人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题

人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题
一 依托函数的解析式，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点 例1 抛物线 y=2
x -4x+
2
m
与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .
思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-a
b 2； （2）明确抛物线y=a 2
x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2
x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-a
b
2．
解：因为抛物线 y=2
x -4x+
2m 的对称轴是：直线x=-a b 2=-2
4
-=2；
设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以
2
12
x +=2，解得2x =3， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3,0）．
二 依托函数的图像，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点
例 2 抛物线y=a 2
x +bx+c （a ≠0）的图像如图1所示，则抛物线的对称轴是直线_____________，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .
思路点拨： 仔细观察函数的图像，从中找出解题所需要的关键，有价值的信息是解题的核心．
解：仔细观察图像，知道函数的对称轴是：直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标 为3，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以
2
32
x +=1，解得2x =-1， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．
三 依托表格，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点
例3 抛物线y=-2
x +bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
根据上表信息，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .
思路点拨：仔细看准图表，从表格中落实好如下两个知识点：
（1）函数值为0的x值就是抛物线与x轴的一个交点的横坐标；
（2）函数值相等的两个点就是抛物线上的一对对称点，其横坐标和的一半就是抛物线的对称轴．
解：从表格中知道抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），点（0,6）和（1,6）时抛物线上的一对对称点，所以抛物线的对称轴是直线x=
2
1
0+
=
2
1
．设抛物线与x轴的另一个交点的坐
标是（
2
x，0），所以
2
2
2
x
+
-
=
2
1
，解得
2
x=3，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是
（3,0）．
四依托图像，根据对称轴探求不等式的解集
例4 如图2，是二次函数y=a2x+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式a2x+bx+c＜0的解集是 .
思路点拨：要想确定不等式a2x+bx+c＜0的解集，同学们需要根据图像所揭示的信息，把握好如下几点：
（1）根据抛物线的开口方向，确定符合条件的不等式的解集的大致范围；
（2）根据图像揭示的信息，确定出抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）利用交点坐标的横坐标来描述不等式的解集．
解：因为抛物线的开口向上，所以满足a2x+bx+c＜0的大致范围应该是在抛物线与x轴的交点横坐标之间．因为抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴一交点为A（3，0），设抛物线与
x轴的另一个交点的坐标是（
2
x，0），所以
2
3
2
x
+
=1，解得
2
x=-1，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．所以不等式a2x+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．
x …-2 -1 0 1 2 …
y …0 4 6 6 4 …
五 依托图像，根据对称轴探求点的坐标
例5如图3，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）
A ．（2，3）
B ．（3，2）
C ．（3，3）
D ．（4，3）
思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-a
b
2； （2）明确抛物线y=a 2
x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2
x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-a
b
2．
解：因为抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，所以点A 与点B 是一对对称点，因为点A 的坐标为（0，3），所以点B 的 纵坐标与点A 的纵坐标相同，横坐标关于对称轴对称，设点B 坐标为（1x ，3）， 所以所以
2
01
x +=2，解得1x =4，所以点B 的坐标为（4,3）．因此我们应该选D ． 六 依托函数的表达式，根据函数的对称性，比较纵坐标的大小
例6 已知抛物线y=a 2
x +bx+c （a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、 B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2y
B ．1y =2y
C ．1y ＜2y
D ．不能确定
思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）准确定位抛物线的开口方向； （2）找准抛物线的对称轴：直线x=-
a
b 2； （3）选准所要用的性质：
当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；
当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
（4）当所要比较大小的两个点，不在对称轴的同侧时，要充分利用构造对称点的方法，将异侧点转化成同侧点，后用性质完成问题的解答．
解：因为抛物线y=a 2
x +bx+c 的二次项系数a ＜0，所以抛物线的开口向下；因为抛物线
经过A （-2，0）、O （0，0），所以抛物线的对称轴为
2
)
2(0-+=-1；所以B （-3，1y ）、C （3，2y ）在对称轴的异侧．设点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1x ，1y ），则2
)
3(1-+x =-1，
解得1x =1，所以点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1，1y ）．这样点M 与点C 就都在对
称轴的右侧，且1＜3，根据当a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，得到：
1y ＞2y ，因此我们应该选A ．
七 依托函数的图像，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值
例7 .如图4所示，设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=a 2
x +bx+2
a -5a-6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）
A. 6或－1
B. －6或1
C. 6
D. －1 思路点拨：
正确看懂函数的图像是解题的关键．仔细观察第一个和第二个函数的图像，知道图像是关于y 轴对称的，因此b=0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第一个和第二个；在第三个图像中展示出来的信息主要是：抛物线的开口向上，所以a ＞0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-
a
b
2＞0，所以b ＜0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第三个．综上所述，知道函数的图像一定是第四个，而第四个函数图像所展示的信息是：抛物线的开口向下，所以a ＜0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-a
b
2＞0，所以b ＞0；图像经过原点，所以2
a -5a-6=0，解得a=6或a=-1，又a ＜0，所以a=-1． 解：选D ．
八 依托函数的图像和平行四边形，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值
例8 如图5所示，二次函数y=a 2
x 上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5,0），D(3,0)构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0,6），则实数a= ．
思路点拨：
在解答时，基本思路是：
（1）根据点的坐标确定出平行四边形的边长 因为A （-5,0），D(3,0)，所以DA=3-(-5)=8. (2)根据平行四边形的性质确定出BC 的长
因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC=AD=8． （3）根据函数的对称性确定出点B ，点C 的横坐标
因为二次函数y=a 2
x 的图像关于y 轴对称，点B ，C 在二次函数y=a 2
x 上， 所以点B ，点C 关于y 轴对称，所以点B 的横坐标为-4，点C 的横坐标为4. (4)根据平行线的性质确定点B ，点C 的纵坐标 因为BC ∥AB ，且点E （0,6），所以点B ，点C 的纵坐标都是6． （5）确定点的坐标，代入解析式定字母的值 所以点C 的坐标是（4，6），所以16a=6，所以a=8
3
． 解：应该填8
3．。