2020-2021学年杭州市学军中学高一上学期期中数学试卷及参考答案
2020-2021杭州市高中必修一数学上期中一模试题含答案
函数 f（x）=ex﹣ 1 是（0，+∞）上的增函数，再根据 f（ 1 ）= e ﹣2＜0，f（1）=e﹣1
x
2
＞0，可得 f（ 1 ）f（1）＜0，∴函数 f（x）=ex﹣ 1 的零点所在的区间是（ 1 ，1），故
2
x
2
选 B．
点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要
f (x) f (x) ；当 x 1 时， f (x 1) f (x 1) .则 f (6) （ ）
2
2
2
A． 2
B． 1
C． 0
D． 2
12．设
a
20.1,
b
ln
5 2
,
c
log3
9 10
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
二、填空题
13．若不等式| 3x b | 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围是
14．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
15．设函数
f
(x)
x 1，x 2x，x
0， 0， 则满足
f
(x)
f
(x
1) 2
1的
x
的取值范围是
____________.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处 的函数值. 【详解】
要使函数在 R 上为增函数，须有 f x 在 (,1] 上递增，在 (1, ) 上递增，
浙江省杭州市学军中学高一数学上学期期中试题(含解析)
浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.已知集合 M 士I 血U ，N 二{Qd .2^ 则 MUN^J ()A. { I.O.HB. !. W ；C.D.【答案】B 【解析】试题分析:由题意知I-1 11 K ；■［小匸；，故选B 。
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2。
函数f(x )=、：.储In (1-x 2)的定义域为( )A 。
怜 ”.：|B 。
C 。
心！］ D.丨・、1］【答案】B 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于 0联立不等式组求解.【详解】由h ,：仆，得0W x v 1. •••函数 f (x ) (1 - x 2)的定义域为［0 , 1).故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.I 产用I3。
已知函数f ( x )寸隅心心，则f ［f (匸)等于()A o 匸B.C.D 。
11【答案】D【解析】【分析】I1 1L |1f(；J _ /,从而 f [ f (-门=f5 ：i 哩屮推导出 ，由此能求出结果.【详解】•••函数f (x)故选：D.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.使函数f (x) =x a的定义域为R且为奇函数的a的值可以是( )A。
B. C. 3 D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合幕函数的性质依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A a = - 1时，f (x )= x「1,其定义域不是R不符合题意；对于B,a 时,f(x )2厂，其定义域不是R不符合题意；2 - x-对于C a = 3时，f ( x)= x3,其定义域为R且为奇函数，符合题意;对于D,错误，故选：C.【点睛】本题考查幕函数的性质，关键是掌握幕函数的性质，属于基础题.5。
2020-2021学年第一学期期中高一数学试卷及答案
高一级期中质量测试数学科试参考答案（第1页共4页）2020－2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112答案A C D A B D C A AB ABD AD BCD 三、13．1214．{x |x ≥−1且x ≠0}15．5≤4a −2b ≤1016．1516；0或1312．四、解答题17．解：(1)由图象观察可知f (x )的单调增区间为(0,2]；……………………………………5分(2)函数f (x )的图象如图所示：……………………………………………7分f (x )<0的解集为(−∞,−4)∪(4,+∞)．………………………………………………………10分18．解：因为A ∩B ={9}，故9∈A 且9∈B ，………………………………………………1分所以2m −1=9，或者m 2=9，…………………………………………………………………3分解得m =5，或者=±3，…………………………………………………………………………5分当m =5时，A ={−4,9,25}，B ={0,−4,9}，A ∩B ={−4,9}，不合题意；……………………7分当m =3时，B ={−2,−2,9}，与集合元素的互异性矛盾；…………………………………9分当m=−3时，A={−4,−7,9}，B={−8,4,9}，A∩B={9}，符合题意；……………………11分综上所述，m=−3．……………………………………………………………………………12分19．解：(1)已知x<2，∴x−2<0.……………………………………………………………1分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8……………………………………………………………………2分∴−4(x−2)−1x−2≥4，……………………………………………………………………………3分当且仅当−4(x−2)=−1x−2，即x=32时等号成立．………………………………………………4分∴4(x−2)+1x−2≤−4……………………………………………………………………………5分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8≤4∴4x+1x−2的最大值为4………………………………………………………………………6分(2)解：∵x+4y+xy=5，∴5−xy=x+4y≥24xy=4xy……………………………………………………………………7分当且仅当x=4y，x+4y+xy=5即x=2，y=12时，等号成立……………………………………………………………………8分∴xy+4xy−5≤0………………………………………………………………………………9分∴xy≤1………………………………………………………………………………………11分∴xy的最大值为1……………………………………………………………………………12分20．解：(1)f(x)为R上的奇函数，……………………………………………………………1分∴f(0)＝0，得b＝0，…………………………………………………………………………3分又f(1)＝a＋b2＝12，∴a＝1，…………………………………………………………………5分∴f(x)＝xx2＋1……………………………………………………………………………………6分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第2页共4页）(2)f(x)在[1,＋∞)上为减函数，……………………………………………………………7分证明如下：在[1,＋∞)上任取x1和x2，且x1＜x2，……………………………………………8分则f(x2)−f(x1)＝x2x22＋1−x1x21＋1＝(x21＋1)x2－(x22＋1)x1(x21＋1)(x22＋1)＝x21x2－x22x1＋x2－x1(x21＋1)(x22＋1)＝(x1－x2)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)……………………9分∵x2>x1≥1，∴x1x2−1>0，x1−x2<0，…………………………………………………………10分∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，………………………………………………………………11分∴f(x)在[1,＋∞)上为减函数．…………………………………………………………………12分21．解：(1)由已知条件f(x)−g(x)＝x＋ax−2………………①………………………………1分①式中以−x代替x，得f(−x)−g(−x)＝−x−ax−2………②………………………………2分因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，故f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，②可化为−f(x)−g(x)＝−x−ax−2………③…………………………………………………3分①−③，得2f(x)＝2x＋2ax，……………………………………………………………………4分故f(x)＝x＋ax，g(x)＝2，x∈(−∞,0)∪(0,＋∞)；…………………………………………6分(2)由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，x∈[1,＋∞)，……………………………………………7分当a≥0时，函数f(x)＋g(x)的值恒为正；……………………………………………………8分当a＜0时，函数f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2在[1,＋∞)上为增函数，…………………………9分故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，故只需3＋a＞0，解得−3<a<0.………………………………………………………………11分综上所述，实数a的取值范围是(−3,＋∞)．………………………………………………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第3页共4页）【法二：由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，……………………………………………………7分当x∈[1,＋∞)时，f(x)＋g(x)＞0恒成立，等价于a＞−(x2＋2x)，…………………………9分而二次函数y＝−(x2＋2x)＝−(x＋1)2＋1在[1,＋∞)上单调递减，………………………10分x＝1时，y max＝−3，.…………………………………………………………………………11分故a＞−3………………………………………………………………………………………12分】22．解：(1)由题意知，y−x−(10＋2p)，…………………………………………2分将p＝3−2x＋1代入化简得y＝16−4x＋1−x(0≤x≤a)．…………………………………………5分【注：没注明定义域，扣1分】(2)当a≥1时，y＝17x＋−24x＋1×(x＋1)＝13，…………………………7分当且仅当4x＋1＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．…………………………………………8分所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．…………………9分当0<a<1时，y＝16−4x＋1−x在(0,1)上单调递增，…………………………………………11分所以当0<a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为4161aa－万元………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第4页共4页）。
2020学年高一数学上期中考试试卷(上交)
20.已知
f
x
a 2x1 1
2x1 a
a
0 为奇函数.
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）判断函数 f (x) 的单调性，并解不等式 0 f x2 x 3 . 10
21. 荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的 EUV(极紫外光源)具备 7nm
工艺。芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件。如果某工厂一条手机
（
）
B． f 2 f 1 f 4
C． f 4 f 2 f 1
D． f 4 f 1 f 2
6.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x), f (x) f (x) 0 ，且在[0，1]上有
f (x) ( 1 )x ，则 f (2020.5) 4
A． 1 16
答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 18．化简求值：
（Ⅰ） 2 3 3 1.5 6 12
解：=6
（Ⅱ）
log3
7
log3
21
log
2 3
7
1 log7
3
解：=0
8分
8
19．已知函数 f (x) 8 3x 的定义域为 A，函数 g(x) x2 4x 1, x [0,3] 的值域为
（Ⅰ）求 L(x) 的函数表达式；
（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数 f (x) ax2 bx c ，当 x 1 时， f (x) 1 恒成立. （Ⅰ）若 a 1, b c 0 ，求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）证明： a b c 3 ，并找出一组{a, b, c} ，使得等号成立.
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一(上)期末数学试卷+详解
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函数 y f (x) 的解析式为 ．
15．（4 分）某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大 棚周围均是宽为 1 米的小路（如图阴影部分所示），大棚占地面积为 S 平方米，其中 a : b 1: 2 ， 若要使 S 最大，则 y ．
三、解答题（18-19 每题 8 分，20-22 每题 10 分，合计 46 分）
18．（8 分）求下列各式的值：
（Ⅰ）
(
27
)
1 3
8
log 2(log 216)
lg2
lg50
；
（Ⅱ） cos10 3 cos100 ． 1 cos80
19．（8 分）某疫苗公司生产某种型号的疫苗，2016 年平均每箱疫苗的成本 5000 元，并以纯 利润 20% 标定出厂价 .2017 年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生 产成本逐年降低 .2020 年平均每箱疫苗出厂价仅是 2016 年出厂价的 80% ，但却实现了纯利 润 50% 的高效率． （Ⅰ）求 2020 年的每箱疫苗成本； （Ⅱ）以 2016 年的生产成本为基数，求 2016 年至 2020 年生产成本平均每年降低的百分率
1 2
为全称命题，则命题的否定为：x0
N
* ，(1 )x0 2
1 2
．
故选： C ．
3．（4 分）设 a sin 33 ， b cos 55 ， c tan 37 ，则 ( )
A． a b c
B． b c a
C． c b a
【解答】解 b cos 55 sin 35 sin 33 ，b a ，
2
2
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2020-2021杭州市高一数学上期中试卷附答案
2020-2021杭州市高一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>11．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 19．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围. 23．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.24．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？25．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设全集为R，集合A = {x∖0<x<2}, B = {xlx≥l),则An(QB)=( )A.{xlθ<x≤l)B. {xlθ<x<l)C. {xll≤x<2}D. {xlθ<J<2)【答案】B【解析】由题意可得C R B = {x∣x<l}, 结合交集的泄义可得An (C R B) = {O<X<1},故本题选择B选项.2.已知幕函数/(X)过点(2,丄)，则/⑴在其定义域内( )4A.为偶函数B.为奇函数C.有最大值D.有最小值【答案】A【解析】设幕函数为fM = x∖代入点(2，1),即2u=l, Λf∕ = -2,4 4f(x) = χ-2,定义域为(-00,0)U(O,+OO),为偶函数且/(x) = x^2∈(0,+oo),故选A.3.幕函数f(x) = (m2-2m + ∖)x2m~l在(0,乜)上为增函数，则实数加的值为( )A. 0B. 1C. 1 或2D. 2【答案】D【解析】因为函数/(X)是幕函数，所以加2_2加+ 1 =],解得加=0或Hl = 2, 因为函数/(X)在(0,-KC)上为增函数，所以2∕w-l>0,即w>∣, I n = 2, 故选D・4.函数f(x) =Ig(X2-I)V-X2 +x + 2的定义域为(A. (-∞厂2) U(I,+∞) B ・(一2,1) C. (-∞,-l)U(2,+∞)D. (1,2)【答案】Dx 2-l>O 【解析】?^l<x<2, A 函数的左义域为(1,2)・【答案】Cα-lvθ OVaVl,得 ≥β≤"<l,故选 C.22(α-l)-2d ≥ IOg (I 2下而各组函数中是同一函数的是(^(Λ) = √X +1 √x -l【答案】A【解析】函数y = 4-2?与V = -X √Σ27的定义域均为(-O 0],且 y = √=2√ =^J-2x ∙ y/7 = -Xy∣-2x ‘所以两函数对应法则相同，故A 正确:函数V = (√7)2的左义域为[O, +S),函数V=IxI 的左义域为R , 所以两函数不是同一函数，故B 错误；2函数/(x) = X 的定义域为R ,函数g (X)=—的左义域为{x∣x≠O}t 所以两函数不是同一函数，故C 错误;5.若函数/U)=在R 上单调递减，则实数d 的取值范用是(-x fc +x+2>0【解析】若函数∕ω =(G-I)X-2α, X<2y = J-2χ3 与 y = -x√-2x(G-I)X -2G , x<2函数^(X) = √7+T.√7^T 的上义域为［i,4∙s),所以两函数不是同一函数，故D 错误,【解析］V fM 与gd)都是偶函数,∙∙J(χ)∙g(χ)也是偶函数, 由此可排除A 、D, 又由 X→-H>o 时，/(x)∙^(x)→→0 ,可排除 B, 故选C.8・IOg W 2 = «, IOg Jπ3 = ⅛,则加2网的值为( )A. 6B ・ 7 C. 12 D ・ 18【答案】C【解析】Tlog 川2 = α, log fπ3 = Z?, ∙∙∙"{=2, =3，Irr a ^ = 〃严〃/ = (Hi o )2Hi h =22×3 = 12,故选 C.9.若函数/(x) = log l (-x 2+4x + 5)在区间(3∕n -2√π + 2)内单调递增.则实数加的取值范围 为()函数/(x) = √2√^T的泄义域为［芈2 ,+oθ)U(-°°,-故选A.7.函数/(x) = log 2g(x) = -x 2+2 ,则函数f(x)∙g(x)的图象大致()【答案】C【答案】C【解析】解不等式-χ2+4x+5>0,即4x-5v0,解得一1VXV5, 内层函数W =→2+4.V + 5在区间(72)上单调递增，在区间(2,5)上单调递减, 而外层函数y = Iog 1 "在左义域上为减函数，2由复合函数法可知，函数fW = IOg I (→∙2÷4x + 5)的单调递增区间为(2,5), 2由于函数f(x) = IOg I (-X 2+ 4Λ∙+5)在区间(3m- 2, m + 2)上单调递增，-2≥24所以，3ιn -2<m + 2 9 解得一 Smv2,3//? + 2 ≤ 5 4因此,实数加的取值范围是［-,2),故选C.【答案】Br的+3 = 4 U-IOgM = 4【解析】因为/(α)=4,所以< C 或(C a≤0a>0故选B.11.已知定义在R 上的奇函数/(X)满足/(x+2) = -∕(x),当时［0,1］ , /(x) = 2x -l,则()A. /⑹ nV*)B. /⑹ vf(¥)v/(_7)22X^, +310.设函数fM = ↑t IIl-IOg2 九4 B. ［亍4 C. l-,2)弋，若/(¢/) = 4,则实数d 的值为( x>0A.B.D.1 16a≤0 a>0C. /(-7) < /(y) < /(6)D. /(y) < /(6) < /(-7)【答案】B【解析】由题意得,因为/(x+2) = -∕(x),则/(x+4) = ∕(x), 所以函数/S)表示以4为周期的周期函数， 又因为/⑴ 为奇函数，所以/(-X) =-/U),所以/(6) = /(4 + 2) = /(2) = -/(O) = 0, /(-7) = /(-8 + 1) = /(1) = 1,12.已知函数/(Λ-) = Iog 1 (?-av-«)对任意两个不相等的实数Λ-p x 2∈(-σ□,-l),都满3 2足不等式"" >0,则实数G 的取值范围是()A- I -I ^) B- (^-Il c∙ hl 41D ∙ [7》【答案】C瞬析嘶 詈严2>。
2020-2021高一数学上期中试卷带答案(3)
2020-2021高一数学上期中试卷带答案(3)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}7．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 17．函数的定义域为___．18．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________. 19．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）若不等式()12262x xx f <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．22．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.23．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）： x （单位：克） 0129…y74319…（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.24．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域 25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 26．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.6．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.7．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
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浙江省杭州学军中学高一上学期期中考试（数学）一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设A={1，2}，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 的个数是 （ ） A ．1 B ．4 C ．7 D ．82. 下列关系式中正确的是 ( ) A 313232215121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B 323231512121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛C 323132212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ D 313232212151⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3. 函数()15--=x x x f 的一个正零点的区间可能是 ( )A. []2,1B. []1,0C. []3,2D. []4,34．下列四组函数中，表示相同函数的一组是 （ ） A. 2()lg ,()2lg f x x g x x ==B. ()()f x g x =C. 21(),()11x f x g x x x -==+- D. 1()2,()2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭5. 已知函数 f (n )= ⎩⎨⎧<+≥-)10)](5([)10(3n n f f n n ，其中n ∈N ，则f (8)等于 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 7 6. 设2()lg2x f x x +=-，则()2xf 的定义域为 ( ) A ．(1,1)- B ．(4,4)- C ．(4,2)- D ． (2,4)-7. )(x f 是定义在]6,6[-上的奇函数,若),1()3(f f <则下列各式中一定成立．．．．的是 ( ) A ．)3()1(-<-f f B. )1()0(f f > C. )3()2(f f > D. )5()3(f f <- 8. 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值集合是( )A. (0,1)B. 1(0,)3C. 11[,)73D. 1[,1)79.ｙ＝f (x )的曲线如图所示，那么方程ｙ＝f (2－x )的曲线是 ( )10. 设定义域为R的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg|)(xxxxf，若则关于x的方程0)()(2=++cxbfxf有7个不同实数解，则 ( )A．0<b且0>c B．0>b且0<c C．0<b且0=c D．0≥b且0=c二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）11．函数2y=定义域是____________________；12．函数)4(log23xy-=单调递减区间为_______________；13. 函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0<x时，).1()(-=xxxf则当0>x时_______)(=xf；14. 函数2213xyx+=-值域是_________ ；15. 设函数⎩⎨⎧-≥--<+=131)1()(2xxxxxf，则使得1)(≥xf的自变量x的取值范围为_____；16. 已知()422ln(21xxf x x⨯+=+++，若()f x在[2,2]-上的最大值，最小值分别为M，N，则M+N= ；三、解答题（本题5小题，共46分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题带答案
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．16．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________． 17．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．23．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 24．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.10．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.11．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-16．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．17．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：(1,4)； 【解析】 【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r . 方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0， 223r+4h-4b 3+4r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －r2(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ， 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452， 由EG ≤52，得h ≤25－2r . 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32×r 2 ＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a＜6或a＞15 2}【解析】【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a-5≤16，解不等式可得a的取值范围；（2）由A⊆（A∩B）得A⊆B，分类讨论，A＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6．若A≠∅，则2135{2113516a aaa+≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B．显然A＝∅满足条件，此时a＜6．若A≠∅，则2135{351a aa+≤--<-或2135{2116a aa+≤-+>由2135{351a aa+≤--<-解得a∈∅；由2135{2116a aa+≤-+>解得a＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用 23．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x <<【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法．24．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a ca f abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可；（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a ba ca ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】（1）由题意可得()432421b ac af a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+，解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）由题意可知012a b aca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a ++<，即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞.（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=-2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x-+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦ 所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.26．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题(及答案)
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题(及答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅4．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭5．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,39．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．设a＝25 3 5⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a11．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A．B．C．D．12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x=⋅++的图象关于y轴对称，则实数a的值为（）A．2B．2±C．4D．4±二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知()32,,x x af xx x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是________．15．已知()f x是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x>，()f x的图象如图所示，那么()f x的值域是______．16．已知函数(12)(1)()4(1)xa xf x axx⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，则a的取值范围是________17．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 18．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 . 19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围. 26．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.4．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.10．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.11．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax++=+-.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()222sin ln 14sin ln14sin ln14x ax x x x ax x x ax⋅++=-⋅+=⋅+-221414ax x x ax∴++=+-恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．15．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．16．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.17．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．18．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2020-2021学年高一上学期期中数学试题
浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则()RA B =（ ）A ．[1,1)-B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[1,1]-2．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ） A．()()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．,0(),(),0x x f x x g x x x >⎧==⎨-≤⎩D．()()f x g x ==3．“1x >”是“01xx ≥+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π> D ．()D x 是单调函数5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（ ）A ．116-B ．116C ．14D ．127．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()f x =B ．||()2x f x -=C ．24()4x f x x =+D ．()|1|||f x x x =+-8．已知函数()2f x t =+，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++，则实数t 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,0]-C ．1(,)8-+∞D ．1(,0]8-二、多选题9．（多选题）已知2()f x x ax b =++，函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数为m ，函数[()]y f f x =与x 轴的交点个数为M ，则M m -的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．（多选题）已知3515a b ==，则a ，b 满足下列关系的是（ ） A ．4ab > B ．4a b +>C ．224a b +<D ．22(1)(1)16a b +++>三、填空题11．已知3227x =，则x =_________. 12．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.13．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.14．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________.四、双空题15．若指数函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭________；不等式131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭的解集是______________.16．若函数22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则函数是_________（奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数）；不等式()239f x +≤的解集为____________________.17．函数1()2x xf x +=的定义域是__________________；值域是_________________.五、解答题 18．化简求值：（1）（2）233371log 7log 21log 7log 3--. 19．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .（Ⅰ）设集合()M A B Z =⋂⋂，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且BC =∅，求实数a 的取值范围.20．已知1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解不等式()23010f x x <-≤. 21．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x xω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，己知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数2()f x ax bx c =++，当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立.（Ⅰ）若1,0a b c =+=，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）证明：||||||3a b c ++≤，并找出一组{,,}a b c ，使得等号成立.参考答案1．C 【分析】 计算补集得到{|0}RA x x =≥，再计算交集得到答案.【详解】{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则{|0}R A x x =≥，()[0,1)R A B =.故选：C. 【点睛】本题考查了交集和补集运算，属于简单题. 2．C 【分析】对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =∈-∞⋃+∞=≥，定义域不同，不是同一个函数；B ，()()0()10,()f x x R g x x x∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；C ，,0,0(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>⎧⎧===⎨⎨-≤-≤⎩⎩，解析式定义域都相同，是同一个函数；D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 3．A 【分析】 解不等式01xx ≥+，根据解集的包含关系得到答案. 【详解】01xx ≥+，则0x ≥或1x <-，()()[)1,,10,+∞-∞-+∞，故“1x >”是“01xx ≥+”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，属于简单题. 4．B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误； 当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 5．B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=，∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=， ∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题. 6．D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数， ∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===， 故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题. 7．B 【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()144x f x x x x ==≤=++；当0x <时，244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2； D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题. 8．D 【分析】21t x =+，令0k =≥有220k k t --=且t 的取值范围.【详解】由题意知：()f x 的定义域为[1,)-+∞且单调递增，∴函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++21t x =+，∴令0k =，即220k k t --=为方程的两个根，∴18020t t ∆=+>⎧⎪=-≥，解得108t -<≤∴综上有：1(,0]8t ∈-， 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，根据函数单调性，结合定义域、值域构造一元二次方程，利用根与系数关系、判别式求参数范围，属于难题. 9．ABC根据二次函数的对称性，讨论0m =、1m =、2m =结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应[()]y f f x =的零点可能情况即可求M m -的值. 【详解】由2()f x x ax b =++知：24a b ∆=-且2min()()24a a f x fb =-=-，∴令()t f x =，()y f t =的定义域为2[,)4a b -+∞，对称轴为2a t =-，24a b ∆=-，1、当0m =时，240a b ∆=-<，()y f t =中0M =；2、当1m =时，240a b ∆=-=，1）当242a a b -≤-时()y f t =有一个零点0t ，若204a t b ≠-时2M =；若204a tb =-时1M =；2）当242a ab ->-时()y f t =无零点，0M =；3、当2m =时，240a b ∆=->，1）当242a ab --≤时()y f t =有两个零点，则4M =；2）当2242a a a b +-<-≤时()y f t =有一个零点，则2M =；3）当242a ab ->时()y f t =无零点，0M =； 综上知：M m -的可能值有0, 1, 2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题. 10．ABD由已知可得33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+，有a b ab +=，依据基本不等式即可知4a b +>，进而可知ab 、22a b +、22(1)(1)a b +++的范围.【详解】由题意知：33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+， ∴151511log 3log 51a b ab a b+=+=+=，即a b ab +=，∵3312log 524log 5a b +=++>+=， ∴4a b ab +=>，22222()2()2(1)18a b ab ab ab ab a b =+-=-=-->+， 222222()2()2(1)(1)1816a b a b ab a b =++++=++++>>，故选：ABD 【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题. 11．9 【分析】由指数运算性质有223332()27x =即可求x 值. 【详解】由3227x =知：23279x ===，故答案为：9. 【点睛】本题考查了指数运算，应用了()n m nmx x =的运算性质，属于简单题.12．(,1)-∞- 【分析】由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4()f x x x=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立，当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 13．2 【分析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案. 【详解】21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==， 2M m -=.故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.14．716【分析】 变换得到22816132s ts s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-++， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.15 [)0,+∞ 【分析】先求出函数的解析式，从而可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解. 【详解】设()xy f x a ==，()0,1a a >≠因为()y f x =的图象经过点(2,4)， 所以24a =，所以2a =，则()2x f x =，12122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于213122x x --≤，即21310x x x -≤-⇒≥，[)0,+∞.【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题. 16．奇函数 []3,0- 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断奇偶性即可得()()f x f x -=-，进而得函数为奇函数，再结合当0x ≥时，()2f x x =为增函数，()39f =解不等式即可得答案.【详解】解：当0x >时，()()()22f x x x f x -=--=-=-， 当0x <时，()()()()222f x x x xf x -=-==--=-，当0x =时，()0f x =，所以对于定义域R 内的任意实数x ，均有()()f x f x -=-，故函数为奇函数. 因为当0x ≥时，()2f x x =为增函数，所以函数()f x 在R 上单调递增， 由于()39f =，()239fx +≤，所以233x +≤，解不等式得： 30x -≤≤. 所以不等式()239fx +≤的解集为[]3,0-.故答案为：奇函数；[]3,0- 【点睛】本题考查分段函数奇偶性的判断，利用奇偶性与单调性解不等式，考查运算能力，是中档题. 17．(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)⋃+∞；【分析】 要使分式1x x +有意义即0x ≠即可得定义域，令111t x=+≠，结合指数函数的值域求法即可求值域. 【详解】由题意知：指数1x x+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，令111t x=+≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈⋃+∞， 故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)⋃+∞；【点睛】本题考查了求指数型复合函数的定义域、值域，属于简单题. 18．（1）6；（2）0 【分析】（1）将根式化为实数幂再计算即可得答案； （2）根据换底公式与对数运算法则计算即可得答案. 【详解】解：（1）()111326323122⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()112511112333636262332232323236-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=.（2）()22333333371log 7log 21log 7log 7log 71log 7log 70log 3--=+--= 【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算能力，是基础题.19．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞【分析】（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案. （Ⅱ）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，得到121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得答案.【详解】（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，()22()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =⋂⋂=--⋂=.故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，BC =∅，当C =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-；当C ≠∅时，121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得(][)2,14,a ∈--+∞.综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误. 20．（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）[)(]1,01,2-.【分析】（Ⅰ）根据(0)0f =得到2a =，验证得到答案. （Ⅱ）11()221x f x =-+，根据复合函数单调性知函数单调递增，化简得到()()()202f f x x f <-≤，解不等式得到答案.【详解】（Ⅰ）1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数，则12(0)02af a-==+，故2a =， 此时121()22x x f x +-=+，()12112()22222x xx xf x f x --+---===-++⋅，满足函数为奇函数. （Ⅱ）12111()22221x x xf x +-==-++，易知21xy =+单调递增， 根据复合函数单调性知函数()f x 单调递增，()00f =，()3210f =，()23010f x x <-≤，即()()()202f f x x f <-≤，故202x x <-≤，解得[)(]1,01,2x ∈-.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案； （2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案． 【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=；当25x <时，48()99[3(1)]992751L x x x x =-++-+． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x=时等号成立． 因为7574>，所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元. 【点睛】本题考查分段函数函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，考查了建模能力与运算求解能力，是基础题．22．（1）b ≤≤-+02（2）证明见解析，1,1}1{,--- 【分析】（1）由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，求出01b ≤≤，从而确定二次函数的对称轴位置，利用单调性，判断函数的最值，根据|()|1f x ≤，可知min max ()1()1f x f x ≥-⎧⎨≤⎩，进而求得实数b 的取值范围（2）特殊赋值，求出|()|||f c =≤01，|()|||f a b c =++≤11，|()|||f a b c -=-+≤11，利用绝对值不等式||||||||||a b a b a b -≤±≤+求得||1b ≤，再通过上式分类讨论,b c 符号，从而求得||1a ≤，进而证得||||||3a b c ++≤. 【详解】（1）由1,0a b c =+=，得2222()()24b bf x ax bx c x bx b x b =++=-+-=+-由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，|()|f b b b -=--=-≤11121，得01b ≤≤， 故()f x 的对称轴1,022b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当||1x ≤时，2min max ()()124()(1)1b bf x f b f x f ⎧=-=--≥-⎪⎨⎪==⎩，解得b --≤≤-+22 综上，实数b的取值范围是：b ≤≤-+02（2）证明：当0x =时，|()|||f c =≤01，当1x =时，|()|||f a b c =++≤11，当1x =-时，|()|||f a b c -=-+≤11， 由绝对值不等式性质可得：|()|||||a b c a b c a b c a b c ++--+=+++-+≤+11 化简得||b ≤22，即||1b ≤由|||a b c ++≤1，当,b c 同号时，有-13a ≤≤ 由||a b c -+≤1，当,b c 异号时，有-31a ≤≤ 综合可得，||1a ≤所以||||||3a b c ++≤，当,,1,1,1{}{}a b c =---时，等号成立. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，考查学生的综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于难题．。
杭州市学军中学高一上学期数学期中考试试卷(附答案)
x+2
2+x
(1) 求函数的定义域；
(2) 判断 f (x) 的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
(3)
解关于
x
的不等式
f
[
1
x
(3
−
] x)
−
1
+ lg 3 > 0．
2
3
21. 已知函数 f (x) = |x − 2a| + a2 − 4a (a ∈ R)． x
(1) 当 a = 2 时，求 f (x) 在区间 [1, 6] 上最大值和最小值；
t2
2t +
1
．所以
f
(x)
=
2x ． x2 + 1
11. {1, 3} 解析：因为集合 M = {1, m + 2, m2 + 4}，5 ∈ M ，
所以 m + 2 = 5 或 m2 + 4 = 5，
解得 m = 3 或 m = 1 或 m = −1，
当 m = 3 时，M = {1, 5, 13}，成立；
．
12. 若函数 f (x) = √ x
的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
．
ax2 + ax + 1
13. 若 2x + 2−x = 5，则 8x + 8−x =
．
14.
定义在
R
上的偶函数
f
(x)
满足
f
(x
+
2)
=
−
f
1 (x)
，当
2
⩽
x
⩽
3
时，f
(x)
=
浙江省杭州市学军中学海创园学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知集合 A {x | x 2 0}, B {x | x 3} ，则 AI B （ ）
B． a b
C． a b ab
D． b a 2 ab
4．二次不等式 ax2 bx c 0 的解集是 2,3 ，则 c 的值为（ ）
b
A． 6 5
B． 6 5
C． 5 6
D． 5 6
5．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．
f
x
x 1
， gx
x 1, x 1 x 1, x 1
14．设函数 f (x) 12x ,lxog21(,2 x), x 1, 则 f (2) f log2 6 ．
15．若函数
f
x
log2
x
m x
4
的值域为
R
，则实数 m
的取值范围为.
16．已知 x, y 0 ， 3xy 2 ，且 3y2 3xy 3 2y ，则 2 x 2 y 的最小值为.
万元计入公司收入）；
（2）在复工率为 k 时，政府补贴多少万元才能使 A 公司的防护服利润达到最大？
21．若函数
y
f
x
自变量的取值区间为
a,
b
时，函数值的取值区间恰为
2 b
,
2 a
，就称
区间a,b 为 y f x 的一个“和谐区间”.已知函数 g x 是定义在 R 上的奇函数，当
x 0, 时， g x x 3.
1 求 g x 的解析式；
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2020-2021学年杭州市学军中学高一上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.命题“01,2
=+-∈∃x x R x ”的否定是( )
A. 01,2≠+-∈∃x x R x
B. 01,2>+-∈∃x x R x
C. 01,2≠+-∈∀x x R x
D. 01,2=+-∈∀x x R x
2.下列两组函数，表示同一函数的是( ) A.x x g x x f ==)(,)(2
B. x x x g x x f 2
)(,)(== C. 22)(,4)(2-⋅+=-=x x x g x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==
3.已知c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”成立的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是( ) A.x y )2
1(= B.2x y -= C.21x y = D.1||+=x y 5.设6.06.0=a ，5.16.0=b ，6.05.1=c ，则c b a ,,的大小关系是( )
A.c b a <<
B.b c a <<
C.c a b <<
D.a c b <<
6.已知函数42)(2
++=ax x x f 在]2,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A. ]2,(--∞
B. ),2[+∞-
C. ]2,(-∞
D.),2[+∞
7.下列说法正确的是( ) A. 若b a <，则
b a 11> B. 若0>>>
c b a ，则c
a c
b a b ++< C. 若R b a ∈,，则2≥+b a a b D.若R b a ∈,，则b a ab b a +≥+22 8.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间)2,1(上的任意)(,2121x x x x ≠，不等式||)()(|2121x x x f x f -<-恒成立”的只有( ) A. x
x f 1)(= B. ||)(x x f = C. x x f 2)(= D.2)(x x f =
9.已知函数)(x f 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有3
1]122)([=++
x x f f 成立，则)2020(f 的值是( ) A.122020- B. 12
2020+ C. 121220202020-+ D.121220202020+- 10.已知c bx ax x f ++=2)(，方程x x f =)(的两个根分别为21,x x ，且221>-x x ，设方
程x x f f =))((的另两个根分别是43,x x ，且43x x >，则( )
A. 1324x x x x <<<
B. 1342x x x x <<<
C. 3142x x x x <<<
D.3124x x x x <<<
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.已知集合}0,1,2{},01|{--=>+=B x x A ，则（∁A R ）=⋂B ________________.
12.函数5
4)(--=x x x f 的定义域为_______________. 13.已知幂函数)(x f y =的图像过点)22,2(，则)4(f 的值为_____________.
14.设方程042=+-mx x 的两根为βα,，其中]3,1[∈α，则实数m 的取值范围是
________________.
15.函数233)(x x x f -=图像的对称中心为_____________.
16.已知函数m x g x x f x -==)2
1
()(,)(2，若对]2,0[],3,1[21∈-∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则实数m 的取值范围是______________.
17.定义：},min{y x 为实数中较小的数，已知}4,
min{2
2b a b a h +=，其中b a ,均为正实数，则h 的最大值是_____________.
三、简答题（本大题共4小题，满分共52分）
18.（本题满分12分）
（I ）已知集合}032|{2<--=x x x A ，}012|{>-=x x B ，求B A ⋂；
（II ）设0,0>>y x ，且xy y x =+82，求y x +的最小值.
19. （本题满分14分） 已知函数1
2)(2+-=x a x x f 为奇函数 （I ）求实数a 的值；
（II ）求证：)(x f y =在]1,1[-上为增函数；
（III ）求)(x f y =的值域.
20. （本题满分12分）
已知函数a x x x f ---=|1|)(2
，R a ∈.
（I ）当1≥t 时，求)2(t f y =的最小值；
（II ）若不等式0)(<x f 的解集是区间)3,3(-的子集，求实数a 的取值范围.
21. （本题满分14分） 已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧<+->--=a x x x a a x a x x x f ),4(,4)(，R a ∈. （I ）当0=a 时，求)(x f y =的单调区间（只需写出单调区间，不需要证明）；
（II ）若关于x 的方程)0(4|)(|>=-a a x f 恰有四个不同的实数解，求实数a 的取值范围.。