北师大版八年级数学下册角平分线-教案
八年级数学下册1.4.1角平分线教案新版北师大版
课题：1.4.1角平分线教学目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学重点与难点：重点: 角平分线的性质定理、判定定理.难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.课前准备：多媒体课件、纸制角的模型。
教学过程：一、问题导学，自主探究【思考与探索】有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,你认为它应该选择什么路线?两条路线长度关系怎样?处理方式：先观察图形，结合实践经验师生交流，根据“点到直线的距离垂线段的长最短”可以发现蜘蛛会沿着所在的点与角的边垂直的路线爬行，即蜘蛛所走的路线是从P 到A 和从P 到B ．然后教师提问：两条路线长度相等吗？学生讲述：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：（边演示边说明．）从折纸过程中，我们可以得出PD =PE ，所以蜘蛛选择的两条路线长度相等 ．B P【预设：如果学生不易想到角平分线上的点到角两边的距离相等，教师可提问：同学们，还记得角平分线上的点有什么性质吗? 回想一下，当时是怎样得到的？】师：这节课，我们应用推理的方法探究角平分线的有关性质．【教师板书课题：1.4角平分线（1）】设计意图：通过蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现感知角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理．通过动手折出角平分线，观察、验证平分线上的点到角的两边的距离相等.其一是激发了学生的求知的欲望、培养了学生的学习兴趣，其二是为了培养学生善于动手动脑、善于发现的学习习惯．二、诱思探究，展示交流活动一：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”．1．讨论问题1：你能否将“蜘蛛实例”的结论转化为一个命题？问题2：你能说出这一命题的条件与结论吗？处理方式：学生分组讨论，教师巡视，对有困难的学生进行指导，完成后在小组内交流，说出自己的发现．“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题的条件是“点在角平分线上”，结论是“这点到角两边的距离相等”.师生结合图形认识“点到角的两边的距离”实际上就是“由点向这个角的两边所在直线作垂线，这个点与垂足之间垂线段的长度”.2．证明问题：你能否证明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这一命题吗？处理方式：学生试着根据条件和结论画出图形，写出已知和求证.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．教师给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们展示自我的机会．让一位学生到黑板上画出图形(示意图)、写出已知和求证，然后证明．其他学生在练习本上完成．同时巡视指导并收集具有代表性的错误及不规范的书写．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2，又∵OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．（请学生回忆蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度相等的道理．）3.小结师生共同归纳：我们把它叫做角平分线的性质定理(用多媒体演示并板书)定理在角平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ．设计意图：放手让学生独立完成，并以黑板上学生的板演为样本，讲解定理及其证明，对学生不规范的书写和表达予以纠正，同时也能理顺学生的证明并让学生对定理的理解更加深入．通过符号语言，把抽象的问题形象化，有利于学生对定理的理解、应用．【教师提炼】这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一．活动二：探究“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．”．1.写出“角平分线上的点到角的两边的距离相等.”的逆命题.同学们表现的的很好！请大家继续思考下面的问题：（1）你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？（2）它是真命题吗？处理方式：学生分组交流，教师对困难学生个别辅导，师生共同纠正得出逆命题．在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【预设：此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”师释疑：这位同学思考问题很深刻．事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．注意：如果没有学生提出，教师要适当引导，让学生看到这一情况.】如上图所示，只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．2.证明我们想想如何证明它的正确性，大家思考交流.（学生合作板书已知、求证.）已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E分别为垂足且PD=PE。
初中数学北师大版八年级下册《14角平分线(1)》教学设计
北师大版数学八年级下 1.4 角平分线（1）教学设计已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何语言：∵点P在∠AOB平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是()A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD答案：D想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.答案：逆命题：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题.已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．求证：OP平分∠AOB.证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP ( HL ).∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.追问：角平分线的性质定理及判定定理之间有什么关系呢？答：它们是一组互逆定理.温馨提示：角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一.练习2：如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上都不对答案：C例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝12AD＝12×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB 于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB=∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE=DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A．1 B．2 C．3 D．4答案了：B2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．M B．N C．P D．Q答案：A如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.在Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD＝ED，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE.又∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB.∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB的周长为6 cm.下面让我们一起赏析一道中考题：（2018·大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°答案：B在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知。
《角平分线》教案北师大版
1．4角平分线第1课时角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵BD＝DF，DC＝DE，∴Rt△CDF ≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE 中，∵CD＝DE，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝12×4×2＋12×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF ⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE ⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF ⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE 与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt △CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：AD是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD 平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC ＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。
2021年北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
2021年北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“角的计算”中的一个知识点。
在此之前，学生已经学习了角的概念、分类和度量。
角平分线的引入，既是对角概念的深化，也是对角度量方法的扩展。
它不仅有助于提高学生的空间想象力，还能够培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析八年级的学生在数学学习方面已经有了一定的基础，对于角的概念和度量方法有一定的了解。
但学生在空间想象力方面参差不齐，对于抽象的几何概念的理解和运用还有待提高。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等多种方式，理解和掌握角平分线的性质和运用。
三. 教学目标1.知识与技能：理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，能够运用角平分线解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的空间想象力，提高学生的几何思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质。
2.难点：角平分线的运用和证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、直观演示法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.教具：直尺、圆规、三角板、多媒体设备。
2.学具：每位学生准备一套几何画图工具，包括直尺、圆规、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例引入角平分线的概念，如：“在修筑公路时，如何确定两条路的交叉口的角度？”引导学生思考，角平分线在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）呈现角平分线的定义和性质，引导学生通过观察、操作、思考，总结出角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，尝试用角平分线解决一些简单的几何问题，如：“已知一个三角形的两个角，如何求第三个角？”4.巩固（10分钟）学生独立完成一些有关角平分线的练习题，巩固所学知识。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4三角形中的角平分线教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题，如如何在三角形中找到角平分线。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的尺规作图实验操作。这个操作将演示如何准确作出三角形的角平分线。
3.基本作图：学习如何作出三角形的角平分线，并掌握相关作图技巧。
4.应用举例：运用角平分线的性质解决实际问题，如求三角形内角平分线上的点的坐标等。
5.练习巩固：通过典型例题和练习题，让学生掌握角平分线的性质和应用。
本节课旨在帮助学生理解角平分线的概念，掌握其性质和应用，提高几何作图能力，为后续学习打下基础。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4三角形中的角平分线教案
一、教学内容
本节课选自2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.4节，主要内容包括：
1.三角形角平分线的定义：引入角平分线的概念，探讨角平分线的性质和判定方法。
2.角平分线的性质：证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，以及角平分线分得的两个角相等。
4.提高学生的数学运算能力：在求解与角平分线相关的问题时，加强学生对数学运算方法和规律的掌握，提高运算准确性。
5.培养学生的合作交流意识：通过小组讨论、合作解决问题，培养学生团队协作能力和沟通交流技巧。
本节课核心素养目标旨在培养学生具备扎实的数学基础知识和技能，发展学生的几何直观、逻辑推理、数学建模和数学运算等综合能力，提高学生的合作交流水平，为学生的终身学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作，让学生感受角平分线的概念，提高空间想象力和几何直观能力。
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。
教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。
但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。
三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。
五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。
六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。
通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。
3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
北师大版八年级数学下册 角平分线 教案
一、提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？
导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二、合作交流探究新知
探究1：
想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教学重难点
重点：三角形三条角平分线的性质定理．
难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明．
教学过程
一、前置准备：
三角形角平分线性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
判定定理的内容是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
二、自主学习：
如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上．
操作：
1、折出如图所示的折痕PD、PE．
2、你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达到明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
《4角平分线》教案
第1课时
教学目标
（一）教学知识点：角平分线的画法；角平分线的性质．
（二）能力训练要求：掌握角平分线的性质；会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求：在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重难点
教学重点：利用尺规作已知角的平分线；角平分线的性质．
角平分线教学设计北师大版(优秀教案)
第一章证明（二）４．角平分线（一）一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．二、教学任务分析本节课的教学目标是：．知识目标：①角平分线的性质定理的证明．②角平分线的判定定理的证明．③用尺规作已知角的角平分线．．能力目标：①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．．情感与价值观要求①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．．教学重点、难点重点①角平分线的性质和判定定理的证明．②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．难点①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：展示思维空间.构建活动空间；第三环节：随堂练习及时巩固；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业第一环节：设置情境温故知新搭建探究平台问题我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?第二环节：展示思维空间.构建活动空间请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，是∠的平分线，点在上，⊥，⊥，垂足分别为、．求证：．证明：∵∠∠，，∠∠°，∴△≌△()．∴(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个21ED CPOBA角的两边的距离相等．我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。
北师大版八年级下册第一章三角形的证明1.4角平分线(第2课时)教学详案
1.4角均分线（第 2 课时三角形三个内角的均分线）教课目的1．在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．2．可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．3．提升学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力．教课要点在角均分线的基础上概括出三角形三个内角的均分线的有关性质．教课难点可以运用三角形三个内角的均分线的性质解决实质问题．课时安排1课时教课过程导入新课【问题】在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB，BC，CA三边的距离都相等 , 请在三角形居住区内标出学校 P的地点 ,P 在哪处？研究新知【活动】活动 1 分别画出以下三角形三个内角的均分线，你发现了什么？锐角三角形直角三角形钝角三角形【互动】（小组议论作图，教师指引总结结论）锐角三角形直角三角形钝角三角形发现：三角形的三条角均分线订交于一点.【活动】活动 2 （学生着手作图，发现结论）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【研究】（小组议论）剪一个三角形纸片，经过折叠找出每个角的角均分线，察看这三条角均分线，你能否发现相同的结论？结论：三角形三个角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .【思虑】（小组合作，老师指导）要证明这个结论，该怎样设计证明思路呢?要证明三角形的三条角均分线订交于一点，只需证明此中两条角均分线的交点必定在第三条角均分线上即可.【互动】（引起学生思虑，老师指导）试写出证明过程．已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .【研究】（师生互动）下边我们用学得的这个结论，解决下边的例题.【例题】如图，在直角△ ABC 中， AC=BC,∠C ＝90 ，AP 均分∠ BAC ，BD 均分∠ ABC ，AP,BD 交于点 O ，过点 O 作 OM ⊥AC,OM ＝4.(1) 求点 O 到△ ABC 三边的距离和；(2) 若△ ABC 的周长为 32，求△ ABC 的面积 .【思虑】（激发学生思虑）先剖析第（ 1）小题 .由三角形三个角的均分线订交于一点 , 且到三边的距离相等知，点 O 到△ ABC 三边的距离和为 3OM=12.【研究】（学生小组议论）第（ 2）小题，直角△ ABC 的两直角边的长未知，周长已知，怎样利用条件求△ ABC 的面积？用面积切割法来解答：解：如图，连结 OC ，过点 O 作 ON ⊥BC ， OE ⊥AB ，垂足分别为 N ，E ，则 S △ ABC =S △ AOC +S △ BOC +S △ AOB=1 1 12 AC ·OM+ BC ·ON+ AB · OE 22 = 1 OM ·(AC+BC+AB)2= 1 ×4×32=64.2【总结】 ( 学生总结，老师评论 ) 三角形内角均分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角均分线的交点，这一结论在此后的学习中会常常用到．讲堂练习1.如图，在△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O到△ ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠ BOC的度数为 ()A．110°B．120°C．130°D．140°2.已知： OE 均分∠ AOB，P 为 OE上一点， PC⊥OA于 C，且 PC=5，则 P 点到OB的距离为 _____.3．已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ ACB=90°，∠ B=40°，AD 均分∠ CAB 交BC于 D点，则∠ CAD =________.4.如图 , 直线 l1、l2、l 3表示三条相互交错的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 可选择的地点有几处 ? 画出它的地点 .参照答案1.A2.53.25°4.解：有四周，如下图 .讲堂小结三角形内角平分线的性质部署作业性质：三角形的三条角均分线交于一点，而且这一点到三条边的距离相等应用：地点的选择问题教材习题 1.10题1、题2、题3.板书设计4角均分线第 2 课时三角形三个内角的均分线锐角三角形直角三角形钝角三角形结论：三角形三个内角的均分线订交于一点, 且到三边的距离相等 .已知：如图，△ ABC的角均分线 BM，CN订交于点 P.求证：点 P 在∠ A 的均分线上，且点P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB， BC，CA，垂足分别为 D，E，F.∵BM是△ ABC的角均分线，点 P 在 BM上，∴ PD=PE同.理 PE=PF.∴PD=PE=PF.即点 P 到三边 AB， BC，CA的距离相等 .由 PD=PF，可得点 P 在∠ A 的均分线上 .例如图，在直角△ ABC中，AC=BC,∠C＝90 ，AP均分∠ BAC，BD均分∠ABC，AP,BD交于点 O，过点 O作 OM⊥AC,OM＝4.(1)求点 O到△ ABC三边的距离和；(2)若△ ABC的周长为 32，求△ ABC的面积 .。
北师大2024八年级数学下册 1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线 教案
1.4 角平分线主要师生活动一、创设情境，导入新知活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？师生活动：学生在练习本上画三角形，并按照要求画出三条角平分线.猜想结论：三角形的三条角平分线相交于一点.活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？师生活动：在上述活动的基础上画垂线段，并且思考问题.猜想结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.师追问：你能证明以上两个结论吗？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：三角形的内角平分线已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD = PE = PF.师生活动：引导学生类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法尝试完成证明.师生共同归纳：结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.典例精析例1如图，在△ABC中，已知AC = BC，△C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE△AB，垂足为E.(1)如果CD = 4 cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1) 的求解过程易知，Rt△ACD△Rt△AED (HL).△ AC＝AE.设计意图：通过活动引入让学生进一步掌握如何把文字命题转化为符号语言、图形语言，并进行严格的证明.既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力.设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.△ BE＝DE＝CD，△ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.师生活动：1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题.2小组内批阅.3.对板演的内容进行评价纠错.例2 如图，在直角△ABC中，AC = BC，△C = 90°，AP平分△BAC，BD平分△ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM△AC，若OM＝4，(1) 点O到△ABC三边的距离和为.温馨提示：不存在垂线段——构造应用(2) 若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：如图，过点O作OE△AB于点E，ON△BC 于点N，连接OC.师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若△A＝40°，则△BOC的度数为()A．110° B．120°C．130° D．140°设计意图：让学生能够进一步熟练运用角平分线性质定理与判定定理解决问题，通过此题让学生对定理的理解与使用更为明确. 培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.设计意图：综合提升学生对角平分线性质判定定理解的运用水平与解决问题的能力.三、当堂练习，巩固所学师生活动：学生代表回答，教师引导学生阐述思路，教师整理板书：三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到△A的两边的距离相等，且P A＝PB．下列确定P点的方法正确的是( )A. P为△A，△B两角平分线的交点B. P为△A的平分线与AB的垂直平分线的交点C. P为AC，AB两边上的高的交点D. P为AC，AB两边的垂直平分线的交点题1 题22. 如图，在△ABC中，△C = 90°，DE△AB，△CBE=△ABE，且AC = 6 cm，那么AE + DE= cm.3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A. △ABC的三条中线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点C. △ABC三条角平分线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点设计意图：考查学生对角平分线的判定的理解.设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的运用.设计意图：考查学生对“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”的运用.BCA4. 已知：如图，△ABC中，△C = 90°，AD是△ABC 的角平分线，DE△AB于E，F在AC上，BD = DF.求证：CF = EB.5.如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置. 设计意图：考查学生对角平分线性质与判定的掌握，提高学生作图能力.板书设计1.4.2等腰三角形三角形三条内角的平分线三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.课后小结教学反思。
初中数学北师大版八年级下册：三角形中的角平分线(教案)
第一章三角形的证明４．角平分线第二课时三角形中的角平分线一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
二、教学任务分析本节课的教学目标是：1．知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．2．能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．3．情感与价值观要求①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点重点①三角形三个内角的平分线的性质．②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．三、教学过程分析(一)、回顾与思考：角平分线定理和逆定理。
角平分线定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(二)、探求新知做一做1：剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.问题：观察这三条角平分线,你发现了什么?结论:三角形三个角的平分线相交于一点.做一做2：利用尺规作出三角形三个角的角平分线.问题：再观察这三条角平分线,你又发现了什么?与同伴交流.结论:三角形三个角的角平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.思考分析：如何证三条直线交于一点？基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等已知：如图，在△ABC 中，角平分线BM 与角平分线CN 相交于点P，过点P 分别作AB,BC,AC 的垂线，垂足分别为D,E,F.求证：∠A 的平分线经过点P,且PD=PE=PF证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，且PD⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是D、E ，∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PE=PF．∴点P 在∠BAC 的平分线上即∠A 的平分线经过点PD FEM NCBAP在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等（三）、例题讲解[例3]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4cm ，求AC 的长；(2)求证：AB=AC+CD ．分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4cIn ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．ADBEC∵∠C=90°，∴∠B=12×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中BD=2DE2.=42cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．(2)证明：由(1)的求解过程可知，△ACD≌△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．（四）、挑战自我1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.证明∵∠C=90°∴∠B=30°∴在Rt△ABC中，AB=2BC,∠BAC=60°∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=30°,AD=BD∴在Rt△ACD中，AD=2CD∴BD=2CD2、已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分线．P DAE COB证明：(1)P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt △OPC 和Rt △OPD 中，OP =OP ，PC =PD ，∴△OPC ≌△OPD (HL)．∴OC =OD (全等三角形对应边相等)．(2)由PC=PD 得P 在CD 的垂直平分线上由OC=OD 得O 在CD 的垂直平分线上∴OP 是CD 的垂直平分线.思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?3、拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC 一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?l 3l 21l CBA要求学生思考、交流。
北师大版八年级数学下册 角平分线-教案
《4 角平分线》教案第1课时教学目标掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题．教学重点难点重点：掌握角的平分线的性质和判定．难点：例解性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题．教学过程1、引例在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？2、角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．例1、在△ABC 中，已知点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，并且BE=CF ，试证：AD 在∠BAC 的角平分线上．3、角平分线的判定定理例2、在∠AOB 中有一点P ，已知PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，且PE=PF ．试证：点P 在∠AOB 的角平分线上．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．例3、在△ABC 中，已知AD 将∠BAC 平分，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试证：BE=CF ．4、练习在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，BN 平分∠ABC ，AM 与BN 于点P ，试证：点P 到三边的距离都相等；点P 在∠ACB 的角平分线上．四、小结1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． S公路铁路P第2课时教学目标1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理．2、进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学重难点证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理．教学过程一、学习准备1、三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离．2、三角形三条边的角平分线相交于一点，这一点一定在三角形．二、自学提示探究一：1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线，你发现什么结论，并证明．如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离．引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=＿＿．例：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．已知：CD=4cm，求AC长．求证：AB=AC+CD．一、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在＿＿．2、△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D到AB 的距离为＿＿．3、如下左图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=＿＿cm．4、如上右图△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为＿＿．5、Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是＿＿．。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线优秀教学案例
（四）反思与评价
1.学生自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，思考自己在探究过程中的优点和不足，提高自我认识和自我调整能力。
2.同伴评价：鼓励学生互相评价，发现他人的优点和不足，培养学生的评价能力和同理心。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以日常生活中常见的角的平分线现象为例，如剪刀的剪切角、钟表的指针等，引导学生关注角的平分线，激发学生学习兴趣。
2.问题情境：设计一些与角平分线相关的问题，如“为什么剪刀的剪切角是角的平分线？”、“如何在给定角上画出它的平分线？”等，激发学生思考，引导学生主动探究。
3.学生能够画出给定角的平分线，并判断一个线段是否为角的平分线。
4.学生能够了解角平分线与垂线的联系，能够运用角平分线和垂线的性质解决实际问题。
（二）过程与方法
1.学生通过观察、分析、推理、验证等方法，探究角的平分线的性质。
2.学生通过自主学习、合作交流、讨论等方式，培养问题解决能力和团队合作能力。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版八年级数学下册1.4角的平分线。在学习了角的概念和垂线的性质后，学生已经具备了一定的几何知识基础。然而，对于角的平分线的概念和性质，他们可能还存在一定的困惑。因此，我制定了以下教学案例，旨在通过探究角的平分线的相关性质，提高学生的空间想象能力，培养他们的逻辑思维能力。
3.角的平分线应用：通过一些实际例子，引导学生学会运用角的平分线解决一些简单的几何问题，如求解角度、证明线段平行等。
（三）学生小组讨论
1.分工合作：将学生分成小组，根据学生的特长和兴趣，分配不同的任务，如观察角的平分线、画角的平分线、分析角的平分线的性质等，促进学生的团队合作。
初中数学北师大八年级下册(2023年修订) 三角形的证明角平分线教案
角平分线思教师巡视指导，总体协调，维持课堂秩序【导学流程】一、基础感知知识回顾引入新课：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等符号语言：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.二、深入学习探究点1：角平分线的判定定理已知：在△AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上。
问FEDCBA21EDCPOBA21EDCPOBA几何语言：练习：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别 为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且OB = OC 。
求证：∠1 =∠2。
探究点2：三角形角平分线的性质 已知：如图，设△ABC 的角平分线BM 、 CN 相交于点P ，求证：P 点在∠BAC 的角 平分线上。
证明：过P 点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D 、E 、F 是垂足。
21EDCPOBA21OE DABC定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等符号语言：即时练习：1、到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定2、如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=3、如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则中转站P可选择的点有（）A. 一处B. 二处C. 三处4、△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD议教师巡视指导，总体协调，维持课堂秩序小组合作讨论纠正组长负责协调：小组组长负责：看小组成员做题的正确率和过程，小组内先进行讲解纠正学生在思的基础上，把不能完全参透的知识抛出来讨论，再次促进学生思考的过程，让知识更加透彻化展仔细倾听，为评做准备展思的内容1、培养学生的理解能力学生思和议的成果，看学生的自学掌握度，为评做好准备评1、对孩子的错题，以及写法规范进行归正和点评2、对本节课的知识要点进行归纳整合，学生做好笔记，让学生再次明确本节课学习任务及目标仔细聆听，做好笔记，归纳整合对学生本节课暴露出来的问题进行点评，是本节课的收拢之笔。
三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案
三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案
一、知识要点
1.角平分线的定义和性质；
2.角平分线定理：如果一条直线同时平分一个角的两个邻角，则这条直线称为这个角的角平分线，且它们所在的两条线段相等；
3.角平分线定理的应用。
二、教学过程
1. 导入
通过展示一张三角形的图片，引导学生回忆三角形中的各个角的特点，并提问：如何在三角形中找到一条直线，同时平分一个角的两个邻角？
2. 讲解
1.形式化定义：角平分线是指如果一条直线同时平分一个角的两个邻角，则这条直线称为这个角的角平分线。
2.角平分线定理：一条直线为三角形中某个角的角平分线，当且仅当这条直线与这个角的另外两个邻边相交于两个点，使得这条直线被分割成两条线段，这两条线段长度相等。
3. 讲解示意图
引入一张三角形和角平分线的示意图，通过让学生标注图中的各个角和线段，加深学生对角平分线的理解。
4. 计算练习
讲解角平分线的计算练习，如求角平分线的长度等操作。
5. 角平分线定理应用
引入角平分线定理的应用，让学生通过练习题熟悉角平分线定理的应用方法。
6. 总结
温习本节课所讲知识点，引导学生总结学习成果。
三、教学重点
1.角平分线的定义和性质；
2.角平分线定理的应用。
四、教学难点
学生可能会混淆角平分线和角的平分线的概念，需要通过示意图加以区分。
五、教学评估
通过课堂讨论和练习题进行课堂评估，了解学生对于角平分线的掌握程度，并根据评估结果进行调整，做到因材施教。
以上是三角形中的角平分线-北师大版八年级数学下册教案。
北师大版八年级下册数学1.4角平分线(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线。它在几何图形的分割和构造中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个实际图形的分割问题，展示角平分线如何帮助我们解决几何问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如角平分线上的点到两边距离相等的性质，我会通过举例和作图来帮助大家理解。
2.探索与发现：引导学生通过尺规作图探索角平分线的作法，培养他们的探究精神和动手操作能力，发现几何图形中的规律和性质。
3.逻辑推理：Leabharlann 教学过程中，训练学生运用严密的逻辑推理证明角平分线的性质，提高他们的逻辑思维和论证能力。
4.数学表达：培养学生用准确、简洁的数学语言描述角平分线的相关概念和性质，提高数学表达能力。
-实际应用：能够将角平分线的知识应用到解决实际问题中，如土地划分、建筑设计等。
举例：在讲解重点内容时，可以通过以下方式强调：
-通过动态图示或实物演示，让学生直观感受角平分线的定义。
-通过具体的例题，如“一个角的平分线将这个角分成了两个30°的角，求这条平分线上的点到这个角两边的距离”，来讲解和强调角平分线的性质。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的定义、性质以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。
学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、垂线的性质等知识，为本节课的学习打下了基础。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探索角平分线的性质，并运用角平分线解决实际问题，从而提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对角的概念、垂线的性质等有一定的了解。
但学生在学习本节课时，仍需要通过实例来加深对角平分线概念的理解，并熟练运用角平分线解决实际问题。
此外，学生对几何图形的观察、分析、推理能力还需加强，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生观察、操作、思考，培养学生的几何素养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握角平分线的概念、性质，并能运用角平分线解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与数学学习的积极性。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质及运用。
2.难点：角平分线的性质的证明及运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生探索角平分线的性质。
2.操作法：学生通过实际操作，观察角平分线的性质，加深对知识的理解。
3.讨论法：学生分组讨论，分享各自的解题思路，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备等。
2.学具：学生每人一份角平分线的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问：“什么是垂线？垂线有什么性质？”引导学生回顾垂线的知识，为新课的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个实例：在三角形中，从一个顶点向对边画一条垂线，这条垂线会把对边平分，那么这条垂线还有什么特殊的性质呢？从而引出本节课的主题——角平分线。
《 角平分线》 (第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章三角形的证明1.4角平分线教学设计第1课时一、教学目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.二、教学重点及难点重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源角平分线的尺规作图动画演示，微课.五、教学过程【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定民宅位置利用此性质就能完成．设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．【探究新知】1.角的平分线的尺规作图 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．师：思考：为什么要以大于MN 的长为半径画弧？ 生：因为以小于或等于MN 的长为半径画弧时不能形成交点．2．角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 生：可用量角器，也可以用对折角的方法．师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？生：量角器、尺规作图。
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《4 角平分线》教案
第1课时
教学目标
掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题．
教学重点难点
重点：掌握角的平分线的性质和判定．
难点：例解性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题．
教学过程
1、引例
在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？
2、角平分线的性质定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
例1、在△ABC 中，已知点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，并且BE=CF ，试证：AD 在∠BAC 的角平分线上．
3、角平分线的判定定理
例2、在∠AOB 中有一点P ，已知PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，且PE=PF ．试证：点P 在∠AOB 的角平分线上．
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
例3、在△ABC 中，已知AD 将∠BAC 平分，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试证：BE=CF ．
4、练习
在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，BN 平分∠ABC ，AM 与BN 于点P ，试证：点P 到三边的距离都相等；点
P 在∠ACB 的角平分线上．
四、小结
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．S
公路
铁路
P
第2课时
教学目标
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理．
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力．
教学重难点
证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理．
教学过程
一、学习准备
1、三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离．
2、三角形三条边的角平分线相交于一点，这一点一定在三角形．
二、自学提示
探究一：
1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线，你发现什么结论，并证明．
如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上．
定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离．
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=＿＿．
例：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
已知：CD=4cm，求AC长．求证：AB=AC+CD．
一、当堂训练：
1、到一个角的两边距离相等的点在＿＿．
2、△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D到AB 的距离为＿＿．
3、如下左图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=＿＿cm．
4、如上右图△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为＿＿．
5、Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是＿＿．。