最简二次根式-PPT课件
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《二次根式的加减运算》PPT课件
步骤：
第一步：把每个二次根式 化为最简二次根式。 第二步：对能合并 的二次根式进行合并。
x2
3分钟
总结：
像 3, 12 , 75 这样的二次根式，化简后 被开方数 相同 我们把它们叫做同类二次根式。
因此对于二次根式的加减运算，
首先是将每个二次Байду номын сангаас式化为最简二次根式 ，
然后 是 将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并 。
1.预习下一节 2.完成《中考考什么》本节的习题
只有登上山顶，才能看到那边的风光。 不要常常觉得自己很不幸，世界上比我们痛苦的人还要多。 多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的看法。 越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 狂妄的人有救，自卑的人没有救。 没有热忱，世间便无进步。 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 在幸运时不与人同享的，在灾难中不会是忠实的友人。——伊索 错误犯过一次，尽可能的不要再犯第二次。 诚实的面对你内心的矛盾和污点，不要欺骗你自己。
二次根式及其化简（课件ppt）
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
（例） 1 a
1 a
a
a
a a
你会做了吗？
新知讲解
【化简】
(1) 50；
(2) 2； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
(2) 2 = 2 = 2× 7 = 1 14; 7 7 7× 7 7
(3) 1 = 3
拓展提高
5.观察下列各式：
2
-
2 5
=
8 5
=
4 5
2
=
2
2 5
3 - 3 = 27 = 9 3 = 3 3
10 10 10
10
猜想 5 - 5 等于多少，并通过计算验证你的猜想。
26
解：
5
-
5 26
=5
5 26
验证： 5- 5 = 125 = 25×5 =5 5
26 26
ห้องสมุดไป่ตู้26
26
中考链接
6.（2019·云南）要使 x +1 有意义，则x的取值范围为( B ）
（2） 25×6 = 25× 6 =5 6 （3） 5 = 5 = 5
9 93
化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
新知讲解
例题中的化简结果 5 6， 5 中，被开方数都不含分母，也不含能开 3
的尽方的因数。
定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或 因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
2.7.1 二次根式及其化简
北师版 八年级上
新知导入
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2， ∠C＝90°，那么AB边的长是多少？ (2)面积为S的正方形的边长是多少？ (3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？ (π取3.14)
（例） 1 a
1 a
a
a
a a
你会做了吗？
新知讲解
【化简】
(1) 50；
(2) 2； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
(2) 2 = 2 = 2× 7 = 1 14; 7 7 7× 7 7
(3) 1 = 3
拓展提高
5.观察下列各式：
2
-
2 5
=
8 5
=
4 5
2
=
2
2 5
3 - 3 = 27 = 9 3 = 3 3
10 10 10
10
猜想 5 - 5 等于多少，并通过计算验证你的猜想。
26
解：
5
-
5 26
=5
5 26
验证： 5- 5 = 125 = 25×5 =5 5
26 26
ห้องสมุดไป่ตู้26
26
中考链接
6.（2019·云南）要使 x +1 有意义，则x的取值范围为( B ）
（2） 25×6 = 25× 6 =5 6 （3） 5 = 5 = 5
9 93
化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
新知讲解
例题中的化简结果 5 6， 5 中，被开方数都不含分母，也不含能开 3
的尽方的因数。
定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或 因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
2.7.1 二次根式及其化简
北师版 八年级上
新知导入
（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2， ∠C＝90°，那么AB边的长是多少？ (2)面积为S的正方形的边长是多少？ (3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？ (π取3.14)
二次根式的化简精选教学PPT课件
她和他讲着小时候的事，说她哥居然会织手套，在她13岁来例假之后曾经去找一个20多岁的女孩子帮她，她一边说一边流眼泪。他看着前方，看着那些喊话的警察，再看着身边讲述的女孩，他忽然感觉尘世是那么美好，但一切已经来不及了。 他拿出手机，递给她：“来，给你哥打个电话吧。”
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .
她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
( 1 ) 72 ；
( 2 ) 8a2b3 .
解 ( 1) 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
( 2 ) 8a2b3
= 2· 22 · a2 · b2 · b = 2ab 2b .
练习
1. 化简下列二次根式：
( 1 ) 24 ； ( 2 ) 28 ； ( 3 ) 32 ； ( 4 ) 54 .
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=
.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
最简二次根式
x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
正解： a
a
aa
原式 （a 1 )2 1 a 1 1 a 1 ，a 1 0
aa
aa
2
a
即a 1 1 1 a 1 2 a,当a 1 时，原式 4 - 1 3 1
aaa aa
2
22
6
2．二次根式的化简 目 的：二次根式的化简，就是要将二次根式的被开方数中能开得尽方的 因数或因式从根号中开出来． 注 意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来； (2)被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件(被开方数是非负 数)，二要考虑整个式子的值的符号.
例1：下列二次根式中，哪些是最简二
1
(3) y
x2 2xy y2 (x y)
(4) a a
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
× × 12 （1）
（2） 45a2b
√ （3） 30x
× （4）
xy
x3
× （5） 4 （11）
2
√ （6） 5m m2 9
× （7） 25m4 225m2
1.化简下列各式： (1) 250a3b(b 0);
1x x x
x
分析：本题重点考察
正解：由-x3≥0,得x≤0,
又x为分母不为0，
∴x＜0
原式 1 x x2 x
1 x x2 x
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
正解： a
a
aa
原式 （a 1 )2 1 a 1 1 a 1 ，a 1 0
aa
aa
2
a
即a 1 1 1 a 1 2 a,当a 1 时，原式 4 - 1 3 1
aaa aa
2
22
6
2．二次根式的化简 目 的：二次根式的化简，就是要将二次根式的被开方数中能开得尽方的 因数或因式从根号中开出来． 注 意：(1)数的开方，关键是将开得尽方的因数从根号中开出来； (2)被开方数如果含有字母，一要考虑二次根式的隐含条件(被开方数是非负 数)，二要考虑整个式子的值的符号.
例1：下列二次根式中，哪些是最简二
1
(3) y
x2 2xy y2 (x y)
(4) a a
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
× × 12 （1）
（2） 45a2b
√ （3） 30x
× （4）
xy
x3
× （5） 4 （11）
2
√ （6） 5m m2 9
× （7） 25m4 225m2
1.化简下列各式： (1) 250a3b(b 0);
1x x x
x
分析：本题重点考察
正解：由-x3≥0,得x≤0,
又x为分母不为0，
∴x＜0
原式 1 x x2 x
1 x x2 x
最简二次根式
最简二次根式
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
二次根式的除法PPT课件(华师大版)
3．计算或化简：
(1) 122＝__6__；
(2) 16＝__6_6_；
(3) 90÷ 10＝__3__； (4) 18＝__42__． 4．把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1) 32；(2) 40；(3) 1.5；(4)
4 3.
解：(1)原式＝ 16×2＝4 2； (2)原式＝ 4×10＝2 10； (3)原式＝ 32＝ 32× ×22＝ 26；
6．[2019 春·鱼台县期末]计算：
(1) 12×34÷3 2；
1 (2)2
3÷
112× 27.
3
6
解：(1)原式＝2 3×4÷3 2＝ 4 ；
31 (2)原式＝ 2 ÷2 3×3 3＝9 3.
7．设长方形的面积是 S，相邻两边的长分别是 a、b. (1)若 S＝16 cm2，a＝ 6 cm，求 b； (2)若 S＝ 72 cm2，b＝ 50 cm，求 a. 解：(1)根据题意，得 b＝Sa＝ 166＝8 3 6(cm)； (2)根据题意，得 a＝Sb＝ 7520＝65(cm)．
2．商的算术平方根
法 则：商的算术平方根等于 算术平方根的商 ．
公
式：
ab＝
a
b (a≥0，b>0)
．
注 意：(1)法则成立的条件： a≥0，b>0 ；
(2)商的算术平方根，结果要化简．
3．最简二次根式 定 义：被开方数中 不含分母 ，并且被开方数中所有因式的幂的指数
都小于2 ，像这样的二次根式称为最简二次根式．
归类探究
类型之一 利用二次根式的除法法则计算
计算下列各题：
(1) 72÷3 2；
解：原式＝ 3
722＝13
(2)9
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
最简二次根式
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
看下面问题： 已知： ＝1.732，如何求出 的近似值? 解法1： 解法2： 比较两种解法，解法1很繁， 解法2较简便，比较说明，将 二次根式化简，有时会带来方 便．
上次更新: 2023年2月9日星期四
最简二次根式 满足下列条件的二次根式， 定义 叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数， 因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得 尽方的因数或因式．
说明： 判断一个二次根式是否为最简二
次根式主要方法是根据最简二次 根式的定义进行，或直观地观察 被开方数的每一个因数(或因式)的 指数都小于根指数2，且被开方数 中不含有分母，被开方数是多项 式时要先因式分解后再观察。
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
例题１ 下列二次根式中哪些是最简 二次根式？哪些不是？为什 么？
分析：
判断一个二次根式是不是最 简二次根式的方法，就是逐 个检查定义中的两个条件是 否同时满足，同时满足两个 条件的就是，否则就不是．
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
练习１ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
答案： 最简二次根式有
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
例题２ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
看下面问题： 已知： ＝1.732，如何求出 的近似值? 解法1： 解法2： 比较两种解法，解法1很繁， 解法2较简便，比较说明，将 二次根式化简，有时会带来方 便．
上次更新: 2023年2月9日星期四
最简二次根式 满足下列条件的二次根式， 定义 叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数， 因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得 尽方的因数或因式．
说明： 判断一个二次根式是否为最简二
次根式主要方法是根据最简二次 根式的定义进行，或直观地观察 被开方数的每一个因数(或因式)的 指数都小于根指数2，且被开方数 中不含有分母，被开方数是多项 式时要先因式分解后再观察。
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
例题１ 下列二次根式中哪些是最简 二次根式？哪些不是？为什 么？
分析：
判断一个二次根式是不是最 简二次根式的方法，就是逐 个检查定义中的两个条件是 否同时满足，同时满足两个 条件的就是，否则就不是．
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
练习１ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
答案： 最简二次根式有
第十一章二次根式
问题
最简二次根式定义 例题１ 练习１ 例题２ 练习２
小结
第四节最简二次根式
最简二次根式
例题２ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
二次根式的性质(第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式)
的算术平方根.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简，化去根号
内的分母.
例1
化简：
（1）
解：（1）
3
25
；（2）
3
3
3
= .
5
25
25
（2）
=
45
.
169
45
45
9×5 3 5
=
= 2= .
169
169
13
13
议一议
如何化去
根号内的分母？
1
可以先利用分式的基本性质将 的分子与分母同乘2
2
，使分母成为完全平方数，再利用商的算术平方根
A． 7
B． C．
D．
3
1
2
2
）
3.化简:
解:
3
（1）
;
100
75
（2）
;
27
3
3
3
（1）
=
=
.
100
100 10
75
（2）
=
27
补充解法：
52 × 3
52 5
=
= .
2
2
3 ×3
3
3
5 3 5
75
75
=
= .
=
27
3 3 3
27
81
(3)
>0 ;
2
25
还有其他解法
吗?
81
(3)
>0 ;
2
2 二次根式的性质
第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式
学习目标
1．理解商的算术平方根的性质. （重点）
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简，化去根号
内的分母.
例1
化简：
（1）
解：（1）
3
25
；（2）
3
3
3
= .
5
25
25
（2）
=
45
.
169
45
45
9×5 3 5
=
= 2= .
169
169
13
13
议一议
如何化去
根号内的分母？
1
可以先利用分式的基本性质将 的分子与分母同乘2
2
，使分母成为完全平方数，再利用商的算术平方根
A． 7
B． C．
D．
3
1
2
2
）
3.化简:
解:
3
（1）
;
100
75
（2）
;
27
3
3
3
（1）
=
=
.
100
100 10
75
（2）
=
27
补充解法：
52 × 3
52 5
=
= .
2
2
3 ×3
3
3
5 3 5
75
75
=
= .
=
27
3 3 3
27
81
(3)
>0 ;
2
25
还有其他解法
吗?
81
(3)
>0 ;
2
2 二次根式的性质
第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式
学习目标
1．理解商的算术平方根的性质. （重点）
第1部分 第1章 第4节 二次根式
二次根式及相关概念(2013.11) 1．二次根式 形如 a(a①≥0 )的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
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