考研数学试题及参考答案数学一
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020年考研数学一真题及答案解析
（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
考研数学一真题及答案解析(完整版)
2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔 〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔 〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕TA 与TB 相似 〔B 〕1A -与1B -相似 〔C 〕TA A +与TB B +相似 〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔 〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加 〔B 〕p 随着σ的增加而增加 〔C 〕p 随着μ的增加而减少 〔D 〕p 随着σ的增加而减少 〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： 〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
(1987-2016)历年考研数学一真题及答案
ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.（本题满分 10 分）
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
2
设矩阵 A = 2 a 1 , B = 1
2 a ,
−1 1 a
−a − 1 −2
当 a 为何值时, 方程 AX = B 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时, 求此方程.
1 −1 −1 2 2
1 −1 −1 2
2
解 (A | B) = 2 a 1
1
a → 0 a + 2 3 −3 a − 4
(3)
由 (1) 式知, 当 n → ∞ 时, xn+1 − xn → 0, 即 F (xn) → 0. 结合 (2) (3) 式知 xn → ξ. 即 lim xn ∈ (1, 2) ⊂ (0, 2).
n→∞
数学（一） 试题及解答 · 第 4 页（共 7 页）
20.（本题满分 11 分）
1 −1 −1
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
数学1考研试题及答案
数学1考研试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是（）。
A. c≥0B. c≥4C. c≤0D. c≤4答案：B2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9xD. x^3-3答案：A3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A|的值为（）。
A. 2B. -2C. 6D. -6答案：C5. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。
A. 63B. 56C. 49D. 84答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。
答案：17. 设等差数列{a_n}的公差为d=3，若a_3=12，则a_1的值为。
答案：38. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。
答案：19. 设矩阵B = [1 0; 0 2]，则B^2的值为。
答案：[1 0; 0 4]10. 已知函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g'(x)的值。
答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共60分）11. 证明：若x>0，则x^2>2x。
证明：因为x>0，所以x-1>-1，所以(x-1)^2>0，即x^2-2x+1>0，所以x^2>2x。
12. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数。
解：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3×1^2-3=0。
13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
解：∫(0,2) (x^2-4x+4) dx = [1/3x^3-2x^2+4x](0,2) = (1/3×2^3-2×2^2+4×2) - (0) = 8/3。
考研数学一真题及答案解析参考
考研数学⼀真题及答案解析参考2019年考研数学⼀真题⼀、选择题，1~8⼩题，每⼩题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶⽆穷⼩，则=k . . ..2.设函数>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，⾮极值点.D.不可导点，⾮极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u . 4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平⾯（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32y x y -.B.321yx y -. C.yx 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则⼆次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+. C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所⽰，有3张平⾯两两相交，交线相互平⾏，它们的⽅程组成的线性⽅程组的系数矩阵和增⼴矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独⽴，且都服从正态分布),(2σµN ，则{}1<-Y X P A.与µ⽆关，⽽与2σ有关. B.与µ有关，⽽与2σ⽆关.C.与2,σµ都有关.D.与2,σµ都⽆关.⼆、填空题：9~14⼩题，每⼩题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx +11=. 10. 微分⽅程02'22=--y y y 满⾜条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲⾯)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z--2244=.13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性⽆关，且2132ααα+-=，则线性⽅程组0=x A 的通解为.14. 设随机变量X 的概率密度为<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（. 三、解答题：15~23⼩题，共94分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分⽅程2'2x e xy y -=+满⾜条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的⽅向导数中，沿⽅向j i l 43--=的⽅向导数最⼤，最⼤值为10.（1）求b a ,；（2）求曲⾯222by ax z ++=（0≥z ）的⾯积. 17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x 与x 轴之间图形的⾯积. 18.设dx x x a n n ?-=1 021，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥⾯())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平⾯0=z 围成的锥体，求Ω的形⼼坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的⼀个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的⼀个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵----=20022122x A 与-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独⽴，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独⽴?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为其中µ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来⾃总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最⼤似然估计量2019年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学试题解析（数学⼀）9.yxx y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14. 解：（1）)()()(2 222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+??=---?，⼜0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，22222122132121)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(2 3---e ，)3,3(23-e .15. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，⼜()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ??≤+??+??+=22222)()(1=dxdy y x y x ??≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ??≤+++22222441=ρρρθπd d ??2241=20232)41(12 12ρπ+?= .313π19.由对称性，2,0==y x ，--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--??dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????，解得322a b c =??=??=-?.（2）()23111111=331011231001ααβ→-，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的⼀个基.则()()1231231101=0121002P ααβααα-??=-??，，，，. 21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3 2x y =??=-?（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α?? ?- ? ；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -??=Λ=-??-. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ?? ? ?；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ；3=2λ-，30=01ξ??. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -??=Λ=-??-. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --??==--. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从⽽当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0z zpez f z p e z -. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，⼜()()1,12D X E Y p ==-，从⽽当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从⽽不独⽴；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤???==- ?⽽12112P X e -??≤=-，121111112222222P Z P X P X e -≤=≤+≥-=-?????? ?????????，显然1111,2222P X Z P X P Z≤≤≠≤≤，即,X Z 不独⽴.从⽽,X Z 不独⽴.23.解：（I ）由()2221x Aedx µσµσ--+∞=?t =201t e dt +∞-==?，从⽽A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x µσµσσ=--?∑≥= ?=? L L 其他，当,1,2,,i x i nµ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σµσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d µσσσ==-+-=∑，解得2σ的最⼤似然估计量为()211n ii x n µ=-∑.。
2024年考研数学一真题及解析
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。
考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020考研数学一真题及答案解析
（2） 证明随机变量 Y 服从标准正态分布。
【详解】（Ⅰ）
F x, y PX1 x,Y y
综上所述,最终 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
g
y1,
y2
ay12
4x1x2
6 y22
,其中
ab. (1) 求 a , b 的值
(2) 求正交变换矩阵 Q
【详解】（Ⅰ）设
f
xT
2 4
1 0
2
0
,故2
2,1T
;
P2
1
2
2
1
;
4
综上所述，
Q
P1P2 1
5 3
5
3 5
4 5
.
（21）（本题满分 11 分）
设 A 为 2 阶矩阵, P , A ,其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(1)证明 P 为可逆矩阵.
(2)若 A2 A 6 0 ,求 P1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 【详解】（Ⅰ） 不是特征向量且 0 ，则 A k ，即 A , 线性无关，
（C） 0
．
x ln(1 t3 )dt
（B） 0
1cos x sin3 tdt
（D） 0
【答案】（D）．
（2）设函数
f
(x)
在区间 (1,1)
lim
有定义，且 x0
f
(x)
0
，则（）
lim f (x) 0
x0 x
（A）当
2020考研数学一真题及答案-2020数学原题
2020考研数学一真题及答案一、选择题（1）当 x 0 时，下列无穷小量最高阶是（A ） 0x e t 21 d t .（B ） 0x ln 1 dt.t 3（C ） 0sin x sin t 2 dt .（D ） 01 cos x dt.sin t 2（1）【答案】（D ）.【解析】因为 lim0x e t 21 dt lim e x 21 lim x 21 , x 3 3x 2 3x 0 + x0 +3 x 2 x 0+故 x 0 时， 0x e t 21 dt 是 x 的 3 阶无穷小；0x ln 1 dt ln 1t 3 x 3因为lim lim lim x 32 ,x 0 + 5 x 0 + 5 3x 0+ 5 3 5x 2 x 2 x222故 x 0 时， 0x ln 1 t 3 dt 是 x 的 52 阶无穷小；因为 limsin x sin t 2 dt lim sin sin x 2 cos x lim sin 2 x limx 3 3 x 2x 0 + x 0 + x 0 + 3 x 2 x 0+故 x 0 时， 0sin x sin t 2 dt 是 x 的 3 阶无穷小；（ ） x 213 x 2 3 ,01 cos x 因为lim sin t 2 d t lim sin 1 cos x 2 sin x lim sin 1 cos x 21,0 1 cos x sin x 2 x 0 + t d t x 0 + x 0+ 1 cos x 1 cosx又 01 cos x t dt1 t2 1 cos x 1 1 cos x 21 x 4 ，2 0 2 8故 x 0 时， 01 cos x sin t 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小；综上， x 0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt .故应选（D ）.x0 0, 则 （2）设函数 f x 在区间 1,1 内有定义，且lim f x （ ） （A ）当lim fx 0 时， f x 在 x 0 处可导.x 0x（B ）当limf x 0 时， f x 在 x 0 处可导.x 0x 2 （C ）当 f x 在 x 0 处可导时，limf0 .（D ）当 f x 在 x 0 处可导时，limf x 0 .x 0x 2 （2）【答案】（C ）.【解析】对于选项（A ）：取 f x x ，满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（A ）.x, x0, 满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（B ）.对于选项（B ）：f xx0, 0,对于选项（C ）：当 f x 在 x 0 处可导时， f x 在 x 0 处连续，故f 0 lim f x 0, 且 f 0 存在，不妨设 f0 lim f x f 0 lim f x A,x 0 x 0 x x 0 x则f lim f x 0 . 同理可排除（D ）. x 0 x 故应选（C ）.（3）设函数 f x 在处可微， f 0, 0 f f点 0, 0 0, n, ,1，非零向量d与x y 0,n 垂直，则（）（A）limx ,y , fx ,y0 存在.x , y0,0 x 2 y2n x ,y , fx ,y（B）lim 0 存在.x ,y 0,0 x 2 y2（C）lim dx ,y , fx ,y0 存在.x ,y 0,0 x 2 y2（D）lim dx ,y , fx ,y0 存在.x , y0,0 x 2 y2（3）【答案】（A）.【解析】因 f x 在点 0, 0 处可微，且 f 0, 0 0 ，故f x , y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y x 2 y 2 ,f ff x 0, 0 , f y 0, 0 , 1 ，故 因为n ,,1 x y0,0n x , y , f x , y f x 0, 0 x f y 0, 0 y f x , y x 2y2 ，3n x , y , f x , y则 lim lim x 2 y 2 0. 故应选（A ）.x , y0,0x 2 y 2 x , y0,0 x 2y 2（4） 设R 为幂级数 a n x n的收敛半径，r 是实数，则 （ ）又 1（A ） a n r n 发散时， r R .n 1（B ） a n r n 发散时， rR .n 1（C ） r R 时， a n r n 发散. n 1（D ） r R 时， a n r n 发散. n 1（4）【答案】（A ）.【解析】若 a n r n 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， a n r nn 1 n 1绝对收敛，矛盾. 故应选（A ）.（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成B ，则 （ ） （A ）存在矩阵 P ，使得 PA B.（B ）存在矩阵 P ，使得BP A.（C ）存在矩阵 P ，使得 PB A.（D ）方程组 Ax 0 与Bx 0 同解.（5）【答案】（B ）. 【解析】 A 经过初等列变换化成B ，相当于 A 右乘可逆矩阵 P 变成B ，即存在可逆矩阵Q ，使得 AQ B ，得BQ 1 A .取 P Q 1 ，则存在矩阵 P ，使得BPA.故应选（B ）.（6）已知直线L : x a 2 y b 2 z c 2 与直线L : x a 3 y b 3 z c 3 相交于一1 a 1 b 1 c 12 a 2 b 2 c 2 a i点，法向量αb, i 1, 2, 3 .则（ ）iici（A ）α1 可由α2 , α3 线性表示. （B ）α2 可由α1 , α3 线性表示. （C ）α3 可由α1 , α2 线性表示. （D ）α1 , α2 , α3 线性无关.（6）【答案】（C ）.a 1 a 2【解析】已知L , L 相交于一点，故向量 b 与 b，即α , α 线性无关. 12 12 12c c 1 2a 1 a 2 a 3a 2且有 b , b , b b，即α , α , α α 线性相关. 1 2 3 2 12 3 1 c c c c 1 2 3 2故α1 , α2 , α3 线性相关，则α3 可由α1 , α2 线性表示，且表示法唯一.故应选（C ）.（7）设 A, B , C 为三个随机事件，且P A P B P C14, P AB 0, P AC P BC121 ,则 A, B , C 恰有一个事件发生的概率为（ ） （A ） 3. （B ） 2.（C ） 1 . （D ） 5 . 43212（7）【答案】（D ）.【解析】事件 A, B , C 中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发生两个的概率表示，即P ( ABC ABC ABC ) P ( A B C ) P( ABAC BC),5P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC) ，因 P ( AB) 0 ，故P ( ABC) 0 ，从而P ( A B C) 34 0 121 121 0 127,P ( AB AC BC ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( ABC )P ( ABC ) P ( ABC)0 121 121 0 16 ,P ( ABC ABC ABC) 127 16 125 . 故应选（D ）.（8）设 X 1 , X 2 , , X 100 为来自总体 X 的简单随机样本，其中P X 0 P X 11 ,2 100 ） x 表示标准正态分布，则利用中心极限定理可得PX i 55 的近似值为（ i 1（A ）11 . （B ） 1 . （C ）1 0.2 . （D ） 0.2 .（8）【答案】（B ）.100 100【解析】由中心极限定理知， X i 近似服从 N ( , 2 ) ，其中E ( X i ) 50 ，i 1 i 11 12D ( i 1 X i) 1002 2 25 ，故100 100 X i 50 55 50i 1PX i 55P(1) . 5 5 i 1故应选（B ）. 二、填空题1 19. lim ． x x 0 e 1 ln(1 x)（9）【答案】 1.【解析】lim x 01 e x 11 lim ln(1 x)e x 1ln(1 e x 1 ln(1 x) x) x 0 1 2 x 2 1x2 x x 1 x2 2 lim x 2 x 0 x2 lim x 2 1. x 2x 0t 2 1,d 2 yx 10. 已知 则 ．dx 2y ln(t t 21),t 1（10）【答案】 2 .【解析】因为dydx d 2 ydx 2故d 2 yt 2 1 dx 2 t t 311. 设 y f ( x) 满足 0f (x )dxd y 1 2t 1 1 d tt t 2 1 t 2 1 t 21 dx 2t t d t 1 1 d dy d dy d td x dx dx dt dx d 1 1 1 1 t 21 , d t dx t2 t t3 t d tt 212. t 1f ( x ) af (x ) f (x ) 0 (a 0), f (0) m, f ．1t ,(0) n ，则 （11）【答案】am n .【解析】由已知，得f (x )dx f ( x ) af (x ) dx f (x ) af(x) .a 0 a 2 时， 1,2a4 a 2 i，故f x e a x 4a 2 x C 2 sin 4 a 2 2 C 1 cos x ,2 2x x a a 4 a2 x C 2 sin 4 a 2f e 2 C 1cos x22 2 a x 4 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 e 2 C sin xC cos x ,2 2 2 2 1 2从而 limf ( x ) lim f ( x) 0. x x当a 2 时， 1,2 1 ，故f x C 1 C 2 x e x ,xC 1 C 2 x e x C 2e x ,从而lim x f ( x )lim x ( x)0.当a 2 时， a a 24 ，故1,2 2a a 24 x a a 24 xf x C 1e 2C 2e 2 ,aa 24 x a a 24 x f x a a 2 4a a 2 4 C 2e ,C 1e 2 2 2 2从而 limf ( x ) lim f ( x) 0. x x综上，f ( x )d x f ( x ) af ( x) lim f ( x ) af ( x ) f (0) af (0) am n.0 x 2f12. f ( x , y ) 0xy e xt2dt ，则 ． x y (1,1（12）【答案】4e .【解析】因为 2 f 2 f ，又 f e x xy 2 xxe x 3 y 2,x y y x y从而2fxy(1,1)a 0 1 1 13. 行列式0 a 1 1 1 1 a 0 1 1 0 a（13）【答案】a 2 a 2 4 .【解析】dd xe x 3d dx x1 y 1 x 1e x 3 x e x 3 3x 2 x 1 4e.．a 01 1 a a 0 0 a 0 0 00 a 1 1 0 a 1 1 0 a 1 11 1 a 01 1 a 0 12 a0 1 1 0 a 0 0 a a 0 0 aa11a 2 a 0 a a 3 4a a 2a2 4 . 0 a aπ πsin X ，则cov X ,Y（14）设 X 服从区间 ,上的均匀分布，Y ． 2 21 , π xπ,π 2 【解析】由题意 X 2 的概率密度为 f ( x)其他.0,cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ),Y sin X , 而E ( X ) 0,π 1 2 πE ( XY ) E ( X sin X ) 2π x sin x dx 02x sin xdxπ π 2 2 π 2 π π02xd cos x x cos x|02 02 cos xdxπ π 2 s in x| π 2. 02π π 9故 cov( X , Y ) 2π 0 π2.三、解答题（15）（本题满分 10 分）求 f ( x , y ) x 3 8 y 3 xy 的极值.（15）【解析】因为 f 3 x 2 y , f24 y 2 x, x y2 x 1 ,3 x y 0, x 0, 6f x解得 联立方程组 f 24 y 2x 0, y 0, 1yy 12.11 故驻点为 0, 0 , , .6 12 在点 0, 0 处：A f xx 0, 0 0,B f xy0, 01, C f yy 0, 00, AC B 21 0 ，故 0, 0 不是极值点. 1 , 1 在点 处： 6 12A f 1 , 1 1 0,B f 1 , 1 1,C f 1 , 1 4, x x xy y y6 12 6 12 6 12 2 1 1AC B 4 1 0 ，故 , 是极小值点，极小值为6 121 1 1 3 1 3 1 1 1 f , . 6 12 216 6 12 6 12 （16）（本题满分 10分）计算I L4x y x y 2 2 dx dy ，其中L 为 x y 2 ，方向为逆时针方向. 4 x 2 y 2 4x 2 y 2 （16）【解析】补曲线L : 4 x 2 y 22 , 其中 0 为一个很小的数，使得4x 2 y 2 21 在曲线L 的内部，方向顺时针，则IL L14 xyxyd yL14x yxyd x d x dy4 x 2y 24 x 2y 24 x 2y 24x 2y21 0记P 4x y, Qx y，因为4 x 2y 24x 2y2P4 x 2 8xy y2Q4 x 2 8xyy2, , y4 x 2y 2 2x4x 2 y22由格林公式知，L L14x yxyd x d y 0.4 x 2y 24x 2y2又4 x y x y L14x 2 y 2 d x4x 2 y2从而I 0ππ.d y 12L1 4 x y dx x y dy11 1 dxdy2D12ππ.2 2（17）（本题满分 10 分）设数列 a n满足a11, ( n 1) a n1( n 12)a n .证明：当 x 1时，幂级数a n x n收敛，并求其和函数.n 1n 11a n 1（17）【证明】由( n1) a n1( n)a ，有2，从而2na nn1n1lim lim21n1n n故当 x 1时，幂级数a n x n收敛.1当 x 1时，设S x a n x n，且a11, 则n 111S xna n x n1 1na n x n1n 1 n 211n1n1a n 1 x n1n1(n2)a n xn11n1na n x n2 n 1a n xn 11 x n1 na n x n12 S x 1xS x 12S x,进而有 1 x S x 1 1 S x , 整理得2 S x 1 S x 1 ，2 1x 1x解之得S xC 12.1 x由题意知，S 0 0 ，故C 2 ，从而有S x 2 2.1 x（18）（本题满分 10 分）为曲面 z x 2 y 2 1 x 2 y 2 4 的下侧， f x 为连续函数，计算Ixf xy 2 x y d ydz yf xy 2 y x d z d x zf xy z dx dy.（18）【解析】因 为曲面 z x 2y 2 1 x 2 y 2 4 的下侧，故由转换投影法知，Ixf xy 2 x y d yd z yf xy 2 y x d z d xzf xy z dxdyxf xy 2 x y z yf xy x D x xf xy 2 x y yfx 2 y 2 D fx 2 y 2xy x 2 y 2 d xd ydxdy 02π d 12 rrdr 14π .x 2 y 2 3 D其中D x , y 1 x 2 y 24 .2 yx z zf xy z d xdy y yxy 2 y xx 2 y 2 12（19）（本题满分 10 分）设 f x 在区间 0, 2 上具有一阶连续导数，且 f 0 f 2 0,M max x0,2 f x .证明：（Ⅰ）存在 0, 2 ，使得 f M ；（Ⅱ）若对任意 x 0, 2 ， f x M ，则M 0 .（19）【证明】（Ⅰ）因 f x 在 0, 2 上连续，故存在最大值M max x0,2 f x .若 M 0 ，则对0,2 ，都有 f0 ，命题成立.若 M 0 ，因 f 0 f 2 0, 故存在 x 0 0, 2 ，使得 f x 0 M .当 x 0 0,1 ，由拉格朗日中值定理知，存在 1 0, x 00,1 ，使得f x 0 f 0 f 1 x 0 ,则f f x 0 M M .有1x0x0当x0 1, 2 ，由拉格朗日中值定理知，存在2 x0, 2 1,2 ，使得f 2 f x0 f 2 2 x0 ,则有f2f x0MM .2x02x0当 x01，由拉格朗日中值定理知，存在3 0,1 ，使得f 3 f 1 f 0 f 1 M .综上，存在 0, 2 ，使得 f M .（Ⅱ）假设M 0 ，因对任意 x 0, 2 ，有 f x M ，由（Ⅰ）知，x0 0,1 或 x0 1, 2 时，存在0, 2 ，使得 fM ，矛盾，从而有M 0 .x0 1时，有 f 1 M ，则 f 1M ，不妨设 f 1 M .构造函数 g x f x Mx, x 0,1 .13因为 g x f x M 0, 故 g x 单调不增.又 g 0 0, g 1 0 ，从而g x 0, x 0,1 ，即 f x Mx , x 0,1 .构造函数h x f x Mx 2 M , x 1, 2 .因为h x f x M 0 ，故h x 单调不减.又h 1 M M 2 M 0, h 2 0 ，从而h x 0, x 1, 2 ，即f x Mx 2M .综上，当 x 0 1时，f xMx, 0 x1, x 2. Mx 2 M ,1因为f 1 lim f x f1lim Mx M M 0, x 1x 1 x 1 x 1f 1 lim f x f1lim Mx 2M M M 0, x 1 x 1x 1 x 1故与 f x 在 x 1 处可导矛盾，从而当 x 0 1时，有M 0 .若 f 1M ，则可构造 g x f x Mx, h x f x Mx 2 M , 同理可证.综上，若对任意 x 0, 2 ， f x M ，则M 0 . （20）（本题满分 11 分）设二次型 f x 1 , x 2 x 12 4 x 1 x 2 4x 22 x y经正交变换 1 Q 1化为二次型x 2 y2 g y 1 , y 2 ay 12 4 y 1 y 2 by 22 , 其中a b .（Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）求正交矩阵Q .1 2（20）【解析】（Ⅰ）设二次型 f 的矩阵为 A ，则 A 2 4 .又 f 经正交变换 X QY 化成 g y 1 , y 2 ay 12 4 y 1 y 2by 22 , 即X QY a 2 f X T AX = Y T Q TAQYY T 2 b Y .14a 2 a 2 ，由于Q 为正交矩阵，故 A 与B 相似且合同，因此Q TAQ = 2 b . 记B = 2 btr a b,tr A B , 1 4 解得a 4, b 1或a 1, b 4. 故A B , 即 0, ab 4又a b ，故a 4, b1.4 2 ，且 A 与B 相似. 又（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B =21A E 12 2 5 , 2 4 可知， A 与B 特征值均为 10, 2 5.对于 1 0 ，解 A 0E x 0 ，得 A 的属于特征值 0 的特征向量α1 2 ，1对于 25 ，解 A 5E x 0 ，得 A 的属于特征值 5 的特征向量α2 1 2 ， α 1 2 α 21 1α1 , α2 已经正交化，故直接单位化，得 β1, β .51 5 2故可取 P1β1 , β2，则 P1为正交矩阵，且有 P11 AP10.5对于1 0 ，解 B 0E x 0 ，得B 的属于特征值 0 的特征向量α212，对于25 ，解 B 5E x 0 ，得B 的属于特征值 5的特征向量α12，1故可取 P2β2 , β1，则 P2为正交矩阵，且有 P21BP2.5则有 P 1 AP P 1BP ，因此 P P 1 AP P1 B .1 12 2 2 1 1 2152 1 1 2 4 3取Q = P P1P P T5 5 5 5 55 , 则1 2 1 21 2 2 1 345 5 5 5 5 5Q T = P1 P2T T P2 P1T ,Q 1 = P1 P2T 1P2T 1 P11 P2 P1T .综上，有Q 为正交矩阵，且满足Q T AQ B .（21）（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = α , Aα，其中α是非零向量，且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明 P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若 A 2 α + A α 6α 0 ，求 P 1 AP 并判断 A 是否相似于对角阵. （21）【解析】（Ⅰ）若α 与 A α 线性相关，则α 与 A α 成比例，即有 A α k α .由于α 是非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，α 是 A 的属于特征值k 的特征向量. 与已知矛盾，故α 与 A α 无关，从而 P 可逆.（Ⅱ）由 A 2 α + A α 6α 0 知， A 2 α = A α 6α, 则AP = A α , A α A α , A 2 α A α , A α 6α 0 6 0 6α , A α P ,1 1 1 10 6记B ，则有 AP = PB, 得 P 1 AP B ，故 A 与B 相似. 11因为 B E 6 2 632 ,1 1可知，B 的特征值为 13, 22. 故 A 的特征值也为 13, 2 2.因此 A 可相似对角化. 22. （本题满分 11 分）设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立，其中 X 1 和 X 2 服从标准正态分布， X 3 的概率分 布为P{ X 3 0}P{ X 3 1} 12 ，Y X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 .（Ⅰ）求二维随机变量（X 1 ,Y ）的分布函数，结果用标准正态分布函数 x 表示； （Ⅱ）证明随机变量Y 服从标准正态分布.（22）【解析】（Ⅰ）由F ( x , y) P{ X 1 x, Y y} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y}P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y, X 3 0} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y, X 3 1}P{ X 1 x, X 2 y, X 3 0} P{ X 1 x, X 1 y, X 3 1}又X 1 , X 2 , X 3 相互独立，故F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12P{ X 1 x , X 1 y} .故 x y 时，F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12 ( y ) 12 ( y ) ( x) 1 ；故 x y 时，F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12 ( x ) 12 ( x ) ( y) 1 .1 ( y ) ( x ) 1 , x y,2 综上，F ( x , y) 12 ( x ) ( y ) 1 , xy. （Ⅱ）由（Ⅰ）有，F ( y ) lim F ( x , y) lim 1 ( x )( y )1 ( y ) 1( y ) 1 ( y )( y), Y xx 2 2 22故Y 服从标准正态分布．（23）（本题满分 11 分）t me,t 0,1 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为：F (t )0, 其他.其中 , m 为参数且大于零. （Ⅰ）求概率P{T t}与P{Ts t | T s}，其中s0, t0 ；（Ⅱ）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t 1,t 2 ,t n ，若m 已知，求 的最大似然估计值 .（23）【解析】 （Ⅰ）P{T t } 1 P{T t } 1F (t ) 1 1 e ( t )mP{T s t | T s} P{T s t , T s} P{T s t } 1 F (ts)1 F( s )P{T s} P{T s}( t s )m ( t s )m m (t s) m 1 [1e] e se m . 1 [1 ( s ) ( s )me m] etm1 ( t )mt 0, me ,m （Ⅱ）由题意得，T 的概率密度为 f (t ) F (t )其他. 0, n m 1 nt i t i ( )mm n i 1 e i 1 , t 0, n mn i 似然函数L ( )f (ti ; )i 1 其他. 0,n m 1 n t iti( )m 当t 0 时，L ( ) m ni 1 e i 1 ， mni n nln L ( ) n ln m ln t i m 1mn ln(t i)m ，i1 i 1nd ln L( )mnn titi mnt i mmm1mi 10 ，解之得的最大似然估令() d 2 m1i 11 n计值为mn i1t i m.。
考研数学试题及参考答案数学一
考研数学试题及参考答案数学⼀2011年考研数学试题（数学⼀）⼀、选择题1、曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利⽤判断拐点的必要条件和第⼆充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的⼀、⼆、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是⼀拐点。
2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，()∑===n k k n n a S 12,1 ⽆界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（）（A ）(-1，1]（B ）[-1，1)（C ）[0，2)（D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的⼀些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k kn n a S 12,1 ⽆界，说明幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→n1nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
⼜由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、设函数)(x f 具有⼆阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极⼩值的⼀个充分条件是（）（A ）0)0(1)0(>''>f f ，(B)0)0(1)0(<''>f f ，(C)0)0(1)0(>''【答案】C 【考点分析】本题考查⼆元函数取极值的条件，直接套⽤⼆元函数取极值的充分条件即可。
2020年考研数学一真题(含完整答案)
x2
+
y2
=
2，方向为逆时针方向.
(17)
( 设数列 {an} 满足 a1 = 1，(n + 1)an+1 = n +
1 2
)
an.
证明：当
|x|
<
1
时，幂级数
∑∞
anxn
收敛，
n=1
并求其和函数.
√ (18) 设 Σ 为曲面 z = x2 + y2(1 ≤ x2 + y2 ≤ 4) 的下侧，f (x) 为连续函数. 计算
(5) 【答案】B 【解析】 矩阵A经初等列变换得到B,故存在初等矩阵P, (i= 1, 2,…，t)使
AP1P2 …P,= B
c 因P, 均可逆，故有A= BP, I…1'2 1 ri l'记p= 1�尸…P了P尸故应选 CB). (6) 【答案】
【解析】 由 直线标准方程知I八 心的方向向掀分别是a1= (a 1,b1,c1 ) T,az= (az,bz,Cz)T, 直线
P {X = 0} = P {X 的近似值为 ( )
=
1}
=
1 2
，Φ(x)
i=1
(A)1 − Φ(1).
(B)Φ(1).
(C)1 − Φ(0.2).
(D)Φ(0.2).
二、填空题
[
]
(9)
lim
x→0
1
ex−1 x =
−
1 ln(1+x)
√ t2 + 1,
=
(10)
设
y
=
ln(t
+
√ t2
+
1),
2020考研数学一真题及答案解析
I xf xy 2x ydydz yf (xy) 2y xdzdx zf xy z dxdy
.
【详解】将曲面 Z x2 y2 向 xoy 面投影得 Dxy
Dxy 为1
x2
y2
4
，又
Z
' x
x x2
y2
,
Z
' y
y x2 y2
I
{[ xf
(
xy)
又 G(0) G(1) 0 ,从而 G(x) 0 ,即 f (x) Mx , 0 x 1 .
因此 f(1) M ,从而 M 0 .
综上所述,最终 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
,
AC A
1
B2 =3>0 0
x y
1 6 1 12
，为极小值点
f (1 , 1 ) 1 极小值为 6 12 216
（16）（本题满分 10 分）
I
计算
L
4x 4x2
y y
2
dx
x y 4x2 y2
dy
,其中
L为
x2
y2
2
,方向为逆时针方向.
【详解】补曲线 L1 : 4x2 y2 2 ，逆时针方向
（C）3 可由1 ，2 线性表示
（D）1,2 ,3 线性无关
【答案】（C）．
（7）
PA
PB
PC
1 4
,
P AB
0,
P AC
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()201x t e dt -⎰B.0ln(1)x ⎰C.sin 20sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（ ）A.当00,()0x f x x →==在处可导.B.当00,()0x f x x →==在处可导.C.当0()00.x f x x →==在处可导时,D.当0()00.x f x x →==在处可导时,3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1fff n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直，则（）A.(,)lim 0x y →=存在 B.(,)lim 0x y →=存在C.(,)lim 0x y →=存在D.(,)lim 0x y →=4.设R 为幂级数1n nn a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≥B.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≤C.||r R ≥时，1n nn a x ∞=∑发散D.||r R ≤时，1n nn a x ∞=∑发散5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（ ）A.存在矩阵P ，使得P A =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解6.已知直线22211112:x a y b c L a b c ---== 与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交于一点，法向量,1,2,3.i i i i a a b i c ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则 A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关7.设A,B,C 为三个随机事件，且11()()(),()0()()412P A P B P C P AB P AC P BC ======，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.5128.设12(),,,n x x x …为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x ====Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的近似值为 A.1(1)-ΦB.(1)ΦC.1(0,2)-ΦD.(0,2)Φ 二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。
2021年考研数学一真题及参考答案
全国硕士研究生入学统一考试备考资料2021年全国硕士研究生入学考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1、函数00,1,1)(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xe xf x ，在0=x 处（）(A)连续且取极大值；(B)连续且取极小值；(C)可导且导数等于零；(D)可导且导数不为零；2、设函数),(y x f 可微，且,ln 2),(,)1(),1(222x x x x f x x e x f x=+=+则)1,1(df （）(A)dy dx +；(B)dy dx -；(C)dy ；(D)dy -；3、设函数01sin )(2=+=x x x x f 在处的3次泰勒多项式为32cx bx ax ++，则（）(A)67,0,1-===c b a ；(B)67,0,1===c b a ；(C)67,-1,1--===c b a ；(D)67,-1,1-===c b a ；4、设函数)(x f 在区间[0,1]上连续，则⎰1)(dx x f =（）(A)n n k f nk n 21212(lim1∑=∞→-；(B)nn k f nk n 1)212(lim1∑=∞→-；(C)nn k f nk n 1)21(lim21∑=∞→-；(D)nn k f nk n 2)2(lim21∑=∞→；5、二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为()(A)2,0；(B)1,1；(C)2,1；(D)1,2；6、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213,121,101321ααα，已知2211331221,1--,-ββαββαβαβl l k ===，若321,,βββ两两相交，则21,l l 依次为()(A)21,25；(B)21,25-；(C)21,-25；(D)21,-25-；7、设A ,B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是（）(A))(2A O O Ar T A r A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(B))(2A O AB A r T A r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C))(2A O BA A r T A r A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛(D))(2A BAO Ar T A r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛8、设A ,B 为随机事件，且1)(0<<B P ，下列命题中不成立的是（）(A))()(),()(A P B A P A P B A P ==-则若(B))()(),()(--->>A P B A P A P B A P 则若(C))()(),()(A P B A P B A P B A P >>-则若(D))()(),()(B P A P B A A P B A A P >⋃>⋃-则若9、设),,(),,,(),,,(2211n n Y X Y X Y X 为来自总体);,;,(222121ρσσu u N 的简单随机样本，令--∧=-=--===-=∑∑Y X Y n Y X n X u u ni i n i i θθ,1,1,1121，则（）(A)nD 2221)(σσθθθ+=∧∧的无偏估计，是(B)nD 2221)(σσθθθ+=∧∧的无偏估计，不是(C)nD 2122212-)(σρσσσθθθ+=∧∧的无偏估计，是(D)nD 2122212-)(σρσσσθθθ+=∧∧的无偏估计，不是10、设1621,X X X 是来自总体)4,(μN 的简单随机样本，考虑假设检验问题，)(,10:,10:10x H H Φ>≤μμ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=-11X W ,其中∑=-=161161i i X X ，其中11.5=μ，该检验犯第二类错误的概率为（）(A)(0.5)-1Φ(B)(1)-1Φ(C)(1.5)-1Φ(D)(2)-1Φ二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11、⎰+∞++0222x x dx=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''<f f ， (D) 0)0(1)0(<''<f f ， 【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>所以有0)0(1)0(>''>f f ，4、设4440ln sin ,ln cot ,ln cos Ixdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<【答案】B【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【解析】(0,)4x π∈时，0sin cos cot x x x <<<<，因此lnsin lncos lncot x x x << 444ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121PP - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。
直接应用相关定理的结论即可。
【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ）(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0AA A E *==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又()1234131100,,,01100A αααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ） 7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x +【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞+∞-∞-∞+==⎰。
可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。
8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （ ）(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。
计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。
【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY ==可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题9、曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=xx tdt y 040tan π的弧长s =【答案】14π-【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
【解析】()2444'2240tan sec 1tan 14s y dx xdx x dx x x πππππ===-=-=-⎰⎰⎰10、微分方程x e y y xcos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y【答案】sin xy xe-=【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。
先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。
【解析】原方程的通解为 由0)0(=y ，得0C=，故所求解为sin x y xe -=11、设函数()⎰+=xydt t t y x F 021sin ,，则=∂∂==2022y x xF【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算。
【解析】()()22232222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-∂∂==∂+∂+。
故22024x y Fx ==∂=∂。
12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=⎰Ñ【答案】π【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。
首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。
【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，其中t 从0到2π。
因此13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为221144y z +=，则a =【答案】1-【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。
题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。
【解析】本题等价于将二次型222(,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了22114f y z =+。
由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。
该二次型的矩阵为1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，可知2210A a a =---=，因此1a =-。
14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 【答案】32μμσ+【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。
【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。
因此22()E XY EX EY =⋅。
由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2222,EXEY DY EY μμσ==+=+，则()22232()E XY μμσμμσ=+=+。