第十二讲结构可靠度计算方法(2)
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9.3.3 非正态变量
对变量进行当量化处理。
转换条件：设计验算点处
1. 当量正态变量与原非正态变量概率分布函数值（尾部面
F X 积）相等；
*
X
， i
i
F Xi
X
*
i
f X 2.概率密度函数值（纵坐标）相等。
*
X
， i
i
f Xi
X
*
i
X
，
i
X
*
i
Φ1
F Xi
X
*
i
X
，
i
9.4
R* R R cos R
Sˆ* Oˆ P* cosS cosS
S* S S cosS
P*在极限状态直线上，其坐标满足
g(R*, S*) R* S* 0
已知：S，R的统计参数 S、 S、R、 R 计算：方向余弦 cos R、cos S 计算： 、S *、R *
满足： g(R * ,S * ) R * S * 0
9.3 验算点法
中心点法方法对正态分布及对数正态分布时比较合适，这种 β计算方法已为一些实际规范所采用。
但当分布不是正态分布或对数正态分布时，计算结果与实际 情况有较大出入。此外，在泰勒级数展开中只保留了线性项， 故当极限状态方程为非线性时，有较大误差。
在可靠指标β的几何意义
R
安全域
Rˆ
原点至 极限状 态方程 直线的 最短距 离
i1,n
Pfi
一般并联系统失效概率Pf
n
Pfi
i 1
Pf
min
i1,n
Pfi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 对超静定结构
当结构的失效形态唯一时，结构体系的可靠度总大于或等于（）构
件的可靠度
Pf
min
i1,n
Pfi
(并联模型)
当结构的失效形态不唯一时，结构每一失效形态对应的可靠度总大 于或等于（ ）构件的可靠度，而结构体系的可靠度又总小于等于（） 每一失效形态所对应的可靠度
S
极限状态方程： Z R S 0 Z R R S S 0
R R
R
R R Rˆ R R
R
R
第二次转换
oˆ R
Sˆ S S S
P S
o
S S
o
S
S S
S
极限状态方程：Z R R S S 0 Z Rˆ R Sˆ S R S 0
OˆP直线方程Rˆ R Sˆ 与极限状态方程的交点P （Rˆ ，Sˆ ）
各失效形态间存在相关性 结构体系可靠度的上、下界
各构件的工作状态Xi、失效状态Xi、各构件失效概率Pfi 结构系统失效概率Pf
1、串联系统
▲元件（n个）工作状态完全独立
Pf
1
P
n
X
i 1
i
1
n
i 1
1
Pfi
▲元件（n个）工作状态完全相关
Pf
1
P
min
i1,n
X
i
1
min (1
i1,n
Pf
min
i1,n
Pfi
max
i1,n
Pfi
Pf
(并联模型) (串联模型)
二、验算点法 （以两个正态基本变量R、S情况为例）
多个正态基本变量情况 ——自学 多个非正态基本变量情况——自学
将一般正态分布N（ , ） 标准正态分布N（0，1）
坐标变换
R
R R
R
第一次变换
45 0
o
S
o
S S
排架柱
(3)串—并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效状态不限于一种， 则这类结构系统 ~ 串-并联模型
2 34 2
4
3
42 3
4
1
51
1
钢构架
2
4
5
51 1 3 4
5
51
5
2
3
4
截面塑性铰元件
由脆性构件组成的超静定结构并联子系统可简化为一个单元? 串联模型
（当一个元件发生破坏，就可近似认为整个结构破坏） 二、结构体系可靠度的上下界 同一结构中不同构件的失效有一定相关性
结构构件(包括连接）的可靠度 结构体系可靠度? 一、基本概念 1、结构构件的失效性质（根据其材料和受力性质不同） 脆性构件 --一旦失效立即完全丧失功能的构件 延性构件--失效后仍能维持原有功能的构件 构件失效性质的不同，对结构体系可靠度的影响不同 2、结构体系的失效模型 组成结构的方式（静定、超静定） 构件失效性质（脆性、延性） 串联模型、并联模型、串-并联模型
其中
cosR
R
2 R
2 S
cosS
S
2 R
2 S
标准法线式 距离OP*
除以法线化因素
2 R
2 S
R S
2 R
2 S
可靠指标
验算点法
验算点法中，β的计算转化为求OP*的长度。 P* 是极限 状态直线上的一点，称为设计验算点。
标准化空间中P*的坐标
一般空间中P*的坐标
Rˆ* Oˆ P* cosR cosR
相关随机变量的结构可靠度
X
，
i
1
F Xi
X
*
i
fX i
X
*
i
实际工程中随机变量间可能存在着一定的相关性，对结构 的可靠度有着明显的影响，特别在高度正相关或负相关时。
正交变换法：将相关的随机变量变换为不相关的随机变量， 然后用JC法计算。
在广义空间内建立求解可靠指标的迭代公式。
9.3 结构体系的可靠度
9.3.2 多个正态分布随机变量验算点法
在多位情况下，极限状态面（或称为边界条件）为一曲面。 可以证明标准化空间坐标系原点到极限状态曲面的法线距 离就是可靠指标β值。
可靠指标的计算转化为求得原点到曲面的最短距离。
计算公式见（9-42）、 （9-43）、 （9-44）、 （941）、或（9-55）采用迭代法求解β值。
（1）串联模型
若结构中任一构件失效，则整个结构也失效，这类结构系统~串联模 型
P
P
P
桁架杆件
S
S
所有静定结构的失效分析 ~ 串联模型 由脆性构件做成的超静定结构的失效分析 ~ 串联模型
（2）并联模型 ~ 若构件中有一个或一个以上的构件失效，剩余的构件或失效的延 性构件，仍能维持整体结构的功能 所有超静定结构的失效分析 ~ 并联模型
Pfi
)
max
i1,n
Pfi
▲一般串联系统失效概率Pf
n
max
i1,n
Pfi
Pf
1 1 Pfi
i 1
对于静定结构，结构体系的可靠度总≤构件的可靠度
2、并联系统 元件（n个）工作状态完全独立
Pf
P
n
Xi
i 1
n
Pfi
i 1
元件（n个）工作状态完全相关
Pf
P
min
i1,n
X
i
min
β0 P*
μR
N0
P*
Rˆ *
Sˆ* Oˆ
-β
极限状态曲面
Rˆ R R R
失效域
Sˆ S S
Sˆ
S
O
μS
μS
S
9.3 验算点法
极限状态方程
g(R, S) R S 0
标准化空间极限状态方程
RRˆ SSˆ R S 0
标准化空间极限状态方程也可用下式表达
Rˆ cosR Sˆ cosS 0
对变量进行当量化处理。
转换条件：设计验算点处
1. 当量正态变量与原非正态变量概率分布函数值（尾部面
F X 积）相等；
*
X
， i
i
F Xi
X
*
i
f X 2.概率密度函数值（纵坐标）相等。
*
X
， i
i
f Xi
X
*
i
X
，
i
X
*
i
Φ1
F Xi
X
*
i
X
，
i
9.4
R* R R cos R
Sˆ* Oˆ P* cosS cosS
S* S S cosS
P*在极限状态直线上，其坐标满足
g(R*, S*) R* S* 0
已知：S，R的统计参数 S、 S、R、 R 计算：方向余弦 cos R、cos S 计算： 、S *、R *
满足： g(R * ,S * ) R * S * 0
9.3 验算点法
中心点法方法对正态分布及对数正态分布时比较合适，这种 β计算方法已为一些实际规范所采用。
但当分布不是正态分布或对数正态分布时，计算结果与实际 情况有较大出入。此外，在泰勒级数展开中只保留了线性项， 故当极限状态方程为非线性时，有较大误差。
在可靠指标β的几何意义
R
安全域
Rˆ
原点至 极限状 态方程 直线的 最短距 离
i1,n
Pfi
一般并联系统失效概率Pf
n
Pfi
i 1
Pf
min
i1,n
Pfi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 对超静定结构
当结构的失效形态唯一时，结构体系的可靠度总大于或等于（）构
件的可靠度
Pf
min
i1,n
Pfi
(并联模型)
当结构的失效形态不唯一时，结构每一失效形态对应的可靠度总大 于或等于（ ）构件的可靠度，而结构体系的可靠度又总小于等于（） 每一失效形态所对应的可靠度
S
极限状态方程： Z R S 0 Z R R S S 0
R R
R
R R Rˆ R R
R
R
第二次转换
oˆ R
Sˆ S S S
P S
o
S S
o
S
S S
S
极限状态方程：Z R R S S 0 Z Rˆ R Sˆ S R S 0
OˆP直线方程Rˆ R Sˆ 与极限状态方程的交点P （Rˆ ，Sˆ ）
各失效形态间存在相关性 结构体系可靠度的上、下界
各构件的工作状态Xi、失效状态Xi、各构件失效概率Pfi 结构系统失效概率Pf
1、串联系统
▲元件（n个）工作状态完全独立
Pf
1
P
n
X
i 1
i
1
n
i 1
1
Pfi
▲元件（n个）工作状态完全相关
Pf
1
P
min
i1,n
X
i
1
min (1
i1,n
Pf
min
i1,n
Pfi
max
i1,n
Pfi
Pf
(并联模型) (串联模型)
二、验算点法 （以两个正态基本变量R、S情况为例）
多个正态基本变量情况 ——自学 多个非正态基本变量情况——自学
将一般正态分布N（ , ） 标准正态分布N（0，1）
坐标变换
R
R R
R
第一次变换
45 0
o
S
o
S S
排架柱
(3)串—并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效状态不限于一种， 则这类结构系统 ~ 串-并联模型
2 34 2
4
3
42 3
4
1
51
1
钢构架
2
4
5
51 1 3 4
5
51
5
2
3
4
截面塑性铰元件
由脆性构件组成的超静定结构并联子系统可简化为一个单元? 串联模型
（当一个元件发生破坏，就可近似认为整个结构破坏） 二、结构体系可靠度的上下界 同一结构中不同构件的失效有一定相关性
结构构件(包括连接）的可靠度 结构体系可靠度? 一、基本概念 1、结构构件的失效性质（根据其材料和受力性质不同） 脆性构件 --一旦失效立即完全丧失功能的构件 延性构件--失效后仍能维持原有功能的构件 构件失效性质的不同，对结构体系可靠度的影响不同 2、结构体系的失效模型 组成结构的方式（静定、超静定） 构件失效性质（脆性、延性） 串联模型、并联模型、串-并联模型
其中
cosR
R
2 R
2 S
cosS
S
2 R
2 S
标准法线式 距离OP*
除以法线化因素
2 R
2 S
R S
2 R
2 S
可靠指标
验算点法
验算点法中，β的计算转化为求OP*的长度。 P* 是极限 状态直线上的一点，称为设计验算点。
标准化空间中P*的坐标
一般空间中P*的坐标
Rˆ* Oˆ P* cosR cosR
相关随机变量的结构可靠度
X
，
i
1
F Xi
X
*
i
fX i
X
*
i
实际工程中随机变量间可能存在着一定的相关性，对结构 的可靠度有着明显的影响，特别在高度正相关或负相关时。
正交变换法：将相关的随机变量变换为不相关的随机变量， 然后用JC法计算。
在广义空间内建立求解可靠指标的迭代公式。
9.3 结构体系的可靠度
9.3.2 多个正态分布随机变量验算点法
在多位情况下，极限状态面（或称为边界条件）为一曲面。 可以证明标准化空间坐标系原点到极限状态曲面的法线距 离就是可靠指标β值。
可靠指标的计算转化为求得原点到曲面的最短距离。
计算公式见（9-42）、 （9-43）、 （9-44）、 （941）、或（9-55）采用迭代法求解β值。
（1）串联模型
若结构中任一构件失效，则整个结构也失效，这类结构系统~串联模 型
P
P
P
桁架杆件
S
S
所有静定结构的失效分析 ~ 串联模型 由脆性构件做成的超静定结构的失效分析 ~ 串联模型
（2）并联模型 ~ 若构件中有一个或一个以上的构件失效，剩余的构件或失效的延 性构件，仍能维持整体结构的功能 所有超静定结构的失效分析 ~ 并联模型
Pfi
)
max
i1,n
Pfi
▲一般串联系统失效概率Pf
n
max
i1,n
Pfi
Pf
1 1 Pfi
i 1
对于静定结构，结构体系的可靠度总≤构件的可靠度
2、并联系统 元件（n个）工作状态完全独立
Pf
P
n
Xi
i 1
n
Pfi
i 1
元件（n个）工作状态完全相关
Pf
P
min
i1,n
X
i
min
β0 P*
μR
N0
P*
Rˆ *
Sˆ* Oˆ
-β
极限状态曲面
Rˆ R R R
失效域
Sˆ S S
Sˆ
S
O
μS
μS
S
9.3 验算点法
极限状态方程
g(R, S) R S 0
标准化空间极限状态方程
RRˆ SSˆ R S 0
标准化空间极限状态方程也可用下式表达
Rˆ cosR Sˆ cosS 0