高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课件北师大版必修

2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车 存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
(3)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口． ②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系． ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
4．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产 总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本 为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点．写 出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系．
[边听边记] 设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然 100－10x＞0，即 x＜10， 则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x＜10，x∈N)． 当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利润为 360 元． 答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为 360 元．
合作探究·课堂互动
二次函数模型
某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值．
[思路探究] 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系． 依据：利润＝销售总额－进货总额，可明确所需代数式，日销售量＝(100－ 10x)个；销售总额＝(10＋x)(100－10x)元；进货总额＝8(100－10x)元．
(7)分段函数模型：这个模型是以上几类模型的综合．
数学建模 用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学 建模，可以用图表示数学建模的过程．
[强化拓展] (1)函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归 纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决． (2)解决应用题应遵循以下步骤： 阅读理解 引入符号 运用数学方法 代入实际问题 认真审题 → 建立模型 → 解决数学模型 → 核查说明作答
[自主练习]
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第
四年造林( )
A．14 400亩
B．172 800亩
C．20 736亩
D．17 280亩
解析： 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10 000×(1＋20%)x－1，
∴x＝4时，y＝17 280.故选D.
答案： D
解析： 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次， 则总收入 y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8 ＝0.5x＋1 600－0.8x ＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)． 答案： D
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
4x， 2x＋10，
（1≤x<10，x∈N*） （10≤x<100，x∈N*）
1.5x， （x≥100，x∈N*）
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为 60，则该
公司拟录用人数为________．
解析： 令 y＝60， 若 4x＝60，则 x＝15>10，不合题意； 若 2x＋10＝60，则 x＝25，满足题意； 若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不合题意． 故拟录用人数为 25 人． 答案： 25
1．了解函数模型的广泛应用． 2．能利用已知函数模型求解实际问题．(重点) 3．通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题．(难点) 4．能归纳掌握求解函数应用题的步骤．(重点、难点)
常见函数模型Leabharlann Baidu
(1)一次函数模型：_y_＝__k_x_＋__b_(_k_≠_0_)__． (2)反比例函数模型：__y＝__kx_＋__b_(_k_≠_0_)____． (3)二次函数模型：_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_) _．(一般式) (4)指数函数模型：__y_＝__b_·a_x_＋__c_(_a_＞__0_且__a_≠_1_，__b_≠_0_)___． (5)对数函数模型：__y_＝__m_l_o_g_a_x_＋__n_(m__≠_0_，__a_＞__0_且__a_≠_1_)__． (6)幂函数模型：__y_＝__a_x_n_＋__b_(a_≠_0_)___．
§2 实际问题的函数建模
自主学习·新知突破
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这 种关系的关键．
1．在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ [提示] 指数函数模型．
2．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ [提示] 二次函数模型． 3．出租车的计费是采用的什么函数模型？ [提示] 分段函数模型．
已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解析： (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10，25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．