图论GraphTheory教学

a
11
图的基本类型（1）
根据图中边的类型可将图分为：
无向图(undirected graph) 有向图(directed graph) 混合图(mixed graph)
多重图(multiple graph)
简单图(simple graph)
a
12
图的基本类型（2）
无向图(undirected graph)：所有边都是无向边的图。 有向图(directed graph)：所有边都是有向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。
两结点之间的多条无向边或
多条方向相同的有向边称为平行边。 a
b
两个端点a和b之间平行边的条数
称为边(a,b)（或<a,b>）的重数
自回路（环）(Self-loop / Ring) v1
两个端点重合的无向（有向）边。
a
10
图的基本概念 3
边与结点的关系
设边e的端点为a和b
边e关联(incident)于顶点a和b（或a和b关联边e） a、b是邻接（相邻）的(adjacent)
a
5
图的基本概念 1
图（graph）：由结点（顶点）(vertex) 和连接结点的边所构成的图形.
A
V(G)表示图G的结点集
E(G)表示图G的边集。
B
D
图G可记为<V(G),E(G)>或<V,E> C
有n个顶点和m条边的图记为(n,m)图或称 为n阶图。
a
6
注意：图论中研究的图只关心图的结点之 间是否有边相连，不关心结点的位置和边 的长短
第五章 图 论 (Graph Theory)
a
1
图论的起源
Konigsberg(柯尼斯堡)七桥问题
能否从河岸或小岛出发，恰好通过每一座桥一次 再回到出发地?
a
2
欧拉引进了图论
瑞士数学家Euler(欧拉)于1736年从理论上圆满 解决这个问题。
A
抽象
D
B
D
A B
C
C
a
3
图论发展过程
1736年 － 欧拉解决柯尼斯堡七桥问题－图论产生
a
18
图的基本类型（5）
底图：将有向图G的所有有向边换成无向边，得到 的无向图称为G的底图。
a
19
图的基本类型（6）
定向图：将无向图G中每条无向边指定一个方向所 得到的图称为G的定向图。
a
20
图的基本分类（7）
逆图
称将为有G向的图逆G图的，每记一为条～G边。的方向颠倒所得到的图
a
a
b
c
逆图 b
c
a
21
结点的度（1）
结点v的度: 指结点v关联的边数， 记为deg(v)或d(v)。
注意：每个环看作两条边
d(c)=4
c
d(d)=2
d
b d(b)=2
a d(a)=4
a
22
结点的度（2）
有向图中，度可分为：出度(out-degree)和入度 (in-degree)
结点v的出度: 以v为起点的有向边的数目 记为deg+(v) 或d+(v)
结点v的入度: 以v为终点的有向边的数目， 记为deg-(v)或d-(v)
有向图中结点v的度d(v)：d(v)=d+(v)+d-(v)
a
deg+(c) = 2
deg-(c) = 3
b
c
deg(c) = deg+(c) + deg-(c) = 5
a
23
定理 1
设图G是具有n个顶点、m条边的有向图，
a
15
回顾
类型
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图 有限图 无限图
特点
所有边都有方向 所有边都无方向
既有有向边又有无向边 有平行边
无平行边和环 结点数有限 结点数无限
a
16
练习题
判断下面给出的两个图的类型。
有向图 无向图 混合图 多重图 简单图
无向图
有向图 简单图
a
17
图的基本分类（4）
底图 定向图 逆图
(a)
(b)
a
(c)
13
图的基本分类（2）
多重图(multiple graph)：含平行边的图 简单图(simple graph)：无环和平行边的图
a
b
c
a
14
图的基本分类（3）
根据图中结点的数目可分为： 有限图(finite graph)：顶点个数有限的图 无限图(infinite graph)：顶点个数无限ຫໍສະໝຸດ Baidu图
A
B
D C
B
D
A
C
a
7
图的基本概念 2(1)
边(edge)
有向边(directed edge) 无向边(indirected edge) 平行边(parallel edge ) 自回路（环）(Self-loop / Ring)
a
8
图的基本概念 2(2)
边(edge)
有向边(directed edge)
V(G)={v1,v2,···,vn}，则
n
n
de(gvi) de(gvi)m
i1
i1
a
24
定理 2 （Hankshaking）
设 则图G是具有n个顶点、m条边，V(G)={v1,v2,···,vn}，
n
degv(i) 2m
i1
推论：度数为奇数的顶点个数必为偶数。
a
25
常用的简单图
赋权图 无向完全图 有向完全图 竞赛图 正则图
a
26
赋权图
赋权图是顶点或边附加了信息的图。 顶点或边中附加的信息称为权。
a
27
赋权图例
A
5
B 15 C
20
8
2
1D
7
2 4
F
E
6
a
28
普通图和赋权图
[比较] 对普通图，主要研究结点和边之间的拓扑关系
度，连通，通路等性质
赋权图给普通图附加了数量关系
距离，成本，代价，规模等性质
a
29
端点有始点和终点之分的边。 用有序二元组<始点,终点>表示
v1
v2
<v1,v2>
无向边(indirected edge)
边的两个端点都可以作始点和终点的边 v1
v2
端点为v1和v2的无向边表示为 (v1, v2) 或v1v2
a
9
图的基本概念 2(2)
边(edge)
平行边(parallel edge )
无向完全图
任意两个不同的顶点间都有一条边关联的无向简单图 称为无向完全图
n阶无向完全图记为：Kn
K1
K2
K3
K4
K5
a
30
有向完全图
任意两个不同的顶点之间都有两条方向相反的有向边 相连并且每一个顶点都有一条自回路的有向图 称为有向完全图
a
31
完全图边数
1936 年－图论第一部专著出现《有界图和无界图的 理论》
经过近六十多年的发展，逐渐成为一门相对独立的学 科。
a
4
图论的应用
网络技术的理论基础和重要的研究工具
生物和化学：区别分子式相同但结构不同的两 种化合物。
计算机和通信：用于通信网络和计算机网络的 设计，交通网络的合理分布
大型工程项目的计划管理。