高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课件北师大版必修
高一数学课件4-2《实际问题的函数建模》北师大版必修1
[解析] 设每天应从报社买 x 份，易知 250≤x≤400. 设每月赚 y 元，得 y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－ 250)×0.08×10－0.35·x·30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为 y＝0.3x＋1050 是定义域上的增函数， 所以当 x＝400 时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买 400 份报纸，获得利润最大，每月 可赚 1170 元．
[方法总结] (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方 法来处理．
(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真 读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借 助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本 2 元，铅笔每 支 0.5 元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支 铅笔；(2)按总价的 92%付款．现在买软皮本 4 本，铅笔若干 支(不少于 4 支)，若购买铅笔数为 x 支，支付款数为 y 元，试 分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并说明使 用哪种优惠办法更合算？
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)
[分析] 根据题意，建立病毒细胞个数 y 与时间 t 的函数 关系 y＝2t－1，然后利用不等式求解．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言， 恰当地设出符号或字母，将总结出来的文字语言表示的等量 关系，转化为数学符号表示的函数等量关系．
(教师用书)高中数学 4.2 实际问题的函数建模配套课件 北师大版必修1
2 ．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系 是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震 级 M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
函数建模
§ 2
实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画 2．2 用函数模型解决实际问题 2．3 函数建模案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题 中的应用． (2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法 (1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际 意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围． (2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图， 比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的 数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的 函数模型．
理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数 学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是 数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数 学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本 质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的 数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重 要的．
解】
设每桶水的销售价格为 x 元，利润为 y 元，由
表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，销售量就减少 40 桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为： 480－40(x－6)＝720－40x>0，所以 5<x<18， 则利润 y＝(720－40x)x－(720－40x)· 5－200 23 2 ＝－40x ＋920x－3 800＝－40(x－ 2 ) ＋1 490，
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.3 实际问题的函数刻画和用函数模型解
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实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题本节教材分析教科书用例题作为示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习。
在例题中,分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.教科书中还渗透了函数拟合的基本思想。
三维目标1。
知识与技能:能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题。
2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价。
教学重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题。
教学难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价。
教学建议：本节设计可以由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣。
依据课本中两个例题可以让学生学会了函数模型的应用,而且可以留时间让学生体会它们之间的差异；也可以补充例题，选一些难度适中的高考真题或模拟题训练学生.新课导入设计导入一： (创设情景,揭示课题）现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立。
高中数学北师大必修一课件：第四章函数应用-第2节-2.1-2.3
§2实际问题的函数建模2・1实际问题的函数刻画2・2用函数模型解决实际问题2. 3函数建模案例学业层测评1.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用.（重点）2.掌握求解函数应用题的基本步骤.（难点）［基础•初探］教材整理1实际问题的函数刻画阅读教材P|20〜P122整个本节课内容，完成下列问题• 在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.------- 0微体验0 -----------“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S], S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，f为时间，则与故事情节相吻合的是（）【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间，后又更快的增A B C D加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】B教材整理2用函数模型解决实际问题阅读教材比3〜弘5整节课的内容，完成下列问题.1.常用的函数模型2•数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘岀这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求岀具体的函数表达芬再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.。
微体验。
一辆汽车在某段路上的行驶路程S关于时间t变化的图像如图4-2-1,那么图像所对应的函数模型为（图4-2-1A.分段函数C.指数函数B・二次函数D・对数函数【解析】由图像知，在不同时段内, 型为分段函数.【笞案】A路程折线图不同，故对应的函数模教材整理3函数建模案例阅读教材卩125〜P130整节课的内容，完成下列问题* 函数建模1.定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模•2.过程实际情境不合乎实际0微体验 ---------如图4-2-2给岀了红豆生长时间f（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（）y（枝）A・指数函数：y=2l c.幕函数：尸F B.对数函数：D.二次函数：严2『y=log2（【解析】本题考查指数函数模型, 模型拟合效果最好，故选A.【答案】A 根据图像中的点，经验证用指数函数［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:__________________________________________ 解惑：_____________________________________________ 疑问2： ________________________________________ 解惑：_____________________________________________疑问3： ________________________________________ 解惑:［小组合作型］某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的 300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图4-2-3(1)的一条折线表示；西 红柿的种植成本与上市时间的关系用图4-2-3(2)的抛物线表示.一次、二次、分段函数模型 ►fill⑴(2)图4-2-3⑴写出图423(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式P二加; 写岀图4-2-3(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q二g(f). (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大.(注：市场售价和种植成本的单位：元/倍kg,时间单位：天)【导学号：04100078]【精彩点劇本题由函数图像给岀基本条件，解题时要抓住图像特征, 抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题.一汁300, 0GW200, 2f-300, 200<K 300. 【尝试解答】（iw）=-设g⑴二曲T50)2+100@H0),将 /二50, Q—150 代入得"=20(y・：g(f)二点(L150)2 +1 Do® § / § 300).(2)设纯收益为y元，当0©W200时,M)-煎)=(—/+300)—］亦庆—150)2+1001 2丄1丄175=——r+_/-r—200 T2 T 2=—^5(L50)?+100.当f=50时，y取到最大值，且最大值为100.当200VW300 时,「 1 2 , 1 2|7 1 025 1 ),=AO_^(0=(2^-300)-[^-150)"+100] = 二一顽(L 350)2+100.当f=300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大.名师处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数.［再练一题］1.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人, 飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】（1）设旅行团人数为X,飞机票价格为y元，则）-900, 0X30,900-10(x-30), 30X75,900, 0X30,1 200-10%, 30X75.（2）设旅行社获得利润为S元,j900x-15 000, 0<x<30,x(l 200—10x)—15 000> 30GW75.900x-15 000, 0<x<30, -10(X-60)2+21000,30<X<75.即S=因为S=900x-15 000在区间©30］上单调递增,当x=3Q时，S取最大值12 000,又5=-10(X-60)2+21 000在区间(30,75］上,当尸60时，S取最大值21 000.故当兀=60时，旅行社可获得最大利润.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现, 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数。
北师大版2017高中数学(必修一)第4章 2实际问题的函数建模PPT课件
[分析] 每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社的总 价，而收入的总数分为3部分：(1)在可卖出400份的20天里，收 入为0.5x·20；(2)在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有 250份报纸可卖出，收入为0.5×250×10；(3)没有卖掉的(x－250) 份报纸可退回报社，报社付出(x－250)×0.08×10的钱，注意写 出函数式的定义域．
2 b 2 4ac－b 顶点式 y＝a(x＋ ) ＋ 2a 4a
条件 _______ k≠0
k≠0 _______
二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
a≠0 a>0 且 a≠1，b≠0 m≠0，a>0 且 a≠1 a≠0
y＝b· ax＋c y＝mlogax＋n y＝axn＋b
1．一辆汽车的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图像如图所示，那么图像所对应 的函数模型是 导学号 00814973 ( A ) A．一次函数模型 C．指数函数模型 B．二次函数模型 D．对数函数模型
新课标导学
数 学
必修① ·北师大版
第四章
函数的应用 §2 实际问题的函பைடு நூலகம்建模
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽 快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发 现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件． 于是商场经理决定每件衬衫降阶 15 元． 那么经 理的决定正确吗？ 这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决．
命题方向2 ⇨二次函数模型应用
(2017· 成都高一检测)A， B 两城相距 100km， 在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得 少于 10km，已知每个城的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例 系数 λ＝0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月. 导学号 00814979 (1)把 A，B 两城月供电总费用 y(万元)表示成 x(km)的函数，并求定义域． (2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用最小．
高中数学 第4章 §2 实际问题的函数建模优质课件 北师大版必修1
解析: 将x=175代入y=2 1.02x，得
y=2 1.02175
用计算器得：y 63.98
由于
78 63.98 1.22>1.2,
第二十四页，共33页。
1.一家(yī jiā)旅社有100间相同的客房，经过一段 时间的经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价 格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价 住房率
C.15（1+x）+15（1+x）2=95
D.15+15（1+x）+15（1+x）2=95
解析：二月份的产值(chǎnzhí)为：15（1+x），三月份的产
值(chǎnzhí)为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，故由第一
季度总产值(chǎnzhí)为95，得15+15（1+x）+15（1+x）
2=95．
第二十七页，共33页。
4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2 万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产 量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系， 模拟函数可选用二次函数或
已知四月份该产品y 的 产a 量bx为1.c3(7a万, b件, c，为常数）,
第七页，共33页。
解：总成本C与产量(chǎnliàng)x的关系
C=200000+300x；
单位成本P与产量(chǎnliàng)x的关系
P=300+200000 /x；
销售收入R与产量(chǎnliàng)x的关系 R=500x ；
利润L与产量(chǎnliàng)x的关系 L=R-C=200x-
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模北师大版必修
合作探究·课堂互动
二次函数模型
某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值．
[思路探究] 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系． 依据：利润＝销售总额－进货总额，可明确所需代数式，日销售量＝(100－ 10x)个；销售总额＝(10＋x)(100－10x)元；进货总额＝8(100－10x)元．
(3)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口． ②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系． ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解析： (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10，25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
[自主练习]
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第
北师大版高中数学必修1第四章《实际问题的函数建模》参考课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
• （1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓 住关键词语和量，理顺数量关系；
• （2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过 列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为 数学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建 立符合题意的函数模型；
• （3）求解函数模型得出结论；
1．可用一、二次函数模型解决的实际问题
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公 司要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地 面PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF 地区内有文物，不得使用三角形AEF内的部分，这可给公 司经理犯难了，设计不好会给公司带来损失的，其实，在 经理为难之际，小王早已经想好了对策！你知道小王是怎 样设计才能使建造住宅小区的面积达到最大的吗？ 已测量出AB长为200米，BC长为160米，AE长为60米， AF长为40米。
• 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降 为51元？
• 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元，写出 y关于X的函数解析式；
• 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多 少元？如果订购1000个，利润又是多少元？
例3.《中华人民国和国个所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过起 征点的部分不必纳税，超过起征点的部分为全月应纳税所得额，此项税款按 下表分段累计计算：
北师大版高中数学必修一课件第四章《函数应用》用函数模型解决实际问题
经过x年后，人均占有粮食
360 M (1 4%) y= M (1 1.2%) x
x
即所求函数式为： y=360(
•
1.04 x ) 1.012
11
例４(本例２)电器材厂在生产扬声器 的过程中，有一道重要的工序：使用 ＡＢ胶粘合扬声器中的钢与夹板。长 期以来，由于对ＡＢ胶的用量没有一 个确定的标准，经常出现用胶过多， 脱水外溢；或用胶过少，产生脱胶， 影响了产品质量。经过实验，已有一 些恰当用胶量的具体数据(见表4-3) 现在需要提出一个既科学又简便的方 法来确定磁钢面积与用胶量的关系。
•
14Biblioteka 取两点(70,7.90),(160,47.25),代入
y=a.bx得：7.9 a.b 70
用计算器得：a2, b1.02
这样就得到函数模型：y=21.02x为 所求解析式；
160 47.25 a.b
•
15
（２）将x=175代入y=21.02x，得
y=21.02175,用计算器得：y63.98. 由于7863.981.22>1.2,所以这个男 生偏胖。
当 x = 50时， y max 价格上涨50%时，销售总金额最大。
•
9 ab 即该商品的 8
8
2．∵二次函数
50(1 k ) 在 (, 上递增， ] k 50(1 k ) ) 在 [ k ,上递减
ab 2 y [kx 100(1 k ) x 10000] 10000
y k (1 a) (k 0, a 1且 0)
x
y k log a x b(k 0, a 0且a 1)
y kx n • b ( k 0, x 0)
高中数学北师大版必修一《4.2实际问题的函数建模》课件
• y第五1级.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
2024/11/14
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(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
• 单击此为处r编，设辑本母利版和文为本y，样存式期为x，写出本利和y随存期x变化
• 第二的级函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 • 第算三5级期后的本利和是多少？
• 第四级
思路•分第析五级
（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本
金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每
总• 第金四额级最大？
• 第五级
(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围.
2024/11/14
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解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：
• 单击此当处价编格辑上母涨版x%文时本，销样售式总额为
• 第二级y a(1 x%) b(1 kx%)
•
• 第如三表级所示：
• 第四级
销售• 单第价五级/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？
2024/11/14
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单击此分析处：编由表辑中信母息可版知①标销售题单样价每式增加1元，
有计算器计算得 y=63.98， 由于 78 1.22 1.2
63.98
2020-2021学年北师大版高一数学必修1课件：第四章2实际问题的函数建模
x的函数关系式为( D ) A．y＝ 1 x(x∈N*)
2
B．y＝ x 12(x∈N*)
C．y＝ 2x(x∈N*)
D．y＝ 1 (x∈N*) 2x
解析
由题意可得，剩下的部分依次为 1 , 1 , 1 , …，
248 1
因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝ 2x (x∈N*)，故选D.
2.1 实际问题的函数刻画 刷基础
题型2 不同函数的增长应用
10．某品牌汽车的月产能y(万辆)与月份x(3<x≤12且x∈N)满足关系式y＝a
1 2
x
2
＋b.现已知该品牌
汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产能为__1_.8_7_5__或__1_85___万辆
解析
由已知得
1 2 1 4
2.1 实际问题的函数刻画 刷基础
题型2 不同函数的增长应用
8．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位：min)
满足关系y＝2t，若细菌繁殖到3个、6个、18个所经过的时间分别是t1 min，t2 min，t3 min，则有 (C)
A．t1·t2＝t3 C．t1＋t2＝t3
2.1 实际问题的函数刻画 刷基础
题型1 函数的不同增长模式
1．[黑龙江双鸭山第一中学2018高一期中]下列函数增长速度最快的是( A )
高中数学第四章函数应用第2节实际问题的函数建模课件北师大版必修1
【解】 (1)设药物释放过程中即 t∈(0,0.1)时，y 与 t 的函数关系式为 y＝kt， 将(0.1,1)代入 y＝kt，得 1＝0.1k，所以 k＝10，y＝10t. t∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入 y＝116t－a，得116110－a＝1，a＝110.
10t，t∈0，0.1， 故所求函数关系式为：y＝116t－110，t∈[0.1，＋∞.
幂函数模型
y＝ axn＋b
a＞0 且 a≠1 ， b≠0 m≠0 ， a＞0 且 a≠1
a≠0
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2.数据拟合 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的 点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数 图像(tú，xià选nɡ定) 函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数 表达式， 再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律， 这种方法称为数据拟合．
当 200＜t≤300 时， y＝f(t)－g(t)＝(2t－300)－[2010(t－150)2＋100]＝－2100t2＋72t－1 0225＝－2100 (t－350)2＋100. 当 t＝300 时取到最大，最大值为 87.5. 故从 2 月 1 日起第 50 天上市的西红柿纯收益最大．
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【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征， 抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．
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【尝试解答】 (1)f(t)＝－ 2t－t＋330000，，200≤ 0＜t≤t＜20300， 0. 设 g(t)＝a(t－150)2＋100(a≠0)， 将 t＝50，Q＝150 代入得 a＝2100. ∴g(t)＝2100(t－150)2＋100(0≤t≤300)．
高中数学教师用书第四章§2实际问题的函数建模课件北师大版必修.pptx
[例2] 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后 能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为 y(亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增 减的实际意义． [思路点拨] 先根据增长率的意义列出y与x的函数关 系式．
[一点通] 处理此类问题的一般思路是：认真读题、 审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助 图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别 注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．
1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知： 这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可 看成是一次函数关系：t＝－3x＋204. (1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价 x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价 与购进价的差)； (2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想 每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为 合适？最大销售利润为多少？
§2
第实 四际 章问 函题 数的 应函 用数
建 模
理解 教材 新知
把握 热点 考向
知识点一
知识点二
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合 适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函 数模型呢？
问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数 模型呢？
(2)∵此问题以年作为单位时间． ∴x∈N＋是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x. ∵1＋1%>1,13>0， ∴y＝f(x)＝13×(1＋%)x是增函数， 即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总 在增长．
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（1≤x<10，x∈N*） （10≤x<100，x∈N*）
1.5x， （x≥100，x∈N*）
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为 60，则该
公司拟录用人数为________．
解析： 令 y＝60， 若 4x＝60，则 x＝15>10，不合题意； 若 2x＋10＝60，则 x＝25，满足题意； 若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不合题意． 故拟录用人数为 25 人． 答案： 25
1．了解函数模型的广泛应用． 2．能利用已知函数模型求解实际问题．(重点) 3．通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题．(难点) 4．能归纳掌握求解函数应用题的步骤．(重点、难点)
常见函数模型
(1)一次函数模型：_y_＝__k_x_＋__b_(_k_≠_0_)__． (2)反比例函数模型：__y＝__kx_＋__b_(_k_≠_0_)____． (3)二次函数模型：_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_) _．(一般式) (4)指数函数模型：__y_＝__b_·a_x_＋__c_(_a_＞__0_且__a_≠_1_，__b_≠_0_)___． (5)对数函数模型：__y_＝__m_l_o_g_a_x_＋__n_(m__≠_0_，__a_＞__0_且__a_≠_1_)__． (6)幂函数模型：__y_＝__a_x_n_＋__b_(a_≠_0_)___．
解析： 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次， 则总收入 y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8 ＝0.5x＋1 600－0.8x ＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)． 答案： D
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
4x， 2x＋10，
4．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产 总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本 为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点．写 出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系．
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车 存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
[边听边记] 设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然 100－10x＞0，即 x＜10， 则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x＜10，x∈N)． 当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利润为 360 元． 答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为 360 元．
§2 实际问题的函数建模
自主学习·新知突破
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这 种关系的关键．
1．在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ [提示] 指数函数模型．
2．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ [提示] 二次函数模型． 3．出租车的计费是采用的什么函数模型？ [提示] 分段函数模型．
(3)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口． ②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系． ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
合作探究·课堂互动
二次函数模型
某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值．
[思路探究] 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系． 依据：利润＝销售总额－进货总额，可明确所需代数式，日销售量＝(100－ 10x)个；销售总额＝(10＋x)(100－10x)元；进货总额＝8(100－10x)元．
已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解析： (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10，25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
(7)分段函数模型：这个模型是以上几类模型的综合．
数学建模 用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学 建模，可以用图表示数学建模的过程．
[强化拓展] (1)函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归 纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决． (2)解决应用题应遵循以下步骤： 阅读理解 引入符号 运用数学方法 代入实际问题 认真审题 → 建立模型 → 解决数学模型 → 核查说明作答
[自主练习]
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第
四年造林( )
A．14 400亩
B．172 800亩
C．20 736亩
D．17 280亩
解析： 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10 000×(1＋20%)x－1，∴Leabharlann ＝4时，y＝17 280.故选D.
答案： D