AC的中点，∴＝，∴+＝+，即：＝，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．6．证明：（1）补全图形如图所示，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴OE⊥AB，又∵MN∥AB，∴OE⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）过点C作CQ⊥MN，垂足为Q，交AB于点P，则CQ⊥AB，在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10∴OE＝PQ＝OA＝OB＝5，由三角形的面积公式得，ACBC＝ABCP，∴6×8＝10CP，∴CP＝4.8，∴CQ＝4.8+5＝9.8，∵AB∥MN，∴△CAB∽△CMN，∴＝，即＝，∴MN＝，连接BE，则BE＝AE，在Rt△ABE中，AE＝BE＝×AB＝5，∵EN是⊙O的切线，∴∠BEN＝∠BCE＝∠ACE，∵ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠EBN＝∠CAB，∴△AEC∽△BNE，∴＝，即＝，∴BN＝，∵∠ACE＝∠ECN，∠CAE＝∠CEN，∴△CAE∽△CEN，∴＝，即＝，解得，CE＝7，又∵∠ACD＝∠ECB，∠CAD＝∠CEB，∴△ACD∽△ECB，∴＝，即＝，解得，CD＝，∴MN＝，CD＝．7．①∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝∠CAB+∠BCE，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CAE＝∠BCD+∠BCE＝∠DCE，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠DCE，∴CD∥AE，∴∠BAE＝∠D，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠D，∵∠CAB和∠CEB是所对的圆周角，∴∠CEB＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAB，∴∠CEB＝∠BCD，∵∠BAE＝∠D，∴△BCE∽△BDC，∴，∴BC2＝BEBD；②如图2，连接OC，AE，设BE＝x（x＞0），∵BD＝3BE，∴BD＝3x，由①知，BC2＝BEB，∴BC＝x，由①知，△BCE∽△BDC，∴，∵CE＝AC＝2，∴，∴CD＝2，在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝r+3x，根据勾股定理得，OC2+CD2＝OD2，∴r2+（2）2＝（r+3x）2，∴3x2+2rx﹣4＝0（Ⅰ），在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴22+（x）2＝（2r）2，∴3x2﹣4r2+4＝0（Ⅱ），（Ⅰ）+（Ⅱ）得，6x2+2rx﹣4r2＝0，∴3x2+rx﹣2r2＝0，∴（3x﹣2r）（x+r）＝0，∵r＞0，x＞0，∴x+r＞0，∴3x﹣2r＝0，∴x＝r，将x＝r代入（Ⅱ）得，3×（r）2﹣4r2+4＝0，∴r＝（舍去负值），即⊙O的半径r为．8．证明：（1）连接OD，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵DE∥OA，∴∠OED＝∠BOA，∠EDO＝∠AOD，又∵OD＝OE＝OB，∴∠OED＝∠ODE，在△ABO和△ADO中，∵OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵∠C＝30°，∠ODC＝90°，∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，又∵OD＝OE，∴△ODE是正三角形，∴OD＝OE＝DE＝OB，在Rt△ABO中，∠AOB＝60°，AB＝3，∴OB＝＝＝，∴DE＝．9．证明：（1）如图，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝45°，∴∠BOC＝2∠DAC＝90°，∴OC⊥BD，又∵CG∥BD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切线；（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，在Rt△BCD中，BC＝CD＝BD＝×＝，∵CG是⊙O的切线；∴∠DCG＝∠DAC＝∠BAC，∠ACG＝∠ABC，又∵∠CDG＝∠ABC，∴△ABC∽△CDG，∴＝，即＝，∴DG＝，由∠ACG＝∠ABC，∠BAC＝∠DAC可得△ABC∽△ACG，∴＝，即＝，解得，AC＝4．10．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），∵D（0，8），∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，当直线MN与小圆相切时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：或．。

圆中相似问题练习题

圆中相似问题练习题在数学中，圆是一种特殊的几何图形，具有许多有趣且重要的性质。

其中之一就是圆的相似性质。

圆的相似性质指的是如果两个或更多的圆有相似的形状，那么它们的周长、面积、半径和直径等也会成比例。

在这篇文章中，我们将探讨几个圆相似问题的练习题。

问题一：两个相似圆的半径比为2:5，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为2x和5x，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为4πx²，第二个圆的面积为25πx²。

因此，它们的面积比为4πx²:25πx²，即为4:25。

问题二：两个相似圆的面积比为25:36，那么它们的半径比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和5r，根据圆的面积公式面积=πr²，可得第一个圆的面积为πr²，第二个圆的面积为25πr²。

因此，它们的面积比为πr²:25πr²，即为1:25。

根据面积比的性质可得，半径比为根号下面积比，即为1:5。

问题三：两个相似圆的周长比为3:4，那么它们的面积比是多少？解析：设两个相似圆的半径分别为r和4r，根据圆的周长公式周长=2πr，可得第一个圆的周长为2πr，第二个圆的周长为8πr。

因此，它们的周长比为2πr:8πr，即为1:4。

由于周长与半径成正比，所以面积比也与半径比相同，即为1:4。

以上是几个典型的圆相似问题的解析。

通过解题可以看出，圆的相似性质可以帮助我们在确定某一性质的情况下，推导出其他性质的比例关系。

这在许多实际问题中非常有用。

例如，在地理学中，我们可以利用相似圆及其性质来计算不同地球上的区域之间的比例关系和相对大小。

除了解题之外，我们还可以进一步扩展圆的相似性质的应用。

例如，在几何构造中，我们可以利用圆的相似性质来设计制作不同大小或形状的圆。

在工程建设中，我们可以利用圆的相似性质来设计物体的结构和比例。

在数学建模中，我们可以利用圆的相似性质来分析和解决实际问题。

2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂径定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

3.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

4.圆周角定理：5.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

6.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

7.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。

圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

8.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。

9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。

青岛版九年级数学上册圆的对称性练习题

3.1 圆的对称性【知识要点】圆的轴对称性和中心对称性以及相关性质.【能力要求】理解圆的对称性及相关性质，体会和理解研究几何图形的各种方法. 【基础练习】一、填空题：1. P 是⊙O 半径上一点，OP = 5, 经过点P 的最短的弦长为24, 则⊙O 的半径为；2.如图3-1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB , 垂足为P ，若AP ∶PB = 1∶4, CD = 8, 则AB 的长为= ；3.如图3-2，⊙O 的半径为25cm ，弦AB = 48cm, OD ⊥AB 于C 交⊙O 于D , 则AD = .二、选择题：1. 下列命题中，假命题是（）A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-3，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD 长为（）A. 252寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸三、解答题：1. 已知：如图3-4，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O 的半径.2. 已知：如图3-5，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB⌒的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.3.1 圆的对称性一、填空题1. 圆是轴对称图形，它有条对称轴，圆又是对称图形，圆心是它的；2. 如图3-6，在⊙O中，如果AB⌒ = CD⌒，那么AB = ，∠AOB =∠，若OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE OF；3. 已知：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 若OC = 43cm，则⊙O直径长为 cm.二、选择题1. 已知：AB⌒、CD⌒是⊙O的两条劣弧，且AB⌒ = 2CD⌒，则弦AB与CD之间的关系为（）A. AB = 2CDB. AB < 2CDC. AB > 2CDD. 不能确定2. 下列说法中，正确的是（）A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 相等的圆心角所对的弦相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的弧相等三、解答题1. 已知：如图3-7，⊙O中，AB⌒ = BC⌒ = CD⌒，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE 的大小，并证明你的结论.2. 如图3-8，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？3. 如图 3-9，已知：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB= CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？3.1 圆的对称性一. 选择题1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）A B.1 C. D.2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）A.2B.3C. 4D. 53. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）A. B. C. D.4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（）A. B. C. 1 D.5. 下列命题中正确的是（）A. 圆只有一条对称轴B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于弦的直径平分这条弦D. 相等的圆心角所对的弧相等6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（）A. AB＞CDB. AB＝CDC. AB＜CDD. 不能确定二. 填空题7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。

【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】

第一章圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。

中考数学复习《圆的弧长和图形面积的计算》练习题含答案

中考数学复习圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．扇形的半径为30 cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A ) A ．20π cm B ．10π c m C ．10 cm D ．20 cm【解析】弧长＝120π×30180＝20π(cm)，故选A.2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长等于( A ) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3【解析】如图，连结OB ，OC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，又OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝2，∴劣弧BC 的长为60π×2180＝2π3.,第2题图) ,第3题图)3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )A ．60π cm 2B ．65π cm 2C ．120π cm 2D ．130π cm 2【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，∴由勾股定理得AB＝13 cm ，∴圆锥的底面周长＝10π cm ，∴几何体的侧面积＝12×10π ×13＝65π (cm 2) .故选B.4．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连结OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( C )A ．π B.32π C ．2π D ．3π【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD ＋∠A ＝180°，由圆周角定理可得∠BOD ＝2∠A ，再由∠BOD ＝∠BCD 可得2∠A ＋∠A ＝180°，所以∠A ＝60°，即可得∠BOD ＝120°，所以BD ︵的长＝120π×3180＝2π；故选C.,第4题图) ,第5题图)5．用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为( A )A ．π－332B ．π－3 3 C.332 D ．π－334【解析】如图，设AB 的中点P ，连结OA ，OP ，AP ，△OAP 的面积是：34×12＝34，扇形OAP 的面积是：S 扇形＝π6，AP 直线和AP 弧面积：S 弓形＝π6－34，阴影面积：3×2S 弓形＝π－332. 二、填空题6．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，求则BC ︵的长为__20π_cm __.(结果保留π)【解析】根据弧长公式l ＝n πr 180可得：弧BC 的长＝n πr 180＝120×π×30180＝20π (cm)．7．120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是__9__．【解析】根据弧长的公式l ＝n πr 180，得到6π＝120πr180，解得r ＝9.8．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__25__．【解析】扇形ABD 的弧长DB ︵＝BC ＋DC ＝10，扇形ABD 的半径为正方形的边长5，∴S扇形ABD ＝12×10×5＝25.9．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．【解析】如图连结OE ，OF ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CD ，∴∠OED ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C ＝60°，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠D ＝120°，∵OA ＝OF ，∴∠A ＝∠OF A ＝60°，∴∠DFO ＝120°，∴∠EOF ＝360°－∠D －∠DFO －∠DEO ＝30°，FE ︵的长＝30π×6180＝π.故答案为π.三、解答题10．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA .求劣弧BC 的长．(结果保留π)解：连结OC ，OB ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO ＝90°，在Rt △ABO 中，OA ＝2，∠OAB ＝30°，∴OB ＝1，∠AOB ＝60°，∵BC ∥OA ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°，又OB＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴劣弧BC 长为60π×1180＝π311．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，3)，(－4，1)，(－2，1)，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是(1，2)，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2.(1)画出△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2；(2)求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所作(2)OA 1＝42＋42＝42，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长＝52＋12＋90π×42180＝26＋22π12．如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB.∵CD ︵＝CE ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.在△AOC 和△BOC 中， ⎩⎨⎧∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∠OCA ＝∠OCB ＝90°，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴OA ＝OB(2)由(1)可得AC ＝BC ＝12AB ＝23，∴在Rt △AOC 中，OC ＝2，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴S △BOC ＝12BC· OC ＝12×23×2＝23，S 扇形EOC ＝60°×π×22360°＝23π，∴S 阴影＝S △BOC －S 扇形EOC ＝23－23π13．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .(1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的，与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°，∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG ，∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG(2)∵AD ＝2，E 是AB 的中点，∴FB ＝BE ＝12AB ＝12×2＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形BAC＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90·π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4。

初三圆的练习题较难

初三圆的练习题较难初三数学中，几何是重点难点，而圆作为几何图形中的重要一员，也是学生们最容易遇到困难的部分之一。

尤其是涉及到圆的练习题，往往会因为其抽象性和复杂性而令人望而却步。

本文将围绕初三圆的练习题中较为难解的问题展开讨论，并提供解决方法供同学们参考。

一、平行线与切线问题在圆的练习题中，有一个常见的难点是平行线与切线问题。

在解答这类问题的时候，一定要善于运用几何知识和技巧。

举个例子，设有一条直线l与圆C相交于A、B两点，以M为圆心的线段MN和直线l相交于点P。

我们需要证明，当PM的长度等于PN的长度时，MN平行于AB。

解题思路：首先，连接线段MA、MB。

由于直径的特性，MA和MB恰好都是圆C的半径。

接着，连接线段PB，并延长直线PB与圆C的交点处形成线段QC，使得线段PB与线段QC相交于点N。

再者，连接线段MC，并延长线段MC与圆C的交点处形成的线段与线段PB相交于点E。

最后，运用等角定理和等边定理，可以得出MN平行于AB。

二、弧长和扇形面积问题另一个较难的问题是弧长和扇形面积的计算。

在解答这类问题时，必须熟练掌握相关的公式和计算方法。

例题：一个圆的半径是8 cm，它的弧长是16π cm，求扇形面积。

解题思路：根据已知条件，弧长为16π cm，可以利用公式s = rθ计算得到θ的值。

公式中，s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的弧度。

根据已知条件，可以得到16π = 8θ，从而得到θ = 2π。

下一步，利用扇形面积的计算公式A = 1/2 r²θ，将已知条件代入公式中进行计算，得到扇形面积的数值。

三、切线长与点到圆心距离的关系问题切线长与点到圆心距离的关系也是初三圆练习题中的难点之一。

解决这类问题的关键在于善于找到相关的几何关系。

举个例子，已知对于圆C上的一点A，有AM ⊥ AC，并且AM = AC，其中AC为圆心C到点A的距离。

现在我们需要证明，AM平分线段BC。

解题思路：首先，连接线段BC并延长，使线段BC与线段AM相交于点D。

《常考题》初中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．下列说法不正确的是（）A ．不在同一直线上的三点确定一个圆B ．90°的圆周角所对的弦是直径C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等3．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10π 4．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70° 5．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139° 6．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若32BE EC =，则AC 是O 的切线D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线7．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（）A ．103B ．83C ．3D ．48．下列命题中，正确的是（）A ．平面上三个点确定一个圆B ．等弧所对的圆周角相等C ．三角形的外心在三角形的外面D ．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线9．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部 10．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒11．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．5312．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°13．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150° 14．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC 且∠BAC=45°，⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，DF 与⊙O 相切，OD 与BE 相交于点H ．下列结论错误的是（）A ．BD=CDB ．四边形DHEF 为矩形C ．2AE DE= D ．BC=2CE 二、填空题16．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．17．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是_________________．（用“>”、“<”、“=”连接）18．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．19．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．20．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．21．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则AOB ∠=_____________________度．22．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且CD=OA ，CD 的延长线交⊙O 于点E ，若∠BOE=54°，则∠C=______．23．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________25．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．26．如图，ABC 内接于半径为10的半圆，AB 为直径，点M 是弧AC 的中点，连结BM 交AC 于点E ，AD 平分∠CAB 交BM 于点D ，∠ADB ＝_____°，当点D 恰好为BM 的中点时，BM 的长为____．三、解答题27．如图，已知O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，且E 是OB 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F .（1）求证：CF AD ⊥；（2）若12AB =，求CD 的长．28．如图：在平面直角坐标系中，直线l 与两坐标轴分别相交，相交于C 、D 两点，且()6,0C ，30OCD ∠=︒，长度为2的线段AB （B 点在A 点右侧）在x 轴上移动，设点A的坐标为()0m ,．发现：（1）当以A 为圆心，AB 为半径的圆与直线l 相切时，求m 的值；应用：（2）当以A 为圆心，AB 为半径的A 与直线l 相交于M 、N 两点，且AMN 是等腰直角三角形，求m 的值．拓展：（3）直线l 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是_________（直接写出答案）．29．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．30．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在A 、B 、C 三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．（1）为建一个公共活动场地P 到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点P ，使得点P 落在△ABC 内部．保留作图痕迹，不要求写作法．（2）如果ACB α∠=，那么APB ∠=______．。

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AA ABC C B 图6l 圆练习题姓名：一、精心选一选(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)1、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2、同一平面内两圆的半径是R 和r ，圆心距是d ，若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含3、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )A ．35° B.70° C ．110° D.140°4、如图2，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围（）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜55、如图3，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E 等于（）A ．42 °B ．28°C ．21°D ．20°图1 图 2 图36、如图4，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是（）A 、2cmB 、4cmC 、6cmD 、8cm7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（）A. 12πB. πC. 2πD. 4π8、已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的半径R ＝2，⊙O 2的半径r ＝1，若半径为4的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2都相切，则满足条件的⊙C 有（）A 、2个B 、4个C 、5个D 、6个9、设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，则直线l 与⊙O 的位置关系为（）A 、相离或相切B 、相切或相交C 、相离或相交D 、无法确定10、如图6,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( ) A B C DE 图4 BA M O · 图5A 、（1225 +23）πB 、（34 +23）πC 、2πD 、3π二、细心填一填(本大题共6小题，每小4分，共计24分)．11、（2006山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是100cm ，长为80cm ，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________2cm 的包装膜（不计接缝，π取3）．12、（2006山西）如图7，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点。

有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。

仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.13、如果圆的内接正六边形的边长为6cm ，则其外接圆的半径为 .14、如图8，已知：在⊙O 中弦AB 、CD 交于点M 、AC 、DB 的延长线交于点N ，则图中相似三角形有______．15、（2006年北京）如图9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .16、（原创）如图10,两条互相垂直的弦将⊙O 分成四部分,相对的两部分面积之和分别记为S 1、S 2,若圆心到两弦的距离分别为2和3,则︱S 1-S 2︱= .图8 图9 图10三、认真算一算、答一答(１７～２3题，每题８分，２４题10分，共计66分).17、（2006年丽水）为了探究三角形的内切圆半径r 与周长L 、面积S 之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别为点D 、E 、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC 的长,填入空格处,并计算出周长L 和面积S.(结果精确到0.1厘米)(2)观察图形,利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r 与L 、S 之间关系,并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?图甲图乙图丙AC BC AB r L S 图甲 0.6 图乙 1.0 A B C D M N OA C P D H FO 18、（2006年成都）如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O交BC 于点D ，交AC 于点G ，连结AD ，并过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．根据以上条件写出三个正确结论（除AB AC AO BO ABC ACB ===，，∠∠外）是：（1）；（2）；（3）．19、（2004年黄冈）如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。

问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？20、（2005年山西）如图是一纸杯,它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径是6cm,下底面直径为4cm,母线长为EF=8cm.求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用π表示) ．21、如图，在△ABC 中，∠BCA =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点P ，Q 是AC 的中点．判断直线PQ与⊙O 的位置关系，并说明理由．22、（2006年黄冈）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED的延长线于点P ．（1）若PC=PF ，求证：AB ⊥ED ；（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？ A B OG E D23、（改编2006年武汉）有这样一道习题：如图1，已知OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，过Q 点作⊙O 的切线交OA 的延长线于R .说明：RP ＝RQ .请探究下列变化：变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点(不与O 、A 重合)，BP 的延长线交⊙O 于Q ，R 是OA 的延长线上一点，且RP ＝RQ . ．说明：RQ 为⊙O 的切线. ．变化二：运动探求. 1．如图2，若OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断)2．如图3，如果P 在OA 的延长线上时，BP 交⊙O 过点Q 作⊙O 的切线交OA 的延长线于R 还成立吗？为什么？3．若OA 所在的直线向上平移且与⊙O 无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？(只需交待判断)24、（2004年深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ．（1）求OA 、OC 的长；（2）求证：DF 为⊙O ′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．O B Q A P 图1 图3 • O A 图4[参考答案]一、选择题1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B二、填空题11．12000 12．第二种 13．6cm 14．4 15．(2,0) 16．24(提示:如图1,由圆的对称性可知, ︱S 1-S 2︱等于e 的面积,即为2×3×4=24)三、解答题17．(1)略 (2)由图表信息猜测,得S=21Lr,并且对一般三角形都成立.连接OA 、OB 、OC,运用面积法证明．18．（1）BD DC =，（2）Rt Rt DEC ADC △∽△，（3）DE 是O 的切线（以及∠BAD=∠BAD ，AD ⊥BC ，弧BD=弧DG 等）．19．设计方案如图2所示，在图3中，易证四边形OAO /C 为正方形，OO /+O /B=25，所以圆形凳面的最大直径为25（2-1）厘米图1 图2 图320．扇形OAB 的圆心角为45°,纸杯的表面积为44π.21．连接OP 、CP ，则∠OPC=∠OCP.由题意知△ACP 是直角三角形,又Q 是AC 的中点,因此QP=QC, ∠QPC=∠QCP.而∠OCP+∠QCP=900,所以∠OPC+∠QPC=900即OP ⊥PQ,PQ 与⊙O 相切.22．（1）略（2）当点D 在劣弧AC 的中点时，才能使AD 2=DE ·DF ．23．变化一、连接OQ ，证明OQ ⊥QR ；变化二（1）、结论成立（2）结论成立，连接OQ ，证明∠B=∠OQB ，则∠P=∠PQR ，所以RQ=PR （3）结论仍然成立24．（1）在矩形OABC 中，设OC=x 则OA= x +2，依题意得 (2)15x x += 解得：123,5x x ==-25x =-（不合题意，舍去） ∴OC=3， OA=5（2）连结O ′D 在矩形OABC 中，OC=AB ，∠OCB=∠ABC=900，CE=BE=52∴ △OCE ≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2在⊙O′中，∵O′O= O′D ∴∠1=∠3∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE，∵DF⊥AE ∴DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线．(3)不同意. 理由如下:①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5∴A H = 4，∴OH =1求得点P1（1，3）同理可得：P4（9，3）②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（ 4，3）因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．。